по дисциплине МАТЕМАТИКА - Северо

Частное образовательное учреждение высшего образования
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ИНЖЕНЕРНЫХ И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (СКИБИИТ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОСОБИЕ
по организации самостоятельной работы студентов
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
по направлению подготовки 43.03.02 «Туризм»
АРМАВИР 2015
СОДЕРЖАНИЕ
1. Пояснительная записка
2. Виды самостоятельной деятельности и методические рекомендации
для ее реализации студентам
3. Задания для самостоятельной работы
1 Пояснительная записка
Данное методическое пособие составлено в соответствии с требованиями
ГОС ВО специальности 43.03.02
«Туризм»
В первую очередь, пособие адресовано студентам-заочникам. Темы,
указанные в учебно-методическом пособии остаются предметом
самостоятельной работы обучаемых.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для наиболее
целесообразной организации этой работы. Состоит видов самостоятельной
деятельности и методических рекомендаций для ее реализации, списков
литературы к каждой теме, включенной в его содержание, вопросов для
самопроверки.
2. Виды самостоятельной деятельности и методические
рекомендации для ее реализации студентам
Самостоятельная работа студентов
Самостоятельная работа – это вид учебной деятельности,
выполняемый учащимся без непосредственного контакта с преподавателем
или управляемый преподавателем опосредовано через специальные учебные
материалы; неотъемлемое обязательное звено процесса обучения,
предусматривающее прежде всего индивидуальную работу учащихся в
соответствии с установкой преподавателя или учебника, программы
обучения.
Типы самостоятельной работы студентов. По частно-дидактической
цели можно выделить четыре типа самостоятельных работ.
1-й тип. Формирование у обучаемых умений выявлять во внешнем
плане то, что от них требуется, на основе данного им алгоритма
деятельности и посылок на эту деятельность, содержащихся в условии
задания. Познавательная деятельность обучаемых при этом состоит в
узнавании объектов данной области знаний при повторном восприятии
информации о них или действий с ними.
В качестве самостоятельных работ этого типа чаще всего используются
домашние задания: работа с учебником, конспектом лекций и др. Общим
для самостоятельных работ первого типа является то, что все данные
искомого, а также сам способ выполнения задания обязательно должны
представляться в явном виде или непосредственно в самом задании, или в
соответствующей инструкции.
2-й тип. Формирование знаний-копий и знаний, позволяющих решать
типовые задачи. Познавательная деятельность обучаемых при этом
заключается в чистом воспроизведении и частичном реконструировании,
преобразовании структуры и содержания ус военной ранее учебной
информации, что предполагает необходимость анализа данного описания
объекта, различных путей выполнения задания, выбора наиболее
правильных из них или последовательного определения логически
следующих друг за другом способов решения.
К самостоятельным работам такого типа относятся отдельные этапы
лабораторных работ и практических занятий, типовые курсовые проекты, а
также специально подготовленные домашние задания с предписаниями
алгоритмического характера. Особенность работ этой группы заключается в
том, что в задании к ним необходимо сообщать идею, принцип решения и
выдвигать к обучаемым требование развивать этот принцип или идею в
способ (способы) применительно к данным условиям.
3-й тип. Формирование у обучаемых знаний, лежащих в основе
решения нетиповых задач. Познавательная деятельность обучаемых при
решении таких задач заключается в накоплении и проявлении во внешнем
плане нового для них опыта деятельности на базе усвоенного ранее
формализованного опыта (действий по известному алгоритму) путем
переноса знаний, навыков и умений. Задания этого типа предполагают
поиск, формулирование и реализацию идеи решения, что всегда выходит за
пределы прошлого формализованного опыта и требует от обучаемого
варьирования условий задания и усвоенной ранее учебной информации,
рассмотрения их под новым углом зрения. Самостоятельные работы
третьего типа должны выдвигать требование анализа незнакомых
обучаемым ситуаций и генерирования субъективно новой информации.
Типичными для самостоятельной работы студентов третьего типа являются
курсовые и дипломные проекты.
4-й тип. Создание предпосылок для творческой деятельности.
Познавательная деятельность обучаемых при выполнении этих работ
заключается в глубоком проникновении в сущность изучаемого объекта,
установлении новых связей и отношений, необходимых для нахождения
новых, неизвестных ранее принципов, идей, генерирования новой
информации. Этот тип самостоятельных работ реализуется обычно при
выполнении заданий научно-исследовательского характера, включая
курсовые и дипломные проекты.
Организация самостоятельной работы студентов. В процессе
самостоятельной деятельности студент должен научиться выделять
познавательные задачи, выбирать способы их решения, выполнять операции
контроля
за
правильностью
решения
поставленной
задачи,
совершенствовать навыки реализации теоретических знаний. Формирование
умений и навыков самостоятельной работы студентов может протекать как
на сознательной, так и на интуитивной основе. В первом случае исходной
базой для правильной организации деятельности служат ясное понимание
целей, задач, форм, методов работы, сознательный контроль за ее процессом
и результатами. Во втором случае преобладает смутное понимание,
действие привычек, сформировавшихся под влиянием механических
повторений, подражание и т. п.
Самостоятельная работа студента под руководством преподавателя
протекает в форме делового взаимодействия: студент получает
непосредственные указания, рекомендации преподавателя об организации
самостоятельной деятельности, а преподаватель выполняет функцию
управления через учет, контроль и коррекцию ошибочных действий.
Опираясь на современную дидактику, преподаватель должен установить
требуемый тип самостоятельной работы студентов и определить не
обходимую степень ее включения в изучение своей дисциплины.
Непосредственная организация самостоятельной работы студентов
протекает в два этапа.
Первый этап – это период начальной организации, требующий от
преподавателя непосредственного участия в деятельности обучаемых, с
обнаружением и указанием причин появления ошибок.
Второй этап – период самоорганизации, когда не требуется
непосредственного участия преподавателя в процессе самостоятельного
формирования знаний студентов.
В организации самостоятельной работы студентов особенно важно
правильно определить объем и структуру содержания учебного материала,
выносимого на самостоятельную проработку, а также необходимое
методическое обеспечение самостоятельной работы студентов, которое
включает:
работ
(проведение
наблюдений,
изучение
 программу
первоисточников и т.п.),
 вариантные задачи, нестандартные индивидуальные задания для
каждого студента,
 инструментарий для их выполнения.
Принципы организации самостоятельной работы студентов.
Планируя самостоятельную работу по тому или иному курсу, прежде всего
необходимо выделить его так называемое фундаментальное древо,
включающее в себя ту основную систему методологического,
теоретического знания, которую нужно вынести на обязательную
лекционную проработку. Далее в качестве производных от этого
«фундаментального древа» предлагается образовывать разнообразные виды
самостоятельной работы студентов, предусмотрев для них темы, характер
изучения, формы, место проведения, вариативные способы реализации,
систему контроля и учета, а также различные приемы отчетности.
Правила рациональной организации самостоятельной работы
студентов. Напряженность учебного труда особенно возрастает в условиях
быстрого переключения с одного вида учебной деятельности на другой, а
также при неожиданных сменах учебных ситуаций (действий) в процессе
проявления высокой эмоциональности и ее перемены в ходе обучения.
Правила рациональной организации умственной работы.
1. Входить в работу нужно не сразу, не рывком, а постепенно
втягиваясь в нее. Физиологически это обосновывается тем, что в основу
всякой деятельности положено образование динамического стереотипа –
относительно устойчивой системы условно-рефлекторных связей,
образующихся при многократном повторении одних и тех же воздействий
внешней среды на органы чувств.
2. Необходимо выработать ритм труда, равномерное распределение
работы на протяжении всего дня, недели, месяца и года. Ритм служит
средством психического побуждения человека и играет в его жизни
исключительно высокую роль.
3. Нужно соблюдать последовательность в решении всяких дел.
4. Разумно сочетать чередование труда и отдыха.
5. Наконец, важным правилом плодотворной умственной деятельности
является общественное значение труда.
Самостоятельная работа как часть учебной деятельности
студентов. Самостоятельная работа представляет собой особую, высшую
степень учебной деятельности. Она обусловлена индивидуальными
психологическими различиями учащегося и личностными особенностями и
требует высокого уровня самосознания, рефлективности. Самостоятельная
работа может осуществляться как во внеаудиторное время (дома, в
лаборатории), так и на аудиторных занятиях в письменной или устной
форме.
Самостоятельная работа обучающихся является составной частью
учебной работы и имеет целью закрепление и углубление полученных
знаний и навыков, поиск и приобретение новых знаний, в том числе с
использованием автоматизированных обучающих систем, а также
выполнение учебных заданий, подготовку к предстоящим занятиям, зачетам
и экзаменам. Организуется, обеспечивается и контролируется данный вид
деятельности студентов соответствующими кафедрами.
Самостоятельная работа предназначена не только для овладения
каждой дисциплиной, но и для формирования навыков самостоятельной
работы вообще, в учебной, научной, профессиональной деятельности,
способности принимать на себя ответственность, самостоятельно решить
проблему, находить конструктивные решения, выход из кризисной ситуации
и т. д.
Особенности групповой самостоятельной работы студентов. В
высшем
учебном
заведении
совмещаются
различные
виды
индивидуальной самостоятельной работы, такие, как
 подготовка к лекциям, семинарам,
 подготовка к лабораторным работам,
 подготовка к зачетам,
 подготовка к экзаменам,
 выполнение рефератов,
 выполнение контрольных заданий,
 выполнение курсовых работ и проектов,
 выполнение дипломного проекта.
Самостоятельную работу преподавательский состав вуза может сделать
более эффективной, если организовать студентов парно или в группы по три
человека. Групповая работа усиливает фактор мотивации и взаимной
интеллектуальной активности, повышает эффективность познавательной
деятельности студентов благодаря взаимному контролю и самоконтролю.
Технология организации самостоятельной работы студентов.
Соотношение времени, отводимого на аудиторную и самостоятельную
работу, во всем мире составляет 1: 3,5. Такая пропорция основывается на
огромном дидактическом потенциале этого вида учебной деятельности
студентов. Для успешного выполнения самостоятельной работы
разрабатываются:
 система заданий для самостоятельной работы;
 темы рефератов и докладов;
 инструкции и методические указания к выполнению лабораторных
работ, тренировочных упражнений, домашних заданий и т. д.;
 темы курсовых работ, курсовых и дипломных проектов;
 списки обязательной и дополнительной литературы.
Активизация самостоятельной работы студентов. Самостоятельная
работа выполняется студентами в разных звеньях процесса обучения: при
получении новых знаний, их закреплении, повторении и проверке.
Систематическое уменьшение прямой помощи преподавателя служит
средством повышения творческой активности обучающихся.
Особенности организации самостоятельной работы при заочном
обучении
Учебные материалы для самостоятельной работы со студентамизаочниками
методически
организуются
таким
образом,
чтобы
компенсировать отсутствие контакта с преподавателем и, следовательно,
возложить на них функции управления самостоятельной работой студентов.
Набор заданий должен обеспечивать возможность индивидуального выбора
и определения объема материала, необходимого для достижения учебной
цели.
Различают следующие виды самостоятельной работы студентовзаочников:
 лабораторная работа,
 самостоятельная работа в аудитории,
 домашнее задание,
 домашнее чтение и др.
Широкие возможности в самостоятельной работе над учебным
материалом открываются с использованием компьютеров и сети Интернет.
Их использование в самостоятельной работе студентами заочного обучения
позволяет, во-первых, расширить информационную базу студентов; вовторых, повысить их активность, из пассивных «поглотителей информации»
превратить в ее «добытчиков»; в-третьих, развивать их способности к
анализу и обобщению, улучшать связанность, широту и глубину мышления;
в-четвертых, облегчить усвоение абстрактного материала, представить его в
виде конкретных образов; в-пятых, приучить студентов к точности,
аккуратности, последовательности действий и, наконец, развивать
самостоятельность.
В целом ориентация учебного процесса в вузе на самостоятельную
работу обучающихся на заочном отделении и повышение ее эффективности
предполагает:
 увеличение часов на самообразование студентов;
 организацию постоянных консультаций, выдачу комплектов
заданий на самостоятельную работу заранее или поэтапно;
 создание учебно-методической и материально-технической базы
вуза (учебники, учебные и учебно-методические пособия, компьютерные
классы и т. п.), позволяющие самостоятельно осваивать дисциплину;
 развитие систем дистанционного и открытого образования;
 доступность лабораторий и специальных аудиторий для
самостоятельной работы студентов-заочников и др.
При разработке заданий для самостоятельной работы студентов
заочного отделения преподаватели должны руководствоваться требованием
профилирования своей дисциплины в соответствии со специальностью
студента. Это позволяет сформулировать ряд четких требований к
профессиональной ориентации дисциплины в вузе:
 отбор и подача материала должны обеспечивать достижение целей,
изложенных в квалификационной характеристике, и понимание значения
данной дисциплины для будущей профессии;
 материал заданий должен быть методолoгичен, осознаваем и
служить средством выработки обобщенных умений;
 в теоретической части любой дисциплины должно быть выделено
фундаментальное ядро знаний. Выявление и демонстрация множественных
связей между «ядрами» помогут создать в сознании студентов научную
картину мира и современную методологию познания;
 при составлении задач и заданий следует формулировать их
содержание в контексте специальности, а также учить студентов
формированию мысленной модели объекта и обоснованию выбора
расчетной схемы.
В процессе самостоятельного изучения тем дисциплины студентамзаочникам рекомендуется:
 более глубоко изучить понятийно-категориальный аппарат
(основные общие и частные понятия, с помощью которых описываются
изучаемые явления);
 изучаемые феномены точно классифицировать и выявить
зависимости между ними;
 обобщить и представить эти зависимости в наиболее рациональном
для восприятия и запоминания виде (наглядное изображение
систематизированных представлений дает возможность более продуктивно
и на длительный срок запечатлеть в сознании усвоенные знания);
 закреплять знания в области изучаемой дисциплины практическим
их применением в процессе коммуникативного общения, принятия
решений.
3. Задания для самостоятельной работы
3.1Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования.
2. Понятие определителя. Свойства. Вычисление определителя порядка.
3. Операции над матрицами, их свойства.
4. Понятие обратной матрицы, элементарные матрицы.
5. Определение обратной матрицы и ее вычисление.
6. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителя.
7. Миноры и алгебраические дополнения.
8. Разложение определителя по строкам или столбцу.
9. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
10. Теорема о ранге матрицы.
11. Присоединенная матрица. Обратная матрица.
12. Запись и решение n линейных уравнений с n переменными в матричной
форме.
13. Теорема Кронекера-Капелли.
14. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.
15. Правило Крамера.
16. Решение СЛУ методом Гаусса.
17. Приведение матрицы к ступенчатому виду, вычисление ранта матрицы.
18. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты
вектора.
19. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.
20. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.
Направляющие косинусы.
21. Коллинеарные и компланарные векторы.
22. Формула скалярного произведения в координатах. Вычисление углов.
23. Ориентация тройки векторов в трехмерном пространстве. Векторное
произведение, его свойства. Вычисление векторного произведения в
координатах.
24. Площадь параллелограмма и треугольника (в пространстве).
25. Смешанное произведение.
26. Критерий компланарности трех векторов.
27. Объем параллелепипеда и пирамиды.
28. Система координат на плоскости.
29. Связь между декартовой и полярной системой координат.
30. Нормальный и направляющий векторы прямой.
31. Различные виды уравнения прямой на плоскости (нормальное уравнения
прямой, уравнение прямой в отрезках, каноническое уравнение прямой,
уравнение прямой через две точки, уравнение прямой с угловым
коэффициентом).
32. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
33. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
34. Общее уравнение плоскости в пространстве. Нормальное уравнения
плоскости, запись уравнения с помощью смешанного произведения.
35. Координатные формы уравнения плоскости.
36. Вычисление расстояния от точки до плоскости, угла между
плоскостями.
37. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в
пространстве.
38.Угол между двумя плоскостями.
39. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой в
пространстве.
40. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до
прямой и плоскости.
41. Задание прямой как линии пересечения двух плоскостей.
42. Линии второго порядка на плоскости, заданные каноническим
уравнением.
43. Теорема определения кривых второго порядка.
44. Окружность.
45. Эллипс.
46. Гипербола.
47. Парабола.
48. Цилиндрические поверхности
49. Поверхности вращения. Конические поверхности.
50. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
51. Понятие множества и подмножества. Пустое множество.
52. Множество всех подмножеств множества. Операции над множествами.
53. Понятие отображения (функции), его области определения и области
значений.
54. Элементарные функции. Обратное отображение.
55. Числовые множества и их свойства.
56. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу)
множества.
57. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань
множества.
58. Предел числовой последовательности и их свойства.
59. Предел функции одной переменной.
60. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины.
61. Первый и второй замечательные пределы.
62. Непрерывность основных элементарных функций.
63. Понятие производной функции одной переменной.
64. Геометрическая и механическая интерпретации производной.
65. Уравнение касательной функции.
66. Понятие дифференцируемой функции.
67. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
68. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной
переменной.
69. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной
функции.
70. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
71. Логарифмическая производная.
72. Производные основных элементарных функций.
73. Понятие дифференциала функции одной переменной.
74. Понятие об экстремумах функции одной переменной.
75. Локальный экстремум (внутренний и граничный) функции одной
переменной.
76. Необходимое условие внутреннего локального экстремума.
77. Правило Лопиталя.
78. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на
интервале.
79. Достаточные условия локального экстремума функции одной
переменной.
80. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и
достаточное условие выпуклости (вогнутости).
81. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
82. Горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты графика
функции одной переменной.
83. Исследование функции одной переменной с использованием первой и
второй производных и построение ее графика.
84. Определение глобального максимума (минимума) функции одной
переменной в области ее определения.
85. Первообразная и неопределенный интеграл.
86. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании
первообразной у непрерывной функции).
87. Свойства неопределенного интеграла.
88. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы.
89. Приемы интегрирования (заменой переменной и по частям).
90. Интегрирование рациональных функций.
91. Интегрирование иррациональных функций.
92. Интегрирование тригонометрических функций.
93. Определенный интеграл. Свойства.
94. Геометрический смысл определенного интеграла.
95. Несобственные интегралы.
96. Понятие функции двух независимых переменных.
97. Область определения, предел и непрерывность функции двух
переменных.
98. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
99. Производная сложной функции.
100. Производная по направлению.
101. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца.
102. Двойной интеграл. Вычисление двойных интегралов.
103. Криволинейные интегралы I рода.
104. Криволинейные интегралы II рода.
105. Экстремум функции двух переменных.
106. Необходимое условие экстремума функции многих переменных.
107. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
108. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
109. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
110. Однородные дифференциальные уравнения.
111. Ряды. Основные понятия.
112. Признак Даламбера.
113. Признак Коши.
114. Степенные ряды.
3.2 Задания для контрольных работ студентов ЗФО
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
СТУДЕНТАМИ-ЗАОЧНИКАМИ
Основная форма обучения студентов-заочников — самостоятельная
работа над рекомендуемым материалом, которая состоит из изучения курса
дисциплины по учебникам, решения задач, ответов на контрольные вопросы,
решения контрольных работ.
В помощь студентам организуются чтение лекций, практические
занятия, письменные и устные консультации. При этом только
систематическая самостоятельная работа позволит достигнуть поставленной
цели — изучить дисциплину «Математика». Курс дисциплины состоит из
одной части и рассчитан на один семестр. Завершается изучение курса
сдачей экзамена по контрольным вопросам самоподготовки.
В процессе изучения курса «Линейная алгебра» студент должен
выполнить контрольную работу, главная цель которой — направить
внимание студента на те разделы курса, которые будут ему необходимы при
освоении других дисциплин в процессе своей профессиональной подготовки,
а также при освоении прикладного математического обеспечения
компьютеров.
Контрольная работа должна выполняться студентом самостоятельно и в
том порядке, в каком рекомендуется в настоящем пособии.
Вариант задания выбирается по последней цифре шифра вашей зачетной
книжки, который обязательно указывается на титульной странице тетради.
Например, если ваш шифр зачетной книжки 11Б-ЗЭ-210, то ваш вариант №
10, и необходимо решать задачи: 10, 20, 30, 40 и т.д. Контрольные работы,
выполненные по другому варианту, не засчитываются, а без указания шифра
на титульной странице не рецензируются.
Каждая контрольная работа должна выполняться в отдельной тетради и
направляться методисту кафедры информационных и инженерных
дисциплин (кабинет № 10) для последующей сдачи ее на рецензирование
преподавателю.
После рецензирования контрольная работа возвращается студенту для
исправления указанных замечаний и ошибок. Исправления выполняются в
этой же тетради.
Если работа «допущена к собеседованию», студент должен защитить
контрольную работу, ответив преподавателю на вопросы по существу
выполнения контрольного задания, после чего работа считается «зачтена», о
чем ставится соответствующая запись на рецензии и в тетради.
Зачтенную контрольную работу студент должен представить
преподавателю при сдаче экзамена. Без зачтенной контрольной работы
студент к сдаче экзамена не допускается.
После приема экзамена преподаватель сдает контрольную работу в
архив института для хранения в установленном ректором СКИБИИТ
порядке.
СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра
Задания 1-10
Даны вершины треугольника в пространстве 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ),
𝐶(𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ):
1. 𝐴(−1; 2; 1), 𝐵(−2; 2; 5), 𝐶(−3; 3; 3);
2. 𝐴(2; −1; 2), 𝐵(1; −1; 6), 𝐶(2; 1; 4);
3. 𝐴(0; 2; −1), 𝐵(−1; 2; 3), 𝐶(−2; 3; 7);
4. 𝐴(0; 3; 2), 𝐵(−1; 3; 6), 𝐶(−2; 4; 2);
5. 𝐴(1; 1; 2), 𝐵(0; 1; 6), 𝐶(−1; 2,2);
6. 𝐴(1; −1; 2), 𝐵(0; −1; 6), 𝐶(−1; 0; 2);
7. 𝐴(2; 2; 3), 𝐵(1; 2; 7), 𝐶(0; 3; 3);
8. 𝐴(−1; 0; 2), 𝐵(−2; 0; 6), 𝐶(−3; 1; 2);
9. 𝐴(−2; −1; 1), 𝐵(−3; −1; 5), 𝐶(−4; 0; 1);
10. 𝐴(2; 0; 3), 𝐵(1; 0; 7), 𝐶(0; 1; 3).
Найти:
⃗⃗⃗⃗⃗ |;
а) длину вектора |𝐴𝐵
б) внутренний угол при вершине A;
в) уравнение медианы и высоты, проведенных через вершину С;
г) площадь треугольника ABC;
д) точку пересечения высот треугольника;
е) составить систему неравенств, определяющих треугольник ABC;
ж) выполнить чертеж.
Задания 11-20
Определить объем параллелепипеда, построенного на трех векторах:
⃗ ; 𝑏⃗ = 𝑖 − 𝑗 + 4𝑘
⃗ ; 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘
⃗.
𝑎 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑁𝑘
Задания 21-30
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизветсными:
𝑁𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 𝑁,
{𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0,
2𝑥 + 𝑦 − 𝑥 = 1.
Необходимо выполнить следующее:
а) исследовать систему уравнений с помощью теоремы КронекераКапелли;
б) найти решение
определителей);
с
помощью
формул
Крамера
(метод
в) решить матричным способом и при этом проверить правильность
вычисления обратной матрицы, используя соотношение 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐸.
Задания 31-40
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1,
{4𝑥 + 𝑁𝑦 + 𝑧 = 3,
𝑥 + 𝑦 + 𝑥 = 0.
Найти решение методом Гаусса.
Задания 41-50
Привести уравнение кривой второго порядка 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑁𝑥 + 10𝑦 +
25 = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения с прямой 𝑦 + 𝑥 = 1.
Построить графики кривой и прямой.
Введение в математический анализ
Дифференциальное исчисление
Задания 51-60
Вычислить следующие пределы функций:
sin 𝑁𝑥
lim
а
𝑥→0 √𝑥
𝑁 + 1 + 2𝑥 2𝑥
lim (
)
𝑥→∞
2𝑥
б
+1−1
)
)
в
𝑥
𝑡𝑔 ( )
𝑁
lim
𝑥→0
3𝑥
г
ln 𝑥 𝑛
lim
𝑥→1 1 − 𝑥 3
)
)
д
𝑁𝑥 2
lim
𝑥→0 1 − 2𝑥 2
е
𝑁 sin 𝑥 − 1
lim
𝑥→0 sin 2𝑥
)
)
𝑁
lim [(𝑥 + ) sin 𝑥]
𝑥→0
𝑥
з
𝑥 2 + (1 − 𝑁)𝑥 − 𝑁
𝑥→0 𝑥 2 − (1 + 𝑁)𝑥 + 𝑁
lim
ж
)
)
2𝑛 − 1
lim
𝑛→∞ 2𝑛 + 1
к
3
√𝑛2 + 𝑛
lim
𝑛→∞ 𝑛 + 1
и
)
)
л
𝑥−𝑁 𝑥
lim (
)
𝑥→∞ 𝑥 + 4
м
1
3
lim (
−
)
𝑥→1 1 − 𝑥
1 − 𝑥3
)
)
Задания 61-70
Найти производные первого порядка следующих функций, используя
правила вычисления производных:
)
б 𝑁
3
𝑦 = 5 + 𝑁√𝑥 + √10 + 10
𝑥
)
𝑥
𝑦г = sin4 ( ) ∙ 𝑒 𝑁𝑥
4
а 𝑦 = 𝑁𝑥 3 + 𝑁𝑥 2 + 𝑁𝑥 + 10
)
в 𝑦 = 𝑡𝑔 ln(𝑁𝑥)
)
д
)
𝑁−𝑥
𝑦 = ln √
𝑁+𝑥
𝑦е = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠√1 − 𝑁𝑥
)
ж 𝑦 = 𝑥 cos 𝑁𝑥
)
)
и 𝑦 3 + 𝑁𝑥 2 = sin(𝑥 − 𝑁𝑦)
)
)
з (𝑁𝑥 − 1)3 ∙ √𝑥 + 2
𝑦=
3
√(𝑁𝑥 + 2)4
к
1
𝑥 = 𝑡 3 + 𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 + 𝑡 +
Задания 7
Найти неопределенные интегралы. Правильность получения результатов
проверить дифференцированием:
∫
а
)
𝑥𝑑𝑥
𝑥+𝑁
∫ sin2 (𝑁𝑥)𝑑𝑥
б
)
2𝑥 − 𝑁 𝑑𝑥
∫
2𝑥 + 3
г
2
(√𝑥 + 𝑁) 𝑑𝑥
∫
𝑥
в
)
)
∫
д
𝑥𝑑𝑥
∫ 𝑁𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥
е
√𝑥 2 + 𝑁
)
)
∫
ж
𝑁𝑑𝑥
𝑥 2 − 6𝑥 + 5
)
𝑁𝑑𝑥
∫
sin 𝑥
з
)
Задания 8
Вычислить определенный интеграл:
121
а
)
∫
0
1
𝑑𝑥
∫ ln(𝑁 + 𝑥) 𝑑𝑥
б
√𝑥 − 𝑁
)
𝜋
1
5
𝜋
∫ sin ( 𝑥 − ) 𝑑𝑥
4
𝑁
в
)
0
Задания 9
0
𝑥𝑑𝑥
∫
г √𝑁 − 4𝑥
)
−1
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
∞
∞
𝑁𝑑𝑥
∫
1 + 𝑥2
а
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
б
𝑁
)
)
0
Задания 10
Вычислить площадь плоской
кривыми. Сделать чертеж области.
4𝑥 − 9𝑥 2 = 0;
фигуры,
ограниченной
заданными
3𝑦 − 𝑁𝑥 = 0.
Задания 11
Найти частные производные функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦):
а
𝑦+𝑁
𝑧 = 𝑥 ∙ ln (
)
𝑥
)
𝑧 = 𝑒 𝑁𝑥
2 +𝑦 2
б
)
𝑧 = sin(𝑁𝑥) ∙ 𝑒 𝑦
𝑥
𝑧 = √𝑁 𝑦
в
)
г
)
Задания 12
Найти:
а) производную функции 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 + 𝑥 2 в точке А(1,2,N) по
направлению вектора 𝑙 (cos 900 ; cos 00 ; cos 600 )
а) градиент функции 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 в точке В(-1;N;1) и длину 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 в этой
точке.
Задания 13
Решить дифференциальные уравнения:
а) (𝑁𝑥 − 1)𝑑𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = 0;
б) 𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑁𝑥𝑦𝑦′;
в) 𝑦 ′ =
г) 𝑦 ′ +
𝑥 2 +𝑦 2
𝑁𝑥 2
𝑦
𝑥+𝑁
;
= 𝑥 2.
Задания 14
Исследовать сходимость рядов:
а)
∞
𝑛2
∑ 𝑛;
𝑁
𝑛=1
б)
∞
∑
𝑛=1
𝑛!
;
𝑁𝑛
в)
∞
∑
𝑛=1
г)
2𝑛
;
𝑁𝑛2 − 5
∞
∑
𝑛=1
2𝑛 + 1
.
𝑁𝑛 + 4
7.3.3 Тестовые задания
Задание № 1
Область определения функции
Данная
функция
определена,
имеет вид …
если
то
есть
Окончательно получаем, что
Задание № 2
Предел
равен …
Введите ответ:
Данный предел можно вычислить с использованием первого замечательного
предела и его следствий вида
и
а именно:
Задание № 3
На отрезке
непрерывна функция …
На отрезке
непрерывна функция
так как, вопервых, возможные точки разрыва данной функции, которые можно
определить, приравняв к нулю знаменатель:
не принадлежат отрезку
а во-вторых, данный отрезок принадлежит
области определения функции
имеющей вид
У остальных функций хотя бы одно из этих условий не выполняется
Задание № 4
Наклонная асимптота графика функции
уравнением вида …
задается
Прямая
при
является наклонной асимптотой графика функции
если существуют конечные пределы:
или
Вычислим
Следовательно, прямая
данной функции как при
эти
соответственно
пределы:
является наклонной асимптотой графика
так и при
Задание № 5
Установите соответствие между производной функции
значением
1.
при
и ее
2.
3.
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания
1
0
Вычислим
производную
данной
сложной
Тогда:
1)
2)
3)
Задание № 6
Производная третьего порядка функции
равна …
функции
Вычислим
производную
первого
порядка:
Вычислим производную второго порядка как производную от производной
первого
порядка:
Тогда производная третьего порядка вычисляется как производная от
производной
второго
порядка,
то
есть
Задание № 7
Точка минимума функции
равна …
Введите ответ:
Определим
критические
точки
функции,
для
производную первого порядка
а
Определим
вычислим
именно
то
и решим уравнение
порядка
в
критических
будет точкой минимума.
Задание № 8
Дифференциал функции
вычислим
Тогда
производную второго
ее
значения
Так как
чего
равен …
и
точках:
Дифференциал
dy
функции
Тогда
выражается
формулой
вычислив
получаем, что
Задание № 9
Частная производная
функции
равна …
Вычисляя частную производную по переменной x, переменную y
считаем
величиной
постоянной.
Тогда
Задание № 10
Установите соответствие между функцией
частными
производными
второго
и ее
порядка.
1.
2.
3.
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания
При вычислении частной производной функции
по одной из
переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину.
Вычислим предварительно частные производные первого порядка:
и
Тогда
1.
2.
3.
Задание № 11
Полный дифференциал функции
имеет вид …
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме
произведений частных производных этой функции на дифференциалы
соответствующих
независимых
переменных,
то
есть
Тогда
Задание № 12
Модуль
градиента
в точке
функции
нескольких
переменных
равен …
Введите ответ:
Градиент функции нескольких переменных находится по формуле
Тогда
и
Следовательно,
Задание № 13
Неопределенный интеграл
имеет вид …
Данный
интеграл
интегрирования
вычислим
методом
(методом
замены
переменной
подстановки):
Задание № 14
Определенный интеграл
равен …
0
Пусть
Тогда
то есть функция
является нечетной. А определенный интеграл от
нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.
Задание № 15
Определенный интеграл
равен …
Введите ответ:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона
–
Лейбница
где
первообразная
функции
Тогда
Задание № 16
Площадь фигуры, ограниченной параболой
равна …
и осью Ox,
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле
где a и b – это точки пересечения параболы и оси Ox, а
Определим точки пересечения параболы и оси Ox, решив уравнение
Получаем
и
Тогда
Задание № 17
Предел числовой последовательности
0
2
∞
1
,5
Задание № 18
Сходящимися являются числовые ряды …
Укажите не менее двух вариантов ответа
равен …
Числовые ряды
Даламбера.
и
сходятся согласно признаку
Действительно,
и
Числовой ряд
расходится согласно признаку Даламбера.
Действительно,
Для числового ряда
не выполняется необходимое условие
сходимости. Действительно,
Задание № 19
Область сходимости степенного ряда
имеет вид …
Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле
где
Тогда
Следовательно,
интервал
сходимости
ряда
имеет
вид
или
Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем
сходимость
ряда
в
граничных
точках.
В точке
сходится
ряд примет вид
по
признаку
Данный знакочередующийся ряд
Лейбница,
так
как
1)
2)
В
точке
получаем
расходящийся
гармонический
ряд
Таким образом, область сходимости ряда имеет вид
Задание № 20
Если
то коэффициент
данной функции в ряд Тейлора по степеням
Введите ответ:
равен …
разложения
Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле
то
вычислим
последовательно
производные:
Тогда
Задание № 21
Уравнение
является …
однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого
порядка
уравнением Бернулли
линейным дифференциальным уравнением первого порядка
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
Уравнение
можно
,
где
представить
.
в
виде
Действительно,
, поэтому оно является уравнением Бернулли.
Задание № 22
Общий интеграл дифференциального уравнения
вид …
имеет
Разделим
переменные
Проинтегрируем
обе
в
исходном
части
уравнении:
уравнения:
Тогда
или
Задание № 23
Общее решение дифференциального уравнения
вид …
Уравнение
замену
перепишем в виде
Тогда уравнение
имеет
Введем
примет вид
или
Пусть
u
в
Тогда
и
Подставив найденное значение
уравнение
получим
и
Окончательное решение имеет вид
Задание № 24
Установите соответствие между дифференциальным
второго
порядка
и
его
общим
уравнением
решением.
1.
2.
3.
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания
Чтобы
найти
общее
решение
линейного
дифференциального уравнения второго порядка
постоянными коэффициентами, необходимо составить
характеристическое
1)
2)
однородного
и
с
решить
уравнение
и
и
Тогда:
общее
общее
решение
примет
вид
решение
примет
вид
и
3)
общее
решение
примет
вид
Задание № 25
t
Функции спроса
–
время,
имеют
и предложения
от цены товара P, где
следующие
аналитические
выражения:
и
При равновесном состоянии рынка зависимость цены
можно определить как решение уравнения …
от времени t
Так как равновесное состояние рынка характеризуется условием
равенства
спроса
и
предложения,
то
или
Следовательно,
Задание № 26
t
Функции спроса
–
время,
имеют
и предложения
от цены товара P, где
следующие
аналитические
выражения:
и
При
равновесная цена на товар будет равна …
Введите ответ:
Найдем
общее
как
решение
дифференциального
где функция
уравнения
– общее решение
однородного уравнения
а функция
– некоторое
частное
решение
исходного
неоднородного
уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение
Тогда
и
найдем
его
корни:
общее решение однородного уравнения будет
иметь
вид
где
и
– произвольные постоянные.
Так как правая часть исходного уравнения представляет собой многочлен
нулевого порядка и среди корней характеристического уравнения нет
нулевых, то частное решение
неоднородного уравнения будем искать в
виде
подставив которое в исходное уравнение, определим
Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения
примет
вид
Вычислив предел
можем сделать вывод о том, что все
интегральные
кривые
вида
имеют
горизонтальную асимптоту
и колеблются относительно этой прямой.
Это означает, что все цены стремятся к положению равновесия
причем амплитуда этих колебаний с течением времени затухает.
Задание № 27
Компания сдает в аренду 60 квартир. При ренте в 120 у.е. в месяц все
квартиры заняты. Статистика показывает, что каждое повышение стоимости
ренты на 2 у.е. приводит к освобождению одной квартиры. Стоимость
обслуживания
сдаваемой
квартиры
равна
36 у.е.
в
месяц.
Если компания сдает квартиры за 135 у.е. в месяц, то прибыль компании
равна …
5
197,5
4
887
7
155
Если компания сдает квартиры за 135 у.е., то освободятся 7 квартир, так
как
где
– целая часть числа
доход компании будет равен
величину
. Следовательно,
у.е., издержки составят
у.е., а прибыль –
у.е.
Задание № 28
Компания сдает в аренду 60 квартир. При ренте в 120 у.е. в месяц все
квартиры заняты. Статистика показывает, что каждое повышение стоимости
ренты на 2 у.е. приводит к освобождению одной квартиры. Стоимость
обслуживания
сдаваемой
квартиры
равна
36 у.е.
в
месяц.
Пусть компания сдает в аренду
между
квартир. Установите соответствие
1)
2)
3)
прибылью
и соответствующими аналитическими выражениями.
доходом;
издержками;
компании
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания
Доход
компании
можно
выразить
как
2. Издержки компании будут иметь вид
3.
Тогда
прибыль
компании
будет
равна:
Задание № 29
Компания сдает в аренду 60 квартир. При ренте в 120 у.е. в месяц все
квартиры заняты. Статистика показывает, что каждое повышение стоимости
ренты на 2 у.е. приводит к освобождению одной квартиры. Стоимость
обслуживания
сдаваемой
квартиры
равна
36 у.е.
в
месяц.
Если повышение стоимости ренты осуществляется на целое число у.е., то
оптимальный размер ренты, при котором прибыль компании максимальна,
равен …
Введите ответ:
Вычислим
максимальное
значение
функции
прибыли
Тогда
Максимальное значение
данной функции
достигается, когда в аренду сдается
квартира за
у.е. каждая. Однако если увеличить стоимость аренды до 139 у.е., то
количество сдаваемых квартир не изменится, а прибыль увеличится.
Действительно,
Основная и дополнительная литература
Основная литература:
1. Богомолов Н. В. Математика. Учебник для бакалавров. М. : Юрайт,
2013. – 250с.
2. Жуков В.М. Практические занятия по математике: теория ,задания
М.: Юрайт, 2012. – 354с.
3. Балдин К. В., Башлыков В. Н., Рукосуев А. В. Математика. Учебное
пособие – М.: Юнити-Дана, 2012. – 543с. (ЭБС)
4. Кузнецов Б. Т. Математика. Учебник – М.: Юнити-Дана, 2012. –
720с. (ЭБС)
Дополнительная литература:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики М.: Академия, 2013. –
287с.
2. Дорофеев С. Н. Высшая математика. - М.:-Мир и образование, 2011 –
591с. (ЭБС)
3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая
математика для экономистов. Учебник – М.: Юнити-Дана, 2012. -482с. (ЭБС)
4. Кремер Н. Ш., Константинова О. Г., Фридман М. Н. Математика для
поступающих в экономические и другие вузы. Учебное пособие – М.:
Юнити-Дана, 2012. –697с. (ЭБС)
5. Кремер Н. Ш., Константинова О. Г., Фридман М. Н. Математика для
поступающих в экономические вузы. Подготовка к Единому
государственному экзамену и вступительным испытаниям. Учебное пособие
– М.: Юнити-Дана, 2012. – 617с. (ЭБС)
6. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 1.
Учебное пособие - Санкт-Петербург.:Политехника, 2011. – 713с. (ЭБС)
7. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 2.
Учебное пособие - Санкт-Петербург.: Политехника, 2011. – 572с. (ЭБС)
8. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 3.
Учебное пособие - Санкт-Петербург.: Политехника, 2011. – 510с. (ЭБС)
9. -Высшая математика. Учебное пособие Минск.: Вышэйшая школа, 2012
– 392с. (ЭБС)
10. Яшин Б. Л. Математика в контексте философских проблем – М.:
Прометей, 2012 - 110с. (ЭБС)
11. -Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х частях. Часть
1.
Линейная
алгебра,
аналитическая
геометрия
и
линейное
программирование. Учебное пособие – М.: Финансы и статистика, 2013. –
256с. (ЭБС)
12. -Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х частях. Часть
2. Математический анализ. Учебное пособие – М.: Финансы и статистика,
2013. – 368с. (ЭБС)
13. -Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х частях. Часть
3. Теория вероятностей. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2013. –
125с. (ЭБС)
14. Красс М. С., Чупрынов Б. П.Математика в экономике. Основы
математики. Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 542с. (ЭБС)
15. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г.
Математика в экономике. Учебник. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая
геометрия и линейное программирование. – М.: Финансы и статистика, 2013.
– 384с. (ЭБС)
16. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad. Математический практикум для
инженеров и экономистов. М.: Финансы и статистика, 2003. – 657с
17. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М.: Высшая школа, 2003.
18. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. –
М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005.
19. Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.:
Наука, 2002.
20. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии. – М.: Изд-тво ВШЭ, 2007 г.
21. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры –
М.: Наука, любое издание.
22. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, любое
издание.
23. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.
24. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы
математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича) –
М.: Наука, любое издание после 2006.
25. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Гардарики,
2008.
26. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные
необходимыми сведениями из алгебры. – М.: Наука, 2008.
27. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. –
М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009.
28. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1999.
29. Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.:
Наука, 2000.