3Численные методы, Кривцун

Правительство Российской Федерации
Национальный исследовательский университет - Высшая школа
экономики
Программа дисциплины
Численные методы
для IV курса отделения Прикладной математики и информатики
Автор программы: И.Л. Кривцун
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
__________________А.С. Шведов
________________________________
«_____» __________________ 20 г.
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
Ф.Т. Алескеров
«____»_____________________ 20
Москва
г
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные часы
лекции
семинары
Самост.
работа
1
Элементы теории погрешностей
8
2
2
4
2
Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов
16
2
2
12
3
Общая задача интерполирования и
аппроксимация функций
22
6
4
12
4
Вычислительные основы линейной
алгебры
34
6
8
20
6
Разностные схемы
28
6
6
16
Итого
108
22
22
64
Формы контроля знаний студентов:
 текущий контроль: контрольная работа в компьютерном классе во 2-м модуле:
 итоговый контроль: зачет в конце 3-го модуля.
Итоговая оценка по учебной дисциплине определяется на основе оценок за следующие виды работ:
-
контрольная работа в компьютерном классе,
зачет.
Оценки за контрольную работу О К , и зачетную работу О З ставятся в десятибалльной
шкале. Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом
О И определяется на основе всех этих оценок по формуле
O И  0,3  O К  0,7  O З .
Оценки за все виды работ и итоговая оценка округляются до целого числа баллов; при этом
учитываются выполнения домашних работ и активность студента на практических занятиях.
Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу:
0  ОИ  3 – неудовлетворительно,
4  ОИ  5 – удовлетворительно,
6  ОИ  7– хорошо,
8  ОИ  10 – отлично.
2
Содержание программы
Тема 1. Элементы теории погрешностей.
Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Понятие о погрешности машинных вычислений. Значащая цифра, число верных знаков. Связь относительной
погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа. Погрешности
суммы, разности, произведения и частного. Число верных знаков произведения и частного.
Общая формула для погрешности. Обратная задача теории погрешностей.
Базовые учебники
Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВПетербург», 2004 (лекция 1).
Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с
1968 г. (гл. I).
Дополнительная литература
Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл.
1).
Тема 2. Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов
Отделение корней при решении уравнений с одной неизвестной. Общая формула оценки погрешностей приближенного корня. Простейшие способы решения уравнений: метод половинного деления, пропорциональных частей, Ньютона-Рафсона, комбинированный; скорость
сходимости, оценки возникающих погрешностей. Метод Ньютона для случая комплексных
корней. Метод итераций как пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Преобразование уравнения к итерационному виду. Оценки погрешностей метода итераций. Границы действительных корней алгебраических уравнений; теорема Лагранжа; метод знакопеременных сумм. Число действительных корней полинома.
Базовые учебники
Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл.
2).
Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с
1968 г. (гл. IV-V).
Дополнительная литература
Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВ-Петербург», 2004 (лекция 2).
3
Тема 3. Общая задача интерполирования и аппроксимация функций.
Постановка общей задачи интерполирования. Частный случай базисной системы степенных
функций с целым неотрицательным показателем. Полином Эрмита для заданной функции;
его существование и единственность. Явный вид полинома Эрмита в частном случае задания
значений функции и ее производной в узлах интерполяции. Интерполяционная формула Эрмита и ее остаточный член. Полиномы Чебышева и их основные свойства. Узлы Чебышева.
Феномен Рунге. Теорема Файера о равномерной сходимости полиномов Эрмита в случае, когда узлами интерполяции являются корни многочлена Чебышева. Использование полиномов
Эрмита для оценки погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса. Рациональное приближение функций. Метод Паде.
Базовые учебники
Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М., «Высшая школа», 1990.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
Дополнительная литература
Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл.
4).
Тема 4. Вычислительные основы линейной алгебры.
Метод простых итераций решения системы линейных уравнений крамеровского типа как
пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Нормы линейных операторов в конечномерном пространстве. Приведение системы к виду удобному для итераций. Метод Зейделя. Достаточные условия сходимости метода Зейделя для
трех простейших норм конечномерного линейного пространства. Оценки погрешности приближений процесса Зейделя по || || -норме. Нормальные системы линейных уравнений. Приведение системы к нормальному виду. Метод релаксаций. Треугольные матрицы. Представление квадратной матрицы в виде произведения треугольных матриц различных структур.
Обращение матрицы, разложенной в произведение треугольных матриц. Метод квадратных
корней. Схема Халецкого. Метод прогонки для трехдиагональной системы.
Вращение плоскости. Подобные и ортогональные преобразования. Метод Якоби нахождения
собственных пар симметричной матрицы. Отражение Хаусхольдера. Преобразование Хаусхольдера. Метод Хаусхольдера. QR-метод.
Базовые учебники
Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл.
3, 11).
Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с
1968 г. (гл. VIII-IX).
Дополнительная литература
Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: «Наука», любое изд., начиная с 1977 г. (гл. IVVI).
4
Тема 5. Разностные схемы.
Постановка задачи численного решения краевой задачи для уравнения с частными производными. Устойчивость численного решения. Построение разностной схемы простейшей задачи
для уравнения гиперболического типа; явная и неявная схемы. Необходимое условие устойчивости явной схемы. Решение Даламбера. Построение явной разностной схемы простейшей
задачи для уравнения параболического типа. Необходимое и достаточное условие устойчивости явной схемы. Метод Кранка-Николсона. Дискретный вид оператора Лапласа. Сборка разностных схем простейших краевых задач для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца.
Итеративные методы.
Базовые учебники
Годунов С.К., Рябенький. В.С. Разностные схемы. - М.: «Наука», 1973 (гл. 7).
Дополнительная литература
Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл.
10).
Типовой вариант контрольной работы
(в компьютерном классе)
З а д а н и е 1 . Определите границы действительных корней уравнения
2 x 5  100 x 2  2 x  1  0 .
Задание 2.
Определите количество положительных корней уравнения
x  4 x  1  0 и, отделив их, найдите с точностью до 10-6, предварительно приведя уравнение
к виду, удобному для итераций. Сравните решения, полученные по методу итераций и комбинированному методу. Все вычисления необходимо реализовать в среде MATLAB, написав
для этого соответствующие программы.
4
З а д а н и е 3 . Найдите максимальное и минимальное значения полинома Чебышева
T3 ( x) .
З а д а н и е 4 . Постройте полином Эрмита, который в точках x0  1 , x1  0 , x2  1
принимает значения 2; -1; 0, соответственно, а его производная в точках x1  0 , x2  1 – значения 0; 1, соответственно.
5
Типовой вариант зачетной работы
(в компьютерном классе)
З а д а н и е 1 . Пусть A : R n  R n - невырожденный линейный оператор. Выразите
|| A|| через элементы матрицы оператора A в стандартном базисе. Докажите, что достаточным условием сходимости по норме || || последовательности приближений к точному решению системы Ax  b в процессе Зейделя является выполнение неравенства || A||  1 .
З а д а н и е 2 . Напишите в среде MATLAB программу обращения матрицы методом
разбиения ее на произведение двух треугольных матриц. Проверьте работу программы на
примере матрицы
4 
 1 1 3


 1 0 3  2 
.
A
2 2 2 3 


 1 2 1 1 


З а д а н и е 3 . Напишите в среде MATLAB программу решения с помощью схемы Халецкого системы линейных уравнений крамеровского типа. Проверьте работу программы на
примере решения системы
 3x1  x2  x3  2 x4  6
 5 x  x  3x  4 x  12

1
2
3
4
.

2
x

x

x

1
1
3
4

 x1  5 x2  3x3  3x4  3
З а д а н и е 4 . Напишите в среде MATLAB программы приведения симметричной матрицы к трехдиагональному виду с использованием преобразований Хаусхольдера и и приближенного вычисления собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы с
использованием QR-метода. Проверьте работу программы на примере матрицы
1,25 
 2,75  0,25  0,75


2,75
1,25  0,75 
  0,25
A
.
 0,75
1,25
2,75  0,25 


 1,25  0,75  0,25
2,75 

З а д а н и е 5 . С помощью явной схемы решите следующую краевую задачу





u ( x,0)  sin( x)  sin( 2x)

u
( x,0)  0

t

 2u
 2u

4
t 2
x 2
u (0, t )  u (1, t )  0
0  t  0,5
,
0  x 1
выбрав шаги по x и t, равные h = 0,1 и k = 0,05, соответственно.
6