Прямые и плоскости в пространстве Моденов П.С., Пархоменко

Прямые и плоскости в пространстве
Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002. – 384 с.
502 Составить параметрические уравнения и общее уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 3, −5) и параллельной векторам {−5, 6, 4} и {2, −1, 0}.
Решение. Параметрические уравнения можно записать сразу:

 x = 2 − 5 λ + 2µ,
y = 3 + 6 λ − µ,

z = −5 + 4 λ.
Чтобы записать общее уравнение плоскости, сначала найдем вектор нормали:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ~i
~j ~k ¯ ¯
¯ −5 6 ¯
¯ −5 4 ¯
¯ ¯ 6 4 ¯
¯
¯~
¯~ ¯
¯ ~i − ¯
~n = ¯¯ −5 6 4 ¯¯ = ¯¯
¯ 2 0 ¯ j + ¯ 2 −1 ¯ k =
−1 0 ¯
¯ 2 −1 0 ¯
= 4~i + 8 ~j − 7 ~k = {4, 8, −7},
тогда уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую вектор нормали ~n:
4 · (x − 2) + 8 · (y − 3) − 7 · (z + 5) = 0, 4 x + 8 y − 7 z − 67 = 0.
Ответ:

 x = 2 − 5 λ + 2µ,
y = 3 + 6 λ − µ,

z = −5 + 4 λ,
4 x + 8 y − 7 z − 67 = 0.
516 Написать уравнения прямой, проходящей через точку (1, 2, 3) и пересекающей прямые
x
y+1
z−2 x
y+2
z
=
=
и =
= .
2
−2
1
4
0
3
Решение. Рисунок 1. Искомая прямая – это прямая пересечения плоскостей, проходящих
через заданную точку и содержащих заданные прямые.
x
y+1
z−2
Запишем уравнение плоскости π1 . Прямая l1
=
=
проходит через точку
2
−2
1
A1 (0, −1, 2) и имеет направляющий вектор a~1 {2, −2, 1}. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка
−−→ −−→
−−→ −−→
плоскости π1 . Тогда векторы AM , AA1 и a~1 компланарны: (AM , AA1 , a~1 ) = 0,
¯
¯
¯
¯
¯ x−1 y−2 z−3 ¯
¯ x−1 y−2 z−3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 − 1 −1 − 2 2 − 3 ¯ = 0, ¯ −1
¯ = 0,
−3
−1
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¯ 2
−2
1 ¯
−2
1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ −1 −3 ¯
¯ −1 −1 ¯
¯ −3 −1 ¯
¯
¯ + (z − 3) ¯
¯ − (y − 2) ¯
(x − 1) ¯¯
¯ 2 −2 ¯ = 0,
¯ 2
1 ¯
−2 1 ¯
−5 (x − 1) − (y − 2) + 8 (z − 3) = 0, 5 x + y − 8 z + 17 = 0.
Аналогично находим уравнение плоскости π2 :
¯
¯
¯ x−1 y−2 z−3 ¯
¯
¯
¯ 0 − 1 −2 − 2 0 − 3 ¯ = 0, 12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0.
¯
¯
¯ 4
0
3 ¯
1
Итак, искомое
уравнение прямой:
½
5 x + y − 8 z + 17 = 0,
Ответ:
12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0.
Для самостоятельного решения – задачи 497, 506, 515.
x−7
y−4
z−5
534 (4) Установить взаимное расположение прямой
=
=
и плоскости
5
1
4
3 x − y + 2 z − 5 = 0.
Решение. Возьмем не канонические, а параметрические уравнения прямой:

 x = 5 t + 7,
y = t + 4,

z = 4 t + 5,
и подставим их в уравнение плоскости:
3 (5 t + 7) − (t + 4) + 2 (4 t + 5) − 5 = 0, 22 t + 22 = 0, t = −1.
Получили единственное значение параметра
точку пересечения:

 x =
y =

z =
t, значит, прямая пересекает плоскость. Найдем
−5 + 7 = 2,
−1 + 4 = 3,
−4 + 5 = 1.
Ответ: прямая пересекает плоскость в точке (2, 3, 1).
539 (2) Установить взаимное расположение прямых


 x = 1 + 2t
 x = −2 t
y = 2 − 2t и
y = −5 + 3 t


z = −t
z = 4
Решение. Первая прямая проходит через точку A1 (1, 2, 0) и имеет направляющий вектор
~a1 = {2, −2, −1}. Вторая прямая проходит через точку A2 (0, −5, 4) и имеет направляющий
вектор ~a2 = {−2, 3, 0}. Направляющие векторы прямых неколлинеарны, значит, прямые не
могут быть параллельными и не совпадают.
−−−→
Если прямые скрещиваются, то векторы A1 A2 , ~a1 и ~a2 некомпланарны. Выясним, так ли это:
¯
¯
¯ −1 −7
¯
4
¯
¯
−−−→
(A1 A2 , ~a1 , ~a2 ) = ¯¯ 2 −2 −1 ¯¯ = −9 6= 0,
¯ −2
3
0 ¯
векторы действительно некомпланарны, значит, прямые скрещиваются.
Ответ: прямые скрещиваются.
Для самостоятельного решения – задачи 537 (3), 543 (3).
550 Даны уравнения граней тетраэдра x + 2 y − 3 z − 6 = 0, 2 y + 5 z − 4 = 0, 3 x + z + 1 = 0,
x + 2 y = 0. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух
его граней и параллельную линии пересечения третьей и четвертой граней.
2
Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей, определяемому первыми думя гранями тетраэдра:
x + 2 y − 3 z − 6 + λ(2 y + 5 z − 4) = 0, x + (2 + 2 λ) y + (5 λ − 3) z − 6 − 4 λ = 0.
Для того чтобы искомая плоскость была параллельна линии пересечения третьей и четвертой граней, необходимо и достаточно, чтобы вектора нормали этих трех плоскостей были
компланарны:
¯
¯
¯ 1 2λ + 2 5λ − 3 ¯
¯
¯
¯ 3
¯ = 0,
0
1
¯
¯
¯ 1
¯
2
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3 0 ¯
¯ 3 1 ¯
¯ 0 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 0 ¯ − (2 λ + 2) ¯ 1 0 ¯ + (5 λ − 3) ¯ 1 2 ¯ = 0,
−2 + 2 λ + 2 + 30 λ − 18 = 0, λ = 9/16.
Итак, искомой плоскости соответствует λ = 9/16, подставляем это значение параметра в уравнение пучка:
x + 2y − 3z − 6 +
9
(2 y + 5 z − 4) = 0, 16 x + 50 y − 3 z − 132 = 0.
16
Ответ: 16 x + 50 y − 3 z − 132 = 0.
Для самостоятельного решения – задача 549.
559 Даны две точки A = (−3, 1, 5) и B = (5, 4, 2) и плоскость 2 x − 4 y + z + 14 = 0.
−→
Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок AB, его продолжение за точку A или
за точку B?
Решение. Обозначим F (x, y, z) = 2 x − 4 y + z + 14, находим
F (A) = 2 · (−3) − 4 · 1 + 5 + 14 = 9,
F (B) = 2 · 5 − 4 · 4 + 2 + 14 = 10.
Так как F (A) и F (B) одного знака, то точки A и B лежат в одной полуплоскости (по одну
сторону от заданной плоскости).
Поскольку |F (A)| < |F (B)|, то точка A ближе к плоскости, чем точка B.
−→
Ответ: плоскость пересекает продолжение отрезка AB за точку A.
571 В пучке, определяемом плоскостями 2 x + y − 3 z + 2 = 0 и 5 x + 5 y − 4 z + 3 = 0,
найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку
(4, −3, 1).
Решение. Запишем уравнение пучка:
2 x + y − 3 z + 2 + k(5 x + 5 y − 4 z + 3) = 0,
(2 + 5 k)x + (1 + 5 k)y + (−3 − 4 k)z + 2 + 3 k = 0.
Найдем значение параметра k, соответствующее плоскости из пучка, проходящей через точку
(4, −3, 1):
4 (2 + 5 k) − 3 (1 + 5 k) − 3 − 4 k + 2 + 3 k = 0, k = −1.
3
Значит, уравнение одной из искомых плоскостей:
(2 − 5) x + (1 − 5) y + (−3 + 4) z − 1 = 0, 3 x + 4 y − z + 1 = 0.
Вектор нормали этой плоскости ~n1 = {3, 4, −1}. Выберем из пучка ту плоскость, вектор нормали
~n2 которой перпендикулярен вектору ~n1 :
~n2 = {2 + 5 k, 1 + 5 k, −3 − 4 k}, (~n1 , ~n2 ) = 0,
3(2 + 5 k) + 4(1 + 5 k) − (−3 − 4 k) = 0, k = −1/3.
Уравнение второй плоскости:
3(2 x + y − 3 z + 2) − (5 x + 5 y − 4 z + 3) = 0, x − 2 y − 5 z + 3 = 0.
Ответ: 3 x + 4 y − z + 1 = 0 и x − 2 y − 5 z + 3 = 0.
587 Даны три плоскости 2 x + 3 y − 4 z + 5 = 0, 2 x − z + 3 = 0, x + y − z = 0. Через линию
пересечения двух первых плоскостей провести плоскость так, чтобы линия её пересечения с
третьей плоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первой и второй плоскостей.
Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку, определяемому первыми двумя плоскостями. Уравнение пучка:
2 x + 3 y − 4 z + 5 + λ(2 x − z + 3) = 0,
(2 + 2 λ)x + 3 y + (−4 − λ)z + 5 + 3 λ = 0.
Вектор нормали плоскости, принадлежащей пучку: ~n = {2 + 2 λ, 3, −4 − λ}.
Найдем направляющий вектор прямой пересечения искомой плоскости и третьей из данных
плоскостей:
¯
¯
¯
¯
~k
~i
~j
¯
¯
¯
~a = ¯ 2 + 2 λ 3 −4 − λ ¯¯ =
¯
1
1
−1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3 −4 − λ ¯
¯ 2 + 2 λ −4 − λ ¯
¯ 2 + 2λ 3 ¯
~
¯
¯
¯
¯
¯
¯=
= ~i ¯
− ~j ¯
+k¯
1
−1 ¯
1
−1 ¯
1
1 ¯
= {1 + λ, −2 + λ, −1 + 2 λ}.
Найдем направляющий вектор прямой пересечения первых двух плоскостей:
¯
¯
¯ ~i ~j ~k ¯
¯
¯
¯ 2 3 −4 ¯ = −3~i − 6 ~j − 6 ~k = {−3, −6, −6}.
¯
¯
¯ 2 0 −1 ¯
В качестве направляющего вектора возьмем вектор, коллинеарный найденному, ~b = {1, 2, 2}.
Из условия перпендикулярности векторов ~a и ~b определяем значение параметра λ, соответствующее искомой плоскости:
~a⊥~b ⇒ (~a, ~b) = 0,
1 + λ + 2(−2 + λ) + 2(−1 + 2 λ) = 0, λ = 5/7.
4
Уравнение искомой плоскости:
5
2 x + 3 y − 4 z + 5 + (2 x − z + 3) = 0, 24 x + 21 y − 33 z + 50 = 0.
7
Ответ: 24 x + 21 y − 33 z + 50 = 0.
Для самостоятельного решения – задача 578.
√
590 Через ось Oz провести плоскость, образующую с плоскостью 2 x + y − 5 z − 7 = 0
угол π/3.
Решение. Ось Oz можно представить как линию пересечения координатных плоскостей
x = 0 и y = 0. Тогда уравнение пучка плоскостей, проходящего через ось Oz имеет вид x+ky = 0.
Вектор нормали плоскости из пучка: ~n1 = {1, k, 0}. √
Вектор нормали заданной плоскости: ~n2 = {2, 1, − 5}.
Угол между плоскостями π1 и π2 определяется по формуле
cos(\
π1 , π 2 ) =
|(~n1 , ~n2 )|
.
|~n1 | · |~n2 |
Найдем значение k, используя эту формулу:
cos
π
|2 + k|
=√
, 5(1 + k 2 ) = 2(2 + k)2 ,
√
2
3
1+k · 4+1+5
3 k 2 − 8 k − 3 = 0, k1 = 3, k2 = −1/3.
Подставляем значения k в уравнения пучка, находим уравнения плоскостей x+3 y = 0 и 3 x−y =
0.
Ответ: x + 3 y = 0 и 3 x − y = 0.
x+7
y−6
z
593 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
=
= и обра−2
3
1
π
зующей угол с прямой x − y + z = 0, x − y + 2 z = 0.
3
x+7
y−6
z
Решение. Запишем уравнение прямой
=
= в виде
−2
3
1

x+7
z ½


=
,
x + 2 z + 7 = 0,
−2
1
y
−
6
z
y − 3 z − 6 = 0.


=
,
3
1
Теперь удобно записать уравнение пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую:
x + 2 z + 7 + λ(y − 3 z − 6) = 0, x + λy + (2 − 3λ)z + 7 − 6λ = 0.
Вектор нормали плоскости из пучка: ~n = {1, λ, 2 − 3 λ}.
Найдем направляющий вектор прямой x − y + z = 0, x − y + 2 z = 0:
¯
¯
¯ ¯
¯ ~i
~j ~k ¯
~j ~k ¯ ¯ ~i
¯
¯
¯ ¯
¯ 1 −1 1 ¯ = ¯ 1 −1 1 ¯ = −~i − ~j.
¯
¯
¯ ¯
¯ 1 −1 2 ¯ ¯ 0
0 1 ¯
5
В качестве направляющего вектора возьмем вектор ~a{1, 1, 0}.
По условию задачи угол между искомой плоскостью π и заданной прямой l равен π/3.
Воспользуемся формулой
cl) = |(~n, ~a)| .
sin(π,
|~n| · |~a|
sin
π
|1 + λ|
√ , 3 (10 λ2 − 12 λ + 5) = 2 (λ2 + 2 λ + 1),
=p
2
2
3
1 + λ + (2 − 3 λ) · 2
28 λ2 − 40 λ + 13 = 0, λ1 = 1/2, λ2 = 13/14.
Теперь мы можем записать уравнения искомых плоскостей:
для значения λ = 1/2 имеем:
2 (x + 2 z + 7) + (y − 3 z − 6) = 0, 2 x + y + z + 8 = 0,
для значения λ = 13/14 имеем:
14 (x + 2 z + 7) + 13 (y − 3 z − 6) = 0, 14 x + 13 y − 11 z + 20 = 0.
Ответ: x + y + z + 8 = 0 или 14 x + 13 y − 11 z + 20 = 0.
Для самостоятельного решения – задачи 594, 597.
609 Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между двумя
плоскостями x − z − 5 = 0, 3 x + 5 y − 4 z + 1 = 0, в котором лежит начало координат.
Решение. Все точки биссекторной плоскости равноудалены от плоскостей, образующих
угол:
|x − z − 5|
|3 x + 5 y − 4 z + 1|
√
√
=
.
2
50
Записанное уравнение задает пару биссекторных плоскостей для двух заданных плоскостей.
Обозначим F1 = x−z −5 и F2 = 3 x+5 y −4 z +1. Начало координат поможет нам установить
нужную (лежащую в том же двугранном угле) биссекторную плоскость:
F1 (0, 0, 0) = −5 < 0, следовательно, |x − z − 5| = −x + z + 5,
F2 (0, 0, 0) = 1 > 0, следовательно, |3 x + 5 y − 4 z + 1| = 3 x + 5 y − 4 z + 1.
Итак, уравнение искомой плоскости:
5 (−x + z + 5) = 3 x + 5 y − 4 z + 1, 8 x + 5 y − 9 z − 24 = 0.
Ответ: 8 x + 5 y − 9 z − 24 = 0.
618 Найти растояние от точки (1, 2, 5) до прямой x = t, y = 1 − 2 t, z = 3 + t.
Решение. Рисунок 2. Составим уравнение плоскости, перпендикулярной заданной прямой
и содержащей заданную точку:
1 · (x − 1) − 2 · (y − 2) + 1 · (z − 5) = 0,
(в качестве вектора нормали к плоскости используем направляющий вектор прямой)
x − 2 y + z − 2 = 0.
6
Найдем точку пересечения заданной прямой и построенной плоскости:
t − 2(1 − 2 t) + 3 + t − 2 = 0, t = 1/6.
Точка пересечения (проекция заданной точки A на прямую) имеет координаты
1
1
2
1
19
xM = , y M = 1 − 2 · = , z M = 3 + = ,
6
6
3
6
6
µ
т.е. M =
¶
1 2 19
, ,
. Искомое расстояние:
6 3 6
sµ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 √
1
2
19
210
AM =
−1 +
−2 +
−5 =
.
6
3
6
6
√
210
Ответ:
.
6
Замечание. Существует формула, позволяющая непосредственно находить расстояние от
точки до прямой. Приведенное решение можно рассматривать как доказательство этой формулы.
620 (1) Найти расстояние между двумя прямыми:
x = 3 + t, y = 1 − t, z = 2 + 2 t и x = −t, y = 2 + 3 t, z = 3 t.
Решение. Рисунок. Расстояние между скрещивающимися прямыми (а заданные прямые
именно скрещиваются) можно найти как расстояние от точки на одной прямой до плоскости,
параллельной первой прямой, сорержащей вторую прямую: ρ(l1 , l2 ) = ρ(A1 , π).
Запишем уравнение плоскости π:
−−−→
(A2 M , ~a1 , ~a2 ) = 0,
здесь M (x, y, z) – произвольная точка
¯
¯
¯
¯
¯
¯
плоскости π, A2 (0, 2, 0), ~a1 = {1, −1, 2}, ~a2 = {−1, 3, 3}.
¯
x y − 2 z ¯¯
1
−1 2 ¯¯ = 0,
−1
3
3 ¯
9 x + 5 y − 2 z − 10 = 0.
Координаты точки A1 (3, 1, 2). Искомое расстояние:
ρ(l1 , l2 ) = ρ(A1 , π) =
|9 · 3 + 5 · 1 − 2 · 2 − 10|
18
p
=√
.
110
92 + 52 + (−2)2
18
Ответ: √
.
110
Для самостоятельного решения – задачи 610, 621.
7