Лекция 3. 3. Аналитическая геометрия в пространстве. Опр.1 Прямоугольные декартовы координаты в пространстве вводятся следующим образом: выбирается точка О (начало координат); проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые ох, оу, oz (ось абсцисс – ох, ось ординат – оу, ось аппликат -oz ); выбирается единица масштаба. Опр.2 Точка М в пространстве определяется тремя числами: абсциссой х, ординатой у, аппликат z и записываем М(х; у; z). Опр.3 Оси координат ох, оу, oz разбивают координатное пространство на 8 частей называемых октанты. Опр.4 Уравнением поверхности в пространстве называется уравнение f ( x, y, z ) 0 с переменными x , y , z, которому удовлетворяют координаты любой точки на данной поверхности и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной поверхности. Опр.5 Общим уравнением плоскости называется уравнение первой степени относительно текущих координат x , y , z вида Ах Ву Сz D 0 , где А, В, C коэффициенты одновременно неравные нулю. Опр.6 Уравнением плоскости, проходящим через точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно вектору n( A, B, C ) называется уравнение вида А( х x0 ) В( у y0 ) С ( z z0 ) 0 . Опр.7 Уравнение плоскости Ах Ву Сz D 0 называется полным, если А, В, C , D отличны от нуля, в противном случае уравнение плоскости называется неполным. Частные случаи неполного уравнения плоскости. 1. D 0 , то уравнение плоскости имеет вид Ах Ву Сz 0 , плоскость проходит через начало координат. 2. А 0 , то уравнение плоскости - Ву Сz D 0 , плоскость параллельна оси ох; В 0 , то уравнение плоскости - Ах Сz D 0 , плоскость параллельна оси оу, С 0 , то уравнение плоскости - Ах Ву D 0 , плоскость параллельна оси oz. 3. А В 0 , то уравнение плоскости - Сz D 0 , плоскость параллельна плоскости хоу; В С 0 , то уравнение плоскости - Ах D 0 , плоскость параллельна плоскости zоу, А С 0 , то уравнение плоскости - Ву D 0 , плоскость параллельна плоскости хоz. 4. А В D 0 , то уравнение Сz 0 - уравнение плоскости хоу; В С D 0 , то уравнение Ах 0 - уравнение плоскости zоу, А С D 0 , то уравнение Ву 0 уравнение плоскости хоz. Опр.8 Уравнением плоскости в отрезках на осях является уравнение плоскости не параллельной осям координат и не проходящей через точку О и имеющее вид х у z 1 , где А(а;0;0) , В(0; b;0) , - точки пересечения с осями координат. а b c Опр.9 Общее уравнение прямой в пространстве определяется пересечением плоскостей и задается следующей системой: A1 x B1 y C1 z D1 0, A B1 C1 , если 1 . A2 B2 C2 A2 x B2 y C2 z D2 0 Опр.10 Каноническим уравнением прямой, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) x x0 y y0 z z0 параллельно вектору s (m, n, p) , называется уравнение . m n p Опр.11 Уравнением прямой проходящим через точки М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2) называется x x1 y y1 z z1 уравнение вида . x2 x1 y2 y1 z 2 z1 Основные виды поверхностей второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид, цилиндр, конус. ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 - сфера с центром в точке ( x0 , y0 , z0 ) и радиусом R , x2 a2 z x2 a2 y2 b2 z2 c2 x2 y 2 z 2 1 - эллипсоид, 2 1 - гиперболоид, a b2 c2 x2 y2 x2 y2 1 - цилиндр, параболоид, a 2 b2 a 2 b2 y2 z2 0 - конус. b2 c2