AC BA CB B

2) Работа в группах.
Доказать некоторые следствия из теоремы Чевы. Слайды 3,4
Следствие 1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
которая делит
Доказательство. Пусть AA 1 , BB 1 ,CC 1 - медианы  ABC (рис.20) . Так как
AC 1 =C 1 B, BA 1 =A 1 C, AB 1 =B 1 C, то
AC1
BA1
CB1
=1,
= 1,
=1.
C1 B
A1C
B1 A
Тогда
AC1 BA1 CB1
.
.
 1  1  1  1 , т.е. для точек A 1 ,B 1 ,C 1 , лежащих на сторонах
C1 B A1C B1 A
треугольника ABC, выполняется по теорема Чевы AA 1 , BB 1 ,CC 1 пересекутся в одной точке O.
Утверждение доказано.
Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя
биссектрисы:
так как AA 1 - биссектриса, то
BA1 AB
=
; так как BB 1 A1C AC
свойство
биссектриса, то
B1C BC
;

AB1 AB
так как СС 1
левые
и
- биссектриса, то
правые
AC1 AC
. Перемножая соответственно

BC1 BC
части
этих
равенств,
получим
BA1 B1C AC1 AB BC AC
.
.
=
.
.
=1, то есть для точек A 1 , B 1 , C 1
A1C AB1 BC 1 AC AB BC
выполняется равенство Чевы, значит, AA 1 , BB 1 ,CC 1 пересекаются в одной точке.
Следствие 3. Серединные
пересекаются в одной точке.
перпендикуляры
к
сторонам
треугольника
Доказательство. Рассмотрим серединный  MNK(вершины-середины сторон
 ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по
свойству средней линии NK AC, NM BC, KM AB. Поэтому серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты  MNK. А в
 MNK высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные
перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Следствие 4. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная
окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной
точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).
Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки,
имеем AB 1 =AC 1 =x, C 1 B=BA 1 =y, A 1 C=B 1 C=z.
AC1 BA1 CB1 x y z


    1 , по теореме Чевы AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.
C1 B A1C B1 A y z x