z - Кафедра Высшая и прикладная математика

Аннотация Данное пособие посвящено изучению основ теории функций комплексного переменного. В нем изучаются важнейшие понятия этого курса: предел, производная, интеграл от функций комплексного переменного, разложение этих функций в степенные ряды. Даны основные свойства аналитических функций, к которым сводятся многие задачи математики, техники, физики. В пособии предложено большое количество примеров с разобранными решениями, а также задачи для аудиторной и индивидуальной работы. Для студентов специальности «Прикладная математика», для технических специальностей. Может быть использовано при дистанционной форме обучения. 1
1. Комплексные числа. у 1.1. Определение комплексного числа. Опр.1.1. Комплексным числом z (С) z Im z называется упорядоченная пара действительных чисел x , y , записанная в форме z = x + iy , где Re z z
i ‐ "мнимая единица", причем i 2 = -1 . Первая компонента комплексного числа z , действительное число x , называется действительной частью числа z , это обозначается так: x = Re z ; вторая компонента, действительное число y , называется мнимой частью числа z : y = Im z . Опр.1.2. Два комплексных числа z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y2i равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: z1 = z 2  { (x1 = x 2 )L( y1 = y2 )} . 2
Геометрически комплексное число z = x + yi изображается как точка с координатами (x , y ) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С. Опр.1.3. Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y2i называется комплексное z = (x1 + x 2 ) + (y1 + y2 )i
число z , определяемое , Re(z1 + z 2 ) = Re z1 + Re z 2
т.е. соотношением , Im(z1 + z 2 ) = Im z1 + Im z 2 . Опр.1.4. Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y2i
соотношением называется комплексное число z
z = (x1x 2 - y1y2 ) + (x1y2 + x 2y1 )i
, определяемое , т.е. Re(z1z 2 ) = Re z1 Re z 2 - Im z1 Im z 2; Im(z1z 2 ) = Re z1 Im z 2 + Im z1 Re z 2 . Свойства операции сложения I.1. z1 + z 2 = z 2 + z1 ; I.2. ( z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + ( z 2 + z 3 ) ; I.3. Существует такой элемент 0  Z , что 0 + z = z для "z Î Z . Этот элемент ‐ число 0 = 0 + 0i . I.4. Для каждого элемента z Î Z существует такой элемент -z , что z + (-z ) = 0 . Этот элемент ‐ число -x - yi . Сумма чисел z1 = x1 + y1i и 3
-z 2 = -x 2 - y2i называется разностью чисел z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y2i : z1 - z 2 = z1 + (-z 2 ) = (x1 - x 2 ) + (y1 - y2 )i . Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа. Опр.1.5. Число z = x - yi называется числом, сопряжённым к числу z = x + yi . Часто сопряжённое число обозначается также символом z * . Опр.1.6. Действительное число z =
x 2 + y 2 называется модулем комплексного числа z = x + yi . Геометрически модуль числа z ‐ длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел z1 и z 2 равен расстоянию между этими точками: | z1 - z 2 |=| (x1 + iy1) - (x 2 + iy2 ) |=
(x1 - x 2 )2 + (y1 - y2 )2 . Для нахождения частного комплексных чисел числитель и знаменатель на число, z1
(z ¹ 0) домножим z2 2
сопряжённое знаменателю: z1
z ⋅z
(x + y1i ) ⋅ (x 2 - y2i ) (x1x 2 + y1y2 ) + (y1x 2 - x1y2 )i
= 1 2 = 1
=
=
z2
z2 ⋅ z2
(x 2 + y2i ) ⋅ (x 2 - y2i )
x 22 + y 22
=
x1x 2 + y1y2
x 22 + y 22
+
y1x 2 - x1y2
x 22 + y 22
i . 4
Свойства операции умножения: II.1. z1z 2 = z 2z1 ; II.2. (z1z 2 )z 3 = z1(z 2z 3 ) ; II.3. Произведение числа 1 = 1 + 0i Î Z на любое число z Î Z равно z ; II.4. Для каждого числа z Î Z , z ¹ 0 существует такое число z -1 Î Z , что z ⋅ z -1 = 1 , z -1 =
1
z
x - iy
=
=
; 2
z
z ⋅z
z
Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности: III.1. (z1 + z 2 )z 3 = z1z 3 + z 2z 3 . Операция сопряжения имеет следующие свойства: _
IV. z = z ; z + z = 2 Re z ; z - z = 2 Im z ⋅ i; _______
2
z ⋅ z =| z | ; z1  z 2 = z1  z 2; æz ö z
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2; çç 1 ÷÷ = 1 . è z2 ø z2
Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами. 5
Пусть z1 = 2 - 3i , z 2 = 4 + 5i . Тогда z1 + z 2 = (2 - 3i ) + (4 + 5i ) = (2 + 4) + (-3 + 5)i = 6 + 2i ; z1 ⋅ z 2 = (2 - 3i ) ⋅ (4 + 5i ) =
= ( (2 ⋅ 4 + (-3) ⋅ 5 ⋅ i 2 ) + ( (2 ⋅ 5 + (-3) ⋅ 4 ) i = 23 - 2i
; z1
2 - 3i
(2 - 3i )(4 - 5i ) (8 - 15) + (-12 - 10)i
7
22
=
=
=
= - - i . 4 + 5i
(4 + 5i )(4 - 5i )
16 + 25
41 41
z2
1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + yi называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x , y . Если теперь перейти к полярным координатам r, f
, то x = r cos f, y = r sin f, z = r
, поэтому z = z ( cos f + i sin f ) . Угол f называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z : f = arg z . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных 2p ): если, например, f = p / 6 , то значения f , равные p / 6  2p, p / 6  4p и т.д. тоже будут соответствовать числу z , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям -p < arg z £ p , будем называть главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ Arg z : Arg z = arg z + 2k p, k = 0, 1, 2,... . 6
Запись комплексного числа в виде z = z ( cos(arg z ) + i sin(arg z ) ) = = z ( cos f + i sin f )
(С)
называется z |
тригонометрической формой числа.  Число 0 = 0 + 0i ‐ единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён. Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: x =| z | cos f, x =| z | sin f . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы: | z |=
x 2 + y2;
ïìï arctg ( y / x ), x > 0;
ïï
ïï arctg ( y / x ) + p, x < 0, y > 0;
ïï arctg ( y / x ) - p, x < 0, y < 0;
ïï
ïï p / 2, x = 0, y > 0;
arg z = í
ïp
x
y
/
2,
0,
0;
=
<
ïï
ïï 0, x > 0, y = 0;
ïï
ïï p, x < 0, y = 0;
ïï
ïïî Æ, x =, y = 0.
При переводе алгебраически заданного (С) комплексного числа в тригонометрическую z1 2 форму следует изобразить это число на 2 ‐4 ‐2 z2 z5 z4 z3 ‐2 7
комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Пример 1.2.1. Записать в тригонометрической форме числа z1 = -1 +
z 2 = -1 - i , z 3 =
·
3 - i , z 4 = -i , z 5 = -5 - 3i . z1 = 2(cos(2p / 3) + i sin(2p / 3))
z2 =
, (C) z1 2(cos(-3p / 4) + i sin(-3p / 4)) , z 3 = 2(cos(-p / 6) + i sin(-p / 6))
,
z 4 = cos(-p / 2) + i sin(-p / 2)
, z5 =
3i , z 5/6 /3 /3 /6 34 éë cos ( arctg ( 3 / 5 ) - p ) + i sin ( arctg ( 3 / 5 ) - p ) ùû . Пример 1.2.2. Привести к тригонометрической форме число z = - sin(p / 3) + i cos(p / 3) . · Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой z точку z1 = cos(p / 3) + i sin(p / 3)
. Из рисунка понятно, что arg z = p - p / 6 = 5p / 6 , поэтому z = cos(5p / 6) + i sin(5p / 6) . В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть z1 = z1 ( cos f1 + i sin f1 ) , z 2 = z 2 ( cos f2 + i sin f2 ) , z1 ¹ 0, z 2 ¹ 0 .Тогда z1 ⋅ z 2 = éë z1 ( cos f1 + i sin f1 ) ùû ⋅ éë z 2 ( cos f2 + i sin f2 ) ùû =
8
= éë z1 ⋅ z 2 ùû ⋅ éë ( cos f1 + i sin f1 )( cos f2 + i sin f2 ) ùû = é z1 ⋅ z 2 ù ⋅ é ( cos f1 cos f2 - sin f1 sin f2 ) + i ( cos f1 sin f2 + sin f1 cos f2 ) ù =
û
ë
û ë
= éë z1 ⋅ z 2 ùû ⋅ éë cos(f1 + f2 ) + i sin(f2 + f2 ) ùû .
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если z 2 = z 2 ( cos f2 + i sin f2 ) , то z 2 = z 2 ( cos f2 - i sin f2 ) = z 2 ( cos(-f2 ) + i(- sin f2 ) ) , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому | z | ⋅ | z 2 | ( cos(f1 - f2 ) + i sin(f1 - f2 ) )
z1
z ⋅z
= 1 2 = 1
= z2
z2 ⋅ z2
| z2 | ⋅ | z2 |
| z1 |
( cos(f1 - f2 ) + i sin(f1 - f2 ) ) . Вывод: при делении комплексных чисел | z2 |
их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. 1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции e x = 1 + x +
x2
÷ x3
xn
+
+ ... +
+ ... сходится к функции при n!
2!
3!
любом действительном х. Формально запишем это разложение для x  if : e if = 1 + if +
(if)2 (if)3 (if)4 (if)5
(if)n
... +
+
+
+
+ ... 2!
3!
4!
5!
n!
Степени числа i : i 2 = -1; i 3 = i 2 ⋅ i = -i; i 4 = i 2 ⋅ i 2 = 1; i 5 = i 4 ⋅ i = i; 9
i 6 = i 2 = -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней e
if
это тоже справедливо. Поэтому n
f 2 if 3 f 4 i f 5 f 6
n f
= 1 + if +
+
- ... + i
+ ... =
n!
2!
3!
4!
5!
6!
æ
ö÷
æ
ö
f2 f 4 f 6
f3 f5 f7
ç
ç
= çç 1 +
+ ... ÷÷ + i çç f +
+ ... ÷÷÷ . В круглых скобках ÷ø
çè
çè
2!
4 ! 6!
3!
5! 7 !
ø÷
стоят ряды для cos  и sin f , которые сходятся для любого действительного f ; поэтому получаем e if = cos f + i sin f . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число z можно представить как z = z e i ⋅Arg z = z e i ⋅arg z = z e i ⋅f . Эта форма записи называется показательной. z1 ⋅ z 2 = êé z1 ⋅ e if1 úù ⋅ êé z 2 ⋅ e if2 úù = éë z1 ⋅ z 2 ùû ⋅ e i(f2 +f2 ) = ë
û ë
û
= éë z1 ⋅ z 2 ùû ⋅ éë cos(f1 + f2 ) + i sin(f2 + f2 ) ùû z1 ⋅ e if1
z1
| z1 | i(f1 -f2 ) | z1 |
=
=
e
=
( cos(f1 - f2 ) + i sin(f1 - f2 ) ) . if2
z2
z
z
|
|
|
|
z2 ⋅ e
2
2
Индукцией по показателю степени n доказывается формула Муавра: если z = z ( cos f + i sin f ) , то z n = z
показательной форме, z n = z
n
n
( cos nf + i sin nf )
, или, в ⋅ e inf . С помощью этой формулы вычисляются высокие степени комплексных чисел и выводятся формулы для синусов и косинусов кратных углов: 10
20
20
æ 1 + i 3 ö÷
æ 2(cos(p / 3) + i sin(p / 3) ö÷
çç
÷÷ = çç
÷÷ = èçç 2(cos(-p / 4) + i sin(-p / 4) ø÷
èçç 1 - i ø÷
=
220 e i ⋅20p /3
210 e i ⋅(-5p)
10 e
=2
i ⋅(6 p + 2 p /3)
e i ⋅p
æ 1
e i ⋅2p /3
3 ö÷
÷ = = 1024
= -1024 ççç - + i
çè 2
2 ÷÷ø
-1
512(1 - i 3) . Рассмотрим операцию извлечения корня n ‐ой степени из комплексного числа z . По определению, любое число w , такое, что w n = z , называется корнем n
‐ой степени из числа z
. Пусть z = z ( cosArg z + i sinArg z ) , w  w cos arg w  i sin arg w  . Тогда wn = w
n
( cos n arg w + i sin n arg w ) = z ( cos Arg z + i sinArg z )
равны, если равны их модули и аргументы, поэтому w
n arg w = Arg z , откуда w =
n
z , arg w =
. Числа n
= z , 1
1
Arg z = (arg z + 2k p) , при n
n
этом n различных значения корня n ‐ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, ..., n - 1 . 5
Пример 1.3.1. Найти все значения 1 - 3i . ·
Число z = 1 - 3i
в ( ( p3 ) + i sin ( - p3 )) . z = 2 cos -
тригонометрической форме равно Все пять значений корня даются при 11
k = 0, 1, 2, 3, 4 формулой zk =
5
( (
2 cos -
)
(
p
2pk
p
2pk
+
+ i sin - +
15
5
15
5
)) . Они расположены на окружности радиуса 5 2 . Значение, соответствующее k = 0 , имеет аргумент (-p / 3) : 5 = -p / 15 , остальные расположены с интервалом по f , равным 2p / 5 , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность. 1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости Z рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат x, h, V , такую, что оси x, h совпадают с осями х, у, а ось V им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра x 2 + h 2 + V 2 = V , касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке z (x , y ) = x + iy Î C поставим в соответствие точку Z (x, h, V ) сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие z « Z взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой ‐ северным полюсом N. Такое соответствие z « Z называется стереографической проекцией. Пополним комплексную плоскость С новым объектом ‐ бесконечно 12
удалённой точкой z = ¥ , которую будем считать образом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать C . Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка z = ¥ рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности { zn } комплексных чисел таких, что | zn |  ¥ , n ¥
независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат. 1.5. Задание кривых и линий на комплексной плоскости. 1. | z - z 0 |= R ‐ уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0. 2. | z - z 0 |£ R ‐ замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу. 3. | z - z 0 |> R ‐ открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область. 4. | z - z1 | + | z - z 2 |= 2a ‐ эллипс, построенный на z1 точках и z2, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая ‐ | z1 - z 2 |2
) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, a 4
2
описываются соответствующими неравенствами. 13
5. ar g z = a ‐ луч, выходящий из точки z = 0 под углом a к оси Ох. arg(z - z 0 ) = a ‐ луч, выходящий из точки z 0 под углом a к оси Ох. a £ arg(z - z 0 ) £ b ‐ область, расположенная между лучами, выходящими из точки z 0 (рис. 3.). 6. | z - z1 | - | z - z 2 | = 2a ‐ гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние между фокусами 2с= | z1 - z 2 | , между вершинами 2а (рис.2). Уравнение | z - z1 | - | z - z 2 |= 2a даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z2; неравенство | z - z 2 | - | z - z1 |> 2a ‐ открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы. у
у у z1
α
2a
х Рис. 1. β
2a
z2
z0
х
z2
Рис. 2. х
Рис. 3 7. Re z = a (или x = a ) ‐ прямая, параллельная оси Оу. Re z ³ a ‐ область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую); Re z < a ‐ 14
область слева от прямой (прямая не включена в область). Im z = b (или y = b) ‐ прямая параллельная оси Ох; Im z ³ b , Im z < b ‐ области, расположенные выше и ниже этой прямой. Постановка задачи. Определить вид кривой, заданной уравнением z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) , t Î ( -¥, +¥ ) , где x ( t ) = Re z (t ) и y(t ) = Im z (t ). План решения. ‐‐ Составляем параметрические уравнения кривой ïìï x = x ( t ),
í
ïï y = y ( t )
î
t Î ( -¥, +¥ ) . ‐‐ Исключаем параметр t из параметрических уравнений и получаем уравнение кривой в виде F (x , y ) = 0 . ‐‐ Используя канонические формы уравнений кривых, определяем вид искомой кривой. ‐‐ Находим области значений x (t ) и y(t ) и выясняем, какая часть кривой определяется исходным уравнением. При исключении параметра t используют формулы: 15
1 + tg 2t =
1
cos2 t
, ctg 2t + 1 =
cth 2t - 1 =
1
2
sh t
1
sin2 t
, 1 - th 2t =
1
ch 2t
, , ch 2t - sh 2t = 1 Пример 1.5.1. Определить вид кривой, заданной уравнением z ( t ) = t 2 - 2t + 3 + i ( t 2 - 2t + 1 ) , t Î ( -¥, +¥ ) . ìï x = t 2 - 2t + 3,
· Составляем параметрические уравнения кривой ï
í
ïï y = t 2 - 2t + 1,
ïî
t Î ( -¥, +¥ ) . Исключаем параметр t из этих уравнений. Получаем: y = x - 2 . Данное уравнении определяет прямую на плоскости. Так как x = t 2 - 2t + 3 ³ 0 и y = t 2 - 2t + 1 ³ 0 , то исходное уравнение определяет часть прямой, лежащую в первой четверти. Пример 1.5.2. Определить вид кривой, заданной уравнением z = t 2 + 4t + 2 + i ( t 2 + 4t - 7 ) . ìï x = t 2 + 4t + 2,
· Составляем параметрические уравнения ï
. í
ïï y = t 2 + 4t - 7
ïî
ìï x - 2 = t 2 + 4t,
. Получаем: x - 2 = y + 7 , y = x - 9 . Получили Тогда ï
í
ïï y + 7 = t 2 + 4t
ïî
16
уравнение прямой. Пример 1.5.3. Определить вид кривой: z = 2e it +
·
Преобразуем z = 2 ( cos t + i sin t ) +
1
3e it
выражение . для z
: 1
7
5
( cos t - i sin t ) = cos t + i sin t . 3
3
3
ìï
ïï x = 7 cos t,
æ 3 ö÷2 æ 3 ö÷2
2
2
ï
3
Тогда í
. И так как cos t + sin t = 1 , то çç x ÷ + çç y ÷ = 1 . ïï
5
èç 7 ÷ø
èç 5 ø÷
sin
y
=
t
ïï
î
3
Получили уравнение: 9 2
9
x + y 2 = 1 . 49
25
Пример 1.5.4. Определить вид кривой: z = cth 2t +
3i
. sh 2t
ìcth 2t = x ,
ï
ï
y2
2
ï
· Так как í 1
y , то x - 1 = . Таким образом, получили гиперболу ï
9
=
ï
ï sh 2t
î
3
y2
x = 1 . 9
2
1.6. Окрестности точек плоскости C . Под e ‐ окрестность точки z 0 Î C понимается открытый круг радиуса e с центром в точке z 0 : U (z 0, e) = {z || z - z 0 |< e} . Проколотая окрестность точки z 0 Î C ‐ любая ее окрестность, из которой исключена сама точка z0
: 17
0
U (z 0, e) = {z |0 <| z - z 0 |< e} . e ‐ окрестность несобственной точки z 0 = ¥ ‐ это внешность круга радиуса e с центром в начале координат (включающая саму точку z 0 = ¥ ): U (¥, e) = {z Î C || z |> e} . Проколотая 0
e ‐ окрестность точки z 0 = ¥ ‐ множество U (¥, e) = {z Î C || z |> e} . Упражнения 1.1. Найти все значения корня из комплексного числа 1.1.1. 3 1 1.1.6. -2 + 2 3i 1.1.2. 3 i 1.1.7. 4 -8 - 8 3i 1.1.3. 4 -4 1.1.8. 6 1 1.1.4. 3 -1 1.1.9. 6 -27 1.1.5. 2 + 2 3i 1.1.10. -2 - 2 3i 18
1.2. Вычертить область, заданную неравенствами: 1.2.14. z - 1 - i £ 2, Im z > 1, 1.2.1. z + i £ 2 , z - i > 2 1.2.2.
z + 1 < 1, 1.2.3. 0 < arg z <
1.2.4. Re z ³ 1 z - i £ 1 z < 2,
Re z ³ 1, p
4
Im z ³ 0, Re z < 1 p
4
arg z £
p
4
1.2.7. z - 1 - i £ 2, Im z > 1, Re z ³ 1 p
4
1.2.17. 1 £ z - i < 2, Im z > 1, 1.2.9. z - i £ 1, 0 < arg z <
1.2.18. z + i > 1, -
1.2.19. z - i £ 1, 0 < arg z <
p
4
1.2.11. z - 1 £ 1, z + 1 > 2 z - 2 - i £ 2, Re z ³ 3, Im z < 1 1.2.22. -
1.2.13. z - i £ 2, Re z > 1 p
4
1.2.20. z - 1 + i ³ 1, Im z £ 1, 1.2.21. z + i < 2, 0 < Re z £ 1 1.2.12. z + i ³ 1, z < 2 p
£ arg z < 0 4
Re z < 1 1.2.8. z - 1 £ 1, z + 1 > 2 arg z £
Re z £ 0 1.2.5. z - i £ 1, 0 < arg z <
1.2.10.
Im z < 1 1.2.16. z - 1 + i < 1, 1 < z - 1 £ 2,
1.2.6. z - 1 + i < 1, 1.2.15. z - 2 - i £ 2, Re z ³ 3, z < 2, p
p
£ arg(z - 1) £ 4
4
1.2.23. z + 1 ³ 1, z + i < 1 1.2.24. 1 < z - 1 £ 2, Im z ³ 0, Re z < 1 1.2.25 z - 1 - i ³ 1, 0 £ Re z < 2, 0 < Im z £ 2 19
1.3. Определить вид кривой, заданной уравнениями: 1.3.1. z ( t ) = t 3 - i ( t 3 + 16 ) 1.3.6. z ( t ) = t - 2 + i(t 2 - 4t + 5) 1.3.2. e -it
1.3.7. z ( t ) = 2e +
2
z ( t ) = 2t 2 + 2t + 1 - i ( t 2 + t + 4 ) it
1.3.3. 20
z ( t ) = t 2 + 2t + 5 + i ( t 2 + 2t + 1 ) 1.3.8. z ( t ) = -2e it + e -it 1.3.4. z (t ) = 2ch 3t - 3i⋅ sh 3t e -it
1.3.9. z ( t ) = 3e 2
1.3.5. z (t ) = th 5t +
5i
ch 5t
it
1.3.10. z (t ) = 3tgt + i ⋅ sec t 2. Функция комплексной переменной. 2.1. Формально определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области. Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = { z | z = x + iy } и W = { w | w = u + iv } . Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z Î D определённое комплексное число w Î W . В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f (z ) (или определено отображение f : z  w ). Область D называется областью определения функции, множество w Î W | w = f (z ), z Î D ‐ множеством значений функции (или образом области D при отображении f. 21
Если каждому z Î D ставится в соответствие несколько значений w Î W (т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f (z ) называется многозначной. v
С D G z W w
х u Функция w = f (z ) называется однолистной в области D Ì C , если она взаимно однозначно отображает область D на область G Ì W (т.е. каждая точка z Î D имеет единственный образ w Î G , и обратно, каждая точка w Î G имеет единственный прообраз z Î D . 2.2. Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как w = u + iv, z = x + iy , то зависимость w = f (z ) можно записать в виде u ( x , y ) + iv ( x , y ) = f (x + iy ) = f (x , y ) . Таким образом, задание комплекснозначной функции w = f (z ) комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u = u(x , y ), v = v(x , y ) двух действительных переменных х, у. 22
Примеры 2.2.1. Выделить действительную и мнимую части функции w = z 3 . · Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy )3 = x 3 + 3x 2 ⋅ iy + 3x ⋅ i 2y 2 + i 3y 3 = = x 3 + 3ix 2y - 3xy 2 - iy 3 = ( x 3 - 3xy 2 ) + i ( 3x 2y - y 3 ) = u + iv  3
2
ì
ï
ï u(x , y ) = x - 3xy , í
ï
v(x , y ) = 3x 2y - y 3.
ï
ï
î
Примеры 2.1.2. Выделить действительную и мнимую части функции w = e z . ·
Здесь z
u + iv = e = e
x +iy
x
= e ⋅e
iy
ìï u(x , y ) = e x cos y,
= e (cos y + i sin y )  ïí
ïï v(x , y ) = e x sin y.
ïî
x
2.3. Геометрическая иллюстрация ФКП. Примеры. 1. Степенная функция w = z 2 . Рассмотрим эту функцию в верхней полуплоскости w + = {z | x = Re z > 0} . 
2   2
 
5
 
6
3

у   3
 
С
 
2
3
v  

3
W

6

u

1 2 3 х
1 4  
4
3
9
 
5
3
23
В 2
форме w = z 2 = ( {z | ⋅e i arg z ) =| z |2 ⋅e 2i arg z
показательной . Следовательно, полуокружность {| z |= r , 0 < arg z < p} переходит в окружность с точкой {| w |= r 2, 0 < arg w < 2p} , выколотой луч {0 <| z |< ¥, arg z = f0 } ‐ в луч {0 <| w |< ¥, arg z = 2f0 } . Вся верхняя полуплоскость С+ перейдёт в плоскость W с выброшенной положительной полуосью. Представим это отображение в декартовых координатах. Так как w = z 2 = (x + iy )2 = x 2 - y 2 + 2ixy, то u(x , y ) = x 2 - y 2 , v(x , y ) = 2xy . Найдём образы координатных линий. Прямая y = y 0 перейдёт в кривую, параметрические уравнения которой u = x 2 - y 02 , v = 2xy 0 (х ‐ параметр). С у v
2
0 4
3
W
1
2
1
‐2 ‐1
1 2
х
u
0
‐1
1
24
‐2
4
3 2
Исключая х, получим уравнение параболы u =
v2
4y 02
- y 02 . Луч {x = x 0, 0 < y < ¥} перейдёт в u = x 02 - y 2, v = 2x 0y (параметр y>0). Исключая у, получим ветвь параболы u =
x 02
-
v2
4x 02
. Из v = 2x 0y следует, что v сохраняет знак x 0 , поэтому это будет верхняя ветвь при x 0 >0, и нижняя при x 0 <0. Луч x 0 =0 перейдет в луч u < 0, v = 0 . Пример 2.3.1. Пусть z1 = 1 + i, z 2 = 2 + i, z 3 = 1 + 2i . Найти образ треугольника z1z 2z 3 при отображении w = z 2 . ·
w1 = z12 = (1 + i )2 = 1 + 2i - 1 = 2i;
w2 = z 22 = (2 + i )2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i; w 3 = z 32 = (1 + 2i )2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i . 25
Сторона z1z 2 является частью прямой y = y 0 = 1 . Эта прямая отображается в параболу u =
v2
- y 02
2
4y 0
v2
=
- 1 . Нам нужна часть этой параболы между 4
точками w1 и w2 . Сторона z1z 3 является частью прямой x = x 0 = 1 , отображаемой в параболу u = x 02 -
v2
4x 02
= 1-
v2
; берём участок этой 4
параболы между точками w1 и w 3 . Сторона z 2z 3 лежит на прямой х+у=3; ìï x + y = 3,
ïï
2
2
уравнение образа этой прямой получим, исключив из системы ï
íu = x - y , ïï
ïïî v = 2xy,
переменные х и у: y = 3 - x , u = x 2 - (3 - x )2 = 6x - 9  x =
u +9
 6
u + 9 æç
u + 9 ö÷ 9 u 2
v = 2⋅
÷ = - . Участок этой параболы между точками ç3 6 çè
6 ÷ø 2 18
w2 и w 3 и даст образ стороны z 2z 3 . Изображение треугольника построено. Легко убедиться, что область, ограниченная этим треугольником, переходит во внутренность криволинейного треугольника w1w2w 3 (для этого достаточно найти, например, образ одной точки этой области). 2. Более общая степенная функция w = z n , где n ‐ натуральное число, действует аналогично функции w = z 2 . Так как z n =| z |n ⋅e i ⋅n arg z , то это отображение увеличивает в n раз все углы с вершиной в точке z = 0 . Любые 26
две точки z1 и z 2 с одинаковыми модулями и аргументами, отличающимися на число, кратное "склеиваются" 2p
(и только они), переходят в одну точку w, т.е. n
при отображении. Следовательно, отображение неоднолистно ни в какой области, содержащей такие точки. Пример области, ì
2p üïï
ï
в которой это отображение однолистно ‐ сектор D = ï
í z | 0 < arg z <
ý . ï
ïïþ
n
ï
î
Этот сектор преобразуется в область G = { w | 0 < arg z < 2p } , т.е. в плоскость W с выброшенной положительной полуосью. Любая область, заключенная в секторе раствора меньше 3. Функция w 
2p
, однолистно отображается в W. n
1
. z
Функция определена во всех точках комплексной плоскости, за исключением z  0 . Полагая w   при z  0 и w  0 при z   , распространим эту функцию на всю комплексную плоскость. Так как из z1  z2 следует, что 1 1
1

, то взаимно однозначно отображает z1 z2
z
комплексную плоскость на себя. Представим w и z в показательной форме: w  Re
i
, z  re
i
. Получим 1
w  Rei  e i
r
. Отображение 1

M  r ,   N  ,   разбивается на два. Сначала точка M  r ,  переходит в r

27
1 
точку P  ,  . Так как при этом обе точки лежат на одном луче, выходящем r 
1
из начала координат, их модули связаны соотношением r   1 , то данное r
преобразование является инверсией относительно окружности с центром  0,0  и радиусом 1 . Последнее преобразование, переводящее точку 1 
P  ,  в r 
1

точку N  ,   r

является действительной оси. Отображение w 
симметрией относительно 1
переводит: z
‐ окружности, не проходящие через 0, в окружности, не проходящие через 0; ‐ окружности, проходящие через 0, в прямые, не проходящие через 0; ‐ прямые, не проходящие через 0, в окружности, проходящие через 0; ‐ прямые, не проходящие через 0, в прямые, не проходящие через 0. Пример 2.3.2. Найти образ прямой y  x  4 при отображении w 
1
. z
· Заменим в уравнении прямой x= z + z , y = z - z . Получим: 2
2i
z -z
z +z
- 4 = 0 , или z  z  i z  z  8  0 , 1  i  z  1  i  z  8  0 . 2i
2

z
1
w
, z
1
w
 
, то 
уравнение образа имеет вид: Так как 1  i 
1
1
 1  i   8  0 , 8ww  1  i  w  1  i  w  0 . Поскольку w  u  iv , w
w
28
w  u  iv , то 8  u 2  v 2   2u  2v  0 . Это уравнение окружности 2
2
2
1 
1  1 

u


v

. Нужно отметить, что образом прямой y  x  4 , 
 
 
8 
8   4 2 

не проходящей через точку 0, является окружность, проходящая через 0. 4. Дробно‐рациональная функция. Функции вида w 
az  b
, где a, b, c, d ‐ комплексные числа, причем cz  d
az  b a
 , x  cz  d
c
bc  ad  0 , c  0 называется дробно‐рациональной. Так как lim
limd
x 
c
az  b
az  b
  , то w 
можно распространить на всю комплексную cz  d
cz  d
плоскость. Если считать прямую окружностью бесконечно большого радиуса, то получаем, что при w 
az  b
совокупность прямых и окружностей на cz  d
плоскости переходит в себя. Дробно‐рациональная функция преображает окружность в окружность. Это так называемое круговое свойство. Внутренняя область отображаемой окружности переходит либо во внутреннюю, либо области образа. Пример 2.3.3. Найти область круга z  1 при отображении w 
1 z
. z
29
· Найдем сначала образ окружности z  1  x 2  y 2  1 . Для этого выделим действительную и мнимую части: x  y2  x2
y
w
i 2
2
2
x y
x  y2
. 
x  y2  x2
u  x, y   x 2  y 2 ,
u  x, y   1  x, u  x, y   1  x,

. Так как x 2  y 2  1 , то 
, 
, 
y

v
x
,
y
y
v
x
,
y
y










v  x , y  


2
2

x y
 u  1
2
 v 2  x 2  y 2  1. Окончательно получаем, w  1  1 . 2.4. Предел ФКП. Определение. Пусть функция w = f (z ) определена в проколотой окрестности точки z 0 = x 0 + iy 0 . Комплексное число w 0 = u0 + iv0 называется пределом функции при z  z 0 , если для любой e ‐окрестности 0
точки w 0 U (w 0, e) ( e >0) найдётся такая проколотая d ‐окрестность U (z 0, d) 0
точки z 0 , что для всех z Î U (z 0, d) значения f (z ) принадлежат U (w 0, e) . На языке e ‐ d определение предела ФКП формально совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: w 0 = lim f (z ) . z z 0
Существование предела функции комплексной переменной 30
равносильно существованию пределов двух действительных функций двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, w 0 | w 0 | (cos(arg w 0 )  i sin(arg w 0 ))  0
что , если то ìï $ lim | f (z ) |=| w 0 |,
ï z z 0
$ lim f (z ) = w 0  ïí
(для существования нулевого ï$
z z0
=
f
z
w
lim
arg(
(
))
arg(
)
0
ïï z z
î
0
предела достаточно, чтобы $ lim | f (z ) |= 0 ). z z0
2.5. Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f (z ) определена в окрестности точки z 0 = x 0 + iy 0 . Функция называется непрерывной в точке z 0 , если: 1. существует lim f (z ) ; 2. f (z 0 ) = lim f (z ) . z z 0
z z 0
Легко видеть, что w = f (z ) будет непрерывной в точке z 0 = x 0 + iy 0 тогда и только тогда, когда функции u(x , y ) и v(x , y ) непрерывны в точке (x 0, y 0 ) . Поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций. Упражнения 2.1. Для данных функций найти действительную и мнимую части: 31
2.1.14. e-iz 2.1.1. iz 2 (
)
2.1.2. Re ( z 2 ) + i Im ( z ) 2.1.15. iz 2.1.3. z ⋅ z - 1 2.1.16. z - 2.1.4. sh ( iz 2 ) 2.1.17. ln ( z 2 ) 2.1.5. tg z 2
1
z
2.1.18. 1
z
2
3
2.1.6. ( z ) + 2i - 1 2.1.7. z +1
z -i
2.1.19. z + z 2
2.1.20. ( z ) 2.1.8. i cos ( z - i ) 2.1.21. z 3 2.1.9. e1/z 2.1.22. cos z 2.1.10. zz 2.1.23. 2.1.11. sh ( z + i ) 2.1.12. i ⋅ ln z 1+i
z -i
2.1.24. z 2 - 2z + i 2.1.25. Re z + i Im z 2.1.13. sin ( 2z ) 32
2.2. Вычислить значения функции в указанных точках. Ответ записать в показательной, тригонометрической и алгебраической формах: 2.2.1. f (z ) = z 2 - 2z + i, z1 = -2 + 3i, z 2 = 4 - 3i 2.2.2. f (z ) = cos z , z1 = 2p - i, z 2 = 2pi 2.2.3. f (z ) = ln ( iz ), z1 = -1, z 2 = 1 p
2
p
2
2.2.4. f ( z ) = chz, z1 = i, z 2 = ln 3 + i 2.2.5. f (z ) = e z , z1 = 1 + i, z 2 = ln 2 - 10pi 1
2
2.2.6. f (z ) = z 7 , z1 = - i
3
, z2 =
2
7
æ
p
pö
2 çç cos + i sin ÷÷÷ çè
4
4ø
p
i
z
2.2.7. f (z ) = , z1 = 2 + 2i, z 2 = 2e 2 z
1
z
i
2
2.2.8. f ( z ) = - 2i, z1 = 1 - i, z 2 = 2.3. Для данных функций найти f (z ) и Arg f (z ) 33
2.3.1. z 2.3.2. z 3 2.3.3. z -5 2.3.4. z
2.3.5. z n z
3. Дифференцируемость функций комплексной переменной 3.1. Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f (z ) определена, однозначна в окрестности точки z = x + iy Î C . Производной функции w = f (z ) в точке z называется f (z + Dz ) - f (z )
Dw
dw
, если последний = lim
= f ¢(z ) =
Dz  0
Dz  0 Dz
dz
Dz
предел lim
существует. Функция, имеющая конечную производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке. В этом определении важно, что стремление Dz  0 может проходить по любому пути, сходящемуся к нулю. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f ¢(z ) не сводится к существованию частных производных функций u(x , y ) и v(x , y ) , а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия ‐ аналитичности функции в точке и в области. 34
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области. Примеры 3.1.1. f (z ) = z 2 . ·
В этом случае f (z + Dz ) = (z + Dz )2 = z 2 + 2z ⋅ Dz + (Dz )2 ; Dw = f (z + Dz ) - f (z ) = 2z ⋅ Dz + (Dz )2;
= lim ( 2z + Dz ) = 2z .
Dw
Dw
= 2z + Dz ; lim
=
Dz  0 Dz
Dz
Dz  0
Таким образом, эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z. Примеры 3.1.2. f ( z ) | z | 2  x 2  y 2 . · Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ¹ 0 . Будем стремить Dz  0
по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае z  х ), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае z  iy ). В первом случае Dw = ( (x + Dx )2 + y 2 ) - ( x 2 + y 2 ) = 2x ⋅ Dx + (Dx )2
Dw
Dw
Dw
=
= 2x + Dx ; lim
= 2x
Dz =Dx  0 Dz
Dz
Dx
. . Тогда при
Во z
 x втором 35
Dw = ( x 2 + (y + Dy )2 ) - ( x 2 + y 2 ) = 2y ⋅ Dy + (Dy )2 ;
Dw
Dw
1
=
= (2y + Dy ) = -i(2y + Dy );
Dz
iDy
i
Dw
= -2iy . Эти пределы равны, только если 2x = -2iy  lim
Dz =i Dy  0 Dz
 x  y  0 . Таким образом, функция f (z ) =| z |2 = x 2 + y 2 может быть дифференцируема в единственной точке z = 0 , во всех остальных точках Dw
различны в зависимости от способа стремления Dz
Dz  0 Dz
пределы lim
 0 , т.е. f ¢(z ) не существует. 3.2. Условия Коши‐Римана (Даламбера‐Эйлера). Для того, чтобы функция w = f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y )
была дифференцируема в точке z = x + iy , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x , y ) = Re f (z ) и v(x , y ) = Im f (z ) были дифференцируемы в точке ( x , y ) , и чтобы в этой точке выполнялись соотношения ¶u
¶v
=
,
¶x
¶y
¶u
¶v
= - . ¶y
¶x
Доказательство. Необходимость. В первом случае: Dw = ( u(x + Dx , y ) + iv(x + Dx , y ) ) - ( u(x , y ) + iv(x , y ) ) = 36
= ( u(x + Dx , y ) - u(x , y ) ) + i ( v(x + Dx , y ) - v(x , y ) ) = Dx u + iDx v;
Du
Dv
Dw
¶u
¶v
= lim x + i lim x =
+i
. Dz =Dx  0 Dx
Dx  0 Dx
Dx  0 Dx
¶x
¶x
lim
æ1
ö
Во втором случае: çç = -i ÷÷÷ çè i
ø
Dw = ( u(x , y + Dy ) + iv(x , y + Dy ) ) - ( u(x , y ) + iv(x , y ) ) =
= ( u(x , y + Dy ) - u(x , y ) ) + i ( v(x , y + Dy ) - v(x , y ) ) = Dyu + iDyv;
Du
Dv
Dw
¶u ¶v
. = -i lim y + lim y = -i
+
Dz =i Dy  0 i Dy
Dy  0 Dy
Dy  0 Dy
¶y ¶y
lim
Пределы должны быть равны, поэтому ¶u
¶v
¶u ¶v
¶u
¶v ¶v
¶u
+i
= -i
+

=
,
=. ¶x
¶x
¶y ¶y
¶x
¶y ¶x
¶y
Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x , y ), v(x , y ) дифференцируемы Du =
в точке (х,у), поэтому ¶u
¶u
¶v
¶v
Dx +
Dy + a(Dx , Dy ), Dv =
Dx +
Dy + b(Dx , Dy ),
¶x
¶y
¶x
¶y
где a(Dx , Dy ) , b(Dx , Dy ) ‐ бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с r
(
(Dx )2 + (Dy )2
)
, т.е. a(Dx , Dy )
=0
r0
r
lim
, b(Dx , Dy )
Dw
f (z + Dz ) - f (z )
= 0 . Найдём f ¢(z ) = lim
= lim
. r0
Dz  0 Dz
Dz  0
r
Dz
lim
37
Очевидно, Dw = ( u ( x + Dx , y + Dy ) + iv ( x + Dx , y + Dy ) ) - ( u ( x , y ) + iv ( x , y ) ) =
æ ¶u
ö
¶v
= Du + iDv = çç
Dx +
Dy + a ( Dx , Dy ) ÷÷÷ +
çè ¶x
¶y
ø
æ ¶v
ö æ ¶u
ö
æ ¶v
ö
¶v
¶u
¶v
+i çç Dx +
Dy + b(Dx , Dy ) ÷÷ = çç
Dx +
Dy ÷÷ + i çç Dx +
Dy ÷÷ +
÷ø èç ¶x
÷ø
÷ø
¶y
¶y
¶y
èç ¶x
èç ¶x
( a(Dx, Dy ) + i b(Dx, Dy ) ) Последнее слагаемое ‐ бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению Dz = Dx + iDy
с : | a(Dx , Dy ) + i b(Dx , Dy ) |
| a + ib |
|a|
|b|
= lim
£ lim
+ lim
=0
r0
r0
r0 r
r0 r
r
| Dx + iDy |
lim
; Используя формулы Коши‐Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим ¶u
¶y
на -
¶v
¶x
, ¶v
¶y
¶u
¶v
¶v
¶u
Dx Dy ) + i ( Dx +
Dy ) +
(
Dw
¶x
¶x
¶x
¶x
=
Dz
на ¶u
¶x
. Тогда ( a(Dx ,Dy )+i b (Dx ,Dy ) )
Dx + iDy
= ¶u
¶v
( Dx + i Dy ) + ( a + i b )
(Dx + i Dy ) + i
¶x
= ¶x
= Dx + iDy
38
=
( a + ib )
¶u
¶v
+i
+
¶x
¶x Dx + iDy
. Отсюда следует, что существует Dw
¶u
¶v
, т.е. функция дифференцируема в точке  x, y  . =
+i
Dz  0 Dz
¶x
¶x
f ¢(z ) = lim
Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул f ¢(z ) =
¶u
¶v
¶u
¶u
¶v
¶v
¶v
¶u
, +i
=
-i
=
+i
=
-i
¶x
¶x
¶x
¶y
¶y
¶x
¶y
¶y
эти равенства следуют из условий Коши‐Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного æ f ÷ö¢
f ¢g - fg ¢
анализа: (Cf )¢ = Cf ¢, ( f  g )¢ = f ¢  g ¢, ( fg )¢ = f ¢g + fg ¢, çç ÷÷ =
(в èç g ø
g2
точках, где g(z ) ¹ 0) . Постановка задачи. Исследовать аналитические свойства функции w = f (z ) и найти ее производную. План решения. ‐‐ Находим действительную и мнимую части. ‐‐ Находим соответствующие частные производные и делаем вывод о дифференцируемости функции. ‐‐ Проверяем выполнение условий Коши‐Римана и определяем, в каких точках функция дифференцируема и аналитична. 39
3.3. Примеры вычисления производных. Пример 3.3.1. Выше было доказано, что функция f (z ) = z 2 имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши‐Римана. Так как z 2 = (x + iy )2 = x 2 - y 2 + 2xyi
u = x 2 - y 2, v = 2xy,
Тогда f ¢(z ) =
,то ¶u
¶v ¶u
¶v
,
= 2x =
= -2y = - . ¶x
¶y ¶y
¶x
¶u
¶v
+i
= 2x + i ⋅ 2y = 2(x + iy ) = 2z . ¶x
¶x
Пример 3.3.2. Для функции u(x , y ) = e x cos y, v(x , y ) = e x sin y.
¶u
¶v
= -e x sin y = ¶y
¶x
f ¢(z ) =
, w = ez
Поэтому т.е. функция мы получили ¶u
¶v
, = e x cos y =
¶x
¶y
дифференцируема. ¶u
¶v
+i
= e x cos y + i ⋅ e x sin y = e x (cos y + i ⋅ sin y ) = ¶x
¶x
= e x ⋅ e iy = e x +iy = e z . Dw
Dz  0 Dz
3.4. Геометрический смысл производной. Равенство f ¢(z ) = lim
означает, что Dw = f ¢(z ) ⋅ Dz + g(Dz ) ⋅ Dz , где g(Dz )  0 . Отсюда, в Dz  0
40
частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать Dw » f ¢(z ) ⋅ Dz , пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f ¢(z ) ¹ 0 . Возьмём точки z и z + Dz ; пусть w = f (z ) , тогда Dw »| f ¢(z ) | ⋅e i arg f ¢(z ) ⋅ Dz . Таким образом, | Dw | в | f ¢(z ) | больше | Dz | , arg Dw больше arg Dz на arg f ¢(z ) для любого Dz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой f ¢(z ) ¹ 0 , отображение z  w = f (z ) действует следующим образом: любой вектор Dz растягивается в | f ¢(z ) | раз и поворачивается на угол arg f ¢(z ) . 3.5. Конформность дифференцируемого отображения. |Δz||f´(z)|
w+Δw у |Δz| v
z+Δz arg(Δz)+ argf́ (z) arg(Δz) z w
х
u 41
L1 v L2
L'2 L'1 у z w
θ1 L2
l2 θ2 L1 l1 х θ'1 θ'2 L'2 u l'1 l'2 L'1 Пусть через точку z проходят две гладкие кривые L1 и L2 , касательные l1 и l2 к которым образуют с осью Ох углы, соответственно, q1 и q2 . Образы этих кривых L1¢ и L2¢ при дифференцируемом отображении z  w = f (z ) имеют касательные l1¢ и l2¢ , образующие с действительной осью Ou углы q1¢ и q2¢ . Согласно предыдущему пункту, q1¢ = q1 + arg(f ¢(z )) , q2¢ = q2 + arg( f ¢(z )) , т.е. q2 - q1 = q2¢ - q1¢ . Таким образом, дифференцируемое отображение при f ¢(z ) ¹ 0 сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если q1 > q2 , то q1¢ > q2¢ ). Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называется конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на 42
противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция w = f (z ) осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Пример конформного отображения второго рода ‐ недифференцируемая функция w = z . 3.6. Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции. Дифференцируя первое соотношение Коши‐
Римана ¶u
¶v
¶v
¶u
по переменной х, второе соотношение по =
=¶x
¶y
¶x
¶y
¶2u
¶2v
¶2v
¶2u
¶2u
¶2u
,
=- 2 
+
= 0 , т.е. переменной у, получим 2 =
¶y ¶x ¶y ¶x
¶x
¶x
¶x 2 ¶x 2
Du = 0 ( D ‐ оператор Лапласа), т.е. u(x , y ) ‐ гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши‐Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим ¶2v
¶x
2
+
¶2v
¶y
2
= 0 , т.е. Dv = 0 , т.е. v(x , y ) ‐ тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши‐Римана, называется сопряжёнными функциями. Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области 43
D функции u(x , y ) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x , y ) , т.е. такая функция, что w = f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) ‐ аналитическая функция. И наоборот, для любой гармонической v(x , y ) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x , y ) . Пусть, например, дана функция u(x , y ) . Обозначим P (x, y ) = -
¶u
¶u
, Q(x , y ) =
. Эти функции удовлетворяют условию ¶y
¶x
¶Q
¶2u
¶2u
¶P
=
=
=
¶x
¶y
¶x 2
¶y 2
, т.е. векторное поле a(x , y ) = P (x , y ) ⋅ i + Q(x , y ) ⋅ j потенциально. Функцию v(x , y ) можно найти ìï ¶v
ïï
= P (x , y ),
ï
x
¶
теперь из системы í
(как это делается при решении уравнения ïï ¶v
ïï ¶y = Q(x , y );
î
в полных дифференциалах P (x , y ) ⋅ dx + Q(x , y ) ⋅ dy = 0 ), или, как потенциальную, для (x ,y )
v(x , y ) =
ò
поля (x ,y )
Pdx + Qdy =
(x 0 ,y 0 )
ò
(x 0 ,y 0 )
-
a = P ⋅i +Q ⋅ j
функцию ¶u
¶u
dx +
dy . ¶y
¶x
Постановка задачи. Найти аналитическую функцию, если заданы ее действительная часть (мнимая часть) и значение в некоторой точке z 0 . План решения. 44
‐‐ Находим частные производные функции u(x , y ) (или v(x , y ) ). ‐‐ Используя условия Коши‐Римана, находим v(x , y ) (или u(x , y ) ) с точностью до произвольной постоянной C . ‐‐ Записываем искомую функцию f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) + C и преобразуем полученное выражение к функции переменной z . Можно воспользоваться (
подстановкой x=
)
z +z
z -z
,y =
. 2
2i
Пример 3.6.1. Может ли функция v(x , y ) = e -y (x cos x - y sin x ) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f (z ) ? В случае положительного ответа найти функцию f (z ) . · Докажем, что v(x , y ) ‐ гармоническая функция. vx¢ = e -y (cos x - x sin x - y cos x );
¢¢ = e-y (- sin x - sin x - x cos x + y sin x ) =
vxx
= e -y (-2 sin x - x cos x + y sin x ); vy¢ = -e -y (x cos x - y sin x + sin x );
¢¢ =
vxx
e
-y
(x cos x - y sin x + sin x + sin x )
= e -y (x cos x - y sin x + 2 sin x );
¶2v
¶x 2
+
¶2v
¶y 2
=
= 0 , т.е. v(x , y ) ‐ гармоническая 45
функция и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции. Найдём эту функцию. Для действительной части u(x , y ) справедливы соотношения  u v
y
 x  y  e ( x cos x  y sin x  sin x ),


 u   v  e  y (cos x  x sin x  y cos x );
 y
x
u=
-e
-y
= -e -y ò x ⋅ d sin x - e -yy cos x + e -y cos x = -e -y x sin x + e -y ò sin xdx -e -y ⋅ y cos x + e -y cos x = -e -y (x sin x + y cos x ) + f(y )
f(y )
используем второе . -y
(x sin x + y cos x - cos x ) + f¢(y )
Для нахождения уравнение системы: ¶u
¶
( -e -y ( x sin x + y cos x ) + f ( y ) ) =
=
¶y
¶y
e
=
ò (x cos x -y sin x + sin x )dx
=
= -e -y (cos x - x sin x - y cos x )   f ¢(y ) = 0  f(y ) = C = const . Выпишем f ( z ) 
производную f ¢(z )
: u
v v
v
i

i
 e  y  ( x cos x  y sin x  sin x )  i (cos x  x sin x  y cos x ) 
x
x y
x
f ( z ) y 0; z  x   e  y  ( x cos x  y sin x  sin x )  i (cos x  x sin x  y cos x ) 
y  0; z  x

. = -z cos z - sin z + i(cos z - z sin z ) ; проинтегрировав это выражение, получим f (z ) . f (z ) = -ò z cos zdz - ò sin zdz + i ò cos zdz - i ò z sin zdz = 46
= -ò zd (sin z ) + cos z + i sin z + i ò zd (cos z ) =
= -z sin z + ò sin zdz + cos z + i sin z + iz cos z - i ò cos zdz = = -z sin z - cos z + cos z + i sin z + iz cos z - i sin z + C = = -z sin z + iz cos z + C = iz (cos z + i sin z ) + C = ize iz + C , где С – произвольная вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет действительной, если по условию задачи задана функция v(x , y ) , и с точностью до произвольной постоянной находится действительная часть u(x , y ) функции f (z ) ; если же задана функция u(x , y ) , то и с точностью до произвольной постоянной интегрирования находится мнимая часть v(x , y ) , т.е постоянная будет чисто мнимым числом Ci (произвольное вещественное число). Проверим полученный результат. Если f (z ) = ize iz + C , то f (z ) = (ix - y )e ix -y + C =
e -y (ix - y )(cos x + i sin x ) + C =
= ie -y x cos x - e -y x sin x - e -yy cos x - ie -yy sin x + C =
-y
=e -y (x sin x + y cos x ) + C + i ⋅ e
(x cos x - y sin x )

u (x ,y )
;
v (x ,y )
¶u
¶v
= -e -y (sin x + x cos x - y sin x ) =
,
¶x
¶y
¶u
¶v
= e -y (x sin x + y cos x - cos x ) = ; ¶y
¶x
47
условия Коши‐Римана выполнены, следовательно, функция f (z ) = ize iz + C ‐ аналитическая на всей комплексной плоскости функция. Упражнения 3.1.
Доказать аналитичность функции и найти ее производную: 3.1.1. f ( z ) = z 2 + 9 3.1.14. f ( z ) = z 2 + 9 3.1.2. f ( z ) = z 2 - (2 + i )z + 1 3.1.15. f ( z ) = z 2 - 2z + 2 3.1.3. f ( z ) = z 3 + 1 3.1.16. f ( z ) = z 2 + ( 2 + i ) z + 4 3.1.4. f ( z ) = 3z 2 - 2z + i 3.1.17. f ( z ) = z 2 + 3z + 4 3.1.5. f ( z ) = z 3 + 10 3.1.18. f ( z ) = z 3 + 10 3.1.6. w = z Re z 3.1.19. f ( z ) = z 2 + 3z + 2 3.1.7. f ( z ) = z 2 - 2z + 1 3.1.20. f (z ) = z 3 - 2z 3.1.8. f ( z ) = z 2 - iz 3.1.9. f ( z ) = 2z 3 + iz - 1 3.1.21. f ( z ) = z 2 - ( 2 + i ) z + 1 3.1.22. f ( z ) = z 3 + z 3.1.10. f ( z ) = z 3 + 2z 3.1.23. f ( z ) = z 3 + 2z 3.1.11. w = z 2 - iz + 2 3.1.24. f ( z ) = z 2 - 2z + 1 3.1.12. w = z 2 ⋅ z 3.1.25. f ( z ) = z 2 + 3z + 2 3.1.13. w = z 2 - iz + 2 48
3.2. Восстановить аналитическую в окрестности точки z функцию f ( z ) по известной мнимой или действительной части и значению f ( 0 ). 3.2.1. z =1, u ( x , y ) =
x
x 2 + y2
, f ( 1 ) = 1 + i. 3.2.2. z = 0 , v ( x , y ) = e -y sin x + y , f ( 0 ) = 1. 3.2.3. z = 0 , v ( x , y ) = e -y sin x , f ( 0 ) = 1. 3.2.4. z = 0 , v ( x , y ) = 3x 2y - y 3 , f ( 0 ) = 1. 3.2.5. z =0 , u ( x , y ) = y + 2xy , f ( 0 ) = 0. 3.2.6. z = 0 , v ( x , y ) = e -y sin x , f ( 0 ) = 1. 3.2.7. z =0, u ( x , y ) = 1 - sin y ⋅ e x , f ( 0 ) = 1 + i. 3.2.8. z = 0 , v ( x , y ) = e -y sin x + y , f ( 0 ) = 1. 3.2.9. z = 0 , v ( x , y ) =
e 2x - 1
ex
⋅ sin y , f ( 0 ) = 2. 3.2.10. z =0, u ( x , y ) = e x ( x cos y - y sin y ) , f ( 0 ) = 0. 3.2.11. z =0, v ( x , y ) = 2xy + 2x , f ( 0 ) = 0. 3.2.12. z =0, u ( x , y ) = x 2 - y 2 - 2y , f ( 0 ) = 0. 3.2.13. z = 0 , u ( x , y ) = -2xy - 2y , f ( 0 ) = i. 3.2.14. z = 0 , v ( x , y ) =
3.2.15. z = 0 , u ( x , y ) =
e 2x - 1
ex
e 2x +1
ex
⋅ sin y , f ( 0 ) = 2. cos y , f ( 0 ) = 2. 3.2.16. z = 0 , v = e x ( y cos y + x cos y ) , f ( 0 ) = 0. 49
3.2.17. z = 0 , v ( x , y ) = x 2 - y 2 + 2x + 1 , f ( 0 ) = i. 3.2.18. z = 1 , v ( x , y ) = y -
y
x 2 + y2
, f ( 1 ) = 2 . 3.2.19. z = 0 , u ( x , y ) = x 2 - y 2 + x , f ( 0 ) = 0. 3.2.20. z =0, v = e x cos y , f ( 0 ) = 1 + i. 3.2.21. z = 0 , v ( x , y ) = e x ( y cos y + x cos y ) , f ( 0 ) = 0. 3.2.22. z = 0 , v ( x , y ) = 3x 2y - y 3 , f ( 0 ) = 1. 3.2.23. z =0, v ( x , y ) = 2xy + y , f ( 0 ) = 0. 3.2.24. z = 0 , u ( x , y ) = e -y cos x , f (0) = 1. 3.2.25. z =0, v ( x , y ) = 2xy + 2x , f ( 0 ) = 0. 4. Ряды с комплексными членами. 4.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая. 4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z 2, z 3,..., zn ,... . Действительную часть числа z n
zn = an + ibn ,
будем обозначать an
, мнимую ‐ bn
(т.е. n = 1, 2, 3, ....) . 50
¥
Числовой ряд ‐ запись вида z1 + z 2 + z 3 + ... + z n + ... =
S1 = z1,
Частичные S 2 = z 1 + z 2,
å zn . n =1
суммы S 3 = z 1 + z 2 + z 3,
ряда: S 4 = z1 + z 2 + z 3 + z 4,...,
Sn = z1 + z 2 + z 3 + ... + z n ,... Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при n  ¥ , являющийся комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут ¥
S = z1 + z 2 + z 3 + ... + zn + ... или S =
å zn . Если частичная сумма ряда ) n =1
при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся. Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: Sn = z1 + z 2 + z 3 + ... + z n = = (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) + (a 3 + ib3 ) + ... + (an + ibn ) = = (a1 + a2 + a 3 + ... + an ) + i(b1 + b2 + b3 + ... + bn ) = sn + i tn , где символами sn и tn обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными 51
членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. ¥
Пример 4.1.1.1. Исследовать на сходимость ряд å
e
n =1
·
e
i
Выпишем p
2
= i, e
i
2p
2
несколько = -1, e
периодически 1
-
2
1
1
-
1
+
4
1
3
+
6
1
5
3p
2
= -i, e
i
4p
2
повторяются. 1
-
i
-
1
+
8
1
7
значений = 1, e
i
5p
2
Ряд + ... + (-1)n
+ ... + (-1)n +1
= i, e
из 1
2n
i
np
2
n
. выражения i
6p
2
e
i
np
2
: = -1, дальше значения действительных частей: + ... ; ряд из мнимых частей 1
2n - 1
+ ... ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится. ¥
4.1.2. Абсолютная сходимость.Определение. Ряд å zn называется n =1
¥
абсолютно сходящимся, если сходится ряд ¥
å | zn | = å
n =1
n =1
an2 + bn2 , составленный из абсолютных величин его членов. Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными ¥
членами, можно доказать, что если сходится ряд å | z n |, то обязательно n =1
52
¥
¥
¥
n =1
n =1
n =1
сходится ряд å z n . Если ряд å z n сходится, а ряд å | z n | расходится, то ¥
ряд å zn называется условно сходящимся. n =1
¥
Ряд å | zn | ‐ ряд с неотрицательными членами, поэтому для n =1
исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши). ¥
Пример 4.1.2.1. Исследовать на сходимость ряд å
(2 + 3i )n
2n
n =1 (3 - i )
·
Составим ряд . из модулей ¥
( | 2 + 3i |=
2
2
2 +3 =
13, | 3 - i |=
2
2
3 + (-1) =
10 ): å
n =1
ряд сходится (признак Коши q = lim
n ¥
n
13n /2
10n
=
13n /2
10n
. Этот 13
< 1 ), поэтому 10
исходный ряд сходится абсолютно. 4.1.3. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами: Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при n  ¥ . 53
¥
Если сходится ряд å z n , то сходится любой его остаток, Обратно, n =0
если сходится какой‐нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n‐го члена стремится к нулю при n  ¥ . Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с. Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна SA  SB . Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. 4.2. Степенные комплексные ряды. Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд ¥
вида å an (z - z 0 )n = n =0
a 0 + a1(z - z 0 ) + a2(z - z 0 )2 + a 3 (z - z 0 )3 + ... + an (z - z 0 )n + ..
,
где
a 0, a1, a2, a 3,..., an ,... - постоянные комплексные
z1
у
числа (коэффициенты ряда), z 0 - фиксированное
z0 z2
54
х
комплексное
число (центр круга сходимости). Для любого численного
значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами,
сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка
называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере
одну точку сходимости - точку z 0 . Совокупность точек сходимости
называется областью сходимости ряда. Как и для степенного ряда с действительными
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z1 ¹ z 0 , то он абсолютно сходится в любой точке круга z - z 0 < z1 - z 0 ; если этот ряд расходится в точке z 2 , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству z - z 0 > z 2 - z 0 (т.е. находящейся дальше от точки z 0 , чем z 2 ). Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке z 0 , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг ‐ кругом сходимости. В точках границы этого круга ‐ окружности | z - z 0 |= R радиуса R с центром в точке z 0 ‐ ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ¥
ряд из модулей имеет вид å | an | ⋅Rn . Возможны такие случаи: n =1
55
¥
1. Ряд å | an | ⋅Rn сходится. В этом случае в любой точке окружности n =1
| z - z 0 |= R ряд сходится абсолютно. ¥
2. Ряд å | an | ⋅Rn расходится, но его общий член | an | ⋅Rn  0 . В n ¥
n =1
этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других ‐ расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования. ¥
3. Ряд å | an | ⋅Rn
n =1
расходится, и его общий член | an | ⋅Rn не стремится к нулю при n  ¥ . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности. ¥
Пример 4.2.1. å (-1)
(z - 4 + 5i )n
n
n =1
n
2
6 ⋅n ⋅ n +1
¥
·
Ряд q = lim
из модулей: | z - 4 + 5i |n +1
⋅
| z - 4 + 5i |n
å
n
n =1 6
6n
. ⋅
2
⋅n ⋅ n +1
n ⋅ n2 + 1
. Признак =
Даламбера: | z - 4 + 5i |
<1
6
6n +1 (n + 1) ⋅ (n + 1)2 + 1
| z - 4 + 5i |< 6 = R . Радиус и круг сходимости определены. На границе n ¥
| z - 4 + 5i |n
круга сходимости ‐ окружности | z - 4 + 5i |= 6 ‐ ряд из модулей 56
¥
¥
6n
å
n
n =1 6
⋅ n ⋅ n2 + 1
=
å
n =0 n
1
⋅ n2 + 1
сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности. æ n ö÷n
Пример 4.2.2. å çç
÷÷ ⋅ (z + 6 - 7i )n . èç 4n + 5 ø
¥
n =0
·

Ряд q = lim
n ¥
из n
n
 n 
  4n  5   | z  6  7i |n
n0
модулей: . Признак Коши: æ n ö÷n
æ n ÷ö
çç
÷÷ ⋅ | z + 6 - 7i |n = lim çç
÷⋅ | z + 6 - 7i |= çè 4n + 5 ø
ç 4n + 5 ÷ø
n ¥ è
| z + 6 - 7i |
< 1 | z + 6 - 7i |< 4 = R . На границе круга ряд из модулей 4
æ n ÷ön n
å ççèç 4n + 5 ÷÷ø ⋅ 4 =
¥
имеет вид n =0
n
æ
5 ö÷
ç
= å ç1 ÷
çè
4n + 5 ÷ø
æ 4n ÷ön
ç
å ççè 4n + 5 ÷÷ø =
n =0
¥
æ 4n + 5 - 5 ÷ön
ç
å ççè 4n + 5 ÷÷ø = n =0
¥
¥
. Предел общего члена n =0
(
5
lim 14n + 5
n ¥
n
)
=
æ
ö÷5
lim çç 1 ÷
ç
n ¥ è
4n + 5 ÷ø
4n + 5 -5n
⋅
5 4n + 5
=e
-
5
4
¹0
, поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности. ¥
Пример 4.2.3. å (-1)n
n =2
(z + 6 - 7i )n
. n ⋅ ln n
57
¥
·
Ряд q = lim
n ¥
из модулей: | z + 6 - 7i |n +1
| z + 6 - 7i |n
⋅
| z + 6 - 7i |n
å n ⋅ ln n
n =2
. Признак Даламбера: n ⋅ ln n
=| z + 6 - 7i |< 1 = R
(n + 1) ⋅ ln(n + 1)
¥
границе круга сходимости ряд из модулей 1
å n ⋅ ln n
. На расходится n =2
(интегральный признак Коши), однако общий член 1
 0 , поэтому в n ⋅ ln n n ¥
различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке ¥
(-1)n
z = -5 + 7i   z + 6 - 7i = 1 ряд имеет вид å
и, как ряд ⋅
ln
n
n
n =2
Лейбница, сходится условно; в точке z = -7(1 - i )  z + 6 - 7i = -1 ряд ¥
(-1)n
имеет вид å (-1) ⋅
=
n ⋅ ln n
n =2
n
¥
1
å n ⋅ ln n , следовательно, расходится. n =2
5. Элементарные функции комплексной переменной. 5.1. Степенная функция w = z n , n ‐ натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n=1 w  x  iy , u  x , v  y , ux  1  v y , u y  0  v x 
непосредственно, w = z n = z ⋅ z ... ⋅ z
 w ¢ = ux¢ + ivx¢ = 1 (или, Dw
Dz
= lim
=1
Dz  0 Dz
Dz  0 Dz
w ¢ = lim
дифференцируема как ). Далее, произведение дифференцируемых функций. Её производная w ¢ = nz n -1 отлична от нуля 58
при z ¹ 0 , следовательно, отображение w = z n при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). 5.2. Показательная функция w = e z . Определим эту функцию æ
ö÷n
z
предельным соотношением e = lim çç 1 + ÷÷ . Докажем, что этот предел n ¥ ç
nø
è
z
существует при "z = x + iy Î C : 1 +
обозначим M n : M n =
‐ Fn : Fn = arctg
( ) + i ny , модуль этого числа x +iy
x
= 1+
n
n
1/2
2
2ö
æ
æ
ö2 æ y ÷ö2
x
2
x
x
+
y
÷
ç
÷
çç 1 + ÷ + çç ÷ = ç 1 +
÷÷ , аргумент +
2
çè
çè n ÷ø
÷ø
çèç
n ÷ø
n
n
y /n
(при достаточно больших n дробь 1 + z / n лежит 1+x /n
в правой n /2
2
2ö
æ
2
x
x
y
+
÷÷
$ lim M nn = lim ççç 1 +
+
= ex ;
÷
2
n ¥
n ¥ è
ç
n
n
ø÷
полуплоскости). $ lim nFn = lim n arctg
n ¥
n ¥
y /n
1+x /n
n
æ
z ÷ö
ç
, следовательно, существует $ lim ç 1 + ÷÷ = e x (cos y + i sin y ) . n ¥ ç
nø
è
При мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e iy = cos y + i sin y , теперь формула Эйлера окончательно доказана. Кратко перечислим свойства этой функции. 1. Функция w = e z аналитична на всей плоскости С, и (e z )¢ = e z . 2. e z1 ⋅ e z2 = e z1 +z1 . 59
3. Функция w = e z периодическая, с мнимым основным периодом 2pi (e 2pi = cos(2p) + i sin(2p) = 1; e z +2pi = e z ⋅ e 2pi = e z ) 5.3. Тригонометрические функции. Определим эти функции e iz + e -iz
e iz - e -iz
соотношениями cos z =
, sin z =
. Все свойства этих 2
2i
функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 2p , первая из них четна, вторая ‐ нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования (cos z )¢ =
=i
(e iz )¢ + (e -iz )¢
ie iz - ie -iz
=
=
2
2
e iz - e -iz
1 e iz - e -iz
e iz - e -iz
=- ⋅
== - sin z
2
i
2
2i
обычные тригонометрические соотношения (
, сохраняются sin2 z + cos2 z = 1 ‐ æ
pö
проверяется непосредственно, cos z = sin çç z + ÷÷÷ , формулы сложения и т.д.) çè
2ø
5.4. Гиперболические соотношениями ch z =
связь функции. Эти функции определяются e z + e -z
e z - e -z
, sh z =
. Из определений следует 2
2
тригонометрических ch z = cos iz ,
sh z = -i sin iz,
sh iz = i sin z,
sin iz = i sh z,
и гиперболических cos z = ch iz,
cos iz = ch z,
sin z = -i sh iz
функций: , ch iz = cos z . 60
Пример 5.4.1. Вычислить ch ( 2 - 3i ) . e 2-3i + e -2 + 3i
· ch ( 2 - 3i ) =
= 2
=
1 2
e ( cos ( -3 ) + i sin ( -3 ) ) + e -2 ( cos 3 + i sin 3 ) ) = (
2
=
1 2
e cos 3 - ie 2 sin 3 + e -2 cos 3 + ie -2 sin 3 ) = (
2
= cos 3 ⋅
e 2 + e -2
e 2 - e -2
- i sin 3 ⋅
= cos 3ch 2 - i sin 3sh 2 . 2
2
5.5. Функция w 
значений w =
n
1
n
z
 n z . Это n‐значная функция (раздел 19.1.3), все которой даются æ
arg z + 2k p
arg z + 2k p ö÷
| z | ⋅ çç cos
+ i sin
÷÷
çè
n
n
ø
m
Функция z n
m
определяется равенством z n
, формулами k = 0,1,2,..., n - 1
. æ 1 ö÷m
ç
= çç z n ÷÷ . çè ÷÷ø
5.6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ¹ 0 как функция, обратная показательной: w = Ln z , если z = e w . Если w = u + iv , то последнее равенство означает, что e w = e u +iv = e u ⋅ e iv = z =| z | ⋅e i Arg z , e u =| z | u = ln | z |;
v = Arg z = arg z + 2k pi
. Ln z = ln | z | +i(arg z + 2k p), k = 0,  1,  2,... ‐ функция многозначная 61
(бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и ln z
обозначается : ln z = ln | z | +i arg z
. Так, ln(-5) = ln | -5 | +i arg(-5) = ln 5 + pi,
Ln(-5) = ln | -5 | +i arg(-5) + 2k pi = ln 5 + i p(1 + 2k )
, где k ‐ произвольное целое число. 5.7. Общая показательная a z и общая степенная z a (а, z ‐ произвольные комплексные числа, a, z ¹ 0 ) функции определяются соотношениями a z = e z ⋅Ln a ,
z a = ea ⋅Ln z
, и, следовательно, бесконечнозначны. i
Пример 5.7.1. Вычислить 2 ø . ·
i
2 ø = e iLn 2
2i = e (
i ln 2 + 2 pki )
. Так как Ln 2 = ln 2 + 2pki
, то = e -2pk ( cos ln 2 + i sin ln 2 ) . 5.8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае ( w = Arsh z , если sh w = z , например), и выражаются через Ln z . Пример 5.8.1. Найти Arc cos(2i ) . · По определению, это такое число w, что cos w = 2i , или e iw + e -iw
1
= 2i  e iw - 4i + e -iw = 0  (t = e iw ) t - 4i + = 0 
2
t
62
t 2 - 4it + 1 = 0  t = 2i  -4 - 1, t = 2i  5i,
arg(2i - 5i ) = -
arg(2i + 5i ) =
p
,
2
p
1
. Так как iw = Ln t  w = Ln t = -i Ln t , получаем 2
i
две серии значений: é
æp
öù
w1 = -i Ln(2i + 5i ) = -i ê ln(2 + 5) + i çç + 2k p ÷÷÷ ú =
çè 2
êë
ø úû
æ1
ö
çç + 2k ÷÷ p - i ln(2 + 5)
çè 2
ø÷
, é
æ p
öù
w2 = -i Ln(2i - 5i ) = -i ê ln( 5 - 2) + i çç - + 2k p ÷÷÷ ú = êë
èç 2
ø úû
æ
1ö
= çç 2k - ÷÷ p - i ln( 5 - 2), k = 0,  1,  2,... çè
2 ø÷
p
Пример 5.8.2. Вычислить Arc sin i 3
æ p
p
p 2 ö÷÷
çç
· Arc sin i = -iLn ç -  1 +
÷ . çè 3
3
9 ÷÷ø
p2
p
1+
>
, следовательно, 9
3
a1 = -
p
p2
+ 1+
> 0 и arg a1 = 0 , 3
9
a2 = -
p
p2
- 1+
< 0 и arg a2 = p . Получаем два случая: 3
9
æ p
æ æ p
p2 ö÷÷
p2 ÷÷ö
÷÷ö
çç
çç çç
1) z1 = -iLn ç - + 1 +
÷ = -i ç ln ç - + 1 +
÷ + 2pki ÷÷ = 9 ÷÷ø
9 ÷÷ø
÷ø
çè 3
çè çè 3
63
æ p
p2 ÷÷ö
çç
-i ln ç - + 1 +
÷ + 2pk , k Î Z . çè 3
9 ÷ø÷
æ p
æ æ
p2 ÷÷ö
p2 ÷÷ö
÷÷ö
çç
çç çç p
2) z1 = -iLn ç - - 1 +
÷ = -i ç ln ç + 1 +
÷ + pi + 2pki ÷÷ = çè 3
çè çè 3
9 ÷÷ø
9 ÷÷ø
÷ø
æp
p2 ö÷÷
çç
= -i ln ç + 1 +
÷ + 2pk , k Î Z . çè 3
9 ÷ø÷
Пример 5.8.3. Вычислить Arctg ( 1 + i ) . ·
1 + i (1 + i )
i
i
i
Arctg ( 1 + i ) = - Ln
= - Ln
= 2
1 - i (1 + i )
2
2-i
æ 1 2 ö
i (2 + i )
i
i
= - Ln
= - Ln çç - + i ÷÷÷ . 2
4 +1
2 çè 5 5 ø
1 2
Для комплексного числа a = - + i имеем: a =
5 5
1
4
1
, +
=
25 25
5
arg a = p + arctg ( -2 ) = p - arctg 2 . Отсюда получаем ö p 1
iæ
1
i
z = - çç ln
+ pi - i arctg 2 + 2pki ÷÷÷ = - arctg 2 + pk + ln 5 , k Î Z 2 çè
4
ø 2 2
5
6. Интегрирование функций комплексной переменной. 6.1. Интеграл от ФКП. 64
6.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно‐
z n 1
у Ai
С È
гладкая кривая L = AB , на которой определена z2
х
функция w = f (z ) . Разобьём кривую точками È
z 0 = A, z1, z 2,..., z n -1, z n = B на n частей, на каждой из дуг zk -1z k выберем произвольную точку tk , найдём f (tk ) и составим интегральную n
сумму å f (tk ) ⋅ Dz k (Dz k = z k - zk -1) . Предел последовательности этих k =1
сумм при n  ¥, max | Dzk | 0 , если он существует, не зависит ни от k =1,2,n
способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk , называется интегралом от функции w = f (z ) по кривой L и обозначается ò f (z ) ⋅ dz =
L
n
lim
max |Dzk | 0
k =1,2,n
å f (tk ) ⋅ Dzk . k =1
Теорема. Если функция w = f (z ) непрерывна на кривой L , то она интегрируема по этой кривой. Доказательство. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: zk = x k + iyk , f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ), tk = xk + iV k ,
Dzk = z k - zk -1 = (x k + iyk ) - (x k -1 + iyk -1) =
65
= (x k - x k -1 ) + i(yk - yk -1 ) = Dx k + iDyk ,
тогда
f (tk )Dz k = (u(xk , V k ) + iv(xk , V k ))(Dx k + iDyk ) =
= (u(xk , Vk )Dx k - v(xk , Vk )Dyk ) + i(u(xk , Vk )Dyk + v(xk , Vk )Dx k ) , n
и сумма å f (tk ) ⋅ Dzk
разобьётся на две: k =1
n
n
k 1
k 1
 u( k ,  k )x k  v ( k ,  k )y k  i  u( k ,  k )y k  v ( k ,  k )x k
. Каждая из этих сумм ‐ интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно, ò udx - vdy и ò vdx + udy . Если L ‐ кусочно‐
L
L
гладкая кривая, w = f (z ) ‐ непрерывна, то существуют пределы этих сумм при max | Dz k | 0 ‐ соответствующие криволинейные интегралы, а k =1,2,n
n
значит, существует lim
max |Dz k | 0
k =1,2,n
å f (tk ) ⋅ Dzk
k =1
=
ò f (z ) ⋅ dz
, и L
ò f (z ) ⋅ dz = ò u ⋅ dx - v ⋅ dy + i ò v ⋅ dx + u ⋅ dy . L
L
L
Замечание. Можно вычислять интеграл от функции комплексной b
переменной по формуле ò f ( z )dz = ò f ( z ( t ) ) z ¢ ( t )dt , L
где z = z ( t ) ‐ a
параметрическое уравнение кривой L в комплексной форме. 66
Постановка задачи. Вычислить интеграл ò f ( z )dz
, где L ‐ L
кусочно‐гладкая кривая, лежащая в области D , в которой функция f ( z ) непрерывна. План решения. ‐‐ Записываем f ( z ) в алгебраической форме f (z ) = u(x , y ) + iv(x , y ) . ‐‐ Представляем искомый интеграл в виде суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций u(x , y ) и v(x , y ) двух вещественных переменных x и y . ‐‐ Записываем уравнения кривой L в явном виде y = y(x ) (или x = x ( y ) ) или параметрически y = y ( t ) , x = x ( t ) . ‐‐ Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным, и записываем ответ. Пример 6.1.1. Вычислить интеграл ò z zdz , где 0 £ x £ 1 L ‐ верхняя L
полуокружность z = 1 , Re z > 0 с обходом против часовой стрелки. · В данном случае удобно воспользоваться уравнением кривой L в параметрической форме z = e it ( 0 £ t £ p ) . Находим z = e -it , z = 1, 67
dz = ie izdz . Подставляем в подынтегральное выражение и вычисляем p
интеграл ò z zdz =
L
òe
p
-it
it
ie dt =
ò idt = i p . 0
0
Пример 6.1.2. Вычислить интеграл ò Re zdz, где L – отрезок прямой от точки L
O ( 0, 0 ) до точки B ( 1,1 ) . · Записываем f (z ) в алгебраической форме f (z ) = x . Представляем искомый интеграл в виде суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций u(x , y ) и v(x , y ) двух вещественных переменных x и y :
ò Re zdz = ò xdx + i ò xdy . Записываем уравнение отрезка OB : y = x , L
L
L
0 £ x £ 1 . Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным: ò
L
xdx + i ò xdy =
L
1
1
ò
xdx + i ò xdx =
0
0
1+i
. 2
6. 2. Свойства интеграла от ФКП. Показано, что ò f (z ) ⋅ dz выражается L
через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов: 68
ò ( Ñ1f1(z ) + Ñ2 f1(z ))dz = Ñ1 ò f1(z )dz + Ñ2 ò f2(z )dz
1. L
L
(Ñ1, Ñ2
‐ L
произвольные комплексные постоянные); 2. ò
f (z )dz =
L1  L2
ò f (z )dz + ò f (z )dz
L1
(L1, L2 ‐ кривые без общих L2
внутренних точек): 3. ò f (z )dz = -ò f (z )dz
(L- ‐ кривая, совпадающая с L, но L-
L
проходимая в противоположном направлении; 4. Если l ‐ длина кривой L, | f (z ) |£ M , z Î L , то ò f (z )dz
L
£ M ⋅ l . 6. 3. Интегральная теорема Коши. 6.3.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D ‐ односвязная ограниченная область, w = f (z ) ‐ аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно‐гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f (z ) по L равен нулю: ò
 f (z )dz = 0 . L
Доказательство. Теорема следует из условий Коши‐Римана и формулы Грина. Так как ò f (z ) ⋅ dz = ò u ⋅ dx - v ⋅ dy + i ò v ⋅ dx + u ⋅ dy
L
L
, то, L
применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, 69
получим ò
 f (z ) ⋅ dz =
L
òò
G
æ ¶(-v ) ¶u ö÷
÷dxdy + òò
ççç
¶y ÷ø
è ¶x
как по условиям Коши‐Римана G
æ ¶u ¶v ö÷
çç
÷dxdy = 0 , так çè ¶x ¶y ÷ø
¶u
¶v ¶(-v ) ¶u
. Символом G в =
,
=
¶x
¶y ¶x
¶y
доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L. Следствие. Для всех кусочно‐гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f (z ) , и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл ò f (z )dz имеет одинаковое значение. L
Справедлива и обратная теорема Морера: если функция w = f (z ) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно‐гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D. 6.3.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f (z ) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области D , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1 , L2 , …, Lk , то интеграл от f (z ) , 70
взятый по полной границе области D , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю. Доказательство. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0 разрезом FM с контуром L1, разрезом BG ‐ с контуром L2 Область D ¢ = D \ (BG  FM ) с границей È
È
È
G¢ = AB  BG  (C 2 = GLKG )  GB  BF  FM  È
ÈC 1  MF  MA односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:  f ( z )dz  0 . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот 
общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны. В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом ‐ по часовой. Получили, что ò
L0  L1  L2
fdz = 0 
ò fdz + ò fdz + ò fdz = 0  ò fdz = ò fdz + ò fdz
L0
L1
L2
L0
L1
. L2
Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по 71
внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении. 6.7. Первообразная аналитической функции. Если функция w = f (z ) аналитична в односвязной области D, то, как уже доказано, интеграл по È
кривой L = z 0z зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z 0 , то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать z
ò f (t )dt = ò f (t )dt = F (z ) . Можно доказать, что справедлива следующая È
z 0z
z0
Теорема. Для любой аналитической в области D функции f (z ) интеграл F (z ) =
ò f (t )dt
является аналитической в D функцией, и È
z 0z
F ¢(z ) = f (z ). Любая функция F(z ) такая, что F¢(z ) = f (z ) , называется первообразной функции f (z ) . Любые две первообразные отличаются не z
более, чем на постоянную, поэтому F(z ) =
ò f (t )dt + Ñ , откуда при z = z 0 z0
z
z
получаем C = F(z 0 ) , или ò f (t )dt = F(z ) - F(z 0 ) = F(z ) z . Таким образом, 0
z
0
72
для аналитических функций справедлива формула Ньютона‐Лейбница, и основные приёмы ip
ò sin zdz = - cos z
ip
0
0
интегрирования: e i ⋅i p + e -i ⋅i p
e -p + e p
= cos 0 - cos(i p) = 1 = 1=
2
2
= 1 - ch p.
Постановка задачи. Вычислить интеграл ò f ( z )dz
, где f (z ) ‐ L
функция, аналитическая в односвязной области D , L ‐ кусочно‐гладкая кривая, целиком лежащая в области D и соединяющая точки z1 и z 2 . План решения. ‐‐ Находим первообразную F (z ) , используя табличные интегралы, свойства интегралов и методы, известные из математического анализа. ‐‐ Вычисляем интеграл по формуле Ньютона‐Лейбница. Записываем ответ в алгебраической форме. Пример 6.7.1. Вычислить интеграл ò sin2 zdz , где L ‐‐ отрезок прямой L
от точки z1 = 0 до точки z 2 = i . 73
· Функция f (z ) = sin2 z аналитична всюду, и, следовательно, интеграл может i
ò
0
быть вычислен по формуле Ньютона‐Лейбница: 1æ
sin 2z ÷ö i
1
1
i
sin2 dz = çç z ÷÷ = i - sin ( 2i ) = ( 2 - sh 2 ) 2 çè
2 ø0 2
4
4
Упражнения 6.1. Вычислить интеграл 6.1.1. ò ( z + 2z )dz, где L – дуга окружности z = 1, Im z ³ 0, Re z ³ 0 L
1 1
6.1 2. ò zdz, где L – дуга параболы y = 2x 2 от точки z1 = - + i до 2 2
L
точки z 2 = 1 + 2i. 6.1.3. ò Re ( iz 2 )dz, где L –дуга окружности z = 1, Im z ³ 0. L
6.1.4. ò Im ( z - i )dz, где L – дуга окружности z = 1, Im z £ 0. L
6.1.5. Вычислить интеграл ò zzdz, где L – отрезок прямой x + y = 0,
L
соединяющий точки z1 = -2 + 2i и z 2 = 1 - i. 6.1.7. ò Im ( z - i )dz, где L – дуга окружности z = 1, Im z £ 0. L
6.1.8. ò z Im zdz, где L – отрезок прямой x - y = 2, соединяющей точки L
z1 = 2 и z 2 = 5 + 3i . 74
1 1
6.1.9. ò zdz, где L – дуга параболы y = 2x 2 от точки z1 = - + i до 2 2
L
точки z 2 = 1 + 2i. 6.1.10. ò ( z + iz )dz, L – отрезок прямой y = -x + 1 , соединяющей точки L
z1 = -1 + 2i и z 2 = 1. 6.1.11. ò z ⋅ Re z 2dz,
где L – отрезок прямой, соединяющий точки L
z1 = 1 + 2i и z 2 = 2 + 4i. 6.1.12. ò Im ( z 2 - i )dz, где L – отрезок прямой y =
L
x
, соединяющий 2
i
точки z1 = 1 + и z 2 = 4 + 2i. 2
6.1.13. ò ( z + i )dz, где L – дуга параболы y = x 2 + 1 от точки z1 = i до L
точки z 2 = 1 + 2i. 6.1.14. ò ( z + Re z )dz, где L – дуга параболы x = y 2 от точки z1 = 0 до L
точки z 2 = 4 + 2i. 6.1.15. ò Re ( iz )dz, где L – дуга окружности z = 2, Im z ³ 0. L
6.1.16. ò z Im zdz, где L – отрезок прямой x - y = 2, соединяющей точки L
z1 = 2 и z 2 = 5 + 3i . 6.1.17. ò Re ( iz 2 )dz, где L – дуга окружности z = 1, Im z ³ 0. L
6.1.18. ò Im ( z + i )dz, где L – дуга параболы y = x 2 от точки z = 0 до L
точки z = 3i + 1. 75
6.1.19. ò z ⋅ Im zdz, где L – отрезок прямой x + y = 2 , соединяющий точки L
z1 = -1 + 3i и z 2 = 2. . ò z ⋅ Re z 2dz,
6.1.20. где L – отрезок прямой, соединяющий точки L
z1 = 1 + 2i и z 2 = 2 + 4i. 6.1.21. ò z ⋅ Re zdz, где L – дуга параболы y = -x 2 от точки z1 = -1 - i до L
точки z 2 = 0. 6.1.22. ò ( iz + z )dz, где L – отрезок прямой x - y = 2, соединяющей L
точки z1 = 3 + i и z 2 = 4 + 2i. 6.1.23. ò ( z + iz )dz, L – отрезок прямой y = -x + 1 , соединяющей точки L
z1 = -1 + 2i и z 2 = 1. 6.1.24. ò Im ( z 2 - i )dz, где L – отрезок прямой y =
L
x
, соединяющий точки 2
i
z1 = 1 + и z 2 = 4 + 2i. 2
6.1.25. ò ( z + Im z )dz, где L – дуга параболы x = 2y 2 от точки z1 = 0 L
до точки z 2 = 2 + i. 6.1.25. ò zzdz, где L – отрезок прямой x + y = 0, соединяющий точки L
z1 = -2 + 2i и z 2 = 1 - i. 76
7. Теория интегралов Коши. Известно, что интеграл по замкнутому L у
контуру от аналитической функции равен нулю. Рассмотрим интегралы, где подынтегральная C функция содеожит множитель 7.1. Интеграл 1
. z - z0
ò (z - z 0 )n dz
Lρ z0 ρ
х
( n = 0,  1,  2,  3... ). Возможные L
случаи: 1. Точка z 0 лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n. 2. n ³ 0 . И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю 3. n = -1 , и точка z 0 лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности Lr с центром в точке z 0 радиуса r столь малого, что окружность Lr лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и Lr , функция f (z ) =
1
аналитична, поэтому (следствие теоремы Коши для z - z0
77
многосвязной области) ò

L
dz
=
z - z0
ò
Lr
dz
. Правый интеграл вычислим z - z0
непосредственно в явном виде. Как и при вычислении любого криволинейного интеграла, необходимо параметризовать кривую. Если z 0 = x 0 + iy 0 , то параметрическое уравнение окружности радиуса r с ì
ï x = x 0 + r cos f,
Можно центром в точке (x 0, y 0 ) имеют вид C r : ï
í
ï
y
y
sin
.
=
+
r
f
0
ï
î
воспользоваться этим уравнением, или же представить его в виде: z = x + iy = (x 0 + r cos f) + i(y 0 + r sin f) = (x 0 + iy 0 ) + r(cos f + i sin f) =
= z 0 + re if
(параметрическое уравнение окружности на комплексной плоскости С), тогда dz = rie d f , и ò

if
Lr
dz
=
z - z0
2p
ò
0
rie if
re if
dz
ò z - z 0
d f = 2pi 
= 2pi . L
4. n = -2, - 3, - 4,... . Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем:
2p
2p
-n +1 2 p
rieif
-n +1
i (-n +1)fd f = r
i (-n +1)fdi (-n +1)f
df = i r
= ò
ò e
ò e
-n +1
n
in
f
n
L (z -z )
0 r e
0
0
0
r
r-n +1 i(-n +1)f 2p
=
=0
e
0
-n + 1
ò
dz
=
. у
Интеграл ò (z - z 0 )n dz
C при целом n L
отличен от нуля в единственном случае ‐ L
D Lρ z0 ρ
D1 78
х когда n = ‐1. В этом случае ò

L
dz
=
z - z0
ò
Lr
dz
= 2pi . Нерассмотренным z - z0
остался лишь вариант, когда точка z 0 лежит на контуре L. В этом случае подынтегральная функция теряет определенность в точке z 0 , и необходима теория сингулярных интегралов. В то же время очевидно, что если точка dz

z L ò z - z
0
z 0  L , находясь внутри контура L, то lim
0
же z 0  L извне контура L, то lim
z0 L
ò
L
= lim 2pi = 2pi , если L
z0 L
dz
= lim 0 = 0 . z 0 L
z - z0
7.2. Интегральная формула Коши. Пусть w = f (z ) аналитична в области D и L ‐ замкнутая кусочно‐гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки z 0 Î D1 имеет место формула: f (z 0 ) =
1
f (z )
dz . 
ò
2pi z - z 0
L
Доказательство. Окружим точку z 0 окружностью Lr радиуса r столь малого, что на Lr f (z ) мало отличается от f (z 0 ) : f (z ) » f (z 0 ) , тогда f (z )
f (z )
f (z )
1
1
f (z )
0 ò 1 dz =
0 ⋅ 2 pi = f (z ) . 0 dz =
dz »
ò
ò



0
2 pi z -z
2 pi z -z
2 pi
2 pi
z
z
L
L
L
0
0
0
Более строго, возьмём r столь малым, что окружность Lr радиуса r с центром в z 0 лежит в D1. Функция w = f (z ) аналитична в двусвязной 79
области, заключенной между L и Lr , поэтому (следствие теоремы Коши для многосвязной 1
f (z )dz
1
f (z )dz
=


ò
ò
2pi z - z 0
2pi z - z 0
области) L
. Lr
f (z ) - f (z 0 ) + f (z 0 )
f (z ) - f (z 0 )
1
f (z )dz
1
1
=
=
dz
 z - z 2pi ò
ò z - z 0 dz +
p
2pi ò
z
z
2
i
0
0
L
L
L
r
+
r
r
f (z 0 )
1
 z - z dz
2pi ò
0
L
. Второй интеграл равен r
f (z )
f (z 0 )
1
0 ⋅ 2pi = f (z ) . Первый интеграл: а) не зависит от r =
dz

ò
0
2pi L z - z 0
2pi
r
( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между Lr и Lr , где Lr ‐ окружность радиуса r1 < r , и по тому же следствию из 1
1
теоремы Коши f (z ) - f (z 0 )
1
1
dz
=

z - z0
2pi ò
2pi
Lr
для ò
Lr
многосвязной области f (z ) - f (z 0 )
dz ; z - z0
1
1
  0 2i
б) lim
интеграл 
L
f (z)  f (z0 )
dz  0 . Из утверждений а) и б) следует, что первый z  z0
f (z ) - f (z 0 )
1
dz = 0 . 
ò
2pi L
z - z0
r
этом, Докажем утверждение б. Обозначим M r = max | f (z ) - f (z 0 ) | , при Lr
вследствие непрерывности функции, Mr  0
r0
. Оценим 80
f (z ) - f (z 0 )
1
dz = 0

ò
2pi L
z - z0
по модулю (учитывая, что r
z - z 0 = re if , z = z 0 + re if , dz = i re ifd f, | dz |= rd f, 0 £ f £ 2p
): f (z ) - f (z 0 )
1
 z - z dz £
2pi ò
0
L
r
f (z)  f (z0 )
1

dz

2 i L
z  z0

1

2

L
| f (z)  f (z0 ) |
1
| dz | 
| z  z0 |
2
2
M  
0


d  M   0
. 0
Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: f (z 0 ) =
1
f (z )
dz . 
ò
2pi z - z 0
L
Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы. 1. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области. Этот факт можно сформулировать в виде теоремы о среднем. Возьмём r такое, что окружность Lr радиуса r с центром в z 0 лежит в D1. Тогда z - z 0 = re if , z = z 0 + re if , dz = i re ifd f, | dz |= rd f, 0 £ f £ 2p
2p
2p
0
0
, и f (z 0 + re if )
1
f (z )
1
1
if
r
f
⋅
=
f (z 0 ) =
dz =
i
e
d
f (z 0 + re if )d f . 
ò
ò
ò
f
i
2pi z - z 0
2pi
2p
re
L
Поэтому справедлива 2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой 81
точке z0 равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z0. Теорема доказана в предположении, что точка z0 лежит внутри контура L. z0 Если находится вне контура, то 1
f (z )
dz = 0 , так как подынтегральная 
2pi ò z - z 0
z L
LR функция аналитична в D1 . Lρ 3. Формула справедлива и для многосвязной области, если под кривой L подразумевать полную границу области. В дальнейшем нам понадобится такой вариант: f (z ) аналитична в замкнутом кольце, ограниченном окружностями LR и Lr . Тогда для всех z, лежащих внутри кольца, f (z ) =
1
f (t )
1
f (t )
dt +
dt ; при этом окружности 

ò
ò
2pi t - z
2pi t - z
LR
Lr
проходятся так, что область остаётся слева. В последней формуле переобозначены переменные: z 0  z, z  t . 7.3. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем f (z ) =
интегральную 1
f (t )
dt

ò
2pi t - z
. формулу Коши Продифференцируем в переменных эту формулу z, t: по z: L
82
f ¢(z ) =
1
f (t )
 (t - z )2 dt
2pi ò
.Далее: L
f ¢¢(z ) =
2
f (t )
dt;

ò
2pi (t - z )3
f ¢¢¢(z ) =
L
f (4)(z ) =
; L
4⋅3⋅2
f (t )
4!
f (t )
dt
dt
=


ò
ò
2pi
2pi (t - z )5
(t - z )5
L
f (n )(z ) =
3⋅2
f (t )
dt

ò
2pi (t - z )4
, и вообще L
n!
f (t )
 (t - z )n +1 dt . Следовательно: 2pi ò
L
Если функция f (z ) имеет в каждой точке области D производную первого порядка (т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f (z ) аналитична в области D). 7.4. Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши для аналитических функций в виде f (z )
L
2pi
dz
f (n -1)(z 0 ) (n = 1, 2, 3,...) . =
n
(n - 1)!
0)
f (z )
ò z - z 0 dz = 2pi ⋅ f (z 0 ) , ò (z - z
L
С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида f (z )
n
(z - z 0 )
, где f (z ) ‐ аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю). 83
ò
Пример 7.4.1. |z -1|= 4
ez
dz . z -3
· Здесь f (z ) = e z , z 0 = 3 лежит внутри круга | z - 1 |= 4 , поэтому ez
ò z - 3dz = 2pie 3 . |z -1|= 4
ò
Пример 7.4.2. |z +1|= 2
sin z
dz . z (z - 3)
· Внутри круга L1 = {z || z + 1 |= 2} лежит точка z 0 = 0 , поэтому f (z ) = sin z / (z - 3)
ò
|z +1|= 2
sin z
dz =
z (z - 3)
ò
Пример 7.4.3. аналитична ò
|z +1|=2
|z -2,5|=1
внутри контура и sin z / (z - 3)
sin z
dz = 2pi ⋅
= 0 . z
z - 3 z =0
sin z
dz . z (z - 3)
· Здесь внутри круга L2 = {z || z - 2, 5 |= 1} лежит точка z 0 = 3 , поэтому f (z ) = sin z / z
аналитична sin z
ò z (z - 3)dz = ò
L2
Пример 7.4.4. L2
ò
sin z / z
sin z
dz = 2pi ⋅
z -3
z
|z |= 4
внутри =
z =3
контура и 2
pi ⋅ sin 3 . 3
sin z
dz . z (z - 3)
84
· Здесь внутри круга L3 = {z || z |= 4} лежат обе точки z 0 = 0 и z 0 = 3 , и, следовательно, sin z
sin z
sin z
2
2
ò z (z - 3)dz = ò z(z - 3)dz + ò z (z - 3)dz = 0 + 3 pi sin 3 = 3 pi sin 3 . L3
L1
Пример 7.4.5. ò
|z |=
·
Для L2
sin 2z
pæ
çz
2ç
çè
dz . 3
-
вычисления p ö÷
÷
3 ÷ø
этого интеграла 2pi
dz
f (n -1)(z 0 )
=
n
(n - 1)!
0)
f (z )
ò (z - z
L
I =
при воспользуемся f (z ) = sin 2z, z 0 =
формулой p
,n = 3
3
: æ 2p ö
2pi
(sin 2z )¢¢ z = p = -4pi sin çç ÷÷÷ = -2 3pi . çè 3 ø
2!
3
Пример 7.4.5. Вычислить интеграл dz
ò (z + 2)3 z по замкнутой кривой l l
(обход кривой осуществляется против часовой стрелки), a) l : z - 2 = 1 ; б) l : z = 1 ; в) l : z + 2 = 1 . · а) Так как подынтегральная функция 1
(z + 2)2 z
аналитична на всей комплексной плоскости С, за исключением точек -2 и 0 , которые ни лежат внутри окружности z - 2 = 1 и на этой окружности, то по теореме Коши получим: ò
dz
(z + 2)3
|z -2|=1
= 0 . 85
б) Так как функция f(z) =
1
(z + 2)3
— аналитическая на всей комплексной плоскости C , за исключением точки -2 , которая не лежит внутри окружности z = 1 и на этой окружности, а точка z0 = 0 лежит внутри этой окружности, f (z 0 = 0) =
ò
|z |=1
то 1
2pi
dz
(z + 2)3 z
по ò
|z |=1
интегральной формуле 1
(z + 2)3
dz,
z -0
= 2pif (z 0 = 0) = 2pi
Коши получим: откуда 1
(0 + 2)3
= 2pi
1
pi
= . 8
4
1
в) Так как функция f(z) = аналитична на всей комплексной плоскости C , за z
исключением нулевой точки, которая не лежит внутри окружности l : z + 2 = 1 и на этой окружности, а точка Z0 = ‐2 лежит внутри этой окружности, то получим: 1
2!
z
f ''(z 0 = -2) =
dz , откуда 
ò
3
2pi
z
+
(
2)
|z + 2|=1
æ 1 ö÷
2pi
ò (z + 2)3 z = 2! f ''(z 0 = -2) = pi çççè 2 ÷÷ø
|z +2|=1
dz
= pi
2
z2
= pi
z 0 =-2
2
(-2)3
=-
pi
4
z 2 =-2
æ 1 ÷ö¢
ç
= pi ç - 2 ÷
çè z ÷ø
=
z 0 =-2
. Упражнения 7.1. Вычислить интегралы по замкнутой кривой (обход кривой 86
осуществляется против часовой стрелки): dz
7.1.1. ò
(z
L
2
- 1)
2
dz
7.1.2. ò
z2 + 9
L
(z
L
, L : z + 2i = 2. 2
L
7.1.5. ò

7.1.6. ò

L
ez
dz, L : z = 4. 2
( z - pi )
sin z
æ
z çç z
çè
dz, L : z = 1 . p ö÷
- ÷÷
6ø
ò
7.1.7. L
L : z -1 =
7.1.9. ò

L
e zdz
7.1.10. ò

L
z
3
dz , L : z = 1. tgz
7.1.17. ò
æ
ö÷2
p
z çç z - ÷÷
4ø
èç
L
dz
(z
2
2
- 1)
, L : z = 2. cos z
dz, L : z = 2 æ
ö÷
p
z çç z - ÷÷
çè
2ø
7.1.19. ò
L
7.1.21.
dz, L : z = 1 . , L : z - 1 = 1. ò
, 7.1.20.
2
( z - 1 ) (z + 1)
L
ò
l
, L : z - 2i = 3. 7.1.22. ò
z ⋅ (z + 4 )
2
cos z
L : z -1 =
z 4 + 8z 2 - 9
+ 1)
, L : z + 2i = 2. , L : z = 2. z 4 + 8z 2 - 9
7.1.16. ò
L
2
e zdz
7.1.15. ò
7.1.18. ò

2
dz
3
. 4
e zdz
7.1.8. ò
(z
L
cos z
dz, L : z = 2 æ
ö÷
p
z çç z - ÷÷
çè
2ø
7.1.4. ò
dz
L
+ 1)
2
7.1.14. ò
L
dz, L : z + 2i = 3. dz
7.1.3. ò
, L : z = 1 L
dz
, ( z - 1 ) (z + 1)
2
3
. 4
z3
2
( z - 2i )
dz
z2 + 9
dz L : z = 3 . , L : z - 2i = 2. sin z
dz, L : z = 2. æ
ö÷
p
çç z - ÷
çè
2 ÷ø
87
ò
7.1.11. L
tgz
æ
z çç z
çè
dz, L : z = 1 . 2
ö
p
- ÷÷÷
4ø
7.1.23. ò

, L : z - 2i = 2. 7.1.24. ò

dz
7.1.12. ò
z +9
7.1.13. ò
z 2dz
, L : z = 3. z - 2i
L
L
2
L
L
7.1.25.
sin z
dz, L : z = 2. æ
ö÷
p
çç z - ÷
çè
2 ÷ø
sin z
dz, L : z = 1 . æ
ö÷
p
z çç z - ÷÷
6ø
èç
ò
ez
2
( z - pi )
dz, L : z = 4. 8. Ряды Тейлора и Лорана. 8.1. Ряд Тейлора. Пусть функция w = f (z ) L
t аналитична в области D, z 0 Î D . Обозначим L z
z0
r
D окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, f (z ) =
1
f (t )
 t - z dt . Представим 2pi ò
L
множитель 1
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: t -z
1
1
1
=
=
⋅
t -z
t - z 0 - (z - z 0 ) t - z 0
1
= (так как | z - z 0 |<| t - z 0 | , z - z0
1t - z0
88
q =
то 1
=
t -z
0
| z - z0 |
<1
| t - z0 |
) n
¥ æ
æ z -z æ z -z ö2 æ z -z ö3 ö÷
z - z 0 ÷ö
1
ç
ç
0
0
0
÷
÷
÷
⋅ ç 1+
çèç t -z 0 +ççè t -z 0 ÷ø +ççè t -z 0 ÷ø +...÷÷ø = t - z å ççè t - z ÷÷÷ø , и ряд сходится 0 n =0
0
абсолютно и равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать: n
¥ æ
¥
ö
z
z
f (t )
f (t )
f (t )
1
1
1
0÷
ç
f (z ) =
dt =
dt ⋅ (z - z 0 )n =
÷÷ dt = å
çç
å



ò
ò
ò
n
1
+
2pi t - z
2pi t - z 0 n =0 è t - z 0 ÷ø
(t - z 0 )
n =0 2pi
L
L
L
¥
=
f (n )(z 0 )
f (n )(z 0 )
1
f (t )dt
n
=
dt
⋅
, так как . Итак,
(
z
z
)
å n!
 (t - z )n +1
0
ò
p
2
i
n
!
n =0
0
L
¥
f (n )(z 0 )
f (z ) = å
(z - z 0 )n . Ряд в правой части этого равенства ‐ ряд Тейлора n!
n =0
функции f (z ) . Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f (z ) аналитична в области D, z 0 Î D , то функция f (z ) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z - z 0 )n . Этот ряд абсолютно сходится к f (z ) внутри круга | z - z 0 |< r , где r ‐ расстояние от z 0 до границы области D (до ближайшей к z 0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно. 89
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции. 8.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора имеет вид: z2 z3
zn
+
+ ... +
+ ... =
e = 1+z +
2! 3!
n!
z
¥
zn
å n ! ; n =0
z3 z5 z7
z 2n +1
sin z = z +
+ ... + (-1)n
+ ... =
3! 5! 7 !
(2n + 1)!
2n
z2 z4 z6
n z
cos z = 1 - +
+ ... + (-1)
+ ... =
2! 4 ! 6!
(2n )!
z3 z5 z7
z 2n +1
sh z = z +
+
+
+ ... +
+ ... =
3! 5! 7 !
(2n + 1)!
z2 z4 z6
z 2n +1
ch z = 1 +
+
+
+ ... +
+ ... =
2! 4 ! 6!
(2n + 1)!
¥
å (-1)n
n =0
z 2n +1
(2n + 1)!
¥
z 2n
å (-1) (2n )!
n =0
n
¥
z 2n +1
å (2n + 1)! ; n =0
¥
z 2n
å (2n )! ; n =0
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при "z Î C ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы 1
= 1 + z + z 2 + z 3 + ... + z n + ... =
1-z
¥
å z n . n =0
1
= 1 - z + z 2 - z 3 + ... + (-1)n z n + ... =
1+z
¥
å (-1)n z n ; n =0
90
¥
1
1-z
2
2
6
= 1 + z + z + z + ... + z
2n
+ ... =
å z 2n . n =0
¥
1
1+z
4
2
4
6
= 1 - z + z - z + ... + z
2
2n
+ ... =
å (-1)n z 2n . n =0
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Например, Ln1 = ln1 + i Arg1 = 2k pi , k ‐ целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой Ln1 = 0  k = 0 , т.е. главное значение логарифма f ( z )  ln( z  1)
. На этой ветви 1
1
2
3⋅2
(4)
¢¢¢(z ) =
=
f
f
z
, f ¢¢(z ) = ,
,
(
)
,
z +1
(z + 1)2
(z + 1)3
(z + 1)4
4⋅3⋅2
f (5)(z ) =
, ...,
(z + 1)5
f ¢(z ) =
f
n -1
(n )
(z ) = (-1)
f (n )(z 0 = 0)
n -1 1
=
(
1)
⋅ , и , поэтому ,..
n!
n
(z + 1)n
(n - 1)!
10. ¥
¥
n
n
n +1
z2 z 3 z 4
n-1 z
n-1 z
n z
. ln(1 + z) = z - + - + ... + (-1)
+ ... = å(-1)
= å(-1)
2
3 4
n
n n=0
n +1
n =1
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) ‐ это z = -1 , поэтому ряд сходится при | z |< 1 . 91
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции f (z ) = (1 + z )a . Это (при любом комплексном a ) общая степенная функция, поэтому f (z ) = (1 + z )a = e a ln(1+z ) (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: 1
= a ⋅ e a ln(1+z ) ⋅ e - ln(1+z ) = a ⋅ e(a -1) ln(1+z ), f ¢(0) = a
1+z
;аналогично f (0)   (  1) ; и т.д.; f (n )(0) = a(a - 1)...(a - n + 1) , поэтому f ¢(z ) = e a ln(1+z ) ⋅ a ⋅
a
11. (1 + z ) = 1 +
¥
a(a - 1)(a - 2)...(a - n + 1) n
z , | z |< 1 . n
!
n =0
å
8.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Постановка задачи. Функцию f (z ) , аналитическую в точке z 0 .разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки (по степеням z - z 0 ). Указать область, в которой справедливо это разложение. План решения. ‐‐ Находим производные функции: f ¢(z ), f ¢¢(z ), , f n (z ),  ‐‐ Вычисляем значения производных в точке z 0 . 92
‐‐ Составляем ряд Тейлора.
‐‐ Находим расстояние R от точки z 0 до ближайшей особой точки функции f (z ) и указываем область справедливости полученного разложения: круг z - z 0 < R. Записываем ответ. Пример 8.1.1. Найти несколько членов разложения функции f (z ) = tg z в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 (по степеням z ). Указать область, в которой справедливо это разложение. · Найдем производные функции f (z ) = tgz . f ¢(z ) =
f ¢¢¢(z ) =
2 ( cos2 z - 3 sin2 z )
cos4 z
1
cos2 z
, f ¢¢(z ) =
(
2 sin z
cos3 z
, )
-16 1 + 6 sin2 z
-16 sin z
5)
4)
(
(
=
, f
, f
, … =
cos7 z
cos8 z
Вычислим значения производных в точке z 0 = 0 : f ¢(0) = 1 , f ¢¢(z ) = 0 , 5
4
f ¢¢¢(z ) = 2 , f ( )(0) = 0 , f ( ) = 16 , … Составляем ряд Тейлора tg z = z +
2 3 16 5
z + z +  Особыми точками функции, ближайшими к 3!
5!
точке z = 0 , являются точки z = 
p
p
. Следовательно, R = . Данное 2
2
разложение справедливо в круге z <
p
. 2
93
Постановка f (z ) =
Pn (z )
Qm (z )
задачи. Рациональную функцию
(Qm ( 0 ) ¹ 0 ) разложить в ряд Тейлора по степеням z . Указать область, в которой справедливо это разложение. План решения. ‐‐ Если дробь неправильная, выделяем целую часть. ‐‐ Правильную рациональную дробь записываем в виде суммы элементарных дробей вида B
A
( * * ) . ( * ) и k
z -a
(z - b )
‐‐ Элементарные дроби вида ( * ) разлагаем в степенные ряды, используя ¥
табличное A
A/a
zn
== -A å n +1 , z < a
z -a
1-z /a
n =0 a
разложение . Элементарные дроби вида ( * * ) разлагаем в степенные ряды, сделав аналогичные преобразования и используя теорему о почленном дифференцировании 1
2
(1 - z )
æ 1 ö÷¢
= çç
÷ =
èç 1 - z ø÷
степенного ¢
¥
å (z )
n
n =0
¥
=
å nz
n =1
n -1
ряда: z <1
, ¥
=
å ( n + 1) z n n =0
94
Рассмотрим задачу: разложить функцию 1
L
(5z + 6)2
по степеням z - 7 . Так как R z L  степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию z0 Γ 1
, затем 5z + 6
почленно продифференцируем 1
1
1
=
=
⋅
5z + 6
41 + 5(z - 7) 41
n
n
1
1
n 5 (z - 7)
=
. Круг å (-1) 41n
5(z - 7)
41 n = 0
1+
41
сходимости его: ¥
5 |z -7 |
41
< 1 | z - 7 |< . На границе круга сходимости ряд 41
5
из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности | z - 7 |=
41
5
ряд расходится. Далее, ¢
¢
¥
n
n ö
1 çæ 1 ÷ö
1 æç
5
(
z
7)
÷
÷÷ = çç å (-1)n
=- ç
÷÷ = 2
n
ç
+
⋅
5
5
z
6
5
41
è
ø
÷ø÷
ç
(5z + 6)
41
è n =0
1
¥
n +1
1
(z - 7)n
n (n + 1)5
. Все выводы о круге сходимости и =
(
1)
å
n +1
205 n = 0
41
поведении ряда на его границе остаются справедливыми. 95
8.2. Ряд Лорана. Пусть функция f (z ) аналитична в кольце r £| z - z 0 |£ R
f (z ) =
. Тогда для любой точки этого кольца 1
f (t )
1
f (t )
dt
+
 t -z
 t - z dt ; при этом окружности проходятся так, 2pi ò
2pi ò
LR
Lr
что область остаётся слева). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление f (z ) =
обхода на 1
f (t )
1
f (t )
dt
+
dt . Интеграл по внешней окружности 

2pi ò t - z
2pi ò z - t
LR
преобразуем Lr
так, как и при 1
1
1
=
=
⋅
t -z
t - z 0 - (z - z 0 ) t - z 0
q =
то 1
=
t -z
0
противоположное: выводе формулы Тейлора: 1
= (так как | z - z 0 |<| t - z 0 | , z - z0
1t - z0
| z - z0 |
<1
| t - z0 |
) ¥ æ
æ z -z æ z -z ö2 æ z -z ö3 ö÷
ön
z
z
1
ç
÷
0
ç
0
0÷
0÷
÷
⋅ ç1+
çèç t -z 0 +ççè t -z 0 ÷ø +ççè t -z 0 ÷ø +...÷ø÷ = t - z å ççè t - z ÷÷÷ø , и ряд сходится 0 n =0
0
абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: ¥
1
f (t )
1
f (t )
æ z - z 0 ö÷n
 t - z dt = 2pi ò t - z 0 nå
çèç
÷ø dt =
2pi ò
=0 t - z 0
LR
¥
=
LR
å An (z - z 0 )n , где An
n =0
=
¥
f (t )
1
å 2pi ò (t - z 0 )n +1 dt ⋅ (z - z 0 )n
n =0
LR
1
f (t )
dt, n = 0, 1 ,2, 3,... . Интеграл 
ò
2pi (t - z 0 )n +1
L
R
по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на 96
=
Lr | t - z 0 |<| z - z 0 | : 1
=
z - z0
1
1
1
=
=
⋅
z -t
z - z 0 - (t - z 0 ) z - z 0
1
= t - z0
1z - z0
2
æ
ö÷
¥ æ t - z ön
æ t - z 0 ö÷3
t - z 0 æç t - z 0 ö÷
çç
1
0 ÷
⋅ ç1 +
+ç
÷÷ + çç
÷÷ + ... ÷÷÷ =
÷÷ . å ççç
ç
ç
÷
÷
÷
çç
÷
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
è
ø
è
ø
è
ø
0
=
n
÷
0
0
0
0
0
è
ø
И здесь ряд сходится абсолютно и равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать: n
¥ æ
t - z 0 ÷ö
f (t )
f (t )
1
1
ç
 z - t dt = 2pi ò z - z å ççè z - z ÷÷÷ø dt =
2pi ò
0 n =0
0
Lr
¥
=
L
1
å (z - z
n =0
¥
=
n +1
0)
A-n +1
å (z - z
n =0
n +1
0)
⋅
r
1
f (t ) ⋅ (t - z 0 )n dt =

ò
2pi
Lr
¥
=
A
å (z --zn )n
n =1
, где A-n =
0
1
f (t ) ⋅ (t - z 0 )n -1dt . 
ò
2pi
L
r
Переобозначим n  -n , тогда форма коэффициентов ряда для Lr совпадёт с An =
формой коэффициентов ряда 1
f (t )
 (t - z )n +1 dt, n = 0, - 1, - 2,...; поэтому 2pi ò
0
L
для LR
окончательно : для r
1
f (t )
интеграла по Lr получим  z - t dt =
2pi ò
L
r
-¥
å An (z - z 0 )n . Докажем, что и n =-1
контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть G ‐ кусочно‐гладкий контур, расположенный в кольце 97
r £| z - z 0 |£ R , и точка z 0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши An =
для многосвязной области 1
f (t )
1
f (t )
dt
dt,
=


ò
ò
2pi (t - z 0 )n +1
2pi (t - z 0 )n +1
G
L
; R
n = 0, 1, 2, 3,...
An =
1
f (t )
1
f (t )
dt
=
 (t - z )n +1
ò (t - z )n +1 dt, 2pi ò
2
i
p
0
0
G
L
r
поэтому для любого n An =
1
f (t )
dt, n = 0,  1, ,2,  3,... , 
ò
2pi (t - z 0 )n +1
G
и ¥
f (z ) =
å An (z - z 0 )
n
n =0
¥
=
n =1
+
å An (z - z 0 )
n
¥
=
n =-1
å
n =-¥
An (z - z 0 )n = ¥
A-n
å (z - z
-¥
n
0)
+
å An (z - z 0 )n . n =0
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени z - z 0 ), называется рядом Лорана функции f (z ) . Его часть, содержащая ¥
неотрицательные степени ( å An (z - z 0 )n ), называется правильной; часть, n =0
-¥
содержащая отрицательные степени (
å An (z - z 0 )
n
n =-1
¥
=
A
å (z --zn )n
n =1
), 0
называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, 98
сходится в круге | z - z 0 |< R , главная ‐ во внешности круга | z - z 0 |> r , поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце r <| z - z 0 |< R . Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно. Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Постановка задачи. Разложить в ряд Лорана по степеням z
рациональную функцию f (z ) =
Pn (z )
, где Pn (z ) и Qm (z ) ‐‐ многочлены и Qm (z )
Qm (z ) ¹ 0 . План решения. ‐‐ Если дробь неправильная, выделяем целую часть. Находим корни знаменателя (будем предполагать, что все они простые). ‐‐ Нули знаменателя являются особыми точками функции f (z ) . ‐‐ Разлагаем рациональную дробь на элементарные дроби: 99
Pn (z )
A1
A2
Am
. =
+
++
Qm (z ) z - z1 z - z 2
z - zm
‐‐ В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряды, 1
=
используя разложения в ряд Тейлора: 1-z
¥
å z n , z
< 1 ( * ) и в ряд n =0
¥
1
1
1
1
Лорана == - å n +1 , z > 1 ( * * ) . Разложение ( * * ) z 1-1/ z
1-z
n =0 z
получено из ( * ) заменой z на 1
. Записываем полученные лорановские z
разложения функции f (z ) в каждом кольце аналитичности. Пример 8.2.1. Разложить в ряд Лорана по степеням z - 2 функцию f (z ) =
1
. z (z + 4)
· Здесь z 0 = 2 ; функция теряет аналитичность в точках z1 = 0, z 2 = -4 . Получаем три области аналитичности с центром в z 0 (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность: 1. | z - 2 |< 2 ; 2. 2 <| z - 2 |< 6 ; 3. | z - 2 |> 6 . В каждой из этих областей разложение будет таким: 100
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. 1
1 (z + 4) - z
1 æ1
1 ö÷
= ⋅
= ⋅ çç ÷ ‐ таково разложение f (z ) на z (z + 4) 4 z (z + 4)
4 çè z z + 4 ÷ø
простые дроби, разлагаем 1
1
1
=
= ⋅
z
2 + (z - 2) 2
в ряд Тейлора ¥
æ
ön
1
1
n çz - 2÷
= å (-1) ç
÷ =
çè 2 ÷ø
z -2
2 n =0
1+
2
каждую ¥
å
n =0
(-1)n
n +1
2
| z - 2 |< 2
где их них. (z - 2)n
, ; ¥
¥
æ
ön
1
1
(-1)n
n çz - 2÷
= å (-1) ç
÷÷ = å n +1 (z - 2)n
z -2
6 n =0
èç 6 ø
n =0 6
1+
6
; это разложение справедливо, если | z - 2 |< 6 , т.е. в первой и второй 1
1
1
=
= ⋅
z +4
6 + (z - 2) 6
областях. Окончательно в первой области ¥
æ 1
1
1 ö
f (z ) = å (-1)n çç n +1 - n +1 ÷÷÷(z - 2)n . Этот ряд содержит только çè 2
4 n =0
ø
6
правильную часть. 2. В кольце 2 <| z - 2 |< 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби 1
|z -2 |
< 1 , поэтому разложение ) по модулю 6
z +4
остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что | z - 2 |> 2 
2
< 1 , |z -2 |
получим 101
1
1
1
=
=
⋅
z
2 + (z - 2) z - 2
-1
å
1
2
1+
z -2
=
¥
¥
æ
ön
1
(-1)n ⋅ 2n
nç 2 ÷
=
=
(
1)
÷÷
çç
å
å
n +1
z - 2 n =0
èz - 2ø
n = 0 (z - 2)
¥
å
(-1)n -1 ⋅ 2n -1
n =1
n
(z - 2)
=
=
(-1)-n -1 ⋅ 2-n -1 ⋅ (z - 2)n . Это ‐ главная часть ряда Лорана. Разложение n =-¥
-1
¥
1
1
(-1)n
n
-n -1
-n -1
имеет вид f (z ) =
(-1)
⋅2
⋅ (z - 2) - å n +1 (z - 2)n . å
4 n =-¥
4 n =0 6
3. В кольце | z - 2 |> 6 < 6 | z - 2 |< +¥ для первой дроби получим разложение 1
1
1
=
=
⋅
2 + (z - 2) z - 2
z
1
или =
z
-1
å
¥
1
2
1+
z -2
å
(z - 2)n +1
¥
=å (-1)
n =1
n -1
2n -1
(z - 2)n
n =-¥
второй 1
1
1
=
=
⋅
z + 4 6 + (z - 2) z - 2
=
å (-1)
n =0
2n
(-1)-n -1 ⋅ 2-n -1 ⋅ (z - 2)n . Для -1
=
n
так: 1
1+
6
z -2
дроби ¥
¥
¥
æ
ön
1
(-1)n 6n
(-1)n-16n-1
nç 6 ÷
=
=
=
(
1)
÷
ç
å èç z - 2 ÷ø å(z - 2)n+1 å (z - 2)n =
z - 2 n=0
n=0
n=1
(-1)-n -1 ⋅ 6-n -1 ⋅ (z - 2)n . n =-¥
Ответ можно записать и в форме ¥
1
1
f (z ) = å (-1)n -1 ( 2n -1 - 6n -1 ) ⋅
, 4 n =1
(z - 2)n
-¥
1
и в форме f (z ) = å (-1)-n -1 ( 2-n -1 - 6-n -1 ) ⋅ (z - 2)n . 4 n =-1
102
В этом разложении имеется только главная часть. Пример 8.2.2. Разложить функцию f (z ) =
cos z
æ
ö÷4
p
çç z - ÷
çè
4 ÷ø
в ряд Лорана по p
. 4
степеням z -
· Здесь функция теряет аналитичность только в точке z 0 =
f (z ) =
=
4
( )
p
z4
¥
å (-1)n
2 n =0
=
⋅
2
=
2
2
æ
çç
çç
çç
ç
⋅ çççç
çç
çç n
çç
çè
( ( ))
( )
cos
cos z
p
p
+ z4
4
4
p
z4
2
2
( ) ( )
( )
cos z -
p
p
- sin z 4
4
4
p
z4
2n
2n +1
p
p
z
¥
4
4
- å (-1)n
+1)!
n
(2n )!
(2
n =0
( )
= ( )
z-
4
( )
p
z4
= ö
æ
ö2n -4
æ
ö2n -3 ÷÷÷÷
çç z - p ÷÷
çç z - p ÷÷
÷÷
¥
¥
÷÷
ç
ç
4 ÷ø
4 ÷ø
÷÷
nè
nè
- å (-1)
÷÷ . å (-1)
÷÷
(2
)!
(2
1)!
+
n
n
÷÷
=0
n=0
÷
÷÷
ø÷÷
Главная =
2
=
⋅
2
p
, поэтому 4
æ
çç
çç
çç
ç
⋅ çççç
çç æ
çç ç
çç ç z
ç
çè è
часть 1
4
-
p ö÷
÷
4 ÷ø
-
1
3
æ
ö
çç z - p ÷÷
çè
4 ÷ø
-
здесь 1
2
æ
pö
2 ⋅ çç z - ÷÷
4 ÷ø
èç
+
1
æ
3 ⋅ 2 ⋅ çç z çè
равна ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
p ÷ö ÷÷÷÷
÷ ÷÷
4 ø÷ ÷÷÷÷ø
, остальные слагаемые образуют правильную часть. 103
Пример 8.2.3. Разложить функцию f (z ) =
z
(z
2
3
- 8)
в ряд Лорана по степеням z + 2 . · Здесь z 0 = -2 ; функция теряет аналитичность только в точке z 0 и в точке z1 = 2 , отстоящей от z 0 на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 0 <| z + 2 |< 4
f (z ) =
и z
(z
2
3
- 8)
=
2. z +2-2
3
3
(z + 2) ⋅ (z - 2)
| z + 2 |> 4
. æ
ö÷
çç
1
2
1
÷÷ ⋅
=ç
÷
3
2
3
ç
çè ( z + 2 )
( z + 2 ) ø÷÷ ( z - 2 )
. Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням z + 2 , работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции 1
. z -2
1. В первом кольце 0 <| z + 2 |< 4 получаем 1
=- ⋅
4
1
z -2
=
1
= -4 +(z + 2)
¥
æ 1 ö÷¢
1
1
(z + 2)n
1
, = -çç
=- å
÷ = n
2
çè z + 2 ÷ø
z +2
4 n =0 4
+
(
z
2)
14
¥
1
n(z + 2)n -1
, = å
n
4 n =1
4
¥
¥
ö¢
1 çæ
1
1
n(n - 1)(z + 2)n -2
1
(n + 2)(n + 1)(z + 2)n
÷
÷÷ = - å
=
⋅
=
ç
å
2 çè (z + 2)2 ÷ø
8 n =2
8 n =0
(z + 2)3
4n
4n +2
1
¥
1
(z + 2)n
=
(
n
+
1)(
n
+
2)
, å
128 n = 0
(z + 2)3
4n
1
104
æ
ö÷
çç
1
2
1
÷÷
= f (z ) = ç
÷
3
2÷
3
ç
çè ( z + 2 )
( z + 2 ) ÷ø (z + 2)
æ
ö÷ ¥
1 çç
1
2
(z + 2)n
÷
÷ å (n + 1)(n + 2)
=. ç
n
128 çç ( z + 2 )3 ( z + 2 )2 ÷÷÷ n = 0
4
è
ø
Это и есть искомое разложение в первом кольце. 2. Во втором кольце | z + 2 |> 4 получаем 1
⋅
z +2
¥
1
4
1z +2
=
4n
å (z + 2)n +1
n =0
1
1
=
= z - 2 -4 + (z + 2)
æ 1 ö÷¢
, = - çç
÷ =
2
çè z + 2 ÷ø
(z + 2)
1
¥
(n + 1) ⋅ 4n
å (z + 2)n +2
, n =0
¥
ö÷¢
1 æç
1
1
(n + 1)(n + 2) ⋅ 4n
÷ = å
= - ⋅ç
2 çè (z + 2)2 ÷÷ø
2 n =0
(z + 2)3
(z + 2)n + 3
1
, ö÷ ¥ (n + 1)(n + 2) ⋅ 4n
1æ
1
2
֌
. f (z ) = ççç
2 è (z + 2)3 (z + 2)2 ÷ø÷ n = 0
(z + 2)n
Пример 8.2.4. Найти разложение функции 1
z2
sin z в ряд Лорана а) в особой точке z 0 = 0 ; б) в особой точке . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости: ·
а) Воспользуемся известным разложением функции ¥
sin x =
(-1)n 2n +1
å (2n + 1)! z n =0
105
в ряд Тейлора в области 0 < z £ ¥ , т.е. во всей комплексной плоскости C : ö 1 z
1 çæ
z3 z5
z
z5
÷
+
- ... ÷÷ = - + + ... =
sin z = 2 çç z ÷ø z 3! 5! 7 !
3! 5!
x2
z èç
1
¥
(-1)n 2n -1
å (2n + 1)! z
n =0
главная часть правильная часть Область сходимости ряда — вся комплексная плоскость C за исключением точки z = 0 , т. е. кольцо 0 £ z £ ¥ . б) Для разложения в ряд Лорана в бесконечно удаленной точке сделаем замену t =
1
и будем искать разложение в точке t0 = 0 : z
æ
1
1 1
1 1
(-1)n
1
÷÷ö =
2 ç1
t sin = t çç +
+
+
...
...
÷÷
çè t 3! t 3 5! t 5
t
(2n + 1)! t 2n +1
ø n
11 1 1
(-1)
1
=t+
+
...
,
3! t 5! t 3
(2n + 1)! t 2n -1
2
Область сходимости ряда— кольцо 0 £ z £ ¥ . Как видим, в случае, когда разложение в ряд Лорана по степеням z сходится в кольце 0 £ z £ ¥ , оно является одновременно разложением и в точке z 0 = 0 , и в точке . Пример 8.2.5. Найти разложение функции 1
в ряд Лорана по 3-z
степеням z - 1 в окрестности точки z 0 = 1 . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. · Сначала выделим выражение z - 1 в знаменателе дроби 1
: 3-z
106
1
1
1
1
1
=
=
=
. Теперь воспользуемся æ
ö 2
3-z
2 - (z - 1)
z
1
z
1
÷
2 çç 1 1÷
çè
2 ÷ø
2
разложением дроби 1
=
1-z
¥
å zn
в бесконечно убывающую n =0
геометрическую прогрессию со знаменателем q = z в той области, где z — «мало» (т.е. в открытом круге q = z < 1 . В силу вышесказанного, дробь 1
представима в виде ряда Лорана, z -1
12 сходящимся в области, где | q |=
z -1
«мало», т. е. в открытом круге 2
z -1
< 1 , или z - 1 < 2 . 2
1
1
=
Отсюда 3-z
2
æ
ö÷
æ z - 1 ÷ön
1
1 çç
z -1
ç
= ç1 +
+ ... + ç
÷÷ + ÷÷÷ = ç
ç
z -1
2 çè
2
è 2 ø
÷ø
12
n
( z - 1)
1 z -1
= +
+ ... +
+  2
2⋅2
2n +1
Область сходимости — открытый круг z - 1 < 2 . Пример 8.2.6. Найти разложение функции 2
в ряд Лорана в особой z (3 - z )
точке z 0 = 0 . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. 107
· Предварительно представим данную дробь в виде суммы двух простейших 2
A
B
= +
.
z (3 - z )
z
3-z
дробей Найдем числа А и В: ì 0 = B - A,
ï
откуда ï
í
ï
2 = 3A,
ï
î
т.е. 2
A(3 - z ) + Bz
=
, z (3 - z )
z (3 - z )
следовательно, A=B=
Итак, 0z + 2 = ( B - A ) z + 3A
, 2
. 3
23
23
2
=
+
. z (3 - z )
x
3-z
2
Так как дробь 3 уже представлена в виде суммы (состоящий из одного z
2
слагаемого) членов вида cn z n , то остается найти разложение дроби 3 . 3-z
Для этого воспользуемся разложением в круге z < 1 и получим: 2
æ
ö÷
æz ÷ön
2 çç z çæz ö÷
2 2
2
2
÷
ç
=
=
1 + +ç ÷÷ +... +ç ÷÷ +...÷÷ = 2 + 3 z + 4 z2 +... + n+2 zn +...
ç
æ z ö 3 ⋅ 3çç 3 èç 3ø
3 -z
èç 3ø
÷ø 3 3
3
3
è
3çç1 - ÷÷÷
çè 3ø
23
23
Этот ряд (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) сходится при |q| =
z
z
< 1 , т.е.в открытом круге < 1 , или z < 3 . 3
3
Теперь запишем ряд Лорана для исходной дроби: 108
2
2
2
2
2
= 3 + 2 + 3 z + 4 z 2 + ... =
z (3 - z )
z
3
3
3
¥
å
2
n +2
n =-1 3
z n . 2
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < z < 3 . Первое слагаем 3 , z
является главной частью ряда, оставшаяся часть ряда — правильной. Пример 8.2.6. Найти разложение функции 2
в ряд Лорана в z (3 - z )
окрестности бесконечно удаленной точки. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. · Известно, что 23
23
2
=
+
z (3 - z )
z
3-z
разложение функции 2 3
3-z
(пример 8.2.5.). Запишем в бесконечно убывающую геометрическую 1
прогрессию в области, в которой z — «велико», т.е. — «мало»: z
2
æ
23
æ 3 ÷ön -1
÷ö
2 çç
3 æç 3 ö÷
÷
ç
=
= - ç 1 + + ç ÷÷ + ... + ç ÷÷
+ ... ÷÷ =
çè z ø
çè z ø
æ
ö÷
ç
3-z
3
3
z
z
÷ø
ç
è
-z çç 1 - ÷÷
zø
èç
23
=-
2
2
2⋅3
2⋅3
2 ⋅ 3n -2
- 2 - 3 - ... - 3 - ... - ...
3z z
z
z
zn
Этот ряд сходится при 3
< 1 т.е. в области z > 3 . z
Теперь запишем разложение в ряд Лорана для исходной дроби: 109
23
2
2
2
2
2⋅3
2 ⋅ 3n -2
=
- 2 - 3 - ... - ... =
n
z (3 - z )
z
3z 3z z
z
z
¥
-2
n -2
2
2⋅3
2⋅3
2 n
n -2 2
...
(
2)3
= - 2 - 3 - ... =
=
z .
å
å
n +2
z
z
zn
zn
n =2
n =-¥ 3
Область сходимости этого ряда — кольцо |z| > 3. Упражнения 8.1. Найти все лорановские разложения функции 8.1.1. f ( z ) =
z -1
по степеням ( z - 2 + i ) z ( z + 1)
8.1.2. f ( z ) =
z -1
по степеням ( z - 1 - 3i ) . z ( z + 1)
8.1.3. f ( z ) =
z +3
8.1.4. f ( z ) =
8.1.5. f ( z ) =
z2 - 1
по степеням ( z - 2 - i ) . z +1
по степеням ( z + 3 + 2i ). z ( z - 1)
2z
z2 - 4
по степеням ( z - 2 - 2i ). 8.1.6. f ( z ) =
z -1
по степеням ( z - 1 - 3i ) . z ( z + 1)
8.1.7. f ( z ) =
z +2
по степеням ( z + 2 - 2i ). ( z - 1 )( z + 3 )
8.1.8. f ( z ) =
8.1.9. f ( z ) =
z
z2 + 1
z +3
z2 - 1
по степеням ( z - 2 - i ). по степеням ( z + 2 - 3i ). 110
8.1.10. f ( z ) =
8.1.11. f ( z ) =
8.1.12. f ( z ) =
8.1.13. f (z ) =
z +3
z2 - 1
в окрестности точки z 0 = -2 - 2i. z +1
по степеням ( z - 2 + 3i ). z ( z - 1)
z
2
z +1
по степеням ( z + 3 - i ). z +2
по степеням ( z + 2 - 2i ) . (z - 1)(z + 3)
8.1.14. f ( z ) =
8.1.15. f ( z ) =
z +1
по степеням ( z - 1 - 2i ). z ( z - 1)
z
z2 + 1
по степеням (z + 3 + 2i ). 8.1.16. f ( z ) =
z -1
по степеням ( z + 1 - 2i ). z ( z + 1)
8.1.17. f ( z ) =
z -1
по степеням ( z + 1 - 2i ). z ( z + 1)
8.1.18. f ( z ) =
8.1.19. f ( z ) =
8.1.20. f ( z ) =
8.1.21. f ( z ) =
8.1.22. f ( z ) =
z
2
z +1
по степеням ( z + 3 - i ). z +1
по степеням ( z - 1 - 2i ). z ( z - 1)
2z
2
z -4
z
z2 + 1
по степеням ( z - 2 - 2i ) . по степеням ( z - 1 + 2i ). z +2
по степеням ( z - 1 + 3i ) . ( z - 1 )( z + 3 )
111
8.1.23. f ( z ) =
8.1.24. f ( z ) =
8.1.25. f ( z ) =
z
z2 + 1
z +3
z2 - 1
z +3
z2 - 1
по степеням ( z - 2 - i ). по степеням ( z + 2 - 3i ). по степеням ( z - 3 + i ) . 9. Аналитическое продолжение L
Аналитическое продолжение является одним t из основных и важных понятий комплексного анализа. Оно позволяет лучше понять природу z
z0
r
D функций комплексного переменного и наиболее естественно определить многозначные аналитические функции. Выясним, какие данные являются достаточными для определения аналитической функции во всей области ее существования, и как по этим данным можно построить аналитические выражения, определяющие функцию в этой области. В случае целой рациональной функции степени n достаточно знать ее значения в n+1 точках, чтобы определить ее на всей плоскости. Для определения дробно‐линейной функции, являющейся отношением двух целых многочленов степени m и n, достаточно задать m+n+1 ее значений. Но уже в случае целой трансцендентной функции недостаточно задать ее значения даже на бесконечном множестве дискретных точек. Например, 112
условие f(z) = 0 при z=kπ (k   ) может относиться к функциям f(z)=0, f(z)=sin z, f(z)=A sin z, A=const. В случае целой трансцендентной функции достаточным является, например, задание значений функции и ее производных всех порядков в любой точке z 0 , поскольку по этим данным можно построить степенной ряд f
(n)
(z  z0 ) n
(z0 )
, n!
сходящийся во всех точках плоскости и, таким образом, определяющий в ней функцию f. Для определения функции, аналитической в замкнутой области, достаточно, согласно формуле Коши, знать ее значения на контуре. Для определения непрерывной функции недостаточно знать даже все f
ее значения в какой‐то области. Например, функцию a, b 
R можно продолжить за сегмент a, b неограниченным количеством способов, не нарушая при этом непрерывности функции. Рассматривая класс аналитических функций, который выделялся из совокупности всех непрерывных функций требованием их дифференцируемости в области, мы увидим, что он имеет такое свойство, которое позволяет определить аналитическую функцию всей области ее существования, зная: a) «элемент» этой функции, т.е. степенной ряд 
f
(n)
( z0 )
(z  z0 ) n , n!
определяющий ее в круге сходимости, или b) значения этой функции в как угодно малой области, или, наконец, c) значения ее на как угодно малой дуге некоторой кривой. 113
После установления этого обстоятельства естественно поставить вопрос о том, как, имея аналитическую в некоторой области D функцию f, расширить область определения функции, т.е. построить новую область, содержащую область D, и определить в ней такую аналитическую функцию, сужение которой на область D совпало бы с f. Такое расширение области определения аналитической функции называется процессом ее аналитического продолжения, а полученное при этом аналитическое выражение, определяющее функцию в новой области – ее аналитическим продолжением. Необходимость такого расширения области определения функции возникает, например, при нахождении решения дифференциального уравнения в виде ряда, сходящегося внутри некоторого круга. 9.1 Аналитическое продолжение вдоль пути. 9.1.1. Свойство единственности аналитической функции. Теорема. Если функция f аналитическая в некоторой области D и обращается в нуль в некоторой ее части D1 , то f  0 во всей области D. Допустим, что f отлична от нуля в точке z  b той части области D, которая лежит вне области D1 . Соединим эту точку с любой точкой   D1 некоторой кривой  , лежащей в D. (рис. 83). На некоторой дуге этой кривой, примыкающей к точке à , f ( z )  0 , а на некоторой дуге, примыкающей к b , f ( z )  0 . 114
Тогда существует такая точка z 0   , z  az 0 f ( z )  0 , а на дуге z 0 b есть точки, как угодно близкие к z 0 , в которых f ( z )  0 . Поскольку функция f непрерывная, то должно выполняться равенство f ( z )  0 , т.е. z 0 является неизолированным нулем функции f . Это последнее обстоятельство возможно лишь тогда, когда разложение функции f в ряд Тейлора в окрестности с центром в точке z 0 тождественно равно нулю. Но тогда f (z ) будет равно нулю и на некотором отрезке дуги z 0 b , примыкающем к точке z 0 , что невозможно в силу свойства точки z 0 . При доказательстве теоремы можно было бы ограничиться требованием, чтобы функция f обращалась в нуль на некоторой кривой, лежащей в D, поскольку тогда она обращается в нуль и в некотором круге с центром в одной из точек этой кривой. Следствие. Если две функции f1 и f 2 , аналитические в некоторой области, принимают одинаковые значения на некоторой части области или на отрезке кривой, лежащей в области, то f1 = f 2 во всей области. Таким образом, задание элемента функции, аналитической в некоторой области, или, вообще, задание ее значений в как угодно малой области или на кривой, а также на бесконечном множестве точек, имеющем предельную точку, полностью определяет функцию в области ее аналитичности. Определение 1. Пусть функция f 0 определена на некотором множестве   C . Аналитическим продолжением функции f 0 в область D   называется аналитическая в области D функция f, сужение которой f
M
 f 0 . Примеры. 115
1) f 0 ( x)  e x , M  R ; f ( z )  e z  e x cos y  ie x  sin y , D  C ; 
2) f 0 ( z )   z n , M  z  C : z  1; f ( z ) 
n 0
1
C
, D  . 1
1 z
Расширим понятие аналитического продолжения. Определение 2. Аналитическим элементом P называется упорядоченная пара P=(D, f), состоящая из области D  C и аналитической в этой области функции f. Рассмотрим задачи. 
1. Доказать, что элементы P1  ( K1  z n ), K 1  z  C : z  1, n 0
и P2  ( K 2 ,


1  z i n
 ( ) ), K 2  z  C : z  i  2 , 1  i n 0 1  i
являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга. Оба ряда представляют функцию z 
1
в кругах K1 и K 2 . 1 z
1 1 z n
) ) , K 1  z  C : z  1  2, 2
n 1 n

2. Доказать, что элемент P  ( K1, ln 2   (
является непосредственным аналитическим продолжением элемента 
P0  ( K 2 ,  (1) n
n 1
zn
), K 2  z  C : z  1 . n
Оба ряда определяют разложение функции z  ln(1  z ) и K 2  K1 . 3. Доказать, что элементы P1 ( K 1 , z  C : z  1
, и (1) n
( z  2) n ) , K 2  z  C : z  2  1 , не имеют общей области n
n 1

P2  ( K 2 , i  
сходимости, однако являются аналитическими продолжениями друг друга в понимании определения 4, п. 1.1. Элементы P1 и P2 являются 116
аналитическими продолжениями друг друга вдоль любого пути, лежащего в верхней полуплоскости с концами в точках 0 и 2. Это продолжения определяют в верхней полуплоскости функцию z   ln(1  z ) . 4. Доказать, что сумма g степенного ряда  ÿ 2 является полной n

аналитической функцией. Имеем g ( z )   z 2 . В точках z km  e 2im 2 , плотно k
n
n 0
размещенных на окружности   z  C : z  1, являющейся границей круга сходимости ряда, функция g не имеет конечного радиального предела. 5. Привести пример полной аналитической функции f , областью определения которой является единичный круг K  z  C : z  1 , 
n
z2
непрерывный в замыкании K . Такой функцией является z  f ( z )   n . n 0 2
Если бы f аналитически продолжалась за единичный круг, то такое же свойство имела бы и ее производная f  , что противоречит задаче 4. 6. Доказать, что когда радиус сходимости степенного ряда  a n z n равен единице и все a n  0 , то такой ряд не может быть продолжен в точку 
z=1 (теорема Прингсхейма). Пусть f ( z )   a n z n . Рассуждаем от противного. n 0
Пусть существует такое число h  (0,1) , что ряд 
f ( n ) ( h)
( z  h) n сходится в n!
круге K r  z  C : z  h  r и h  r  1 . Согласно равенству f ( n ) (he i )  f ( n ) (h) ряд 
f ( n ) (he i )
( z  he i ) n
n!

K r  z  C : z  he i  r
будет 
сходящимся для каждого 
в круге , а сама функция f , следовательно, будет аналитической в круге K  z  C : z  h  r радиуса, большего единицы, что противоречит условию задачи. 117
9.2 переменного Распространение на функции комплексную область действительного по принципу аналитического продолжения Известно, что для полного однозначного определения аналитической функции достаточно знать ее значения на сколь угодно малом куске линии. Пусть имеется в плоскости комплексного переменного z кусок линии L и каждой его точке z соответствуют значения функции   z  . Рассматривая произвольную область G, содержащую L, можно встретиться с двумя возможностями: либо не существует никакой функции f  z  , которая совпадала бы с   z  на L , либо существует только одна такая функция. В последнем случае эта функция однозначно определяется через свои значения на L . Тогда можно сказать, что функция   z  , заданная вдоль L , аналитически продолжается в область G . В частности, принимая за L кусок действительной оси x0  x  x1 и обозначая через   x  соответствующие его точкам значения функции, можно говорить об аналитическом продолжении функции действительного переменного x . Если такое продолжение удается, то говорят, что функция   x  продолжена в комплексную область. Т.о. можно сделать вывод, что если функция действительного переменного x
вообще продолжаема в комплексную область, то это возможно только единственным образом. 10. Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты. 10.1. Нули аналитической функции. 118
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f (z ) , если f (a ) = f ¢(a ) = f ¢¢(a ) = ... = f (k -1)(a ) = 0 , но f (k )(a ) ¹ 0 . Пример. Пусть f (z ) = sin z - z +
z3
. Точка a = 0 ‐ нуль этой функции, 6
так как f (0) = 0 . Найдём порядок нуля: f ¢(z ) = cos z - 1 +
f ¢¢(z ) = - sin z + z, f ¢¢(0) = 0
z2
, f ¢(0) = 0; 2
f (3)(z ) = - cos z + 1, f (3)(0) = 0; , f (4)(z ) = sin z, f (4)(0) = 0; f (5)(z ) = cos z, f (5)(0) = 1 ¹ 0 . Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 ‐ пятая, поэтому эта точка ‐ нуль z3
пятого порядка функции f (z ) = sin z - z + . 6
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f (z ) имела в этой точке нуль k ‐го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f (z ) представлялась в виде f (z ) = (z - a )k f(z ) , где f(z ) ‐ аналитическая в точке а функция, и f(a ) ¹ 0 . Доказательство. Необходимость. Пусть точка а ‐ нуль k‐го порядка функции f (z ) , т.е. f (a ) = f ¢(a ) = f ¢¢(a ) = ... = f (k -1)(a ) = 0 , и f (k )(a ) ¹ 0 . Тогда f (z ) =
её f((ak))
k!
разложение k
(z - a ) +
f((ak)+1)
(k + 1)!
в ряд Тейлора имеет вид (z - a )k +1 + ... = 119
æ f (k )
f((ak)+1)
÷÷ö
çç (a )
= (z - a ) ç
+
(z - a ) + ... ÷÷ = (z - a )k ⋅ f(z )
çç k !
÷÷ø
(k + 1)!
è
k
f(z ) =
f((ak))
k!
+
f((ak)+1)
(k + 1)!
, где (z - a ) + ... ‐ аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что у ряда для f (z ) ) функция, f(a ) =
f((ak))
k!
¹ 0 . Достаточность. Пусть f (z ) = (z - a )k f(z ) , где f(z ) ‐ аналитическая функция, и f(a ) ¹ 0 . Находим производные этой функции по формуле Лейбница (uv )(n ) = u (n )v + nu (n -1)v ¢ + C n2u (n -2)v ¢¢ + C n3u (n -3)v (3) + ... + +C nn -2u ¢¢v (n -2) + nu ¢v (n -1) + uv (n )
: f ¢(z ) = k (z - a )k -1f(z ) + (z - a )k f ¢(z ), f ¢(a ) = 0
; f ¢¢(z ) = k (k - 1)(z - a )k -2 f(z ) + 2k (z - a )k -1 f¢(z ) + (z - a )k f ¢¢(z ), f ¢¢(a ) = 0
………………………….
f(k-1)(z) =kk
( -1)...2(z -a)f(z)+Ck1-1kk
( -1)...3(z -a)2f¢(z)+... +(z -a)kf(k-1)(z), f(k-1)(a) =0
f (k )(z ) = k (k - 1)...1 ⋅ f(z ) + C k1k (k - 1)...2(z - a )f ¢(z ) + ... + (z - a )k f(k )(z ),
f (k )(a ) = k ! f(a ) ¹ 0 , что и требовалось доказать. Из этой теоремы следует, что если многочлен Pn (z ) = a 0z n + a1z n -1 + a2z n -2 + ... + an -1z + an разложен на множители 120
k
k
k
Pn (z ) = a 0 ( z - z1 ) 1 ( z - z 2 ) 2 ...( z - zl ) l , то корни z1, z 2,..., zl являются нулями функции Pn (z ) кратностей, соответственно, k1, k2,..., kl . 10.2. Изолированные особые точки. 10.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f (z ) , если существует окрестность этой точки, в которой f (z ) аналитична во всех точках, за исключением точки а. Рассмотрим разложение функции f (z )
в ряд Лорана ¥
å
f (z ) =
k =-¥
Ak (z - a )k в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи. 1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: ¥
f (z ) =
å Ak (z - a )k
k =0
= A0 + A1(z - a ) + A2(z - a )2 + ... . В этом случае особая точка а называется устранимой. 2. Главная часть содержит конечное число членов: ¥
f (z ) = å Ak (z - a)k =
k =-n
A-n
n
(z - a )
+
A-n +1
(z - a )n -1
+ ... + A0 + A1(z - a) + A2(z - a )2 + ..., A-n ¹ 0
121
В этом случае особая точка а называется полюсом n‐го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях ‐ кратным. 3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой. 10.2.2. Признаки особых точек по значению lim f (z ) . z a
1.
Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f (z ) , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел lim f (z ) = Ñ, C ¹ ¥ . z a
Доказательство. f (z ) = ... +
A-n
n
(z - a )
+
Выпишем A-n +1
n -1
(z - a )
разложение f (z ) в ряд Лорана: + ... + A0 + A1(z - a ) + A2 (z - a )2 + ...
. Очевидно, что lim f (z ) может быть конечным тогда и только тогда, когда z a
отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е. z = a ‐ устранимая особая точка. В этом случае lim f (z ) = À0 . z a
2.
Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f (z ) , необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел lim f (z ) = ¥ . z a
Докажем теорему, из которой следует это утверждение. 122
Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n‐го порядка функции f (z ) , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f (z ) представлялась в виде f (z ) =
f(z )
(z - a )n
, где f(z ) аналитическая в точке а функция, f(à) ¹ 0 . Доказательство. Необходимость. Пусть f (z ) имеет в точке z = a была полюс n‐го ¥
f (z ) =
A
порядка, т.е. A
å Ak (z - a)k = (z --an )n + (z --na+)n1-1 + ... + A0 + A1(z - a) + A2(z - a)2 + ..., A-n ¹ 0
k =-n
. Преобразуем это выражение: f (z ) =
⋅( A-n
1
(z - a )n
⋅ 2
n
n +1
n +2
+ A-n +1(z - a ) + A-n +2 (z - a ) + ... + A0 (z - a ) + A1(z - a )
+ A2 (z - a )
+ ...
)
. Обозначим f(z )
сумму ряда, стоящего в скобках: f(z) = A-n + A-n+1(z -a) + A-n+2(z -a)2 + ... + A0(z -a)n + A1(z -a)n+1 + A2(z -a)n+2 + ...
Ряд Лорана функции f (z ) сходится в некотором кольце 0 <| z - a |< r . Пусть точка z1 принадлежит этому кругу. Ряд для f(z ) сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f (z ) только постоянным множителем 1
n
( z1 - a )
; по теореме Абеля ряд для f(z ) сходится в круге | z - a |<| z1 - a | , и f(z ) аналитична в этом круге как сумма степенного ряда. 123
Достаточность. Пусть f (z ) =
f(à) ¹ 0
функция, . f(z )
(z - a )n
, где f(z ) аналитическая в точке а f(z )
Разложим в ряд f(z ) = B0 + B1(z - a ) + B2 (z - a )2 + ... + Bn (z - a )k + ...
f (z ) =
B0
(z - a )n
+
B1
(z - a )n -1
+
B2
(z - a )n -2
Тейлора: . Тогда + ... , т.е. главная часть ряда Лорана функции f (z ) начинается с члена B0
(z - a )n
, где B0 = f(à) ¹ 0 , т.е. точка z = a ‐ полюс n‐го порядка. Следствие. Точка z = a ‐ полюс n‐го порядка функции f (z ) тогда и только тогда, когда существует конечный lim (z - a )n f (z ) ¹ 0 . n ¥
Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f (z ) имеет в точке z = a ‐ полюс n‐го порядка тогда и только тогда, когда функция 1
имеет в этой f (z )
точке нуль n‐го порядка. Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок z3
полюса. Так, мы доказали, что функция f (z ) = sin z - z + имеет в точке 0 6
нуль пятого порядка. Поэтому функция ez
sin z - z + z 3 / 6
имеет в этой точке 124
полюс пятого порядка. 3.
Уже доказано, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) lim f (z ) . Поэтому в существенно z a
особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую приведём без доказательства: В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция f (z ) принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного). Пример 10.2.2.1. Найти все особые точки функции 1
и определить их cos z
тип, для полюса найти его порядок. · Особыми точками функции являются все точки, в которых cos z = 0 , т. е. точки zk =
p
+ pk (k = 0, 1, 2,...) , и точка z = ¥ . 2
а) Так как lim cos z = 0 , то lim
p
z  zk = + pk
2
точка zk =
z  zk
1
= ¥ (k = 0, 1, 2,...) . Значит, каждая cos z
p
+ pk является полюсом. Определим порядок каждого полюса. 2
Найдем предел 125
-1
æ
æp
öö
p
p
çç z - çç + pk ÷÷
÷÷
t
z
k
z
t
p
=

=
+
+ pk,
÷÷
çè
çè 2
øø
2
2
lim
=
=
p
p
z
cos
z  + pk
z  + pk  t  0
2
2
t
t
1
t
= lim
= lim
=
= lim
k +1
k +1 t  0 sin t
æ
ö÷ t  0
t 0
p
( -1 ) sin t ( -1 )
cos çç t + + pk ÷÷
2
èç
ø
=
1
k +1
( -1 )
zk =
¹ 0 , (k = 0, 1, 2,...) . Следовательно, каждая из точек p
+ pk (k = 0, 1, 2,...) является полюсом первого порядка. 2
б) Точка z = ¥ является предельной для последовательности полюсов — точек zk =
p
+ pk , следовательно, z = ¥ не является изолированной 2
особой точкой. Пример 10.2.2.2. Найти все особые точки функции sin
1
и определить их z -2
тип, для полюса найти его порядок.  Особыми точками функции являются точки z1 = 2 и z 2 = ¥ . Способ 1. æ
1 ö÷
1
= ¥ , и, значит, lim çç sin
÷ ç
z 2 è
z 2 z - 2
z - 2 ø÷
а) Так как lim ( z - 2 ) = 0 , то lim
z 2
не существует. Отсюда следует что точка z1 = 2 является существенно собой точкой. æ
1 ö÷
1
б) Поскольку lim
= 0 , то lim çç sin
÷ = 0 , следовательно, точка z ¥ z - 2
z ¥ ç
z - 2 ÷ø
è
z 2 = ¥ является устранимой особой точкой. 126
1
Способ 2. Разложим функцию f (z ) = sin
в ряд Лорана по степеням z -2
z - 2 : sin
1
1
1
1
1
1
(-1)n
1
=
+
+
...
+
...
(2n + 1)! (z - 2)2n +1
z -2
z - 2 3! (z - 2)3 5! (z - 2)5
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < z - 2 < +¥ . а) Полученное разложение, сходящееся в проколотой окрестности точки z1 = 2 , содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями z - 2 , поэтому точка z1 является существенно особой точкой. б) Так как это разложение, сходящееся в окрестности точки z 2 = ¥ не содержит слагаемых с положительными степенями z - 2 , то точка z 2 является устранимой особой точкой. Пример 10.2.2.3. Найти все особые точки функции z +2
(z
2
- 4 )( z - 2 )
2
и определить их тип, для полюса найти его порядок. · Так как z +2
(z
2
- 4 )( z - 2 )
2
=
z +2
2
( z - 2 )( z + 2 )( z - 2 )
=
z +2
3
( z + 2 )( z - 2 )
, то особыми точками функции являются точки z1 = -2 , z 2 = 2 , z 3 = ¥ . а) lim
z -2
Так как z +2
3
( z + 2 )( z - 2 )
существует = lim
z -2
1
3
(z - 2)
конечный =-
предел 1
¹ ¥ 64
то точка z1 = -2 является устранимой особой точкой. 127
б) z +2
1
Так как lim ( z - 2 ) = 0 то lim
=
lim
= ¥ , 3
3
z -2
z 2
z 2
( z + 2 )( z - 2 )
(z - 2)
следовательно, точка z 2 = 2 является полюсом. Определим порядок этого 3
полюса. Получим lim f ( z ) ⋅ ( z - 2 ) = lim
1
3
(z - 2)
3
z 2
(z - 2)
z 2
= 1 ¹ 0 . Таким образом, точка z2 = 2 является полюсом 3‐го порядка, в) В силу того, что lim
z ¥
z +2
3
( z + 2 )( z - 2 )
= 0 , точка z 3 = ¥ является устранимой особой точкой. Пример 10.2.2.4. Найти все особые точки функции 1
и определить их тип, cos z
для полюса найти его порядок. · Особыми точками функции являются все точки, в которых cos z = 0 , т. е. точки zk =
а) Так как p
+ pk (k = 0, 1, 2,...) , и точка z = . 2
lim
p
z  zk = + pk
2
каждая точка zk =
полюса. cos z = 0 , то lim
z  zk
1
= ¥, k = 0, 1, 2,...; значит, cos z
p
+ pk является полюсом. Определим порядок каждого 2
Найдем предел é
æp
öù1
é
ù
÷
p
p
ê z - çç + pk ÷ ú
ê
ú
,
t
z
k
z
t
k
p
p
=

=
+
+
÷
ç
ê
è2
ø úû
ú=
2
2
lim ë
= êê
ú
p
cos z
ê z  p + pk  t  0
ú
z  + pk
2
êë
úû
2
1
1
t
t
t
lim
= lim
= lim
=
=
¹0
k +1 t  0 sin t
k +1
æ
ö÷ t  0 (-1)k +1 sin t
t 0
p
(
1)
(
1)
cos çç t + + pk ÷÷
çè
2
ø
128
(k = 0,  1,  2,... ). Следовательно, каждая из точек zk =
p
+ pk (k = 0, 1, 2,...) является 2
полюсом 1‐го порядка. б) Точка z =  является предельной для последовательности полюсов — точек zk =
p
+ pk , следовательно, z =  не является изолированной особой 2
точкой. 10.3. Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция f (z ) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f (z ) в окрестности k
¥
f (z ) =
å
k =-¥
+
этой Ak ( z - a ) =  +
точки A-n
n
(z - a )
в +
ряд A-n +1
n -1
(z - a )
Лорана: ++
A-1
2
+ A0 + A1 ( z - a ) + A2 ( z - a ) +  z -a
Коэффициент A1 называется вычетом функции f (z ) в точке а и обозначается res f (z ) . Если g ‐ произвольный кусочно‐гладкий замкнутый a
контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей A-1 = res f (z ) =
a
формуле для коэффициентов ряда Лорана, 1
 f (t )dt . 2pi ò
g
129
10.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 =0. 10.3.2. Вычеты в полюсах. 10.3.2.1. Если а ‐ простой полюс функции f (z ) , то res f (z ) = lim éë (z - a )f (z ) ùû . a
z a
Доказательство. Простой полюс ‐ полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: f (z ) =
A-1
+ A0 + A1(z - a ) + A2(z - a )2 + ...
z -a
. (z - a )f (z ) = A-1 + A0 (z - a ) + A1(z - a )2 + A2 (z - a )3 + ...
Тогда , и res f (z ) = A-1 = lim éë (z - a )f (z ) ùû . a
z a
10.3.2.2. Пусть f (z ) =
f(z )
, где f(z ) и y(z ) ‐ аналитические в y(z )
окрестности точки а функции. Если а ‐ простой нуль функции y(z ) , и f(a ) ¹ 0 , то res f (z ) =
a
f(a )
. y ¢(a )
130
Доказательство. Если а ‐ простой нуль функции y(z ) , и f(a ) ¹ 0 , то а – простой полюс f (z ) =
функции f(z )
y(z )
. Тогда, f(z )
res f (z ) = lim éë (z - a )f (z ) ùû = lim(z - a )
=
a
z a
z a
y(z )
= lim
f(z )
z a y(z )
z -a
f(z )
= lim y(z )-y(a ) =
z a
z -a
lim f(z )
z a
lim y(z )-y(a )
z -a
z a
=
f(a )
. y ¢(a )
10.3.2.3. Если а ‐ полюс функции f (z ) n‐го порядка, то é d n -1
ù
1
res f (z ) =
lim ê n -1 ( (z - a )n f (z ) ) ú . ú
a
(n - 1)! z a êë dz
û
Доказательство. Так как точка z = a ‐ полюс n‐го порядка функции ¥
f (z ) , то f (z ) =
å
k =-n
Ak (z - a )k =
A-n
(z - a )n
+
A-n +1
(z - a )n -1
+ ... +
A-1
+ z -a
A0 + A1(z - a ) + A2(z - a )2 + ..., A-n ¹ 0 . Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим f (z )
на ( z  a ) n f ( z )  A n  A n 1 ( z  a)  ...  A1 ( z  a)n 1  A0 ( z  a)n  A1 ( z  a ) n 1  ...

(z - a )n
: . 
d
( z  a)n f ( z)  An 1  2 An  2 ( z  a)  ...  (n  1) A1 (z  a)n 2  nA0 ( z  a)n 1  (n  1) A1 (z  a)n  ...
dz
d2

( z  a)n f ( z)  2 An2  3  2 An3 ( z  a)  ...  (n 1)(n  2) A1 ( z  a)n3  n(n 1) A0 ( z  a)n2  ...
2
dz
d n1
(z  a)n f (z)  (n 1)(n  2)... 2 1 A1  n(n 1)... 3 2  A0 ( z  a)  ...  (n 1)!A1  n! A0 ( z  a)  ...
dzn1
131
lim
d n -1
z a dz
n -1
((z - a )n f (z ) ) = (n - 1)! A-1 , откуда и следует доказываемая формула. 10.3.2.4. Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана. z1
L
10.4. Основная теорема о вычетах. Пусть функция f (z ) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области D , границей которой является контур L, за исключением конечного g1  2 z 2
g3
zn
D
n
z3
числа особых точек z1, z 2, z 3,..., z n , расположенных внутри L. Тогда n
res f (z ) . ò f (z )dz = 2pikå
z
=1
k
L
Доказательство. Окружим каждую особою точку zk , k = 1,2,..., n , контуром g = {z | z - z k |= rk } таким, чтобы все контуры лежали в k
области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, g1, g2, g 3,..., gn , функция аналитична, поэтому по теореме Коши для многосвязной области 132
ò f (z )dz = ò f (z )dz + ò f (z )dz + .... + ò f (z )dz . По определению вычета, L
g1
g2
gn
f (z )
ò f (z )dz = 2pi res
z
gk
,следовательно, k
n
f (z ) + 2pi res f (z ) + ... + 2pi res f (z ) = 2pi å res f (z ) , ò f (z )dz = 2pi res
z
z
z
z
k =1
L
1
n
2
k
что и требовалось доказать. 10.5. Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку z = ¥ особой точкой любой аналитической функции. Окрестности точек плоскости Ñ определяются как внешности кругов с центром в начале координат: U (¥, e) = {z Î C || z |> e} . Точка z = ¥ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ) , если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной z1 =
1
, при этом точка z = ¥ z
æ1ö
переходит в точку z1 = 0 , функция w = f (z ) примет вид w = f çç ÷÷÷ = f(z1) . çè z ø÷
1
Типом особой точки z = ¥ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z1 = 0 функции w = f(z1 ) . Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ¥ , т.е. при достаточно больших по модулю значениях z
, имеет вид 133
f (z ) = ... +
A-n
zn
+
A-n +1
z n -1
z
+ ... +
A-1
+ A0 + A1z + ... + An z n + ...
z
1
z1
то, , получим f(z 1) = ... + A-n ⋅ z1n + A-n +1 ⋅ z1n -1 + ... + A-1 ⋅ z1 + A0 +
A1
A
+ ... + nn + ... . z1
z1
заменив на , Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ¥ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = ¥ . Поэтому 1. Точка z = ¥ ‐ устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A0 ); 2. Точка z = ¥ ‐ полюс n‐го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым An ⋅ z n ; 3. Точка z = ¥ ‐ существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов. При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению lim f (z ) : если z = ¥ ‐ устранимая особая точка, то этот предел z ¥
существует и конечен, если z = ¥ ‐ полюс, то этот предел бесконечен, если 134
z = ¥ ‐ существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный). Пример 10.5.1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6 . · Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень ‐ шестая, поэтому z = ¥ ‐ полюс шестого порядка. Этот же результат можно получить f (z ) = -5 +
по‐другому. 3
z12
1
-
z16
=
z
Заменим -1 + 3z14 + 5z16
z16
на z1 =
1
z
, тогда = f(z1 ) . Для функции f(z1 ) точка z1 = 0 ‐ полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ¥ ‐ полюс шестого порядка. Пример 10.5.2. f (z ) =
1
z
e 1 . · Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём lim f (z ) : lim f (z ) = e
z ¥
z ¥
lim
1
z ¥ z -1
= 1 ; предел существует и конечен, поэтому точка z = ¥ ‐ устранимая особая точка. 2n +1
z3 z5 z7
n z
+
+ ... + (-1)
+ ... . Пример9.5.3. f (z ) = sin z = z 3! 5! 7 !
(2n + 1)!
· Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ¥ ‐ существенно особая точка. Иначе этот факт 135
можно установить исходя из того, что lim sin z не существует. z ¥
10.6. Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Для конечной особой точки z1 res f (z ) =
z1
1
f (z )dz , где g ‐ контур, не 2pi ò
g
содержащий других, кроме z1 , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой res f (z ) =
¥
стрелке). Определим res f (z )
¥
аналогичным образом: 1
f (z )dz , где G- ‐ контур, ограничивающий такую окрестность 
ò
2pi G
U (¥, r ) точки z = ¥ , которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура G- . Изменим направление обхода контура G- : ò f (z )dz = -ò f (z )dz
G-
. По основной теореме о вычетах G
k
res f (z ) , где суммирование ведётся по всем конечным ò f (z )dz = 2pi å
z
j =1
G
j
k
особым точкам. Поэтому, окончательно, res f (z ) = -å res f (z ) , т.е. вычет в ¥
j =1
zj
бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как 136
следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек z1, z 2,..., z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю. Отметим, что если z = ¥ ‐ устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции f (z ) =
1
, очевидно, z
res f (z ) = 1 ; z = 0 ‐ единственная конечная особая точка этой функции, 0
поэтому res f (z ) = - res f (z ) = -1 , несмотря на то, что lim f (z ) = 0 , т.е. ¥
z ¥
0
z = ¥ ‐ устранимая особая точка. 10.7. Примеры по нахождению вычетов функции. Пример 10.7.1. Найти вычеты функции · Функция
1
имеет три простых полюса в точках z1  0 , z2  1 , z3  1 .
z  z3
Воспользуемся формулой res
a
res
1
1
. z  z3
1
1

3
z  z 1  3z 2
  z  a
1
1

. Получим: res

 1,
0 z  z3
1  3z 2 0
  z    a 
1
1
1
1
  , res


3
2
2 1 z  z 1  3z 1
2
1
137
Пример 10.7.2. Найти вычеты функции 1
z  z  4
· Особыми точками функции являются
3
2
2
.
z1  0 - полюс третьего порядка,
z2,3  2i - полюса второго порядка. Вычеты найдем
d
1
res f  z  
lim
a
 n  1! xa
n 1
 z  a 
dz n1
n
f  z
по формуле
 . В результате получим
 3

1

z 3 2
2
z ( z  4)  1  1

1
1
1  5z 2  4 
1

,
lim
lim
lim4 2
res 3 2



 .



2
2
2
2
2
0 z ( z  4)
(3  1)! z0
2 z0  ( z  4) 
2 z0  ( z  4) 
32
dz

 5z 2  6i  1



1
1
1
1
d 
2

 .


lim
(
2
)
lim
lim
res 3 2

z
i





2i z ( z  4) 2
1! z2i dz 
z 3 ( z  2i) 2 ( z  2i) 2  z2i z 3 ( z  2i) 2  z2i z 4 ( z  2i) 3  64
res 
 2i
1
1
 .
2
64
z ( z  4)
3
2
Пример 10.7.3. Найти вычеты функции sin z
.
z

1 z 2 k 1
z3 z5

sin z  z      
3! 5!
k 0  2k  1!
k
·
Так
как

1 z 2 k

sin z
z2 z4
. В этом
 1    
z
3! 5!
k 0  2 k  1!
,
то
k
отсутствует, следовательно ,
res 
0
разложении
z=0 - устранимая особая
главная часть
точка, и A1  0 .
sin z
 0.
z
Пример 10.7.4. Найти вычеты функции f (z ) = z
2
1
z
⋅e 2 .
138
· Особая точка ‐ z = 2 . Разлагаем функцию в ряд по степеням z - 2 : z 2 = [(z - 2) + 2]2 = (z - 2)2 +
1
z
e 2
¥
=
1
å n !⋅ (z - 2)n
= 1+
n =0
+
1
n !⋅ (z - 2)n
f (z ) = z
2
4(z - 2) + 4
, 1
1
1
+
+
+ ... +
z - 2 2!⋅ (z - 2)2 3!⋅ (z - 2)3
+ ...
1
⋅ e z -2
= [(z
2
- 2) + 4(z - 2) + 4] ⋅ æ
ö÷
1
1
1
1
1
÷÷ = ...
...
⋅ ççç 1 +
+
+
+
+
+
+
z - 2 2!(z - 2)2 3!(z - 2)3 4 !(z - 2)4
n !(z - 2)n
è
ø÷
æ1
ö æ1
ö
4
1
= (z - 2)2 + ( 1 + 4 ) (z - 2) + çç + 4 + 4 ÷÷÷ + çç + + 4 ÷÷÷ ⋅
+ çè 2
ø çè 3! 2!
ø z -2
æ1
æ1
ö
4
4ö
1
1
çç + 4 + 4 ÷÷ ⋅
+ çç + + ÷÷÷ ⋅
+
+ ...
÷
çè 4 ! 3! 2! ø (z - 2)2 çè 5! 4 ! 3! ø (z - 2)3
. Разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями z -2
, следовательно, res f (z ) = A-1 =
2
z =2
‐ существенно особая точка. 1
4
37
+ +4=
. 3! 2!
6
Пример 10.7.5. Найти вычеты функции f (z ) = ctg z . · Особые точки – те, в которых sin z = 0 :
Эти точки являются (sin z )¢ z = cos z
k
zk
простыми ak = k p, k = 0,  1,  2,  3... . нулями знаменателя, так как = 1 ¹ 0 . Числитель cos ak ¹ 0 , поэтому точки ak ‐ 139
простые полюса. Вычеты находим по формуле res f (z ) =
a
resctg z =
ak
cos ak
¢
( sin z )
=
f(a )
: y ¢(a )
cos ak
= 1 . cos ak
z =ak
Пример 10.7.6. Найти вычеты функции f (z ) =
· Особые точки – те, в которых sin z = 0 :
(z - p)2
sin2 z
.
ak = kp . В этих точках предел знаменателя lim sin2 z = 0 ; во всех точках ak , за исключением a1 = p , z ak
числитель отличен от нуля, поэтому lim
z ak ,k ¹1
f (z ) = ¥ , следовательно, эти точки – полюса. Для определения порядка этих полюсов найдём порядок нуля знаменателя: y(z ) = sin2 z, y(ak ) = 0, y ¢(z ) = sin 2z, y ¢(ak ) = 0, y ¢¢(z ) = 2 cos 2z,
y ¢¢(z ) = 2 ¹ 0 , следовательно, эти полюса имеют второй порядок (при 0
k ¹ 1 ). В точке a1 = p функция представляет собой неопределённость , 0
однако, если вспомнить, что sin z = sin(p - z ) = - sin(z - p) , эта неопределённость lim f (z ) = lim
z 0
z 0
(z - p)2
sin2 z
раскрывается = lim
z 0
(z - p)2
é - sin(z - p) ù 2
ë
û
просто: = 1 , т.е. функция имеет конечный предел, следовательно, a1 = p ‐ устранимая особая точка.
140
Вычет в устранимой особой точке равен нулю, поэтому res f (z ) = 0 . В a1 = p
остальных res f (z ) =
ak
точках применяем é d n -1
ù
1
lim ê n -1 ( (z - ak )n f (z ) ) ú
ú
(n - 1)! z ak êë dz
û
2 öù
éd æ
1
2 (z - p) ÷
ç
ê
÷ú =
res f (z ) = lim
ç (z - ak )
÷
ç
2
ê
÷
ak ,k ¹1
z
a

ç
1!
sin z ø úû
k dz è
ë
t = z - ak ,
формулу при (меняем n=2: переменную sin z = (sin t + ak ) = sin(t + k p) = (-1)k sin t
)= é d æ (t + a - p)2 ÷öù
k
÷÷ ú = lim êê ççç t 2
2
÷ø úú
t  0 ê dt ç
sin t
ë è
û
é [2t(t + a - p)2 + 2t 2 (t + a - p)]sin t - 2t 2(t + a - p)2 cos t ù
k
k
k
ú = = lim êê
ú
3
t 0 ê
sin t
úû
ë
= 2 lim
t 0
t 2 (t + ak - p)]sin t
sin 3 t
+  t (t  a k  ) 2 sin t  t 2 (t  a k  ) 2 cos t 
t2
t
 2 lim

 2 lim 
  2 lim (t  a k  )
2
3
t  0
t 0
t  0 sin t
sin
t
sin
t



é sin t - t cos t ù
ú = 2(ak - p) + ´lim êé (t + ak - p)2 úù ´ lim ê
2
û t 0 ê
úû
t 0 ë
sin
t
ë
(к последнему пределу применяем правило Лопиталя) é cos t - cos t + t sin t ù
é t sin t ù
ú = 2(ak - p) + (ak - p)2 lim ê
ú=
´2(ak - p)2 lim ê
úû
t  0 êë
t  0 êë sin t cos t úû
2 sin t cos t
141
= 2(ak - p) = 2(k - 1)p . 10.8. Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах. у Пример 10.8.1. Вычислить ò

L
cos z
dz , æp
ö÷
z çç - z ÷÷
çè 2
ø
/2
х
где L ‐ квадрат | x | + | y |= 2 . · Обе особые точки подынтегральной функции ‐ z1 = 0 и z 2 =
расположены ò
L
внутри контура L, p
‐ 2
поэтому æ
ö
cos z
dz = 2pi çç res f (z ) + res f (z ) ÷÷÷ . Точка z1 = 0 ‐полюс первого æp
ö
è z1
ø
z2
z çç - z ÷÷÷
çè 2
ø
p
cos z  2
  . Точка z 2 = ‐ нуль первого z  0  / 2  z  
2
порядка, res f ( z )  lim z  f ( z )   lim 
z1
z 0
порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это ‐ устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть t =
p
- z , тогда 2
æp
ö
sin t
2
cos z = cos çç - t ÷÷÷ = sin t , и lim f (z ) = lim
=
. Конечный çè 2
z 0
t  0 (p / 2 - t )t
p
ø
предел существует, поэтому получили устранимую особую точку, и 142
res f (z ) = 0
. z2
ò
L
По основной теореме о вычетах æ2
ö
cos z
dz = 2pi çç + 0 ÷÷÷ = 4i . çè p
æp
ö
ø
z çç - z ÷÷÷
çè 2
ø
Пример 10.8.2. Вычислить ò
z
2
1
z
⋅ e 2dz
. |z |= 3
· Точка z = 2 ‐ существенно особая точка подынтегральной функции, и res f (z ) = A-1 =
2
ò
z
2
1
z
⋅ e 2dz
1
4
37
+ +4=
3! 2!
6
= 2pi ⋅
|z |= 3
f (z ) =
поэтому 37
37
=
pi . 6
3
Пример 10.8.3. Вычислить ·
, Здесь sh z
ò
(z 2 + 1)(z + i )(z - 5i )
|z |= 3
dz . подынтегральная sh z
2
(z + 1)(z + i )(z - 5i )
=
sh z
2
(z - i )(z + i ) (z - 5i )
функция имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура: z1 = i (простой полюс) и z 2 = -i
(полюс второго порядка). é
ù
sh z
sh i
e i - e -i
ú
=
=
=
res f (z ) = lim éë (z - i )f (z ) ùû z =i = ê
2
ê (z + i )2 (z - 5i ) ú
i
z i
32
i
(2i ) ⋅ (-4i )
ë
û z =i
1
sin 1
=
16
143
é
ù¢
sh z
2
¢
é
ù
ú
res f (z ) = lim ê (z + i ) f (z ) ú = ê
û
êë (z - i )(z - 5i ) úû
-i
z -i ë
é ch z ⋅ (z - i )(z - 5i ) - sh z (2z - 6i ) ù
ú
=ê
=
2
2
ê
ú
(
z
i
)
(
z
5
i
)
ë
û z =-i
=
z =-i
é ch(-i ) ⋅ (-2i )(-6i ) - sh(-i )(-8i ) ù -12 ch i - 8i sh i
2 sin1 - 3 cos1
ú=
=ê
=
2
2
ê
ú
144
36
(-2i ) (-6i )
ë
û
æ sin1 2 sin1 - 3 cos1 ÷ö
æ
ö
sh z
çç
çç 17 sin 1 - cos1 ÷÷
=
+
=
p
p
dz
2
i
i
÷
ò (z 2 + 1)(z + i)(z - 5i)
÷ø
çè 16
36
6 ÷ø
èç 72
|z |= 3
Пример 10.8.4. Вычислить ò
|z |=1
1
1
⋅ sh dz . z +2
z
· Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции f (z ) : z  0 . Это ‐ существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент A1 разложения f (z ) в ряд Лорана в окрестности этой точки. ¥
n
1
1
1
1
1 z
z2 z3 z4 z5
n z
= ⋅
= å (-1) n = - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + z +2
2 1+ z
2 n =0
2 2
2
2
2
2
2
2
n
+(-1)
1
sh =
z
+
zn
2n +1
+ ...
¥
; 1
1
1
1
1
1
å (2n + 1)!⋅ z 2n +1 = z + 3!⋅ z 3 + 5!⋅ z 5 + 7 !⋅ z 7 + 9!⋅ z 9 + ... + n =0
1
(2n + 1)!⋅ z 2n +1
+ ... ., f (z ) =
1
1
⋅ sh , однако нет необходимости z +2
z
144
выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной z : A-1 =
1
1 1
1 1
1
1
⋅ 1 + 3 ⋅ + 5 ⋅ + ... + 2n +1 ⋅
+ ... . 2
(2n + 1)!
2 3! 2 5!
2
Легко что сообразить, это ряд для sh z при z =
1
, 2
т.е. 1
1
1
1
⋅ sh dz = 2pi res f (z ) = 2pi sh . res f (z ) = A-1 = sh , и ò

0
0
z +2
z
2
2
|z |=1
10.9. Применение вычетов для вычисления определённых интегралов Основная теорема о вычетах позволяет свести вычисление интеграла по замкнутой кривой к вычислению суммы вычетов подынтегральной функции относительно ее особых точек, охватываемых кривой. Иногда с помощью этого же метода удается вычислять интегралы но незамкнутым кривым и, в частности, некоторые определенные интегралы от функций действительной переменной. При этом специальными преобразованиями вычисление таких интегралов сводится к вычислению интегралов по замкнутым кривым, к которым можно применять теорему Коши о вычетах. 1) Пусть ,
→
,
рациональная функция от x и y, не имеющая особых точек на окружности ,
∈ :
1 . Тогда справедлива 145
2p
формула ò
0
æ
æ
öö
çç
çç z - 1 z - 1 ÷÷
÷÷
ç1 ç
z,
z ÷÷
÷÷
R ( sint, cost )dt = 2p å res çç R çç
÷÷
÷÷
zk ç z
ç
2
2
i
÷÷
k =1
ç
ç
÷÷
÷÷
çè
çè
øø
n
(10.1) æ
ö
ç z - 1 z - 1 ÷÷
ç
1 ç
z,
z ÷÷÷ ,
где { z k ; k = l, n } – полюсы функции z  R çç
z çç 2i
2 ÷÷÷
÷ø
çè
размещенные в единичном круге K = { z Î C : z < 1} . Для получения формулы (10.1) следует в интеграле перейти к комплексному переменному интегрированию z = e it . Тогда 2p
ò
0
æ
1
1ö
ççç z - z - ÷÷÷ dz
z,
z ÷÷ , G = ( g, g ) Г=(γ,γор) R ( sint, cost )dt = å R çç
op
çç 2i
2 ÷÷÷ iz
G
÷ø
çè
Осталось применить теорему Коши о вычетах, в результате чего получим формулу (10.1). 2) Пусть функция аналитическая в верхней полуплоскости, включая и действительную ось, за исключением конечного множества точек { zk ; k = l, n } , лежащих в верхней полуплоскости Im zk > 0 "k = l, n .Далее gR = { z Î C : z = Re e it , 0 £ t £ p } , M ( R ) = max f (z ) , R > max zk и 146
lim RM ( R ) = 0 . (10.2) R ¥
Тогда справедлива формула +¥
ò
n
f (x ) = 2pi å res f (z ) (10.3) k =1
-¥
zk
Рис.85 Пусть γ
,
⋃
, Г=(γ,γор)= Г , Г – положительно ориентированная кусочно‐гладкая замкнутая кривая (рис.85). Согласно основной теореме R
о вычетах выполняется равенство 
 f  z  dz   f  x dx   f  z  dz  2 i res f  z  . Перейдём в этом равенстве 
R
R
k 1
a
к пределу при → ∞ и, приняв во внимание соотношение (10.2), получим формулу (10.3). 3) Лемма (Жордана). Пусть функция аналитическая в верхней полуплоскости Z + = { z Î C : Im zk ³ 0 } за исключением конечного множества изолированных особых точек и 147
lim M (R) = 0 (10.4) R ¥
(или lim M (R) = 0 , где ( Rn ) ‐ такая последовательность чисел, что Rn ¥
полуокружности gR с центром в начале координат не содержат особых n
точек функции ). Тогда выполняется предельное соотношение ò f (z )eimzdz = 0 , GR = ( gR, gRop ) , lim
R ¥
lim
R ¥
GR
ò
f (z )e i mzdz = 0 , GR = ( gR , gRop ) . (10.5) n
GR
n
Оценим интеграл в левой части формулы (10.5), используя известное é pù
2t
, выполняющееся "t Î ê 0, ú . Имеем
равенство sin t ³
êë 2 úû
p
p
ò f (z )e
i mz
dz =
GR
ò f ( Reit )e
i mR cos t
⋅e
-mR sin t
Reit idt £
0
p
£ 2RM (R)ò e
-mR sin t
p
2
dt = 2RM (R)ò e
0
p
2
£ 2RM (R)ò e
0
-mR sin t
dt £
0
-
mR sin t
p
dt =
pM (R)
1 - e -mR ) . (
m
Из условия (10.4) и полученной оценки следует справедливость соотношения (10.5). 148
Замечание 1. Анализируя доказательство леммы Жордана, убеждаемся в том, что условие аналитичности функции не является существенным. Замечание 2. Лемма Жордана, доказанная для верхней полуплоскости, может быть сформулирована и доказана без всяких затруднений и для других полуплоскостей. Считая во всех случаях μ 0, а полуокружность лежащей в соответствующей полуплоскости. Запишем формулу (10.5) для случаев: а) Z - = { z Î C : Im zk £ 0 } , lim
f (z )e -imzdz = 0 ; (10.6) ò
R ¥
GR
б) Z pr = { z Î C : Re z ³ 0 } , lim
f (z )e -mzdz = 0 ; (10.7) ò
R ¥
GR
в) Zlev = { z Î C : Re z £ 0 } , lim
f (z )e mzdz = 0 ; (10.8) ò
R ¥
GR
Если функция f удовлетворяет условиям леммы Жордана и имеет в {
полуплоскости Z pr конечное множество особых точек ak , k = l, n
} , Im ak > 0 , то, повторяя рассуждения, проведенные в 2), получим "m > 0 +¥
ò
f (x )e
-¥
i mx
n
dx = 2pi å res ( f ( z )e i mz ) . (10.9) k =1
ak
Отсюда 149
+¥
n
æ
ö
çç
i mz ÷
res ( f ( z )e ) ÷÷ (10.10) ò f (x )cos mxdx = Re ççè 2pikå
÷÷
a
ø
=1 k
-¥
+¥
n
æ
ö
çç
i mz ÷
res ( f ( z )e )÷÷ . (10.11) ò f (x )sin mxdx = Im ççè 2pikå
÷
a
ø÷
=1 k
-¥
Пример. +¥
ò
-¥
x sin mx
ze i mz
1+x
1 + z2
dx = Im 2pi res
2
= Im
2pi ⋅ ie -m
= pe -m . 2i
4) Пусть функция удовлетворяет условиям 2) и, кроме этого, имеет {
}
конечное множество простых полюсов bj , j = l, m на действительной оси, Im bj = 0
т.е.
. Тогда справедлива формула +¥
m
æ n
ö÷
1
çç
÷÷ , (10.12) =
+
2
(
)
(
)
f
x
dx
p
i
resf
z
resf
z
å
çç å a
ò ( )
÷÷
b
2
è k =1 k
ø
j =1 j
-¥
Где интеграл вычисляется в смысле главного значения относительно всех точек bj и ¥ . Рассмотрим gR
r
= éë -R, R ùû \
замкнутую жорданову m
m
j =1
j =1
кривую  (bj - r < x < bj + r ) gR  g jr , где g jr ‐ верхняя полуокружность радиуса r с центром в точке bj и r достаточно малое, gR ‐ верхняя полуокружность с центром в начале координат и R достаточно большое, а кривая gR охватывает все особые r
точки (
ak k = 1, n
)
. Рассмотрим кусочно‐гладкую положительно 150
ориентированную замкнутую кривую GR = ( G1, G1-r , G2, , Gmr , Gm +1, GR ) , r
состоящую из упорядоченного набора ориентированных гладких кривых. Применив ò
теорему m
f (z )dz =
r
о m
вычетах, имеем
n
f (z )
å ò f (z )dz + å ò f (z )dz = 2pi å res
a
j =1 G
j
GR
Коши j =1 G
k =1
R
. Перейдем в ò f (z )dz = 0
, k
полученном равенстве к пределу при R  ¥ и r  0 . Принимая во внимания предельное соотношение lim
R ¥
r ¥ ò
lim
G-jr
GR
1
f (z )dz = - res f (z ) , получаем формулу (10.12). 2 bj
Аналогично может быть обобщена и формула (10.6), которая при наличии у функции простых полюсов +¥
принимает вид ò
f (x )e
-¥
i mx
n
1,
dx = 2pi å res f (z )e
k =1
ak
i mz
на действительной оси m
+ pi å res f (z )e i mz . (10.13) j =1
bj
Упражнения 10.1. Найти все особые точки функции и определить их тип, для полюса найти его порядок. z2 - 4
10.1.1 f ( z ) =
z -2
10.1.2 f ( z ) =
10.1.14. f ( z ) =
z
sin z
1
z +i
151
10.1.3 f ( z ) = ch
10.1.4. 10.1.5.
1
z 2 -1
4z 2 - 1
3
( 2z 2 - 3z - 2 )
2z - sin 2z
z
2
(z
2
+ 1)
( z + p ) sin
10.1.6. z sin2 z
1
cos
z
1 +z2
10.1.16. f ( z ) =
z2 + 4
z - 2i
10.1.17. p
z
2 z -2
10.1.15. f ( z ) =
10.1.18. 1 + cos pz
( 3z
2
2
+ z - 2)
sin 3z
z ( 1 - cos z )
p
cos z
10.1.19. 4 2 z -1
ez - 1
10.1.7. sin pz
1
10.1.8. z 2 sin z
10.1.20. z2
( z - 4 ) cos z -1 2
2
10.1.9. sin 5z
z -p
1
10.1.10. e
z
1
10.1.21. ctg z
z +1
z 10.1.22. 10.1.11. 10.1.12. sin pz
3
( z - 1)
1
z2
+ sin
z2 + 1
(z - i ) (z
2
2
+ 4)
1
z
10.1.23. z tgz e 1
z2
152
10.1.13. thz 10.1.24. 10.1.25. sin 3 z
z ( 1 - cos z )
1
1
ez - 1 z
10.2. Используя теорему о вычетах, вычислить интеграл: 10.2.1. ò

L
dz
, L : z = 1 z 4 (z + 2)
L
dz
ò (z - 1)(z - 2)(z - 4), 10.2.2. L
L : z = 1 + 2e it . 10.2.3. ò

L
(2z - 1 - i )dz
ò (z - 1)(z - i), 10.2.14. L : z = 2e it . ( z + 2 )dz
ò (z + 1)(z - 1)(z + 4), 10.2.15. L
L : z = 2 + 2e it . dz
, L : z = 4e it .
(z + 1) (z - i )
ò
10.2.4. L
(z2 + 2)
L
2
( z - 1 )( z - i )
, 10.2.17. ò

L : z = 5e it . ( z - 1 )( z - i )
, dz
, L : z = 2e it . z +1
2
(2z - 1 - i )dz
ò (z - 1)(z - i), L
ò
L
L : z = 3. 2
L : z - 2i = 2. L
( z + 3 )dz
ò ( z - 2 )( z 2 + 1 ) , L
10.2.18. 10.2.5. ò
10.2.16. L : z - 2i = 2. 10.2.6. (z2 + 2 )
2
cos z
2
( z + 1) ( z - 2 )
L : z = 2e it . dz, 10.2.19. ò
L
(z + 5)
z2 - 1
dz, L : z - 1 = 1. 153
( z + 3 )dz
ò ( z - 3 )( z 2 + 1 ) , 10.2.20. L
10.2.7. ò
L
dz
, 10.2.21. L
3
L : z = i + e it . 2
(z + 5)
z2 - 1
L : z = 2e it . dz, L : z - 1 = 1. ò
L
L
( z + 1 )dz
, 2
z ( z - 1 ) ( z - 3 ) 10.2.23. 2
( z - 1 )( z - i )
, 10.2.11. ò

L
sin z
ò z 2 + 1 dz, L
L : z = 2e it . L : z - i = 1. cos zdz
, L : z = 2e it . æ
pö
z 2 çç z - ÷÷÷
2ø
èç
( z + 3 )dz
ò ( z - 3 )( z 2 + 1 ), 10.2.24. L
L : z = 5e it . dz
ò ( z - 1)( z - 3 )( z + 2 ), L
L : z = 4 + 4e it . 10.2.13. ò
10.2.22. ( z 2 + 2 )dz
L : z - 2i = 2. 10.2.10. 10.2.12. ( z + 1) ( z - 2 )
dz, ( z + 1 )dz
, ò
2
L z ( z - 1) ( z - 3 )
ò ( z 3 + z )( z 2 + 4 )
10.2.8. L
2
L : z = 3. L : z = 2. 10.2.9. ò

cos z
dz
ò ( z 3 + z )( z 2 + 4 ), L
10.2.25. dz
ò (z - 1)(z - 2)(z - 4), L
L : z = 1 + 2e it . 3
L : z = i + e it . 2
10.3 . Вычислить интеграл: 154
2p
10.3.1. ò
dt
2+
0
2p
10.3.2. ò
3 sin t
2p
0
dt
4 + 15 sin t
0
10.3.14. ò
10.3.3. ò
dt
5 + 2 6 sin t
0
10.3.15. ò
10.3.4. ò
0
10.3.16. ò
dt
5 - 3 sin t
10.3.5. ò
10.3.17. ò
dt
9 - 4 5 sin t
0
2p
10.3.6. ò
dt
4 - 7 sin t
0
2p
10.3.7. ò
2
( 4 + cos t )
10.3.18. ò
(
dt
0
10.3.8. ò
dt
8 - 2 15 sin t
0
10.3.20. ò
0
(4 +
10.3.9. ò
0
dt
6 - 4 2 sin t
2p
10.3.10. ò
0
2p
10.3.11. ò
0
10.3.21. ò
0
(2
15 sin t - 4
dt
2 6 sin t - 5
3 cos t
7 cos t
10.3.22. ò
0
10.3.23. ò
0
)
2
)
2 + 7 cos t
(2 +
3 cos t
dt
2
( 2 + cos t )
(
)
2
)
10 + 3 cos t
2
( 3 + 2 cos t )
dt
7 + cos t
)
dt
(
2
2
dt
2p
2
dt
2p
dt
dt
2p
2p
)
dt
2p
2p
5+
2p
10.3.19. ò
2
dt
2p
0
3 - 2 2 sin t
0
dt
2p
0
2p
5 + cos t
2p
0
2p
(
2p
0
2p
dt
2
)
155
2p
2p
dt
10.3.12. ò
35 sin t - 6
0
2p
dt
10.3.13. ò
7 sin t + 4
0
10.3.24. ò
0
dt
(
5 + 2 cos t
2p
10.3.25. ò
0
dt
2
( 4 + 3 cos t )
2
)
10.4. Вычислить интеграл: +¥
10.4.1. ò
-¥
(x
4
ò
-¥
ò
-¥
dx
2
( x 2 - x + 1)
ò
-¥
ò
-¥
x dx
ò
-¥
x 4 + 7x 2 + 12
-¥
ò
-¥
10.4.16. 2
(x2 + 3)
ò
-¥
dx
(x
2
( x 2 + 3 )dx
(x
2
-¥
- 10x + 29 )
dx
(x
2
+ 9 )( x + 1 )
2
+¥
+ 1 )dx
2
( x 2 + 4x + 13 )
10.4.18. ò
5
+ 1)
-¥
+¥
dx
10.4.13. 3
( x 2 + 1)
dx
(x
2
dx
(x
2
2
2
+ 1) ( x + 5 )
2
10.4.19. 2
2
+ 3 ) ( x + 15 )
2
( x 2 + 5 )dx
ò ( x 4 + 5x 2 + 6 ) -¥
+¥
ò
2
x 2 + 10 )dx
(
10.4.17. ò
2
2
-¥ ( x + 4 )
2
2
(x
+¥
10.4.7. +¥
+¥
10.4.6. ò
+¥
+¥
10.4.5. 10.4.15. 2
+¥
10.4.4. dx
+¥
+¥
10.4.3. 10.4.14. 2
+ 1)
+¥
10.4.2. +¥
dx
ò
-¥
dx
(x
2
2
- 10x + 29 )
156
+¥
10.4.8. ò
-¥
(x
2
2
ò
-¥
(x
ò
-¥
2
+ 4 ) ( x + 16 )
ò
-¥
(x
ò
-¥
ò
-¥
dx
(x
10.4.21. ò
-¥
+¥
2
+ 4 )( x + 9 )
2
10.4.22. ò
-¥
(x
dx
2
( x 2 + 2 )( x 2 + 3 )
10.4.23. ò
-¥
+¥
2
x dx
2
(x2 + 5)
10.4.24. ò
-¥
+¥
10.4.25. ò
-¥
2
2
+ 1)
4
2
x + 7x + 12
x 2dx
2
(x
2
+ 11 )
( x - 1)dx
4
4
( x 2 + 2 )dx
(x
2
+ 16 )( x + 1 )
2
dx
+¥
+¥
10.4.12. 2
dx
2
10.4.20. +¥
2
+¥
10.4.11. 2
dx
+¥
10.4.10. 2
+ 2 ) ( x + 10 )
+¥
10.4.9. +¥
dx
2
+ 4)
( x 2 - x + 2 )dx x 4 + 10x 2 + 9
10.5. Вычислить интеграл: ¥
10.5.1. ò
0
¥
10.5.2. ò
0
¥
10.5.3. ò
0
¥
x sin x
(x
2
dx 2
+ 4)
(x
0
¥
cos 2x
2
10.5.13. ò
dx 2
+ 1)
10.5.14. ò
0
¥
x sin x
dx 2
(x2 + 4 )
10.5.15. ò
0
cos 2x - cos x
(x
2
2
+ 1)
dx ( x 2 + x ) cos x dx x 4 + 13x 2 + 36
( x 2 + x ) sin x dx x 4 + 13x 2 + 36
157
¥
10.5.4. ò
x sin 2x - sin x
(x
0
¥
10.5.5. ò
2
2
+ 4)
( x - 1 ) sin x
2
(x 2 + 9)
0
¥
10.5.16. ò
dx 0
( x 3 + 1 ) sin xdx x 4 + 5x 2 + 4
¥
10.5.17. ò
dx 0
x 2 cos x
dx x 4 + 10x 2 + 9
¥
¥
10.5.6. ò
2
x cos x
(x
0
2
+ 1)
¥
10.5.19. ò
cos 5x
10.5.8. ò
x sin x
(x
0
¥
2
(x
¥
10.5.20. ò
0
dx 2
+ 4)
¥
10.5.21. ò
0
x sin x
2
0
dx 2
¥
0
0
( x 2 + 1) ( x 2 + 4 )
0
10.5.9. ò
dx 2
¥
10.5.7. ò
10.5.18. ò
dx ¥
2
+ 1)
10.5.22. ò
0
¥
10.5.10. ò
0
¥
10.5.11. ò
0
¥
10.5.12. ò
0
cos x
¥
dx 3
( x 2 + 1)
10.5.23. ò
0
sin 2x
dx 2
( x 2 - x + 1)
cos 3x - cos 2x
(x
2
2
+ 1)
¥
10.5.24. ò
0
¥
dx 10.5.25. ò
0
x sin x
dx x - 2x + 10
2
x cos x
dx x 2 - 2x + 10
( x 3 + 1 ) cos xdx x 4 + 5x 2 + 4
( x + 1) sin 2x
x 2 + 2x + 2
dx x cos x
dx x 2 - 2x + 17
( x 2 - x ) sin x dx x 4 + 9x 2 + 20
( x + 1 ) cos x
dx x 4 + 5x 2 + 6
( x - 1) sin x
(x
2
2
+ 9)
dx 11. Принцип аргумента. Теорема Руше. 158
11.1 Вычисление интеграла 1  ( z ) f ( z )
dz. 2i D f ( z )  A
Пусть D  C ‐область, f‐ аналитическая в замыкании D функция, за исключением конечного множества полюсов, лежащих в D (но не на  D ) и D ‐непрерывная положительно ориентированная кривая. Пусть, далее, А ‐ такое произвольное (конечное) комплексное число, что функция f не имеет А‐точек на границе  D , а  ‐произвольная аналитическая а замыкании D функция. Рассмотрим в области D функцию z  F ( z ) 
 ( z ) f ( z )
f ( z)  A
. Ее возможные особые точки в D‐это А‐точки и полюсы функции f. Пусть a k ; k  1, m‐ А‐точки функции f в D кратностей соответственно 

 1 ,  2 ,,  m , а b j ; j  1, n ‐полюсы соответственно порядков 1 ,  2 ,,  n . Изучим функцию F в окрестности точки a k . В соответствии с формулой (3) п.1.8, гл.5, имеем f ( z )  A  ( z  a k )  k f 0 ( z ), f 0 (a k )  0. Тогда f ( z )  a k ( z  a k ) 
k
1

f 0 ( z ), 
( z  a k )  k 1 (a k f 0 ( z )  ( z  a k ) f 0( z ))
ak f 0 ( z)  ( z  ak ) f 0 ( z)
,
F ( z)   ( z)
  ( z)
( z  ak ) f 0 ( z)
( z  a k ) k f 0 ( z )
откуда res F ( z )  a k  (a k ) ak
Аналогично, рассмотрим функцию F в окрестности точки b j : f ( z)  A 
f 0 ( z)
(z  b j )
f ( z )    j
F ( z)   ( z)
j
, f 0 (b j )  0,
f 0 ( z)
(z  b j )
 j 1


f 0 ( z)
j

1
(z  b j )
(z  b j )

  j f 0 ( z )  f 0 ( z )( z  b j )
( z  b j ) f 0 ( z)
 j 1

(  j f 0 ( z )  f 0 ( z )( z  b j )),
откуда 159
=
. По основной теореме о вычетах имеем ∑
. (1) ∑
В дальнейшем каждую А‐точку засчитываем столько раз, какова её кратность. Аналогично, каждый полюс засчитываем столько раз, каков его порядок. При таком соглашении правая часть формулы (1) выражает разность между суммой значений, принимаемых функцией φ в А‐точках функции и суммой значений, принимаемых той же функцией φ в полюсах функции , лежащих в области . Рассмотрим частные случаи. формула (1) принимает вид 1) При ∑
∑
. (2) В правой части формулы (2) стоит разность между суммой А‐точек функции и суммой её полюсов, размещённых в . 2) При 1 имеем ∑
∑
. (3) В правой части формулы (3) стоит разность между суммой А‐точек и числом полюсов функции . Помещённых в области . 11.2. Теорема о логарифмическом вычете. Пусть теперь А=0, т.е. А‐точки функции являются её нулями в области . Введём в рассмотрение следующие обозначения: ∑
нулей функции в области , ∑
‐ число ‐ число полюсов этой же функции в . Тогда 160
. (1) Интеграл, находящийся в левой части этого равенства, называется логарифмическим вычетом функции относительно ∂D, а само равенство выражает смысл следующей теоремы о логарифмическом вычете. Теорема. Пусть ∈ ∁ ‐ область с положительно ориентированной границей ∂D, множество точек которой является кривой Жордана. Тогда, если функция аналитическая в замыкании , за исключением полюсов, размещённых в , и не обращается в ноль на ∂D, то логарифмический вычет функции относительно ∂D равен разности между числом нулей и числом полюсов функции , размещённых в области . 11.3. Принцип аргумента. Теорема Руше Пусть ∂D = (γ,γор), ,
на
→ ‐ параметрическое представление кривой γ. ′
Тогда первообразной функции вдоль кривой γ является функция t→ Ф(t)= ln
. Поскольку кривая γ замкнута. То ln
. ln
Принимая это во внимание и применив формулу Ньютона‐Лейбница, получим: f  z 
 f  z  dz           i  arg f       arg f     
D
обозначение Darg f  arg f       arg f     . Далее .
Введём получим: f  z 
D arg f
1
, или, принимая во внимание теорему о dz 

2 i D f  z 
2
логарифмическом вычете, в виде N  P 
1
 D arg f . 2
Последнее равенство выражает принцип аргумента, который 161
можно сформулировать следующим образом. Принцип аргумента. Пусть ∈ ∁ ‐ область и множество  точек её границы ∂D является кривой Жордана. Тогда, если функция аналитическая в замыкании , за исключением конечного числа полюсов, размещённых в , и не обращается в нуль на кривой  . То разность между числом нулей
и числом полюсов функции в области равна деленному на 2 приращению аргумента при обходе точкой границы области в положительном направлении один раз. Очевидно, что 1
 D arg f ‐ это число полных оборотов вокруг точки 2
ω=0, совершаемых вектором , когда подвижная точка обходит положительно ориентированную кривую ∂D один раз в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. В связи с этим принцип аргумента можно сформулировать по‐другому, а именно: Принцип аргумента (альтернативная формулировка). Пусть ∈ ∁ ‐ область область и множество  точек её границы ∂D является кривой Жордана. Тогда, если функция аналитическая в замыкании , за исключением конечного числа полюсов, размещённых в , и на границе области не обращается в нуль, то разность оборотов, совершаемых вектором равна числу полных вокруг точки ω=0 при обходе точкой границы области в положительном направлении один раз. 162
Из принципа аргумента следует следующее утверждение. Теорема (Руше). Пусть   z  и   z  аналитические в замыкании функции, где ∈ ∁ ‐ область с положительно ориентированной границей ∂D, множество точек которой является кривой Жордана, и пусть z  D   z     z  . Тогда функции   z  и   z     z  имеют в области одинаковое количестао нулей. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ: «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ». ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА 1. Найти значение выражения. 2. Решить уравнение. 3. Найти действительную и мнимую часть заданной функции. 4. Проверить выполнение условий Коши‐Римана и в случае их выполнения найти производную функции. 5. Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части. 6. Вычислить интеграл. 7. Вычислить интеграл (применить теорему Коши или интегральную формулу Коши). 8. Исследовать на сходимость ряд. 9. Найти радиус сходимости степенного ряда. 163
10. Разложить заданную функцию в ряд Лорана в окрестности указанной точки z 0 и определить область сходимости этого разложения. 11. Найти нули функции и определить их порядок. 12. Найти особые точки и определить их характер. 13. Найти вычеты в особых точках. 14. Вычислить интеграл (применить теорему о вычетах). 15. Вычислить интеграл. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 1 вариант ¥
æ 1 - i ö÷4
1.1 çç
÷ èç 1 + i ÷ø
1.9 å e in z n n =1
1.2 z 8 = 1 + i 1.3 z
-1
1.10 sin z
z
2
,
z0 = 0 1.11 (z 2 - 4)3e z 1.4 ze z 1.5 u = x 2 - y 2 + xy 1.12 ez
(z + 2)3
1.6 ò
z2
1.13 z -2
z ⋅ Im z 2dz , C : z = 1, - p £ arg z £ 0
C
1.7 ò
ez
z 2 + 2z
z =1
1.14 dz ò
(z + 1)3
z =2
¥
1.15 sin zdz
ò
x2 + 1
(x 2 + 2x + 17)2
-¥
dx 164
¥
cos in
1.8 å
2n
n =1
2 вариант ¥
æ 2 + 5i ö÷3
2.1 çç
÷ çè 2 - 5i ÷ø
2.9 å e
i
p
4z n
n =1
2.2 z 7 = -1 2.10 2.3 ch(z - i ) sin2 z
,
z
z0 = 0 2.11 (z 2 + 9)2 2
2.4 e z 2.5 v = -
2.12 y
2
(x + 1) + y
2
2.6 ò z ⋅ Re zdz, C : z = 1 2.13 cos z
2
(z + 4)
1
sin z
C
2.7 1
ò
z 3 (z - 2)2
z -3 =2
2.14 dz ò
1 - 2 sin2 z
z =2
¥
¥
2.8 å
n =1
n sin in
3n
2.15 zdz
ò
1
(x 2 + 1)2
-¥
dx 3 вариант 165
3.1 (
3 -i
5
)
æ z ö÷n
3.9 å çç ÷÷ çè in ø
¥
n =1
3.2 z 4 + 8 + 8 3i = 0 3.3 z 2 + z ez
3.10 ,
z
3.4 cos z 3.11 z sin z 3.5 v = 2xy + 3x 3.12 ò
3.6
z dz,
C :
соединяющий z1 = -1, z 2 = 1 sh 2z
ò
3.7 z =1
z3
dz z +2
(z - 1)3 (z + 1)
отрезок, C
3.13 3.14 z0 = 0 1
2
(z + 1)3
ò
3.8 å
e i 2n
z =2
n =1 n
n
3.15 z ⋅ tg pzdz ¥
¥
1
ò
2
(x + 9)(x 2 + 4)
-¥
dx 4 вариант (
3
)
4.1 1 + i 3 æ z ö÷n
4.9 å çç
÷ çè 1 - i ÷ø
¥
n =1
4.2 z 2 = 3 - 4i 4.3 tg z 4.4 z 2z 4.10 z
(z + 1)2
,
z 0 = -1 4.11 1 - e z 166
4.5 u = x 2 - y 2 + 2x 4.12 sin z
z3
i
4.6 ò ze zdz 4.13 1
4.7 sin iz
ò
z 2 - 4z + 3
z =2
¥
cos in 2
4.8 å
5n
n =1
2
dz 4.14 z +1
dz
ò
4
z +1
z -1 =1
¥
4.15 z2 + 4
x2
ò
(x 2 + 1)2
-¥
dx 5 вариант 5.1
¥
2
5.9 å ch
2
(1 - 3i )
n =1
5.2 z 4 + 8 + 8 3i = 0 5.10 i n
z n
sin z
,
z -2
z0 = 2 5.3 z 2 + z sin 3 z
5.11 z
5.4 cos z 5.5 u =
x
2
x +y
2
-1-i
5.6 ò
(2z + 1)dz 1+i
pz
sin
2
5.7 ò
dz 2
2
3
+
z
z
z -1 =2
5.12 1
(z 2 + i )3
z2 + 1
5.13 z -2
5.14 zdz
ò
z =3
(z - 1)2 (z + 2)
2
167
¥
5.8 å
e
n =1
i
p
4
n
¥
5.15 ò
0
1
(x 2 + 9)2
dx 6 вариант ¥
æ 1 + i 3 ÷ö20
ç
÷ 6.1 çç
çè 1 - i ø÷÷
6.9 å i n z n 6.2 z 2 - 20z + 92 + 6i = 0 6.10 n =0
6.3 e -z z
3
z0 = 0 ,
6.11 z 4 + 4z 2 6.4 e 3z 6.5 v = arctg
6.6
ez
y
x
ò Im zdz, С :
6.12 1
sin z
6.13 e pz
z -i
отрезок, С
соединяющий z = 0 и z = 1 + i 6.14 ò
z =2
e zdz
3
z (z + 1)
168
pz
sin
4
6.7 ò
dz 2
(z - 1) (z - 3)
z -1 =1
¥
cos in 2
6.8 å
n2
5
n =1
¥
6.15 x
ò
(x 2 + 4x + 20)2
-¥
dx 7 вариант ¥
æ -1 + i 3 ö÷3
÷ 7.1 ççç
çè 1 - i ÷÷ø
7.9 å sin
7.2 z 5 - 1 - i 3 = 0 1
z
+
7.10 ze 1,
n =1
pi n
z n
z 0 = -i 2
7.3 2z 7.11 z
7.4 sin 3
7.12 7.5 u =
x
x 2 + y2
- 2y sin z
z
cos z
(z 2 - p 2 )3
z2
7.13 z -1
i +1
7.6 ò z 3dz 2
0
7.7 7.14 ò
e iz z
z -i =1
¥
7.8 å
n =1
2
z +1
ò
2n
ez - 1
dz 3
2
z
iz
z -i = 3
dz ¥
7.15 ò
n(2 + i )n
0
x2 + 1
x4 + 1
dx 169
8 вариант 8.1 1
¥
8.9 å ( n + i ) z n 10
(1 - i 3)
n =1
8.2 z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 1
3 z
8.10 z e ,
z0 = 0 æ 1 + i ÷ö2i
ç
8.3 ç
÷ çè 2 ÷ø
8.11 z 2 sin z 8.4 sh z 8.12 1
ez - 2
8.5 v = 2(chx sin y - xy ) 8.13 8.6 ò Im zdz, C : î ò ðåçî ê, ñî åäèí ÿþ ù èé
C
ò î ÷êè z = 0 è z = i
8.7 ò
z =2
¥
8.8 å
n =1
z ⋅ shz
2
2
(z - 1)
1
n +i
dz z2
2
2
(z + 1)
ò
8.14 z = 0,5
¥
8.15 ò
0
1
z 2 sin dz z
1
(x 2 + 4)(x 2 + 16)
dx 9 вариант ¥
æ 2 - i ö÷18
÷ 9.1 ççç
çè 1 + i 2 ÷÷ø
9.9 å cos(in )z n 9.2 z 4 - 4z 3 + 7z 2 - 16z + 12 = 0 9.10 n =1
1
,
(z - 2)(z - 3)
2 < z < 3 170
æ 3 i ö÷2
9.3 ççç
+ ÷÷ çè 2
2 ÷ø
9.11 z - z 3 9.12 9.4 z Im z x
9.5 u = 2e sin y 9.13 i
9.6 ò (3z 4 - 2z 3 )dz 9.14 tgz
ò
1
z =1
ze z +2
¥
dz 1
9.8 å
n +1
n =1
1
3
z -z
5
dz 2
z
z
3
¥
9.15 ò
-¥
sin pz
ò
z =
1
9.7 1
1 - sin z
1
2
3
(x + 1)
dx 10 вариант 10.1 (( 3 + i )(1 - i 3))16 10.2 z 4 + 1 = i 3-3i
10.3 ( 1 - i )
10.4 1
z2
,
z > 0 10.5 v = 2(shx sin y + xy ) 10.6 ¥
zn
10.9 å n =1 n !
1
10.10 z 4 cos ,
z
z0 = 0 10.11 1 + z 4 1
z
+
10.12 e 2 1
10.13 e z 171
ò Im zdz, C : î ò ðåçî ê, ñî åäèí ÿþ ù èé
C
10.14 ò î ÷êè z = i è z = i + 1
10.7 (z - 2)3(z + 4)
z =2
dz 10.8 å
n =1
1
n (n + 1)
ez + 3
z +1 = 4
¥
10.15 ¥
ò
dz z
ò
z
x
ò
2
(x + 4x + 13)2
-¥
dx 11 вариант ¥
æ 2 + i ö÷12
÷ 11.1 ççç
çè 1 - i 2 ÷÷ø
11.9 å (z - 2i )n / n ! 11.2 z 4 - (1 + i )z 2 + 2(1 + i ) = 0 11.10 n =1
1
,
(z - 2)(z - 4)
11.3 sh z 1
11.4 ,
z
z 0 = 2, z - 2 > 2 11.11 sin z z > 0 11.12 tg 2z 11.5 v = 3 + x 2 - y 2 -
y
2(x 2 + y 2 )
11.13 1
z2 - z5
i
11.6 ò z ⋅ sin zdz 11.14 0
11.7 ò
ez
ò
e iz
dz 3
(
p
)
z
z =4
2
z 2 - 6z
z -2 = 5
dz ¥
11.15 ò
1
(x 2 - 4x + 5)2
-¥
dx 172
¥
11.8 å
n =1
e
i
p
n
n
12 вариант ¥
12.1 ((1 - 2i )(1 + i ))4 12.9 å
zn
n
n =1 2
12.2 z 4 + 9z 2 + 20 = 0 1
,
3z - 2
z0 = 0 12.3 tg(2 - i ) 12.10 12.4 z Re z 12.11 (z 2 + 1)2 12.5 u = x 2 - y 2 + 5x + y -
1
12.6 ò zdz y
2
x +y
2
1
z
12.12 e 3i
12.13 z +1
z4 + z2
i
173
12.7 z2
ò z - 2i dz z =3
z
2 dz,
2
z -4
cos
12.14 ò
C
¥
12.8 å
n(2 + i )n
x 2 y2
+
= 1 9
4
2n
n =1
C :
¥
cos 3x
12.15 ò
2
x +4
0
dx 13 вариант ¥
æ i ö÷7
13.1 çç
÷ çè 1 + i ÷ø
13.9 å
(4 - 3i )n
n =1
13.2 z 6 + 4z 3 + 3 = 0 13.10 (z - 1)n
1
, z = 0,
z (z - 1) 0
0 < z < 1 13.3 ze z 13.11 z 2 (z 2 + 9) 13.4 (x 2 + y 2 ) - 2xyi 13.5 v = ln(x 2 - y 2 ) + x - 2y i
13.12 tg
13.13 13.6 ò ze zdz 1
z -1
z
2
2
(z + 16)
1
13.7 13.14 1
ò
(z 2 + 9)2
z -2i = 2
dz e 2z
ò z 3 - 1dz, C : x 2 + y 2 - 2x = 0 C
¥
13.8 å
n =1
n ⋅ sin in
n
3
¥
13.15 ò
0
sin 3x
x2 + 4
dx 14 вариант 174
14.1 (i(1 + i ))20 14.2 z 8 + 15z 4 - 16 = 0 ¥
z 2n +1
14.9 å
n = 0 5ni + 1
14.10 14.3 e 5-3i 1
1 - z2
z
14.4 cos 2
14.11 z 2 (z - 1) 14.5 u = 3xy 2 - x 3 i +1
14.6 ò z cos zdz 1
e z
14.12 1-z
0
14.13 z2
14.7 ò
dz 2
z
i
z =1
¥
14.8 å
e
n =1 n
z 0 = 1, 2 < z - 1 < ¥ ,
2
z (z - 1)
x2
+ y2 = 1 C :
4
ò (z 2 - 1)2 dz,
C
¥
14.14 sin pz
i 2n
n
z2 + z - 1
14.15 ò
0
x ⋅ cos x
(x 2 + 1)(x 2 +4)
dx 15 вариант æ 1 ö÷5
15.1 çç
÷ çè 1 + 3i ÷ø
15.2 z 8 + i = 1 1+i
15.3 ( 1 + i )
¥
15.9 å
n =1
n(z - 2)n
3n
z2
,
15.10 z -1
z 0 = 0, z < 1 15.11 z (1 - z 2 ) 175
15.4 (x 3 - 3xy 2 ) + i(3x 2 - y 3 ) 15.12 sin z
z5
15.5 v = 2 cos x ⋅ s hy 15.13 15.6 ò
z2
(z 3 - z )e 2 dz,
C : î ò ðåçî ê ï ðÿì î é
C
15.14 ì åæ äó ò î ÷êàì è z = 1 + i è z = 2i
15.7 15.8 å
n =1
1
n (n + i )
(z + 1)
ò
dz 2
z
+
2
z
3
z =4
15.15 ò
dz 2
2
+
z
(
9)
z + 2i = 2
¥
z 2 (z 2 + 9)
¥
1
ò
ez
0
x ⋅ sin x
(x 2 + 1)(x 2 + 4)
dx 16 вариант ¥
æ 1 + i ö÷11
16.1 çç
÷ çè 1 - i ÷ø
n
16.9 å
n
n
n =1 2 (z - 2 - i )
16.2 z 7 + z 6 + 64z + 64 = 0 16.10 16.3 cos ( 5 - i ) z4
(z - 2)2
,
z0 = 2 16.11 z 2 - z 5 16.4 z 2 16.12 x
16.5 u = 2e cos y ò (1 + i - 2z )dz, C :y = x 2,
16.6 C
z1 = 0 è z 2 = i + 1
1
ez - 3
1
16.13 sin z
16.14 176
16.7 ò
z +i =1
sin z
dz z +i
¥
C
dz,
(z - 1)5
¥
1
16.8 å
ò
z ⋅ sin z
n
n =1 n(3 + i )
16.15 C :
x 2 y2
+
= 1 3
9
1
ò
(x 2 - 2x + 5)2
-¥
dx 17 вариант æ z - i ö÷n
17.9 å çç
÷ èç 3i + 4 ÷ø
æ i ö÷6
17.1 çç
÷ èç 1 - i ÷ø
¥
n =1
17.2 z 3 + 2 = 2i 17.10 1
,
(z - 2)
z0 = 0 17.3 e1-2z 17.11 (1 - z )2 17.4 sin x ⋅ chy + i cos x ⋅ shy z2 - 1
17.12 z -1
x
17.5 v = 2e cos y ò Re zdz, C : ðàäèóñ - âåêò î ð
17.6 C
ò î ÷êè 2 + i
17.7 ò
1
z2 + 9
z -2i = 2
dz 17.13 1
2
(z + 1)(z + 1)
17.14 ò
C
¥
¥
in
17.8 å n =1 n
2
17.15 ò
0
1
dz,
z4 + 1
sin2 x
x2 + 1
C : x 2 + y 2 = 2x dx 18 вариант 177
¥
æ 1 - i ö÷15
18.1 çç
÷ çè 1 + i ÷ø
z 2n
18.9 å
n =1 n !
18.2 z 4 + i = 1 18.10 1
(z - 1)2
,
z0 = 0 18.3 tg iz 18.11 (z - 1)2(z 2 + 1) 18.4 e z -i 18.5 u = 1 -
x
x 2 + y2
18.12 , z > 0 18.13 18.6 ò zezdz, C
ò î ÷êè 1 è i
ò
z =3
¥
18.8 å
n =1
sin 2z
4
(z + 1)
: î ò ðåçî ê, ñî åäèí ÿþ ù èé
C
18.7 z
sin z
18.14 ò
z =1
2z - 1
dz z (z - 1)
n2
1
z 3 sin dz z
¥
i +n n
18.15 ò
0
x ⋅ cos x
x 2 - 2x + 10
dx 19 вариант ¥
æ 2 - i ö÷8
19.1 çç
÷ çè 1 - i ø÷
19.9 å i n z n 19.2 z 2 + 2iz + i - 1 = 0 19.10 n =1
19.3 sin(2 + i ) 178
19.4 e x cos y + ie x sin y 1
,
z (z - 1)
z 0 = 1,
1 < z < ¥ 19.5 u = 1 - 2 cos x ⋅ chy 19.11 z 2 + 9 19.6 ò z dz,
C : z = R C
19.7 19.12 z 2 sin
ò
z =3
1
dz z -4
¥
æ 1
i ö
19.8 å çç
+ n ÷÷÷ ç
2 ø
n =1 è n n
z
z +1
19.13 tg z 19.14 1
ò
(z + 1)e z dz z =
¥
19.15 ò
0
1
3
sin x
dx x
20 вариант 20.1 (1 - i )20 6
¥
20.9 å
n!
n =1 n
n
(z - i )n 20.2 z + 1 = i 20.10 i
20.3 Arctg 3
20.4 1
z -2
20.5 v = x 2 - y 2 - 1 1
,
z (1 - z )
z 0 = 1,
0 < z < 1 20.11 z - z 3 20.12 sin z
4z + 3
2i
20.6 ò z ⋅ sin zdz 0
20.13 z6
(z - 1)4
179
20.7 ò
ez
z 3(z - 1)
z -2 = 3
¥
20.8 å
dz (-1)n (i + 2)
n2
n =1
20.14 ò
ctg z
z =1
¥
20.15 ò
0
4z - p
cos x
x2 + 9
dz dx ЛИТЕРАТУРА 1.
И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., 1968. 2.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения), М., 1971. 3.
И.И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного.М., «Наука», 1977 4.
Сборник типовых расчетов по высшей математике: Учебное пособие./ Под ред. В.Б.Миносцева. – М.:МГИУ, 2004. – 582 с. 5.
Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специльным курсам высшей математики (типовые расчеты): Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш.шк., 1999. – 126 с.:ил. 180