27 5. Классификация функции Имеет место следующая классификация функций 1. Функция вида Pn ( x ) = a0 x n + a1x n−1 + a2 x n − 2 +...+ an , где n ∈ N ∪ { 0} , a 0 , a1 ,..., a n ∈ R , называется целой рациональной функцией или многочленом степени n. 2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций Pm ( x ) a0 x m + a1 x m−1 + a2 x m− 2 +...+ am = Qn ( x ) b0 x n + b1 x n −1 + b2 x n − 2 +...+ an называется дробно иррациональной. Совокупность дробно иррациональных и целых рациональных называется рациональными функциями. 3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми так и с дробными показателями и не являющиеся рациональными называются иррациональными. y = x , f (x) = x +2 (пример таких функций) x2 +1 3 Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций. 4. Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной. Элементарные функции Алгебраические ф-ии Трансцендентные ф-ии Рациональные ф-ии Иррациональные ф-ии Целые функции Дробные рац. ф-ии 6. Функции, заданные параметрически и в полярных координатах Параметрическое задание функции. Пусть x = ϕ ( t ), y = φ ( t ) - две функции одной независимой переменной t ∈T . Если x = ϕ ( t ) монотонна на Т, то существует обратная к ней функция t = ϕ −1 ( x ) . Поэтому функцию y = φ ( t ) , t = ϕ −1 ( x ) можно рассматривать как сложную функцию, переводящую элемент х в элемент y посредством промежуточной переменной t : ⎧x = ϕ ( t ) ⇒ t = ϕ −1 ( x ) , t ∈ T ⇔ y = φ (ϕ ( t )) = F ( x ) ⎨ ⎩ y = φ(t ) Переменную t называют параметром. В этом случае говорят, что сложная функция задана параметрически. Замечание : всякую функцию можно задать параметрически. 28 Параметрическое задание некоторых линий на плоскости. ⎧x = t ,t ∈R ⎩ y = at + b 1. Прямая y = ax + b ⇔ ⎨ 2. Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а : ⎧x = a cos t , x 2 + y 2 = a2 ⇔ ⎨ 0 ≤ t < 2π . ⎩ y = a sin t , 3. Эллипс ⎧x = a cos t , x2 y2 + = 1 ⇔ 0 ≤ t < 2π . ⎨ a 2 b2 ⎩ y = b sin t , 4. Парабола ⎧⎪ x = t , y 2 = 2 px ⇔ ⎨ t ∈ [0, ∞ ) . ⎪⎩ y = 2 pt , В частности ⎧x = t , y = x2 ⇔ ⎨ t ∈R . 2 ⎩y = t , 5. Гипербола ⎧x = acht , x2 y2 t ∈R . 2 − 2 = 1⇔ ⎨ a b ⎩ y = bsht , (Справедливость задания следует из равенства : ch 2 t − sh 2 t = 1 ). 6. Декартов лист 3at ⎧ ⎪⎪x = 1 + t 3 , y = tx , ⎧ x 3 + y 3 − 3axy = 0 ⇔ ⎨ 3 3 3 ⇔⎨ t = tg( OM , Ox ) . 2 2 ⎩x + t x − 3atx = 0, ⎪ y = 3at , ⎪⎩ 1+ t3 Декартов лист Астроида 29 7. Астроида - замкнутая линия, являющаяся траекторией точки, лежащей на окружности радиуса r, которая катится по внутренней стороне неподвижного круга радиуса а (ф=4r). Её уравнение x 2 3 +y 2 3 =a 2 3 ⎧⎪x = a cos 3 t , ⇔⎨ 0 ≤ t < 2π . ⎪⎩ y = a sin 3 t , 8. Циклоида - это кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. x = a ( t − sin t ), y = a(1 − cos t ), t ∈R . Циклоида Полярная система координат. Полярная система координат задается : точкой О, называемой полюсом, лучом Ох, называемым полярной осью, и выбранной на оси единицей масштаба. Полярными координатами точки М ∈R 2 , (не совпадающей с полюсом), называется полярный радиус r ( M ) = OM точки М и полярный угол ϕ(М) Обобщенными O полярными координатами точки М, называются ее полярные координаты r , ϕ, такие, что − ∞ < r < ∞ , − ∞ < ϕ < ∞ (если r<0 то точка откладывается на продолжении луча). Из геометрических соображений 30 x = r cosϕ , x = r sin ϕ . Это формулы перехода от полярных к декартовым координатам. Обратные формулы: r = x 2 + y 2 , tgϕ = y y ⇒ ϕ = arctg x x Уравнение некоторых линий в полярной системе координат. 1.Прямая линия, проходящая через полюс y = kx ⇔ tgϕ = k Прямая линия, не проходящая через полюс: Ax + By + C = 0 ⇔ r = p cos(ϕ − α ) , где p - расстояние от прямой до полюса, α - угол наклона нормального вектора n(A,B). 2. Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а x 2 + y 2 = a2 ⇔ r = a Окружность радиуса а с центром, смещенным на а единиц вправо по оси ОХ: ( x − a) 2 + y 2 = a 2 ⇔ r = 2a cosϕ . Окружность радиуса а с центром, смещенным на а единиц вверх по оси ОY: 2 x 2 + ( y − a) = a 2 ⇔ r = 2a sin ϕ . 3. Линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола): r= p , 1 − ε cos ϕ где р - параметр, ε - эксцентриситет. При ε < 1 уравнение определяет эллипс (полюс совпадает с левым фокусом эллипса), при ε > 1 гиперболу (полюс совпадает с правым фокусом гиперболы), ε = 1 Парабола. 4. Розы. Розами называют семейство кривых, уравнения которых в полярной системе координат записываются в виде : r = a sin kϕ , r = a cos kϕ , где a, k - параметры. При любых a, k ,ϕ r ≤ ϕ , поэтому можно сделать вывод, что все кривые этого класса располагаются внутри круга радиуса a 31 5. Спирали Спираль Архимеда, определяется как траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а второе - по окружности. 32 Гиперболическая спираль r = Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль a . ϕ r = aϕ . Кардиоида Синусоидальные спирали r m = a m sin mϕ или r m = a m cos mϕ В зависимости от m определяют кривые различных форм. При m = 1 уравнение r = a cosϕ или r = a sin ϕ определяет окружность При m = 1 ϕ a уравнение r = a cos 2 = (1 + cosϕ ) определяет кардиоиду. 2 2 2 При m = 2 уравнение r 2 = a 2 cos 2ϕ или r 2 = a 2 sin 2ϕ определяет кривую, называемую лемнискатой Бернулли. 33 лемниската Бернулли r2=a2cos2ϕ