максимизация прибыли, мини

Лекция 4.6
Теория поведения производителя: максимизация прибыли,
минимизация издержек и предложение фирмы в
долгосрочном периоде.
Юрий Владимирович Автономов
Департамент теоретической экономики
20.04.2016
Максимизация
прибыли в долгосрочном периоде (LR)
Задача максимизации прибыли в долгосрочном периоде
принципиально не отличается от таковой в краткосрочном
периоде.
Если единственные факторы производства - это труд (L) и
капитал (K), которые нанимаются по цене w и r за единицу, а
готовая продукция продается по цене p за единицу, фирма
решает задачу:
max pf(K, L) − wL − rK
K,L≥0
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
2 / 18
Максимизация прибыли в LR
Типы решений
С точки зрения оптимального уровня выпуска, у этой задачи
есть три типа решений:
1. Угловое: фирма не нанимает (и не производит) ничего.
2. Внутреннее: фирма нанимает положительное и конечное
количество капитала и/или труда.
3. Задача не имеет конечного решения (фирма стремится
нанять бесконечное количество одного или нескольких
факторов).
Тип решения тесно связан с характером отдачи от масштаба=>
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
3 / 18
Максимизация прибыли в LR
Случай <глобально> возрастающей отдачи от масштаба
При <глобально> возрастающей отдаче от масштаба, задача
максимизации прибыли фирмы (при положительных и
конечных p, w и r) не имеет конечных решений.
Чтобы доказать это, рассмотрим выражение для прибыли
фирмы, и домножим количество капитала и труда на λ > 1:
pf(λK, λL) − [wλL + rλK]
Так как отдача от масштаба возрастающая, уменьшаемое
(выручка) возрастет больше, чем в λ раз, а вычитаемое
(издержки) - только в λ раз ⇒ прибыль фирмы монотонно
возрастает по λ ⇒ при λ → ∞ прибыль также стремится к
бесконечности.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
4 / 18
Максимизация прибыли в LR
Случай <глобально> постоянной отдачи от масштаба
При <глобально> постоянной отдаче от масштаба, возможны
три варианта:
• Фирма не производит ничего.
• Фирма готова произвести любой уровень выпуска, и
работает с нулевой экономической прибылью.
• Задача максимизации прибыли фирмы не имеет конечных
решений.
Почему наша модель предсказывает именно такое поведение
фирмы?
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
5 / 18
Максимизация прибыли в LR
Случай <глобально> постоянной отдачи от масштаба (продолжение)
Заметим, что при увеличении количества капитала и труда в
λ > 1 раз, прибыль фирмы также возрастает в λ > 1 раз.
Значит, если p, w и r таковы, что:
• При любых K, L > 0 прибыль отрицательна - фирма
прекратит производство.
• Получить положительную прибыль невозможно, но
существует хотя бы одна комбинация K, L > 0, при которой
прибыль равна нулю - фирма готова производить любое
количество товара, которое у неё купят.
• Существует некоторая комбинация K, L > 0, дающая
положительную прибыль - фирма захочет бесконечно
масштабировать эту комбинацию, чтобы произвести
бесконечное количество товара и получить бесконечную
прибыль.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
6 / 18
Максимизация прибыли в LR
Случай <глобально> убывающей отдачи от масштаба
Если технология характеризуется <глобально> убывающей
отдачей от масштаба, решение полностью описывается
условиями первого порядка:

f(K,L)


p
= w, L > 0 или pMPL ≤ w, L = 0


L



p f(K,L) = r, K > 0 или pMP ≤ r, K = 0
K
K
NB! Для L > 0, K > 0, pMPL и pMPK (т. е., предельные доходности
труда и капитала) фактически представляют собой обратные
функции спроса фирмы на труд и капитал.
Если же выразить L и K из условий первого порядка и
подставить в производственную функцию, вы получите
долгосрочную функцию предложения фирмы.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
7 / 18
Максимизация
прибыли в долгосрочном периоде
Графическая иллюстрация
При желании, эту задачу можно проиллюстрировать
графически:
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
8 / 18
Выбор фирмы в долгосрочном периоде
Минимизация издержек => максимизация прибыли
Но поскольку такие иллюстрации выглядят громоздко, а в
случаях трех и более факторов и вовсе невозможны, задачу
выбора оптимального выпуска в долгосрочном периоде
обычно решают в два этапа:
1. минимизация издержек для произвольного объема
выпуска
2. выбор объема выпуска, максимизирующего прибыль
Рассмотрим задачу минимизации издержек в долгосрочном
периоде =>
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
9 / 18
Задача минимизации издержек в LR
Условный спрос на факторы, долгосрочная функция издержек

 min wL + rK
K,L≥0
f(K, L) = y
Решением этой задачи являются функции условного спроса на
труд и капитал:
L = L(w, r, y), K = K(w, r, y)
Подставляя их в выражение для издержек, мы получаем
долгосрочную функцию издержек:
c(w, r, y) = wL(w, r, y) + rK(w, r, y)
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
10 / 18
Задача минимизации издержек в LR
Графическая иллюстрация внутреннего решения
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
11 / 18
Задача минимизации издержек в LR
Условия первого порядка для внутренних решений
Мы видели, что во внутренних решениях задачи минимизации
издержек изокоста должна касаться соответствующей
изокванты ⇒ если обе кривые гладкие, тангенсы угла их
наклона должны совпадать:
MRTSLK =
w
MPL
=
MPK
r
Для простоты интерпретации это выражение можно переписать
в виде:
MPL
MPK
=
w
r
Т.е., предельный продукт каждого используемого фирмой
фактора на единицу потраченных на этот фактор денег должен
быть одинаковым.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
12 / 18
Задача минимизации издержек в LR
Долгосрочная «кривая расширения» фирмы
Если технология производства гомотетична, долгосрочная
кривая расширения представляет собой прямую линию.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
13 / 18
Долгосрочная функция предложения фирмы
Если мы располагаем долгосрочной функцией издержек,
долгосрочная функция предложения фирмы вытекает из
задачи:
max py − c(w, r, y)
y≥0
Так как в долгосрочном периоде постоянные издержки
отсутствуют:
• Фирма производит положительное количество товара
только если её экономическая прибыль неотрицательна.
• Внутренние решения должны удовлетворять условию
первого порядка: p = MC(y)
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
14 / 18
Долгосрочная кривая предложения фирмы
Следовательно, долгосрочная кривая предложения фирмы
представляет собой участок кривой долгосрочных предельных
издержек, лежащий над кривой долгосрочных средних
издержек:
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
15 / 18
Экономия на масштабе
Экономия на масштабе <производства> (economies of scale)
имеет место, когда долгосрочные средние издержки снижаются
с ростом выпуска.
Одной из причин экономии на масштабе может быть наличие у
фирмы возрастающей отдачи от масштаба.
Чтобы прояснить связь между характером отдачи от масштаба и
экономией на масштабе, рассмотрим пример =>
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
16 / 18
Отдача от масштаба и экономия на масштабе
Влияние отдачи от масштаба на форму кривой LAC
Пусть технология гомотетична, и цены факторов постоянны. В
таком случае, долгосрочные средние издержки фирмы можно
представить в следующем виде:
LAC =
wL + rK
f(K, L)
где L и K - комбинация факторов, минимизирующая издержки
производства f(K, L).
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
17 / 18
Теперь домножим количество каждого фактора на λ > 1.
Заметим, что в силу гомотетичности, любая комбинация (λK, λL)
также будет минимизировать издержки производства f(λK, λL).
LAC =
w·λ·L+r·λ·K
f(λK, λL)
Заметим, что числитель дроби вырос ровно в λ раз. Значит, если
отдача от масштаба...
• постоянная, знаменатель тоже вырос ровно в λ раз ⇒ с
ростом выпуска LAC не изменились.
• возрастающая, ...
• убывающая, ...
Эта закономерность справедлива и для локальной отдачи от
масштаба: локальная отдача от масштаба определяет поведение LAC в
дифференциально малой окрестности текущего уровня выпуска.
Юрий Автономов
Высшая школа экономики
20.04.2016
18 / 18