ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ В НЕКОТОРЫХ «ПРОСТЫХ

Если это уравнение может быть разрешено относительно производной, то
Лекция 3
y¢ = f ( x , y )
ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ
В НЕКОТОРЫХ «ПРОСТЫХ» ПРОЦЕССАХ
y¢ =
dy
=x
dx
Общий интеграл этого уравнения: y =
x2
+C
2
1 пример:
Математический ликбез
Дифференциальные уравнения (д.у.)– уравнения, содержащие искомые функции,
их производные различных порядков и независимые переменные. Теория д.у.
возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других
естественнонаучных дисциплин практически одновременно с интегральным и
дифференциальным исчислением
2 пример:
y¢ =
(2)
dy
= -y
dx
Общий интеграл этого уравнения:
ln y = - x + ln C
y = C exp(- x )
или
ОДУ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение вида
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с одной
неизвестной функцией называется соотношение вида
F ( x, y , y¢ ) = 0,
где
z = y¢ =
Введем обозначение
y¢ =
где
dy
dx
d y
dz
= z¢ = y¢¢ =
dx
dx2
y¢¢ =
d y
dx2
T = T (t , x )
Следовательно, вместо уравнения второго порядка имеем систему двух
уравнений первого порядка одного аргумента
ì dy
ïï dx = z ,
í
ï dz = f ( x , y , z )
ïî dx
(4)
Большинство уравнений математической физики – уравнения с частными
производными
Большинство законов природы можно сформулировать на языке уравнений с
частными производными
Дифференциальное уравнение n-го порядка
(
dy
,
dx
(3)
2
В отличие от ОДУ, в которых неизвестная функция зависит только от одной
переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция
зависит от нескольких переменных. Например, температура зависит от координаты
и времени
2
Тогда
F ( x , y , y ¢, y¢¢) = 0,
(1)
dy
y¢ =
dx
)
F x , y , y¢, y¢¢,..., y (n -1) , y (n ) = 0,
Примеры:
(5)
Одномерное уравнение теплопроводности
Эквивалентно системе n дифференциальных уравнений первого порядка
Одномерное волновое уравнение
Н.М.Матвеев Обыкновенные дифференциальные уравнения/ С.Петербург:
«Специальная литература», 1996. – 372 С.
cr
¶ 2T
¶T
=l
¶t
¶x 2
1 ¶ 2u
cl2 ¶t 2
=
¶ 2u
¶x 2
С.Фарлоу Уравнения с частными производными для научных работников
и инженеров / М.: Мир, 1985. – 384 С.
Криволинейные интегралы. Формула Грина. Двойные и тройные интегралы.
Теорема Гаусса – Остроградского. Дивергенция. Ротор.
y
B
A
mi = r(M i )si -масса участка дуги длиной σi
Ai +1
Ai
´ Mi
m=
Dxi
å r(M i )si
I=
(2)
ò
f ( x, y )ds
(i )
æ ¶Q ¶P ö
(L)
- криволинейный интеграл первого типа
(K )
( AB )
( AB )
( AB )
(5)
æ ¶P
¶R ö
¶Q
òòò çè ¶x + ¶y + ¶z ÷ødxdydz = òò Pdxdy + Qdzdx + Rdxdy
V
(6)
S
(3)
( AB )
Поток вектора через поверхность:
Скаляр – характеризуется численным значением;
Пусть задан вектор A(M )
n
A × B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
(7)
Векторное произведение векторов (правая система координат)
A ´ B = Ay Bz - Az B y ; Az Bx - Ax Bz ; Ax B y - Ay Bx
)
заданы три функции:
Ax ( x , y , z ); Ay ( x, y , z ); Az ( x, y , z )
z
Скалярное произведение векторов:
y
x
Интеграл
I=
òò (Ax cos l + Ay cos m + Az cos n )ds
(S )
называется потоком вектора А через поверхность S
(8)
Градиент скалярной величины T– вектор, который по численному значению и
направлению характеризует наибольшую скорость изменения Т. Направление
градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня.
Итак, скалярное поле Т(М) порождает векторное поле
æ¶ ¶ ¶ö
Ñ=ç , , ÷
è ¶x ¶y ¶z ø
¶R ö
Формула Остроградского:
Вектор – дополнительно требуется задать направление; проекции вектора на
координатные оси вполне определяют вектор
gradT º ÑT
æ ¶P
Все формулы объединены одной идеей: они выражают интеграл,
распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл,
взятый по границе этого образа
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(
æ ¶R ¶Q ö
(D )
А минус???
Если вдоль кривой определены функции P,Q,R(x,y,z), можем определить
криволинейный интеграл общего вида:
ò Pdx + Qdy + Rdz = ò Pdx + ò Qdy + ò Rdz
- функции, непрерывные в области D, ограниченной контуром L
ò Pdx + Qdy + Rdz = òò çè ¶x - ¶y ÷ødxdy + çè ¶y - ¶z ÷ødydz + çè ¶z - ¶x ÷ødzdx
Криволинейный интеграл второго типа: в (1) ρ нужно умножать не на длину
дуги, а на проекцию дуги на ось 0Х; интегрирование в (2) – по х.
Аналогично можно ввести интеграл вдоль оси 0У
I=
(4)
(D )
Формула Стокса – обобщение формулы Грина:
(1)
f (M ) = f ( x , y ) - произвольная функция
x
Интегрирование
вдоль дуги
lim
max si ® 0
(L)
P, Q
r(M i ) - линейная плотность
æ ¶Q ¶P ö
ò Pdx + Qdy = òò çè ¶x - ¶y ÷ødxdy
Формула Грина :
(произведение вектора на скаляр)
(9)
I=
òò Ands
- это определение не зависит от системы координат
(S )
Пусть P = Ax , Q = Ay , R = Az
Поток через поверхность можем выразить через тройной интеграл:
æ ¶A
¶Ay
¶A ö
òò Ands = òòò ççè ¶xx + ¶y + ¶zz ÷÷ødV
(s )
(V )
Стоящая под знаком тройного интеграла величина называется дивергенций вектора А
divA º Ñ × A =
В такой форме
определение не
зависит от системы
координат
¶Ax ¶Ay ¶Az
+
+
¶x
¶z
¶y
(скалярное произведение
векторов)
òò An ds = òòò divAdV
(s )
(V )
divA = lim
(L)
(S )
(V )®M
V
На этот раз векторное поле порождает скалярное
Циркуляция вектора:
Интеграл
ò
Это равенство может
служить определением
дивергенции и не
зависит от системы
координат
L
æ ¶A
ò
AL dL взятый по некоторой кривой, называется
линейным интегралом от вектора А вдоль
L
кривой L
В случае замкнутого контура этот интеграл называется циркуляцией вектора А
вдоль кривой
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Пусть B=B(r) – произвольная полевая величина (масса, компонента вектора
скорости, энергия …),
b – соответствующая удельная величина (относящаяся к единице массы)
B – распределена в объеме V
(Л2)
ò
V
d
B& =
rbdV
dt
ò
ù
ò ALdL = òò rotnAds
(L)
rot A = Ñ ´ A
I. Пусть объем покоится относительно внешней (Эйлеровой) системы координат
(Система координат наблюдателя)
d
rbdV0 =
B& =
dt
ò
V0
¶rb
ò ¶t dV0
(2)
V0
Объем dV0 = dx1dx2 dx3 не меняет положения в этой системе координат
Интенсивность переноса полевой величины B в этой системе координат (или
локальная плотность потока этой величины) J b = rbv b
- плотность внутренних источников и стоков величины B
¶rb
(1)
может быть вызвано двумя причинами: 1.потоком величины B внутрь объема и из него
через поверхность Ω, ограничивающую этот объем; 2.уменьшением или увеличением
этой величины внутри объема вследствие наличия источников и стоков
(S )
Векторное поле А порождает векторное поле вихря В:
ò ¶t dV0 = - ò JbdW0 + ò sbdV0
V
Эти два положения дают два вида уравнений баланса: в локальной и
субстанциональной форме
¶A ö
Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку вихря вектор
через поверхность, ограниченную этим контуром
sb
Полное изменение этой величины
B = rbdV
æ ¶Ay
Вектор В с компонентами
¶Ay ¶Ax
¶A ¶Ay
; B y = ¶Ax - ¶Az ; Bz =
Bx = z ¶y
¶x
¶y
¶z
¶z
¶x
называется вихрем или ротором вектора А
Если А – силовое поле, то интеграл выражает работу поля при перемещении вдоль
кривой.
dM
DM
r(r , t ) =
= lim
dV DV ®0 DV
¶A ö
(S )
Для произвольной
системы координат
имеется векторное поле А
Ax dx + Ay dy + Az dz =
¶Ay ö
éæ ¶A
ò ALdL = òò êëççè ¶yz - ¶z ÷÷ø cos l + çè ¶zx - ¶xz ÷ø cos m + ççè ¶x - ¶yx ÷÷ø cos núûdS
(10)
òò Ands
Разделим эту формулу на объем и
перейдем к пределу:
Если S - поверхность, ограниченная контуром L, то в соответствии с формулой
Стокса имеем:
V0
dW 0
W0
(3)
V0
- векторный элемент поверхности, ограничивающей объем
Справедливость этого уравнения нельзя проверить непосредственно ни для одной
величины; нельзя доказать или опровергнуть
С помощью теоремы Гаусса-Остроградского поверхностный интеграл можем
преобразовать в объемный
ò JbdW0 = Vò Ñ × J bdV0;
W0
Ñ × ... º div...
1. Пример - закон сохранения массы:
(локальное уравнение
непрерывности)
0
æ ¶rb
ò çè ¶t
V0
ö
+ Ñ × J b - sb ÷ dV0 = 0
ø
¶rb
+ Ñ × J b = sb
¶t
Локальная форма дифференциального
уравнения баланса
(4)
Уравнение баланса массы
в другой форме :
II. Если элемент объема движется относительно выбранной системы координат, в
элементе объема dV всегда находится один и тот же элемент массы (или частица) dM
Определим для произвольной величины B
J b c = J b - rbv = rbvb - rbv = rb(v b - v )
Так как элемент dV все время заполнен одним и тем же веществом, то
db
d
rbdV = r dV = rb&dV
B& =
dt
dt
ò
ò
V
ò
rk
r
Ck = k
r
ò
V
ò
n
M=
(8)
å
k =1
(13)
n
å Ck v k
(14)
J k = rk v k
[J ] = [J k ] =
(15)
кг/(м2с)
J k = r k (v k - v + v ) = r k w k + r k v
Диффузионная скорость и
диффузионный поток:
Суммируем
диффузионные потоки
по всем k
wk º vk - v
n
и
n
n
k =1
k =1
Индивидуальные
локальные плотности
потока массы
J k = J k c + rk v
(16)
J k c º rk w k
(17)
å J k = å r k w k = å r k (v k - v ) º 0
k =1
c
M
=
V
n
å MVk :
отсюда следует (12)
k =1
(
или
sb = sk
(19)
)
dr k
= -rk Ñ × v - Ñ × J k c + sk
dt
(20)
Чтобы получить уравнение баланса для компонентов в виде (8), перейдем к
концентрациям:
d (Ck r )
dC
dr
= r k + Ck
= -Ck rÑ × v - Ñ × J k c + s k
dt
dt
dt
Вследствие (10) (уравнения неразрывности) подчеркнутые слагаемы уничтожаются
r
(18)
(12)
k =1
то ¶ (rk ) = -Ñ × r v + J c + s
k
k
k
¶t
Так как J k = J k c + r k v ,
k =1
Поток массы компонента k
Mk :
årk
¶rk
+ Ñ × J k = sk
¶t
k =1
Равенство (11) делим на ρ v =
n
r=
2.Уравнение баланса для B = M ; b = M k = rk ;
J = J k 0 = rk v k
k
M
r
компонента
n
å Ck = 1
(11)
dM k
DM k
= lim
dV DV ®0 DV
(7)
Равенство (12) делим на ρ
å rk v k
k =1
- парциальные плотности компонентов
- массовые концентрации
¶r
+ vÑr
¶t
2. В случае многокомпонентной системы v – скорость центра масс системы
определяется так
V
rb& + Ñ × J b = sb
r& =
Субстанциональный поток массы равен нулю!
rk (r , t ) =
c
(9)
(10)
r& + rÑ × v = 0
(6)
ò
sb = 0
J = rv
n
V
W
b =1
¶r
+ Ñ × rv = 0
¶t
rv =
rb&dV = - J bc dW + sb dV
V
Субстанциональное
уравнение баланса
(5)
B= M
dCk
+ Ñ × J k c = sk
dt
(21)
В двух различных формах можно записать и уравнение баланса внутренней
энергии, и уравнение движения и др.
Итак, всякая экстенсивная величина макроскопической системы
подчиняется уравнению баланса
¶rb
= -Ñ × J b + sb
¶t
B = B( x , y , z , t )
(4)
Экстенсивная величина – характеристика системы, которая растет с увеличением
размеров системы
b
плотность распределения величины B (т.е., величина В, отнесенная к единице
массы)
J b плотность полного потока величины В
¶rb
Частный случай
= -Ñ × J b
¶t
(4,а)
J b = rbv + J bc
¶ (rb )
¶t
(8,а)
)
¶ (rb )
(4)
= -Ñ × rbv + J b c + s B
¶t
определяет изменение величины В в данной неподвижной точке пространства.
Это тоже локальная форма уравнения баланса
Уравнение баланса энтропии
Свойство
аддитивности
n
s=
å sk C k ,
ò
(17)
V
Как и для произвольной аддитивной величины B, для энтропии можно записать
уравнение баланса в локальной форме
¶(rs )
= -Ñ × (rsv + J s ) + ss
¶t
или в субстанциональной форме
(18)
ds
(19)
= -Ñ × J s + s s
dt
Для вычисления производства энтропии уравнение Гиббса представляют в форме
dZ
dg
ds
du
bi i
=T - p +
(20)
dt
dt
dt
dt
r
å
(i )
При этом говорят, что уравнение Гиббса записано вдоль траектории движения
центра масс термодинамической системы. Перепишем уравнение следующим
образом
ds 1 du p dg
bi dZi
r = r + r r
(21)
dt T dt T dt
T dt
å
(i )
Имеем связь между локальным и субстанциональным
изменением произвольной величины
rb& =
¶rb
+ Ñ × rbv
¶t
Ñ º grad
При действии на скалярную величину этот оператор дает нам вектор:
æ ¶T ¶T ¶T ö
ÑT = ç , , ÷
è ¶x ¶y ¶z ø
В отличие от градиента, оператор
вектор в скаляр
Ñ×
Ñ × J B = divJ B =
(называемый дивергенцией) «превращает»
¶J B, x
+
¶x
¶J B , y
¶y
+
¶J B, z
¶z
(8)
величины J B , x , J B , y , J B , z есть проекции вектора плотности потока на оси координат.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭНТРОПИИ
Энтропия всей ТС S = srdV
k =1
Ñ × rbv = vÑrb + rbÑ × v
Так как
Нам встречалось обозначение:
Т.е., величина В
сохраняется
Плотность полного потока произвольной величины не сводится к конвективному
потоку и содержит еще одну часть – диффузионный поток, тепловой поток и т.д.
Поэтому мы должны записать
(
drb
¶rb
= r& b + rb& =
+ vÑrb
dt
¶t
¶rb
rb& =
+ vÑrb + rbÑ × v
Исключим r& с помощью r& + rÑ × v = 0
¶t
Тождественные
преобразования
Химические реакции в гомогенной однородной среде
Пусть гомогенная система состоит из n веществ, которые распределены в системе
однородно.
В этом случае мы можем ввести концентрации различного вида.
n
Пусть общее число частиц в системе:
N=
å Ni
(22)
i= 1
Под числами частиц можно понимать число молей частиц данного сорта. Тогда
величины
N
yi = i
(23)
N
будут относительными мольными концентрациями веществ
n
å yi = 1
(24)
i =1
Выше мы ввели массовые концентрации Сk. Между двумя типами концентраций
легко установить связь. По определению:
Nk =
Mk
mk
(25)
yi =
МАСА
ЧАСТИЦЫ
Ni
M i mi
=
n
N
M k mk
nij
(26)
å
k =1
Изменение числа
частиц сорта i в
реакции j
n
Разделим числитель и знаменатель этого равенства на сумму всех масс
стехиометрический коэффициент компонента (вещества) i в реакции j
åM j
и
jj =
j =1
yi =
Находим:
n
Ci mi
å Ck
mk
k =1
Вместо числа частиц (молей) можно использовать число частиц в единице объема
r
rCk
nk = k =
mk
mk
Определение относительных мольных концентраций остается тем же
n A A + n B B = nC C
Нет обмена
энергией; не
меняется
объем
Из (21) r
ds
1
=dt
T
å
å
bi dZi
r
=T dt
(i )
å
å
r
gi mi
i =1
å
nij
j =1
nij j j dt =
j =1
r rC
ni = i = i
mi mi
n
å nij dx j
(33)
j =1
å
(i )
dt
=
1
T
r
å
Aj
j =1
dx j
dt
=
1
T
Теория Онзагера:
(34)
j =1
Производство энтропии,
связанное только с
химическими реакциями:
n
Aj = -
å giminij
dx j =
i =1
ss =
1
T
d j ni
nij
j =1
j = 1,2,..., r
(36)
X + Y = 2Z ,
закрытая система
dnX dnY dnZ
=
=
= dx
-1
-1
2
(37)
(38)
A = -[mX n X g X + mY nY gY + mZ n Z g Z ] = mX g X + mY gY - 2mZ g Z (39)
r
å
å l ji Ai ,
С другой стороны, экспериментальные исследования показывают, что в
небольшом интервале изменения химического сродства для каждой реакции
выполняется соотношение
j j = l j Aj , l j > 0
(37)
Требования второго закона термодинамики накладывают определенные ограничения
Пример 1.
Химическое
сродство
jj =
i =1
r
å A jj j
В соответствии с представлениями ТНП, потоком для скорости химической
реакции является ее скорость φ. А термодинамической силой, сопряженной
этому потоку, является сродство химической реакции А
r
gi dCi
r
T dt
nm
Ci = i i
r
dx j
(31)
0 £ x £1
r
r
d j ni =
j =1
ds 1 du p dg
= r + r dt T dt T dt
Из (28):
r
dni =
1 d j n1
1 d j n2
1 d j ni dx j
=
= ... =
=
n1 j dt
n 2 j dt
nij dt
dt
(29)
r
Изменение числа частиц сорта i
во всех реакциях в единице
объема закрытой системы
(30)
Полагая, что в начальный момент времени концентрации реагентов взяты в
стехиометрическом соотношении, найдем, что координата реакции меняется в
пределах от нуля до единицы:
Определим стехиометрические коэффициенты:
Уравнение
реакции
3
Вместе с другими термодинамическими переменными, например, с давлением и
температурой, x j является нормальной термодинамической переменной состояния
(28)
МОЛЯРНАЯ
МАСА
[j j ] = Моль/(м ·с)
координата или путь реакции; имеет одно и то же значение для всех
веществ, участвующих в реакциях. Еще одно название - степень полноты
реакции
d j ni
(32)
dx j =
для любого i
nij
xj
(27)
d j ni = nij j j dt ,
A jj j ³ 0
(35)
n
Aj = -
å giminij
i =1
dsi = s s dt =
r
1
[m X g X + mY gY - 2mZ g Z ]dx ³ 0 (40) s = 1 A j ³ 0
s
j j
T
T
å
j =1
GXYZ = mX g X + mY gY - 2mZ gZ
G XYZ
dx
³0:
dt
- функция температуры и состава
Пример 2
j1 = l11 A1 + l12 A2 ;
(41)
j2 = l21A1 + l22 A2
G XYZ > 0, x увеличивается
æ l11 l12 ö
÷÷
çç l
è 21 l22 ø
G XYZ < 0, x уменьшается
Осуществимость реакции зависит от характера зависимости химических
потенциалов от температуры и состава.
Если в реакции участвуют твердые вещества, скорость реакции зависит от
особенностей структуры и др.
В неоднородной системе скорость реакции непосредственно связана с
процессами переноса
l12 = l21; l11 ³ 0; l22 ³ 0; l11l22 - l12 2 ³ 0
Если реакции – связанные, то должно быть неотрицательным только суммарное
производство энтропии:
s s = l11 A12 + 2l12 A1 A2 + l22 A22 ³ 0
n
Aj = -
å giminij
s s(2 ) = j2 A2 = l22 A22 ³ 0
Пусть в твердом теле имеется градиент температуры
du = Tds - pdg
ds =
du p
+ dg
T T
cg dT
1 æ du ö
æ ds ö
rç ÷ = rç ÷ = r
dt
T
dt
è øg
è ø g T dt
x
¶ 1 1 ¶
¶T ¶x 1
ÑT
1 ¶
Тождественные ¶ JT
º
JT + JT
º
J T - JT
º Ñ × J T - JT
преобразования ¶x T
¶x T T ¶x
T ¶x
T
T2
T2
ds
¶ JT
1 ¶T
=- JT
¶x T
dt
T 2 ¶x
r
ds
= -Ñ × J s + ss
dt
(5)
r
å A jj j ³ 0
j =1
1 ¶T
J
¶T J T , y ¶T JT , z ¶T
ss = - T , x
2 ¶x
T
T 2 ¶y T 2 ¶z
æ ¶s ö
cg = T ç ÷
è ¶T ø g , Z
Для внутренней энергии (при отсутствии объемных источников и стоков)
справедливо уравнение баланса du
¶
r
= -Ñ × JT = - JT
(3) подставим
dt
¶x
его в (2)
ds
1 ¶
r =× JT
(4)
dt
T ¶x
r
s s = - JT
1
T
T 2 ¶x
В общем случае в декартовой системе координат:
(1)
(2)
J
Js = T ,
T
Находим:
(44)
ss =
i =1
T
(43)
Если реакции – несвязанные, l12 = 0 , то необходима неотрицательность производства
энтропии, связанная с каждой реакцией отдельно
s s (1) = j1 A1 = l11 A12 ³ 0,
Пример 3
(42)
Сравниваем
эти два
уравнения
Воспользуемся экспериментально установленным законом Фурье, в соответствии с
которым
¶T
JT = -l , l > 0
JT = -lÑT , l > 0
¶x
(6)
ss =
2
l æ ¶T ö
ç ÷ >0
T 2 è ¶x ø
Производство энтропии
для процесса
теплопроводности
2
æ ÑT ö
s s = lç
÷ >0
è T ø
Положительность определенного таким образом производства энтропии есть
следствие экспериментального закона Фурье. Именно на основе таких
экспериментальных законов Онзагер развил свою теорию. В общем случае
разделение на поток и производство энтропии – неоднозначно. Одним из
обязательных условий является требование второго закона термодинамики о
неотрицательности производства энтропии.
Работа расширения
Если же pV ¹ 0 :
(т.е., имеется объемная вязкость)
Пусть система может совершать только работу расширения
уравнение баланса
внутренней энергии
такой системы;
Из уравнения неразрывности
(4) Ñ × v = -
r
ds 1 du p e dg
r = r +
r
dt T dt T dt
(1)
du
= -Ñ × JT - pÑ × v
dt
(2)
p = pe + pV
(3)
r
dr
= -rÑ × v
dt
dg
1 dr 1 1 dg
ºr ,
=
dt
r dt r g 2 dt
имеем:
так как g =
du
dg
= - p er
(5)
dt
dt
Подставляем в (1)
r
ss = -
1
r
ds
p e dg p e dg
=- r +
r =0
dt
T dt T dt
Если система может совершать только работу расширения и нет вязких
сил, то такой процесс обратим, и производство энтропии равно нулю s s = 0
)
(6)
pV dg
pV
r ºÑ× v
T dt
T
Из эксперимента известен закон Ньютона для объемной вязкости:
p e = -hV Ñ × v ,
s s = hV
Если нет потока тепла J T = 0 и не наблюдается эффектов вязкости, pV = 0
Из (2) и (4): r
Проделывая те же самые
выкладки, получаем:
(
du
dg
= - p e + pV r ,
dt
dt
hV > 0
(Ñ × v)2 ³ 0
T
(7)
Как мы видим, требование второго закона термодинамики о неотрицательности
производства энтропии опять выполняется. Обобщенной термодинамической
силой, приводящей к появлению объемной вязкости, является Ñ × v
Вязкое давление будет сопряженным этой силе термодинамическим потоком.
Есть объемная вязкость и есть сдвиговая вязкость.
С именем Ньютона, как правило, связывают сдвиговую вязкость