Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 2.4. Числовые характеристики случайных величин Распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине. Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные сведения о случайной величине. Таковыми являются числовые характеристики. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется ___________________________________________________ Математическое ожидание имеет смысл «среднего значения» случайной величины. Пример. Математические ожидания для некоторых дискретных распределений: 1) равномерное:__________________________________________________________ 2) геометрическое:________________________________________________________ 3) биномиальное:_________________________________________________________ 4) пуассоновское:_________________________________________________________ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью p x называется ________________________________________________________________________ Если вероятностная мера определяется функцией распределения, то ________________________________________________________________________ Пример. Математическое ожидание непрерывного равномерного распределения: ________________________________________________________________________ Математическое ожидание показательного распределения: ________________________________________________________ ________________________________________________________ Математическое ожидание нормального закона:_______________________________ Имеют место следующие общие свойства математического ожидания: 1) ______________________________________________________________________ 2) ______________________________________________________________________ 3) ______________________________________________________________________ 4) ______________________________________________________________________ 5) ______________________________________________________________________ Модой дискретного распределения называется ___________________________ ________________________________________________________________________ В непрерывном случае модой является_______________________________________ M Если у распределения имеется более одного максимума, то оно называется полимодальным. Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Они называются антимодальными. 1 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Медианой распределения случайной величины называется_________________ ________________________________________________________________________ P Ме P Мe. Me Дисперсией случайной величины называется ____________________________ Дисперсия всегда неотрицательна. Дисперсия она характеризует разброс значений случайной величины относительно ее среднего значения. Иногда для вычислений более удобна формула_____________________________________________________ Среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего называется величина______________________________________________________ Пример. Дисперсии для некоторых дискретных распределений: 1) биномиальное:_________________________________________________________ 2) геометрическое:________________________________________________________ 3) пуассоновское:_________________________________________________________ Пример. Подсчитаем дисперсию непрерывного равномерного распределения: ___________________________________________________ ___________________________________________________ Подсчитаем дисперсию показательного распределения: ___________________________________________________ ___________________________________________________ Дисперсия нормального закона______________________________________________ Имеют место следующие общие свойства дисперсии: 1) ______________________________________________________________________ 2) ______________________________________________________________________ 3) ______________________________________________________________________ Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется k M k . математическое ожидание k-й степени этой случайной величины: Для дискретной случайной величины это сумма вида:__________________ Для непрерывной случайной величины начальный момент определяется как интеграл:_____________________________________________ 2 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Центрированной случайной величиной , соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания: ________________________________________________________________________ Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной 0 величины: k M 0 k M M k . Для дискретной величины это сумма вида:_________________________ Для непрерывной случайной величины центральный момент определяется как интеграл:_____________________________________________ Из всех моментов в качестве характеристик чаще всего применяются: первый начальный момент – _______________________________________________ второй центральный момент – ______________________________________________ третий центральный момент – ______________________________________________ Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения называется величина:________________________________________________________________ Для симметричных распределений асимметрия равна нулю. четвертый центральный момент – __________________________________________ Эксцессом случайной величины называется отношение_________________________ Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Рассмотренные числовые характеристики являются наиболее употребительными. Во многих практических задачах полная характеристика (закон распределения) или не нужна или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Часто числовыми характеристиками пользуются для приблизительной замены одного распределения другим. 2.5. Многомерные случайные величины Многомерной случайной величиной (случайным вектором) 1 , , n называется_______________________________________________________________ Многомерной функцией распределения называется функция ________________________________________________________________________ 3 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 В частном случае двумерная функция распределения определяется следующим образом:______________________________________________________ Геометрической интерпретацией функции распределения F x, y является вероятность попадания случайной точки , в бесконечный квадрат с вершиной в точке x, y . Рассмотрим свойства многомерной функции распределения на примере двумерной случайной величины , : 1) ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2) ______________________________________________________________________ 3) ______________________________________________________________________ 4) ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Вероятность попадания точки , в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат определяется по формуле: ________________________________________________________________________ y , , , , x Плотность распределения двумерной случайной величины выражается через функцию распределения:___________________________________ Плотность распределения есть функция неотрицательная p x, y 0 . Кроме того _____________________. Вероятность попадания точки , в произвольную область D вычисляется как интеграл:__________________________________________ 4 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через плотность:____________________________________________ Зная закон распределения системы случайных величин, всегда можно определить законы распределения отдельных величин системы. Плотности распределения отдельных компонент выражаются через совместную плотность: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Возникает вопрос: можно ли по законам распределения отдельных компонент восстановить закон распределения системы? В общем случае этого сделать нельзя. Для того чтобы полностью охарактеризовать систему, нужно еще знать зависимость между входящими в нее величинами. Она может быть определена с помощью так называемых условных законов распределения: ___________________________________________________ Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина . Зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны. Для непрерывных случайных величин условие независимости может быть записано в виде:____________________________________________________________________ Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных компонент: ________________________________________________________________________ Для расчета начальных и центральных моментов используются следующие формулы. В дискретном случае: k , s , xik y sj pij ; i j i j k , s , xi M k y j M s pij . В непрерывном случае: k , s , k , s , x k y s px, y dxdy; R2 k s x M y M px, y dxdy . R2 Особую роль играет корреляционный момент __________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то имеется зависимость между ними. Если корреляционный момент равен нулю, то о зависимости случайных величин ничего сказать нельзя. Такие величины называются некоррелированными. Для характеристики связи между случайными величинами , без учета рассеивания используется безразмерная величина, называемая коэффициентом 5 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 корреляции: _____________________________________________________________ Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины связаны линейной функциональной зависимостью, то , 1 . В общем случае , 1. 2.6. Нормальное распределение Функция распределения стандартного нормального закона N 0,1 имеет специальное обозначение __________________________________________________ Функция t не является элементарной, то есть, интеграл не может быть сведен к табличным и быть композицией элементарных функций. Для функции t составлены подробные таблицы, ее значения вычисляются многими прикладными компьютерными программами. Как и любая функция распределения, функция t обладает свойствами: 1; 0 ; t – неубывающая функция. Кроме того, из симметричности нормального распределения N 0,1 относительно начала координат следует, что:__________________________________ a Если имеет распределение N a, , то 0 – стандартная нормальная случайная величина. Функция распределения легко записывается через функцию t :____________________________________________________________ Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону N a, , на участок , : ___________________________________________________ Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа :__________________________________________________ ________________________________________________________________________ Положим t :__________________________________________________________ Если t 3 , то_____________________________________________________________ Отсюда приходим к так называемому правилу трех сигм:__________________ Вероятность, которая стоит в правой части, пренебрежимо мала для многих практических применений. Поэтому правило трех сигм читают так: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Как видно, это правило ошибочно лишь в 0.27% случаев. 6 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 7