5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости в различных

5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости в
различных системах координат.
5.1.
Декартова система координат
Как уже указывалось, в декартовой системе координат нет различия
между ковариантными и контравариантными компонентами вектора и
тензора, а метрический тензор записывается в виде единичной матрицы.
В этом случае основные уравнения динамики вязкой жидкости имеют
следующий вид.
Уравнение неразрывности
∂ρ ∂
+
( ρui ) = 0
∂t ∂xi
(5.1)
Уравнение количества движения
∂
∂
ρu j ) +
(
( ρuiu j + δij p − τ ji ) = ρ Fj ,
∂t
∂xi
j = 1, 2,3
(5.2)
Уравнение энергии
∂(ρE)
∂t
+
∂
∂xi



p
 ρ ui  E +  − u jτ ji + qi  = ρ Fj u j
ρ



(5.3)
Напомним, что в этих уравнениях:
ρ - плотность; ui - компоненты вектора скорости; p - давление;
E -
полная внутренняя энергия; F - плотность массовой силы.
В случае линейной вязкой жидкости эти уравнения дополняются
выражениями для компонент тензора вязких напряжений τ ij и вектора
плотности теплового потока qi :
 ∂ui ∂u j  2
∂u
+
− δ µ m,
 ∂x j ∂xi  3 ij ∂xm


(5.4)
∂T
∂xi
(5.5)
τ ij = µ 
qi = −λ
где µ
- коэффициент динамической вязкости, λ
- коэффициент
теплопроводности.
Удельная внутренняя энергия e связана с полной - E соотношением:
e=E−
uiui
2
(5.6)
Для идеального газа справедливо:
p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρ
Здесь:
T-
температура,
γ-
показатель адиабаты,
(5.7)
CV
- удельная
теплоемкость при постоянном объеме.
Полная энтальпия H и удельная энтальпия вводятся по формулам:
H =E+
p
ρ
,
ui 2
h=H −
2
(5.8)
(5.9)
Иногда удобнее использовать уравнение энергии в форме энтальпии. Оно
получается из уравнения (5.3) с учетом (5.8) и (5.9), а также уравнения
количества движения (5.2):
∂
∂
dp ∂q
∂u
( ρ h ) + ( ρ u j h ) = − j + τ ij i
∂t
∂x j
dt ∂x j
∂x j
5.2.
(5.10)
Цилиндрическая система координат
В цилиндрической системе точка M задается координатами ( r ,θ , z ) :
ζ 1 = r, ζ 2 = θ , ζ 3 = z
(5.11)
Рис.10. Цилиндрическая система координат.
Компоненты метрического тензора равны
g11 = 1, g 22 = r 2 , g33 = 1
g 11 = 1, g 22 =
1 33
, g =1
r2
(5.12)
Ненулевые символы Кристоффеля второго рода:
1
2
Γ 221 = Γ12
= , Γ122 = −r
r
(5.13)
1) Уравнение неразрывности
Физические компоненты скорости равны ui = u i = v i gii , т.е.:
ur = v1 , uθ = v 2 r , u z = v 3
(5.14)
uθ
, v3 = u z
r
(5.15)
Отсюда
v1 = ur , v 2 =
Дивергенция скорости определяется формулой (3.58)
div v ≡ ∇i vi =
∂ur ur 1 ∂uθ ∂uz
+ +
+
∂r
r r ∂θ
∂z
(5.16)
Таким образом, уравнение неразрывности имеет вид:
∂ρ ∂
1 ∂
∂
ρu
+ ( ρ ur ) +
( ρuθ ) + ( ρuz ) + r = 0
∂t ∂r
r ∂θ
∂z
r
(5.17)
2) Уравнение количества движения
Тензор вязких напряжений задается формулой (4.47):


2
τ ki = µ ( g kj ∇ j vi + g ij ∇ j v k ) − div ( v ) g ki 
3


(5.18)
Ковариантные производные вектора равны
∇iv k =
∂v k
+ v j Γ kji
∂ζ i
(5.19)
С учетом определения физических компонент вектора (5.15) получаем:
2  ∂u
1
∂u 
∂u 
τ 11 = µ  2 r −  ur + θ  − z  ,
∂θ  ∂z 
3  ∂r r 
τ 22 = µ
1
r2
 4 1 ∂uθ 2 ∂ur 4 1
2 ∂u z 
 3 r ∂η 2 − 3 ∂r + 3 r ur − 3 ∂z  ,


2  ∂u
1
∂u 
∂u 
τ 33 = µ  − r −  ur + θ  + 2 z  ,
3  ∂r r 
∂θ 
∂z 
1  ∂u

1  ∂u
τ 12 = τ 21 = µ  θ +  r − uθ   ,
r  ∂r r  ∂θ

 ∂uz ∂ur
+
∂z
 ∂r
τ 13 = τ 31 = µ 
1  1 ∂u

,

∂u 
z
τ 23 = τ 32 = µ 
+ θ
r  r ∂θ
∂z 
Введем физические компоненты тензора вязких напряжений:
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
2  ∂u
1
∂u 
∂u 
τ rr = τ 11 g11 = τ 11 = µ  2 r −  ur + θ  − z 
3  ∂r r 
∂θ  ∂z 
 ∂u 
2  ∂ur 2  ∂uθ
+  2 + ur  − z 
3  ∂r r  ∂η
 ∂z 
τ θθ = τ 22 g 22 = τ 22 r 2 = µ  −
2  ∂u
1
∂u 
∂u 
τ zz = τ 33 g 33 = τ 33 = µ  − r −  ur + θ  + 2 z 
3  ∂r r 
∂θ 
∂z 
 ∂uθ 1  ∂ur

+ 
− uθ  

 ∂r r  ∂θ
τ rθ = τ θ r = τ 12 g11 g 22 = τ 12 r = µ 
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
 ∂u z ∂ur 
+

∂z 
 ∂r
(5.30)
 1 ∂u z ∂uθ 
+

∂z 
 r ∂θ
(5.31)
τ rz = τ zr = τ 13 g11 g33 = τ 13 = µ 
τ θ z = τ zθ = τ 23 g 22 g33 = τ 23r = µ 
Таким образом:
1
r
τ 11 = τ rr , τ 12 = τ rθ , τ 13 = τ rz ,
1
r
τ 21 = τ rθ , τ 22 =
1
1
τ , τ 23 = τ θ z ,
2 θθ
r
r
(5.32)
1
r
τ 31 = τ zr , τ 32 = τ zθ , τ 33 = τ zz
Ковариантные производные тензора равны:
∂τ ik
k
∇ iτ =
+ τ mk Γ imi + τ im Γ mi
i
∂η
ik
(5.33)
Рассмотрим уравнения для каждого значения индекса k .
k = 1 : уравнение количества движения для компоненты скорости ur
Компоненты ∇iτ ik :
∇iτ i1 = ∇1τ 11 + ∇ 2τ 21 + ∇3τ 31 =
∂τ 11 ∂τ 21
∂τ 31
11 1
22
+
+
−
r
+
=
τ
τ
∂η 1 ∂η 2
r
∂η 3
∂τ
∂  1  ∂τ zr 1
= rr +
+ (τ rr − τ θθ )
 τ rθ  +
∂r ∂θ  r  ∂z
r
Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :
(5.34)
∇i ( ρ vi v1 ) =
∂
1 ∂
∂
1
( ρ u r ur ) +
( ρuθ ur ) + ( ρuzur ) + ( ρur ur − ρuθ uθ )
∂r
r ∂θ
∂z
r
(5.35)
Градиент давления:
g i1∇i p = g 11∇1 p =
∂p
∂r
(5.36)
Таким образом, уравнение количества для компоненты ur имеет вид:
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +
( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
1
+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Fr
r
(5.37)
k = 2 : уравнение для uθ
Компоненты ∇iτ ik :
∂τ 12 ∂τ 22 ∂τ 32 1
∇iτ = ∇1τ + ∇ 2τ + ∇3τ =
+
+
+ ( 2τ 12 + τ 21 ) =
∂r
∂θ
∂z
r
∂ 1  ∂  1
1 1
1 
 ∂ 1
=  τ rθ  +
τ zθ +  2 τ rθ + τ rθ  =
 2 τ θθ  +
∂r  r  ∂θ  r
r r
r 
 ∂z r
1 ∂
1 ∂τ θθ ∂τ zθ 2 
=  τ rθ +
+
+ τ rθ 
r  ∂r
r ∂θ
∂z
r 
i2
12
22
32
(5.38)
Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :
1 ∂
1 ∂
∂
1
∇i ( vi v 2 ) =  ( ur uθ ) +
( uθ uθ ) + ( uzuθ ) + 2ur uθ 
r  ∂r
r ∂θ
∂z
r

(5.39)
Градиент давления:
g i 2∇i p = g 22∇ 2 p =
1 ∂p
r 2 ∂θ
(5.40)
Уравнение для компоненты uθ :
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +
( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
2
+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθ
r
(5.41)
k = 3 : уравнение для u z
Компоненты ∇iτ ik :
∇iτ i 3 = ∇1τ 13 + ∇ 2τ 23 + ∇3τ 33 =
∂τ rz 1  ∂τ θ z
 ∂τ
+ 
+ τ rz  + zz
∂r
r  ∂θ
 ∂z
(5.42)
Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :
∇i ( ρ v i v 3 ) =
∂
1 ∂
∂
1
( ρ ur u z ) +
( ρ uθ uz ) + ( ρuzuz ) + ρ ur uz
∂r
r ∂θ
∂z
r
(5.43)
Градиент давления:
g i 3∇i p = g 33∇3 p =
∂p
∂z
(5.44)
Уравнение для компоненты u z :
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +
( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
1
+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fz
r
(5.45)
3) Уравнение энергии
Компоненты вектора vkτ ki обозначим:
Ai = vkτ ki
(5.46)
Конкретные значения равны
A1 = v1τ 11 + v2τ 21 + v3τ 31 = urτ rr + uθτ rθ + u zτ zr
1
( urτ rθ + uθτ θθ + uzτ zθ )
r
= urτ rz + uθτ θ z + u zτ zz
A2 = v1τ 12 + v2τ 22 + v3τ 32 =
A3 = v1τ 13 + v2τ 23 + v3τ 33
Общий вид уравнения энергии:
∂(ρE)
∂t

p


+ ∇i  ρ vi H + q i − vkτ ki  = ρ F k vk ,
где H =  E +  - полная энтальпия
ρ
(5.47)
Введем вектор f , контравариантные компоненты которого равны:
f i = ρ vi H + q i − vkτ ki
(5.48)
Дивергенция этого вектора равна
∇i f i =
∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r
+
+
+ ,
∂r r ∂θ ∂z r
(5.49)
где
f r = ρ ur H + qr − urτ rr − uθτ rθ − u zτ zr ,
fθ = ρ uθ H + qθ − urτ rθ − uθτ θθ − u zτ zθ ,
(5.50)
f z = ρ u z H + qz − urτ rz − uθτ θ z − u zτ zz
Таким образом, уравнение энергии примет вид:
∂(ρE)
∂t
+
∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r
+
+
+ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z ) ,
∂r r ∂θ ∂z
r
(5.51)
Компоненты плотности теплового потока равны:
qr = q1 = −λ g 11∇1T = −λ
∂T
∂r
qθ = q 2 r = ( −λ g 22∇ 2T ) r = −λ
qz = q 3 = −λ g 33∇3T = −λ
1 ∂T
r ∂θ
(5.52)
∂T
∂z
Окончательно запишем основные уравнения в цилиндрической системе
координат:
∂ρ ∂
1 ∂
∂
ρu
+ ( ρ ur ) +
( ρ uθ ) + ( ρ uz ) + r = 0 ,
∂t ∂r
r ∂θ
∂z
r
(5.53)
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +
( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
,
1
+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Fr
r
(5.54)
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +
( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
,
2
+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθ
r
(5.55)
∂
∂
1 ∂
∂
( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +
( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
,
1
+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fz
r
∂(ρE)
∂t
+
∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r
+
+
+ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z )
∂r r ∂θ ∂z
r
(5.56)
(5.57)
Компоненты вектора f задаются формулами (5.50), компоненты тензора
вязких напряжений – формулами (5.26)-(5.31), а компоненты вектора
плотности теплового потока – формулами (5.52).
Кроме того, для идеального газа используется формула (5.7)
Упражнение. Вывести основные уравнения динамики вязкого газа в
сферической системе координат.