теоретические основы с практическим заданием

Материал предназначен для самостоятельного освоения важного
учебного материала по теме «Производная, её механический и
геометрический смысл».
К теме даны тесты в двух вариантах: первый – тренировочный,
второй – для самоконтроля. В каждом из них по 10 заданий. Выполнив
задание, следует выбрать верный ответ (А, Б, В, Г) после каждого
тестового задания. За решение 9-10 заданий можно поставить себе
оценку «5», за 8 – «4», за 7 – «3».
1.
2.
3.
4.
5.
6.
РАЗДЕЛЫ ТЕМЫ «Производная, её механический и геометрический смысл»:
Приращение аргумента и приращение функции.
Скорость изменения функции.
Производная функции в точке.
Производные элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции. Механический
смысл производной.
ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
Вопросы и задания
1. Что называется приращением аргумента? Объясните на примере.
2. Пусть y  f (x) - функция. Как обозначается приращение её аргумента?
3. y  f (x) - функция, x0 - первоначальное значение аргумента, x - новое значение
аргумента. Как можно записать приращение аргумента в виде формулы?
4. Если первоначальное значение аргумента x0 получило приращение x , как можно
записать соответствующее ему значение функции?
5. Что называется приращением функции? Как оно кратко обозначается?
6. Приращение функции f в точке x0 записывается в виде формулы следующим образом:
f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Поясните значение каждого символа.
7. Для функции y  x найти y , если x  2, x0  1,9.
8. Найдите ошибку в решении следующей задачи:
Дана функция y  x 2 . Найти y , если x  2,2, x0  2.
Решение:
y  y( x0  x)  y( x0 ); y ( x0  x)  y ( x)  (2,2) 2  4,84; y( x0 )  22  4;
y = 4,84 – 4 = 8,84.
9. Найдите приращения x и y в точке x0 , если y  x 2  4, x0  2; x  1,9.
10. Дана функция y  2 x  5. Найдите x и y , если x0  3 и x  0,2.
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
Вопросы и задания.
1. Что называется средней скоростью прямолинейного движения точки?
2. Пусть s  f (t ) - уравнение движения точки. При равномерном движении средняя
s
скорость постоянна на любом участке пути и определяется по формуле Vср. 
. Что
t
такое s и t ?
3. Ознакомьтесь с решением задачи:
Тело движется по закону s(t )  1  10t.
Вычислите:
1) приращение времени t ;
2) приращение пути s ;
3) среднюю скорость тела на промежутке от t1  1 до t 2  3 .
Решение:
1) t  t 2  t1  3 1  2;
2) s  s2  s1 ; s2  s(t 2 )  1  10t 2  1  10(3)  31; s1  s(t1 )  1  10t1  1  10(1)  11;
s = 31 – 11 = 20;
s 20

 10.
t
2
Решите самостоятельно аналогичную задачу:
Тело движется прямолинейно по закону s(t )  1  20t  5t 2 . вычислите среднюю скорость
движения тела на промежутке от t1  1 до t 2  2.
4. Какие вы знаете примеры неравномерного движения?
5. Какую скорость движения можно назвать мгновенной?
6. Чтобы найти мгновенную скорость, можно поступить так: найти среднюю скорость и
посмотреть, к какому значению она близка, если считать, что t практически не
отличается от нуля.
Найдем скорость движения точки в момент t  3 с, если точка движется прямолинейно
по закону s  3t 2  2t  5, где t дано в секундах, а s – в метрах.
s
Vср. 
s  s(t  t )  s(t )  3(t  t ) 2  2(t  t )  5  (3t 2  2t  5)  6tt  3(t ) 2  2t
t
s 6tt  3(t ) 2  2t

 6t  3t  2
t
t
При t  0
Vмгн.  6t  2  6(3)  2  16 м/с.
7. Решите аналогичную задачу.
Прямолинейное движение точки задано уравнением y  2 x 2  8 x  10, ( x  в секундах,
y - в метрах). Найти скорость движения точки в момент времени t  8 с (мгновенную
скорость). Ответ: 24 м/с.
3) Vср. 
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Вопросы и задания.
1. Составьте последовательность действий (алгоритм) для определения скорости движения
в момент времени t .
2. Дайте определение производной функции f в точке x0 .
3. Как обозначается производная функции f в точке x0 и как читается это обозначение?
4. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
5. Ознакомьтесь с решением следующей задачи:
Найти производную функции f ( x)  x 2 в точке x0 .
Решение.
1) Найдем приращение функции f в точке x0 :
f  (0  x) 2  x02  x02  2 x0 x  (x) 2  x02  2 x0 x  (x) 2 .
2)
3)
f
f 2 x0  (x) 2
.

 2 x0  x, (x  0).
x
x
x
При x  0 сумма 2 x0  x, т.е. разностное отношение стремится к 2x0 .
f
 2x0 при x  0 . Следовательно, f ( x0 )  2 x0 .
x
Таким образом, производная функции f ( x)  x 2 в точке x0 равна 2x0 .
Найдем разностное отношение
6. Аналогично найдите производную функции
f ( x)  x 3 в точке x0 . Воспользуйтесь
формулой (a  b) 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 .
7. Что называется производной функции y  f (x) ? Как обозначается производная функции
y  f (x) ?
8. Что называется дифференцированием?
9. Найдите производную функции y  3 x  5 .
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Вопросы и задания.
1. Какие элементарные функции вы знаете? Запишите.
2. Ознакомьтесь с таблицей элементарных функций:
(C )  0,
(kx  b)  k , где C - произвольная постоянная, k и b - постоянные,
1
(ln x)  ,
(cos x)   sin x ,
( x n )  nx n1 ,
x
1
1
(log a x) 
(tgx) 
,
,
( x )  e x ,
x ln a
cos 2 x
1
(ctgx) 
(sin x)  cos x ,
.
( x)  a x ln a ,
sin 2 x
Как называются эти функции?
Названия каких элементарных функций вам неизвестны? Найдите их названия в учебнике
или справочнике.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Вопросы и задания.
1. Чему равны производные суммы дифференцируемых в точке x0 функции U и V ?
Запишите кратко формулой и проговорите это правило.
2. Чему равна производная произведения дифференцируемых в точке x0 функции U и V ?
Запишите кратко формулой и проговорите это правило.
3. Чему равна производная произведения постоянной С
на функцию U ,
дифференцируемую в точке x0 ?
Как можно кратко сформулировать это правило? Запишите его в виде формулы.
4. Сформулируйте правило дифференцирования степенной функции. Запишите это правило
формулой.
5. Запишите формулу дифференцирования частного двух функций в точке x0 . При каких
условиях она верна?
6. Ниже представлены основные правила дифференцирования.
(CU )  CU  , С - постоянная величина
(1)
(U  V )  U   V 
(2)
(UV )  U V  UV 
(3)

 U  U V  UV 
(4)
  
V2
V 
7. Найдите производные функций:
а)
f ( x)  2 x 3 (воспользуйтесь правилом (1));
2 x 2  3x  1
f ( x) 
б)
. Найдите значение производной этой функции при x = 1
3x  1
(воспользуйтесь правилом (4));
в)
f ( x)  x 3  sin x (воспользуйтесь правилом (2));
f ( x)  x cos x (воспользуйтесь правилом (3)).
г)
8. Найдите f (x) , если
а)
б)
f ( x)  x 3  x 2 ;
f ( x)  (3x  1)(1  5 x) ;
в)
f ( x) 
5  3x
;
1  3x
1
2
г)
f ( x)  x ( x  1) ;
д)
f ( x)  x  sin x ;
sin x
f ( x) 
.
x 1
е)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Вопросы и задания.
1. Уравнение прямой можно записать следующим образом: y  kx  b . Что означает в этой
формуле k?
2. Постройте прямую, заданную уравнением y  2  1 . Объясните по чертежу, что означают
k = 2 и b = 1.
3. В чем состоит геометрический смысл производной? Приведите пример.
4. Постройте график функции y  x 2 и проведите касательную к графику в точке x = 0,5.
Вычислите угловой коэффициент касательной к графику функции y  x 2 в точке x = 0,5.
5. В чем состоит механический смысл производной?
6. Касательной к графику f (x) , дифференцируемой в точке x0 , называется прямая,
проходящая через точку x0 и имеющая угловой коэффициент, равный f (x) .
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) - уравнение касательной.
Ознакомьтесь с решением задачи:
Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x)  x 2 в точке с абсциссой
x0 = 4.
f ( x0 )  f (4)  42  16;
f ( x)  2 x;
f ( x0 )  2  4  8.
Уравнение касательной:
y  16  8( x  4)  16  8 x  32  8 x  16; y  8 x  16 .
Решите аналогичную задачу
Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x)  x 2  x в точке с абсциссой
x0 = 2.
7. Как найти скорость, зная закон прямолинейного движения материальной точки?
8. Найдите скорость в момент времени t = 2, если тело движется прямолинейно по закону
x(t )  2t 2  6t  5 , где x(t ) измеряется в метрах, а время t – в секундах.
9. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  t 3  2t 2 .
Найдите скорость и ускорение в момент t = 2 с. Перемещение измеряется в метрах.
1.
А)
2.
А)
Тестовые задания к теме
Вариант 1
Найдите приращение x и y в точке x0 , если y  x 2  1, x0 = 1, x = 0,9.
0,1; 0,19;
Б) 0,1; 0,1;
В) -0,1; -0,9;
Г) -0,1; -0,1.
Найдите производные функций:
а) f ( x)  x 2  5 x  1
Б) x  5 ;
В)  x  5 ;
Г) 2x .
2x  5 ;
б)
f ( x)  x (4  x)
1
А)
А)
А)
3.
1 
1
1
1
x(4  x)  x x ; Б)  x(4  x)  x x ; В) x(4  x)  x ; Г) x 2 (4  x)  x .
2
2
2
2
1 x
в) f ( x) 
2  3x
1 x
5
1 2x
6x 1
;
Б) 
;
В)
;
Г)
.
2
2
2
(2  3 x)
(2  3 x)
(2  3 x) 2
(2  3x)
г) f ( x)  ( x  1) sin x
 sin  ( x  1) cos x ;
Б) sin x  ( x  1) cos ;
В) cos x  1 ;
Г)  cos x .
Вычислите значение производной функции y  f (x) в указанной точке.
f ( x)  x 2  8 x  1; x  1
Б) -6;
В) 6;
Г) -7.
1
б) f ( x)   x; x  2
x
5
 1 4 2
А)
;
Б)  ;
В) -2;
Г) -3.
4
4 2
а)
А) 7;
в)
f ( x)  x ( x  1); x  4
3
1
1
А) 2 ;
Б) 2;
В)
;
Г) - .
4
4
4
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  2t 3  3t  1 . Найдите
скорость и ускорение в момент t = 2.
А) 20; 10;
Б) 43; 36;
В) 27; 24;
Г) 12; 10.
1
5. Найдите угол между касательной к графику функции y  x2 1 в точке x 
и
2
положительным направлением оси абсцисс. Постройте схематический график этой
функции.
А) 135°;
Б) 30°;
В) 60°;
Г) 45°.
1.
А)
2.
А)
3.
А)
4.
А)
А)
5.
Вариант 2
Найдите приращение x и y в точке x0 , если y  x 2  5x  6, x0 = 0,9, x = 1.
0,1; -0,31;
Б) 1,9; -11,69;
В) -0,1; 0,69;
Г) -1,9; 10.
2
Найдите производную функции h( x)  8 x  7 x  16 в точке x  1.
9;
Б) 23;
В) -23;
Г) -7.
Найдите производную функции f ( x)  (2 x  1)( 2 x  5) .
8( x  1) ;
Б) 2(2 x  5) ;
В) 4;
Г) 2(2 x  1) .
Найдите производную функций в точке x = 1.
g ( x)  x 2 x
а)
7,5;
Б) 2,5;
В) 1;
Г) -1.
2 x
f ( x) 
б)
x 1
3
1
1;
Б)  ;
В) 0;
Г)
.
4
4
Решите уравнение h( x)  0 , если h( x)  x 3  12 x  7 .
А) x1   2 , x2  2 ;
Б) 2 ;
В) -2; 2;
6. Найдите значение производной функции
f ( x)  2 x cos x при x0 = 0.
Г) -2.
при заданном
значении
аргумента:
А) 2;
Б) -2;
В) 1;
Г) 0.
7. Найдите угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точках с заданными
абсциссами.
f ( x)  3x  x 3 , x0  2
а)
А) -9;
Б) 9;
В) 4;
Г) 2.
3
f ( x) 
, x0  1
б)
x  x3
1
1
1
А)
;
Б) -6;
В)
;
Г) - .
2
6
3
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  4t 3  t  7 .
Найдите скорость и ускорение в момент времени t:
А) 10; 12;
Б) 11; 24;
В) 24; 10;
Г) 12; 4.
Ключи к тестовым заданиям:
Вариант 1
1. В
2. а) А
3. а) Б
б) Г
б) Б
в) А
в) А
г) Б
Вариант 2
1. А
2. В 3. А 4. а) Б
5. В
б) В
Поставьте себе оценку.
4. В
6. А
5. Г
7. а) А
б) Б
8. Б