Аналитическая геометрия Семестровый обязательный курс для

Аналитическая геометрия
Семестровый обязательный курс для студентов 1-го курса бакалавриата департамента
математики, механики и компьютерных наук Института математики и компьютерных
наук УрФУ (направление подготовки «Математика. Прикладная математика»).
Краткое содержание курса:
I. Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами: понятие вектора, сумма векторов, произведение
вектора на число, критерий коллинеарности векторов, базис на плоскости и в
пространстве, координаты вектора.
2. Скалярное произведение векторов: определение и свойства скалярного произведения,
критерий ортогональности векторов, вычисление скалярного произведения векторов по
координатам.
3. Векторное произведение векторов: определение и свойства векторного произведения,
геометрический смысл векторного произведения, вычисление векторного произведения
векторов по координатам, двойное векторное произведение и формула «бац минус цаб».
4. Смешанное произведение векторов: ориентация тройки векторов, определение и
свойства смешанного произведения, критерий компланарности векторов, геометрический
смысл смешанного произведения, вычисление смешанного произведения векторов по
координатам.
5. Система координат. Координаты точки: понятие системы координат, координаты
точки, деление отрезка в данном отношении, формулы замены системы координат,
формулы поворота системы координат на плоскости.
II. Прямые и плоскости
1. Прямая на плоскости: общее и параметрические уравнения линии на плоскости, виды
уравнений прямой на плоскости (параметрические, каноническое, по двум точкам, общее,
с угловым коэффициентом, в отрезках), взаимное расположение двух прямых, пучок
прямых, главный вектор прямой и его свойства, полуплоскости, определяемые прямой,
расстояние от точки до прямой на плоскости.
2. Плоскость: общее и параметрические уравнения поверхности, виды уравнений
плоскости (параметрические, каноническое, по трем точкам, общее, в отрезках), взаимное
расположение двух плоскостей, пучок плоскостей, главный вектор плоскости и его
свойства, полупространства, определяемые плоскостью, расстояние от точки до
плоскости.
3. Прямая в пространстве: общие и параметрические уравнения линии в пространстве,
виды уравнений прямой в пространстве (параметрические, канонические, по двум точкам,
общие), взаимное расположение прямой и плоскости, взаимное расположение двух
прямых, общий перепендикуляр к скрещивающимся прямым, расстояние между
скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой в пространстве.
III. Квадрики на плоскости
1. Эллипс: каноническое уравнение, расположение эллипса на плоскости, зксцентриситет,
фокусы, директрисы, физический смысл фокусов и эксцентриситета, оптическое свойство
эллипса, две характеризации эллипса.
2. Гипербола: каноническое уравнение, асимптоты, расположение гиперболы на
плоскости, фокусы, директрисы, оптическое свойство гиперболы, две характеризации
гиперболы, «школьное» уравнение гиперболы, равносторонняя гипербола.
3. Парабола: каноническое уравнение, расположение параболы на плоскости, фокус,
директриса, оптическое свойство параболы, характеризация параболы, «школьное»
уравнение параболы.
4. Классификация квадрик на плоскости.
IV. Квадрики в пространстве
1. Цилиндрические поверхности: определение, выбор плоской направляющей,
каноническое уравнение, цилиндрические поверхности второго порядка.
2. Конические поверхности: определение, конус второго порядка как коническая
поверхность.
3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды: канонические уравнения эллипсоида,
однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и и гиперболического
параболоидов, исследование формы этих поверхностей методом сечений, оптическое
свойство эллиптического параболоида.
4. Классификация квадрик в пространстве.
5. Прямолинейные образующие квадрик в пространстве: определение прямолинейной
образующей, уравнения и свойства прямолинейных образующих однополостного
гиперболоида и гиперболического параболоида.