Document 901471

а) Найдём длину ребра АВ:
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  (1  3) 2  (6  1) 2  (1  4) 2  16  25  9  50  5 2
б) Определим угол между AB и AC по формуле:
cos  
AB  {4,5, 3},
cos  
AB  AC
AB  AC
AC  {4, 0, 2}
AB  AC
4  (4)  5  0  (3)  2
10
1



 0,32 , откуда   710 .
AB  AC
5 2  20
5 40
10
в) Найдём площадь треугольника ABC.
Найдем векторное произведение векторов
i
j
AB  {4,5, 3},
AC  {4, 0, 2} .
k
Sпараллелограмма  c , c   AB, AC   AB  AC  4 5 3 


4 0
2
 10  0  i   4  2  3 4  j   4  0   4  5  k  10i  20 j  20k

c  10;20;20

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е.
Sтреугольника =
1 c  1 102  202  202  900 15 (ед2).
2
2
2
д) Найдём объем пирамиды ABCD.
Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения
трех векторов, т.е.
a
1
1
1
V
 mod  AB AC  AD   mod b
1
пирамиды 6

 6
c
1
AB  {4,5, 3},
AC  {4, 0, 2} и AD 
a
a
b
b ,
c
c
2
2
2
3
3
3
3;3;5 .
4 5 3
1

 1
V
 mod  AB AC  AD   mod 4 0 2 

 6
пирамиды 6
3 3 5

70
2
1
30360 24100   11 (ед3 )
6
6
3
е) Найдём угол между ребром AD и плоскостью основания ABC.
Для нахождения угла между ребром CD и плоскостью основания АВС
найдем sin  , воспользовавшись формулой
sin  
s n
sn
, где
s  m, n, p - направляющий вектор прямой,
n  A, B, C - нормальный вектор плоскости.
S CD
S AD 
- направляющий вектор ребра АD, S AD  xD  xA , yD  yA , zD  z A  или
3;3;5 .
Составим уравнение плоскости АВС.
Воспользуемся
уравнением
плоскости,
проходящей
через
три
заданные точки
x 3
y 1 z  4
x  3 y 1 z  4
1 3 6 1 1 4  0 ; 4
5
3
1 3
0
2
1 1
64
4
0;
  
  
10( x  3)  20  y 1  20  z  4   0 ;


( x  3)  100  y 1  812  z  4  0 20  0 ;
10 x  20 y  20 z 130  0 - уравнение плоскости АВС.
n  (10;20;20) - нормальный вектор плоскости АВС.
310
 320520
sin  

(3)2 32  (5)2  102  202  202
70
43  900

7
 0,356 ,
3 43
отсюда   arcsin 0,356  21o .
ж) Наёдём уравнение ребра AB.
Воспользуемся уравнением
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z 2  z1
x  3 y 1 z  4


1  3 6  1 1  4
x  3 y 1 z  4


.
4
5
3
з) Уравнение грани ABC было найдено выше:
10 x  20 y  20 z 130  0
и) Найдём уравнение высоты DE:
Высота DE перпендикулярна плоскости ABC. Направляющий вектор
s =(m, n, p)
этой прямой параллелен нормальному вектору плоскости
n ={10; 20; 20}. Так как вектор
s
параллелен DE, то в качестве этого
вектора берем вектор n , т.е. s ={10; 20; 20}.
По известной точке D(0, 4, -1) и s ={10; 20; 20} уравнение высоты DE
запишется в виде
x y  4 z 1


.
10
20
20