Задача 2. - Reshaem.Net

Контрольная работа №1
Задача 1. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса; б) по
формулам Крамера; б) методом обратной матрицы (для проверки
вычислений обратной матрицы воспользоваться ее определением).
2 x1  3x2  2 x3  1;

3x1  x2  2 x3  3;
4 x  2 x  x  0.
2
3
 1
Задача 2. Исследовать, имеет ли нетривиальные решения однородная
система уравнений. В случае положительного ответа, найти ее общее
решение. Записать фундаментальную систему решений.
 x1  2 x 2  3x3  3x 4  0;
2 x  x  x  2 x  0;
 1
2
3
4

3
x

x

2
x

x
2
3
4  0;
 1

 x1  3x 2  x3  2 x 4  0.
Задача 3. Даны координаты векторов a , b , c . Найти:
1) длину вектора 2a  b ;
скалярное произведение векторов a и b ;
косинус угла между векторами a и b ;
векторное произведение векторов a и b ;
площадь параллелограмма S1 и площадь треугольника S 2 , построенных на
векторах a и b ;
6) смешанное произведение векторов a , b и c ;
7) объем параллелепипеда V1 и объем пирамиды V2 , построенных на
векторах a , b и c .
2)
3)
4)
5)
a  (1; -1; -3),
b  (2; 3; 1),
c  (2; 3; 4).
Задача 4. Найти точку M', симметричную точке M относительно
плоскости P.
2. M (0; -3; -2),
P: x-3y-2z+3=0.
Задача 5. Определить, какие кривые определяются следующими
уравнениями. Построить графики кривых.
а) 3x 2  2 y 2  6  0 ;
б) x 2  4 y 2  4 ;
в) y 2  x  4 .
Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А. (Для
проверки вычислений воспользоваться определением собственных значений
и собственных векторов).
 3 0 0


4
1
3


 3 2 2


Задача 7. Вычислить пределы данных функций.
а) lim
x 8
9  2x  5
;
x 2  6 x  16
1
 2 x  1  x 1
в) lim 
 ;
x 1
 x2 
3x 3  2 x  7
;
x 2 x 3  4 x 2
б) lim
cos x  cos 2 x
.
x 0
sin 3x
г) lim
Задача 8. Определить то значение параметра А, для которого функция
f (x) будет непрерывной (если возможно). Сделать чертеж.

arctg x,
f ( x)  
 Ax  3,

x
x

4

4
;
.
Контрольная работа №2.
Задача 1. Найти производные функций.
arccos x
а) y 
;
1  2 sin x
в) ln x  e

y
x
 5;
2
1  2x x2
2
2 x  x  ln
б) y 
;
x 1
x 1
 x  t  sin t ;
г) 
 y  1  cost.
Задача 2. Найти пределы, используя правило Лопиталя.
ex
lim
;
x  x 3
Задача 3. Исследовать функцию методами дифференциального
исчисления и построить график.

1
x
ye .
Задача 4. Найти и построить область определения D данной функции.
u  9  x2  y2 .
Задача 5. Дана функция z  f ( x, y) . Проверить, удовлетворяет ли эта
2z
2z

функция заданному уравнению. Показать, что
.
xy yx
y
x
z  xy  xe ,
x
z
z
 y  xy  z .
x
y
Задача 6. Исследовать на экстремум функцию.
z  2 x 2  3 y 2  2 xy  10 x  2 .
Задача 7. Найти неопределенный интеграл.
а)
x
 e 2 x 1 dx ;
в)
б)  ln( x  5)dx ;
2

dx
3x 2  4 x  1
;
x3  1
г)  2
dx .
x x
Задача 8. Вычислить несобственные интегралы или установить их
расходимость.

16 dx
а) 
,
2
1  ( 4 x  4 x  5)
2
0
б)
dx
1 3 1  3x .

3