Уравнение для корреляционной функции и плотность

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
В.П Красицкий, В.А.Фрост
Уравнение для корреляционной
функции и
плотность распределения
вероятности скаляра
в турбулентных реагирующих
потоках
Препринт N0 833
МОСКВА 2007 год
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
В.П Красицкий, В.А.Фрост
Уравнение для корреляционной
функции и
плотность распределения
вероятности скаляра
в турбулентных реагирующих
потоках
Препринт N0 833
МОСКВА 2007 год
Аннотация
Предложена модель, позволяющая без привлечения дополнительных
предположений получать распределения параметров в турбулентном потоке, в котором может иметь место изменение концентрации примеси (химическая реакция). При построении модели используются как дифференциальное уравнение переноса примеси в потоке жидкости, так и дополнительные соображения, позволяющие замыкать используемые уравнения
для среднего значения, для корреляционной функции и уравнение для
плотности распределения вероятности (ПРВ) скаляра. Примесь предполагается пассивной, то есть не влияющей на параметры турбулентности.
Необходимые параметры однородного турбулентного поля предполагаются
известными и аппроксимируются простейшими зависимостями. Основной
особенностью предлагаемой модели является сохранение влияния конкретного значения коэффициента молекулярного переноса.
Рассмотрены особенности процесса переноса в плоском слое, на границах которого заданы значения величины скаляра. По известным полям
среднего значения скаляра и его корреляционной функции восстанавливается ПРВ скаляра , что позволяет определить среднюю скорость химической реакции.
Ключевые слова: турбулентность, молекулярный перенос, скалярная
диссипация, плотность распределения вероятности, турбулентные реагирующие потоки.
Abstract
The model allowing without attraction of additional assumptions to receive
distribution of parameters in a turbulent flows in which change of concentration
due to chemical reaction can take place is under construction. At construction
of model is used as the differential equation of transfer of an scalar in a stream of
a liquid, and, the additional reasons allowing to close the equations for average
value, for correlation function and the equation for density of distribution of
probability (PDF) of a scalar. The scalar is supposed passive, that does not
influence on turbulence. Necessary parameters of a homogeneous turbulent field
are assumed known and approximated by the simple expressions. The basic
feature of the model is preservation of influence of concrete value of molecular
diffusivity.
The process of scalar transfer in a plain layer, on which boundaries the
values of the scalar are given, is considered. The PDF of a scalar on known
fields of average value of a scalar and its correlation function is determined
that allows to define average speed of chemical reaction.
Keywords: turbulence, molecular transfer, scalar dissipation, density of
probability distribution, turbulent reacting flows.
055(02)2
c Институт проблем механики РАН, 2007 г.
°
1
Введение
Описание молекулярного переноса, явно учитывающее влияние коэффициента молекулярной диффузии, – важнейшая составляющая анализа процессов горения в турбулентных потоках. Примером процесса, когда влияние молекулярного переноса необходимо учитывать является турбулентное горение заранее перемешанной смеси. В этом случае скорость горения
зависит от скорости нормального пламени, которая определяется интенсивностью молекулярного переноса. Аналогичное влияние имеет место и
при воспламенении горючей смеси в турбулентном потоке. Разработке такой модели, в которой влияние молекулярного переноса учитывалось бы
физически обоснованно, посвящен настоящий препринт.
Для описания процесса смешения в турбулентных реагирующих потоках используется уравнение для одноточечной плотности распределения
вероятности скаляра, в качестве которого рассматриваются некая концентрация компонентов потока или температура среды. В уравнении для распределения вероятности турбулентный перенос и химические превращения
описываются точно, но для описания смешения до молекулярного уровня
необходимы дополнительные предположения (модели микросмешения). К
настоящему времени предложено много различных моделей микросмешения и выбор делается обычно из условий удобства вычислений. Все эти
модели содержат эмпирические константы, выбираемые для конкретных
условий, и не могут описать изменение микросмешения при изменении
условий в потоке, в основном из-за того, что в рамках одноточечных подходов отсутствует возможность описания изменений характерных масштабов
скалярного поля под действием турбулентности, в результате химических
превращений и молекулярного переноса. Использование для описания турбулентного горения уравнения для скалярной диссипации [1] не решает
проблему, так как незамкнутость этого уравнения приводит к необходимости использовать различные приближения и оценки и конкретные результаты удается получить только для предельно больших значений чисел
Рейнольдса и Дамкелера и равенстве числа Льюиса единице.
Расширить рамки описания процесса смешения можно, включив в анализ реальные значения коэффициентов переноса, что возможно только при
переходе к двухточечным моделям.
Двухточечное описание, позволяющее избежать трудностей, связанных
с определением характерных масштабов скалярного поля, может быть построено различными способами: на основе уравнения для двухточечной
плотности распределения вероятностей скаляра; уравнения для совместной
вероятности скаляра и его градиента или уравнения для корреляционной
функции скалярного поля.
Наиболее близким к предлагаемому направлению являются исследова-
3
ния, посвященные использованию уравнения для пространственно-временной корреляционной функции скалярного поля для описания процессов,
происходящих на электроде, размещенном на границе турбулентного потока электропроводящей жидкости [2, 3]. При выводе замкнутого уравнения
для корреляционной функции, однако, делается значительное число предположений, использующих особенности переноса электроактивных компонент среды. В результате итоговое уравнение не содержит коэффициентов
молекулярного переноса.
Наш интерес к уравнению для корреляционной функции скаляра возник при анализе возможностей использования для описания турбулентного
горения уравнения для двухточечной плотности распределения вероятностей скаляра [4, 5]. При попытках замкнуть это уравнение появляются
производные от корреляционной функции скаляра, что означает сведение
проблемы замыкания уравнения для плотности вероятности к проблеме
замыкания уравнения для корреляционной функции [6]. Данная работа посвящена проблеме восстановления ПРВ скаляра при использовании уравнения для корреляционной функции.
2
Постановка задачи. Основные предположения.
Описание турбулентных реагирующих потоков строится на основе уравнения для корреляционной функции скаляра. Для определения плотности
распределения вероятности скаляра (ПРВ), необходимой для вычисления
скорости реакции, используется уравнение для ПРВ, замыкаемое простейшей гипотезой о микросмешении. Плотность среды предполагается постоянной. Скаляр предполагается пассивным, что означает отсутствие его
влияния на турбулентность. Все необходимые параметры турбулентного
поля, которые понадобятся в дальнейшем, предполагаются известными и
аппроксимируются простейшими зависимостями. Коэффициент переноса
примеси Dm также предполагается постоянным.
Под корреляционной функцией скаляра понимается
R (x1 , x2 , t) = hc (x1 , t) c (x2 , t)i
(1)
Здесь x1 и x2 - точки пространства, t - время и c - реальное значение
скаляра: c(x) = C(x) + c0 (x) сумма среднего значения C(x) и пульсации
c0 (x). Треугольные скобки означают усреднение по реализациям. В дальнейшем нижний индекс используется для обозначения пространственного
аргумента, например u1 = u (x1 , t).
Отметим, что в отличие от общепринятого, рассматривается произведение значений скаляра без вычитания соответствующих средних значений.
4
Это позволяет упростить вид уравнения для корреляционной функции и
при численном интегрировании избежать многочисленных дифференцирований средних полей, что необходимо для вычисления источниковых членов в уравнении для корреляционной функции, определенной как среднее
от произведения пульсаций.
Уравнение для корреляционной функции наиболее просто получить,
если умножить уравнение переноса для скаляра, взятое в первой точке,
на значение скаляра во второй точке и аналогично для второй точки и
сложить. После перехода к новым независимым переменным: η = (x1 +
x2 )/2 и r = x1 − x2 и усреднения, для случая отсутствия химических превращений получим
1
∂
R (η, r, t) + ((U1 + U2 ) · ∇η ) R (η, r, t) + ((U1 − U2 ) · ∇r ) R (η, r, t) +
∂t
2
1
0
+ divη h(u1 + u02 ) c (x1 , t) c (x2 , t)i + 2divr h(u01 − u02 ) c (x1 , t) c (x2 , t)i =
2
µ
¶
1 ∂2
∂2
Dm
R (η, r, t) + 2 2 R (η, r, t)
(2)
2 ∂η 2
∂r
Здесь r и η - вектора, соединяющий между собой точки и указывающий
на его середину, U и u0 - средняя и пульсационная составляющие скорости
в соответствующих точках, индекс при операторах указывает на переменные, по которым производится дифференцирование. На этой стадии произошло расщепление процессов переноса (слагаемое с u01 + u02 ), деформации скалярного поля под действием турбулентности (слагаемое с u01 − u02 )
и действия молекулярного переноса (последние два слагаемых).
Применяя обобщение гипотезы Прандтля, связывающее среднее от потока с градиентом переносимой скалярной величины F (многоточие предполагает зависимость переносимой величины от нескольких точек пространства)
h(u0i F (x1 , . . .))i = hu0i li
∂
F (x1 , . . .)
∂xi
(3)
к компонентам второй строки уравнения (2), получим
1
∂
R (η, r, t) + ((U1 + U2 ) · ∇η ) R (η, r, t) + ((U1 − U2 ) · ∇r ) R (η, r, t) =
∂t
2
µ
¶
∂
1
∂
∂
∂
Dti + Dm
R (η, r, t) +
(Dri + 2Dm)
R (η, r, t) (4)
∂ηi
2
∂ηi
∂ri
∂ri
Здесь Dti и Dri - неизвестные пока коэффициенты, имеющие смысл
коэффициентов турбулентной и ”вихревой диффузии”. Индекс i подразумевает возможную неизотропию турбулентного переноса и в дальнейшем опускается. По повторяющимся индексам производится суммирование. Термин коэффициент вихревой диффузии заимствован из [10].
5
В полученном уравнении (4) воздействие турбулентности и молекулярной диффузии на скалярное поле описываются различными членами уравнения, что позволяет проанализировать влияние турбулентности на структуру скалярного поля и смешение до молекулярного состояния.
Смысл отдельных слагаемых, входящих в уравнение (4) достаточно
ясен. Первое слагаемое в левой части описывает эволюцию, второе – перенос по пространству без изменения структуры поля, следующее – деформации (растяжение и кручение) скалярного поля из-за неоднородности
среднего движения. Первое слагаемое в правой части – это перенос по пространству в результате турбулентных пульсаций (турбулентная диффузия)
и, как будет видно из дальнейшего, в результате молекулярного движения,
выравнивающего распределение скаляра в пространстве. Наконец, последние два слагаемые описывают собственно смешение в турбулентном потоке.
Первое из них, содержащее параметр Dr, – изменение структуры скалярного поля под действием турбулентных пульсаций. Возникающие при этом
деформации приводят к росту градиентов скалярного поля, что проявляется как уменьшение внутреннего масштаба скалярного поля и усиление
процесса смешения. Для этого процесса удобно использовать термин "декорреляция". Второе слагаемое, содержащее коэффициент молекулярного
переноса, приводит к уменьшению градиентов скалярного поля под действием молекулярной диффузии. Собственно последний из рассмотренных
процессов и есть смешение, которое уменьшает интенсивность пульсаций
скаляра и создает условия для протекания химических реакций.
2.1
Уравнение для среднего поля скаляра.
Так как уравнение для корреляционной функции рассматривается без выделения пульсационных компонент, то для определения их к этому уравнению необходимо добавить уравнение для среднего поля C(x, t). Для дальнейшего удобно для пространственной переменной использовать то же обозначение η, что и для положения центра отрезка. При принятых предположениях уравнение для среднего будет
∂
C (η, t) + (U · ∇η ) C (η, t) =
∂t
∂
∂
(D (η, t)) + Dm)
C (η, t) + hW (c)i
∂η
∂η
(5)
Здесь D (η, t) – коэффициент турбулентной диффузии, понимаемый в
обычном смысле; hW (c)i – средняя скорость химических превращений.
6
2.2
Определение коэффициентов Dt и Dr.
В [6, 7, 8] приведены соображения, позволяющие определить входящие в
(4) величины.
Dt =
1
D (η, t)
2
(6)
и в случае однородной изотропной турбулентности и неоднородного скалярного поля
Dr(r, t) = (D(η + r/2, t) + D(η − r/2, t)) (1 −
BLL (r)
)
BLL (0)
(7)
которая в случае однородного скалярного поля упрощается
Dr(r, t) = 2D(η, t)(1 −
BLL (r)
)
BLL (0)
(8)
Здесь BLL - корреляционная функция продольной компоненты скорости изотропного турбулентного поля.
Поясним смысл полученных выражений. Для описания переноса и броуновского движения в рассматриваемом случае надо сохранить в уравнении для среднего (5) коэффициент Dm, который теперь будет представлять не коэффициент молекулярного переноса, а коэффициент диффузии,
определяемый параметрами броуновского движения частиц.
Следует отметить обнаруженную двойственность понятия коэффициента молекулярной диффузии. С одной стороны это перемещение молекул
или частиц примеси по пространству, стремящееся устранить неоднородность распределения примеси, с другой стороны, это взаимопроникновение
молекул примеси в окружающую жидкость и создание объемов промежуточной концентрации. Естественно, что только второй процесс существенен
для химических превращений и диссипации неоднородностей. Выше выведенное уравнение для корреляционной функции иллюстрирует эти особенности молекулярного переноса. Интересно, что дискуссии об этих особенностях молекулярного переноса часто возникали при обсуждении методов
определения параметров турбулентности по измерениям параметров дымовых струек.
Полученное равенство коэффициента переноса для точки, представляющей центр отрезка, и скаляра как такового (6) может трактоваться как
обычное в теории турбулентности предположение о статистической независимости крупномасштабных движений и микросмешения. В рассматриваемом случае это означает независимость движения центра отрезка формы
корреляционной функции.
В то же время появление в уравнении для корреляционной функции
коэффициента, зависящего от времени, трудно объяснимо. Также и при
7
анализе турбулентных потоков с химическими реакциями использование
в уравнениях коэффициентов, явно зависящих от времени, неправильно.
Наличие источников заранее неизвестной интенсивности не позволяет однозначно определить начальный для процесса диффузии момент времени. Известно, что при пренебрежении временной зависимостью в рамках
одноточечного описания теряется возможность учета неравновесности переноса. Для его учета [11] в систему определяющих уравнений надо добавить нестационарное уравнение для потока скаляра или условной средней скорости. В данном случае это должно быть уравнение для величины
hc1 c2 (u02 − u01 )i .
2.3
Статистическая достоверность предложенного замыкания.
Движение в среднем поле и связанные с этим деформации скалярного поля не могут приводить к появлению статистически некорректных распределений. Точно также и сглаживание скалярного поля в результате молекулярного переноса не может нарушить статистическую достоверность
поля. К статистической некорректности может приводить только процесс
декорреляции, для которого предлагается некая схема, вообще говоря, не
имеющая строгого физического обоснования. Поэтому для проверки выполнения требований теоремы Хинчина было достаточно рассмотреть случай однородного скалярного поля в условиях стационарной однородной
изотропной турбулентности при отсутствии молекулярного смешения [6].
В результате удалось доказать, что уравнение для корреляционной функции, получаемое подстановкой выражений для коэффициентов Dt и Dr в
уравнение (4)
∂
1
1
R (η, r, t) + ((U1 + U2 ) · ∇η ) R (η, r, t) + ((U1 − U2 ) · ∇r ) R (η, r, t) =
∂t
2
2
∂
1 ∂
(D (η, t) + Dm)
R (η, r, t) +
2 ∂η
∂η
µ
µ
¶
¶
∂
BLL (r )
∂
+2
D(η, t) 1 −
+ Dm
R (η, r, t)
(9)
∂r
BLL (0 )
∂r
представляет статистически корректное описание процессов переноса и
смешения, происходящих в турбулентных потоках.
8
3
Расчет процесса смешения при наличии химической реакции.
Одно из существенных затруднений, связанное с использованием уравнения для корреляционной функции, это большое число независимых переменных. В общем случае корреляционная функция зависит от шести пространственных переменных и времени.
Наименьшее количество переменных можно получить, если искать стационарное решение в канале постоянной ширины, на стенках которого значения скаляра заданы . Это соответствует течению Куэтта между двумя
плоскими бесконечными пластинами, одна из которых движется с некоторой постоянной скоростью. Температуры пластин постоянны, но отличаются. Существует поток тепла, если коэффициент молекулярной теплопроводности не равен нулю. В зазоре наблюдается турбулентность, что
приводит к возникновению турбулентного переноса. С целью разделить молекулярный и турбулентные переносы предполагается, что турбулентный
перенос от стенок равен нулю, что естественно, так как скорости среды по
нормали к стенке на стенках отсутствует.
Упрощение заключается в предположении о однородности турбулентности, что не позволяет провести апробацию подхода на реальных экспериментальных данных. На рис. [1] схематически изображены используемые переменные. Вертикальная линия представляет пространственную
координату, соответствующую изменению положения центра, наклонные
линии соответствуют линиям, связывающим точки x1 и x2 . Линии, оканчивающиеся на границах, поясняют образование граничных условий для
корреляционной функции. В точке, лежащей на границе, значение скаляра
известно, что позволяет выразить корреляционную функцию в этой точке
через среднее значение скаляра в другой точке.
Среднее движение отсутствует, турбулентный перенос описывается турбулентным коэффициентом диффузии, независящим от времени и изменяющемся по ширине слоя.
В этом случае уравнение для среднего C(z) будет
∂
∂
(D(z ) + Dm)
C (z) + hW (c)i = 0
∂z
∂z
(10)
Тогда для установившегося режима для корреляционной функции нужно было бы оставить три независимых переменных: z – положение центра
по ширине слоя, θ – направление и r – длина отрезка, соединяющего рассматриваемые точки. Причем переменные r и θ должны рассматриваться
как переменные сферической системы координат при условии отсутствия
зависимости от третьей переменной φ. С целью уменьшения числа независимых переменных предполагается, что корреляционная функция не за-
9
z
1
θ
x1
o
r
o
η
o
x2
0
Рис. 1: Расчетная область и независимые переменные.
висит от направления θ. Это очень сильное предположение допустимое
только в режиме иллюстрирующем возможности рассматриваемого подхода. Оценки, сделанные на предыдущем этапе [6], показали допустимость
такого упрощения.
Уравнение для корреляционной функции при возможности химических
превращений содержит слагаемые, отсутствующие в (11)
hc(x1 )W (c)|x2 i + hc(x2 )W (c)|x1 i,
для вычисления которых необходимо знание двухточечной ПРВ скаляра.
Так как основной задачей является создание метода определения ПРВ скаляра, уравнение для корреляционной функции (R = R (z, r, θ)) будет использоваться в виде, не учитывающем прямого влияния химических процессов. Учитывается только влияние среднего поля на корреляционную
функцию. Это связано с тем, что на данном этапе определяется принципиальная возможность восстановления ПРВ по результатам расчета корреляционной функции.
1 ∂
∂
(D (z ) + Dm)
R+
2 ∂z
∂z
1 ∂
∂
+ 2 r2 Drm R = 0
r ∂r
∂r
(11)
Здесь Drm - коэффициент, содержащий коэффициенты вихревой диф-
10
фузии и молекулярного переноса
µ
¶
BLL (r)
Drm = [D (z + r) + D (z − r)] 1 −
+ 2Dm
BLL (0)
(12)
С целью избежать вырождения граничных условий для R, интервал
изменения значения скаляра выбирается −0.5 ≤ C ≤ 0.5. Вообще говоря,
переход к такому интервалу не является необходимым. Но в результате
мы получаем симметричное распределение корреляционной функции, что
в принципе могло быть использовано для сокращения объема вычислений
и служить контролем правильности расчетов при отказе от сокращения
объема вычислений.
Для расчета химических превращений систему уравнений (10)(11) необходимо дополнить уравнением для ПРВ скаляра P (z, c) в форме уравнения
для функции распределения
Z ∞
F (z, c) =
P (z, c0 )dc0
c
.
∂
∂F (z, c)
∂
(D(z ) + Dm)
F (z, c) + W (c)
∂z
∂z
∂c
+β(z)M icromixingmodel[F ] = 0
(13)
Здесь W (c) – выражение для скорости химической реакции, а β(z) – интенсивность скалярной диссипации, которая вычисляется по результатам
расчета корреляционной функции. В нашем случае
β(z) = 2Dm
¯
∂2
¯
R(z, r)¯
2
∂r
r=0
(14)
В качестве модели микросмешения рассматривается простейшая ланжевеновская релаксационная модель [9]:
M icromixingmodel[F ] = −(c − C(z))
∂F (z, c)
∂c
(15)
Решение поставленной задачи определяется следующими параметрами: D0 – значение коэффициента турбулентной диффузии в центре слоя;
δ – параметр, определяющий толщину пограничного слоя, в котором коэффициент турбулентной диффузии изменяется от нулевого значения на
границах слоя до максимального значения D0 ; λ – величина внутреннего масштаба турбулентного поля скорости; Dm – величина коэффициента
молекулярного переноса скаляра. А также выражением для скорости химической реакции:
11
(
Da ∗ (c − cmin) ∗ (cmax − c) cmin < c < cmax
W (c) =
0
в противном случае
(16)
и величиной параметра Da, представляющего число Дамкелера.
Величина коэффициента турбулентной диффузии задавалась соотношениями
D (z ) = D0 D1 (z ) D1 (1 − z )
D1 (z ) =
z 3 /δ 3
D1m (1 + z 3 /δ 3 )
(17)
(18)
где D1m – значение D1 (z ) в центре слоя.
Выбор такой зависимости определяется рядом причин. Первая – обращение коэффициента турбулентной диффузии в ноль на границах слоя
принципиально, так как только в этом случае удается разделить действие
турбулентного и молекулярного переносов на распределение среднего значения. Только, если на границах Dm 6= 0, возникают потоки вещества
скаляра с границ и происходит обмен веществом между потоком и границами. В потоке же происходит только перенос и смешение. В результате
оказывается, что при Dm = 0 отсутствуют поступления от границ свежих порций скаляра и решение для среднего не зависит от граничных
условий и может принимать любое постоянное значение. В то же время
предел при Dm → 0 имеется. При этом среднее значение постоянно и равно (C(0) + C(1)) /2. Наконец, третья степень в зависимости (18) выбрана
в соответствии с условиями, накладываемыми на нормальную к стенке
компоненту скорости и масштаб, на твердой стенке. Естественно, что при
выполнении условия D(z) = 0 на границах большое влияние на распределение скаляра оказывает пограничный слой, в котором происходит рост
коэффициента турбулентной диффузии.
Зависимость для корреляционной функции поля скорости использовалась в виде
BLL (r )
−r2
= exp( 2 )
BLL (0 )
4λ
3.1
(19)
Безразмерные переменные
Во всех расчетах величина D0 полагалась равной единице, что вместе с
равенством единице толщины рассматриваемого слоя эквивалентно некоторому обезразмериванию задачи. При этом используется масштаб длины
12
равный реальной толщине слоя и коэффициент турбулентной диффузии
для обезразмеривания коэффициента в (10). Это превращает величину Dm
в комбинацию чисел Рейнольдса и Прандтля:
Dm =
k
P rRe
(20)
где число Рейнольдса вычисляется по пульсационной компоненте скорости и ширине канала, а величина k зависит от отношения интегрального
масштаба турбулентности к ширине канала и от коэффициента kT в выражении:
Dt = kT u0 l
(21)
Для характерной для дальнейших расчетов величины Dm = 0.005 и числа
P r = 0.7 число Рейнольдса оказывается порядка 7000.
3.2
Граничные условия и схема расчета.
Необходимость одновременного расчета системы из трех уравнений с различными наборами независимых переменных приводит к тому, что граничные условия распадаются на группы. Первая для среднего поля и ПРВ:
z = 0 : C(0) = 0, F (0, c) ≡ 0
z = 1 : C(0) = 1, F (0, c) ≡ 1
(22)
Дополнительно для ПРВ:
c = 0 : F (z, 0) ≡ 1
c = 1 : F (z, 1) ≡ 0
(23)
И, наконец, для корреляционной функции:
η + r = 1 : R(0, r) = C(1) ∗ C(η − r)
η − r = 0 : R(0, r) = C(0) ∗ C(η + r)
(24)
Взаимосвязь между уравнениями такова. Среднее поле определяет граничное условие для корреляционной функции, когда одна из точек попадает на границу области. Корреляционная функция определяет скорость
микросмешения (14) и, наконец, из решения уравнения для ПРВ определяется средняя скорость реакции, что позволяет учесть влияние реакции
на среднее поле. В принципе, можно было бы обойтись без уравнения для
среднего, так как среднее поле легко вычисляется по известной ПРВ, но
сравнивая два решения мы получаем дополнительную возможность контролировать правильность вычислений. Точно также распределение пульсаций рассчитывается по корреляционной функции и по известной ПРВ.
13
Предварительные расчеты среднего поля и корреляционной функции
показали, что величина диссипативного члена в уравнении для ПРВ чрезвычайно велика, что вместе с наличием малого параметра Dm не позволяет
находить стационарные решения уравнения для ПРВ иначе как методом
установления. Все расчеты производились с двойной точностью. Расчеты
среднего поля производились с использованием процедуры DBVPFD из
IMSL библиотеки, работающей по метода Ньютона с автоматическим выбором сетки. В зависимость от режима количество узлов менялось от 50
до 2000 при очень малом значении параметра Da.
Расчета корреляционной функции с использованием процедур библиотеки NAG 1980 гг., реализующих метод SIP (сильно неявная процедура) на переменной сетке размерностью от 51х51 до 155х101. Несмотря на
то, что условия симметрии позволяют проводить расчеты корреляционной функции в треугольной области 0 < η < 0.5, 0 < r < η, использующиеся процедуры плохо справлялись с условием Неймана, возникающим при η = 0.5. Поэтому расчеты проводились в прямоугольной области
0 < η < 1, −1 < r < 1 и граничное условие (24)ставилось на внутренней
линии.
Расчет ПРВ также производился с использованием тех же процедур
библиотеки NAG и в некоторых случаях с использованием пакета MUDPACK2D, реализующего многосеточный метод на прямоугольной сетке с
постоянным шагом, позволяющего строить находить стационарное решение без использования метода установления. Использование сетки с постоянным шагом не позволяло надеяться на достаточную точность решения
при малых значениях параметра Da. Поэтому использование этого пакета использовалось только для подтверждения правильности полученных
результатов.
Результаты расчетов.
Во всех случаях расчеты велись с двойной точностью. Параметры, определяющие окончание сходимость, задавались как 10−9 . Попытки считать
с меньшей точностью неоднократно приводили к получению физически
необъяснимых результатов. Как и следовало ожидать, результаты расчета
средних полей по программе DVPFD и уравнения для ПРВ совпадали во
всех случаях с точностью, не позволяющей различить эти результаты на
графиках. Сложнее с расчетами интенсивностей пульсаций, производимыми по уравнениям для корреляционной функции и для ПРВ. Наблюдалось
расхождение порядка 7% при совпадении формы распределения (рис. 2).
Это расхождение может быть вызвано особенностями вычислений при наличии больших параметров, что не позволяет достаточно точно описать
процессы в пограничных слоях.
14
0.125
for R
0.1
<c’ 2>
0.075
for PDF
0.05
0.025
0
0
0.25
0.5
0.75
1
Z
Рис. 2: Сравнение распределений дисперсии, полученных при расчете корреляционной функции и ПРВ.
3.3
Химическая реакция при отсутствии турбулентности
Результаты расчетов при отсутствии химических превращений приведены в [6]. Далее рассматриваются только результаты расчетов при наличии
химических превращений, которые удобно сравнить с результатами расчетов при отсутствии турбулентности. На рис. 3 приведены распределения
величины скаляра для разных значений числа Дамкелера. Особенностью
решения является увеличение градиента скаляра при значении z = 1 и
уменьшение градиента на другом конце слоя, что вызвано уменьшением
потока вещества за счет исчезновения части его в результате химической
реакции. На рисунке изображены также зоны в которых происходят химические превращения и диапазон значений скаляра, в котором превращения
происходят. С увеличением числа Дамкелера ширина зоны реакции уменьшается, и зона реакции приближается к границе z = 1.
3.4
Химическая реакция в турбулентном потоке
Одной из целей расчетов было определение влияния химических процессов на микросмешение, которое в рассматриваемом случае характеризуется распределением скалярной диссипации. Возможно из-за того, что в
расчетах не учитывалось прямое влияние химических процессов на корреляционную функцию, заметного влияния не обнаружено. Распределение
диссипации не чувствительно к изменению числа Дамкелера. При росте
числа Дамкелера от 0 до 100 диссипация уменьшается на несколько %.
Также слабо влияет число Дамкелера на интенсивность пульсаций скаляра. При росте числа Дамкелера от 0 до 100 величина hc02 i увеличивается
15
Laminar with W=/=0
W =/= 0 only for 0.7<U<0.9
1
0.8
Da
C
0.6
0
0.4
100
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Z
Рис. 3: Распределение значений скаляра при отсутствии турбулентности для разных значений числа Дамкелера и диапазон значений, в
котором происходят превращения (горизонтальная зона) и область,
в которой происходят превращения (вертикальная зона).
на несколько %.
Значительно заметнее химические процессы влияют на распределение
среднего значения скаляра. В отличие от случая отсутствия турбулентности зона, в которой происходят химические превращения при наличии
турбулентного переноса, занимает практически всю ширину канала (см.
рис. 4). Распределения среднего значения скаляра для двух значений числа
Дамкелера приведены на рисунке 5). Особенно эти изменения существенны вблизи границ канала, где происходит заметное изменение градиентов
скаляра. У поверхности z = 1 (см. рис. 6) градиент увеличивается, вблизи
этой поверхности происходит наиболее интенсивная реакция. У поверхности z = 0 (см. рис. 7) градиент скаляра уменьшается по сравнению со
случаем отсутствия реакции, что, как и ранее, объясняется исчезновением части переносимого компонента в химической реакции. Интересно, что
непосредственно на границах средняя скорость реакции равна нулю, но
градиент средней скорости по нормали к стенке нулю не равен.
Приведенные результаты показывают, что вычислив ПРВ скаляра, мы
получили возможность получения всех необходимых нам деталей рассматриваемого явления.
16
Da = 10
1
1
0.75
0.75
<C>
Da = 0
0.5
Z
0.5
10
0.25
0.25
0
-0.003
-0.002
-0.001
0
0
0
0.25
0.5
<W>
0.75
1
Z
Рис. 4: Распределение средней Рис. 5: Распределение среднего
скорости химических превраще- значения скаляра по ширине каний по ширине канала. Da = 10. нала при химических превращениях. Da = 10.
1
Da = 0
0.2
0.9
10
<C>
<C>
Da = 0
0.8
0.1
10
0.7
0.6
0.99
0.995
0
1
Z
0
0.005
0.01
Z
Рис. 6: Распределение среднего Рис. 7: Распределение среднего
значения скаляра у границы z = значения скаляра у границы z =
1. Da = 10.
0. Da = 10.
17
4
Заключение.
Ранее [6],было показано, что модель микросмешения, основанная на уравнении для корреляционной функции скалярного поля, позволяет описать
явления, происходящие при вырождении скалярного поля, и особенности
процесса смешения в пограничном слое. Для применения разработанного
подхода к описанию турбулентных реагирующих потоков уравнение для
корреляционной функции дополнено уравнением для плотности распределения вероятности скаляра. Это позволило, используя простейшую модель микросмешения, получить распределение ПРВ и рассчитать среднюю
скорость химических превращений. Удается описать влияние интенсивности химических процессов (число Дамкелера) на распределения среднего
значения скаляра, дисперсии, скалярной диссипации. Дальнейшее совершенствование модели связано с уточнением описания влияния химических
процессов на скалярную диссипацию.
Работа поддержана программой ОЭММПУ №1 "Интегрированные модели физической механики".
Список литературы
1. Mantel T., Borghi R. A New Model of Premixed Wrinkled Flame Propagation Based on a Scalar Dissipation Equation. //Combust. and Flame.
1994. V.96. №4. P. 443-457.
2. Skurygin E.F., Vorotintsev M.A., Martem’yanov S.A. Space-time fluctuation of a passive impurity concentration within the diffusion boundary
layer in the turbulent flow of a fluid//J. Electroanal. Chem. 1989. V.259.
№1–2. P. 285-293.
3. Скурыгин Е.Ф. Cпектр автокорреляции пульсаций тока электрода в
условиях хаотического турбулентного течения электролита. //Теоретические основы химической технологии. 2001. Т.35. №6. С. 547-581.
4. Ивенских Н.Н., Красицкий В.П., Патрикеев Д.О., Фрост В.А. Моделирование влияния турбулентности на молекулярный перенос на
основе двухточечного описания: Препринт №711. М.: ИПМех РАН,
2002. 28 с.
5. Frost V.A., Ivenskikh N.N., Krasitskii V.P. The problems of stochastic
description of turbulent micromixing and combustion on the base of twopoint probability distribution functions: Препринт №699. М.: ИПМех
РАН, 2002. 26 с.
6. Красицкий В.П., Фрост В.А. Молекулярный перенос в турбулентных потоках. //Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2007. №2, 4658
18
7. Frost V.A., Krasitskii V.P., Hierro J. Description of molecular mixing
in turbulent flows based on twopoint PDF equation for passive scalar//
Micromixing in turbulent reactive flows.Ed. S.Frolov, V.Frost, D. Roekaerts.
Moscow, Russia: TORUS PRESS. 57-63, 2004.
8. Каминский В.А., Рабинович А.Б., Фрост В.А. Моделирование турбулентного микросмешения и уравнение для корреляционной функции скалярного поля//Химческая физика, 2005. 24(5), 47-58
9. Frost V.A. The mathematical model of turbulent combustion. //In Proceedings of the 3th USSR Meeting on theory of combustion/ M., 1960,
pp. 121-125.
10. Eswaran V., O’Brien E.E., Deckert A. The modeling of the two-point
probability density function of a reacting scalar in isotropic turbulence.
//Combust. Sci. Technol. 1989. V. 65. №1. P. 1-18.
11. Fedorov A., Frost V., Kaminsky V. Turbulent transfer modeling in flows
with chemical reactions // Transport phenomena in combustion: Proc.
8th Intern. Symp: Ed. by S.H. Chan San Francisco: Taylor and Francis.
1995. V. 2. P. 933-944.
19
Список иллюстраций
1
2
3
4
5
6
7
Расчетная область и независимые переменные. . . . . . . .
Сравнение распределений дисперсии, полученных при расчете корреляционной функции и ПРВ. . . . . . . . . . . . . . .
Распределение значений скаляра при отсутствии турбулентности для разных значений числа Дамкелера и диапазон значений, в котором происходят превращения (горизонтальная
зона) и область, в которой происходят превращения (вертикальная зона). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распределение средней скорости химических превращений
по ширине канала. Da = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распределение среднего значения скаляра по ширине канала
при химических превращениях. Da = 10. . . . . . . . . . . .
Распределение среднего значения скаляра у границы z = 1.
Da = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Распределение среднего значения скаляра у границы z = 0.
Da = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
15
16
17
17
17
17
Содержание
1 Введение
3
2 Постановка задачи. Основные предположения.
2.1 Уравнение для среднего поля скаляра. . . . . . . . . . . . . .
2.2 Определение коэффициентов Dt и Dr. . . . . . . . . . . . . .
2.3 Статистическая достоверность предложенного замыкания. .
4
6
7
8
3 Расчет процесса смешения при наличии химической
ции.
3.1 Безразмерные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Граничные условия и схема расчета. . . . . . . . . . . .
3.3 Химическая реакция при отсутствии турбулентности .
3.4 Химическая реакция в турбулентном потоке . . . . . .
4 Заключение.
реак.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
12
13
15
15
18
20
Владимир Андреевич Фрост1
Владимир Петрович Красицкий2
1
Институт проблем механики, РАН
2
Институт океанологии им. П.П.Ширшова, РАН
Уравнение для корреляционной функции и
плотность распределения вероятности скаляра
в турбулентных реагирующих потоках
Подписано к печати 24.05.2007. Заказ N0 11-2007. Тираж 30
экз.
Отпечатано на ризографе Института проблем механики РАН
119526, Москва, пр-т Вернадского, 101, к. 1.
Бесплатно