ф На коллоквиуме студент получает два вопроса из этого

ф
На коллоквиуме студент получает два вопроса из этого вопросника по выбору
преподавателя. Студент должен знать определения и формулировать утверждения.
Воспроизводить доказательства не требуется.
1. Дайте определение поточечно сходящейся функциональной последовательности на
множестве E 
и предельной функции. Дайте определение множества сходимости
функциональной последовательности. Найдите множество сходимости и предел
последовательности f n ( x)  x n , n  1, 2,... .
2. Дайте определение поточечно сходящегося функционального ряда на множестве
E
и его суммы. Дайте определение множества сходимости функционального ряда.
Найдите множество сходимости и суму ряда

 xk .
k 0
3. Дайте определение равномерно сходящейся функциональной последовательности и
приведите соответствующую геометрическую интерпретацию. Сформулируйте условия
равномерной сходимости функциональной последовательности. Приведите пример
показывающий, что из поточечной сходимости не следует равномерная.
4. Дайте определение равномерно сходящегося функционального ряда.
Сформулируйте достаточный и необходимый признаки равномерной сходимости такого
ряда.
5. Как связаны между собой задачи о сходимости (в т.ч. равномерной) функциональных
последовательностей и функциональных рядов? Если f n  C ( I ) и f n  f на промежутке
I  , что можно сказать о функции f ( x) ? Приведите аналогичное утверждение для

равномерно сходящегося ряда
 g n ( x)
n 1
с gn  C ( I ) .
Сформулируйте соответствующий
необходимый признак равномерной сходимости.
6. Сформулируйте утверждения об интегрировании (в смысле определённого интеграла
и в смысле перехода к первообразным) функциональных последовательностей и рядов.
7.
Сформулируйте
утверждения
о
дифференцировании
функциональных
последовательностей и рядов.
8. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте первую теорему Абеля и
теорему о множестве сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости.
Приведите две формулы для радиуса сходимости.
9. Сформулируйте вторую теорему Абеля. Сформулируйте теорему о радиусе
сходимости продифференцированного и проинтегрированного степенного ряда.
10. Что можно сказать о возможности почленного интегрирования и дифференцирования
степенного ряда? Каким общим свойством обладает сумма степенного ряда?
11. Дайте определение ряда Тейлора и ряда Маклорена. Сформулируйте теорему о
коэффициентах Тейлора суммы степенного ряда. Сформулируйте достаточное условие
сходимости ряда Тейлора к начальной функции.
12. Разложите в ряд Тейлора функции e x , sin x, cos x и укажите интервалы сходимости.
13. Разложите в ряд Тейлора функции
ln(1  x), (1  x) и укажите интервалы
сходимости.
14. Разложите в ряд Тейлора функции (1  x)-1, arctg x
и укажите интервалы
сходимости.
15. Используя ряды Тейлора для функций e x и sin x , представьте величины
1  x2
0 e
dx и
sin x
dx в виде числовых рядов и объясните, почему эти ряды сходятся.
x
16. Расскажите о гармонических колебаниях, их физических характеристиках и
эквивалентной форме. Когда сумма конечного числа таких колебаний будет
периодической функцией и каков этот период? Приведите пример. Сформулируйте задачу
о разложении периодических функций в ряд Фурье. Что такое тригонометрический
многочлен?
17. Дайте определение линейного векторного пространства. Дайте определение
евклидова пространства. Приведите примеры таких пространств. Напишите неравенство
Коши–Буняковского и поясните его геометрический смысл.
Введите понятие
ортогональности векторов. Расскажите о свойствах нормы в евклидовом пространстве.
Определите линейную независимость векторов.
18. Определите пространство C2 ([ ,  ]) , указав его элементы и скалярное
1
0
произведение в нём. Выпишите явно формулы для нормы и расстояния в C2 ([ ,  ]) .
Дайте определение среднеквадратичной сходимости в пространстве C2 ([ ,  ]) . Как
связаны между собой равномерная, среднеквадратичная и поточечная сходимости?
19. Дайте определение сходящегося ряда в пространстве C2 ([ ,  ]) . Дайте определение
плотного множества и полной ортонормированной системы векторов в этом пространстве.
Покажите, что тригонометрическая система
1
1
1
{
,
cos nx,
sin nx; n  1, 2,...}
2


образует ортонормированную систему в пространстве C2 ([ ,  ]) .
20. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о равномерном приближении
тригонометрическими полиномами и объясните, как из неё следует полнота
тригонометрической системы в C2 ([ ,  ]) . Сформулируйте теорему о разложении в ряд
Фурье по полной ортонормированной системе в пространстве C2 ([ ,  ]) . Напишите
равенство Парсеваля.