215.50Kb - G

О вырождении экстремалей вариационной задачи по параметрическому
регулированию экономической системы для заданной среды алгоритмов
Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Ашимов Ас.А.
Институт проблем информатики и управления НАН РК, г. Алматы
Рассмотрим деформацию вариационной задачи по выбору оптимального закона
параметрического регулирования при изменении одного из коэффициентов модели
экономической системы в некотором заданном отрезке.
В [2] вариационная задача по выбору оптимального закона параметрического
регулирования исследовалась на основе следующей математической модели [1].
dM  I
(1)

 M ,
dt
pb
dQ

(2)
 Mf  ,
dt
p
dLG
 rG LG   G  n p   nL sR L  nO (d P  d B ) ,
dt
dp
Q
 
p,
dt
M
 Rd  RS  L
ds s
d
S
 max 0,
, R  min{ R , R } ,
S
dt 
R


1


Lp 
LG ,

dp 
1

r2 LG ,
1 




,


R  Mx ,
 0   0 pMf ,
(10)
(11)
 G  pMf ,
(12)
 1  
f  1  1 
x



L
d
  (1  n L ) sR ,
1
I 

  (1   )n p
G
1
1
(13)
(14)

 
(15)
 n0 (d B  d P )  n p  0  nL  (1  nL )n p sR L  (  *  rG ) Lp ,
     ,
1
R S  P0A exp(  p t )
,
1  
0
(6)
(9)
d
p
(5)
(8)
   s 
x
1   
1     p 
(1  n )
(4)
(7)
d B  r2 LG ,

(3)
G
L
I
(16)


.
pP0 exp(  p t )
L
(17)
Здесь: М – суммарная производственная мощность; Q – общий запас товаров на
рынке; LG – общий объем государственного долга; p– уровень цен; s – ставка заработной
1
платы; Lp – объем задолженности производства; dp и dB–соответственно
предпринимательские и банковские дивиденды; Rd и RS – соответственно спрос и
предложение рабочей силы; δ, v - параметры функции f(x), x – решение уравнения
f ( x)  s ; ФL и Ф0 – соответственно потребительские расходы трудящихся и
p
собственников; ФI – поток инвестиций; ФG – потребительские расходы государства; ξ норма резервирования; β – отношение средней нормы прибыли от коммерческой
деятельности к норме прибыли рантье; r2 – ставка процента по депозитам; r1 – ставка
процента за кредит; rG – ставка процента по облигациям государственных займов; η0 –
коэффициент склонности собственников к потреблению; π – доля потребительских расходов
государства от внутреннего валового продукта; np, n0, nL – соответственно ставки налогов на
поток платежей, дивиденды и доход трудящихся; b – норма фондоёмкости единицы
мощности; μ – коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации; μ* - норма
амортизации; α – постоянная времени; Δ – постоянная времени, задающая характерный
временной масштаб процесса релаксации заработной платы; P0, P0A – соответственно
начальные значения численности трудящихся и общей численности трудоспособных; λp>0 –
заданный темп демографического роста; ω – душевое потребление в группе трудящихся.
Возможность выбора оптимального закона параметрического регулирования на
уровне одного из двух параметров  (j=1) и
исследуется в среде следующих алгоритмов.
1)U1 j (t )  k1 j
M (t )
 const j ,
M (t0 )

(j=2) и на промежутке времени [t0 , t0  T ]
2)U 2 j (t )  k 2 j
p(t )
3)U 3 j (t )  k3 j
 const j ,
p(t0 )
M (t )
 const j ,
M (t 0 )
Здесь каждый закон содержит неотрицательный настраиваемый коэффициент
Рассмотрим задачу максимизации критерия
1
K
T
(18)
p(t )
4)U 4 j (t )  k 4 j
 const j .
p(t 0 )
k ij .
t0 T
 Y (t )dt  max
(19)
{U ij ,kij }
t0
при ограничениях:
pij (t )  p** (t )  0.09 p** (t ), M (t )  0, s(t )  0 , 0  U ij (t )  a j , t  [t0 , t0  T ]
i  1,4, j  1,2.
(20)
Здесь
Y  Mf
значение j-го параметра,
- валовой внутренний продукт,
pij (t )
aj
- наибольшее возможное
– значения уровня цен при U ij -ом законе регулирования;
**
p (t ) - модельные (расчетные) значения уровня цен без параметрического регулирования.
Обозначим через
2
 ij  sup{ kij } .
Здесь в качестве множества
kij ,
{kij}
рассматриваются все значения коэффициентов
таких, что условия (20) выполняются для всех значений
регулировании системы (1)-(17) с помощью закона
при
U ij . Заметим, что множество {k ij }
kij  0 ,
пусто, поскольку оно содержит значение
kij  [0, kij )
следовательно,
 ij  0 .
не
Формально
возможно также, что  ij   , но этот случай мы исключаем исходя из экономических
ограничений на регулируемые параметры.
Обозначим через  открытое множество в пространстве
непрерывных вектор-функций, состоящем из всех непрерывных
M (t ), Q(t ), L (t ), p(t ), s(t ), где t  [t , t
G
0
0
C5 [t 0 , t 0  T ]
вектор-функций
T]:
  {M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ) :
 p (t )  p
ij
**

(t )  0.09 p ** (t )  0  U ij (t )  a j ,  M (t )  0  s(t )  0}
Сопоставление значению коэффициента

G
модели M (t ), Q(t ), L (t ), p(t ), s(t )
задает непрерывное отображение

k ij
из закона U ij выходных функций
при ее регулировании с помощью этого закона
Fij : [0,)  C5 [t 0 , t 0  T ] .
Это отображение непрерывно согласно теореме о непрерывной зависимости
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений от параметра. Здесь мы не
доказываем строго факт существования решения с.д.у. на промежутке [t 0 , t 0  T ] , но
компьютерное моделирование позволяет это утверждать для всех рассматриваем значений
коэффициентов.
Поэтому полный прообраз множества  при отображении F открыт согласно
теореме об открытости полного прообраза открытого множества при непрерывном
отображении. Следовательно,
Fij1 ()  [0, aij )
для некоторого положительного числа
Замыкание множества
множество

a ij
и, поэтому, все
в пространстве
 ij  0 .
C5 [t 0 , t 0  T ]
дает замкнутое
 , определяемое условиями (20). Согласно указанной теореме об открытости
3
F 1 ( )
полного прообраза,
замкнуто, другими словами значение
самым доказана следующая лемма.
 ij
достигается. Тем
Лемма 1. При значении коэффициента k ij =  ij (  ij  0 ) закона управления U ij ,
решение системы (1)-(17) при регулировании системы с помощью этого закона,
удовлетворяет ограничениям (20).
Отсюда следует, что при выбранном законе U ij задача (1)-(20) равносильна задаче
определения наибольшего значения непрерывной функции
y  K ij (k ij )
в замкнутом отрезке
(21)
0, ,. Здесь функция K ij (kij ) есть значение критерия (19) при
ij
выбранном законе U ij , она является непрерывной в силу теоремы о непрерывной
зависимости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и непрерывной
зависимости определенного интеграла от параметра. Поэтому задача (1)-(20) для
фиксированных i и j всегда имеет решение, включающее оптимальные значения
коэффициента и критерия.
Пусть теперь  - один из скалярных коэффициентов математической модели -
(r1 , r2 , rG ,  , n p , nL , n0 ,  , ,.  ,  , 0 , b,  , Q(0)) ,
возможные
значения
которого принадлежат отрезку [a,b]. В этом случае для каждого фиксированного
определяется значение
 ij ( )  0
и задача (1)–(20) с учетом функции (21) принимает вид
K ij (k ij ,  )  max
kij 0 , ij (  ) 
При каждом значении
  [ a, b]
  [ a, b]
(22)
и выбранных i и j задача (1)-(20), в силу


вышесказанного, имеет оптимальное значение критерия K ( , i, j ) непрерывно
зависящее от  согласно теореме о непрерывной зависимости решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, непрерывной зависимости определенного
интеграла и в целом решения рассматриваемой задачи вариационного исчисления от
параметра.
Определение. Значение
(20) если при этом значении

называется точкой бифуркации экстремали задачи (1)-
 соответствуют как минимум два закона U ij
K  является оптимальным.
для которых
некоторое значение критерия
Теорема 1 (о существовании точки бифуркации). Пусть при значениях параметра
1 и 2 ,
1  2  [a, b]
задача (1)-(20) имеет соответствующие решения для двух
4
различных законов отличающихся хотя бы по одному значению индексов i и j. Тогда имеется
хотя бы одна точка бифуркации
  [1 , 2 ] .
Доказательство. Пусть при   1 достигается оптимальное значение критерия при
законе
U i1 j1
K1  K  (1 , i1 , j1 ) ,
а при 
 2
соответственно при законе
U i2 j2
-
K 2  K  (2 , i2 , j2 ).
Тогда, очевидно, что
K  (1 , i1 , j1 )  K  (1 , i2 , j2 ) ,
K  (2 , i2 , j 2 )  K  (2 , i1 , j1 )
(23)
Рассмотрим непрерывную на отрезке [1 , 2 ] функцию
f ( )  K  ( , i1 , j1 )  K  ( , i2 , j2 ) .
Из (23) следует, что f (1 )  0 и f (2 )  0 . Следовательно, найдется точка
  [1 , 2 ] такая, что f ( )  0 и
K  ( , i1 , j1 )  K  ( , i2 , j2 ).
Отсюда следует, что  - точка вырождения. Теорема доказана.
Следующая теорема является следствием теоремы 1.

Теорема 2. Пусть при значении
  1
регулирование с помощью закона
 
 2 , ( 1  2  [a, b] )
управления U ij дает решение задачи (1)-(20), а при
регулирование с помощью этого закона не дает решение задачи (1)-(20). Тогда имеется хотя
бы одна точка бифуркации   [1 ,  2 ] .
В данной работе получены достаточные условия для нахождения точки бифуркации
экстремалей вариационной задачи параметрического регулирования экономической системы
для заданной среды алгоритмов.

Список литературы
1. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования
экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
2. Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Волобуева О.И., Ашимов Ас.А. О выборе эффективных
законов параметрического регулирования механизмов рыночной экономики Журнал
«Автоматика и телемеханика», № 3, 2005. С. 105-112.
5