УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Донбасская государственная машиностроительная академия

Министерство образования и науки, молодежи и спорта
Донбасская государственная машиностроительная академия
Составитель Костиков А.А.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Методические указания
к выполнению практических работ
для студентов направлений подготовки
6.040303 «Системный анализ»
Краматорск 2012
УДК 519, 92 (076.5)
Методические указания к выполнению контрольной работы по
дисциплине «Уравнения математической физики»(студентов 3-го курса
специальности 6.040303 «Системный анализ» заочной формы обучения)
/ Сост. А.А.Костиков - Краматорск, ДГМА, 2012. – 29С.
Приведены теоретические сведения для выполнения контрольной
работы и варианты заданий.
Составитель
А.А.Костиков, доц.
Введение
Курс «Уравнения математической физики » занимает важное место
среди прикладных математических дисциплин. В процессе работы над
курсом студенты должны на основе рассмотренных примеров освоить
процедуру построения математических моделей физических процессов и
явлений, изучить методы исследований возникающих при этом
математических задач, научиться делать физические выводы из полученных
математических результатов.
В соответствии с учебным планом студенты специальности 6.040303
выполняют контрольную работу.
Правила оформления контрольной работы
Контрольная работа выполняется в тетради, состоящей из восемнадцати листов.
Каждое задание должно содержать:
- Номер варианта
- Условие индивидуального задания
- Подробное решение задачи
- Результат решения задачи.
Вариант выбирается по номеру в списке группы(табл.1)
Таблица 1
№
варіанту
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
13
11
15
16
25
16
24
18
2
18
3
12
7
8
10
25
12
25
1
11
17
11
12
22
25
2
6
2
13
25
17
10
10
21
4
6
6
21
13
24
2
16
12
14
22
25
16
17
8
2
17
Завдання
3
5
17
17
19
9
8
10
7
24
9
11
4
12
3
20
6
10
17
11
10
6
22
16
25
15
4
22
2
7
17
11
15
25
12
17
2
5
15
8
18
2
10
3
23
16
14
11
6
1
11
4
5
2
22
5
13
14
22
21
24
20
8
3
19
23
16
3
10
3
12
22
15
10
23
5
20
5
№
варіанту
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1
5
9
12
11
16
4
6
8
18
24
20
8
12
12
21
22
11
25
1
25
20
19
17
18
2
2
25
21
8
4
10
20
10
18
19
23
7
15
20
8
24
19
19
11
8
5
11
17
18
25
24
Завдання
3
19
17
20
18
19
16
8
14
20
19
19
9
14
3
21
20
17
11
24
14
19
22
19
23
14
4
5
5
19
23
23
3
13
16
16
22
3
20
15
2
9
7
15
24
14
25
8
23
5
15
24
5
16
13
19
18
17
6
24
23
8
19
2
21
2
9
4
7
22
8
21
1
17
7
1
12
20
Содержание
Введение
3
Практическая работа 1. Приведение линейных дифференциальных
уравнений второго порядка к каноническому виду
5
Практическая работа 2. Решение задачи Коши для уравнений
гиперболического типа
8
Практическая работа 3. Решение задачи Коши для уравнений
параболического типа
10
Практическая работа 4. Решение начально-краевых задач для
эволюционных уравнений методом Фурье
13
Практическая работа 5. Решение краевых задач для эллиптических
уравнений методом Фурье
23
Литература
31
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
Приведение линейных дифференциальных уравнений
второго порядка к каноническому виду
Краткие теоретические сведения
Пусть u ( x, y ) удовлетворяет уравнению
 2u
 2u
 2u
u u
A
 2B
C
 F ( x, y , u ,
, )  0.
xy
x y
x 2
y 2
Если
AC  B 2  0,
то
(3.1)
уравнение
эллиптического
(1.1)
типа,
если
AC  B 2  0, то (1.1) уравнение параболического типа, если AC  B 2  0, то
(3.1) уравнение гиперболического типа.
Вводя переменные   1 ( x, y ),    2 ( x, y ) таким образом, чтобы якобиан
J  0,
 
x
J  x 
y y
1 ( x, y )  c1 ,  2 ( x, y )  c 2  общие интегралы уравнения характеристик
2
2
  
 
  
  0
A   2 B
 C 

x

x

y

y
 



dy
которое, в силу того, что
  x , можно записать в виде
dx
y
Ady   B  B 2  AC  dx
(1.2)


получим канонический вид уравнения (3.1) относительно новых переменных:
 2u
 2u
 2u ~
u u
A
 2B
C
 F ( ,  , u ,
,
)  0,
 
 
 2
 2
где
2
2
  
 
  
A  A   2 B
 C   ,
x y
 x 
 y 
     
 
 
BA
 B

  C
,
x x
y y
 x y x y 
2
2
  
 
  
C  A   2 B
 C   .
x y
 x 
 y 
Если (1.1) уравнение гиперболического типа, то уравнение характеристик
(1.2) имеет два независимых решения, при этом A  C  0 , тогда уравнение
(1.1) приведется к виду
 2u

u u 
   ,  , u ,
,

(1.3)







Вводим замену переменных x     , y     , тогда (1.3) примет
канонический вид:

 2 u  2u
u u 

 4 x , y , u , ,  .
x y 
 x2  y2

Если (1.1) уравнение параболического типа, то (3.2) имеет один общий
интеграл 1 ( x, y )  c1 , вторая функция  2 ( x, y ) выбирается произвольно,
таким образом, чтобы якобиан преобразования J  0 .
Если уравнение (3.1) эллиптического типа, то уравнения (3.2) комплексно
сопряжены. Пусть  ( x, y )  const  комплексный интеграл уравнения
Ady   B  B 2  AC  dx , тогда  * ( x, y )  const  интеграл уравнения


Ady   B  B 2  AC  dx , где  * ( x, y )  функция, комплексно сопряженная с


 ( x, y ) . Перейдем к комплексным переменным    ( x, y ),    * ( x, y ) ,
тогда уравнение (3.1) приведется к виду
 2u
u u 
~
   ,  , u ,
,
 .







Чтобы остаться в действительной области введем переменные
  ~  
~
x
, y
, таким образом получим канонический вид уравнения
2
2i
 ~
 2u  2 u
u u 

  ~
x , y , u , ~ , ~  .
x y 
~
x 2 ~y 2

Пример решения
Привести к каноническому виду уравнение U xx  2U xy  U yy  4U  0 .
Решение.
Здесь A=1, B=1, C=1, B 2  AC =0, это означает, что заданное
уравнение есть уравнение параболического типа.
Характеристическое уравнение
dy A  B 2  AC

dx
A
имеет вид
dy
 1  dy  dx и y  x  C . Или y  x  C .
dx
Положим   y  x . В качестве другой новой переменной возьмем
  x  y . (В качестве η можно взять любое другое соотношение, линейно
независимое с ξ).
Частные производные от новых переменных равны:
 x  1 ,  y  1 ,  x  1 ,  y  1 .
Тогда:
U x  U    x  U   x  U   U  ,
U y  U    y  U    y  U   U ,
U xx  U    x  U    x  U    x  U    U   2U   U  ,
U xy  U    y  U    y  U    y  U   y  U   U  ,
U yy  U    y  U    y  U   y  U   y  U   2U   U
Подставим полученные значения Uxx, Uxy, Uyy
Выполнив алгебраическое сложение, получим:
4U  4U  0 , или U  U  0 .
в уравнение.
Варианты заданий
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Uxx+2Uxy-Uyy+Ux+Uy=0;
Uxx+4Uxy+4Uyy-4Ux-2Uy=0;
Uxx-2Uxy+Uyy+2Ux-2Uy=0;
Uxx+6Uxy+9Uyy+Ux+3Uy=0;
Uxx-6Uxy+9uyy-2Ux+6Uy=0;
Uxx+2Uxy+Uyy-3Ux-3Uy=0;
Uxx-4Uxy+4Uyy+3Ux-6Uy=0;
9Uxx+6Uxy+Uyy-9Ux-3Uy=0;
Uxx+8Uxy+16Uyy-Ux-4Uy=0;
Uxx-2Uxy+Uyy+4Ux-4Uy=0;
16Uxx+8Uxy+Uyy-8Ux-2Uy=0;
Uxx+4Uxy+Uyy+8Ux+4Uy=0;
Uxx-8Uxy+16Uyy+3Ux-12Uy=0;
9Uxx+6Uxy+Uyy-12Ux-4Uy=0;
16Uxx+8Uxy+Uyy-16Ux+4Uy=0;
Uxx+10Uxy+25Uyy+Ux+5Uy=0;
Uxx+2Uxy+Uyy+5Ux=0;
Uxx-10Uxy+25Uyy+2Ux-10Uy=0;
4Uxx-4Uxy+Uyy-10Ux+5Uy=0;
4Uxx+8Uxy+3Uyy=0;
3Uxx+8Uxy+4Uyy=0;
3Uxx+4Uxy+Uyy=0;
Uxx+4Uxy+3Uyy=0;
6Uxx+16Uxy+3Uyy=0;
3Uxx+16Uxy+16Uyy=0;
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Решение задачи Коши для уравнений гиперболического
типа
Краткие теоретические сведения
Рассмотрим задачу Коши для уравнения колебаний бесконечной струны:
требуется найти решение u(x, t) уравнения
ut t  a 2 u x x ,
 x  , t 0,
удовлетворяющее начальным условиям
u(x, 0) (x),
u t (x, 0)  (x).
Решение задачи Коши определяет формула Даламбера (см. [1], с.49)
 x  a t  x a t 
1 x a t
u(x, t) 

  (s) d s.
2
2 a x a t
Примеры решения
1. Найти решение уравнения ut t ux x , если u(x, 0)  x 2 , ut (x, 0) 1.
Решение. Здесь a1, (x)  x 2 ,  (x) 1. Отсюда
x  t 2   x  t  2 1 x  t

1 xt
u(x, t) 

dS x 2  t 2  S
,
2

2 x t
2 xt
или
u(x, t)  x 2  t 2  t.
2. Найти форму струны, определяемой уравнением ut t  4u x x в момент

времени
t ,
если в начальный момент заданы условия:
2
u(x, 0) sin x, u t (x, 0)0.
Решение. Подставим исходные данные в формулу Даламбера:
u(x, t) 
sin  x  2t sin  x  2t  1
  sin x cos 2t 
2
2
 cos x sin 2t sin x cos 2t cos x sin 2t sin x cos 2t.
При
t

2
решение примет вид:
 
u  x,  sin x.
 2
Варианты заданий
Найти решение задачи Коши для уравнения колебаний струны
ut t  a 2 u x x ,
 x  , t 0, с начальными условиями u(x, 0)=f(x),
ut(x, 0)=Ф(x) .
Номер варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Начальные условия
f ( х)
Ф( х)
6
sin x
7
0
0
2 sin x
x
2
( x  1) sin x
(1  x 2 ) cos x
3 x(1  x)
1.2 x  x 2
x
(1  x) cos
2
( x  0.4) sin x
(2  x) sin x
(2  x) sin x
x
cos
2
x sin x
x
x cos
2
x( x  1)
x( x  1)
x cos x
x( x  1)
x
( x  1) sin
2
2
( x  1)(1  x)
0.5 x( x  1)
x
( x  0.5) sin
2
( x  0.5)( x  1)
0.5( x  1)
x(2 x  0.5)
( x  0.2) sin
1 x2
x2  x
2 x  0.6
cos( x  0.5)
( x  0.6) sin x
2x  1
( x  1) 2
( x  0.6) 2
( x  0.3) 2
x2
( x  1) 2
2x 2
cos x
cos x
x( 4  x)
cos x
1 x2
1  sin x
x cos x
1 x2
sin( x  0.2)
( x  0.5) cosx
cos(2 x)
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3
Решение задачи Коши для уравнений параболического типа
Краткие теоретические сведения
Рассмотрим задачу Коши для уравнения распространения тепла в
однородном бесконечном стержне: требуется найти решение
u(x, t)
уравнения
ut  a 2 ux x ,  x  , t 0,
удовлетворяющее начальному условию
u  x, 0  x .
Применив метод Фурье, получим решение уравнения в виде (см. [1], с.216)
x s  2



2
1
u  x, t 
  s  e 4 a t d s.
2 a  t 
Примеры решения задач
ut  a 2 ux x
распределения температуры стержня:
1. Решить уравнение
для следующего начального
u , 1 x 3,
u(x, 0) (x)  0
0, x 1, x 3.
Решение. Так как (x) на отрезке [1, 3] равна постоянной температуре,
а вне отрезка температура равна нулю, то решение примет вид
x s  2


2
u0 3
u  x, t 
 e 4 a t d s.
2a  t 1
Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей:
1 z 2
 z  
d .
e
0
Действительно, выполняя замену
x s

,
s  x  2 a t ,
2a t
s  1,

x 1
,
2a t
s  3,
d s  2 a t d .

x 3
,
2a t
получим
x 3
x 3
x 1
u 0 2 a t  2
u 0 2 a t  2
u 0 2 a t 2
u  x, t 
d 
d 
d .
 e
 e
 e
 x 1
 0
 0
2a t
Таким образом, решение выразится формулой
  x 1   x 3
u(x, t)  u 0  

  2 a t   2 a t

 .
 
2. Решить задачу Коши
ut  ux x ,  x  , t 0,


1 x, 0 x 1,
u(x,
0)



x 0, x 1.
0,

Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид
 x s 

1 1
u  x, t 
4t
 (1s) e
2 t 0
2
d s.
Выполняя замену

x s
,
2 t
s  0,
s  x  2 t ,

x
2 t
,
d s  2 t d ,
s  1,

x 1
,
2 t
и пользуясь интегралом вероятностей, получим
x 1
1 2 t
2 d 
u  x, t 
 1 x  2 t  e
 x
2 t


x 1
x 1
 x



2 t
2
1 x  2 t 2
t 2 t 2

d   e  d  
d  2 
 e
 e
  x
  0
0


2 t


 
  x 12
2
  x   x 1  
t  
x
(1 x) 
4t e 4t
e
 
 
  2 t   2 t   



.


Варианты заданий
Используя формулу (3.1), найти решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности
1.
Ut=Uxx,
Ut=0=exp(-x2+x);
2.
Ut=2xx,
Ut=0=exp(-x2);
3.
Ut=3Uxx, Ut=0=exp(-2x2);
4.
Ut=4Uxx, Ut=0=exp(-2x2+x);
5.
Ut=5Uxx, Ut=0=exp(-2x2-x);
6.
Ut=6Uxx, Ut=0=exp(-x2-x);
7.
Ut=7Uxx, Ut=0=exp(-2x2+2x);
8.
Ut=8Uxx, Ut=0=exp(-3x2);
9.
Ut=9Uxx, Ut=0=exp(-3x2+x);
10.
Ut=10Uxx, Ut=0=exp(-2x2-2x);
11.
Ut=11Uxx, Ut=0=exp(-3x2-x);
12.
Ut=12Uxx, Ut=0=exp(-4x2);
13.
Ut=13Uxx, Ut=0=exp(-3x2+2x);
14.
Ut=14Uxx, Ut=0=exp(-4x2+x);
15.
Ut=15Uxx, Ut=0=exp(-3x2-2x);
16.
Ut=16Uxx, Ut=0=exp(-4x2-2x);
17.
Ut=15Uxx, Ut=0=exp(-x2+2x);
18.
Ut=14Uxx, Ut=0=exp(-3x2+3x);
19.
Ut=13Uxx, Ut=0=exp(-2x2+4x);
20.
Ut=12Uxx, Ut=0=exp(-x2-2x).
21.
Ut=35Uxx, Ut=0=exp(-8x2-3x);
22.
Ut=36Uxx, Ut=0=exp(-9x2-4x);
23.
Ut=25Uxx, Ut=0=exp(-5x2+3x);
24.
Ut=24Uxx, Ut=0=exp(-3x2+3x);
25.
Ut=23Uxx, Ut=0=exp(-6x2+2x);
26.
Ut=22Uxx, Ut=0=exp(-x2-5x).
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4
Решение начально-краевых задач для эволюционных
уравнений методом Фурье
4.1.Уравнение малых поперечных колебаний струны
Рассмотрим уравнение малых поперечных колебаний струны
 2u
 2u
 a2
 g ( x, t ) ,
(4.1)
2
2
t
x
где u ( x, t )  форма струны в момент времени t.
Пусть требуется найти функцию u ( x, t ) , непрерывную в замкнутой
области    x  , t  0 , удовлетворяющую уравнению (4.1) и
начальным условиям
u
u |t  0  u 0 ( x),
 u1 ( x) .
(4.2)
t t 0
Решение задачи (4.1)(4.2) (задачи Коши) определяется формулой Даламбера
1
1 x  at
1 t
u ( x, t )  u 0 ( x  at )  u 0 ( x  at ) 
 u1 ( )d  2a 
2
2a x at
0
x  a (t  )
 g ( ,  )dd .
x  a (t  )
Пусть требуется найти уравнение движения закрепленной струны, т. е.
функцию u ( x, t ) , непрерывную в замкнутой области 0  x  l , t  0 ,
удовлетворяющую уравнению (4.1), начальным условиям (4.2) и граничным
условиям
u (0, t )  u (l , t )  0 .
(4.3)
Рассмотрим однородное уравнение колебаний
 2u
2
2 u
a
.
2
2
(4.4)
t
x
Решение уравнения будем искать в виде u ( x, t )  T (t ) X ( x) . Подставив
T"
X"
решение в уравнение, получим

 2 , отсюда, учитывая
2
X
a T
граничные условия (4.3), следует
X "2 X  0,
X (0)  X (l )  0 ,
T " a 2 2T  0 .
(4.5)
(4.6)
nx
n
при  
, тогда
l
l
nat
nat
решение уравнения (4.6) T (t )  An cos
 Bn sin
, отсюда, решением
l
l
задачи (4.4), удовлетворяющим условию (4.3) является функция
Задача (4.5) имеет ненулевые решения X n  sin

nat
nat  nx

 Bn sin
.
 sin
l
l
l


n 1
Решение должно удовлетворять начальным условиям (4.2), т. е.

nx
u |t  0  u 0 ( x )   An sin
l
n 1
и
 a
u
nx
 u1 ( x )  
Bn sin
,
t t  0
l
l
n 1
отсюда
u ( x, t ) 
  An cos
2l
nx
An   u0 ( x) sin
dx,
l0
l
2 l
nx
Bn 
u1 ( x) sin
dx .

na 0
l
Решение
неоднородной
задачи
ищем
в
виде

nx
u ( x, t )  w( x, t )   Tn (t ) sin
, где w( x, t ) - решение однородной задачи,
l
n 1
тогда решение задачи (4.1)(4.3) имеет вид

nx  
nat
nat 
nx
u ( x, t )   Tn (t ) sin
   An cos
 B n sin
,
 sin
l
l
l
l


n 1
n 1
где
2l
nx
An   u 0 ( x ) sin
dx,
l0
l
2 l
nx
Bn 
u
(
x
)
sin
dx
1
na 0
l
na (t   )
2 tl
nax
Tn (t ) 
g ( x,  ) sin
sin
dxd .


na 0 0
l
l
Задачу с неоднородными граничными условиями
u (0, t )  1 (t ), u (l , t )  2 (t )
можно свести к задаче с однородными граничными условиями
u (0, t )  u (l , t )  0 ,
если искать ее решение в виде суммы u ( x, t )  v1 ( x, t )  w( x, t ) , где
v1 ( x, t ) 
lx
x
1 (t )  2 (t ) , а функция w( x, t ) является решением однородной
l
l
начально-краевой задачи для уравнения колебаний струны.
Пример решения задачи
Изучить свободные продольные колебания однородного
стержня длиной  , у которого оба конца свободны, при произвольных
начальных данных. Решить задачу в предположении, что длина струны
   , а начальные условия имеют вид: u  x, 0   x, ut  x, 0   2.
Решение. Задача приводится к решению уравнения
ut t a 2 ux x ,
0 x , t 0,
(4.7)
при условиях
u(x, 0) (x), u t (x, 0) (x),
(4.8)
ux (0, t) 0, u x ( , t) 0.
(4.9)
Смешанная задача с краевыми условиями второго типа решается методом
Фурье.
а) Будем искать ненулевое частное решение уравнения (4.7),
удовлетворяющее краевым условиям (4.9), в виде произведения
(4.10)
u(x, t)  X(x) T(t).
Подставляя выражение (4.10) в (4.7), получим
X T 
1
T X
a2
или, после
деления на X T ,
X 1 T

const.
X a2 T
Ненулевая функция (4.10) будет удовлетворять уравнению (4.7) и условиям
(4.9), если функция X(x) – ненулевое решение краевой задачи
0 x ,
X X 0,
(4.11)

X(0) X(  )0,
функция T(t) – ненулевое решение уравнения
T a 2  T 0.
(4.12)
Все решения уравнения (2.5) даются формулой
X(x) C1 cos  x  C2 sin  x.
Удовлетворяя граничным условиям, получим:
X(x)  C1  sin  x  C2
C2  0,


   C1 sin    C2 cos   0,



sin   0 ,

 cos  x,

   n,
(учтено C1  0 , в противном случае X(x)0 ).
Таким образом, при
0,

C2 0,

sin  0,
n 0,1, 2,...

2
n 
 n 
 ,



n 0,1, 2,... ,
имеем бесконечный набор ненулевых решений задачи (4.11)
X n (x)C1 cos
Из уравнения (4.13) при
найдем
n x
,

(4.13)
n 0,1, 2,... .
0 и  n  n 1, 2, ... соответственно
(4.14)
T0 (t) a  b t,
Tn  t an cos n  t  b n sin n  t, 
a
, n 1, 2, ... ,

(4.15)
где a , b, an , b n – произвольные постоянные. Подставляя (4.13), (4.14) и
(4.15) в (4.10), получаем искомый набор функций, удовлетворяющих (4.7) и
(4.9):
u 0 (x, t) C1 a  b t A  Bt,
u n (x, t)C1 cos
cos
n x
 an cos n  t bn sin n  t 

nx
 A n cos n  t Bn sin n  t ,

где A C1 a , BC1 b, A n C1 an , Bn C1 b n , n 1, 2, ... .
б) Будем искать решение краевой задачи (4.7) – (4.9) в виде суммы
решений:

u(x, t)  u 0 (x, t)   u n (x, t) 
n 1

n x
A  Bt   cos
 A n cos n  t  Bn sin n  t .

n 1
Выберем постоянные A, B, A n , Bn так, чтобы
начальным условиям (4.8). При t 0 имеем
u(x, t)
(4.16)
удовлетворяла

n x
u(x, 0)  A   A n cos
(x)

n 1
(4.17)
и
 n a
nx
ut (x, 0) B  
Bn cos
 (x).


n 1
(4.18)
Соотношения (4.17) и (4.18) будем рассматривать как разложение в ряд
Фурье четных на  ,  функций (x) и  (x) с коэффициентами
n a
разложений A, A n и B,
Bn соответственно. Из теории рядов Фурье

известен вид коэффициентов:
1
2
n x
A   (x) d x, A n   (x) cos
d x,
0
0

1
2
B   (x) d x, Bn 
0
2 a
(4.19)

n x
d x, n 1, 2,... . (4.20)
  (x) cos

0
Итак, решение краевой задачи (4.7) – (4.9) представлено в виде ряда
(4.16) с коэффициентами (4.19) и (4.20).
В случае, когда (x) x,  (x)  2,   имеем:
1
1 x2  
A  x d x 
 .
0
 2 0 2
ux
d u d x
An 
2
 x cos n x d x 
0
d cos n x d x

1
 sin n x
n
 1
 2

2 x
  sin n x   sin n x d x 
cos n x 
 n2 
 n
n 0
0
0


 4
2
2
 2 ,
n

 cos n 1 2  1 1   n 
n2 
n 
0,

B
1

Bn 

n  2k 1,
n  2k.

2 
2
d
x

x  2.


0
0

2 
4
2
cos
n
x
d
x

sin
n
x
0.

2
n a 0
0
n a
При вычислении коэффициентов A n использован метод
интегрирования по частям. Окончательно решение примет вид

4  cos 2k 1 x  cos a  2k 1 t
u(x, t)   2t  
.
2
2
 k 0
2k

1


4.2.
Распространение тепла в ограниченном стержне
Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения
теплопроводности
u
 2u
 a2
,
2
t
x
u t  0  u0 ( x ) ,
(4.21)
(4.22)
u x 0  u x l  0 .
(4.23)
Решение задачи (4.21)(4.23) будем искать в виде u ( x, t )  X ( x )  T (t ).
T'
X"
Подставив решение в уравнение, получим

 2 , отсюда, учитывая
2
a T X
граничные условия (4.23),
X "2 X  0,
X (0)  X (l )  0
T ' a 2 2T  0 .
(4.24)
(4.25)
Задача (4.24) имеет ненулевые решения X n  sin
nx
n
при  
, решения
l
l
2 2
уравнения (4.25) есть Tn (t )  C n e  a  t , следовательно, решение задачи
(4.21)(4.23) имеет вид

 a 2 2 n 2t 
nx
.
(4.26)
u ( x, t )   C n  exp 
sin

2
l


l
n 1
Оно должно удовлетворять начальному условию (4.22), тогда
Cn 
2l
nx
u0 ( x ) sin
dx .

l0
l
(4.27)
Решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения
2
u
2  u
a
 f ( x, t )
(4.28)
t
x 2
с начальным и краевыми условиями (4.22), (4.23) будем искать в виде

nx
u ( x, t )  U ( x, t )   Tn (t ) sin
, где U ( x, t )  решение задачи (4.21)(4.23).
l
n 1
Подставив решение в уравнение (4.28), получим, что Tn (t )  есть решение
задачи Коши:
2
 an 

Tn (0)  0, n  1, 2, ... ,
 Tn  f n ,
 l 
2l
n
f n (t )   f ( , t ) sin
d . Для решения задачи
l0
l
Tn'
где
применим

~
преобразование Лапласа T ( p )   Tn (t )e  pt dt , тогда изображение решения
0
~
имеет вид T ( p ) 
Fn ( p )
2
, где Fn ( p ) есть изображение f n (t ) . Отсюда, по
 na 
p

 l 
теореме о произведении изображений, получаем
t
  na  2

Tn (t )   f n ( ) exp  
 t   d .
  l 

0
Следовательно, решение задачи (4.28), (4.22), (4.23) имеет вид
 

 a 2 2 n 2t 
nx

u ( x, t )   Cn  exp 
 Tn (t )   sin
,

2


l


l
n 1



где
2l
nx
Cn   u0 ( x ) sin
dx ,
l0
l
  na  2
 n
2tl
Tn (t )    f ( , ) exp  

t



dd .

 sin
l 00
l
l




Решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения (4.28)
с начальным условием (4.22), и краевыми условиями
u x  0  1 (t ), u x l   2 t 
(4.29)
имеет вид
x
 2 (t )  1 (t )  , где U ( x, t )  решение уравнения
l
2
U
~
2  U
a
 f ( x, t ) ,
t
x 2
удовлетворяющее краевыми условиями (5.6) и начальному условию
x
U t  0  u 0 ( x )  1 (0)   2 (0)  1 (0) ,
l
~
x
где f ( x, t )  f ( x, t )   '1 t    '1 (t )   '2  .
l
u ( x, t )  U ( x, t )  1 (t ) 
Пример решения задачи
Дан тонкий однородный стержень
0 x  , боковая поверхность
которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x, t) в
стержне, если концы стержня x 0, x поддерживаются при нулевой
температуре, а начальная температура
u(x, 0) (x). Решить задачу в
предположении, что (x) u 0 const.
Решение. Задача приводится к решению уравнения
ut a 2 u x x , 0 x  , t 0,
(4.30)
при условиях
(4.31)
u(x, 0) (x),
u(0, t) 0, u( , t)0.
(4.32)
а) Следуя методу Фурье, решение уравнения (4.30), удовлетворяющее
граничным условиям (4.32), будем искать в виде
u(x, t)  X(x) T(t).
(4.33)
Подставив функцию (4.33) в уравнение (4.30) и разделив переменные,
получим
X 1 T

const.
X a2 T
Отсюда следуют задача на собственные значения
X X 0,

X(0)  X(  )0
(4.34)
T a 2  T 0.
(4.35)
и уравнение для функции T(t)
Для задачи (4.34) собственные значения и соответствующие им собственные
функции имеют вид
2
 n
 n 
 ,
  
X n (x) sin
n x
,

n 1, 2, ... .
При  n для уравнения (3.6) запишем общее решение
2
Tn (t)  A n e a  n t ,
A n const.
Подстановка X n (x) и Tn (t) в (4.33) дает набор решений
2
nx
u n (x, t) A n e  a  n t sin
.

б) Решение задачи (4.30) – (4.32) будем искать в виде
2
 an


 t
n x
u(x, t)   A n e    sin
.

n 1
(4.36)
Определим коэффициенты A n так, чтобы выполнялось начальное условие
(4.31). При t 0 получим

n x
u(x, 0)   A n sin
(x).

n 1
Это соотношение представляет собой разложение функции
(x)
в
тригонометрический ряд Фурье, коэффициенты A n определяются по
формуле
2
n x
A n    x  sin
d x.
(4.37)
0

Итак, решение краевой задачи (4.30) – (4.32) представлено в виде ряда
(4.36) с коэффициентами (4.37).
В случае, когда (x)  u 0  const , имеем:
2
nx
2u
n x 
A n   u 0 sin
d x  0 cos

0

n
 0
 4u 0
,
2u 0
n

 1 1   n 
n
0,


n  2k 1,
n  2k.
Окончательно решение примет вид
u(x, t) 
4u 0  1
e

 k 0 2k 1
2k 12 a 2 2


t
2
sin
 2k 1  x .

Варианты заданий
1. Применяя метод Фурье найти функцию U  U ( x, t ) которая является
решением смешанной краевой задачи для уравнения колебаний струны:
U tt  U xx ;
U (0, t )  p (t ) – граничное условие;
U (1, t )  q(t ) – граничное условие;
U ( x, 0)  f ( x ) – начальное условие;
U t ( x, 0)  g ( x) – начальное условие;
в області D : 0  x  1; t  0 , выбирая соответствующие данные из таблицы.
Номер варианта
Граничные условия
Начальные условия
p(t )
q(t )
f (t )
g (t )
1
1
2
4
0
0
5
0
0
6
sin x
7
0
0
2 sin x
3
0
1.2(t  1)
4
0
0.5t
5
0
6
1  0.4t
2t
7
0
0.2  0.5t
8
2t  1
0
9
0.5t
0
10
0.5t
0
11
0.4t
0
12
2t  1
0
13
2t
0
0
x
2
( x  1) sin x
(1  x 2 ) cos x
3 x(1  x)
1.2 x  x 2
x
(1  x) cos
2
( x  0.4) sin x
(2  x) sin x
1 x2
( x  0.2) sin
x2  x
2 x  0.6
cos( x  0.5)
( x  0.6) sin x
2x  1
( x  1) 2
( x  0.6) 2
( x  0.3) 2
(2  x) sin x
x
cos
2
x sin x
x2
( x  1) 2
2. Применяя метод Фурье, найти функцію U ( x, t ) , которая является
решением смешанной задачи для уравнения теплопроводности:
U t  U xx ;
U (0, t )  p (t ) – граничное условие;
U (0.6, t )  q (t ) – граничное условие;
U ( x, 0)  f ( x ) – начальное условие;
0  x  0.6; t  0 .
№ варіанта
1
14
15
16
17
18
19
20
21
f (x )
p(t )
q(t )
2
3
cos(2 x)
( x  1) x
1.3  ln( x  0.4)
sin( 2 x )
3 x( 2  x )
sin( 0.55 x  0.33)
2 x(1  x)  0.2
sin x  0.08
1  6t
2t
0.8  t
2t
t
t  0.33
0.2  t
0.08  2t
4
0,3624
0,960
1,2
0,932
2,52
0,354
0,680
0,6446
22
23
24
25
2 x( x  0.2)  0.4
0.3  x( x  0.4)
( x  0.2)( x  1)  0.2
ln( 263  x)
2t  0.4
0.3  t
6t
3(0.14  t )
1,36
0,9
0,84
0,3075
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5
Решение краевых задач для эллиптических уравнений методом
Фурье
Рассмотрим уравнение, описывающее стационарные процессы:
  p ( x)u   q ( x )u  F ( x),
(5.1)
где p (x ) и q (x ) определяются свойствами среды, где происходит процесс;
F (x)  функция распределения внешних возмущающих сил.
Рассмотрим постановки краевых задач для эллиптического уравнения.
Пусть G  R n – область, где происходит процесс, и S – граница, которую
считаем кусочно-гладкой поверхностью. Краевая задача для уравнения (5.1)
ставится следующим образом: найти функцию u ( x )  C 2 (G )  C1 (G ) ,
удовлетворяющую уравнению 5.1) в области G и граничному условию на S
вида
u
u
 v,
(5.2)
n S
где , , v  заданные непрерывные функции на S, причем   0,   0 ,
    0 , n – внешняя нормаль к границе области G. Такое решение
называется регулярным.
Выделяют три типа граничных условий.
Граничное условие первого рода (   1,   0 )
u S  u0 .
(5.3)
Граничное условие второго рода (   0,   1)
u
 u1 .
(5.4)
n S
Граничное условие третьего рода (   0,   1 )
u
u
 u2.
(5.5)
n S
Краевая задача (5.1), (5.3) называется задачей Дирихле или первой
краевой задачей, задача (5.1), (5.4)  задачей Неймана или второй краевой
задачей, задача (5.1), 5.5) называется третьей краевой задачей.
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа u  0 , называется
гармонической.
5.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Рассмотрим регулярное решение следующей краевой задачи:
u  0, ( x, y )  ,
,
u    ( x, y ),

(5.6)

где   ( x, y ) : x 2  y 2  R 2 ;  - окружность радиусом R. Перейдем к
полярным координатам:
x   cos , y   sin  , 0    R, 0    2 ,
тогда уравнение Лапласа в полярной системе координат имеет вид
1   u  1  2u


0
      2  2
а краевое условие преобразуется следующим образом:
u  R  ~ ( ) .
(5.7)
Решение уравнения (5.7) будем искать в виде u (  ,  )  X (  )( ) (метод
разделения переменных), откуда получаем:

X '  1 X  "  0.



Последнее уравнение равносильно двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям
d
2
 X '   X ,
d

" 2   0 .
Так как решение 5.9) ( )  A cos   B sin 
периодическим   n , а при   0 ( )  C .
(5.8)
должно
(5.9)
быть 2-
Решением
уравнения
(5.8)
является
X (  )  c1  n  c2  n
или
X (  )  c3  c 4 ln  , при   0 оно должно быть ограничено, что нарушается
при   0 , отсюда с1  0 и с4  0 . Тогда решение уравнения 5.7) имеет вид

u( ,  ) 
  n  An cos n  Bn sin n .
n0
Отсюда, учитывая граничное условие и представление 2-периодической
функции тригонометрическим рядом Фурье получаем
a0   n
an cos n  bn sin n  ,
u (  , ) 
 
2 n 1 R n
где
1 ~
a n    ( ) cos n d , n  0, 1, 2, ... ,
 
1 ~
bn    ( ) sin n d , n  1, 2, ... .
 
(5.10)
5.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце
Рассмотрим регулярное решение следующей краевой задачи:
u  0, ( x, y )  ,
,
u    ( x, y ), u R   ( x, y )
r

(5.11)

где   ( x, y ) : r 2  x 2  y 2  R 2 , r – окружность радиусом r, R –
окружность радиусом R. Решение задачи (5.11) можно получить аналогично
п. 5.1. Оно имеет вид

u (  ,  )  a ln   b 
 An  n




 C n  n cos n  B n   n  D n  n sin n ,
n 1
коэффициенты a , b, An , Bn , C n , D n нетрудно найти из краевых условий.
Примеры решения задач
1. Найти гармоническую внутри единичного круга функцию
принимающую на его границе значения cos 2  .
u  ,   ,
Решение. Задача сводится к решению уравнения
u 0
при условии
u 1 cos2  .
Согласно (5.10), решение примет вид

a
u  ,    0   n  a n cos n b n sin n   .
2 n 1
(5.12)
Коэффициенты a0 , an , bn вычислим по формулам (5.10). При вычислении
интегралов будут использованы следующие свойства:
a
a
 f(x) d x=2  f(x) d x, если f (x) – четная функция;
-a
0
a
 f(x) d x=0,
-a
если f (x) – нечетная функция.
1 
2  1 cos 2t
1 1

2
a0   cos t d t  
d t   t  sin 2t  1 .
 
0
2
 2
0
an 

1 
2 t cos n t d t  2 1 cos 2t cos n t d t 
cos


 
0
2
1
   cos n t  cos 2t cos n t  d t 
0

11
 1
  sin nt    cos t  n 2  cos t  n  2   d t  
0 2
  n

0

1  1
1
 
sin t  n  2 
sin t  n  2    0, n  2 .

2   n 2
n2
 0 
При n  2
a2 

1 
2 t cos 2 t d t  1 1 cos 2t cos 2 t d t 
cos



 
0
 1 1
1 1
 1
 1
  sin 2t   1 cos 4t  d t    t  sin 4t   .
0 2
  2
0 2
 2   4
0
bn 
1 
2
 cos t sin n t dt 0 .
 
Подставляя найденные коэффициенты в (5.12), получаем решение задачи
1 2
u  ,    cos 2  .
2 2
2. Найдите решение краевой задачи в прямоугольнике
 2u  2 u
 2  2  0, 0  x  a, 0  y  b,
 x y
u / x 0  Ay (b  y ), u / x a  0,

2x
u / y 0  B sin
, u / y b  0.
a

Решение. Полагаем u=v(x,y)+w(x,y), где v(x,y) есть решение задачи
  2v
 2v

 0,

2
2

x

y

v / x 0  Ay (b  y ), v / x  a  0,

v / y 0  0, v / y b  0.

Для ее решения берем v(x,y)=X(x)Y(y), тогда
X 
Y 
   2 ;
X
Y
X ( x)Y (0)  0  Y (0)  0; X ( x)Y (b)  0  Y (b)  0,
X Y  XY   0 
и мы пришли к задаче Штурма  Лиувилля
k
Y    2Y  0
   k  , Yk ( y )  sin
y, k  1, .

b
b
Y
(0)

Y
(
b
)

0

2
k 
 x  0, общее ре b 
Для функции X(x) будем иметь уравнение X   
шение которого может быть записано в виде
X k ( x)  Ak sh
k
k
x  Bk sh ( a  x).
b
b
Тогда сумма ряда (если его можно дважды дифференцировать почленно)

k
k
k


v( x, y )    Ak sh
x  Bk sh (a  x)  sin
y
b
b
b

k 1 
будет гармонической функцией в прямоугольнике. В силу первого из
граничных условий будем иметь
b

 Bk sh
k 1
k
k
2A
k
a sin
y  Ay (b  y )  Bk 
y (b  y ) sin
ydy 

k a 0
b
b
b
bsh
b
4A
 b 

k a  k  
b sh
b
2 b
k
4A
b2
k
0 sin b ydy  k a (k )3 1  (1)  
sh
b

8 Ab 2
, если k  2n  1

2n  1 a

3 3
   2n  1  sh
b

0,
если k  2n.

Из второго граничного условия найдем

 A sh
k
k 1
k a
k
sin
y  0  Ak  0, k  1, .
b
b
Подставляя значения найденных коэффициентов в ряд, придем к ра венству
8 A b2
v ( x, y ) 
3
(2n  1)
(a  x)
(2n  1)
b
sin
y.

(2n  1)a
b
3
n 0
(2n  1) sh
b

sh
Функция w(x,y) есть решение задачи Дирихле
 2 w  2 w
 2  2  0,
y
 x
 w / x 0  0, w / x a  0,

2x
 w / y 0  B sin
, w / y b  0.
a

Снова по методу Фурье w(x,y) = X(x)Y(y). На этот раз придем к задаче
 X    2 X  0,
j
j
 
; X ( x)  sin
x; j  1, .

a
a
X
(0)

X
(
a
)

0,

Для функции Y(y) получится дифференциальное уравнение
j
j
 j 
Y     Y  0  Y j ( y )  C j sh
y  D j sh (b  y ).
a
a
 a 
Перемножая Yj(y) и Xj(x) и суммируя по всем j, найдем гармоничес- кую в
прямоугольнике и равную нулю на сторонах х=0 и х=а функцию

j
j
j


w( x, y )   C j sh
y  D j sh (b  y )  sin
x
a
a
a

j 0 
С учетом граничного условия при y=0 имеем

 D sh
j
j0
j b
j x
2x
B
sin
 B sin
 D2 
, D j  0, j  2
2b
a
a
a
sh
a
Из граничного условия w/y=b=0 вытекает

j b
j
sin
x  0  C j  0, j  1, .
a
a
j0
B
2
2
Таким образом получаем, что w( x, y )  2b sh (b  y )sin x.
a
a
sh
b
 C sh
j
Складывая найденные функции v(x,y) и w(x,y), придем к ответу
(2n  1)
sh
(a  x)
B
2
2
8 Ab 2 
(2n  1)
b
u ( x, y ) 
sh (b  y ) sin
x 3 
sin
y.
2b
(2n  1)a
a
a

b
3
n 0
sh
(2n  1) sh
a
b
Варианты заданий
1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u R1  cos 2  .
2. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u R1  sin 3 
3. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u R1  sin 6   cos 6 
4. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u
 A cos .
   R
5. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u
 sin 3  .
   R
6. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что
u
 A cos 2 .
   R
7. Найти функцию, гармоническую в кольце и такую, что u r 1  A, u R2  B .
8. Найти функцию, гармоническую в кольце и такую, что u r 1  1  cos 2  ,
u R2  sin 2  .
9. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате, если
u | x 0  u | y 0  u | x 1  0, u | y 1  sin x.
10. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике 0  x  a, 0  y  b ,
y
если
на
границе
прямоугольника
u x  0  A sin ,
u x a  0 ,
b
x
u y  0  B sin , u y b  0 .
a
11. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике 0  x  1, 0  y  1 ,
y
если
на
границе
прямоугольника
u x  0  A sin ,
u x 1  A ,
2
x
u y 0  A sin
, u y 1  A .
2
12. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике, если на границе
u
прямоугольника u | x 0 
 u | y 1  0, u | x 1  y (1  y ) .
y y  0
13. Найти решение уравнения Пуассона u   Axy, A  const, в круге
радиусом R с центром в начале координат, если u r  R  0 .
Найти функцию, гармоническую внутри
удовлетворяющую на границе круга условию:
единичного


14. u  1  cos  2   .
3

 
15. u  1  sin     .
6

 
16. u  1  sin     .
3



17. u    1  sin    .
4 
18. u    1  sin 10 , u  0  1 .
Решите следующие краевые задачи
19. u xx  u yy  0 (0  x  1, 0  y  2), u / x 0  Ay (2  y ),
u / x 1  0, u / y 0  Bx(1  x ), u / y  2  0.
20. u xx  u yy  0 (0  x  , 0  y  2), u / x 0  u0 ,
u / y 0  0, u / y 2  0, u / x   0.
21. u xx  u yy  0 (0  x  1, 0  y  ), u / y  0  Ax(1  x ),
u / x 0  0, u / x 1  0, u / y   0.
22. u xx  u yy  0 (0  x  a, 0  y  b), u / x  0  sin
y
5y
 sin
,
b
b
2x
5x
 sin
, u / y b  0.
a
a
23. u xx  u yy  0 (0  x  1, 0  y  1), ux / x  0  0
u / x  a  0, u / y  0  sin
u x / x 1  0, u / y  0  A, u / y 1  Ax.
24. u xx  u yy  2( x 2  y 2  2 x  2 y ) (0  x  1, 0  y  1),
u / x 0  0, u / x 1  0, u / y  0  sin x, u / y 1  0.
круга
и
ЛИТЕРАТУРА
1 Тихонов,
А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов,
А.А.Самарский – М.: Наука, 1972. – 735с.
2. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров –
М.:Наука, 1981. – 512с.
3. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции. /
В.Я.Арсенин – М.:Наука, 1984. – 384с.
4. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М.Будак,
А.А.Самарский, А.Н.Тихонов – М.:Наука, 1972. – 688c.
5. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа /
Фридман А. – М.:Мир, 1968. – 428c.
6. Вуколов, Э.А. Сборник задач по математике для втузов. Ч.4. Методы
оптимизации.
Уравнения
в
частных
производных.
Интегральные
уравнения:Учеб.пособ. / Вуколов Э.А.,Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Под
ред. А.В.Ефимова – 2-е изд., перераб. – М.:Наука, 1990. – 304с.