Курс лекций по ТФКП 2002 г

НИЯУ МИФИ
Курс лекций по
ТФКП
2002 г
[Факультет ЭТФ]
Логинов А.С.
[ноябрь 2013-11-30]
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Оглавление
Глава 1. Основные понятия ................................................................................................................ 4
§1 Операции над комплексными числами .................................................................................... 4
§2 Комплексная плоскость ............................................................................................................. 4
§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые. ................................................. 6
§4 Функции комплексного переменного ...................................................................................... 7
§5 Функциональные последовательности и ряды ..................................................................... 11
§6 Степенные ряды ....................................................................................................................... 12
1.Основные свойства степенных рядов. ................................................................................ 12
Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения. ................................................... 14
§1 Аналитические функции ......................................................................................................... 14
1.Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность. ....................................... 14
2.Голоморфные функции. Аналитичность. ............................................................................ 16
3.Гармонические функции. Сопряженные функции. ............................................................. 18
§2 Конформные отображения ...................................................................................................... 19
1.Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки
..................................................................................................................................................... 19
2.Геометрический смысл аргумента производной. .............................................................. 19
3.Геометрический смысл модуля производной. ..................................................................... 20
4.Конформные отображения. ................................................................................................. 20
Глава 3. Примеры конформных отображений ............................................................................... 22
§1 Дробно линейное отображение .............................................................................................. 22
1.Линейная функция. ................................................................................................................. 22
2.Преобразование инверсии...................................................................................................... 23
1
3.Отображение w  . ............................................................................................................ 25
z
4.Дробно линейная функция. .................................................................................................... 26
§2 Степенная функция w=zn, n - натуральное. ........................................................................... 29
1.Отображение степенной функцией. ................................................................................... 29
2.Обратная функция................................................................................................................. 30
3. Понятие римановой поверхности для функции z  w ................................................... 31
§3 Функция w=ez ........................................................................................................................... 32
1.Отображение w  e z . ........................................................................................................... 32
2.Обратная функция................................................................................................................. 33
§4 Функция Жуковского .............................................................................................................. 33
1.Определение ............................................................................................................................ 33
2.Обратная функция................................................................................................................. 36
§7 Таблица некоторых конформных отображений. .................................................................. 36
Глава 4. Теория интеграла................................................................................................................ 41
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши. ...................................................................................... 41
1.Интеграл и его свойства. ..................................................................................................... 41
2.Теорема Коши......................................................................................................................... 42
§2 Интеграл Коши ......................................................................................................................... 43
1.Интегральная формула Коши. ............................................................................................. 43
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл .......................... 43
§3 Первообразная. ......................................................................................................................... 44
1.Теорема Морера. .................................................................................................................... 44
2.Формула Ньютона-Лейбница ............................................................................................... 45
Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана ..................................................................................................... 45
2
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
§1 Ряд Тейлора аналитической функции .................................................................................... 45
1.Теорема Тейлора. ................................................................................................................... 45
§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля. ......................... 47
1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических
функций. ..................................................................................................................................... 47
3.Терема Вейерштрасса ........................................................................................................... 48
§3 Ряды Лорана ............................................................................................................................. 49
§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций. ............................. 51
Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов ............. 52
§1 Вычеты ...................................................................................................................................... 52
1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке ........................................ 52
2.Вычет в изолированной особой точке . ............................................................................ 53
3.Теоремы о вычетах. ............................................................................................................... 53
4. Принцип аргумента. ............................................................................................................. 54
§2. Вычисление интегралов ......................................................................................................... 55
1.Определение несобственного интеграла............................................................................. 55

2. Интегралы вида
 f ( x)dx ................................................................................................... 56


3. Интегралы вида
e
ix
f ( x)dx ............................................................................................... 57

§3 Простейшие классы аналитических функций. ...................................................................... 58
Глава 7. Преобразование Лапласа. .................................................................................................. 59
Введение. Интегралы, зависящие от параметра. ....................................................................... 59
§1 Преобразование Лапласа. ........................................................................................................ 59
§2 Свойства преобразования Лапласа......................................................................................... 61
Глава 8. Приложения. ....................................................................................................................... 64
§1 Комплексный потенциал ......................................................................................................... 64
§2 Операционное исчисление ...................................................................................................... 65
3
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Глава 1. Основные понятия
§1 Операции над комплексными числами
Комплексные числа и операции над комплексными числами изучались на первом семестре.
Основные понятия, связанные с комплексными числами: алгебраическая форма записи комплексного
числа, операции над комплексными числами, вещественная (действительная) и мнимая части ,
Re z, Im z , сопряжённые числа и следующие их свойства
z1 z2  z1 z2 , z1  z2  z1  z2 .
Формула Бинома Ньютона: для любых комплексных чисел a,b и натурального n справедливо
равенство (a  b) n 
n
n!
 k!(n  k )! a b
k
nk
.
k 0
Аргумент и модуль комплексного числа z=x+iy,
|z|= r 
x 2  y 2 , главное значение аргумента: =arg z, arg z[0,2 ), Arg φ = arg φ+2πk .
Tригонометрическая форма записи комплексного числа: z=rei =r ( cos φ +i sin φ ).
Расстояние между комплексными числами  (z1,z2)=| z1 - z2|


Пример: Множество z  i  z  1  2 представляет собой геометрическое место комплексных
чисел, сумма расстояний которых до i и -1 равна 2. Эллипс с фокусами в i и -1.
Возведение в степень, формула Муавра: если z=rei , то zn=rnein =rn( cos nφ +i sin nφ ).
Извлечение корней: если wn=z, то w  n z , | w | n | z | , arg w 
Здесь под
n
arg z  2k
, k  0,1,..., n  1 .
n
| z | понимается арифметическое значение корня.
§2 Комплексная плоскость
Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют
комплексной плоскостью и обозначают C, комплексное число – это точка на этой плоскости. Можно
рассматривать комплексное число, как радиус вектор. В последнем случае операции сложения
комплексных чисел совпадают с операциями сложения векторов. Комплексная плоскость С с
4
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной точкой»  называется расширенной
комплексной плоскостью и обозначается C . Геометрически бесконечно удаленную точку можно
интерпретировать с помощью сферы Римана.
Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (0,0). Между точками сферы
S и точками расширенной комплексной плоскости C устанавливается взаимнооднозначное
соответствие, как показано на рисунке.
Стереографическая проекция (сфера Римана)
Именно, из верхнего полюса сферы проводится луч, соединяющий точку сферы A с некоторой
точкой B плоскости. Самому полюсу P соответствует бесконечно удаленная точка ∞. Эта сфера
называется сферой Римана. Это отображение для случая сферы радиуса 1 задается следующими
функциями:
z  x  iy 
u  iv
.
2w
Для доказательства, рассмотрим полярные координаты (см. рисунок):
u   cos  
 тогда
v   sin  

u 
x  r cos  
cos  
x  r cos   
2w
2  w .
 r , откуда получим:
,

v 
y  r sin   2  w

y  r sin  
sin  
2w
2w
Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности на S, а углы между
пересекающимися кривыми сохраняются.
С точки зрения расстояния, введенного для комплексных чисел, комплексная плоскость
представляет собой евклидово пространство. Таким образом, для комплексных чисел используются
те же определения и справедливы те же теоремы, связанные со сходимостью в этом пространстве:
5
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Окрестность точки z0: U(z0)= {|z - z0|< }.
Окрестность бесконечно удалённой точки : U()={|z|>R} .

Проколотая окрестность : U  ( z0 ) = {0<|z - z0|< }.
Сходимость, предел последовательности: z0  lim zn означает, что lim | zn  z0 | 0
n 
n 
Необходимое и достаточное условие сходимости для случая, когда z0  C
zn  z0  xn  x0 , yn  y0
Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу (в С) :
  n m: zn - zm  .
Множество комплексных чисел является линейным пространством. Наличие метрики и
операций линейного пространства позволяет ввести такое понятие, как числовой ряд. Комплексный

ряд
 zk с общим членом zk  xk  iyk определяется, как
k 0

сходимости обоих действительных рядов



k 0
k 0
k 0
 zk   xk  i yk . В случае

 x , y
k 0
k
k 0
k
получаем комплексное число – сумму этого
ряда. Таким образом, изучение комплексного ряда сводится к изучению двух вещественных рядов.
Наиболее важными свойствами рядов, используемых в дальнейшем, являются: абсолютная
сходимость, свойства суммы, разности рядов, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся
рядов.
§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые.
Диаметр множества M : dM = sup | z1  z2 | .
z1 , z 2 M
«Расстояние» между множествами M1, M2 :  ( M1 , M 2 ) 
inf
z1 M 1 , z 2 M 2
| z1  z2 | . В точном
смысле, это расстоянием не является, так как не выполняется первое свойство или аксиома
расстояния.
Предельная точка множества – точка, в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы
одна точка множества.
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя
точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью,
открытое множество – множество, каждая точка которого внутренняя.
Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит, как точки из множества,
так и точки из его дополнения. Граница множества D (множество всех граничных точек)
обозначается D, она всегда замкнута.
Кривая z=z(t)=x(t)+iy(t), t[,] . На плоскости этому соответствует параметрическое задание
x  x(t ) 
, t  [ ,  ] .
y  y (t )
Ориентация кривой или направление обхода, непрерывная кривая: x(t), y(t) обе непрерывны.
Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям t1 ,t2
(кроме может быть  и  ) соответствуют различные точки z(t1), z(t2) на комплексной плоскости (у
кривой нет самопересечений).
Кривая замкнута, если z()=z() (не путать с замкнутостью в смысле теории множеств ).
Связное множество. Любые две точки этого множества можно соединить простой кривой,
лежащей в этом множестве.
Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество.
Множество D C называется n - связным, если  D состоит из n связных, попарно
непересекающихся компонент. Иногда используется термин: n - связная область.
Кривая называется гладкой, если x(t), y(t) и их производные непрерывны и z(t)=x(t)+i y(t) 0.
Если кривая замкнута, то дополнительно требуется z()=z() ( точнее z(+0)=z( - 0) ).
6
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Кусочно-гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
§4 Функции комплексного переменного
Определение. w = f (z), z  D. Каждому z ставится в соответствие одно или несколько значений
w. Множество Δ всевозможных значений f (z) называется областью значений функции f . Если
сопоставляемое значение единственно, то функция называется однозначной и в этом случае говорят
об однозначном отображении D на Δ.
Примеры:
w = z2, z  C, однозначная функция.
w = n z является многозначной функцией.
Определение логарифмической функции (большой логарифм): w = Ln z = ln r + i ( + 2k ),
r=|z|,  = arg z  [ 0 , 2 ) , k-целое, D = C\0. Функция Ln z является многозначной функцией.
Главная ветвь логарифма (маленький логарифм): w = ln z = ln r + i , r=|z|,  = arg z  [0,2 ), D
= C\{0}. Функция ln z является однозначной функцией.
Пример: ln(-1)= i .
w = Arg z = arg z + 2k, (k-любой целое) многозначная функция.
Степенная функция: w = zb определяется по формуле zb = eb Ln z . Она может быть для некоторых
b многозначной ( для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень
путём перемножения ).
Пример: (1)  e Ln( 1)  e i (  2 k )  cos( 2 (1  2k ))  i sin( 2 (1  2k )) . Таким образом,
числу -1 соответствует бесконечное число (счетное) значений функции w  z  .
Если функция f(z) однозначная, то можно определить обратную функцию f 1 . Для этого
обозначим через D область определения функции f(z), а область ее значений через  . Обратная
функция f -1 будет определена на  и каждому значению w из  будет сопоставлять все те значения z
из D для которых f(z)=w. Обратная функция не обязана быть однозначной.
Если f и f -1 однозначные, то отображение z  w = f(z) называется однолистным
(взаимнооднозначное отображение).
Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1,0< arg z <

} на верхний
2
полукруг
Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1, 0< arg z <  } на круг радиуса
1 с вырезом по положительной части вещественной оси
7
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1]  [-1,1] при отображении
w=z2+z. Отображение имеет вид
u  x 2  y 2  x

v  2 xy  y 
Вертикали x  c переходят в параболы :
u  c  y 2  c
 v 
2
 направленными направо. Горизонтали y=c переходят в
, u  c  c  
v  (2c  1) y 
 2c  1 
2
2
u  x 2  c 2  x
vc vc 2
параболы
 
  c направленными налево.
, u  
v  2 xc  c 
 2c   2c 
2
Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1]  [-1,1] при отображении
w=e . Для z  x  iy получим w  u  iv  e xeiy  e x cos y  ie x sin y . Таким образом, это
отображение можно представить в виде:
z
u  e x cos y 
.
v  e x sin y 
Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку (лучи и окружности)
8
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1]  [-1,1] при отображении
w  e . Расписывая действительную и мнимую части, отображение можно записать в виде:
z2

u  e x  y cos(2 xy )
.
x2  y2
ve
sin(2 xy ) 

2
2
Образы координатной сетки показаны на рисунке.
Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1]  [0.2,1] при отображении
1
1
w   z   . Отображение имеет вид
2
z
x
1 

u  1  2
2
x  y 2 
.
y
1 

v  1  2
2  x  y 2 
Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [0,2]  [-1,1] при отображении
w  1  z  z 2 . Отображение имеет вид
9
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
u  1  x  x2  y2 
.
v  y  2 xy 
При исследовании многозначных функций выделяют однозначные ветви. Понятие однозначной
ветви многозначной функции рассмотрим на примере. У функции w  z в качестве области
определения D возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части
действительной оси, x[0,).
i


i (  )
В этой области рассмотрим функции w  f1 ( z )  r e 2 , w  f 2 ( z )  r e 2 , r | z |,   arg z
(в области D главное значение аргумента z будет лежать в диапазоне 0  arg z  2 ). Эти функции
представляют собой однозначные ветви исходной функции в области D. Первая однолистно
отображает область D на верхнюю полуплоскость, вторая функция однолистно отображает область D
на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять различными способами. Точное
определение однозначной ветви будет дано позже.
Определение предела и непрерывность
По Коши: z0  C ,
lim f ( z )  A :   0    0  z, 0  z – z0  :  f(z) - A 
z  z0
lim f ( z )   :  R
z  z0
   0  z, 0  z – z0  : | f(z)| > R
lim f ( z )  A :    0  r
 z, z> r
:  f(z) - A 
lim f ( z )   :  R
 z, z> r
: | f(z)| > R
z 
z 
 r
Аналогично дается определение по Гейне: {zn}, zn  z0 , zn  z0 : lim f ( zn )  A .
n 
10
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Замечание: Существование конечного предела lim f ( z ) эквивалентно существованию двух
z  z0
пределов lim Re f ( z ), lim Im f ( z ) .
z  z0
z  z0
Так, если f ( z)  u( z)  iv ( z)  A  a  ib при z  z0 , то u( z )  a, v( z )  b , при z  z0 .
Непрерывность функции f(z) в точке z0  C : lim f ( z ) =f(z0), предполагается, что функция
zz
0
определена в некоторой окрестности точки z0 .
В терминах расширенной комплексной плоскости: f (z ) непрерывна в z0  C , w0  f ( z0 ) ,
если для любой окрестности U ( w0 ) найдется окрестность U ( z0 ) такая, что из z U ( z0 ) следует
f ( z ) U (w0 ) .
Замечание: Если f(z0), то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности
действительной и мнимой части в этой точке.
 1
, z0
Пример: Функция f ( z )   z
, z  0
является непрерывной в точке z=0 в смысле расширенной
комплексной плоскости.
§5 Функциональные последовательности и ряды

Если fn(z) - однозначные функции , то комплексный ряд
f
k 0



k 0
k 0
k 0
k
( z ) определяется, как сумма
 f k ( z ) =  Re fk ( z)  i Im fk ( z) .
Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы
n
Sn ( z )   f k ( z ) равномерно сходятся на D к некоторой функции S(z), т. е.
k 0
   0    n    zD: Sn ( z )  S ( z )   .
Критерий Коши:    0   n   m , m  0 zD: |
nm
f
k
(z ) |  .
f
k
( z ) сходится в точке z , то
k n

Следствие (Необходимое условие сходимости). Если ряд
k 0
общий член этого ряда f k (z ) стремится к нулю в этой точке.
Аналогичное утверждение можно сформулировать для равномерной сходимости:

Если ряд
f
k 0
k
( z ) равномерно сходится на D , то общий член этого ряда f k (z ) равномерно
стремится к нулю на D.
Достаточный признак Вейерштрасса:
Если fk(z) k,zD и числовой вещественный ряд k сходится, то ряд  fk(z) сходится на
D равномерно.
Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций
(равномерная сходимость на компакте), есть функция непрерывная.
11
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
§6 Степенные ряды
1.Основные свойства степенных рядов.
Напоминание: Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов ( вещественных )
ak , 0  ak .

Даламбер: Если для положительного ряда
a
k 0
k
, ak > 0 существует предел lim
n 
an 1
 q , то
an
при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.
Определение верхнего предела lim bn  lim sup bk .
n 
n  k  n

a
Коши: Если для положительного ряда
k 0
k
, ak  0 существует предел
lim n | a n |  q , то
n 
при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.
Комплексные степенные ряды:

c (z  z )
k 0

k
0
c z
k 0
k
или
k
(1)
k
Теорема 1 (Первая теорема Абеля ) Если ряд (1) сходится в точке z0  0, то он сходится
абсолютно в круге |z| < |z0|.

Доказательство: Ряд
c z
k 0
k
k 0
сходится, следовательно, согласно необходимому условию
сходимости ряда, будет выполнено ck z0k  0 , откуда следует, что Bk :| ck z0k | B . Поэтому для
k
zk
z
 Bq k , q  1 , при z  z0 .
общего члена ряда (1) можно выписать оценку: ck z  c z k  B
z0
z0
k
k
k 0

Таким образом, ряд из модулей исходного ряда мажорируется сходящимся рядом
 Bq
k
в каждой
k 0
точке круга {| z || z0 |} .
Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число R (0  R  ) такое, что при
|z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости
степенного ряда. Круг {|z| < R} называется кругом сходимости.
Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда (1) совпадает с радиусом

сходимости вещественного степенного ряда
| c
k 0
k
| xk .
12
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряд
c z
k 0
k

k
(1) и
| c
k 0
k
| z k (2)
имеют один и тот же радиус сходимости.
Действительно, пусть их круги сходимости имеют радиусы R1, R2. Во всех точках |z|<R1 ряд (1)
сходится абсолютно и, следовательно, (2) тоже сходится абсолютно, т.к. ряды из модулей для (1) и (2)
одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R2 будет

| c
сходится абсолютно не только ряд (2), но и ряд (1). После этого можно рассмотреть ряды
k 0
k
| zk

и
| c
k 0
k
| x k и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости, используя первую теорему
Абеля.
В частности, справедливо
Следствие 3. Комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус
сходимости, что и вещественный ряд с этими коэффициентами.
Теорема 2 (Вторая теорема Абеля ) Если ряд (1) имеет радиус сходимости R, то он сходится
равномерно в любом замкнутом круге радиуса r < R.

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд
c r
k 0
k
k
сходится, кроме того
k
z
ck z k  ck r k    ck r k для всех z: |z|  r. По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на
r
этом множестве.
Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда (1) определяется по формуле R=
1
lim n | cn |
n 
1
1

   ,0   .
0


Согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля, радиус сходимости комплексного степенного

ряда совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда
| c
k 0
сходимости которого определяется по формуле
k
| x k , радиус
1
.
lim | cn |
n
n 
Примеры:

1)
2
k
k 0
z k , имеем cn = 0, если n  k2, cn = 2k, если n = k2. Поэтому lim n | cn |  lim k 2 | ck 2 | ,
2
n 
так остальные коэффициенты при n  0,cn=0. Далее lim
k2
k 
k 
| ck 2 |  lim k | 2k |  lim k 2  1 .
2
k 
k 
2) Функция e , z  C . По определению полагаем
z

zk
, по признаку Даламбера R = , либо согласно следствию 2 из первой теоремы
k  0 k!
ez  
Абеля .
3) Функция sin z , z  C . По определению полагаем
z 2 k 1
sin z   (1)
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя
(2k  1)!
k 0
следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что sin (-z) = - sin z.
4) Функция cos z , z  C . По определению полагаем

k
13
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

z 2k
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя
(2k )!
k 0
следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что cos (-z) = cos z.
5) Функция sh z , z  C . По определению полагаем
cos z   (1) k
z 2 k 1
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2
k  0 ( 2k  1)!
из первой теоремы Абеля, получим R = .
6) Функция ch z , z  C . По определению полагаем

sh z  

z 2k
, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из
k 0 ( 2k )!
первой теоремы Абеля, получим R = .
ch z  
2.Свойства экспоненциальной и основных тригонометрических функций.
a) eiz  cos z  i sin z , действительно
 2k 2k
 2 k 1 2 k 1


in zn
i z
i z
(1) k z 2 k
(1) k z 2 k 1
= cos z  i sin z .
e 



 i
2k!
n0 k!
k 0 2k!
k 0 ( 2k  1)!
k 0
k 0 (2k  1)!

iz
Следствие:
eiz  e  iz
eiz  e iz
c) cos z =
, sin z =
.
2
2i
e y  e y
Пример: |sin (iy) | =
=|sh y|  при y . Синус (и косинус) по модулю может быть
2i
больше единицы в комплексной области.
d) eu+v=eu ev


ul  vm
e e  

l 0 l! m0 m!
l 0
u v


ul vm


m0 l! m!
k 0


ul vm
1
k! l m  1
 
u v   (u  v) k  eu v

ml k l! m!
k 0 k!ml k l! m!
k 0 k!
e) e z  2 i  e z e2 i  e z , таким образом 2 i является периодом, откуда следует, что sin и cos
имеют период 2 и в комплексной области.
f) Из c) и d) следует, что sin2 z + cos2 z = 1 (непосредственная проверка)
g) sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch2z – sh2z = 1. Доказывается, используя формулы Эйлера.
Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
§1 Аналитические функции
1.Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.
Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, z0  D . Обозначения:
w  f ( z)  u( x, y)  iv ( x, y) , z = x + i y, z = x + iy, w = f = u + iv.
Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке z0  C , если существует конечный
f ( z )  f ( z0 )
 f ' ( z0 ) , который называется производной в точке. В этом случае
предел lim
z  z0
z  z0
говорят также, что функция дифференцируема в смысле комплексного анализа.
Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
проколотой окрестности точки z0 имело место представление
14
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
w = A z + (z) z= A z + o(z ) ,  (z)- бесконечно малая при z→z0 . ( A = f(z0)). Это условие
можно записать в виде: w = A z + o(| z |) , так как z | z |
z
и поэтому o(z )  o(| z |) .
| z |
Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке
z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана
u v u
v
 ,
 .
x y y
x
Необходимость: При вычислении предела возьмём z = x, тогда f(z0) = ux +ivx. Если брать z
1
1
u y  i v y  v y  iu y . Сравнивая, получим требуемые соотношения.
i
i
Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = uxx + uyy + o(| z |) +i(vxx
= iy, то f(z0) =
+ vyy) +i o(| z |) =( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + o(z ) .
w=( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + o(z ) (1)
Используя условия Коши-Римана, получаем
1

w  ( ux +i vx) x +(  u y  v y iy + o(z ) = (ux  iv x )x  iv x  ux iy
i

+ o(z ) = (ux  iv x )(x  iy) + o(z ) =Az+ o(z ) .
Замечание 1. Если функции u, v дифференцируемы, то
f 
f
f
z   z  o(z ) .
z
z
Действительно, в этом случае имеет место равенство (1)
w = ( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + o(z )
zz
zz
f
f
,y =
,
z   z . Действительно: x =
2
2i
z
z
zz zz
zz zz
z  z
z  z
  iv 
 , поэтому
,
,
x=
, y =
, f  u
2i 
2i 
2
2i
 2
 2
Покажем, что ( ux +i vx) x + (uy +ivy )y =
f 1
1
1  1
1
 u x  u y  i vx  v y   u x  v y  i(vx  u y ) ,
z 2
2i
2i  2
2
f 1
1
1  1
1
 u x  u y  i vx  v y   u x  v y  i(vx  u y ) ,
2i
2i  2
z 2
2
f
f
1
z   z  u x  v y  i(vx  u y ) (x  iy)  ux  v y  i(vx  u y )(x  iy) =
z
2
z
 (ux  iv x )x  (u y  iv y )y .
Замечание 2. Выполнение равенства f 
эквивалентно равенству
f
 0.
z
f
f
z   z + o(z ) и условий Коши-Римана
z
z
Замечание 3*. Условия Коши-Римана в полярных координатах
f  u( x, y)  iv ( x, y)  u(r cos  , r sin  )  iv (r cos  , r sin  )  U (r, )  iV (r, ) .
rUr  V  0 , rVr  U  0
(CR)
Действительно: U r  ux cos   u y sin  , U  rux sin   ruy cos  , Vr  vx cos   v y sin  ,
V  rvx sin   rvy cos  . Далее
rU r  rux cos   ru y sin  
 . Решая эту систему, получим:
U  rux sin   ru y cos  
15
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
rux  rUr cos   U sin  , ruy  rUr sin   U cos  . Аналогично
rVr  rvx cos   rvy sin  
 , откуда следует rvx  rVr cos   V sin  , rvy  rVr sin   V cos  .
V  rvx sin   rvy cos  
Тогда rUr  V  r cos  (ux  v y )  r sin  (u y  vx )  0 и
rVr  U  r cos  (vx  u y )  r sin  (vy  ux )  0 .
Так как z=|z| ei , то в случае дифференцируемости u, v,
f f f  i 2 o(z )
f
f
. Таким образом, lim
зависит от направления , если

 e

 0.
z

z
0 z
z z  z
z
z
f
И наоборот, для моногенной функции или, что тоже, при условии
 0 этот предел не зависит от
z
направления стремления z  z0 .
2.Голоморфные функции. Аналитичность.
Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в некоторой окрестности
точки z0 , называется аналитичной в точке z0.
Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D.
В этом случае говорят об аналитичности в области.
Вместо слова моногенность употребляют выражение дифференцируемость в смысле
комплексного анализа, или просто дифференцируемость.
Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций
доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место
следующие свойства:
1)
сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и
(f(z) + g(z))=f (z)+g(z)
2)
Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет аналитичной
функцией в этой точке и ( f ( z) g ( z))'  f ' ( z) g ( z)  f ( z) g ' ( z) ,
d  f ( z)  g ( z) f ' ( z)  f ( z) g ' ( z)


.
dz  g ( z ) 
g 2 ( z)
В последнем случае, предполагается, что g ( z )  0 .
3)
Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как и для
действительных функций.
 
Пример: z k '  kzk 1 . Отметим, что z k  z0k  ( z  z0 )
lim
z  z0
k 1
z
m 0
m k  m 1
0
z
. Поэтому
k 1
k 1
z k  z0k
 lim  z0m z k 1 m   z0m z0k 1 m  kz0k 1 .
z  z0 z  z 0 m  0
m0
Многочлен: P( z ) 
n
a z
k 0
k
k
, рациональная функция (иногда говорят - дробно рациональная
n
функция): Q( z ) 
a z
k
b z
k
k 0
m
k 0
k
аналитичны всюду, где они определены.
k
4)
Сложная функция. Пусть w=g(), =f(z), g аналитична и однозначна в , а f
аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z))
аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции
d
g ( f ( z ))  g ' ( f ( z )) f ' ( z ) .
dz
5)
16
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в
этом круге ряд можно почленно дифференцировать.
Доказательство: Обозначим Sn ( z ) 

 kc z
k 1

k 1
k
n

k 0
k 1
 ck z k , g ( z)   kck z k 1 . Радиус сходимости ряда

совпадает с радиусом сходимости исходного ряда
c z
k
k 0
k
, так как
1 
 kck z k , k | k |  1 .
z k 1
Пусть r=|z0|, выберем  , удовлетворяющее условию r<<R, где R -радиус сходимости рядов
 kck z k 1 
k 1

 ck z k ,
k 0

 kc z
k 1
k 1
k
. Рассмотрим круг K с центром в z0 и радиуса  - r . Для z  K :| z |  .

Степенной ряд
 kc z
k 1
:

k | c
k
k 1
сходится абсолютно при z=, поэтому для заданного  >0
k
|  k 1 

.
4
Для этого N выбираем  < - r так, чтобы при |z - z0|< выполнялось неравенство
S N ( z )  S N ( z0 )

 S N ' ( z0 )  ,
( z  z0 )
2
k  N 1
тогда при |z - z0|< будет выполнено неравенство
f ( z )  f ( z0 )
 g ( z0 )   . Действительно,
z  z0
имеем
N
f ( z )  f ( z0 )
 g ( z0 ) 
z  z0
S N ( z )  S N ( z0 )
 S N ' ( z0 ) 
z  z0
k 0

N
 ck z k   ck z0k
k 0
z  z0
N
  kck z0
k 1

 ck z k 
k  N 1
k 1

( z k  z0k )

k 1
ck
  kck z0 < 

z  z0
2
k  N 1
k  N 1


c z
k  N 1
z  z0
k
k 0


 kc z
k  N 1
k 1
k 0
 k 1
 
ck   z k  m 1 z0m   <
k  N 1
 m0
 4



 k 1 k 1  3
3
|
c
|

| ck | k k 1   < .

+
<





k
4
k  N 1
k  N 1
 m 0
 4

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое
число раз.
Пример: Доказать, что
de z
 e z . Дифференцируем почленно
dz


de z d  z k
z k 1
zm z
  

e .
dz dz k  0 k! k 1 (k  1)! m  0 m!
17

Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Пример: Доказать, что (sin z)'  cos z, (cos z)'   sin z . Использовать формулы Эйлера.
Например, для sin z : (sin z )' 
d  eiz  eiz  1 iz


ie  ie iz  cos z .
dz  2i  2i



Следствие 2. Если степенной ряд
c (z  z )
k 0
то ck 
k
k
0
сходится в круге | z - z0|<R, R>0 к функции f(z),
f ( k ) ( z0 )
, k  0,1,...
k!
Доказательство: Дифференцировать k раз
f ( p) ( z) 

dp 
k
c
(
z

z
)

k (k  1)...(k  p  1)ck ( z  z0 ) k  p

0
p  k
dx k  0
kp
и подставить z=z0.

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд

k 0
f ( k ) ( z0 )
( z  z0 ) k
k!
называется рядом Тейлора функции f(z).

Как это видно из Следствия 2, ряд
c (z  z )
k 0
k
0
k
является рядом Тейлора своей суммы. Из
следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

Теорема. Если два ряда
 ak ( z  z0 )k и
k 0

b (z  z )
k
k 0
0
k
совпадают в круге |z - z0|<R,R>0, то
ak=bk.
Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 , если она определена в
окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки

f ( z )   ck ( z  z0 ) k
k 0
Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.
3.Гармонические функции. Сопряженные функции.
Функция u ( x, y) называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные
частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению
Лапласа
u 
 2 u  2u

 0.
x 2 y 2
Две гармонические функции u, v называются сопряженными, если они связаны между собой
условиями Коши-Римана.
Теорема. Если u гармоническая функция в связной области D , то для нее существует
семейство сопряженных функций, определяемых по формуле
 u
u 
  dx  dy  .
y
x 
( x0 , y 0 ) 
Доказательство . Из условия гармоничности функции u следует, что поле
 u u 
V  ( P, Q)    ,  потенциальное и его потенциал v находится по формуле
 y x 
( x, y )
v ( x, y ) 

 u
v
u v
u
u 
  dx  dy  . Так как grad v  P, Q , то
 P   ,  Q   . Что и
x
y y
x
y
x 
( x0 , y 0 ) 
( x, y )
v ( x, y ) 

требовалось доказать.
18
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее действительная и мнимая
части будут сопряженными гармоническими функциями. И, наоборот, по двум сопряженным
функциям u, v восстанавливается аналитическая функция f  u  iv .
§2 Конформные отображения
1.Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки
Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f(z0)0
u  u ( x, y )
D(u, v) u x

. Якобиан
D( x, y ) vx
 v  v ( x, y )
w=f(z): 
uy
 u x v y  u y vx  u x2  vx2 | f ' ( z ) |2  0 в
vy
окрестности точки z0. Следовательно, | f ' ( z0 ) |2 имеет смысл коэффициента искажения площади в
точке z0 при отображении w  f (z ) и существует обратная функция в некоторой окрестности точки
w0=f(z0), z  f 1 ( w) , причём
z
1
df 1 ( w)
1
.

,

df ( z )
w w
dw w
0
z
dz z 0
2.Геометрический смысл аргумента производной.
Пусть  -гладкая кривая Жордана, : z(t)=x(t)+iy(t), t[,], z ' (t )  0, t0  ( ,  ) .Обозначим 
образ кривой  при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и
f(z0)0.
Имеем : w(t)=f[z(t)], w(t0)=f(z0)z(t0). Так как при умножении комплексных чисел аргументы
складываются, то Arg f(z0) = arg w(t0) – arg z(t0).
Если arg z(t0) = , arg w(t0) =  - главные значения аргументов, Arg f(z0)     - угол
поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z), определяемый с точностью до 2k. Как видим,
этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку.
В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1(t), z2(t), имеющие в точке
пересечения главные значения аргументов 1, 2, а их образы при отображении w=f(z),
соответственно, углы 1, 2, то мы получим 2 - 2 =arg f(z0)+2k2, 1 - 1 =arg f(z0)+2k1, откуда,
вычитая одно равенство из другого, получим 2 - 1 =2(k2- k1)+ 2 - 1. Полученное равенство
позволяет сформулировать следующее
Следствие. При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю
производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того, сохраняется «порядок обхода».
Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй
кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в
плоскости w между образами этих кривых.
Пример: w  z 2 . Обратить внимание на сохранение углов и направлений поворота (9 точек
пересечений)
19
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
3.Геометрический смысл модуля производной.
z=x+iy, w=u+iv, | dz |
x'2 (t0 )  y'2 (t0 )dt  ds, | dw | u'2 (t0 )  v'2 (t0 )dt  dS , dw=f(z0)dz,
dS
| f ' ( z0 ) | -коэффициент линейного растяжения кривой в точке при заданном отображении.
ds
Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от кривой, проходящей через эту точку.
Это коэффициент равен |f(z0)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z0.
Как уже отмечалось, | f ' ( z0 ) |2 является коэффициентом растяжения площади в точке z0 при этом
отображении.
Пример: Обратить
внимание на изменение
площади при отображении
w  z 2 в окрестности точки
z0  1 . Линейные размеры
увеличиваются
приблизительно в 2 раза
( w'  2 z z 1  2 ). Площадь в 4
раза.
4.Конформные отображения.
Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимнооднозначное отображение w=f(z)
области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место
1)
свойство сохранения углов
2)
сохранение масштабов
в перечисленном выше смысле.
Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0 и f(z0), то отображение w=f(z) конформно в
некоторой окрестности точки z0.
Определение. Углом между кривыми z1(t), z2(t), в бесконечности ( предполагается, что
lim z1 (t )  lim z2 (t )   ) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении
t 
t 
w=1/z, то есть между кривыми w1 (t ) 
1
1
, t   ; w2 (t ) 
, t   в точке w  0 .
z1 (t )
z2 (t )
20
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Изменение линейных размеров кривой z (t ), lim z (t )   в точке w0   определяется по
t t 0
1
, t  t0 . И в том и в другом случае  предварительно переводится в 0
z (t )
1
отображением w  . С учетом этих определений дается определение конформности в C .
z
Если требуется исследовать вопрос об угле или коэффициенте растяжения кривой z (t ) при
образу кривой w(t ) 
1
t   , то эту задачу можно решить, рассматривая кривую Z ( )  z  в точке   0 . При решении
 
задач об изменении углов и масштабов в  при отображении w  f (z ) можно руководствоваться
следующей таблицей
Решение задач с преобразованием углов и масштабов при отображении w=f(z)
Задача
Решение
1. z0, f(z0) 
См. f(z0)
2. z0,f(z0) 
См. w1=f(1/w) в точке w0 0
3. z0,f(z0) 
1
См. w1 
в точке z0
f ( z)
1
См. w1 
в точке w0 0
1
f 
 w
4. z0,f(z0) 
Пример 1. Исследовать на конформность функцию w 
z 1
в расширенной комплексной
z i
области.
Решение. В точках отличных от i и  конформность следует из существования производной и
не равенства её нулю
dw ( z  i)  ( z  1)
1 i
.


2
dz
( z  i)
( z  i)2
В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть
1 z i
в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования

w z 1
dw1 ( z  1)  ( z  i)
i  1 dw1


,
 0.
производной и не равенства её нулю при z  i ,
2
dz
( z  1)
( z  1) 2 dz z i
В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке
функцию w1 
следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 ( с помощью замены
1
переменного z 
1

). Таким образом, для исследования берётся функция
w

1

1

i
1
в
1  i
точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля,
dw  (1  i )  i(1   )
i  1 dw


,
 0.
2
d
(1  i )
(1  i ) 2 d   0
Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=i z - 2.
Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=,
поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: z 
21
1

,и  
1
. В итоге, для
w
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
1
исследования на конформность имеем функцию w 
i
1

2


i  2
в окрестности точки   0 . Эта
функция в точке =0 имеет производную не равную нулю,
dw (1  2 )  2
1
dw


,
0 .
2
2
d
(1  2 )
(1  2 ) d   0
Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении
w
2z
.
z  2i
Пусть z1(t) и z2(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t1,1, для второй t2,2. Точка
2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми
w(t ) 
1
2 z1 (t )
1
2 z2 (t )
и w(t ) 
в точках 1, 2, соответственно. Для
, w1 (t ) 
, w2 (t ) 
w1 (t )
z1 (t )  2i
w2 (t )
z2 (t )  2i
этих кривых имеем w' 
1 d  zk  2i  1 zk ' zk  zk ' ( zk  2i) iz k '


 2
2 dt  zk  2
zk2
zk z
k
 2i
i
  zk ' , поэтому угол
4
между образами wk в бесконечности будет равен:
 i 
 i 
 i
 i
arg  z2 '   arg  z1 '   arg    argz2 '  arg    arg z1 '  arg z2 '  arg z1 '
 4 
 4 
 4
 4
Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )
Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимнооднозначна) в
области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D на D* . Кроме того, f -1(w) аналитична в D*,
где D* образ D при отображении f(z).
Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми
Жордана  D и  D*. Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает D  D  D на
D*  D * D * взаимнооднозначно и взаимно непрерывно с сохранением ориентации обхода
границы.
Свойство взаимнооднозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области,
ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана D и D* . Если аналитическая в D
функция взаимнооднозначно и непрерывно отображает D на D* с сохранением обхода, то эта
функция конформно отображает D на D*.
Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области DC состоит более, чем из одной точки,
то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1,
причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную
точку z0 с заданным направление в заданную точку w0 с заданным направлением.
Глава 3. Примеры конформных отображений
§1 Дробно линейное отображение
1.Линейная функция.
w = a z + b, a0
Можно представить, как суперпозицию отображений: w1=|a| z, w2=ei arg a w1, w = w2+b.
Взаимнооднозначно и конформно отображает C z на Cw . Первое из этих отображений представляет
собой растяжение в |a| раз, второе - поворот плоскости на угол arg a, третье – сдвиг.
Определение. Окружностью в С будем называть обычные окружности, либо прямые.
22
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Такие обобщенные окружности можно описать уравнением
A(x2+y2)+Bx+Cy+E=0, A2  B 2  C 2  0 .
zz
zz
, получим эквивалентную форму представления окружности
,y 
2
2i
 B  iC   B  iC 
2
2
2
2
Az z  
z  
 z  E  0 или Az z  F z  F z  E  0 , A  | F |  0 , E  | F |  0 , A и
2
2

 

Подставляя x 
E вещественные.
Круговое свойство. Линейная функция сохраняет окружности.
Действительно, линейная функция представляет собой суперпозицию трех отображений:
растяжение, поворот, сдвиг. Не очевидным является только свойство сохранения окружностей при
растяжении. Если в уравнение окружности Az z  F z  F z  E  0 подставить z 
A
w
, то получим:
|a|
ww
w
w
F
F
 E  0 или A' ww  F 'w  F ' w  E  0 , A'2  | F |2  0 , E 2  | F |2  0 , A' и E
2
|a|
|a|
|a|
вещественные, т. е. снова уравнение окружности. Свойство сохранять обобщенные окружности
называется круговым свойством.
2.Преобразование инверсии.
Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно окружности  на C, если
они лежат на луче, выходящем из центра окружности и произведение расстояний от этих точек до
центра равно квадрату радиуса. Из условий |z* - z0||z - z0|=R2, arg(z - z0)=arg(z* - z0) следует
равенство, связывающее симметричные точки относительно окружности с центром в z0 и радиуса R
z *  z0 
R2
z  z0
,
z*  z0 
R2
z  z0
.
Способ построения симметричных точек виден из рисунка. Из точки z восстанавливается
перпендикуляр к лучу z0 z , из точки пересечения перпендикуляра с окружностью проводится
касательная до пересечения с лучом z0 z в точке z * . Симметрия точек z и z * следует из подобия
двух прямоугольных треугольников:
| z  z0 |
R

.
R
| z *  z0 |
Теорема. Для того, чтобы точки z , z* были симметричны относительно , необходимо и
достаточно, чтобы любая обобщенная окружность  из С , проходящая через эти точки, была
ортогональна .
Доказательство. Отметим известное свойство касательных и секущих к окружности: квадрат
касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Необходимость. Дано: z , z* симметричны относительно .
23
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Если  - прямая, проходящая через z ,
z* , то  и  ортогональны. Пусть  некоторая обычная окружность,
проходящая через симметричные точки.
Проведем одну из касательных к
окружности  из точки z0 и обозначим
точку касания . . Рисунок иллюстрирует
это построение.
Если точки симметричны, то по сформулированному свойству секущей, квадрат касательной
z0  
2
будет равен R2, то есть точка  должна лежать на окружности . Следовательно отрезок
соединяющий z0 и  , с одной стороны будет радиусом к  , а с другой стороны касательной к  , что
означает ортогональность этих окружностей. Корректный рисунок приведен ниже, в доказательстве
достаточности.
Достаточность. Любая обобщенная окружность  , проходящая через z , z* ортогональна .
Беря в качестве 
прямую получим, что точки z,
z* лежат на луче, выходящем
из центра z0 .
Проведем какуюнибудь обычную
окружность  через
точки z, z* . Обозначим
любую из точек
пересечения
окружностей ,  через
.
Так как окружности ортогональны, то отрезок z0 ,  будет касательной для  и радиусом для  .
По упомянутому свойству касательной, получим равенство |z* - z0||z - z0|=R2, следовательно, точки
z0 , z * симметричны относительно .
Пример: Инверсия области D  {z [0.5,2]  [2,2]} относительно единичной окружности
24
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Доказанная теорема позволяет сформулировать эквивалентное определение симметричных
точек для расширенной комплексной плоскости.
Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно обобщенной окружности
 на С , если любая обобщенная окружность, проходящая через эти точки, ортогональна к .
Если обобщенная окружность  является прямой, то симметрия точек относительно этой
прямой совпадает с симметрией относительно прямой в обычном смысле.
Определение. Отображение z z*, переводящее точку z С в симметричную z*
относительно , называется симметрией относительно окружности или инверсией. При этом мы
считаем, что центр переходит в  , а  в центр окружности.
3.Отображение w 
1
.
z
Это отображение обладает круговым свойство. Другими словами, образом обычной
окружности или прямой может быть только обычная окружность или прямая. Возможно, что
окружность перейдет в прямую или наоборот. Действительно, пусть дана окружность в
С : Az z  F z  F z  E  0 , подставим в это уравнение z 
1
1
, z  , получим
w
w
1
1
1
 F  F  E  0 или A  F w  Fw  Eww  0 или A  G w  Gw  Eww  0 , с теме же
w
ww
w
условиями на коэффициенты A2  | G |2  0 , E 2  | G |2  0 , A и E вещественные.
1
Отображение w  является конформным на расширенной комплексной плоскости ( легко
z
A
проверить в 0 и в бесконечности ).
R2
может быть реализована как суперпозиция пяти
z  z0
1
отображений: сдвиг: w1  z  z0 , операция сопряжения: w2  w1 , обратная: w3 
, растяжение:
w2
Следствие. Симметрия z*  z0 
w4  R 2 w3 , сдвиг: w5  z0  w4 и поэтому сохраняет окружности и антиконформна. Под
антиконформностью понимается то, что направление поворота от одной кривой к другой в точке
пересечения меняется при отображении на противоположное.
Примеры - иллюстрации:
25
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
w
1
,
z
D: 0.1 ≤ |z| ≤ 1,
0 ≤ arg z ≤
w

.
2
1
,
z2
D: 0 ≤ |z| ≤ 1,
0 ≤ arg z ≤ 2 .
4.Дробно линейная функция.
Дробно линейным называется отображение w 
az  b
. Матрица
cz  d
a b 

 называется
c d 
матрицей дробно линейного отображения. Обычно, мы будем предполагать, что эта матрица не
a b
 0 и c  0 . Дробно линейной отображение не изменится, если матрицу
c d
a b
 1 . Это отображение
«пронормировать», т. е. считать, что
c d
a
ad
(cz  d ) 
az  b c
c  a  ad 1 можно представить в виде суперпозиции простейших

cz  d
cz  d
c c cz  d
1
, w3  Aw2  B .
отображений: w1  cz  d , w2 
w1
вырождена
Из предыдущих свойств следует, что дробно линейное отображение является конформным на
расширенной комплексной плоскости и обладает круговым свойством.
Теорема. Свойство сохранения симметричных точек. Дробно линейное отображение L
переводит любые точки z, z*, симметричные относительно окружности  на С , в точки w, w*,
симметричные относительно образа L() этой окружности.
Доказательство. Если z, z* симметричны относительно , то это означает, что все
«окружности» , проходящие через z, z* , ортогональны . Так как отображение L сохраняет углы и
окружности, то любая окружность, проходящая через w, w*, будучи образом некоторой , будет
ортогональна L(), что означает симметрию.
Свойства дробно линейных отображений
26
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
1)
Дробно линейная функция взаимнооднозначно и конформно отображает всю
расширенную комплексную плоскость z на всю расширенную комплексную плоскость w. Обратное
отображение так же дробно линейно.
Взамнооднозначность. Разрешим уравнение w 
w(cz  d )  az  b, dw  b  (a  cw) z, z 
z
d
c
az  b
относительно z .
cz  d
dw  b
a
. При этом z   переходит в w  , а
 cw  a
c
переходит в w   . Если матрица отображения нормирована, то нормирована и матрица
обратного отображения и они взаимно обратны.
a(cz  d )  c(az  b) ad  cb

 0 во всех конечных
(cz  d ) 2
(cz  d ) 2
d
d
точках, если z   . Для проверки конформности в точке z   рассматривается функция
c
c
1 cz  d
d
d  1  c(az  b)  a(cz  d ) cb  ad
, производная которой


 0 в точке z   .
 
2
2
w az  b
c
dz  w 
(az  b)
(az  b)
1
a b
1
a  b

Для проверки конформности в точке z   рассматривается функция w  
в

   c 1  d c  d
Конформность. Производная w' 

точке   0 . Производная
d  1  b(c  d )  d (a  b )
bc  ad
w  

 0 в точке   0 .
2
d   
(c  d )
(c  d ) 2
2) Суперпозиция двух дробно линейных отображений есть дробно линейное отображение.
Матрицы этих отображений при суперпозиции перемножаются: если
w  L( z ) 
a11z  a12
b   b12
c   c12
, тогда
, z  M ( )  11
, w  L( M ( ))  11
a21z  a22
b21  b22
c21  c22
cij  aij bij . Проверяется непосредственно.
3) Круговое свойство и сохранение симметрии. Произвольное дробно линейное отображение L
обладает круговым свойством и переводит любые точки z, z*, симметричные относительно какойнибудь окружности  на С , в точки w, w*, симметричные относительно образа =L() этой
окружности.
4) Каковы бы ни были три различные точки z1, z2, z3C и три различные точки w1, w2, w3C,
существует единственное дробно линейное отображение L такое, что L(zk)=wk, k=1,2,3.
Доказательство. Рассмотрим отображение   L 1( z ) , переводящее точки z1, z2, z3 в 0, , 1 ,
z  z1 z3  z2
, z10, z2, z31. Аналогично, отображение   L 2(w)
z  z2 z3  z1
w  w1 w3  w2
L2 :  
, будет переводить w10, w2, w31 Тогда отображение
w  w2 w3  w1
L1 :  
w  L( z )  L21 ( L1 ( z ))  L21  L1 будет искомым : L(zk)=wk, k=1,2,3.
Для доказательства единственности, докажем лемму.
27
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Лемма. Если дробно линейное отображение переводит точки 00,  , то оно
тождественное.
Доказательство. Из 00 b=0, ( при этом можно считать, что a=1 ) таким образом,
отображение должно иметь вид w 
az
az
.  c=0, w 
,11  w  z .
cz  d
d
Докажем единственность. Предположим, что ещё одна дробно линейная функция w=f(z)
обладает этим свойством. Тогда g  L2  f  L11 оставляет на месте 0,,1. Такое отображение
является тождественным I  L2  f  L11 , откуда следует, что f  L21  L1  L .
5) Непосредственной проверкой можно убедиться, что
w1  w3 w1  w4 z1  z3 z1  z4
:

:
, wk  L( zk ) .
w2  w3 w2  w4 z2  z3 z2  z4
Пример. Найти образы
обобщенных окружностей
 1,  2 ,  3 : z  i  1 ,
вещественная и мнимая оси
при отображении w 
z i
.
zi
Замечание. Обобщенная окружность является прямой только тогда, когда она проходит
через точку  , в противном случае она является обычной окружностью.
В  отображается точка  i , которая принадлежит “окружности”  1 . Это значит, что только
 1 * является прямой, а  2 * ,  3 * будут обычными окружностями. Для того, чтобы нарисовать
прямую  1 * возьмем любые две симметричные относительно “окружности”  1 точки z1 , z2 ,
например, -1, 1. Эти точки перейдут в симметричные точки z1*, z2 * относительно  1 * . Подставляя
значения -1, 1 в w 
z i
найдем образы этих точек  i, i .
zi
Рисуем прямую  1 * , для которой эти точки являются симметричными
Для изображения окружностей  2 * ,  3 * нужно найти их центры и точки, через которые они
будут проходить. Для нахождения центра окружности  2 * найдем точку симметричную  .
28
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Центром окружности  2 * будет точка 0 . Так как все три кривые пересекаются в 0, а 0
переходит в -1, то  2 * будет окружностью радиуса 1.
Тоже самое для окружности  3 * . Находим, кто симметричен прообразу  .
Точку
i
, симметричную  i относительно окружности  3 находим из соотношения инверсии.
2
§2 Степенная функция w=zn, n - натуральное.
1.Отображение степенной функцией.
w=zn=rnein. Область однолистности: для того, чтобы условие однолистности нарушалось в
области D, в этой области должна существовать пара различных точек z1  z2 , для которых образы
совпадают: z1n  z2n . В этом случае |z1|=|z2| и n arg z1 = n arg z2 + 2k, arg z1  arg z2 
2k
.
n
Поэтому, если в какой-либо области для различный точек z1  z2 будет выполнено
соотношение arg z1  arg z2 
2
, то однолистность нарушаться не будет. В частности, каждую из
n
29
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
областей Dk :
2k
2(k  1)
функция w=zn отображает однолистно на плоскость с вырезом
 arg z 
n
n
по положительной части действительной оси.
 4 6 
, 
 5 5 
Пример: w  z 5 . Выбрана область | z | 0.1, arg z  
2.Обратная функция.
Определение. Функция f(z) называется однозначной ветвью на множестве D многозначной
функции F(z), определённой на D, если f(z) однозначная, непрерывная функция, совпадающая с одним
из значений F(z) в каждой точке zD.
Пример: Обратная функция z  n w многозначна ( n различных корней, если w0 )
z  n | w |e
i
arg w  2k
n
. Рассмотрим n экземпляров плоскости Cw с разрезом по положительной
части вещественной оси, будем их обозначать D*k , k =0,1,…, n - 1. Определим одну из возможных
ветвей. Зафиксируем некоторую точку wkD*k и для её образа выбираем значение
i
arg wk  2k
n
i
arg wk
n
i
2k
n
zk  | wk |e
 | wk |e
e .
Значение ветви gk(w) в любой точке w  D*k будем определять следующим образом: положим
n
z  n | w |e
i
n
Argw 2k
i
n
n
, где Arg w получен из arg wk непрерывным изменением вдоль какой-либо
кривой, соединяющей w и wk. Можно показать, что конечное значение arg w не будет зависеть от
конфигурации пути, поэтому определение корректно.
e
В данном случае (удачный выбор областей Dk * ) можно было бы не прибегать к услугам
кривой  , а считать выражение z  | w |e
n
i
arg w 2k
i
n
n
выделить n однозначных ветвей для функции
e
n
за определение k-ой ветви. Таким образом, можно
w . Обозначают эти ветви
30
 w  . Ветвь,
n
k
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
соответствующая k, есть конформное отображение области D*k на область
2 (k  1) 
 2k
 arg z 

.
n
 n

Замечание. При отображении z  w*  n w , в плоскости w при полном обходе вокруг начала
координат arg w получает приращение 2 и мы приходим к другому значению w* в плоскости z ,
w1*  n w, w2 *  n w, w1*  w2 * .
Такие точки называются точками ветвления, точное определение точки ветвления будет
дано в следующем пункте. Для степенной функции, кроме 0, точкой ветвления является .
3. Понятие римановой поверхности для функции z 
w
Два листа D*0 , D*1 склеены, как показано на рисунке. При обходе точкой w по 0 по верхнему
листу D*0 образ z пройдет пол-оборота по кривой 0 в верхней полуплоскости D0 плоскости z.
Продолжаем движение, переходим в месте склейки с верхнего листа D*0 на нижний лист D*1 на
кривую 1 в плоскости w. Далее образ z будет двигаться по 1 в нижней полуплоскости D1 плоскости
z и полностью завершит оборот, когда точка w вернется на верхний лист D*0 по кривой 1 .
Поверхность D*0  D*1 взаимнооднозначно отображается на всю плоскость Cz . Эта поверхность
D*0D*1 называется поверхностью Римана.
Определение. Если в любой достаточно малой окрестности точки aС существует
замкнутая Жорданова кривая  (можно считать окружность с центром a), содержащая внутри
точку a такая, что при обходе , начиная с точки z0  ( и непрерывном изменении модуля и
31
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
аргумента ) значение ветви fk (z0) многозначной функции F(z) переходит в значение другой ветви
f1 ( z0 ) , то точка a называется точкой ветвления.
Пример. Поверхность Римана для z  3 w .
§3 Функция w=ez
1.Отображение w  e z .
w=u+iv=exeiy, |w|=ex, arg w = y
Нарушение условия однолистности: z1  z2 , в то время, как e z1  e z 2 , или x1=x2, y1=y2+2k,
поэтому в областях вида Dk={z:2k < Im z < 2(k+1) } однолистность нарушаться не может. Каждая
из таких областей однолистно отображается на плоскость с разрезом по положительной части
вещественной оси.
Пример. w  e z , z [2,2]  [0,  ]
32
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

 3 


Пример: D  0,2 0,   , w  e z
4

2.Обратная функция.
Если w=ez, то |w|=ex, x=ln |w|, arg w = y откуда для обратной функции z = Ln w = ln|w|+i Arg w
= ln|w|+i (arg w + 2k ). При k=0 получаем ln w. Для z  Ln w поверхность Римана набирается из
счетного числа листов, имеющих разрез по положительной части вещественной оси и склеиваемых
друг с другом последовательно.
§4 Функция Жуковского
1.Определение
1
1
w  ( z  ) Определена, однозначна и аналитична всюду в C кроме z=0.
2
z
33
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
1
1
w'  1  2  ,w0 при z1, таким образом, эта функция конформна в любой точке кроме
2 z 
z  1, ( конформность в 0 и в  проверить самостоятельно )
Нарушение однолистности.
z1  z2 , z1 
1
1
z z
 z2  , z1  z2  1 2 1  1  0 ,
z1
z2
z1 z2
z1 z2
откуда следует, что однолистность нарушается в точках z1 , z2 , z1  z2 : z1z2=1. Областью
однолистности является, например, каждое из следующих множеств |z|<1, |z|>1, Im z  0 .
Пусть z=r ( cos  + i sin  ) = r ei, тогда w  u  iv 
1
cos   i sin  
 r cos   ir sin  
,
2
r

1
1
1
1
u   r   cos  , v   r   sin 
2
r
2
r
(1)
Следовательно, окружность r=r0 переходит в эллипс с полуосями
1
1
1
1
1
a   r0  , b   r0  , c 2  a 2  b 2  4  1 . Фокусы в точках c =  1.
2
r0 
2
r0 
4
u2
v2
Из (1) следует, что лучи arg z =  переходят в гиперболы

 1 с фокусами 1.
cos 2  sin 2 
Асимптоты гипербол v  u tg . Функция Жуковского переводит внешность единичного круга на
плоскость с разрезом по отрезку [-1,1].
34
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Пример. Функция Жуковского 0.2 | z | 2,0  arg z 
Функция Жуковского 1 | z | 2,0  arg z  2 .
35

2
.
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Щель [1,1] на действительной оси получена в результате сплющивания единичной
окружности .
2.Обратная функция
1
1
w   z  , z  w  w2  1 . Рассмотрим область D*  C \ [1,1] в плоскости w, плоскость
2
z
с щелью [1,1] . Первая однозначная ветвь f1(w) переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f2(w) переводит
D* в |z|>1. Точки w=1 являются точками ветвления.
§7 Таблица некоторых конформных отображений.
z  z0
, точка z0 отображается в 0, симметричная относительно единичной
1  z0 z
1
окружности точка
отображается в  , поэтому, образом единичной окружности будет единичная
z0
1) w  ei
окружность.
36
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
2) Верхняя полуплоскость на единичный круг. z0  0, z0  , w  ei
z  z0 u
,  1.
z  z0 u


3) Угол { z: arg z (0, ),0 < < 2 } на верхнюю полуплоскость w  z . Напоминание
z  r  ei .
4) В частности w=z2 отображает первый квадрант на верхнюю полуплоскость.
5) Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость

w z
6)
7) Частный случай
8) Частный случай
37
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
9)
10)
11)
38
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
1
1
w   z   0.1 | z | 1 , 0  arg z  
2
z
12)
13)
14)
Пример. Отобразить область
Решение
1
1
1
1 
w1  e z , w2   w1  , w3   w2  
2
w1 
2
w2 
39
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Пример.
w1  z  z 2  1 (нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем w2=w12.
Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость с вырезанными полукругами | z  1 | 1, | z  1 | 1
на верхнюю полуплоскость.
Все три обобщенные окружности  1 ,  2 ,  3 проходят через точку 0, поэтому, если перевести 0 в
1
, то образы  1*,  2 *,  3 * будут прямыми линиями. Беря какие либо
z
симметричные точки относительно  1 ,  2 ,  3 , найдем симметричные точки относительно прямых
 1*, 2 *, 3 * в плоскости w1 . Возьмем в качестве симметричных точек относительно  1 точки i,i ,
образами которых будут  i, i и поэтому  1 * будет вещественной осью. Для  2 возьмем 1,  ,
образами которых будут 1,0, следовательно  2 * - вертикальная прямая, проходящая через точку 1/2.
Для  3 * возьмем -1,  с образами -1,0.  3 * - вертикальная прямая, проходящая через точку -1/2.
 отображением w1 
40
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Сделаем поворот на 90 градусов и
сдвиг вверх на 1/2:
i

w2  e 2 w1 
i
. В результате
2
получаем полуполосу,
показанную не рисунке.
Далее растяжение в  раз: w3  w2 . Полученную полу-полосу переведем в верхнюю
плоскость с вырезанным полукругом: w4  e w3 , которая переводится в верхнюю полуплоскость
1
1 
 w4   . Итоговое отображение получается суперпозицией
2
w4 

 i
i

1 w2
w2
2z 












найденных отображение: w( z )  w5 w4 w3 w2 w1 z
= e e
= ch    e  .
 2

2

 
функцией Жуковского: w  w5 


Глава 4. Теория интеграла
Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции.
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
1.Интеграл и его свойства.
Для кривой  и функции f(z), определенной на ней, рассматриваются интегральные суммы
n 1
 f (
k 0
k
)( zk 1  zk ) .
Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле (характеристика стремится
к нулю, предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек ) и обозначается
 f ( z)dz .
Если кривая имеет параметризацию z(t), t[,], интегральные суммы в определении будут выглядеть
следующим образом
n 1
n 1
k 0
k 0
 f ( z(k ))( z(tk 1 )  z(tk ))  f ( z(k )) z' (k )tk .
Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой z(t), t[,] эти

суммы будут сходиться к интегралу
 f ( z (t )) z' (t )dt . Расписывая действительную и мнимую части,

интеграл можно выразить через криволинейные интегралы
 f ( z)dz   udx  vdy  i  vdx  udy .
Это равенство можно принять за определение интеграла в случае, когда последние два
интеграла существуют.
Свойства интеграла по заданной кривой:
41
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
1) Линейность:
 (f ( z)  g ( z))dz    f ( z)dz    g ( z)dz .
2) Аддитивность по множеству:

 
3)
f ( z )dz   f ( z )dz   f ( z )dz .


 f ( z)dz    f ( z)dz .

4)
 f ( z)dz  max | f ( z) | l , где l – длина кривой. Это неравенство следует из определения
z
(оценка интегральных сумм).
5) Если  - кусочно гладкая и fk() сходится равномерно на  к f(), то
lim  f k ( )d   f ( )d . Это следует из предыдущего свойства.
k 


6) Определение интеграла по границе многосвязной области D=01…m .

D
m
f ( z )dz    f ( z )dz . Обход по каждому связному куску границы происходит так, что область
k  0 k
остается слева
2.Теорема Коши.
Если D- ограниченная область, D, граница которой  - кусочно гладкая Жорданова кривая
из D, гомотопная нулю (область, ограниченная этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в D, то
 f ( z)dz  0 .

Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла воспользуемся формулой
Грина и условиями Коши-Римана:
 f ( z)dz   udx  vdy  i  vdx  udy   (v



x

 u y )dxdy  i  (u x  v y )dxdy  0

Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива
Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей D=01…m , а
f функция, аналитическая в D и непрерывная в D  D  D , тогда
 f ( z)dz  0 .
D
Следствие. В области D интеграл
 f ( z)dz
не зависит от пути интегрирования, а только от
начальной и конечной точек кривой.
Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется,
если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.
42
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
§2 Интеграл Коши
1.Интегральная формула Коши.
Пусть D - m-связная область с границей D=01…m-1 и f – аналитическая в D,
непрерывная в D  D  D функция. Имеет место формула
f ( z ), z  D

1
f ( )
d  

2i D  z
0, z  D  D  D
Доказательство. Если zDD, то равенство нулю интеграла следует из аналитичности
подинтегральной функции
f ( )
для всех D.
 z
Пусть C – окружность с
центром в z: (t)=z+reit
достаточно малого радиуса.
Для области с границей
D  C  точка z является
внешней.
f ( )
d  0 , откуда следует, что
 z
D  C 

В этом случае, согласно обобщенной теореме Коши
f ( )
f ( )d
f ( )d
=
. Так как d=r i eit dt, то    z d =
C
  z D   z

C
2

0
f ( z  reit ) it
ire dt =
reit
2
i  f ( z  reit )dt  2if ( z  rei ) . Последнее равенство следует из теоремы о среднем с некоторой
0
промежуточной точкой  . В полученном равенстве f ( z  rei ) 
пределу при r  0 и получаем требуемое равенство f ( z ) 
2
f ( )d
it
D   z = i 0 f ( z  re )dt , то есть, последний интеграл
1
f ( )d
переходим к

2i D   z
1
f ( )d
. Отметим, что

2i D   z
2
 f ( z  re
it
)dt является константой,
0
другими словами, не зависит от r.
Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна на |z|  r и аналитическая в |z|<r, то
f ( z0 ) 
1
2
2
 f (z
0
 reit )dt
0
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл
1  ( )
d , где  - кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, ограничивающая
2i    z
односвязную область D, а  - непрерывная на  функция.
F ( z) 
43
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в области D и
F (n) ( z) 
n!
 ( )
d

2i  (  z ) n 1
Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее длину через l.
Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:
 1  1

F ( z )  F ( z0 ) 1
 ( )
1
1 
1

d

d



(

)




2
2
zz  z  z
 .
z  z0
2i  (  z0 )
2i 
(


z
)
0 
0
0


Выражение внутри второго интеграла преобразуется к виду:
1  1
1 
1
1
1
z  z0
.






2
2
z  z0   z   z0  (  z0 )
(  z )(  z0 ) (  z0 )
(  z0 ) 2 (  z )
Выберем  окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D

, то расстояние от  до таких точек z будет больше чем /2, тогда, если    ,
2
z  z0
| z  z0 |

8 , откуда следует неравенство
то
2
(  z0 ) (  z )
3
Если |z - z0|<
F ( z )  F ( z0 ) 1
 ( )
l
| z  z0 |

d 
max |  ( ) |
8.
2

z  z0
2i  (  z0 )
2
3
Таким образом, существует lim
z  z0
F ( z )  F ( z0 )
1
 ( )

d . Аналогичным образом

z  z0
2i  (  z0 ) 2
можно доказать существование старших производных и формулу для их вычисления.
§3 Первообразная.
1.Теорема Морера.
z
Теорема. Пусть D односвязная область, f() непрерывна в D и интеграл F ( z ) 
 f ( )d ,
z0
z,z0D не зависит от пути интегрирования, или, что тоже,
 f ( )d  0 для любой замкнутой
кривой Жордана, лежащей в D. Тогда F(z) аналитическая в D и ее производная F(z)=f(z).
Доказательство.
Рассмотрим две точки z и z+z, путь из z0 в
z обозначим , путь из z0 в z+z пусть будет 1,
где 1 - отрезок: z(t)=z+z t, t[0,1].
Тогда
44
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

F ( z  z )  F ( z )
1 
  f ( z )  1 f ( )d  f ( z ) =
 f ( z) 
f
(

)
d


f
(

)
d




z
z    1
z 1


1
1
1
f ( z  zt )zdt  f ( z ) =   f ( z  zt )  f ( z ) dt  0 , при z0.
z 0
0
Определение. Функция F(z) такая, что F(z)=f(z) называется первообразной для f(z) на
рассматриваемой области.
Теорема. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.
Доказательство. Пусть F1(z), F2(z) первообразные для f(z). Положим =F2 - F1. Так как 
голоморфна, то




 0 , кроме того, из условия
 0 , следует, что
 0,
 0 откуда и
z
x
y
z
следует требуемое утверждение.
zz zz
 ,x=ux+ivx, y=uy+ivy
,
Напоминание. (z)= (x,y)= 
2
2
i


  1  1 1


  x  i y .
z
x 2 y 2i 2
  1  1 1


  x  i y .
z
x 2 y 2i 2
  
  


 0, i


 0.
x
z z
y
z
z
2.Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если F(z) первообразная аналитической функции f(z), то
z
 f ( )d  F ( z)  F ( z ) ,
0
z0
z
в частности, F ( z )  С 
 f ( )d .
a
Доказательство. Если F(z) – первообразная для функции f (z ) , то
z
 f ( )d  F ( z)  С  С   F ( z )
0
z0
Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
§1 Ряд Тейлора аналитической функции
Напоминание. Равномерно сходящийся на  ряд из непрерывных функций можно почленно
интегрировать.
1.Теорема Тейлора.
Теорема (Тейлор). Если f аналитическая функция в области D, то для каждой точки z0D
имеет место разложение

f ( z )   ak ( z  z0 ) k , | z  z0 | R, ak 
k 0
f ( )
f ( k ) ( z0 ) 1
d ,
=

2i C (  z0 ) k 1
k!
R >0 – радиус сходимости ряда, разложение единственно.
Доказательство. Пусть  меньше, чем расстояние от z0 до границы D.
45
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Из аналитичности f(z) следует, что для всех z лежащих внутри круга | z  z0 |  ,
ограниченного окружностью C с центром z0 и радиуса  получим: f ( z ) 
1 f ( )
d . Так как
2i C   z


1
( z  z0 ) k
( z  z0 ) k
1
1
1
f
(
z
)

f
(

)
d =
,
то



k 1
2i C
  z   z0  z  z0  k  0 (  z0 )k 1
k  0 (  z0 )
1 

   z0 


1
f ( )
1
f ( )
d .
( z  z0 ) k
d

=
ak ( z  z0 ) k , где ak 


k 1


2i C (  z0 )k 1
2i C (  z0 )
k 0
k 0
Ранее отмечалось, что степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы, в частности
является бесконечно дифференцируемой функцией, таким образом, для его коэффициентов получаем
равенство:
f ( k ) ( z0 )
1
f ( )
 ak 
d . Единственность следует из той же теоремы.

k!
2i C (  z0 ) k 1
При почленном интегрировании использовалась равномерная сходимость ряда, которая следует
из неравенства
( z  z0 ) k | z  z0 |k

 1 для   C .
(  z0 ) k
k
Следствие. Аналитическая в области D функция f(z) бесконечно дифференцируема в этой
области и ее производные вычисляются по формуле
f (n) ( z) 
n!
f ( )
d ,

2i C (  z ) n 1
где C –контур, содержащий точку z , ограничивающий область ,   D .
2.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лиувилля.
Утверждение. Если аналитическая в круге |z - z0|<R функция f(z) ограничена на окружности |z
- z0|=R, например, | f(z)|M, то для коэффициентов ak в разложении по формуле Тейлора

M
, k  0,1,...
Rk
k 0
1
f ( )
1 1
d , | ak |
max | f ( z ) | 2R ч.т.д.
Доказательство. ak 
k 1

2i C (  z0 )
2 R k 1
f ( z )   ak ( z  z0 ) k справедливы неравенства | ak |
Теорема Лиувилля. Если f аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то она
константа.
Доказательство. Достаточно в неравенстве | ak |
46
M
, k  0,1,... перейти к пределу при R.
Rk
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических
функций.
Теорема. Пусть f(z) аналитическая функция, не тождественно равна нулю и f(a)=0, то
существует натуральное n , такое, что f(z)=(z - a)n g(z), где g(z) - аналитическая функция в точке a,
не равная нулю в некоторой окрестности точки a. Число n называется кратностью нуля.
Отметим, что для того, чтобы a была нулем кратности n, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие:
f (a)  f ' (a)  ...  f ( n 1) (a)  0, f ( n) (a)  0 .
Доказательство. Возьмем разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки a:

f ( z )   ak ( z  a) k . Пусть n - индекс первого, отличного от нуля коэффициента ak :
k 0



k n
k n
m0
f ( z )   ak ( z  a)k  ( z  a)n  ak ( z  a)k  n  ( z  a)n  an  m ( z  a)m ( z  a)n g ( z ) .
Отсюда следует, в частности,
Теорема. Если f(z) аналитическая в точке a, f(a)=0 и не является тождественным нулём, то
этот нуль изолирован, то есть, в некоторой окрестности нет других нулей.
Ещё одно следствие.
Теорема. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на некоторой
последовательности точек ak aD , то f(z)g(z) в D.
Для доказательства рассматривается функция h(z) = f(z) – g(z), имеющая a не изолированным
нулем. Из предыдущей теоремы следует h(z) 0.
2.Принцип максимума модуля аналитической функции.
Теорема. Если не тождественно постоянная функция f(z) аналитична в односвязной области
D и непрерывна в DD, то её модуль не может достигать максимального значения в области D.
Другими словами, максимальные значения модуля функции могут достигаться аналитической
функцией только на границе области.
Доказательство. Предположим противное, пусть M  max f ( z )  f ( z0 ), z0  D . Тогда
zD
существует окружность С с центром в z0, на которой не все значения функции равны M . Иначе
функция является постоянной в круге с центром в z0 максимально возможного радиуса. Тоже самое
можно сказать про любую точку границы этого круга, внутренней по отношению к области D. Таким
образом, можно доказать постоянство функции во всей области D . Пусть 0С и |f(0)|<M,
существует некоторая окрестность этой точки на окружности, где |f()|<M - , U(0)C. Длина
этого участка окружности пусть будет равна 2 .
1
По теореме о среднем f ( z0 ) 
2
2
 f (z
0
 reit )dt 
0
47
1
2


     . Отсюда


 C \U U C 
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
M  f ( z0 ) 
1
(2  2 )M  2 (M   )  M  1 2 .
2
2
3.Терема Вейерштрасса

Теорема 1. Если ряд аналитических в области D функций f k ( z ),
f
k 1
k
( z ) равномерно сходится
на любом компакте KD, то

f ( z )   f k ( z ) аналитическая в D
1)
k 1

f ( p ) ( z )   f k( p ) ( z ), p  1,2,... и этот ряд сходится равномерно на любом компакте,
2)
k 1
лежащем в области K D .
Доказательство. Рассмотрим окрестность U точки z0 , лежащую в D со своим замыканием.
Границу U ориентированную положительно обозначим С .
Сумма ряда f ( ) 

f
k 1
F ( z) 
k
( ) непрерывна на C . Рассмотрим интеграл типа Коши
1 f ( )
d , эта функция аналитична в U и там
2i C   z
F ( p) ( z) 

p!
f ( )
f ( )
1
d

,
ряд

f k ( )

2i C (  z ) p 1
(  z ) p 1 (  z ) p 1 k  0
сходится равномерно на C, следовательно, его можно почленно интегрировать.
F ( p) ( z) 

  fk
( p)


p!
f ( )
p!
1
p!
f k ( )
d


f
(

)
d


d 


k
p 1
p 1
p 1



2i C (  z )
2i C (  z ) k  0
k  0 2i C (  z )
( z ) , в частности, F(z)= fk(z)=f(z). В силу произвольности z доказанное утверждение
k 0
распространяется на все точки из D.
Равномерную сходимость ряда из производных будем доказывать только в частном случае,
именно, когда K является замкнутым кругом радиуса r0, лежащем в D . Несколько увеличим радиус
этого круга так, чтобы вновь полученный круг K* радиуса r также лежал в D . Границу этого круга,
ориентированную положительно обозначим C.
48
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Тогда для всех zK будет выполнено
n
f ( p) ( z)   fk
( p)
( z) 
k 0
n
p!
f ( )
p!
f k ( )
d


d =

p 1
p 1


2i C (  z )
k  0 2i C (  z )
n
p!
2i C
f ( )   f k ( )
k 0
(  z ) p 1
d 
n
p! 2r
1
max
f
(

)

f k ( ) .

2 (r  r0 ) p 1  C
k 0
Откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема 2. Если ряд  fk(z) аналитических в области D со спрямляемой границей D и
непрерывных в замыкании DD функций fk(z) равномерно сходится на границе D, то этот ряд
равномерно сходится и в D. В частности, по теореме 1, сумма этого ряда будет аналитической
функцией в области D.
Доказательство будет проведено только для любого компакта лежащего в D и имеющего
спрямляемую границу.
Доказательство. Обозначим сумму ряда f ( ) 

f
k 1
k
( ),   D . Для z  D рассмотрим
интегралы типа Коши:

f k ( )


1
f ( )
1 
1
f k ( )
k 1
F ( z) 
d


d


d


f k ( z )  f ( z ) , таким



2i D  z
2i D   z
k 1 2i D   z
k 1
образом, для любого zD:F(z)=f(z). Пусть компакт K D и  - расстояние от K до границы D, l –
длина этой границы. Тогда для всех zK
n
| f ( )   f k ( ) |
n
n
1
1 1
k 1
| f ( z )   f k ( z ) |
d


l
max
|
f
(

)

f k ( ) |

2 D
|  z |
2   D
k 1
k 1
§3 Ряды Лорана
Определение. Ряд вида


k  
k 0

 ck ( z  z0 )k   ck ( z  z0 )k   c k
k 1


Лорана.
c (z  z )
k 0
k
0
1
называется рядом
( z  z0 ) k
k
называется правильной частью,
c (z  z )
k 1
k
0

k
cm
называется
m
m1 ( z  z0 )

главной частью ряда Лорана. Областью сходимости такого ряда ( в случае наличия членов с
отрицательными показателями ) будет кольцо r<|z - z0|<R, в частности, может быть r=0, R=
(проколотая окрестность точки z0).
49
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте,
лежащем в кольце r<|z - z0|<R , в частности, ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым,
лежащим в кольце сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует
возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.
Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце К: 0 r0 <|z - z0|<R0 , то

 c ( z  z ) , z  K , где
f ( z) 
k
k  
k
0
1
f ( )
ck 
d , k  0,1,2,... С - окружность {| - z0|=, r0 < <R0 }

2i C  (  z0 ) k 1
Доказательство.
Выберем кольцо r<|z - z0|<R
так, что r0 < r, R < R0 . Окружности
с центром z0 и радиусами r, R ,
положительно ориентированные,
обозначим Cr , CR .
По формуле Коши для области (кольца) с границей CR  Cr при z {r | z  z0 | R}
выполнено равенство f ( z ) 
1
f ( )
1
f ( )
d 
d


2i C R   z
2i C r   z
В первом интеграле   CR и

1
1
1
( z  z0 ) k z  z0


,
 1,
  z   z0  z  z0  k  0 (  z0 ) k 1   z0
1 



z
0 


1
f ( )
1
f ( )
(2)
d  
d ( z  z0 ) k
k 1


2i C R   z
k  0 2i C R (  z0 )


1
1
1
(  z0 )m
(  z0 ) m 1




  z ( z  z0 )    z0   0 ( z  z0 )m 1 m 1 ( z  z0 )m
1 

z

z
0 



1
f ( )
1
f ( )
1
f ( )

d


d


( z  z0 ) k
d .


m
 m 1



2i C   z
2i C (  z0 )k 1
m 1 ( z  z0 ) 2i C (  z0 )
k  1
f ( )
f ( )
d , k  0 и 
d , k  0 равны, соответственно,
Интегралы 
k 1
k 1
(


z
)
(


z
)
0
0
C
C
f ( )
f ( )
C (  z0 )k 1 d , k0, C (  z0 )k 1 d ,k<0 (в области аналитичночти контуры можно


Для   Сr : 
r
r
R
r
r
деформировать без изменения величины интеграла).
Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.
Доказательство. Отметим, что справедлива
Лемма. Имеет место равенство
50
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
 0, m  1
( z  z0 )m dz  
2i, m  1
| z  z 0 | r

Доказательство леммы. z (t )  z0  re ,
it
2

( z  z0 ) dz   r meimt rieit dt =
m
| z  z 0 | 
0
2

i rm+1 ei ( m 1) t dt . Откуда и следует требуемое равенство.
0
f ( z) 

 ck ( z  z0 )k 
k  

c (z  z )
k  
k
k  n 1
0


b (z  z )
k  

b (z  z )
k  
k
k
k  n 1
0
k
умножая на
0
1
, получим
( z  z0 ) n 1
. Интегрируя последнее равенство по C , получим 2icn=2ibn.
Возможность почленного интегрирования обеспечивается равномерной сходимостью на любой
окружности внутри кольца.
Теорема. Для коэффициентов ряда Лорана имеет место неравенство
| cn |
max | f ( ) |
 C 
.
n
Доказательство.
| cn |
f ( )
1
2
 (  z )
C
n 1
d 
0
1
2

C
max | f |

n 1
| d |
2
2 n 1
max | f | .
§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Определение. a  C называется изолированной особой точкой ( и.о.т.) функции f, если
существует проколотая окрестность этой точки, где функция аналитична, а в самой точке a
функция не является аналитичной.
Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, .
Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует конечный предел lim f ( z ) ,
z a
полюсом, если lim f ( z )   , существенно особой точкой, если предел lim f ( z ) не существует.
z a
z a
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. a была устранимой необходимо и достаточно, чтобы
разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало отрицательных степеней z – a .

f ( z )   ck ( z  a) k , т.е., отсутствовала главная часть.
k 0
Достаточность очевидна. Если f ( z ) 

 c ( z  a)
k 0
k
k
, то lim f ( z ) =с0 .
z a
Необходимость. Для коэффициентов разложения в ряд Лорана f ( z ) 

 c ( z  a)
k  
место неравенство | cn |
max | f ( ) |
 C 

n
. Тогда при n  0 будет | cn | lim
max | f ( ) |
 C 
 0
k
k
n
имеет
 0.
Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится аналитичной в
данной точке.
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и достаточно, чтобы в
1
разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть следующего вида:
 c ( z  a)
k n
51
k
k
.
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Достаточность.
1

c n  c n 1 ( z  a)  c n  2 ( z  a)2  ... и lim f ( z )   .
n
z a
( z  a)
k n
k 0
Необходимость. Дано lim f ( z )   , тогда a есть изолированный нуль функции
1

 ck ( z  a)k   ck ( z  a)k =
z a
1
 ( z  a)n h( z ) и h( z )  0 в окрестности точки a.
f ( z)

1
1
1
1
аналитическая в точке a функция.
f ( z) 

b ( z  a) k , так как
n
n  k
h( z )
( z  a ) h( z ) ( z  a ) k  0
1
Определение. Порядком полюса a функции f называется кратность нуля a функции
.
f ( z)
g ( z) 
Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение
f ( z) 

 c ( z  a)
k n
k
k
Определение. Порядком полюса z= функции f(z) называется натуральное число n, равное
наибольшей из положительных степеней z с отличными от нуля коэффициентами в разложении.
f ( z) 
1
n
k  
k 0
 ck z k   ck z k , n – порядок полюса z=.
Теорема Соходского. Если a  C - существенно особая точка функции f(z), то для
A  C {zn }  a : lim f ( zk )  A .
k 
Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении
интегралов
§1 Вычеты
1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке
Пусть a изолированная особая точка. В этом случае существует кольцо
K  {0 | z  a | R} , где f – аналитическая функция.
Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина
Re s f ( z ) 
z a
1
f ( z )dz , где C  {| z  a |  ,0    R} - окружность достаточно малого
2i C
радиуса, положительно ориентированная.
Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце K интеграл
 f ( z )dz не меняется при деформациях окружности.
C
По теореме Лорана f ( z ) 

 c ( z  a) , c
k
k  
Откуда следует, что c1 
k
k

1
f ( )
d .

2i C (  a) k 1
1
f ( z )dz , таким образом,
2i C
Re s f ( z )  c1 .
z a
Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо разложение:
f ( z)  c n ( z  a) n  ...  c1 ( z  a)1  c0  c1 ( z  a)  ... , где cn  0 .
Тогда ( z  a)n f ( z ) = c n  ...  c1 ( z  a)n 1  c0 ( z  a)n  ... и
52
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
d n 1
((z  a)n f ( z))  (n  1)!c1  n!c0 ( z  a)  ... . Таким образом,
n 1
dz
Re s f ( z ) 
z a
1
d n 1
lim n 1 [( z  a) n f ( z )]
(n  1)! z  a dz
В частности, для полюса первого порядка
Re s f ( z )  lim ( z  a) f ( z ) .
z a
z a
Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:
Пусть f ( z ) 
 ( z)
, ,  - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0 ( имеет нуль кратности
 ( z)
один). Тогда
Re s f ( z ) =
z a
 (a)
.
 ' (a)
Действительно, что при сделанных предположениях  ( z)  ( z  a) g ( z), g (a)  0 . Кроме того,
 ' ( z)  ( z  a) g ' ( z)  g ( z) , откуда следует, что g (a)   ' (a) . Поэтому
Re s f ( z ) = Re s
z a
z a
 ( z)
 (a)  (a)
 ( z)
= lim ( z  a)


( z  a) g ( z ) g (a)  ' (a)
 ( z ) z a
2.Вычет в изолированной особой точке .
Если z= изолированная особая точка функции f, то существует кольцо K={R<|z|<}, где f
аналитична.
Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке  называется величина
Re s f ( z ) 
z 
1
f ( z )dz, R     ,
2i C


где C  - окружность с центром в начале координат, радиуса  , проходимая по часовой
стрелке (отрицательно ориентированная и достаточно большого радиуса).
Для изолированной особой точки  из теоремы Лорана следует, что f ( z ) 
ck 
1
f ( )
d , k  0,1,2,... . Поэтому Re s f ( z )  c1 .

z 
2i C   k 1

c z
k  
k
k
, где
3.Теоремы о вычетах.
Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочногладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа изолированных особых
точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда

D
n
f ( z )dz  2i  Re s f ( z ) .
k 1
Окружаем каждую точку
ak достаточно малой
окружностью Ck ,
ориентированной
положительно.
53
z  ak
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Тогда

D
n
f ( z )dz    f ( z )dz , откуда и следует требуемое утверждение.
k 1 Ck
Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек
a1,…,an, то
n
 Re s f ( z)  Re s f ( z)  0 .
k 1
z  ak
z 
Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все точки a1,…,an попали
внутрь. По предыдущей теореме  Re s f ( z ) 
z 
n
1
f
(
z
)
dz

Re s f ( z ) .

z  ak
2i C
k 1
4. Принцип аргумента.
Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой
Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , k=1,…,p, порядков k,, f
непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bkD, , k=1,…,n, кратностей k. Тогда
1
f ' ( )
d  N  P ,

2i D f ( )
где P 
p

k 1
k
суммарный порядок полюсов, а N 
n

k 1
k
суммарная кратность нулей.
Доказательство.
Выберем достаточно малые
окрестности нулей, границы
которых Bk и окрестности полюсов
функции f(z) с границами Ak .
Как это уже не однократно отмечалось:
p
n
1
f ' ( z)
1
f ' ( z)
1
f ' ( z)
dz

dz

dz .





2i D f ( z )
k 1 2i Bk f ( z )
k 1 2i Ak f ( z )
В некоторой окрестности нуля b кратности  справедливы равенства:
f ( z)  ( z  b)  ( z), f ' ( z)   ( z  b) 1 ( z)  ( z  b)  ' ( z) ,
сумму соответствующего слагаемого:
f ' ( z)

 ' ( z)


. Вклад в
f ( z) z  b  ( z)
1 f ' ( z)
1

dz 
dz   .


2i B f ( z )
2i B z  b
Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:
f ( z)  ( z  a) ( z), f ' ( z)  ( )( z  a) 1 ( z)  ( z  a) ' ( z) ,
соответствующее слагаемое будет равно:
f ' ( z)

 ' ( z)


и
f ( z)
z  a  ( z)
1 f ' ( z)
1

dz  
dz   , откуда


2i A f ( z )
2i A z  a
m
n
1
f ' ( z)
f ' ( z) n
f ' ( z) m
dz

Re
s

Re
s

(


)

k  N  P




k
z ak f ( z )
z bk f ( z )
2i D f ( z )
k 1
k 1
k 1
k 1
Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:
54
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z)
– аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в
DD, кроме нулей bk кратностей k. ) Справедливо равенство
N P
1
 D arg f ( z )
2
где D arg f ( z ) - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы
D ( область слева ).
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=Pn(z) в комплексной плоскости имеет ровно
n корней (учитывается суммарная кратность нулей).
Доказательство. lim Pn ( z )  , следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R,
z 
пусть число нулей с учётом кратностей равно N. Тогда
1
P' ( z )
dz  N , далее

2i | z | R P( z )
1


1  b1  ...
P' ( z ) nan z  ... n 
z
  n  ( z ) , где (z) аналитична в {R <|z|<}. Поэтому


1
n
1
P( z )
an z  ...
z
 z
1  c1  ...
z



d
имеем разложение в ряд Лорана  ( z )  1   kk , тогда
k 1 z

1
P' ( z )
P' ( z ) n
nd
dz  n .
   k k1 , откуда следует

2i | z | R P( z )
P( z ) z k 1 z
n 1
§2. Вычисление интегралов
1.Определение несобственного интеграла
Особенности на концах.  - кусочно гладкая, aC ( начало ), b С ( конец ). F(z) непрерывна во
всех конечных z на  кроме быть может точек a, b. Будем предполагать, что любая окружность с
центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Несобственный интеграл определяется по формуле: f ( z )dz 
lim
r  0, R  
f ( z )dz .


r ,R

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует | f ( z ) || dz | .
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей
55
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
 f ( z)dz 
lim
r 0, R 
 f ( z)dz 
 r ,R
lim
s  0, S  
 f ( z)dz .
 s ,S

2. Интегралы вида
 f ( x)dx

Лемма. Если f(z) аналитична в { Im z >= 0 }, кроме конечного числа особых точек ak{ Im z >
0} и lim max | zf ( z ) | 0 , то
R   zC R



f ( z )dz  2i  Re s f ( z )
ak
Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СR – верхняя полуокружность,
проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R
выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все ak . Тогда
2i  Re s f ( z )  f ( z )dz 
ak
C
R
 f ( z)dz   f ( z)dz =  f ( x)dx   f ( z)dz (*)
[  R, R ]
R
CR
CR
Далее

|
 f ( z)dz ||  f (Re
CR
it
) Rie it dt |  max | f ( z ) z | .
zC R
0
Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.
Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в {| z | R0 , Im z  a, a  0}
кроме конечного числа особых точек ak {| Im z  0} , и конечного числа полюсов первого порядка
bk {Im z  0} и lim max | zf ( z ) | 0 , то
R   zC R



f ( z )dz  2i  Re s f ( z )  i  Re s f ( z )
ak
56
bk
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

x 1
dx
2
 1)
 x( x
Пример 1. I 

1 i
1
 1 i 
  (1  i), I  i  2i 
  .
i 2i
2
 2 
Re s  1, Re s 
0
i
2
d
 a  cos  , a  1 .
Пример 2. I 
0
2
2
d
2ei d
2
dz
, где С – единичная окружность. Корни
I

  2
i
 i
i
i 2
e e
2ae  e  1 i C z  2az  1
0 a
0
2
знаменателя: z1  a  a 2  1, z2  a  a 2  1 . Внутри С расположен только один корень z1 .
Поэтому I 
2
1
1
1
2


2i Re s 2
 4

.
  4
2
z1
i
z1  z2
 z  2az  1 
2 a 1
a2  1

Пример 3. I 
cos ax dx
, a  0, b  0 .
x 2  b2
0





cos ax dx 1 cos ax dx 1
1 
eiaz
eia z dz

 =
I  2
  2
= Re 
= Re 2i Re s
2
2
ib
x

b
2
x

b
2
(
z

ib
)(
z

ib
)
2
(
z

ib
)(
z

ib
)


0


1 
e  ab   ab
= e .
Re 2i
2 
2bi  2b

3. Интегралы вида
e
ix
f ( x)dx

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в {| z | R0 , Im z  a, a  0} и
M ( R)  max | f ( z ) | 0, R   (CR - верхняя полуокружность).
CR
Тогда lim
R 
e
iz
f ( z )dz  0 для любого >0.
CR
Доказательство. На окружности радиуса R имеем eiz  eiR (cos t  i sin t )  eR sin t . Тогда,
учитывая неравенство sin t 
 f ( z )e
CR
iz
2

dz 
 f (Re

t , t  [0, ] , для окружности z(t)=Reit получим

2
it
)e
iR (cos t  i sin t )

i Re dt  M ( R) R  e R sin t dt 
it
0
0
57
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
 /2
 2M ( R) R  e R sin t dt 2M ( R) R
0
= 2M ( R)

2
 /2

e

2 R

t
dt 
0
 /2

e
2

   R  t  2
 2R 
d
t  2M ( R)   e
 M ( R) (1  e R )  0, R   .

2 

  
0
2
 R t

0
Следствие. Если f(z) аналитична в {| z | R0 , Im z  a, a  0} кроме конечного числа особых
точек ak {| Im z  0} , и конечного числа полюсов первого порядка bk {Im z  0} и
lim max | f ( z ) | 0 , то
R   zC R

e
i x
e
f ( x)dx  lim
R 


Пример.
I 


iz
C R [  R , R ]
f ( z )dz 2i  Re s ei z f ( z )  i  Re s ei z f ( z ) .
ak
bk
x cos xdx
.
x  2 x  10
2



x cos xdx
zeiz dz
zeiz dz

Re

Re
 x2  2 x  10
 z 2  2 z  10
 ( z  a)( z  b) , a  1  3i, b  1  3i .








zeiz
aeia 
(1  3i)ei 3    3
   Re 2i
  Re 2i
 = e (cos1  3 sin 1)
I  Re 2i Re s
a
(
z

a
)(
z

b
)
a

b
6
i





 3


§3 Простейшие классы аналитических функций.
Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая
функция называется целой рациональной, если  её полюс. Целая функция называется целой
трансцендентной, если  существенно особая точка.
Примеры. ez, cos z, sin z, Pn(z).
Свойства целых функций
1) Если  устранимая изолированная особая точка целой функции f, то f есть константа.
Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности
бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувилля.
2) Если  полюс кратности n (n - натуральное), то f есть полином степени n.
Доказательство.

c k
 c0  c1 z  ...  cn z n , cn  0 , обозначим Pn ( z )  c0  c1z  ...  cn z n ,
k
z
k 1
Функция  ( z )  f ( z )  Pn ( z ) будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей
f ( z)  
комплексной плоскости и имеет в  устранимую особенность, следовательно, она константа по
теореме Лиувилля.
Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других особых
точек, кроме полюсов.
Теорема. Если  - полюс для мероморфной функции f (z ) , то она рациональна.
Доказательство. Так как  изолированная особая точка, то в расширенной комплексной
плоскости имеется лишь конечное число полюсов a0  , a1 ,..., an . Выпишем разложения в ряд
Лорана в окрестности каждой из конечных точек ak :
f ( z) 
 m
c
k  1
m
k

( z  am )   ckm ( z  am )k  m ( z )   m ( z ), m  1,..., n .
k
k 0
Разложение в окрестности  имеет вид:
58
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
0
f ( z )   ck0 z k 
k 0

c z
k  1
0 k
k
 0 ( z )   0 ( z )
Функции m, m=0,…,n – рациональные.
n
F ( z )  f ( z )  m ( z ) имеет точки a0,…,an своими устранимыми особыми точками, поэтому
m0
эта функция, после доопределения по непрерывности, будет ограниченной в С и следовательно
константой.
Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших
дробей вида
A
. Это фактически доказано в предыдущей теореме.
( z  a) k
Глава 7. Преобразование Лапласа.
Введение. Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая
Пусть f(z,) определена при zD ( некоторая область ) и С. Интеграл от параметра
определяется по формуле
F ( z )   f ( z, )d  lim  f ( z, )d
s 
C
Cs
Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если
  0s0z  Ds  s0 :
 f ( z, )d   f ( z, )d
C

Cs
Признак Вейерштрасса. Если
1)
для С,zD : |f(z,)| g() , g() действительно-значная функция,
2)
 g ( ) | d | сходится, то  f ( z,  )d сходится равномерно на D.
С
C
§1 Преобразование Лапласа.
Определение. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если
1)
f(t)=0 при t < 0.
2)
в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно
будет требоваться выполнение условия Липшица |f(t+h) - f(t)|  A|h|, для всех h,|h| h0, 1 на
интервалах непрерывности функции
M s t : | f (t ) | Mest
3)
(*)
Число s0  inf s , S – множество тех s, для которых выполнено условие (*), называется
sS
показателем роста оригинала.
Пример. Функция Хевисайда
1, t  0
H (t )  
,
0, t  0
59
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
показатель роста равен нулю.
Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного
переменного p=x+iy, определяемую равенством

F ( p)   f (t )e pt dt
0
Пишут F[ f ], F  f , f  F .
Замечание. Отметим, что если f (t ) оригинал, то и t k f (t ) – также оригинал. Кроме того,
интеграл будет сходиться равномерно по параметру в любом множестве Re p  q  s0 .
Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств:
| t k f (t )e pt | Met este xt  Me(  s  x )t  Me  t ,   0 , где 
из неравенства | t k | Cet выбрано достаточно малым так,
что s    q .Для функции имеется оценка: | f (t ) | Be st .
Теорема 1. Для любого оригинала f (t ) с
показателем s0 , изображение F ( p) определено в
полуплоскости x  Re p  s0 , является в этой
области аналитической функцией, стремящейся к 0
при x   ( равномерно относительно arg p ). При
этом

F ' ( p)   (t ) f (t )e  pt dt
0
Доказательство.

Сходимость интегралов F ( p) 

0

замечания. Обозначим U  Re F 

0

f (t )e pt dt и F ( p)   tf (t )e pt dt следует из сделанного
0

f (t )e xt cos yt dt , V  Im F    f (t )e xt sin yt dt , p  x  iy .
0
Интегралы, полученные формальным дифференцированием

U x    tf (t )e
0
 xt

cos yt dt , U y    tf (t )e  xt sin yt dt
0


0
0
Vx   tf (t )e xt sin yt dt , Vy    tf (t )e xt cos yt dt
сходятся равномерно на любых отрезках изменения параметров (по параметру x, отрезок, где
имеет место равномерная сходимость, должен лежать в области x > s0), поэтому исходные интегралы
можно дифференцировать по параметру и выполнены условия Коши Римана. Далее, при
x  Re p  s  s0 будет выполнено: | f (t ) | Mest и


0


0
0
f (t )e pt dt   Mest e xt dt   Me( s  x )t dt 
60

M
M ( s  x )t 
M
de( s  x )t 
e


0
sx0
sx
xs
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

d k F ( p)
dkF
k
 pt

(

t
)
f
(
t
)
e
dt
,
 (t ) k f (t )
k
k

dp
dp
0
Теорема 2. Если Ff (f – кусочно гладкая ), то в точках непрерывности f (t ) имеет место
Следствие.
равенство
a  i
1
f (t ) 
e pt F ( p)dp ,
2i a i
где интеграл берётся вдоль любой
прямой Re p =a > s0, в смысле главного
значения
a  i
pt
 e F ( p)dp  lim
a  i
R 
a  iR
e
pt
F ( p)dp
a  iR
(без доказательства).
Теорема 3 ( Достаточные условия существования оригинала ). Если F(p) аналитична в
Re p  s0  и
a  i
1
A
e pt F ( p)dp, a  s0 не
,  0 при p, тогда интеграл f (t ) 
1

2i a  i
| p|
зависит от a, является оригиналом и F ( p)  L[ f ] . ( только формулировка ).
F ( p) 
§2 Свойства преобразования Лапласа
В этом параграфе везде под f (t ) понимается f (t ) H (t ) (H - функция Хевисайда ).
Отметим, что 1 
1
1
, Re p  0; e p0 t 
, Re p  Re p0
p
p  p0
1)
Линейность.
f(t)+g(t)F(p)+G(p)
2) Свойство подобия. При 0
 p
F 
  
p

 t
1
1  p
 pt

f (t )e dt   f (t )e
dt  F  
0
  
f (t ) 


0
1
3) Свойство запаздывания.
Для   0 выполнено: f (t   )  e p F ( p) . Действительно


0
4)
t ne p0 t 
5)


0

f (t   )e pt dt   f (t   )e p (t  )e p d (t   ) e p
 f (t )e
 pt
dt  e p F ( p)
Как уже отмечалось, F ( n ) ( p)  (1)n t n f (t ) , если взять f (t )  e
p0 t

1
, то
p  p0
n!
( p  p0 ) n 1
Дифференцирование оригинала f ' (t )  pF ( p)  f (0) или : F[ f ' ]  pF[ f ]  f (0) .
61
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Действительно


f ' (t )e pt dt   e pt df (t )  f (t )e pt
0
0


 p  f (t )e pt dt
0
0
Следствие. f (t )  p F ( p)  p( n 1) f (0)  p( n  2) f ' (0)  ...  f ( n 1) (0) .
Доказательство. F[ f ' ]  pF[ f ]  f (0) ,
( n)
n
F[ f ' ' ]  pF[ f ' ]  f ' (0) = p( pF ( p)  f (0))  f ' (0) = p 2 F ( p)  pf (0)  f ' (0) . Далее, по индукции,
доказывается равенство: F [ f ( n ) ]  p n F [ p] 
n 1
p
k
f n 1 k (0) .
k 0
6)
Интегрирование изображения
Если f (t )  F ( p), Re p  s0 и функция
f (t )
является оригиналом, то
t

f (t )
  F (q)dq
t
p
Доказательство.


f (t )
f (t )  pt
 Q( p )  
e dt , Q' ( p)   F ( p)  Q( p)   F (q)dq  C , Q()  0  C  0
t
t
0
p
7)
Интегрирование оригинала.
Если f (t )  F ( p), Re p  s0 , то
t
F ( p)
p
0
Доказательство. f (t )  g ' (t )  pG( p)  g (0)  pG( p) откуда F(p)=pG(p)
g (t )   f ( )d 
8)
Свертка оригиналов и умножение изображений.
Определение.

( f * g )(t ) 
 f ( ) g (t   )d

Отметим, что f*g=g*f, Сделать замену u = t -  , d = -dt.
f * g  F ( p)G( p)
 
  f ( ) g (t   )de
0 
 pt



0
dt   f ( )  g (t   )e
 pt

dtd   f ( )e
 p


 g (u)e
 pu
dud F ( p)G( p)
0
Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.
9)
Умножение оригиналов, свёртка изображений
a  i
1
f (t ) g (t ) 
F ( )G( p   )d
2i a i
без доказательства.
10)
Свойство смещения
F ( p   )  et f (t )
Доказательство из определения.
11)
Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).
Если F(p) аналитична в {R<|p|<} и F ( p) 

c k
p
k 1

k
, то оригиналом является функция
ck k 1
t .
k 1 ( k  1)!
f (t )  H (t )
62
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Доказательство.  - устранимая особая точка, поэтому |F(p)|<M,|p|R.Положим
p

1
1
, (q)  F  , (q)   c k q k , аналитична в круге |q|<1/R, поэтому неравенство Коши даёт
q
k 1
 p

c k k 1
( R | t |) k 1
t

A
 Ae R|t | .


k 1 (k  1)!
k 1 ( k  1)!

для коэффициентов |c-k|<MRk и
Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом в любом круге. В

этом случае ряд
c k
 (k  1)!t
k 1
можно почленно интегрировать
k 1


c k k 1
c
t dt    k  e  ptt k 1dt по свойству 4) при r
k 1 ( k  1)!
k 1 ( k  1)! 0
r
r
 pt
e 
0

e
 pt k 1
dt 
t
0
r
(k  1)!
, k  1,2,... , поэтому
pk


c k k 1
c
t dt   kk  F ( p)
k 1 ( k  1)!
k 1 p
 pt
e 
0
12)
1.
Вторая теорема Хевисайда. Если
F(p) мероморфна в некоторой полуплоскости Re p  s0 и F()=0
2.
a  s0
a  i
 F ( p) dp  
a - i
3.
F(p)0 при p равномерно относительно arg p
Тогда оригиналом для F служит функция f (t )  H (t ) Re sF ( p)e pt по полюсам функции F в

pk
pk
порядке убывания их модулей.
Доказательство. При сделанных предположениях для оригинала f (t )  F ( p) выполнено
a  i
1
F ( p)e pt dp .
равенство: f (t ) 

2i a  i
Обозначим через Cn ' часть окружности Cn,
расположенную слева от прямой Re p = a, через
aibn обозначим точки пересечения Cn с этой
прямой и через n контур, составленный из [aib,a+ib] и Cn ' , проходимый против часовой
стрелки.
Положим: p  iz , z  x  iy , p  u  iv   y  ix , тогда, если p  Cn '  {Re u  a} , то
z  Dn '  {Im z  a} .
63
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Делая в интеграле
e
pt
F ( p)dp замену p  iz , получим:
C 'n
e
pt
C 'n
лемме Жордана при t > 0 будет выполнено: lim
n 
e
pt
F ( p)dp i  eizt F (iz )dz . По
D'n
F ( p)dp  0 .
C 'n
Поэтому при t > 0
a  i
1
1
f (t ) 
F ( p)e pt dp =
lim e pt F ( p)dp  lim  Re s e pt F ( p) , ч.т.д.

n 
pk
2i a  i
2i n  n
p k n
Следствие. Если функция F ( p) 
A( p)
дробно-рациональная и дробь правильная, то
B( p)
оригиналом ее служит функция
1
d nk 1
lim
F ( p)( p  pk ) nk e pt
n

1
k
p  p k dp
k 1 ( nk  1)!
l
f (t )  H (t )


где pk полюсы функции F(p) кратностей nk , сумма берется по всем полюсам.
Глава 8. Приложения.
§1 Комплексный потенциал
Рассмотрим плоское поле A  ( P, Q,0)  P  iQ
Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую кривую равен нулю )
P Q

 0 . Тогда для формы  Qdx  Pdx выполнены условия полного дифференциала
x y


( P)  (Q)  0 , поэтому существует функция v : dv  Qdx  Pdy , для неё
x
y
v
v
(1)
 Q,  P
x
y
div A 
Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля A  ( P, Q)  P  iQ называется
дважды непрерывно дифференцируемая функция v, удовлетворяющая соотношениям (1).
Функция тока находится по формуле
z
v( x, y )    Qdx  Pdy  Const
z0
64
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
Потенциальное ( безвихревое поле ) rot A  (0,0,
1)
Q P
 )  0 . В этом случае
x y
u
u
 P,
 Q, u ( x, y)   Pdx  Qdy  Const .
x
y
z0
z
существует потенциал u : grad u  A,
2)
Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это следует из 1) и 2),
выполнены условия
u v
,

x y
u
v

y
x
(2),
которые являются условиями Коши-Римана для функции
f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля. Отметим, что в плоском
поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются гармоническими сопряженными
функциями. Как это следует из 1)-2)
A
u  v 
 i    f ' ( z )
x  x 
Для такого поля поток
 
N   A, n ds   (( P, Q), (dy,dx))    Qdx  Pdy   dv  Im  df  Im  f ' ( z )dz
C
C
C
C
C
C
3)
Восстановления функции тока по потенциалу.
Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy является полным
дифференциалом и функция тока v восстанавливается по формуле
z
v( x, y )    Qdx  Pdy  Const
z0
Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции тока v, если она
гармонична.
§2 Операционное исчисление
Дана задача Коши
n
L[ x]   ak
k 0
dkx
an x ( n )  an 1 x ( n 1)  ...a0 x  f (t )
, an0.
dt k
(k )
x (0)  xk , k  0,..., n  1
(1)
Будем предполагать, что f(t) и x(t) вместе со всеми производными до n-го порядка являются
оригиналами. Положим x(t)X(p), f(t)F(p). Из свойств преобразования Лапласа следует, что
k 1
k 1
j 0
j 0
F[ x ( k ) ]  p k X ( p)   p j x ( k 1 j ) (0)  p k X ( p)   p j xk 1 j
Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим
n
k 1


F [ L[ x]]   ak  p k X ( p)   p j xk 1 j   F ( p) , или
k 0
j 0


n
n
k 1
k 0
k 0
j 0
X ( p) ak p k   ak  p j xk 1 j  F ( p), X ( p) A( p)  B( p)  F ( p) .
Таким образом,
X ( p) 
F ( p)  B( p)
, находя оригинал x(t)X(p) для функции X(p), получим решение задачи
A( p)
Коши.
Таблица основных свойств преобразования Лапласа
65
Логинов А.С. Лекции по ТФКП

a  i
F ( p)   f (t )e pt dt
f (t ) 
0
f(t)+g(t)F(p)+G(p)
e p0 t 
1
, Re p  0;
p
n!
t ne p0 t 
( p  p0 ) n 1
, f(t-)e-pF(p)
1
1
, Re p  Re p0
p  p0
0 , f (t ) 
1
e pt F ( p)dp

2i a  i
1
F 
  
1
F(p-)etf(t)
(t ) k f (t ) 
f’(t)pF(p)-f(0),
dkF
dp k
f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0)

t
f (t )
  F (q)dq
t
p
 f ( )d 
0
F ( p)
p
Таблица некоторых преобразований Лапласа
Оригинал
1
t (>-1)
2
e-t
3
e-t t (>-1)
4
sin t
5
cos t
6
t sin t
7
t cos t
8
e-t sin (t+)
9
e-t cos (t+)
10
sh t
11
ch t
12
ebt  e at
t
Изображение
(  1)
p 1
1
p
(  1)
( p   ) 1

p 2
p
2
p 2
2
Im( p  i ) n 1
n! 2
( p   2 ) n 1
n
Re( p  i ) n 1
n! 2
( p   2 ) n 1
 cos   ( p   ) sin 
( p   )2   2
  sin   ( p   ) cos 
( p   )2   2
n

p 2
p
2
p 2
pa
ln
pb
2
66
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
e t
t
13
1
p 
1
14
e

2
e 
4t
t
1
sin 2 t

15
1
16
1
17
t
1
18
t
p
sin
1
2t
cos
1
2t
19
1
sin t
t
20
1
cos t
t

1
p p
e

p

1 p
e
p
cos 2 t

p
1 
e
p
1 
e
p
p
sin p
p
cos p
p2   2  p
p2   2
p2   2  p
p2   2
Пример 1. x' 'a 2 x  b sin at , начальные данные x(0)  x0 , x' (0)  x1 ,
a
, поэтому
p  a2
ab
ab
p
1
( p 2  a 2 ) X ( p)  2
 px0  x1 , X ( p)  2
 x0 2
 x1 2
2
2 2
2
p a
(p  a )
p a
p  a2
px
Согласно 5 из таблицы 2 0 2  x0 cos at ,
p a
x
sin at
согласно 4 из таблицы 2 1 2  x1
,
p a
a
b sin at  b
2
Im( p  ia ) 2
2 pa
 2
, отсюда, используя свойство
2
2 2
(p  a )
( p  a 2 )2
согласно 6 из таблицы t sin at 
t

интегрирования оригинала, получим t sin atdt 
0
2a
, откуда
( p  a 2 )2
2
t
ab
b
b
  t sin atdt  2 (sin at  at cos at ). Окончательно
2 2
(p  a )
20
2a
2
x(t ) 
b
sin at 
b  sin at 
bt 
(sin at  at cos at )  x0 cos at  x1
  x1  
  x0   cos at
2
2a
a
2a  a
2a 


Пример 2. x+3x+3x+x=1, нулевые начальные условия.
67
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
(p+1)3X(p)=1/p, X ( p) 
x(t )  1  et  te t 
1
1
1
1
1
. Откуда
 


3
2
p( p  1)
p p  1 ( p  1)
( p  1)3
t 2 t
e
2
Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.
X ( p) 
1
Оригинал находим по второй теореме Хевисайда
p( p 3  1)
x(t )  H (t ) Re s
k
 Re s  Re s
0
k
e pt
p( p 3  1)
e pt
e pt
e pt
e pt

Re
s

Re
s

Re
s
3
3
1 p ( p 3  1)
0.5(1i 3 ) p ( p  1)
0.5(1i 3 ) p ( p  1)
p( p 3  1)
t
1
3 
  i t
2 2 


e
e
x(t )  1 
 2 Re
3
3
et 2 2
t 3
1
 e cos
3 3
2
t
Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.
X ( p) 
1
1
1
1
, z1  (1  i 3 ), z2  (1  i 3 )

3
3
2
2
p( p  1) p( p  1)( p  z1 )( p  z2 )
По второй теореме Хевисайда

e pt
e pt
e pt
e pt 
x(t )  H (t ) Re s

Re
s

Re
s

Re
s

3
1 p ( p 3  1)
z1
z2
p( p 3  1)
p( p 3  1) 
 0 p( p  1)
 et
e z1t 
 H (t ) 1 
 2 Re
3
 3 

d 4x
d 2x

2
 x  sin t , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим
dt 4
dt 2
1
1
. По второй теореме Хевисайда
X ( p)  4
 2
2
2
( p  2 p  1)( p  1) ( p  1)3
Пример 4.

e pt
e pt 
d 2  e pt 

 =
x(t )  H (t ) Re s 2

Re
s

H
(
t
)
2
Re

3
 i ( p 2  1)3
dp 2  ( p  i)3  p i
 i ( p  1)

3
1

H (t ) (3  t 3 ) sin t  t cos t 
8
3

2
Пример 5. x+ x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.
a a
a(1  ebp )
X ( p)( p 2   2 )   ebp , X ( p) 
p p
p( p 2   2 )
a
a

 x(t ) , по второй теореме Хевисайда
2
2
p( p   ) p( p  i )( p  i )


ae pt
ae pt
ae pt
x(t )  H (t ) Re s

Re
s

Re
s

2
2
2
2
2
2
i
p( p   ) i p( p   ) 
 0 p( p   )
a

ae pt
ae pt
 H (t )  2 
 Re s

p( p  i ) p  i  i p( p  i ) p  i 


it
 it
a

ae
ae
a
2a
a

 H (t )  2 

 H (t )  2 
2 cos t   H (t ) 2 sin 2 t

2
i 2i i 2i 
2




68
Логинов А.С. Лекции по ТФКП
aebp
2a
 (t  b)
 2 sin 2
H (t  b)
2
2
p( p   ) 
2
2a 
t
 (t  b)

Окончательно x(t )  2 sin 2
H (t )  sin 2
H (t  b)
 
2
2

Свойство запаздывания дает
Пример 7.
x+ax=f(t), нулевые условия
X ( p) 
F ( p)
pa
F ( p)  f (t ) H (t ),
1
 g (t )  e at H (t )
pa


1
F ( p)
 ( f * g )(t )   f ( ) H ( ) g (t   )d   f ( ) H ( )e a (t  ) H (t   )d 
pa


t
  f ( )e  a (t  ) d
0
69