распределения масштабов длины и времени

УДК 532.517.4
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСШТАБОВ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ ПАССИВНОГО
ПОЛЯ КОНЦЕНТРАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
А.Д. Чорный, В.А. Бабенко
ГНУ «Институт тепло- и массообмена им. А.В.Лыкова» НАН Беларуси
Из рассмотрения совместной статистики скаляра и его градиента получено
соотношение для расчета функции плотности распределения вероятностей ft l (j )
масштабов длины пассивного скалярного поля концентрации в однородной
турбулентности. Выведенное замкнутое уравнение для ft l (j ) решалось численно с
помощью данных прямого численного моделирования однородной турбулентности для
средних характеристик, входящих в уравнение в качестве коэффициентов. Приведено
сравнение полученных результатов при различных числах Прандтля - Шмидта.
Ключевые слова
Однородная турбулентность, метод функции плотности распределения
вероятностей, масштаб длины, расчет.
Введение
Турбулентность значительно интенсифицирует смешение и перенос свойств
среды в потоке. Без эффективного смешения были бы вообще невозможны многие из
процессов в окружающей среде и технических устройствах, связанных с пламенами и
химическими реакциями, распространением примесей. И хотя изучение турбулентного
смешения имеет уже довольно длительную историю, полного понимания его природы
пока не достигнуто. Уравнения, с помощью которых описываются турбулентные
потоки, известны, но численное их решение сталкивается с многими проблемами.
Развивающееся в связи с прогрессом в компьютерных технологиях прямое
численное моделирование (ПЧМ) сложных турбулентных потоков до сих пор не может
быть использовано для практически значимых задач [1]. Поэтому продолжается
разработка статистических подходов с тем или иными способами осреднения. Одним
из них является метод функции плотности распределения вероятностей (ФПРВ)
различных гидро- и термодинамических параметров [2], который плодотворно
используется при изучении реагирующих сред.
Преимущества метода ФПРВ состоят прежде всего в простом и точном
представлении влияния химических источников на изменения искомых величин и
меньших затратах компьютерного времени расчета. Основной проблемой в нем
остается задача моделирования вклада в общую картину смешения процесса
тонкоструктурного смешения поля скаляра (микросмешения). Микросмешение
определяет механизм, с помощью которого приведенное в состояние "грубой
однородности" осредненным течением и крупными вихрями в потоке поле скаляра
дробится статистически однородным турбулентным полем скорости вплоть до самых
малых масштабов турбулентности за счет мелкомасштабного движения среды и далее
до молекулярного уровня посредством молекулярной диффузии.
Наличие всевозможных значений величин поля скаляра и существование целого
спектра масштабов создает постоянно взаимодействующие категории турбулентного
смешения: эволюция спектра масштабов длины приводит к постоянному изменению
граничных условий для действия молекулярной диффузии, тем самым воздействуя на
скорость изменения величин пульсаций скалярного поля. При этом структура поля
скалярных пульсаций более зависит от малых масштабов, непосредственно влияющих
на скорость диссипации скалярных пульсаций, чем от больших.
В зависимости от постановки задачи в качестве скалярного поля выбираются
температура, концентрация реагентов или инертной примеси, переменные ШвабаЗельдовича для турбулентных потоков с неперемешанными реагентами либо степень
развития реакции для потоков с предварительно перемешанными реагентами [2].
Обычно для характеристики диффузионных процессов используется одноточечная
ФПРВ таких случайных величин.
Одноточечная статистика скалярных полей, к сожалению, не содержит
информации о пространственной структуре турбулентности. Модели, оперирующие
двухточечной и многоточечной статистикой [3], существенно сложнее для реализации
и поэтому менее распространены в вычислительной практике. В рамках одноточечных
моделей пространственную структуру турбулентности можно учесть с помощью
моделирования спектра масштабов длины и времени турбулентных пульсаций.
Задача учета существующего спектра характерных масштабов длины и времени
при турбулентном смешении остается необходимой, но нетривиальной задачей [4].
Структура ФПРВ должна определяться всеми деталями поля скаляра, а не только ее
средними характеристиками, такими как средний масштаб и скорость диссипации
пульсаций скаляра [5]. В [6] приведен расчет одноточечной ФПРВ скаляра,
демонстрирующей существенно не гауссову двумодовую форму на промежуточных
этапах смешения. Найденная в результате решения для одномасштабной модели
функция осреднялась по спектру масштабов длины с помощью заданной и неизменной
формы ФПРВ масштабов длины.
В [7] получено выражение для ФПРВ масштабов длины с учетом фрактального
характера поверхностей, разделяющих области различной концентрации в
турбулентном потоке. Данная форма была использована для получения аналитических
соотношений для условной скорости скалярной диссипации и плотности поверхностей
равной концентрации, на основе гипотезы о типичных реализациях скалярного
турбулентного поля на различных этапах его эволюции [7, 8].
Многомасштабный характер турбулентного смешения тесно связан с
распределением масштабов времени в турбулентных потоках. В [9] распределения
характерных временных масштабов изучались на основе данных ПЧМ в задаче
смешения скалярных полей. Как показано в [10], принятие во внимание распределения
временных масштабов является важным при изучении диффузионных пламен с
кинетическими эффектами. В упомянутой работе заданная форма функции ФПРВ
масштабов времени используется в модельном соотношении средней скорости
химической реакции.
Цель работы состоит в том, чтобы показать возможность определения масштабов
длины и времени путем рассмотрения статистики полей скаляра и его градиента,
получить связь ФПРВ масштабов длины скаляра с совместной ФПРВ скаляра и
величины его градиента в виде интегрального соотношения и балансового уравнения.
Обычно масштабы длины и времени турбулентности получают из совместной
статистики пульсаций скорости и градиента скорости, что не всегда адекватно по
отношению к полю пульсаций скаляра, поскольку соответствующие числа Прандтля -
Шмидта могут заметно отличаться от единицы. Кроме того, для турбулентных
реагирующих потоков существенный интерес имеют распределения масштабов длины
и времени в пространстве скаляра, поскольку именно они определяют свойства
турбулентного поля в зонах локализации реакции. Поэтому выведем уравнения для
распределений масштабов длины и времени, пользуясь полученным ранее уравнением
для совместной ФПРВ скаляра и его градиента [11].
1. Определение масштабов длины и времени скалярного поля
Рассмотрим турбулентное смешение динамически пассивного скалярного поля
концентрации предварительно неперемешанных реагентов. Это означает, что ни
перенос поля скаляра, ни происходящие в нем химические реакции не оказывают
влияния на поле скорости. Такая идеализация предполагает, что концентрации
реагирующих компонент в общей смеси невелики; теплота реакции считается
пренебрежимо малой и, следовательно, реакция изотермическая; плотность смеси и
кинематическая вязкость постоянны. Также обычно предполагается, что коэффициенты
молекулярной диффузии каждой из компонент и смеси равны и неизменны [12]. В
практически важных приложениях такое упрощение не всегда допустимо. Когда в
потоке существуют большие градиенты температуры, это приводит к существенной
неоднородности поля плотности и, таким образом, воздействию поля скаляра на поток.
В пределе же пассивного скаляра считается, что изменение плотности незначительно.
Несмотря на такое ограничение, подходы, используемые при моделировании смешения
пассивных скаляров, являются востребованными в инженерных разработках [12].
Общий подход при моделировании предварительно неперемешанных
турбулентных реагирующих потоков основан на изучении статистики двух величин:
консервативного скаляра, представляющего собой коэффициент смеси либо
концентрацию инертной примеси C , и величи ны егоградиента C , связанной со
скоростью диссипации пульсаций скаляра c C
C в турбулентном потоке [1], где
- знак осреднения. В этом случае изменение скалярного поля описывается
посредством известного уравнения конвекции-диффузии без источниковых членов,
характеризующих влияние химического реагирования [2].
При рассмотрении статистически однородного поля консервативного скаляра с
постоянным средним C const процесс исчезновения неоднородностей в потоке
определяется динамикой пульсаций скаляра c (далее просто скаляра):
c
t
ui c
xi
1 2c
Pe xi2
(1)
где Pe - число Пекле; ui - статистически однородное случайное поле скорости,
считающееся известным.
Уравнение (1) может быть записано в виде
c2
t
ui c 2
xi
1 2c 2
Pe xi2
2
c
(2)
1 c c
Pe xi xi
Здесь величина c c
1
Pe
c
2
является мгновенной скоростью диссипации
скаляра. Осреднение уравнения (2) дает уравнение для дисперсии скаляра c 2
t [1]. В
случае изотропных турбулентных полей при больших числах Рейнольдса получаем
связь c 2 t со средней скоростью диссипации скаляра c t
c c в виде [1]
c2 t
2
t
t
Средние масштабы времени tc t и длины lc t
поля скаляра являются по существу
интегральными характеристиками его спектрального состояния и соотносятся как [1, 2]
tc t
c2 t
lc2 t Pe
2c t
6
. Смысл масштаба длины поля скаляра lc t
аналогичен тейлоровскому микромасштабу длины поля скорости lt t
где urms t
2
3 c t
Pe c t
2
15 urms t
,
Re
t
2KT (t ) / 3 - среднеквадратичная пульсация поля скорости, KT (t) -
кинетическая энергия турбулентности, e t
- диссипация пульсаций скорости, Re -
число Рейнольдса
Подобным образом введем определение для локального масштаба времени
рассеяния неоднородностей за счет молекулярной диффузии на локальном масштабе
длины lc
tc
c
2c c
lc Pe
,
6
(3)
где масштаб длины, на котором реализуется пульсация концентрации (величина
скаляра), определяется как
lc
3 c2
Pe c c
3c/
c.
(4)
Физически этот масштаб длины является характеристикой размера областей
(толщиной диффузионных слоев) в турбулентном скалярном поле, которые разделяют
регионы с различной концентрацией, а соответствующая ему ФПРВ показывает
вероятность существования этих областей.
Соотношение (4) показывает, что lc определяется как частное абсолютных
значений скаляра и его градиента, т.е. совместной статистикой c и
выражается в терминах соответствующей ФПРВ двух величин Pxi ,t
c , которая
,W , где
, W -
вероятностные переменные для c и c . Здесь и далее подстрочные индексы означают
зависимость функции от пространственной и (или) временной переменных.
2. Аналитическое соотношение для ФПРВ масштабов длины скаляра
Для получения формы ФПРВ масштабов длины скаляра воспользуемся
сведениями из общей теории вероятностей [13]. Рассмотрим некоторую совместную
ФПРВ двух случайных величин f1 ,f 2 равную f xi ,t y 1 ,y 2 . Предположим, что область
определения переменных fmin
частного l
f1 fmax и 0 f2
, причем fmin
0 . Запишем ФПРВ
f1 f 2 . По определению функция распределения случайной величины l
имеет вид F l (j )
j . Тогда искомая вероятность равна вероятности
rob f1 / f2
попадания точки
f1 ,f 2
неравенствам jf 2
в ту часть области определения, которая удовлетворяет
f1 jf 2 , т.е.
fmax
F l (j
)
dy 2
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1
0
fmin
f max / j
fmin / j
f max
dy 2
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1
0
dy 2
jy 2
.
jy 2
(5)
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1
0
fmin
Поскольку первый интеграл по условию нормировки для ФПРВ равен 1, то из (5)
получим
fmax / j
fmin / j
l
F (j )
1
1
(y 2 ,j )dy 2
2
0
(y 2 ,j )dy 2
fmax
где
1
1 F
F ,
0
jy 2
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1 и
(y 2 ,j )
2
(y 2 ,j )
jy 2
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1 .
fmin
Продифференцировав по переменной j последнее равенство, найдем плотность
вероятности частного. Воспользуемся формулой математического анализа для
дифференцирования интегралов, зависящих от параметра:
b (j )
d
f x,j dx
dj a (j )
b (j )
a (j )
f x,j
dx
j
f b (j ),j
d b (j )
dj
Тогда
F
j
F
j
fmax / j
j
fmax / j
0
0
fmin / j
j
1
1 (y 2 ,j )dy 2
fmin / j
2
2 (y 2 ,j )dy 2
0
(y 2 ,j )
dy 2
j
0
(y 2 ,j )
dy 2
j
f a (j ),j
da (j )
.
dj
(6)
К подынтегральным выражениям в этих соотношениях применим формулу (6):
fmax
f max
f xi ,t (y1 ,y2 )
f max
1 (y 2 ,j )
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1
dy 1
f xi ,t (fmax ,y 2 )
j
j jy 2
j
j
jy 2
jy 2
f xi ,t (jy 2 ,y 2 )
j
2
y 2 f xi ,t (jy 2 ,y 2 )
jy 2
(y 2 ,j )
j
j
jy 2
f xi ,t (y1 ,y2 )
dy
j
f xi ,t (y 1 ,y 2 )dy 1
fmin
f min
f xi ,t (fmin ,y 2 )
j
fmin
1
jy 2
f xi ,t ( jy 2 ,y2 )
j
y 2 f xi ,t ( jy 2 ,y2 )
Отсюда следует, что искомая ФПРВ равна
fmax / j
f
l
xi ,t
j
fmin / j
y 2 f xi ,t ( jy 2 ,y 2 )dy 2 .
y 2 f xi ,t (jy 2 ,y 2 )dy 2
0
(7)
0
Теперь вводя соответствие переменной f1 скаляру c , а f 2 - величине его
градиента c с совместной ФПРВ Pxi ,t ,W , для ФПРВ масштабов длины скаляра
получаем
3
f
l
xi, t
max
/j
j
3
min
/j
WP xi, t jW / 3,W dW
WP xi, t jW / 3,W dW
0
f (j )
f (j ) .
(8)
0
где j - вероятностная переменная масштаба lc , max , min - максимальное и
минимальное значения скаляра.
Таким образом, если известна форма совместной ФПРВ скаляра и величины его
градиента или замкнутое уравнение для него, то ФПРВ масштабов длины скаляра
рассчитывается посредством (8) либо путем вывода и решения соответствующего
уравнения для искомой функции. Знание этой функции позволяет определять и
характерные средние масштабы длины и времени скалярного поля
j f l, (j )dj
,
l
c
xi t
0
Pe
t
j 2 f l (j )dj
i
6
c
x ,t
0
Следует отметить, что формула (8) справедлива для произвольных скаляров, не
обязательно обладающих свойством консервативности. Например, в случае
предварительно перемешанных смесей таким скаляром может выступать степень
развития реакции, уравнение для которой содержит источниковые члены [1].
3. Уравнение для ФПРВ масштабов длины консервативного скаляра
Для получения уравнения для ФПРВ масштабов длины скаляра воспользуемся
известным замкнутым уравнением для совместной ФПРВ консервативного скаляра и
величины его градиента [11], выведенное в предположении однородной и изотропной
турбулентности:
Pt
2
W2
Pe
,W
t
Pt
,W
SUC (t) e (t) Re
W
2
15
2
W2
WPt
Pe c (t )
1
,W
(9)
2
Nt
Pt
W2
Pe
,W
2
W2
WPt
Xt
Pe
,W
W
В данное уравнение входит совместная асимметрия градиентов пульсаций скорости
u
и скаляра SUC t
c
2
1/ 2
2 1/ 2
u
. Функции N t
2
c
и Xt
в уравнении (9)
задаются формулами:
1 IV
DCC 0, t 5 3T 2 t 1 ˆ 2
6
Nt
2
где T
2
t
c
2
c
2
c2
2
x1
c
c (t ) Pe ˆ
3 c2 t
, Xt
(10)
2
- квадрат коррелятора между полями
2
x1
скаляра и его второй пространственной производной, а функция
IV
DCC
r, t
-
производная четвертого порядка от DCC r, t , которая является структурной функцией
второго порядка поля скаляра при нулевом значении переменной r ; ˆ
Для удобства дальнейших выкладок запишем (9) для функции f
W2
Pe
f
t
2
f
2
Nt
Pe
SUC t
2
6
W2
e t Re
W
15
W
4
W W
Для слагаемого
1
2
W2
f
2
W2
Pe c t
X
WPt :
f
(11)
t
Pe
c 2 (t) .
/
f
W
W
f (j ) из определения (8) запишем уравнение следующим
образом. Считая, что
jW / 3 и W W воспользуемся следующими формулами
преобразования от одних переменных к другим
3
,
W j
W
2
W2
W
j
W j
W
j
,
W j
W
j
W j
2
2
2
3
,
W 2 j2
2
W2
2
2
j
W W j
2
j
W2 j
j
W
2
2
j2
.
Учитывая
преобразования,
уравнение
переписывается
(11)
для
функции
f jW / 3,W . Проинтегрировав его по соответствующему интервалу с учетом
граничных условий и формулы (6) получаем уравнение для f (j ) следующего вида:
f (j )
t
2
3
Pe
f (j )
j2
1
SUC (t ) e (t ) Re
j 1
2
15
j
Pe c (t)
3
max
/j
W 3 f t W j dW f (j )
0 44
424444
3
14
I3
3
2
2
4
j
B(t)j f (j ) A(t )j f (j )
2
max
/j
W 1 ft W j dW
0 44
14
424444
3
I
.
2 c (t )
j
j f (j )
3 c 2 (t) j
j
1
Здесь приняты во внимание известное свойство (теорема Байеса [13]) для условных
функций распределения f f j
f f ,j f j и конкретный вид выражений (10), где
IV
IV
1 DCC 0, t
1 DCC 0, t
2
A(t )
5 3T t , B(t )
T 2 t / c 2 (t ) .
6
Pe
6
Pe
Поступая аналогично для пары переменных
jW / 3 и W W , можно
получить уравнение для функции f (j ) , имеющее почти такой же вид. Отличие
заключается в том, что вместо интегралов I 3 и I
3
min
/j
3
W 3 f t W j dW , I
I3
min
1
будут соответственно интегралы
/j
W 1 ft W j dW . Тогда искомое уравнение для
1
0
0
ФПРВ масштабов длины f t j записывается как
l
ft l j
t
3
Pe
2
4
l
ft l j
j2
1
SUC (t ) e (t ) Re
j 1
I3
2
15
j
Pe c (t)
ft l j
.
2
j2
I3
B(t)j f t j
A(t)j
2
I
1
I
1
l
ft j
(12)
2 c (t )
j
j ft l j
2
j
j
3 c (t)
Уравнение (12) является незамкнутым вследствие неопределенности входящих в
него величин интегрального типа. Для их аппроксимации воспользуемся
предположением о форме c 2 - распределения модуля трехмерного вектора для
условной
функции
1/ 2
распределения
ft W j
2 1
W 2 exp
3
p s
W2
,
2s 2
s
c (t) Pe/ 3
- дисперсия величины градиента скаляра. Тогда,
соответствующие пределы интегрирования и то, что
где
учитывая
W
W
2 1 2
W exp
p s3
3
W2
dW
2s 2
W2
dW
2s 2
2 1 2
W exp
p s3
1
2
4 s 3 exp
p
2 1
exp
p s
W2
2s 2
W2
1
2s 2
2
1 ,
W2
,
2s 2
неизвестные суммы в (12) вычисляются и уравнение полностью замыкается.
4. Метод решения уравнения для ФПРВ масштабов длины скаляра
Для удобства численного решения запишем уравнение (12) через кумулятивную
j
функцию распределения Ft (j )
l
ft l (j )dj :
0
Ft l j
t
3
Pe
B(t )j 4
j
2
Ft l j
j2
A(t)j 2 I
SUC (t ) e (t ) Re
1
1
I3
2
15
Pe c (t)
1
I
1
Ft l j
j
2 c (t )
j
3 c 2 (t)
I
j
3
j
Ft l j
j
j
Ft l j
j
.
(13)
Граничные условия ставятся, исходя из свойств этой функции, то есть
Ft l (j )
,
0 Ft l (j )
j 0
1.
(14)
j
Следует отметить, что уравнения (12) и (13) наследуют такое свойство уравнения
(9), как его обратно-параболический вид [14], что делает задачу некорректной [15].
Поэтому для преодоления численной неустойчивости рассмотрим (13) обратно по
времени. Для этого поставим некоторое “стартовое” условие в момент времени t T
для достаточно большого T , и реализуем численное решение от этого значения до
t 0 . Возможность использования такого подхода обсуждается в [16], а в [17] он
использован для решения системы уравнений для нахождения условной скорости
скалярной диссипации в однородном турбулентном потоке.
При t T
представим ФПРВ масштабов длины скаляра в форме
2
l
2j / L exp j 2 / L2 , что соответствует гауссовой аппроксимации функции
ft
t T
распределения вероятностей
Ft l
t T
1 exp
j 2 / L2 ,
(15)
где коэффициент L связан со средним масштабом длины скаляра при t T .
Поскольку для обратного направления времени (13) имеет форму уравнения
конвекции-диффузии, для численного решения воспользуемся монотонной разностной
схемой для параболических уравнений общего вида второго порядка аппроксимации
[18, стр. 401]. Неизвестные коэффициенты, входящие в уравнение (13), могут
выбираться из результатов ПЧМ либо расчета по модельным соотношениям [19]. При
IV
этом, поскольку функция DCC 0, t
выражается через дисперсию c 2 t , среднюю
скорость диссипации скаляра c t
и совместную асимметрию полей градиентов
пульсаций скорости и скаляра SUC t [19], то для нахождения эволюции форм f t l j
внешними параметрами являются три последние из упомянутых величин, а также
кинетическая энергия поля скорости KT t и скорость ее диссипации e t .
Эти коэффициенты как функции времени при различных числах ПрандтляШмидта Sc были получены с помощью ПЧМ, описанного в работе [19], в рамках той
же серии численных экспериментов. ПЧМ выполнялось для однородного и
изотропного турбулентного потока несжимаемой среды в вычислительной области в
3
форме куба размером 2
с количеством узлов 128 3 . Для этого привлекался
псевдоспектральный код решения уравнений Навье-Стокса и переноса скаляра [20].
Как поле скорости, так и поле скаляра эволюционировали без подкачки энергии извне и
были затухающими. Поле скаляра, в качестве которого выступала концентрация смеси,
было химически инертным с постоянным средним C 0.7 . Максимальное
безразмерное волновое число равнялось k 383 . Начальное поле состояло из
крупномасштабных пульсаций, что соответствовало острым пикам при малых
значениях k в распределениях турбулентной энергии E k , t и интенсивности
пульсаций концентрации (скаляра) E C k , t по спектру волновых чисел (рис. 1 в [19]).
Начальное состояние определяется следующими безразмерными параметрами,
совпадающими с условиями ПЧМ из работы [19] (таблица).
Таблица. Начальные параметры из ПЧМ [19]
Число Рейнольдса Re U 0 L0 /n
Число Прандтля-Шмидта Sc n / D
Турбулентное число Рейнольдса Rel 0
736.7
urms lt /n
Кинетическая энергия KT 0
1.5
Диссипация поля скорости e 0
3.46
Дисперсия поля скаляра c 2
0.62
0
Диссипация поля скаляра c 0 Sc
Левый предел изменения величины скаляра
Правый предел изменения величины скаляра
Расчетная область L
3
0
L0
0.5; 0.7; 1
56.45
1.45
min
max
7/3
3/ 7
2
3
Обезразмеривание проводится с помощью характерных масштабов длины
2p , равной размеру ребра вычислительной области, скорости U 0 urms 0 1.407 ,
где urms 0
t0 L0 / U 0
диффузии
- среднеквадратичная пульсация поля скорости при t
0 , времени
и кинематической вязкости
0.012 , связанной с коэффициентом
D через число Прандтля-Шмидта Sc . В качестве параметра
обезразмеривания скалярных величин выбирается дисперсия полностью разделенного
поля скаляра s0 c 2
0.21 . Такое значение получается из предположения о форме
s
одноточечной ФПРВ скаляра в виде двух
Безразмерная дисперсия скаляра
- функций при
c
2
t
min
и
max
.
является характеристикой уровня
интенсивности разделенности скалярного поля, т.е. мерой разности концентраций
между соседними малыми объемами среды. При t 0 она определяется условиями
введения случайного поля концентрации в поток и вычисляется по начальному
распределению интенсивности пульсаций концентрации по волновым числам. В этот
момент
c2
E
0
C
k , 0 dk
0.62 , что говорит о достаточно сильной степени
0
разделенности начального поля концентрации. Если бы в потоке не было процесса
молекулярной диффузии, а происходило лишь измельчение поля концентрации
статистически однородным полем скорости, то величина
c2 t
оставалась бы
постоянной. Дисперсия выступает как показатель мелкомасштабного диффузионного
переноса и когда она уменьшается до нуля, можно говорить, что система полностью
перемешана. Темп, с которым достигается такое состояние, определяется средней
1
скоростью диссипации скаляра t
k 2 E C k , t dk .
Sc Re 0
C
k , 0 и отношение
Поскольку начальное спектральное распределение E
тейлоровских микромасштабов времени поля скорости и поля скаляра для всех чисел
Прандтля-Шмидта Sc в ПЧМ [19] выбираются одинаковыми, то варьирование
величины Sc приводит к разному значению отношения диссипативных масштабов
длины lt / lc . Это означает, что в начальный момент времени поле скаляра имеет разную
структуру, так как для всех Sc поле скорости было одним и тем же. Поэтому
начальные уровни скорости диссипации скаляра
0 отличаются на множитель
равный Sc .
5. Обсуждение результатов
5.1.
Анализ данных ПЧМ, используемых при нахождении ФПРВ
масштабов длины скаляра
Средние характеристики поля скаляра, как функции времени, при различных
числах Прандтля-Шмидта показаны на рис. 1. Будем ссылаться на них как [19],
поскольку эти коэффициенты были получены с помощью ПЧМ [19] в той же серии
вычислительных экспериментов, но не вошли в [19].
На рис. 1а представлена эволюция дисперсии и средней скорости диссипации
скаляра. Поскольку источников возникновения турбулентной энергии изотропного
поля скаляра не существует, происходит его вырождение для всех величин Sc , и
дисперсия
c2
t
убывает со временем. Увеличение числа Прандтля-Шмидта
приводит к затягиванию вырождения скалярного поля, поскольку при этом
интенсивность турбулентного переноса ослабевает.
(t)Sc
2
<c >(t)
SUC(t)
-0.1
1
1
-0.2
1
-0.3
0.1
3
3
-0.4
2
2
1
0.2
3
0.01
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
-0.5
0.0
а)
Рис. 1. Данные ПЧМ [19]: а) дисперсия c 2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
б)
t
(прерывистая линия) и средняя скорость диссипации
скаляра c t , помноженная на Sc (сплошная линия); б) совместная асимметрия градиентов
пульсаций скорости и скаляра SUC t . для различных значений числа Прандтля - Шмидта (1 - Sc 1 ,
2 - Sc
0.7 , 3 - Sc
0.5 ):
Скорость диссипации скаляра
t
изменяется во времени немонотонно (рис. 1
а). На начальном участке происходит снижение
t
для всех Sc , что объясняется
«дроблением» турбулентным полем скорости поля скаляра, существенно разделенного
при t 0 ( c 2 0 0.62 ). Это приводит к увеличению среднего размера
диффузионных слоев и сдвигу пика распределения интенсивности пульсаций
C
k , t в сторону меньших k . Такой сдвиг сопровождается
концентрации E
уменьшением скорости диссипации скаляра
t . Далее турбулентное поле
продолжает «размалывать» неоднородности поля скаляра, что характеризуется
утоньшением диффузионных слоев, начинается активная стадия диссипативного
процесса с тесным взаимодействием механических турбулентных движений и
молекулярной диффузии. Пик распределения E C k , t при этом сдвигается в сторону
больших волновых чисел k , и происходит рост диссипации, связанный с ростом
энстрофии скаляра. В потоке появляется значительное количество мелкомасштабных
областей перемешанной среды, разделяющих регионы с существенно различной
концентрацией, происходит обострение градиентов поля скаляра.
При c 2 t 0.5 быстрая стадия перемешивания заканчивается, скорость
диссипации скаляра достигает своего локального максимума
t (рис. 1 а). При
дальнейшей эволюции определяющим является механизм молекулярной диффузии.
Молекулярная диффузия обеспечивает движение молекул поперек границ областей
неперемешанной среды, уменьшая, таким образом, дисперсию c 2 t
и увеличивая
характерный размер диффузионных слоев. Вследствие значительного понижения
уровня дисперсии происходит и уменьшение скорости скалярной диссипации
t для
всех значений Sc . Однако, турбулентность по-прежнему участвует в измельчении поля
концентрации, создавая тем самым новые граничные условия для действия
молекулярной диффузии.
На рис. 1б показано изменение совместной асимметрии градиентов пульсаций
скорости и скаляра SUC t со временем. Эта функция представляет корреляцию между
мелкомасштабными турбулентными деформациями поля скорости и существующими
градиентами скаляра в потоке. Она показывает интенсивность воздействия
гидродинамического поля на поле скалярных неоднородностей и служит множителем у
соответствующего члена в уравнении (9) для совместной ФПРВ скаляра и его
градиента. Как видно из рис. 1 б, за исключением начальной области функция SUC t
не зависит от величин рассматриваемых чисел Прандтля - Шмидта и принимает
значения близкие к асимптотическому значению 0.4 . Анализ, приведенный в [21],
показал, что такое асимптотическое поведение SUC t выполняется в широком
диапазоне чисел Sc (от 0.04 до 144).
5.2.
Результаты расчета ФПРВ масштабов длины скаляра и ее
статистических моментов
Рассмотрим эволюцию форм ФПРВ масштабов длины скаляра f t l j в виде
зависимости от уровня дисперсии скаляра c 2 t . График изменения масштаба длины
для числа Прандтля-Шмидта Sc 0.7 приведен на рис. 2. Для других значений Sc
динамика изменения ФПРВ аналогична.
При c 2 t 0.62 форма f t l j , полученная в результате решения (13) - (15)
обратно по времени, имеет вид плавной функции с существованием в потоке широкого
диапазона масштабов скаляра (рис. 2 а, кривая 1). Далее происходит ее сдвиг в сторону
больших значений j . Доля таких масштабов возрастает (рис. 2 а, кривые 2, 3). При
дисперсии скаляра порядка c 2
t
0.58 (при этом
t достигает своего локального
минимума) начинается обратное движение пика распределения
ft l j
с его
дальнейшим ростом (рис. 2 а, кривые 3, 4, 5). После достижения уровня дисперсии
c 2 t 0.5 и преодоления скоростью диссипации скаляра
t своего максимума
начинается медленная эволюция f t l j (рис. 2 б, в, г) в направлении больших величин
j . При этом вероятность существования широкого диапазона масштабов скаляра
падает.
Объяснить такое поведение ФПРВ масштабов длины можно, рассмотрев
статистические моменты этой функции – средние масштабы длины и времени и
дисперсию масштабов длины (рис. 3).
В начальный промежуток времени возмущенное поле скаляра дробится и
деформируется полем скорости до характерных минимальных масштабов
турбулентности, действие молекулярной диффузии незначительно. Увеличение
площади диффузионных слоев за счет этого отражается на возрастании среднего
масштаба длины скаляра (рис. 3 а). Далее на фоне уменьшения инерционности
турбулентного поля скорости наступает активная фаза действия механизма
молекулярной диффузии, которая сглаживает границы между областями разной
концентрации. Появляется большое количество тонких диффузионных слоев,
разделяющих такие области. Поэтому средний масштаб длины и дисперсия масштабов
уменьшаются (рис. 3 а, б).
ft ( )
5
40 00
1
ft ( )
4
2
3
40 00
4
5
3
30 00
30 00
2
20 00
20 00
1
10 00
10 00
0
0 .0 01
0 .0 02
0
0.00 20
0 .0 03
0.00 24
а)
0.00 28
0.00 32
б)
ft ( )
f ( )
1
24 00
80
20 00
2
16 00
60
40
3
4
4 00
5
0
0 .0 00
0 .0 08
2
0 .0 16
0 .0 24
3
4
20
0
0.0
5
0.1
в)
0.2
г)
Рис. 2. ФПРВ масштабов длины скаляра в различные моменты времени для Sc
c
2
t
0.62 , 2 - 0.6 , 3 - 0.58 , 4 - 0.55 , 5 - 0.5 ; б) 1 - c
0.34 ; в) 1 - c 2
t
2
t
0.7 : а) 1 -
0.5 , 2 - 0.45 , 3 - 0.4 , 4 - 0.37 , 5 -
0.3 , 2 - 0.2 , 3 - 0.12 , 4 - 0.09 , 5 - 0.06 ; г) 1 - c 2
t
0.05 , 2 - 0.04 , 3 - 0.03 , 4
- 0.025 , 5 - 0.02 .
Образование впоследствии крупных объемов перемешанной среды в потоке как
результата действия молекулярной диффузии, приводит к увеличению
относительного веса больших масштабов диффузионных слоев. Это проявляется в
росте среднего масштаба длины (рис. 3 а). В то же время возрастание дисперсии
масштаба длины (рис. 3 б) не позволяет говорить об исчезновении малых масштабов,
что видно из формы f t l j в виде плавных функций в широком диапазоне своей
области определения (рис. 2 в, г).
На рис. 3 также представлена зависимость средних масштабов длины и времени
скаляра от числа Прандтля-Шмидта. Для всех Sc изменение этих масштабов
сопряжено с динамикой диссипативных процессов происходящих в потоке вырождением интенсивности разделенности поля скаляра
определяемым
скоростью
диссипации
скаляра
t .
c2
t
с темпом,
Относительно
слабая
инерционность турбулентного поля скаляра для меньших чисел Прандтля-Шмидта Sc
приводит к более быстрому его вырождению. Такое обстоятельство также вносит
различие в формы ФПРВ масштабов длины скаляра для различных значений числа Sc
при одном и том же уровне дисперсии скаляра (рис. 4).
2
< c>
3
2
0.1
23
-3
10
1
1
1x10-5
0.01
-7
10
1E-3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 0-9
t
0.0
0.2
0.4
а)
0.6
0.8
1.0
б)
Рис. 3. а) средний масштаб длины
< c>/Sc
lc ,
2
3
1
t
1
0.1
б)
дисперсия
s l2
lc2
времени
lc
масштаба
2
длины
, в) средний масштаб
t c , деленный на Sc , для
0.01
различных
числа
Прандтля-
Шмидта Sc (обозначения рис. 1).
1E-3
0.0
значений
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
в)
Заключение
На основе совместной статистики пассивного скалярного поля концентрации и
его градиента рассмотрен процесс тонкоструктурного перемешивания в однородной
турбулентности. Такой подход позволил получить интегральное выражение ФПРВ
масштабов длины скаляра через совместную ФПРВ скаляра и его градиента.
Выведенное замкнутое уравнение для ФПРВ масштабов длины скаляра решено
численно. Показано существенное различие в эволюции форм искомой функции, а
также среднего масштаба длины и времени в зависимости от числа Прандтля-Шмидта.
Авторы благодарят доктора Хуана Хиерро (Университет г. Сарагоса, Испания) за
проведение прямого численного моделирования и предоставление необходимых
данных. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных
исследований Республики Беларусь (Т01 – 118) и фонда INTAS (2000-353).
1
ft ( )
ft ( )
1
2
60 00
8 00
2
6 00
40 00
4 00
3
20 00
2 00
3
0
0
10 -4
10 -3
10 -2
10 -3
10 -2
а)
ft ( )
б)
ft ( )
1
25 00
20 00
2 00
1
1 50
2
2
15 00
3
1 00
10 00
3
50
5 00
0
10 -3
0
10 -2
10 -2
10 -1
в)
Рис. 4. ФПРВ масштабов длины скаляра при
c2
t
г)
c2
t
0.62 (а), c 2
t
0.5 (б), c 2
t
0.2 (в),
0.05 (г) для различных значений числа Прандтля-Шмидта (обозначения рис. 1).
Литература
1. Veynante D., Vervisch L. Turbulent combustion modeling // Prog. In Energy and Comb.
Sci. 2002. Vol. 28. P. 193-266.
2. Dopazo C., Valino L., Fueyo N. Statistical description of the turbulent mixing of scalar
fields // Int. Journal of Modern Phys B. 1997. Vol. 11, № 25. P. 2975-3014.
3. Фрост В.А., Ивенских Н.Н., Красицкий В.П. Описание турбулентного
микросмешения при помощи двухточечных функций распределения вероятностей.
Препринт № 699. Москва: Институт проблем механики РАН. 2002. 26 с.
4. Сосинович В.А., Сидорович Т.В. Роль плотности вероятности масштабов при
описании процесса турбулентного смешения // Сб. «Реодинамика и конвекция».
Мн.: ИТМО им. А.В.Лыкова, 1982. С. 157-162.
5. Сосинович В.А. О теоретическом описании турбулентного смешения скалярных
полей // Препринт № 20. 1986. Минск: ИТМО. 28 с.
6. Сосинович В.А. Многомасштабный характер процесса турбулентного смешения //
Весцi Акадэмii навук БССР. Серыя фiзiка-энергетычных навук. 1989. № 2. С. 85-90.
7. Sosinovich V.A., Babenko V.A., Sidorovich T.V. Many-length scale fractal model for
turbulent mixing of reactants // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 42. P. 39593966.
8. Сосинович В.А., Жукова Ю.В. Модель поверхности равной концентрации в
турбулентном реагирующем потоке // ИФЖ. 2002. Т. 75, № 3. С. 51 - 62.
9. Dopazo C., Martin J., Valino L. Characteristic time distributions in scalar mixing //
Advances in Turbulence / Ed. U.Frisch. Kluwer Academic Publ. 1998. Vol. 7. P. 599-602.
10. Obounou M., Gonzales M., Borghi R. A lagrangian model for predicting turbulent
diffusion flames with chemical kinetic effects // XXV Symp. (Int.) on Comb. / The
Combustion Institute. 1994. P. 1107-1113.
11. Сосинович В.А., Бабенко В.А., Жукова Ю.В. Замкнутое уравнение для совместной
плотности распределения вероятностей величин флуктуаций турбулентного
скалярного реагирующего поля и его градиента // ИФЖ 1998. Т. 71, № 5. С. 827-849.
12. Warhaft Z. Passive scalars in turbulent flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. Vol. 32. P.
203-240.
13. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Москва: Наука, 1965. 400 с.
14. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
427 с.
15. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.
224 с.
16. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. М.: Наука, 1986. 288 с.
17. Сосинович В.А., Бабенко В.А., Жукова Ю.В. Вывод и численное решение системы
уравнений для одноточечной плотности вероятностей и условной скорости
диссипации турбулентных пульсаций скалярного поля // ИФЖ. 1999. Т. 72, № 2. С.
275-288.
18. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
19. Бабенко В.А., Жукова Ю.В., Сосинович В.А., Хиерро Х. Статистические
коэффициенты в уравнении для совместной плотности распределения вероятностей
скаляра и его градиента // ИФЖ. 2004. Т. 77. № 2. C. 65-74.
20. Eswaran V., Pope S.B. Direct numerical simulations of the turbulent mixing of a passive
scalar // Phys. Fluids. 1988. Vol. 31. P. 506-520.
21. Brethouwer G. Mixing of passive and reactive scalars in turbulent flows. A numerical
study. Ph.D. Thesis. Delft: Technical University. 2000. 195 p.