Диагностическая работа № 5 С1 ⎧2 y + 2 sin x = 0 ⎪ Решите неравенство: ⎨ 1 ⎪tgx + 1 = cos 2 x ⎩ Заметим, что первое уравнение системы может иметь решения только при sin x < 0 . Разберемся со вторым уравнением. 1 cos 2 x tgx + 1 = tg 2 x + 1 tgx + 1 = tg 2 x − tgx = 0 → tgx = 0;1 → x = πn; С учетом условия sin x < 0 получаем: x = πn; π 4 + πk ; n , k ∈ Z 5π + 2πk ; n , k ∈ Z 4 x = πn; n ∈ Z имеет вид 2 y = 0 - решений нет. 1 2 y − 2 = 0; → y = ; 2 Тогда первое уравнение при При x = 5π + 2πk ; k ∈ Z 4 Ответ: x = 5π + 2πk ; k ∈ Z 4 y= 1 ; 2 Диагностическая работа № 6 С1 ⎧⎪4 sin y − 5 ⋅ 2 sin y + 4 = 0 ⎪⎩ x + 5 cos y + 1 = 0 Решите неравенство: ⎨ =t >0 t − 5t + 4 = 0 ; → t = 1;4 → sin y = 0; sin y = 2 > 1 − не подходит Итого sin y = 0 ⇒ y = πn , n ∈ Z ; Заметим, что второе уравнение может иметь решения только при cos y < 0 . Тогда y = π + 2πn , n ∈ Z ; ⇒ cos y = −1; Решим первое уравнение, приняв 2 sin y 2 Второе уравнение: Ответ: x = 16 ; x − 5 + 1 = 0 ; → x = 16 ; y = π + 2πn , n ∈ Z ; http://alexlarin.narod.ru Диагностическая работа № 7 С1 ⎧⎪4 cos 2 x − 12 cos x + 5 = 0 Решите неравенство: ⎨ ⎪⎩ y 2 − 4 y + 16 + 4 sin x = 0 Заметим, что второе уравнение может иметь корни только при sin x ≤ 0 Решим первое уравнение, приняв cos x = t . 4t 2 − 12t + 5 = 0 → t = cos x = 1 5 ; > 1 − не подходит 2 2 π 1 ; → x = ± + 2πn , n ∈ Z ; 2 3 С учетом условия sin x ≤ 0 получим x=− π + 2πn , n ∈ Z ; → sin x = − 3 3 ; 2 Решаем второе уравнение: y 2 − 4 y + 16 = 2 3 y 2 − 4 y + 16 = 12; y2 − 4y + 4 = 0 → Ответ: x=− π 3 y = 2; + 2πn , n ∈ Z ; y = 2; Диагностическая работа № 8 С1 ⎧⎪ y + cos 2 x − 2 = cos x Решите неравенство: ⎨ ⎪⎩ y sin 2 x − sin x − 1 = 0 Заметим, что первое уравнение может иметь корни только при cos x ≥ 0 Разберемся с первым уравнением. y + cos 2 x − 2 = cos x y + cos 2 x − 2 = cos 2 x y − 2 = 0 → y = 2; Теперь решим второе уравнение, приняв sin x = t . 1 π π 2t 2 − t − 1 = 0 → t = 1;− ; → x = + 2πn; x = ( −1 ) n +1 + πk , n , k ∈ Z 2 2 6 Вспомним про условие cos x ≥ 0 и получим Ответ: x= π 2 + 2πn; y = 2; x = − π 6 x= π 2 + 2πn; x = − π 6 + 2πk , n , k ∈ Z + 2πk , y = 2; n , k ∈ Z http://alexlarin.narod.ru Диагностическая работа № 9 С1 Решите неравенство: ⎧⎪4 y − 10 ⋅ 2 y + 16 = 0 ⎨ ⎪⎩cos x = y − 2 2y = t > 0 . t 2 − 10t + 16 = 0 → t = 8;2 → y = 3;1 Решим первое уравнение, приняв Теперь решим второе уравнение: При y = 3 cos x = 1; → x = 2πn , n ∈ Z При y = 1 - решений нет. Ответ: x = 2πn , n ∈ Z ; y = 3; http://alexlarin.narod.ru