Порядок оформления методических указаний к практическим и

Кировское областное государственное
образовательное бюджетное учреждение
среднего профессионального образования
«Кировский авиационный техникум»
МАТЕМАТИКА
Рабочая тетрадь
для студентов 2 курса очной формы обучения
по специальностям:
140446 «Электрические машины и аппараты»
220703 «Автоматизация технологических процессов и производств (по
отраслям)»
среднего профессионального образования
Студент группы ___________
__________________________
__________________________
Киров
2014
Печатается по решению Методического совета
КОГОБУ СПО «Кировский авиационный техникум»
(протокол №___ от _______201_ г.)
Рабочая тетрадь по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для студентов 2
курса очной формы обучения составлены в соответствии с рабочей
программой
дисциплины,
одобренной
цикловой
комиссией
естественноматематических дисциплин
Протокол №___ от «____»_________2014г.
Председатель цикловой комиссии
естественноматематических дисциплин _______________ Т.Н.Мелехина
Составитель:
Т.А. Боброва - преподаватель Кировского авиационного
техникума
Редактор: С.И. Арасланова – Зав. ИМС Кировского авиационного
техникума
Дисциплина «Математика» [Текст]: рабочая тетрадь для студентов
очной формы обучения по специальности 140446 - «Электрические
машины и аппараты», 220703 «Автоматизация технологических процессов и
производств (по отраслям)»/ Т.А. Боброва; ред. С.И. Арасланова; КОГОБУ
СПО «Кировский авиационный техникум». - Киров: КАТ, 2014. - 45 с.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначены для
работы студентов очной формы обучения на занятии как самостоятельно,
так и под руководством преподавателя. Содержит основной теоретический
материал и список заданий для решения по всему курсу дисциплины.
Может быть полезна студентам, обучающимся в системе среднего
профессионального образования, как для самостоятельного изучения
материала, так и для систематизации знаний и умений по курсу.
© КАТ, 2014
2
Содержание
Пояснительная записка…………………………………………………............
5
Раздел 1. Линейная алгебра.................................................................................
7
Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами:
сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число,
транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в
степень …………………….....................................................................
Определитель квадратной матрицы. Определители
7
2-го, 3-го
порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная
матрица. Матричные уравнения.........................................................
10
Основные понятия и определения: общий вид системы линейных
уравнений (СЛУ) с
3-я переменными. Совместные определенные,
совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по
формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса..............
Раздел 2. Математический анализ...................................................................
13
15
Аргумент и функция. Область определения и область значений
функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их
свойства и графики..............................................................................
15
Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на
бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и
второй замечательные пределы...........................................................
18
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва
первого и второго рода..............................................................................
Раздел 3. Дифференциальное исчисление.........................................................
22
23
Определение производной. Геометрический смысл производной.
Механический
смысл
производной.
Производные
основных
элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.....
23
Исследование функции с помощью производной: интервалы
монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование
функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее
3
27
значение функции......................................................................................
Раздел 4. Интегральное исчисление.............................................................
29
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства
неопределенного
интеграла.
непосредственного
Таблица
интегрирования.
интегралов.
Интегрирование
Метод
методом
замены переменной..............................................................................
29
Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного
интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление
площади плоских фигур, значений геометрических величин...........
32
Раздел 5. Комплексные числа .........................................................................
35
Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация
комплексных
чисел.
Алгебраическая,
тригонометрическая,
показательная форма записи комплексных чисел. Действия над
комплексными числами........................................................................
Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика................
35
38
Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки,
сочетания. Формула Ньютона. Случайные события. Вероятность
события. Простейшие свойства вероятности......................................
38
Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд...
40
Справочные материалы................................................................................
43
Список литературы..............................................................................................
46
4
1. Пояснительная записка
Рабочая тетрадь полностью включает материал, предусмотренный
программой по "Математике" для средних специальных учебных заведений.
В нем найдут много полезного для себя студенты 2 курса технических
специальностей.
Мысль о том, что по рабочей тетради можно учиться, не вызывает
сомнения. Данная тетрадь содержит основной материал всех разделов курса:
математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства и т.д. В
рабочей тетради весь материал, относящийся к какому-либо понятию,
помещен компактно. Это поможет вам быстро получить все необходимые
сведения об интересующем вас понятии.
Эта тетрадь поможет систематизировать знания, быстро и полно
повторить основные моменты той или иной темы, найти нужные сведения.
Кроме теоретических сведений в рабочей тетради содержится перечень
основных задач по темам курса для аудиторной и внеаудиторной работы.
Студент может:
 дополнять теоретические сведения в рабочую тетрадь;
 быстро найти нужную информацию о той или иной формуле, теореме,
понятии и т.п.;
 при подготовке к устному ответу или к контрольной работе прочитать
и обдумать соответствующий материал по теме;
 при решении задач использовать соответствующий теоретический
материал;
 при подготовке к устному экзамену теоретический материал рабочей
тетради взять за основу при чтении учебников.
Учитель может:
 при объяснении нового материала использовать "открытые" опорные
конспекты, имеющиеся в рабочей тетради;
5
 избавить себя от утомительной процедуры «надиктовывания» планконспектов, формул и т.п.
 проводить письменный или устный опрос по материалам рабочей
тетради;
 использовать теоретические сведения из рабочей тетради при решении
задач, во время проведения самостоятельных работ;
 проводить
по
данной
тетради
комплексное
или
тематическое
повторение;
Автор надеется, что рабочая тетрадь принесет пользу всем, кто будет
использовать её при освоении математики!
6
Раздел 1. Линейная алгебра
Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и
вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование
матриц, умножений матриц, возведение в степень.
Матрицей A  ( aij ) называется прямоугольная таблица, составленная из m  n
элементов aij (1  i  m, 1  j  n) некоторого множества. Записывается матрица в виде:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
.
A

   


a

a

a
m2
mn 
 m1
Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента aij
обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении которых находится
этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n столбцов, то, по определению, она
имеет размерность m  n .
Матрицы A и B называются равными, если все aij  bij
Типы матриц
Тип матрицы
1) Если матрица состоит из одной строки,
то она называется матрицей-строкой
Пример
2) Если матрица состоит из одного столбца,
то она называется матрицей-столбцом
3) Если число столбцов матрицы равно
числу строк (m=n), то матрица называется
квадратной. Матрица размера n  n
называется квадратной матрицей n-го
порядка. Элементы a11, a22 , , ann образуют
главную диагональ матрицы
4) Матрица E с элементами
1 при i  j ,
aij  
называется единичной
0 при i  j
матрицей n-го порядка
5) Если все элементы матрицы, кроме
элементов главной диагонали, равны нулю,
то матрица называется диагональной
6) Если все элементы матрицы равны нулю,
то матрица называется нулевой
7) Если amn = anm , то матрица называется
симметрической
7
Действия над матрицами
Действия
1) Суммой (разностью) матриц является
матрица, элементами которой являются
соответственно сумма (разность) элементов
исходных матриц.
cij = aij  bij
С = А + В = В + А.
Замечание: Главным свойством этих
операций является то, что они определены
только для матриц одинакового размера
2) Операция умножения (деления) матрицы
любого размера на произвольное число
сводится к умножению (делению) каждого
элемента матрицы на это число.
 a11

 a
A   21
...

 a
 m1
a12
a 22
Пример
 2 4 6
1 3 4




А =  4 2 8 ; B = 5 7 8
 6 4 6
1 2 4




А+В=
А–В=
 1 2 3


А =  2 1 4
 3 2 3


... a1n 

... a 2 n 
...
... 

... a mn 
...
a m 2
2А=
3) Произведением матриц называется
матрица, элементы которой могут быть
вычислены по следующим формулам:
3 4

А= 1 2 , В = 
5 6
n
сij   aik  bkj .
АВ=
k 1
Замечание: Главным свойством этой
операции является то, что операция
умножения матриц определена только для
матриц, число столбцов первой из которых
равно числу строк второй.
Замечание: Если надо умножить несколько
матриц, то необходимо производить
умножение последовательно слева направо.
A  B  C  D   A  B  C   D
4) Возведение матрицы А в натуральную
степень n определяется как произведение n
матриц, каждая из которых равна А.
1
 
А =  4  и В = 2 4 1 .
 3
 
АВ =
3 4

А = 
5 6
A2 =
A3 =
5) Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В
транспонированием, если элементы каждой
строки матрицы А записать в том же
порядке в столбцы матрицы В.
 а11

А=  a 21
 ...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 
 a11


... a 2 n  АТ=  a12
 ...
... ... 


a
... a mn 
 1n
 2 0  8


A  1 3 0 
5 6 4 


a 21 ... a m1 

a 22 ... a m 2 
... ... ... 

a 2 n ... a mn 
AT 
другими словами, bji = aij.
8
1.1 Выполните операции с матрицами:
1.
Найдите сумму и разность матриц С и D
2.
Найдите произведение матрицы А на число 4
3.
Найти матрицу
4.
Найти матрицу
5.
Составьте транспонированную матрицу, полученную из А:
6.
Найдите произведение матриц
7.
Найдите матрицу D  A 2  3B  E
, если
, если
8. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно).
32

а) A  
,
5

4


3 4
.
B  
 2 5
1 2 3
б) A  
,
1 0  1


3 4 5 


B  6 0  2
7 1 8 


1 2 
в) A  
 3 4 ,


 1 3


B    2 2 .
 1 0


9. Решите задачу:
Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы
затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей
2 1 3
. Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В=(10 15).
A  
1 3 4 
Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида,
200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида?
9
Определитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков.
Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица.
Матричные уравнения.
 a11 a12 

 a21 a22 
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка 
называется число a11 a22  a12 a21 .

Обозначается:
a11 a12
 a11 a22  a12 a21 .
a21 a22
Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка, схематически
можно изобразить следующим образом:
     


     
 
 
или


 a11 a12 a13 


Определителем квадратной матрицы третьего порядка  a21 a22 a23  называется
a

 31 a32 a33 
число a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32  a13 a22 a31  a12 a21 a33  a11 a23 a32 .
Обозначается:
a11 a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23 
a33
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31  a12 a21a33  a11a23a32 .
1 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод треугольников):
a11
a12
a13
  a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33

* * *
* * *
схема метода :  * * *
* * *
* * *
* * *

 a11  a 22  a33  a13  a 21  a32  a31  a12  a 23   a31  a 22  a13  a11  a32  a 23  a33  a 21  a12 
2 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод Саррюса):
+ + + a13 a11
a12
a23 a21 a22
a33 a31 a32
-
-
a13 a11
a23 a21  a13  a21  a32  a11  a22  a33  a12  a23  a31   a11  a23  a32  a13  a22  a31  a12  a21  a33 
a33 a31
3 способ вычисления определителя (разложение определителя по элементам строки
или столбца):
Минором M ij элемента aij называется определитель (n1)-го порядка  n 1 , полученный из
определителя n-го порядка  n вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
i j
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством Aij  (1) M ij .
10
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель
этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных
строках на их алгебраические дополнения.
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23 | сумма произведений всех элементов
a33
какой  либо строки
(какого  либо столбца) на их алгебраические дополнения |
Свойства определителей:
Обратная матрица
Матрица A1 называется обратной для квадратной матрицы A  A  0 , если
A1  A  A  A1  E .
Алгоритм нахождения обратной матрицы
1.2 Найти определитель
1
3
6 4
1.3 Найти определитель тремя способами
2 1 4
1) 4
7
3
0
5
1
2 1 4
2) 4
7
3
0
2 1 4
3) 4
5
1
7
11
3
0
5
1
1.4 Вычислите определители второго порядка
а)
3 2
4
6
б)
2 3
6  10
в)
3 2
4 5
г)
а 1
д)
sin  cos 
 cos  sin 
а
а
1.5 Вычислите определители третьего порядка первым способом (а, б), вторым
способом (в, г)
1 2 0
2 1 3
а 1 а
32 1
а)  2 2 3
б) 0 1 3
в)  2 3 2
г)  1 а 1
1 02
5 0 1
0 2 5
а 1 а
1.6 Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы:
 5  2 3


А   2 1 0
1 1 2


1.7 Вычислите определители третьим способом, используя разложение по строке,
либо по столбцу.
1 2
3 2
2 5 7
1 0 1
0 1 2 3
0
1
2
7

7
21
а)
б)
в)  1  1 0 4
0 2 4
4 8 12
2 3 2 5
 5  2 3


1.8 Найти обратную матрицу для матрицы А   2  1 0 
1 1 2


12
Основные понятия и определения: общий вид системы линейных
уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные,
совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по
формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет вид:
a11x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a21x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b ,
33 3
3
 31 1 32 2
где aij  коэффициенты системы; bi  свободные члены.
Система
совместная
Условие
несовместная
определенная
неопределенная
однородная
К элементарным преобразованиям относятся:
Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное
решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
 = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой
столбца i столбцом свободных членов bi.
a11...a1i 1 b1 a1i 1 ...a1n
a ...a
b a 2i 1 ...a 2 n
i = 21 2i i 2
...
...
...
a n1 ...a ni1 bn a ni1 ...a nn
13
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..........
..........
..........
..........
.......

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11 a12

Составим матрицы: A =  a 21 a 22
 ... ...

a
 n1 a n 2
... a1n 

... a 2 n  ;
... ... 

... a nn 
B=
 b1 
 
 b2  ;
 ... 
 
b 
 n
X=
 x1 
 
 x2  .
 ... 
 
x 
 n
Систему уравнений можно записать: AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b
33 3
3
 31 1 32 2
Прямой ход: Путем последовательного исключения переменных система уравнений
сводится к ступенчатому виду, т.е. к системе, в которой каждое последующее уравнение
содержит меньшее число переменных, чем предыдущее.
Последовательное исключение переменных можно осуществить с помощью
элементарных преобразований:
a) Умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число;
b) Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих
частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.
Замечание: Перестановка уравнений не изменяет систему, т.е. ее решение остается
прежним.
Обратный ход: Из последнего уравнения непосредственно определяется неизвестная х3,
затем подставляется во второе уравнение и находится х2, после чего найденные значения
подставляются в первое уравнение и находится х1.
1.10 Найти решение системы уравнений методом Крамера, матричным методом,
методом Гаусса:
2 x1  x 2  x3  5

а)  x1  2 x2  3x3  3
7 x  x  x  10
2
3
 1
5 x  y  z  0

б)  x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

 x  3 y  6 z  12

г) 3x  2 y  5 z  10
2 x  5 y  3z  6

 x1  x 2  x3  x 4  4
2 x  x  3 x  2 x  1
 1
2
3
4
д) 
 x1  x3  2 x 4  6
3x1  x 2  x3  x 4  0
14
2 x1  x2  3x3  5,

в)  x1  2 x2  2 x3  17 ,
 x  x  3x  4.
2
3
 1
Раздел 2. Математический анализ
Аргумент и функция. Область определения и область значений
функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их
свойства и графики.
Свойства функции
1. Область определения
2. Множество значений
3. Нули функции
4. Четность, нечетность
5. Периодичность
6. Монотонность
7. Экстремумы
Заполните второй столбик таблицы:
Функция, её график
Линейная функция
Степенная функция
y  2x  1
y  x2
Степенная функция y 
x
15
Свойства функции
1
Показательная функция y   
2
x
Логарифмическая функция y  log 2 x
Тригонометрическая функция
y  sin õ
16
Тригонометрическая функция y
 cos x
Тригонометрическая функция y
 tg x
Тригонометрическая функция y
 ctg x
17
Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на
бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и
второй замечательные пределы.
Числовая последовательность и её предел
Числовая последовательность – _________________________________________________
______________________________________________________________________________
Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для
произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется
такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство
|xn - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится
, и пишут a  lim xn
к a при
n
Предел функции
Число А называется пределом функции f(x) при x  a , если для любой
последовательности аргументов x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...xn  a  , сходящейся к а,
соответствующая последовательность значений функции f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),... сходится
к А.
Число А называется пределом функции f(x) при x  a , если для любого   0
существует такое   0 , что для всех х, удовлетворяющих условиям x  a   , x  a ,
выполняется неравенство f ( x)  b   .
Обозначается lim f ( x)  À
x a
Предел функции в точке
y
Функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки
х = а (т.е. в самой точке х = а
функция может быть и не
определена)
f(x)
A+
A
A-
0
a- a a+
x
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0
существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство
A  f (x)  
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают: lim f ( x)  A.
x 
18
Графически можно представить:
y
y
A
A
х
0
0
х
y
y
A
A
х
0
0
х
Основные теоремы о пределах
Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха, то
Теорема 1. lim C  C , где С = const.
xa
Теорема 2. lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
Теорема 3. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
Следствие. lim C  f ( x)  C  lim f ( x)
x a
Теорема 4. lim
xa
x a
f ( x)
f ( x) lim
 xa
g ( x) lim g ( x)
xa

при lim g ( x )  0
Теорема 5. lim [ f ( g ( x))]  f lim g ( x)
x a
x a
Теорема 6. lim  f ( х)
g(х)
x a
xa

 lim  f ( x)xa
lim g ( x )
x a
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или
одной из величин , + или -, если lim f ( x)  0 .
xa
Функция называется бесконечно большой при ха, где а – число или одна из
величин , + или -, если lim f ( x)  A , где А – число или одна из величин , + или -.
xa
Обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и
наоборот.
Табличные пределы
c

x 0 x
2. lim  c  x   0
x 0
1. lim
3. lim
x 
x

c
4. lim
c
0
x
x 
19
Методы вычисления пределов
1) Метод непосредственного вычисления
0
2) Раскрытие неопределенностей вида
0
0
Для того чтобы раскрыть неопределенность вида 0 при отыскании предела
Pn ( x )
Q
x a m ( x )
отношения многочленов lim
, нужно
1. определить тип неопределенности,
2. если неопределенность вида
двучлен x  a  .
0
0 , то поделить числитель и знаменатель на
Замечание: При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями
0
вида 0 используется рассмотренный выше прием, но предварительно
умножают числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и
знаменателю

3) Раскрытие неопределенностей вида

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении x   дает
неопределенность вида  , то нужно числитель и знаменатель поделить на
старшую степень x встречающуюся в этой функции.
4) Замечательные пределы
Первый замечательный предел lim
x 0
sin x
1
x
Второй замечательный предел: lim (1  x)
1
x
x 0
 e или
1
lim (1  ) x  e
x 
x
5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые функции
При x  0
sin x~ х
tg x ~ х
arcsin x~ х
arctg x ~ х
ln(1+x) ~ х
ex -1~ х
ax -1~ х ln a
20
Вычислите пределы функций указанным методом:
1) Метод непосредственного вычисления
5x 3  x 2  2
x 1 2 x 2  4 x  9
lim
2) Раскрытие неопределенностей вида
x 3  3x 2  2 x
а) lim
x  x6
x 4
3) Раскрытие неопределенностей вида
lim
1  2x  3
x 2
б) lim
2
x 2
0
0


2 x 3  3x 2  5
3x 3  x  1
x 
4) Замечательные пределы
sin x
x 0 5 x
 2
д) lim 1  
x 
 x
sin 4 x
x 0 3 x
sin 3 x
x 0
x
а) lim
б) lim
2
 3 õõ

е) lim 
x 0
 3 
3x
sin 5 x
x  0 sin 7 x
в) lim
 x 1 

x   x  2 
ж) lim 
г) lim
2 x 1
.
5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций
arcsin 3 x
е5х  е3х
а) lim
б) lim
x 0
x  0 sin10 x
2x
Вычислите пределы функций:

a) lim 2 x 4  5x 2  10
x3

г) lim x  x 2  5
x
3 

ж) lim 1  
x 
 4x 

4x 3
ln 1  7 x 
x 0
sin 7 x
к) lim

2 x 3  3x
x  4 x 2  5 x 4
sin 5 x
д) lim
x 0
x
1 x2
x 1 x 2  4 x  3
tg 3 x
е) lim
x 0
x
x 3  3x 2  3
з) lim
x 2
x2  3
5

и) lim 1  
x 
x
2  4 x 2  3x 2
л) lim 3
x   x  7 x  10
м) lim
б ) lim
2
н) lim 1  3 x  x
о) lim
x 3  7 x 2  10
р) lim
x 2
8  x3
x3  x2  x 1
с) lim
x 1
x 2  4x  3
x 0
у) lim
x 7
2 x3
x  49
2
x 1
x 3  3x 2  2
x2  7x  6
sin 3 x  1
x  1 x 2  4 x  5
ф) lim
21
в) lim
x 2
п) lim
x 
x
x7 3
x2 2
x3  1
x2 1
 3x  2 

т) lim 
x  3 x  1


4 x 1
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва
первого и второго рода.
1. Односторонние пределы
Пределом функции слева (справа) называется предел, вычисляемый в
предположении, что х стремится к x0 , оставаясь всё время меньше (больше) x0 .
lim f ( x) - предел функции слева
x  х0  0
lim
x х0  0
f ( x) - предел функции справа
Пределы слева и справа называются односторонними.
у
х
0
у
0
х
2. Непрерывность функции
Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x  x0 , если:
Функция y  f (x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка.
3. Классификация точек разрыва
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности (не выполняется
хотя бы одно из этих условий непрерывности функции в точке), называется точками
разрыва этой функции.
Пусть х0 – точка разрыва функции y  f (x) .
Тип точки
Условие
Рисунок
разрыва
Точка
lim f ( x)  lim f ( x)

x  х0  0
x х0  0
устранимого
 односторонние пределы разрыва
конечные
 f(х0) не существует
Точка разрыва 
первого рода

Точка разрыва 
второго рода
lim f ( x)  lim
x  х0  0
x х0  0
f ( x)
односторонние пределы конечные
lim f ( x)   или
x  х0  0
lim f ( x) не существует
x  х0  0

lim f ( x)   или
x  х0  0
lim
x х0  0
f ( x) не существует
22
Найдите точки разрыва функции
x2
а) f ( x) 
x4
4  x, x  0

б) f ( x)  2 x 2 ,0  x  1
3 x  1, x  1

в) f ( x)  2
1
3 x 1
1
x  х2
x  0,
 x  2, если
 2
д) f ( x)   x  1, если 0  x  2,
2 x  1, если
x  2.

г) f(x) 
x3  8
е) f(x) 
x2
х  15 - 3
ж) f(x) 
х 2  36
x  ,
sin x, если

з) f ( x)   1, если   x  5,
 x  6, если
x  5.

23
Раздел 3. Дифференциальное исчисление
Определение производной. Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной. Производные основных
элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.
Определение производной
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0.
x  x  x0, - приращением аргумента
y
f  f ( x0  x)  f ( x0 ) - приращением функции
y=f(x)
f(x)
∆y
f(x0)
Производной функции f(x) в точке x0 называется
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
∆x
0 x0
x
x
f ( x0 )
( f ( x)  f ( x0 ))
 lim
x  0
x  0
x
( x  x0 )
Дифференцирование ___________________________________________________________
f ( x0 )  lim
Правила дифференцирования
Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:

1) C U   C U 
2) U  V   U   V 

3) U V   U  V  V  U

 U  U  V  V  U
4)   
V2
V 
5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная
сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на
производную этого аргумента по независимой переменной.
y x'  yU'  U x'
Формулы дифференцирования
№
1
2
3
4
5
Производная элементарной функции
Производная сложной функции
C   0
Степенная функция
x   1


х    х 1
U n  n  U n1  U 


1
1
х 
U 
U 
2 х
2 U


1
1
1
1


 
    2 U 
2
х
U
 х
U 
 
 
 
 
24
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Показательная функция

а х  а х  ln a
aU  aU  ln a  U 


eх  eх
e U  eU  U 
Логарифмическая функция
log a х   1
log a U   1  U 
х  ln a
U  ln a
ln х   1
ln U   1  U 
х
U
lg U   1  U 
lg х   1
U  ln 10
х  ln 10
Тригонометрическая функция

sin х   cos х
sin U   cos U  U 
(cos х)   sin х
(cos U )   sin U  U 
tgх   12
tgU   12  U 
cos х
cos U
ctgх    12
ctgU    12  U 
sin х
sin U
Обратная тригонометрическая функция
1
1

arcsin х  

arcsin U  
U 
1 х2
1U 2
arccos х    1 2
arccos U    1 2  U 
1 х
1U
arctg х   1 2
arctgU   1 2  U 
1 х
1U
arcctg х    1 2
arcctgU    1 2  U 
1 х
1U

 
 
 
 
Замечание: __________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней
– это самое главное!
y
Геометрический смысл производной
f x0   k  tg
Уравнение касательной к кривой:
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
y=f(x)
Уравнение нормали к кривой:
1
y  f ( x0 ) 
( x  x0 ) .
f ( x0 )
M0
f(x0)
φ
0
x0
x
25
Физический смысл производной
Производная функции показывает _________________________________ функции.
Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения
(изменения координат) –______________________________________движения. v(t )  s (t )
Вторая производная функции –. _____________________ а(t )  v (t )
Производная высших порядков
Производная y   f (x) от функции y  f (x) называется производной первого порядка,
или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует,
называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и
d2y
обозначается y  , f (x) ,
.
dx 2
Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная
от производной (n-1) - порядка;

d n y d d n 1 y

(
).
y n   y n1 , f n  ( x)  ( f n1 ( x)) ,
dx n dx dx n 1
Дифференциал функции
df x   f ' x dx или dy  y ' dx.
Использование дифференциала для приближенных вычислений
f ( x0   x)  f ( x0 )  f ( x0 ) x .


3.1 Найти производную функции:
4
а) f ( x)  1 x 5  3 6 x  7 x 7  2
3

б) f ( x)  ln x  4
2
в) f ( x)  x  e
3

x3
и) y 
с) y  ln( x 2  2 x)
sin 2 x
x3  1
2
т) y  cos ln( 1  x )
к) y  3 x 4  sin 4 x

2
у) y  x cosx

л) y= x 5  3x  1
4
x 1
arctg 1 x 2
г) f ( x) 
м) y  e
ln x
tg 3 5 x
д) y  5x 4  37 x 3  7 x 5  4
н) y  3
2
3

е) y 
cos 2 x  1
x 3x
о) y 
sin 2 x  1
x4  1
ж) y  4
2
x 1
п) y  3 (4  3x)
1  ln x
1
з) y 
р) y 
x
(1  x 2 ) 5
3.2 Найти дифференциалы функции:
а) f(x) = 2 - 3x + x3
б) f(t) = t2 + cos3t – 5
2
3.3 Найти n-производную функции:
2
a) y  1  4 x arctg 2 x
y 
х
г) y  2  3
y  
2
2
б) y  ( x  1) ln( 1  x )
y 
д) y  sin 2 x
y  


2
в) y  1  x
y  


5
26
ф) y  5 x  x3 x
х) y  e x 1  e 2 x  arcsine x
ц) y  ln
1 x2 1
x
ч) y  e x tg 4 x

3
ш) y  sin 3 tg ln x
в)
f ( x)  e
3
x

Исследование функции с помощью производной: интервалы
монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование
функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее
значение функции.
Алгоритм исследования функции:
Заполните первый столбик в таблице:
Этап
Комментарии
Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая
переменная х функции y=f(x)
1. D(y) симметрична относительно 0
2. f(–x)= f(x) – функция четная (график симметричен относительно
оси Оу)
f(–x)= – f(x) – функция нечетная (график симметричен
относительно начала координат)
Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки графика
функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Вертикальная асимптота x  a
если: lim f ( x)   или lim f ( x)  
x a  0
x a 0
Горизонтальная асимптота y  b
если: lim f ( x)  b или lim f ( x)  b
x 
x  
Наклонная асимптота y  kx  b
f ( x)
k
x 
x
или
lim  f ( x)  kx  b
lim
если:
x 
- с осью ОХ (у = 0)
- с осью ОУ (х = 0)
27
f ( x)
k
x 
x
lim  f ( x)  kx  b
lim
x 
Найти производную f (х) данной функции f(х).
Найти критические точки (внутренние точки области определения,
в которых производная функции f (х) равна нулю или не
существует).
Критические точки разбивают область определения функции f(х)
на интервалы, в каждом из которых производная f (х)
сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами
монотонности.
Определить знак производной на каждом из интервалов
монотонности.
 Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.
 Если f (х)  0, то f(х) убывает на этом промежутке.
Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х0.
Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «-» на
«+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.
Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «+» на «», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.
Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в
этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.
1) Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).
2) Найти критические точки второго рода (внутренние точки
области определения, в которых вторая производная функции
f (х) равна нулю или не существует).
3) Критические точки второго рода разбивают область
определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых
производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут
интервалами выпуклости.
4) Определить знак второй производной на каждом из
интервалов выпуклости.
 Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.
 Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.
 Если f (х) меняет знак при переходе через критическую
точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба
графика функции.
Совокупность всех тех значений, которые принимает зависимая
переменная у
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Если функция f(x) дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке [а; b],
то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке [а; b]
нужно:
3.4 Исследовать функцию и построить её график:
а) y = 2 - 3x + x3
г) у 
х2  7
х2  7
б) y 
д) y 
x3  4
x2
в) у 
x3
x 2  4 х  32
28
х2  х 1
х 1
Раздел 4. Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства
неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом
замены переменной.
Первообразная функция
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b],
если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x).
Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много
первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную.
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность
первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают:
 f ( x)dx  F ( x)  C;
 – знак интеграла,
f(x) dx – подынтегральное выражение,
F(x) – первообразная функции f(x),
С – константа.
Свойства неопределенного интеграла

1.  f ( x)dx  ( F ( x)  C )  f ( x);
где


 f(x)  g(x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx где f(x), g(x) – некоторые функции от х.
3.  C  f ( x)dx  C   f ( x)dx;
2.
Таблица неопределенных интегралов
1.  0  dx  c
2.
 1  dx  x  c
3.

 x  dx 
dx
1
x
 arctg  c
2
x
a
a
dx
1
xa

ln
c
12.  2
2
x a
2a x  a
dx
1
xa

ln
c
13.  2
2
a x
2a x  a
dx
 ln x  a 2  x 2  c
14. 
2
2
a x
dx
15. 
 ln x  x 2  a 2  c
2
2
x a
dx
x
 arcsin  c
16. 
a
a2  x2
11.
x 1
 c,   1
 1
dx
 ln x  c
x
ax
c
5.  a x  dx 
ln a
6.  e x  dx  e x  c
4.

7.
 sin x  dx   cos x  c
 cos x  dx  sin x  c
8.
a
2
 tgx  dx   ln cos x  c
18.  ctgx  dx  ln sin x  c
17.
dx
 tgx  c
9. 
cos 2 x
dx
10.  2  ctgx  c
sin x
29
Методы интегрирования
1) Непосредственное интегрирование
4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:
 4

 x2 2

8
1.     4 x  3 dx
 6 x dx
5.   2 
 2 х

1 x2
 sin x


x
2.  
2
3
 2x  x
3. 

  dx


6. 
x2  x  2
dx
x 1
7.  ( x 2  2 sin x  1)dx
2 3 x  3x 2
dx
x2
3 
 5
4.    2e x  2
  dx
x 1
 3x
8.
3dx
 9  16 x
2
2) Метод введения новой переменной (метод подстановки)
Алгоритм
4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки:
x
1.  x( x 2  1) 3 / 2 dx.
11.  (2 x  1) 20 dx
6. 2e dx
 2  e 
x 2
2.
3.

sin x cos xdx
x2
 cos 2 x 3 dx
4. 
5. 
sin x
 dx
5  cos x
x  dx
2x 2  3
12.

2  x2  2  x2
dx
x  ln x
13.

cos x
9.  sin 3 x  dx
14.

10.  sin 2 x  dx
15.  cos 2x  sin xdx
7.  sin x  cos x dx
4
8. 
30
4  x4
sin 3 x
dx
x  arctgx
dx
1 x2
dx
3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле:
 udv  uv   vdu
где u, v – непрерывно-дифференцируемые функции от х.
Алгоритм
Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы:
Интеграл вида:
 f(x)  sin kx  dx
 f(x)  ln kx  dx
 f(x)  cos kx  dx
 f(x)  e  dx
 f(x)  a  dx
kx
kx
u  f ( x)  du  f ( x)  dx
 sin kx  dx
cos kx  dx

dv   kx

 e  dx
 a kx  dx
 sin kx  dx

 cos kx  dx
v   kx
  e  dx
 a kx  dx
 
 f(x)  arcsin kx  dx
 f(x)  arccos kx  dx
 f(x)  arctg kx  dx
 f(x)  arcctg kx  dx
Замена
 ln kx
 arcsin kx

u  arccos kx 
 arctg kx

 arcctg kx
 ln kx  dx

 arcsin kx   dx

du  arccos kx   dx


 arctg kx   dx
 arcctg kx   dx

 sin ax  e
 cos ax  e
kx
 dx
kx
 dx

u  e kx  du  e kx  dx
 
 sin ax  dx
dv  

cos ax  dx
 sin ax  dx
v  
 cos ax  dx
dv  f ( x)  dx  v   f ( x)  dx
Замечание
Интегрируют по частям
столько раз, какова степень
многочлена f(x)
где f(x) – степенная функция
Интегрируют по
частям два раза
4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
1.  ( x  5)cos x  dx.
6.  e 2 x cos xdx
ln x
 x 3 dx
3.  x  arctgx dx
7.  e  x sin xdx
4.  x 2 sin x  dx
9.
2.
5.
x
2
å 4 õ  dx
8.  5 x 2 e 5 x dx
 x ln xdx
10.  10 x cos xdx
31
Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного
интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади
плоских фигур, значений геометрических величин
Формула Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F(x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
Методы вычисления определенных интегралов
1) Метод непосредственного интегрирования
4.4 Найдите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования:
 x
4
1.
2

3
4
 2 x  dx
1
2.
2 3
3
3  dx
 9  16x
3.
2

3
3
3
4
dx
4  3x 2
2) Метод подстановки
Особенностью является только то, что, заменяя переменную интегрирования, не забыть
изменить соответственно пределы интегрирования.
4.5 Найдите определенные интегралы методом подстановки:
3

2
2
x
dx
3
1.  sin  dx
2.
3  e x  x 2  dx
2
3.
3
0
2 x  1


0
0
3) Метод интегрирования по частям
4.6 Найдите определенные интегралы методом интегрирования по частям:

e
1.  lnx  dx
1
6
2.
 2  x sin 3x  dx
0
Геометрический смысл определенного интеграла
Определенный интеграл численно равен площади S
криволинейной трапеции, ограниченной:
 прямыми x = а, х = b;
 осью Ох (у = 0);
 частью графика y = f(x) непрерывной и
неотрицательной функции.
Основные случаи расположения плоской фигуры
1
b
S   f ( x)  dx
a
32
2
b
S   f ( x)  dx
a
3
с
d
b
a
с
d
S   f ( x)  dx   f ( x)  dx   f ( x)  dx
4
b
S    f ( x)   ( x)   dx
a
5
с
c
a
b
с
b
a
c
S   f ( x)  dx    ( x)  dx
6
S   f ( x)  dx    ( x)  dx
7
b
c
a
b
c
b
a
c
S    f ( x)  g( x)   dx   g ( x)  h ( x)   dx
8
S    ( x)  f ( x)  dx    f ( x)   ( x)  dx
33
9
y  f ( x)  x   ( y )
b
S    ( y)  dy
a
Алгоритм решения задач на вычисление площадей плоских фигур
4.7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) f ( x)  2  2 x 2
g ( x)  x  1
2
б) y = x, y = x , x = 2
Объем тел вращения
d
b
Vy     2 ( y)dy
Vx    f 2 ( x)dx
c
a
4.8 Найти объем тела, полученного вращением
а) вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у 
4
, прямыми
х
= 1, х = 4 и осью Ох
б) вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0.
34
х
Раздел 5. Комплексные числа
Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая,
показательная форма записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами
Комплексным числом z называется выражение z  a  ib , где a и b – действительные
i   1.
числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: i 2  1;
a - действительная часть числа z (a = Re z),
b - мнимая часть числа z (b = Im z).
Комплексное число
чисто мнимое
действительное
комплексно – сопряженные
равные
равно нулю
Условие
у
Геометрическая интерпретация –
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
Форма записи
комплексного числа
Алгебраическая
b
A(a, b)
r

0
a
Вид
x
Операции
z  a  ib , где
a = Re z – действительная
часть
b = Im z – мнимая часть
z1  a1  ib1
z 2  a2  ib2
Сложение
z  z1  z 2  (a1  ib1 )  (a 2  ib2 ) 
 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )
Вычитание
z  z1  z 2  (a1  ib1 )  (a 2  ib2 ) 
 (a1  a 2 )  i(b1  b2 )
Умножение
z  z1 z 2  (a1  ib1 )( a 2  ib2 ) 
 a1 a 2  ia1b2  ib1 a 2  i 2 b1b2 
 (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  b1a2 )
Деление
z
a  ib1
z 1  1

z 2 a2  ib2
35

(a1  ib1 )( a 2  ib 2 )

(a 2  ib 2 )( a 2  ib 2 )
(a1 a 2  b1b2 )  i (a 2 b1  a1b2 )

a 22  b22
a a bb
a b a b
 1 22 12 2  i 2 21 12 2
a2  b2
a2  b2
z1  r1 (cos 1  i sin 1 )
z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ).

Тригонометрическая
z  r (cos   i sin  ) , где
r  z – модуль
  Arg z – аргумент
Умножение
z  z1 z 2 
r  a2  b2
1) Если à  0 (1-ая и 4-ая
координатные четверти), то
аргумент нужно находить по
b
формуле arg z  arctg .
a
Показательная
 r1 r2 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 ))
Деление
z

z1

z2
r1
(cos(1   2 )  i sin( 1   2 ))
r2
2) Если à  0, b  0 (2-ая
координатная четверть), то
аргумент нужно находить по
b
формуле arg z    arctg .
a
Возведение в степень
z n  r n (cos n  i sin n) –
формула Муавра
Извлечение корня
n
z  n r (cos   i sin  ) 
3) Если à  0, b  0 (3-я
координатная четверть), то
аргумент нужно находить по
b
формуле arg z    arctg .
a
  2k
  2k 

 n r  cos
 i sin

n
n 

корень n–ой степени из
комплексного числа имеет n
различных значений при
k  0,1,...n - 1
z  re i , где
z1  r1e i1
r  z – модуль
  Arg z – аргумент
z 2  r2 e i2
Умножение
z  z1 z2  r1r2åi (1 2 )
Деление
z
z1 r1 i (1 2 )
 å
z 2 r2
Возведение в степень
z n  r n åin
Извлечение корня
n
i
z  rå
n
  2k
n
корень n–ой степени из
комплексного числа имеет n
различных значений при
k  0,1,...n - 1
36
5.1 Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
,
,
,
,
,
,
,
5.2 Выполнить операции над комплексными числами, записанными в
алгебраической форме:
а) Сложить два комплексных числа z1  1  3i, z 2  4  5i
б) Найти разности комплексных чисел z1  z2 , z2  z1 , если z1  2  i, z 2  3  5i
в) Найти произведение комплексных чисел z1  1  i, z 2  3  6i
г) Даны комплексные числа z1  13  i, z2  7  6i . Найти частное
z1
.
z2
5.3 Решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом:
5.4 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные
числа: z 2  2  4i, z 4  1  3i
5.5 Дано комплексное число z  3  3i ,
тригонометрической форме.
найти
.
Ответ
запишите
в
3
3

i . Ответ запишите в тригонометрической форме.
2
2
Изобразите найденные корни на комплексной плоскости.
5.6 Найти
3
z , если z 
5.7 Найти их сумму, разность, произведение и частное чисел:
,
.
5.8 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
,
5.9 Представить в алгебраической и показательной форме комплексные


3
3 


 i  sin
числа: z1  2 cos  i  sin  , z 2  2  cos

4
4 
6
6


5.10 Найти
, если z  1 3i , Полученный аргумент (угол) упростить, результат
представить в алгебраической форме.
5.12 Для числа z  2  2 3i найти:
а) тригонометрическую форму,
б) найти z20,
в) найти
3
z , изобразите найденные корни на комплексной плоскости.
37
Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика
Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки,
сочетания. Формула Ньютона. Случайные события.
Вероятность события. Простейшие свойства вероятности
Комбинаторика
Множество (n)
Подмножество (m)
Множество (n)
Порядок важен
Порядок неважен
Порядок важен
Размещения
Сочетания
Перестановки
Anm 
n!
n  m!
C nm 
n!
n  m!m!
Pn  n!
Теория вероятностей
Классическое определение вероятности
события
P ( A) 
m
n
, где
n - число элементарных исходов;
m - число исходов благоприятствующих
появлению события A .
Теорема сложения вероятностей двух
несовместных событий
Сумма вероятностей противоположных
событий
Теорема сложения вероятностей двух
совместных событий
Условная вероятность
P( A  B)  P( A)  P( B)
P( A)  P( A )  1
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
PA ( B)  P( B / A)  P( AB) / P( A)
Вероятность произведения двух зависимых
событий
Вероятность произведения двух
независимых событий
Формула полной вероятности
P( AB)  P( A) P( B / A)  P( A) PA ( B)
P( AB)  P( A) P( B)
n
P( A)   P( H i ) P( A / H i )
i 1
Формула Байеса
P( H k ) P( A / H k )
,
P( A)
где к=1,2,…n, Р(А) находится по формуле
полной вероятности
Ð( Í
Формула Бернулли
ë
/ A) 
Pm,n  Cnm p m (1  p) nm
38
6.1 Решите комбинаторные задачи:
1. Сколько различных рейтингов можно составить для 8 человек?
2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы
с любым из 5 языков на любой другой (русский, английский, французский, немецкий,
итальянский)
3. Сколько различных хорд можно провести через 6 точек, лежащих на окружности.
6.2 Решите задачу по классическому определению вероятности:
В ящике находится 10 деталей: 8 стандартных и 2 нестандартных. Наудачу вынимаем три
детали. Какова вероятность того, что среди этих трех деталей 2 окажутся бракованными?
6.3 Решить задачи на сумму и произведение вероятностей
1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти
вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна
червонная карта.
2. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан
раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза подряд. Найти
вероятности хотя бы одного выстрела.
3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при
одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
4. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет
бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется
не бракованными.
5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не
зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов
равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех
радиосигналов.
6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются.
Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что
экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета
или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого
билета.
7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а
вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.
6.4 Решить задачу по формуле Бернулли:
По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна
0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.
39
Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд
Случайной величиной _________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Случайные величины можно разделить на две категории.
ДСВ
НСВ
Дискретной
(прерывной)
величиной
называют случайную величину, которая
принимает
отдельные,
изолированные
возможные значения с определенными
вероятностями.
Непрерывной
случайной
величиной
называют случайную величину у которой
функция распределения есть непрерывная,
кусочно-дифференцируемая функция с
непрерывной производной.
Множество может быть как конечным, Число возможных значений непрерывной
так и бесконечным
случайной величины бесконечно
Пример: игральные кости. Выпадаемый
номер - случайная величина, которая
может принимать одно из возможных
значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной
вероятностью
Пример: рост студентов - рост студента
может принимать любое значение из
числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число
возможных значений - бесконечно.
Законом распределения ДСВ называют
соответствие
между
возможными
значениями и их вероятностями; его можно
задать таблично, аналитически (в виде
формулы) и графически
При
табличном
задании
(ряд
распределения ДСВ) - первая строка
таблицы содержит возможные значения, а
вторая – их вероятности:
x x1 x2 . . . хn
р p1 p2 . . . pn
Графическое представление этой таблицы
называется многоугольником
распределения.
По
оси
абсцисс
откладываются
возможные
значения
дискретной случайной величины, а по оси
ординат соответствующие вероятности.
Вероятность того, что случайная величина
примет значение, заключенное в интервале
(а, b) вычисляется по формуле:
1 способ: P(а  X  b)  F (b)  F (а) .
x2
2 способ: P ( x1  X  x2 ) 
 f ( x )dx
x1
Плотностью распределения вероятности
НСВ Х называют функцию f ( x ) - первую
производную от функции распределения
F ( x) : f ( x )  F ( x ) .
Кривая, изображающая плотность
распределения, называется кривой
распределения
40
Функция F(x)  P(X  x) называется
функцией распределения случайной
величины Х.
Для дискретной случайной величины
где xi - значения, принимаемые
случайной величиной Х;
P(xi) - значения вероятностей при X = xi;
х - некоторое фиксированное значение Х.
График функции распределения дискретной
случайной величины представляет собой
разрывную ступенчатую линию, скачки
которой
происходят
в
точках,
соответствующих значениям случайной
величины, и равны вероятностям этих
значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.
Числовые характеристики ДСВ:
1. Математическое ожидание:
Числовые характеристики НСВ:
1. Математическим ожиданием:
n
a
M ( x)   xi pi  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn
M ( X )   x  f ( x)dx
(среднее арифметическое значений
случайной величины)
2. Дисперсия:
D( x)  M ( X  M ( X )) 2 или
D( x)  M ( X 2 )  ( M ( x)) 2
(мера разброса случайной величины)
3. Среднее квадратическое отклонение:
 ( x)  D( x)
(стандартное отклонение случайной
величины)
2. Дисперсия:
i 1
b
a
D( X )   [ x  M ( X )]2  f ( x)dx
или
b
a
D( X )   x 2  f ( x)dx  М ( Х )
2
b
3. Среднее квадратическое отклонение:
 ( Х )  D( X )
41
6.5 Решите задачи математической статистики:
1. Закон распределения случайной величины имеет вид:
X
0
1
2
p
0,0625
0,375
0,5625
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
2. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов.
Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5;
p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов,
построить многоугольник распределения.
3. Задана ДСВ Х
xi
2
5
9
pi
0.3
0.4
0.3
Найти: 1) Функцию распределения F(х) ДСВ и построить ее график.
2) M(x), D(x),б(x).
4. Определить функцию распределения числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.
5. Закон распределения случайной величины имеет вид:
X
0
1
2
p
0,0625
0,375
0,5625
1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
2) Постройте многоугольник распределения.
3) Составьте функцию распределения.
4) Постройте график функции распределения.
42
Справочные материалы
Таблица квадратов двузначных чисел
десятки
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
121
441
961
1681
2601
3721
5041
6561
8281
2
144
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
3
169
529
1089
1849
2809
3969
5329
6889
8649
единицы
4
5
196
225
576
625
1156
1225
1936
2025
2916
3025
4096
4225
5476
5625
7056
7225
8836
9025
Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
6
256
676
1296
2116
3136
4356
5776
7396
9216
7
289
729
1369
2209
3249
4489
5929
7569
9409
8
324
784
1444
2304
3364
4624
6084
7744
9604
9
361
841
1521
2401
3481
4761
6241
7921
9801
(a – b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2)
a3 – b3 = (a – b )(a2 + ab + b2)
Квадратное уравнение
ax2 + bx + c = 0, где a, b, c R, а  0, х – неизвестное
Дискриминант D = b2 - 4ac
 Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
b
2a
b D
 Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: x1=
,
2à
b D
x2 =
2à
 Если D=0, то уравнение имеет два равных корня равные x1, 2  
Степень с натуральным показателем
а n  а
 а
 ...
 а , где а – любое действительное число, n >1.

n
раз
При n =1 считают по определению а n = а.
Для любых а и b и любых натуральных m и n:
1. а n  а m  a m  n
6. 1n  1
n
n
7. а n  a
1. а m   a mn
аn
8. если 0  a  b, то a n  b n
2. m  a n m , если а  0 , n>m
a
9. если a  1 , то a m  a n при m  n
3. а  b n  a n  b n
10. если 0  a  1 , то a m  a n при m  n
n
а
an
4.    n , если b  0
если a  0 , то
b
b
n
5. 0  0
43
a n  0 при n  четном,
а n  0 при п  нечетном
Степень с нулевым показателем
а 0  1, при а  0 , 00 – не имеет смысла
Степень с отрицательным целым показателем
а n 
1
, при a  0 , 0  n - не имеет смысла
n
а
Степень с рациональным показателем
а
m
n
 n a m , при a  0 , где m – целое, n – натуральное
Арифметический корень n-степени
Для любых а>0 и b>0 и любых натуральных m и n:
1. n a  nm a m
4.  n m а   mn a


2. n a  n b  n a  b
m
5. n à   n a m
n
a
a
3. n  n , если b  0
b
6.
n
b
|a|, если n2 – чётное натуральное число
n
a =
а, если n3 – нечётное натуральное число
Логарифм числа
Логарифмом числа с по основанию а (при а>0, а  0 ) называется
показатель степени в, в которую надо возвести основание а, чтобы получить
число с.
Т.е. если а в  с , то можно записать log а c  в
c
Основное логарифмическое тождество a
Основные свойства логарифмов ( а  0, а  1, с, с1 , с2  R, c, c1 , c2  0 )
1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифма
2. log a 1  0
3. log a a  1
4. log a c1  c2   log a c1  log a c2
loga c
c 
5. log a  1   log a c1  log a c2
 c2 
6. log a с р  р  log a c
log a c 1
  log a c
n
n
1
c   log a c
n
7. log a n с 
8. log a
n
Формула перехода от логарифмов по
одному основанию к логарифмам по
другому основанию:
44
log a с 
log b c
log b a
Тригонометрия
Определение
тригонометрических функций действительного числа
y
Ордината точки М  , полученной при вращении точки А на 
М
Sin x
радиан вокруг начала координат называется синусом числа  .
Абсцисса точки М  , полученной при вращении точки А на
x
Cos x
 радиан вокруг начала координат называется косинусом
числа  .
Тангенсом числа  называется
отношение синуса этого числа к его
Котангенсом числа  называется
отношение косинуса этого числа к его
косинусу. tg 
синусу.
sin 
cos 
ctg 
Значение тригонометрических функций в основных углах
0
00
 рад
0
Sin

0
Cos

1
Tg

Ctg
300
450

6
1
2

4
2
2
2
2

3
3
2
1
2

2
0
1
3
1
3
3
3
2
3
3
0

–
3
Тригонометрический круг
- 3
3
4
2
3
3

3
-1
600
900

2
5
6
2700

3
2
2
–1
0
–1
0
1
–
0
–
0
0
–
0
–
1
у
2
2
1800
0

3
3
3
3

4
1
3
2

6
1
2
0=2
-1 
7
6
2
3

2
2

1
2

5
4
2
2
3
2
Ось синусов
2
2
3
2
11
6
1
2
3
3
3
2
5
3
45
7
4

х
1


4
3
1
2
0

3
3
3

Ось косинусов
3600
-1
- 3
Ось тангенсов
Ось котангенсов
cos
sin 
Список литературы
Основные источники:
Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.:
Издательский центр
«Академия», 2010.
Дополнительные источники:
Лисичкин В.Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями:
учебное пособие. – Издательство «Лань», 2011.
46