3) Решение задач Доказательство: , BB

3) Решение задач
1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через
вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA 1 , BB 1 ,CC 1 делит периметр треугольника ABC
пополам (рис.27), то есть AB+BA 1 =A 1 C+AC(1), B 1 C+BC=AB 1 +AB(2),
AC 1 + СA=
=C 1 B+BC (3)
Сложим (1), (2), (3): AB+BA 1 +B 1 C+BC+AC 1 +CA= A 1 C+AC+ AB 1 +AB+
C 1 B+BC; BA 1 +B 1 C+AC 1 =A 1 C+AB 1 +C 1 B. Перенесем слагаемые в левую
часть и сгруппируем:
(BA 1 - AB 1 ) + (B 1 C - C 1 B) + (AC 1 - A 1 C)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем :
(AB+BA 1 )- (AB 1 +AB) = (A 1 C+AC)-( B 1 C+BC) или
BA 1 - AB 1 = (AC- B 1 C)-(BC- A 1 C)=AB 1 -
BA 1 = -( BA 1 - AB 1 ), откуда 2(BA 1 - AB 1 )= 0, BA 1 = AB 1 .
Аналогично доказывается, что CB 1 = С 1 B , C 1 A = A 1 C.
Тогда
AC1 BA1 CB1 AC1 BA1 CB1
.
.



 1 1 1  1.
C1 B A1C B1 A A1C AB1 C1 B
По теореме Чевы AA 1 , BB 1 ,CC 1 пересекаются в одной точке.
2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP:
PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки
AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной
прямой.[4, с.94]
Дано:
 ABC; AP: PE: EC= CK: KM: MB=m:n:k M, K  BC, P, E  AC; AM  BP= O; AK  BE= T
Доказать: O, T, C  a
Доказательство. Пусть луч CT  AB=C 1 , CO  AB=C 2 . Докажем, что точки C 1 и C 2 совпадают,
это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.
Так как CT  AB=C 1 , BE  AK  CC 1 = T, то по теореме Чевы
AC1 k  n
AC1 m(m  n)
k
(1)


1

C1 B m m  n
C1 B k (k  n)
AC1 BK CE


 1;
C1 B KC EA
Так
как
CO  AB=C 2 ,
AM  BP=
O,
то
СС 2  BP  AM=O,
по
теореме
Чевы
AC2 BM CP
AC2
AC2 m(n  m)
k
nk
(2)


1


1

C2 B MC PA
C2 B n  m m
C 2 B k (n  k )
Из (1) и (2) следует, что
AC1 AC2
, то есть точки С 1 и C 2 делят отрезок AB в одном и том же

C1 B C 2 B
отношении, начиная от точки A, а значит, С 1 и C 2 совпадают. А это означает, что точки O, T, C
лежат на одной прямой.