1-x - Pedsovet.su

Я выношу на обсуждение решение этой задачи в том виде, в каком оно видится мне. Не буду
переходить в падающие системы координат или системы координат, связанные с одним из тел.
Основная идея состоит в том, что все это de facto получается автоматически и никаких
дополнительных усилий прилагать не нужно. Вторая и не менее важная сторона такого подхода в
том, что он работает всегда без всяких особенных изобретений. Я не сторонник упрощений в тех
случаях, когда не отработан основной метод. Именно при последовательном применении общей
схемы и будет видно, где, что и как конкретно можно упростить. Совершенно простой и
банальный пример: есть общая схема решения квадратного уравнения, а есть редукция этой
общей схемы для случая четного коэффициента при “x” в первой степени. Нужно ее заучивать? НИ
В КОЕМ СЛУЧАЕ!!!
1. Перехожу к задаче, сформулированной miflin’ом. Все изложение, учитывая его
тривиальность, будет очень конспективно.
2. Уравнение движения любого тела в однородном силовом поле имеет вид:
⃗ 𝑡2
𝒂
⃗𝒓𝑖 (𝑡) = ⃗𝒓0𝑖 + ⃗𝒗0𝑖 𝑡 +
,
2
⃗
где 𝒂 – ускорение, одинаковое для всех тел в данном однородном силовом поле;
⃗ 0𝑖 , 𝒗
⃗ 0𝑖 - радиус-вектор 𝒓
⃗ 𝑖 (0) и скорость 𝒗
⃗ 𝑖 (0) 𝑖-го тела в начальный момент времени 𝑡 = 0.
𝒓
3. Ясно, что для любых двух тел:
⃗⃗⃗⃗
⃗ 𝑗 (𝑡) − 𝒓
⃗ 𝑖 (𝑡) = (𝒓
⃗ 0𝑗 + 𝒗
⃗ 0𝑗 𝑡)- (𝒓
⃗ 0𝑖 + 𝒗
⃗ 0𝑖 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗
⃗ отн 0𝑖𝑗 𝑡 .
𝛥𝒓𝑖𝑗 (𝑡) = 𝒓
𝛥𝒓0𝑖𝑗 − 𝒗
Запишем это выражение только для двух тел (1) и (2) в самом простом виде:
⃗⃗⃗⃗
⃗ 𝑡
𝛥𝒓(𝑡) = ⃗⃗⃗
𝒅 + 𝒖
(!!!)
⃗ 2 (𝑡) − 𝒓
⃗ 1 (𝑡) , 𝒅 = ⃗⃗⃗⃗
⃗ 02 − 𝒓
⃗ 01 и 𝒖
⃗ =𝒗
⃗ отн 012 .
где ⃗⃗⃗⃗
𝛥𝒓(t) = 𝒓
𝛥𝒓12 (0) = 𝒓
4. Уравнение (!!!) – основное уравнение. Разумеется, ничего нового не написано! Что из него
можно вывести? Поставим вопрос чуть-чуть по-другому: на какое минимальное
расстояние могут сблизиться эти два тела?
Из уравнения (!!!) находим:
2
⃗⃗⃗⃗ (𝑡)| = 𝑢2 𝑡 2 + 2(𝒖 · 𝒅) 𝑡 + 𝑑2 .
|𝛥𝒓
Минимум этого выражения достигается при
𝑡= −
(𝒖 · 𝒅)
𝑢2
и равен
2
⃗⃗⃗⃗ (𝑡)|
=
|𝛥𝒓
𝑚𝑖𝑛
При этом ⃗⃗⃗⃗
𝛥𝒓(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 𝒅 − 𝒖
(𝒖·𝒅)
𝑢2
=
[𝒖[𝒅𝒖]]
𝑢2
|[𝒖·𝒅]|2
𝑢2
.
.
Здесь, как и обычно, квадратные скобки обозначают векторное произведение.
5. Пункт 5. Фактически отвечает на все возможные вопросы. Применим его результаты к
интересующему нас случаю. Ясно, что встреча возможна лишь в том случае, когда
2
⃗⃗⃗⃗ (𝑡)|
=0 и (𝒖 · 𝒅) < 0 . В свою очередь первое равносильно условию [𝒖 · 𝒅] = 0, т.е.
|𝛥𝒓
𝑚𝑖𝑛
вектор относительной начальной скорости и вектор 𝒅 коллинеарны, но с
учетом неравенства (𝒖 · 𝒅) < 0 антипараллельны. Соотношение [𝒖 · 𝒅] = 0 можно
записать развернуто:
[𝒗01 · 𝒅] = [𝒗02 · 𝒅].
Это говорит о том, что траектории двух точек лежат в одной плоскости. Это очевидное для
встречи требование получено автоматически, и ничего добавлять не нужно. За что я и
люблю математику!
6. Последнее, о чем хочу упомянуть: условие встречи [𝒖 · 𝒅] = 0 удовлетворяется и при 𝒖 =
(𝒖·𝒅)
0. Однако, это противоречит условию 𝑡встр = − 2 . Поэтому при всем желании
𝑢
последние рассуждения о том, что встреча возможна, когда что-то чууууууть больше не
соответствует действительности, поскольку это и есть 𝒖 → 𝟎. Время события отодвигается
на бесконечность и становится бессмысленным. Я не согласен со случаем «чуть-чуть»… !
̂ ) = 0, что с учетом cos(𝒖𝒅
̂) < 0
7. Итак, условие встречи [𝒖 · 𝒅] = 0. Или 𝑢 · 𝑑 · 𝑠𝑖𝑛(𝒖𝒅
̂ ) = π.
возможно лишь при (𝒖𝒅
8. Поставленный вопрос о минимальной скорости решается без проблем из уравнения:
[𝒗01 · 𝒅] = [𝒗02 · 𝒅],
что равносильно
̂
|𝒗01 | sin( 𝒗̂
01 𝒅) = |𝒗02 | sin( 𝒗02 𝒅),
а это и есть следствие упомянутой мной ранее теоремы синусов.
Я не буду дальше развивать эту мысль.
9. Вот это и есть маленький пример работы математики, когда все, что нам нужно и ранее
заложенное в исходных физических уравнениях, полностью нашло свое отражение в
решении. Если у кого-нибудь есть желание вернуться к физике, пожалуйста!
⃗ - это и есть переход в «падающую с ускорением 𝒂
⃗ " систему координат.
«Исчезновение» 𝒂
Зависимость только от 𝒖 - это и есть переход в систему первого тела.
И т.д., и т.п.