1. пояснительная записка - Основные образовательные
advertisement
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «УТВЕРЖДАЮ»: Проректор по учебной работе _______________________ /Волосникова Л.М./ __________ _____________ 2013 г. ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010700.62 очная форма обучения. "Физика" ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»: Автор работы ______________/Шевелев А.П../ «____»___________2013г. Рассмотрено на заседании кафедры Моделирования физических процессов и систем 30.08.2013 года. Протокол № 1. Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению. «РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»: Объем стр. Зав. кафедрой ____________________/Пилипенко В.А./ «____»___________ 2013 г. Рассмотрено на заседании УМК ИФиХ «____»______________ 2013 г., протокол №____. Соответствует ГОС ВПО и учебному плану образовательной программы. «СОГЛАСОВАНО»: Председатель УМК _________________/Креков С.А./ «____»_____________2013 г. «СОГЛАСОВАНО»: И.о директора ИБЦ _________________/ Ульянова Е.А./ «____»_____________2013 г. «СОГЛАСОВАНО»: Зав. методическим отделом УМУ_____________/ Фарафонова И.Ю./ «____»_____________2013 г. РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт физики и химии КАФЕДРА МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ Шевелев А.П. ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010700.62 очная форма обучения. Тюменский государственный университет 2013 "Физика" Шевелев А.П.. Подземная гидромеханика: Учебно-методический комплекс для студентов направления 010700.62 «Физика». Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2013. 131 с. Учебно-методический комплекс содержит методический материал, конспекты лекций и содержание семинарских занятий по основному спецкурсу «Подземная гидромеханика» для студентов направления 010700.62 «Физика» 4 курса, обучающихся по специализации «Физика нефтяного и классического газового курса пластов». и дополнен Комплекс новыми освещает темами все и вопросы разделами, сформировавшимися в теории за последние 10 лет. Основные теоретические проблемы рассматриваются в рамках лекционного курса, практические и методические дополнения, решение типовых и усложненных задач разбираются на семинарских занятиях. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой моделирования физических процессов и систем Пилипенко В.А. ©Тюменский государственный университет, 2013. © Шевелёв Александр Павлович, 2013 . 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цели и задачи курса: Анализ гидродинамических проблем добычи нефти и газа из недр. Формулировка задач механики многофазных систем по описанию и моделированию этих процессов. Изучение физико-математических методов, применяемых для решения задач подземной гидромеханики. В результате изучения курса студент должен знать: - основные понятия и законы, описывающие фильтрацию однго или нескольких флюидов в пористой среде; - классические решения теории фильтрации для однородной несжимаемой жидкости, нестационарного притока упругой жидкости и газа, течения двух несмешивающихся жидкостей; - уметь использовать методы теории функций комплексного пременного, автомодельной переменной, характеристик для решения задач фильтрации. Для успешного освоения курса студент должен иметь представления: - об основных технологиях добычи нефти и газа; - основных понятиях и методах механики сплошной и многофазной сред; - основных методах математической физики и теории уравнений в частных производных. Общее количество часов, отводимое на спецкурс - 164, лекций - 72, практических занятий - 36, самостоятельная работа студентов – 56 часов. 1. Структура и трудоемкость дисциплины. Данная дисциплина читается в 7,8 семестре. Форма аттестации – зачет, экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 164 часов.. Таблица 1. Вид учебной работы Аудиторные занятия (всего) В том числе: Лекции Практические занятия (ПЗ) Семинары (С) Лабораторные работы (ЛР) Самостоятельная работа (всего) Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) Общая трудоемкость час 2. Всего часов 108 72 36 56 Э (7 сем.) 164 Тематический план. Таблица 2. Тематический план 1 1. 1. 1. 2. 1. 2 Модуль 1 Общие уравнения многофазной фильтрации Всего Модуль 2 Основные модели изотермической фильтрации и задачи механики в нефтедобыче. Всего Модуль 3 Фильтрация однородной упругой жидкости в деформируемом пласте. Двухфазная фильтрация Всего Модуль 4 Капиллярные процессы в пористой среде. Всего Итого (часов, баллов): 3 4 7 семестр 5 Самостоятель ная работа* Семинарские (практические ) занятия* Лабораторные занятия* Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Лекции* Тема недели семестра № 6 Итого часов по теме Итого количеств о баллов 8 9 7 1-9 18 8 14 40 1-9 18 8 14 40 1018 18 8 14 40 1018 18 8 14 40 1-4 9 6 7 22 0-20 4-9 1-9 9 18 6 12 7 14 22 44 0-20 0-40 1018 1018 136 18 8 14 40 0-20 18 8 14 40 0-20 72 36 56 164 0-100 0-20 0-20 0-20 0-20 Таблица 3. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля Устный опрос контрольная работа реферат эссе программы компьютерного тестирования комплексные ситуационные задания электронные практикум другие формы Итого количество баллов - - 0-50-5- - - 0-5 0-5 - - 0-5 0-5 - 0-5 0-5 - 0-20 0-20 - - 0-50-5- - - 0-5 0-5 - - 0-5 0-5 - 0-5 0-5 - 0-20 0-20 - - 0-50-5010 - - 0-5 0-5 010 - - 0-5 0-5 0-10 - 0-5 0-5 010 - 0-20 0-20 0-40 - - 0-50-5025 - - 0-5 0-5 025 - - 0-5 0-5 0-25 - 0-5 0-5 025 - 0-20 0-20 0-100 тест лабораторная работа Информацио нные системы и технологии ответ на семинаре Модуль 4 1. Всего Итого Технические формы контроля собеседование Модуль 1 1. Всего Модуль 2 1. Всего Модуль 3 1. 2. Всего Письменные работы коллоквиумы № темы Таблица 4. Планирование самостоятельной работы студентов № Модули и темы Виды СРС обязательные дополнительные Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов 14 0-20 7 семестр Модуль 1 1.1 1-9 Общие уравнения многофазной фильтрации Всего по модулю 1: 14 Модуль 2 2.1 Основные модели изотермической фильтрации и задачи механики в нефтедобыче. 0-20 10-18 1. Работа с учебной литературой. 0-20 14 2. Выполнение домашнего задания 3. Проработка лекций Всего по модулю 2: 14 Модуль 3 3.1 Фильтрация однородной 0-20 1-9 1. Работа с 7 0-20 упругой жидкости в деформируемом пласте. учебной литературой. 2. Выполнение домашнего задания 3.2 Двухфазная фильтрация 3. Проработка лекций 1. Работа с учебной литературой. 7 0-20 14 0-40 14 0-20 2. Выполнение домашнего задания 3. Проработка лекций Модуль 4 4.1 10-18 Капиллярные процессы в пористой среде. 1. Работа с учебной литературой. Докладпрезентация 2. Выполнение домашнего задания 3. Проработка лекций Всего по модулю 2: 14 ИТОГО: 0-60 56 0-100 Содержание программы курса по темам: Тема 1. Общие уравнения многофазной фильтрации. Определение пористости горных пород, методов ее измерения. Уравнения сохранения массы жидкости и газа в пористой среде (уравнение неразрывности). Уравнение движения жидкости в пористых средах. Закон Дарси. Абсолютная проницаемость пористых сред. Микромеханика пористой среды. Смачиваемость, краевой угол смачивания, капиллярные силы. Капиллярное давление. Первое капиллярное число. Функция Леверетта. Тема 2. Основные модели изотермической фильтрации и задачи механики в нефтедобыче. Фильтрация однородной несжимаемой жидкости. Приток жидкости в скважину. Формула Дюпюи. Приложение ТФКП к решению плоских задач фильтрации. Простейшие типы плоских фильтрационных течений. Тема 3. Фильтрация однородной упругой жидкости в деформируемом пласте. Упругий режим фильтрации. Уравнения состояния упругой жидкости, газа и пористой среды. Функция Лейбензона, решение стационарных задач упругого режима. Уравнение пьезопроводности. Автомодельная постановка задачи о притоке упругой жидкости в скважину. Распределение давления в пласте при постоянном расходе жидкости, притекающей в скважину. Кривые восстановления давления, определение свойств пласта по данным гидродинамических исследований скважин. Тема 4. Двухфазная фильтрация. Безразмерные уравнения. Второе капиллярное число. Задача Баклея-Леверетта. Разрывные решения. Условия на разрывах. Расчет коэффициента вытеснения нефти. Двухфазная фильтрация с учетом гравитационных сил. Методы увеличения нефтеотдачи пластов. Тема 5. Капиллярные процессы в пористой среде. Равновесие двух жидкостей в поле сил тяжести. Задача Раппопорта-Лиса. Противоточная капиллярная пропитка. 2. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ: Фильтрация – наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых средах. Примеры пористых сред – горные породы, земля и пашни, мелиорация плодородных земель, фильтры и материалы для их изготовления, пористые материалы и их применение в промышленности. Как различные проблемы и задачи обозначаются в названии фильтрационных процессов на английском языке: flow through porous media – течение жидкостей и газов в природных пластах, filtration – течение смесей через фильтры, percolation – движение по каналам различной толщины и конфигурации, seepage – фильтрация жидкости в горных породах (европейское обозначение). Так как мы живем в нефтегазовом регионе, то в дальнейшем мы будем рассматривать только процессы фильтрации в горных породах. I. Основные уравнения многофазной фильтрации. 1.1. Уравнение сохранения массы жидкости и газа в пористой среде. Рассмотрим образец горной породы объемом V. Он состоит их матрицы скелета горной породы массой MR и жидкости или газа заполняющего поровой пространство массой Ml. V MR Ml Введем понятие приведенной плотности жидкости в рассматриваемом объеме l Ml - как массу жидкости в единице объема среды. V Она отличается от истинной плотности жидкости l0 Ml , Vпор которая определяется как масса единицы объема жидкости. Найдем связь между этими величинами: l M l M l Vпор l0 m , здесь введена V Vпор V характеристика пористой среды – пористость, которая определяется как отношение объема пор образца породы к его видимому объему. Аналогичные преобразования можно провести и для параметров пористой среды. Связь приведенной и истинной плотности породы определяется следующим образом: R MR M R V Vпор R0 1 m . V V Vпор V В качестве примеров выделим основные типы горных осадочных горных пород, в которых пористость может меняться в пределах: Глина – 0,06 0.5 Песок – 0,06 052 Песчаник – 0.035 033 Известняк – 0,005 033 Однако введение параметра пористости m недостаточно для полного описания свойств горной породы, так как важную роль играют также размеры самих поровых каналов. Пол размеру поровых каналов различают следующие типы пористых сред: Сверхкапиллярные, где радиусы поровых каналов r 0,5 мм, течение жидкости через такие каналы описывается в рамках традиционной гидромеханики. Капиллярные, в которых 0,0002 r 0,5 мм. Такие среды и являются предметом изучения теории фильтрации. Субкапиллярные, в которых r 0,0002 мм. Движение жидкости через такие среды определяются законами молекулярной физики. Методы измерения пористости. 1) Метод взвешивания (метод Преображенского). Применяется для образцов породы произвольной формы. В этом методе экспериментально измеряются следующие величины: p1 - вес сухого образца, p2 - вес образца, насыщенного керосином, в воздухе, p3 - вес насыщенного образца в керосине, Используя закон Архимеда, мы можем определить формулы для вычисления основных характеристик образца: Vпор p 2 p1 0 l V p 2 p3 0 l m p 2 p1 p 2 p3 2) Газовый метод. Схема экспериментальной установки приведена на рисунке. Применяется для образцов известного объема x и использует известный закон Бойля-Мариотта: p1 V2 x p 2 V1 x x p 2V2 p1V1 p1 p 2 где рi – давление, Vi – объем газа над образцом. Многофазная фильтрация – течение нескольких жидкостей и газов через пористую среду. Введем характеристику заполнения пористой среды жидкостью: Vi S i - насыщенность i-ой фазой или доля порового пространства занятого Vпор i-ой фазой, где Vi , и Vпор – объем жидкости и порового пространства в образце. Из определения следует, что N S i 1 i 1. Приведенная плотность жидкости в этом случае определяется как: i M i M i Vi Vпор i0 S i m . V Vi Vпор V Уравнение неразрывности в механике многофазных сред. Определим условия, когда вообще можно пользоваться уравнениями механики многофазной фильтрации: l dx L где l - характерный масштаб строения вещества, L - характерный масштаб задачи. Оценим эти параметры для задач разработки нефтегазовых месторождений: l - радиус пор 10 100 мк, L - характерные расстояния между рядами скважин 500 м. Для полной ясности попробуйте произвести подобные оценки для следующих систем: галактика, солнечная система, обувная подошва. Согласно основных постулатов механики многофазных уравнение неразрывности записывается для приведенных плотностей: i div i i 0 t С учетом введенных определений конкретизируем уравнение для: 1) однородная жидкости S i 1 l0 m div l0 m l 0 t систем 2) недеформируемой пористой среды m=const и несжимаемой жидкости l0 =0. S i divSi i 0 t 3) однородной жидкости S i 1 , недеформируемой среды m=const и несжимаемой жидкости l0 =0 divl 0 1.2. Уравнение движения жидкости в пористых средах. Закон Дарси. История утверждает, что Анри Дарси в 1856г. проводил эксперименты по фильтрации воды в трубах с песчаным фильтром в рамках проекта водоснабжения в городе Дижоне и впервые открыл закон фильтрации жидкости. Экспериментальная установка, собранная Дарси имела схематический вид, приведенный на рисунке На основании экспериментальных результатов Дарси сформулировал закон фильтрации или уравнения движения жидкости в пористой среде: Q k ф H 2 H1 h где Q - расход жидкости, м3/сек, H i - напор (разность уровней), м, - площадь поперечного сечения трубы, м2, k ф - коэффициент пропорциональности или фильтрации, м/сек. С другой стороны, Дюпюи в 1848–1863гг писал фундаментальный труд по гидромеханике, где сформулировал дифференциальный вид закона фильтрации. Этот вид можно получить из закона Дарси с учетом определения напора жидкости: l0 gH i pi l0 ghi Вводя удельный объемный расход жидкости q q Q , получим k p g l0 h m q gradp g k 0 l где - вязкость жидкости, k - коэффициент абсолютной проницаемости, k =м2, его характерные значения для горных пород составляют k 10-12 10-13 м2= 1мкм2=1 Дарси. Можно попытаться обобщить закон Дарси на случай многофазной фильтрации: qi mSi i qi mSi i k i fi gradpi i0 g Для двухфазной фильтрации воды - газа (воздух) Викоф и Ботсет 1937 г. установили, что фазовая проницаемость определяется только насыщенностью водой f i f i S i . Многочисленные эксперименты Баклея и Леверетта, поведенные в 1942 г., показали, что коэффициент фазовой проницаемости fi, зависит только от насыщенности пористой среды данной фазой. Их эксперименты проводились для фильтрации воды и нефти. Типичные зависимости фазовых проницаемостей от водонасыщенности приведены на рисунке. Сформулируем еще раз основные выводы экспериментальных исследований: а) фазовые проницаемости не зависят от перепада давления, вязкости жидкости и поверхностного натяжения p, , . б) фазовые проницаемости меняются от нуля до единицы в диапазоне S wr S 1 S or . В случае фильтрации трех фаз, например нефти. газа и воды, фазовая проницаемость зависит от двух насыщенностей и для ее графического представления используют треугольные диаграммы Розебома-Гиббса. Насыщенности составляющих фаз в произвольной точке определяются по высотам, опущенным из данной точки на стороны равностороннего треугольника. Если высота треугольника h 1, то hw ho hg 1 . Таким образом, каждая точка внутри треугольника однозначно соответствует трехфазному составу. Типичный вид фазовых проницаемостей для гидрофильной среды также приведен на рисунке: Методы построения трехфазных проницаемостей по данным двухфазных проницаемостей вода-нефть и газ-нефть разработаны Стоуном в 1960-1970 гг. Замечания о законе Дарси: 1) Отклонения от закона Дарси. В процессах, сопровождающихся большими скоростями и ускорениями необходимо учитывать инерционные эффекты и рассматривать уравнения движения вида: i gradpi i i i div i t kfi l0 2) Козени и Карман получили известную формулу движение жидкости по капиллярам без учета капиллярных сил, связывающую пористость и проницаемость: k ' m' k m 3 а средний радиус капилляров равен r k . m Эта форма связи широко используется при построении петрофизических корреляций для всех исследуемых пластов. 1.3.Микромеханика пористой среды. Капиллярные силы. Рассмотрим основные капиллярные эффекты, происходящие в пористых средах на уровне отдельных пор. Такие механические процессы мы будем называть в дальнейшем микромеханикой. а) Действие молекулярно-поверхностных сил на границе жидкость жидкость - твердое тело (теория Юнга): Краевой угол смачивания определяется из баланса молекулярных сил, действующих на молекулы вблизи трехфазной границы cos f Fi . б) Понятия мениска на границе двух жидких фаз в капилляре. Лапласовское давление действующее на жидкости вблизи искривленной границы. Перепад давления в жидкостях называется Лапласовским давление и определяется коэффициентов поверхностного натяжения p 2 p1 2 , где R R радиус кривизны, определяемый как R r cos в) Эксперименты О-жен 1970 г. по скатыванию капли одной жидкости по шершавой пластинке. Определены понятия наступающего и отступающего краевых углов смачивания в динамике и установлено, что н рав н , а от рав н . При изменении смачиваемости поверхности показано, что связь наступающего и отступающего углов имеет вид гистерезиса, см. рисунок. г) Указанные эффекты могут приводить к защемлению капель жидкости в капилляре капиллярными силами: Это происходит из-за неравенства лапласовского давления на переднем и заднем фронтах капли: pl1 2 cos н 2 cos от 2 , pl 2 , pl cos от cos н r r r д) Эффект запирания капель жидкости в капилляре переменного сечения был открыт Джаменом еще в 19 веке. Этот эффект также определяется неравенством лапласовского давления на передней и задней границе капли. см. рисунок. Критический перепад давления, который может выдержать капля в таком положении рассчитывается как cos н cos от pl 2 r2 r1 Сформулируем основные выводы анализа капиллярных явлений на микроуровне отдельных пор. а) Существуют запирающие перепады или градиенты давлений, при которых часть жидкости в виде отдельных капель застревает в пористой среде p pl , где l - размер капли. Это явление можно характеризовать x l безразмерным числом: N C1 p k x m cos Назовем этот параметр первым капиллярным числом. Оно характеризует соотношение гидродинамических и капиллярных сил. б) В 1970-х годах американский ученый Taber экспериментально установил, что остаточная нефтенасыщенность пористой среды определяется первым капиллярным числом, и получил зависимость, приведенную на рисунке. На рисунке Sir -остаточное значение насыщенности. Причем эта зависимость справедлива как для остаточной нефтенасыщенности i 0 o , так и для водонасыщенности i w w . На помним, что Леверет, Викоф, Ботсет снимали зависимость f i S в диапазоне чисел N C1 10-5 10-7, поэтому не могли наблюдать зависимость фазовых проницаемостей от параметров, входящих в первое капиллярное число. в) В преимущественно гидрофильных и гидрофобных средах две фазы проявляют однозначное поведение смачиваемости. Для гидрофильной среды это вода и газ, для гидрофобной – это газ и нефть. Таким образом, эти фазы при движении образуют мениски одной формы, см. рисунок. O – в гидрофильной среде – жидкость с переменной смачиваемостью. W - в гидрофобной среде – жидкость с переменной смачиваемостью. Третья фаза проявляет промежуточную смачиваемость, т.е. зависят от того, с какой жидкостью или газом они фильтруются. На более крупном масштабе это проявляется в том, что фазовые проницаемости флюида с однозначной смачиваемостью зависят только от насыщенности пористой среды данной фазой. При промежуточной смачиваемости, фазовая проницаемость зависит от насыщенности уже двух фаз. 1.4. Капиллярное давление. Функция Леверетта. Различие давлений в фазах, определяемое лапласовским давлением, проявляется и на макроуровне. Представим себе, что пористая среда составлена из гидрофильных капилляров различного сечения. Проведем мысленный эксперимент: погрузим такую модель пористой среды, насыщенную водой, в нефть. Перепад давления в воде и нефти приводит к тому, что жидкость начинает продавливаться в капилляры. При низких перепадах давления заполняются сначала толстые капилляры, при высоких – начинают заполняться и тонкие, см. поясняющий рисунок. Таким образом, получается, что перепад давления приводит к различной насыщенности пористой среды нефтью или обратное заключение, что насыщенность пористой среды водой определяет перепад давления в фазах: p0 pw p1 (S1 нефть заполнила самый широкий канал) p0 pw p2 (S 2 нефть заполнила второй канал) p0 pw p3 (S 3 =1) p0 pw f S Впервые эксперименты по определению зависимости перепада давления от насыщенности пористой Экспериментальная установка среды были состояла из проделаны Левереттом. сосуда, разделенного полупроницаемой мембраной (проницаемой для воды и непроницаемой для нейти). В верхней половине сосуда находится нефть, а давление может меняться за счет сжатия жидкости поршнем, в эту половину и помещается образец, заполненный водой. Изменяя давление в верхней половине сосуда измеряется количество воды, выдавленной из образца породы. Схема установки приведена на рисунке. 1- керосин, 2 – мембрана, пропускает только воду, 3 – вода. Обычно зависимость перепада капиллярного давления от насыщенности водой обезразмеривается на характерное значение капиллярного давления pk pw 1атм pc J S pc cos k m и вводится безразмерная функция Леверетта J S . Характерные виды безразмерной функции Леверетта для различных сред приведены на рисунке. 1- Среда гидрофильная. Вода вытесняет керосин (впитывание), 2 – Керосин вытесняет воду (дренаж). Гидрофобная среда. Смешанная смачиваемость среды. В трехфазном случае вводится две функции Леверетта, для сред с промежуточной и однозначной смачиваемостью: p g po pC1 J 1 S g po pw pC 2 J 2 S w Гистерезис зависимости обусловлен гистерезисом краевого угла смачивания. разностью наст и ост и 1.5. Основные модели неизотермической фильтрации и задачи механики в нефтегазодобыче. Как и в любой другой науке, в подземной гидромеханике формулируются основные модели, описывающие процессы разработки месторождений на различной стадии. Изучение этих моделей и их частных решений составляют основные разделы данной науки. Рассмотрим сначала основные модели подземной гидромеханики, а затем проанализируем, каким этапам разработки нефтегазовых месторождений они соответствуют. а) При фильтрации недеформируемой пористой однородной среде несжимаемой полученные жидкости ранее в уравнения неразрывности и уравнении движения в форме закона Дарси сводятся к следующим уравнениям: div 0 m k gradp g 0 l Неизвестными в этой системе уравнений являются скорость и давление p . Таким образом, сформулированная модель является замкнутой, т.е. количество уравнений равно количеству неизвестных. б) Под упругим режимом фильтрации однородной жидкости в подземной гидромезханики понимается движение одной сжимаемой жидксоти в деформируемой пористой среде. В этом случае уравнение сохранения массы жидкости и закон Дарси записываются в виде: l0 m div l0 m 0 t m gradp g k 0 l Неизвестными в этой системе уравнений являются l0 - истинная плотность жидкости, p - давление, - скорость и m -пористость. Т.е. число неизвестных уже превышает число уравнений и необходимы замыкающие соотношения. В качестве этих соотношений в дальнейшем будут рассмотрены уравнения состояния упругой жидкости l0 p , деформации скелета пористой среды m p . в) Двухфазная фильтрация несжимаемых жидкостей через недеформируемую среду обычно называется моделью Маскета-Леверетта. В этом случае для описания процессов фильтрации вводится уравнения сохранения массы для каждой фазы, закон Дарси, опять же для каждой жидкости и связь давлений в фазах, определяемая через функцию Леверетта: Sw S So 1 S S divS w 0 t mS w k w 1 S div (1 S ) o 0 t f w ( S ) gradp w w0 g m(1 S ) o k o f o (1 S ) gradp o o0 g po pw pc J (S ) Неизвестными в этой системе уравнений являются S- водонасыщенность, pw, po – давление в водной и нефтяной фазах, vo , vw – скорости фаз. Количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, т.е. система уравнений является замкнутой. Рассмотрим теперь основные режимы или этапы разработки нефтяныхи газовых месторождений: 1) Первичный этап добычи, на котором нефть вытесняется из пласта и фонтанирует из скважины на поверхность под действием упругой энергии пласта. На этом этапе определяющую роль играют упругие силы, поэтому для описания различных процессов используется модель упругого режима фильтрации. 2) Вторичный этап добычи, на котором производится закачка в пласт воды для поддержания пластового давления и вытеснения нефти из пласта водой. Для предсказания продвижения фронта вытеснения и распределения пластового давления используется модель Маскета-Леверетта, расходные характеристики скважин и подбор насосного оборудования проводится в рамках модели фильтрации однородной несжимаемой жидкости. 3) Третичный этап добычи, характеризуется массовым применением тепловых и физико-химических методов повышения нефтеотдачи пластов. Эти процессы неизотермической описываются в рамках многокомпонентной более сложных фильтрации, моделей которые будут рассматриваться позднее в курсе «Физико-химической гиджромеханики». Краткие сведения о развитии методов разработки. Понятия коллектора: минеральный состав – песчаники, доломиты, известняки, глина, гранит, контуры коллектора определяются выклиниванием пластов, границами рифовых образований, прогибами и пучностями пористых горных пород. Происхождение коллекторов – дельты древних рек, озер, береговая линия морей, рифовые образования. На рисунке представлена схема коллектора прогибового типа в поперечном сечении и вид сверху. Первые методы и технологии разработки основывались на истощении коллекторов, т.е. срок разработки ограничивался истощением упругой энергии залежи. В первые законтурное заводнение (закачка воды за контур нефтеносности) было применено в Техасе (США) в 1920-х годах, когда бала предложена утилизация попутно добываемой воды путем закачки в специальные скважины за контуром месторождения. Это позволило поднять значение пластового давления и повысить дебит добывающих скважин. Интенсификация добычи нефти предложена советскими нефтяниками Татарии в 1940-х, путем введения дополнительных рядов нагнетательных скважин в контуре нефтеносности. В Западной Сибири разработка нефтяных месторождений начиналась с помощью, так называемой трехрядной системы (ряд нагнетательных скважин приходился на три ряда добывающих). Последующая эволюция этой системы свелась к блочно-замкнутой системе, в которой контур нефтеносности разбивается на относительно замкнутые блоки нагнетательными скважинными. Эта системы разработки получила наиболее широкое распространение в Западной Сибири. В более сложных случаях высоковязких нефтей, сложно-построенных коллекторов применяется площадная система расстановки скважин. Эта система является предельным случаем блочно-замкнутой. В этой системе разработки нагнетательная скважина окружена несколькими добывающими скважинами (в зависимости от их количества определяют пяти, семи, девяти точечную систему). Примеры систем расстановки скважин приведены на рисунке. А – плоский одномерный элемент фильтрации; В – Осесиметричная фильтрация в площадном элементе. Приведенные примеры показывают, в каком случае задачу фильтрации можно считать одномерной – плоской или осесимметричной. Несколько отдельно стоит проблема разработки неоднородных пластов. Для описания фильтрации в трещиновато пористой среде используются специальные модели, не вошедшие в данный курс. Пример, иллюстрирующий трещиновато-пористую среду приведен на рисунке. Однако элементарные процессы впитывания воды из трещин в матрицу блока, сопровождающиеся вытеснением нети из блоков, будут проанализированы в заключительных главах курса. Задачи. II. Фильтрация однородной несжимаемой жидкости. 2.1. Приток жидкости в скважину формула Дюпюи. Рассмотрим приток однородной (нефти) несжимаемой жидкости в скважину. В этом случае S 1 , l0 const , m const , po p , в проекция гравитационных сил на направление течения g 0 . Пусть заданы забойной давление на скважине (на радиусе скважины) и пластовое давление на некотором удалении от скважины (обычно на половине расстояния от ближайших скважин). Будем также считать, что заданы толщина или мощность пласта и его абсолютная проницаемость, а также вязкость жидкости. Обозначения этих величин приведено на рисунке. Запишем модель фильтрации однородной несжимаемой жидкости с граничными условиями. div 0 m k gradp p pc r rc p po rR div k gradp 0 m p 0 Рассматривая течение жидкости как осесимметричное и используя цилиндрическую систему координат, задача сводится к уравнению Лапласа относительно радиальной координаты gradp divA p r 1 rA r r d dp r 0 dr dr Решение этого уравнения имеет следующий вид p C1 Lnr C2 Подставим в него граничные условия pc C1 ln rc C2 po C1 ln R C2 Окончательное решение можно записать в виде двух идентичных формул p pc p po po pc r ln R rc ln rc po pc R ln R r ln rc Схематический вид решения приведен на рисунке. Депрессионная воронка Определяя суммарный поток жидкости как площадь сечения притока на удельный расход, получим Q m 2rc h r r 2rc h c k po pc 1 k p 2h ln R rc ln R rc rc Эта формула получена Дюпюи и носит его имя (хотя в англоязычной литературе определяется как формула Дарси). Самостоятельно рассмотрим два частных случая формулы Дюпюи для слоистого и зонально-неоднородного пластов. Схема слоисто-неоднородного пласта проиллюстрирована на рисунке. Решение рассматривается как сумма частных для каждого пропластка i. Q 2p R ln rc k h i i i Схема зональной неоднородности представлена на следующем рисунке. Для получения общего решения используется свойство пропорций: ai bi a b i i i i Тогда общий дебит скважины составит: Q 2h p 2kh p r 1 ln R S i k ln r i rc i i 1 где S - скин фактор или коэффициент несовершенства скважины. Данная величина обычно вводится для характеристики загрязнения призабойной зоны пласта (чаще всего буровым раствором или жидкостями глушения скважин). Эти формулы используются для расчета насосного оборудования скважин (характеристики насоса должны бать согласованы с добывными возможностями пласта). Вводятся следующие характеристики призабойной зоны скважин hk проводимость пласта, 2kh - продуктивность пласта, характеризующие R ln rc добывные возможности. Полученная формула является основой гидродинамического исследования скважин, называемого методом индикаторных кривых. В основе метода лежит промысловое определение забойного давления при различных дебитах скважин на стационарном режиме. Расход скважины меняют установкой различных штуцеров на устье. Линейная связь расхода и депрессии на пласт позволяет определить введенные добывные характеристики пласта по углу наклона этой зависимости, см. рисунок. Индикаторная диаграмма для определения коэффициента продуктивности. tg 2kh R ln rc Отметим, что метод индикаторных диаграмм позволяет определить и абсолютную проницаемость, причет это значение отражает более достоверно реальную картину, чем лабораторные исследования образцов породы размером несколько квадратных сантиметров. 2.2. Приложение ТФКП к решению плоских задач фильтрации. На практике разработка месторождения осуществляется большим количеством скважин, работа которых оказывает взаимное влияние друг на друга. Для описания работы многих скважин с учетом взаимной интерференции необходимо научиться решать разнообразные плоские задачи фильтрации. Одним из инструментов решения таких задач является теория функции комплексной переменной. Вспомним основные положения этой теории. Краткие сведения из ТФКП. Аналитической функцией комплексного переменного называется выражение F z M iN , где действительная и мнимая части M и N являются функциями x и y и удовлетворяют условию: M N ; x y M N - условия Коши-Римана. y x Функции M и N , удовлетворяющие условию Коши-Римана, называются гармоническими, т.е. являются решением уравнения Лапласа: 2M 2M 0; x 2 y 2 2 N 2N 2 0 x 2 y Эти уравнения можно вывести, дифференцируя условия Коши-Римана. Для использования основных положений теории для решения плоских задач стационарной фильтрации вводятся следующие определения: Ф k p - потенциал скорости фильтрации 2Ф 2Ф 0 - уравнение однородной стационарной фильтрации x 2 y 2 m x Ф x m y Ф y - функция тока, определяется как: m x y m y x F z Ф i - комплексный потенциал течения. Свойства комплексного потенциала течения 1) Ф const - эквипотенциали или линии равного давления. const - линии тока или линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора скорости. На рисунке иллюстрируется линия тока. Докажем второе утверждение. Касательные к линии тока определяются как dx x dy y Дифференциал d функции тока dy dx 0 y x или с учетом введенных обозначений m x dy m y dx 0 откуда мы получаем x dx y dy вдоль линии тока равен нулю Что и требовалось доказать. 2) Эквипотенциали и линии тока взаимоперпендикулярны. Рассмотрим пересечение эквипотенциали и линии тока, касательные к этим линиям в точке их пересечения определяются тангенсами углов и β. Условием взаимоперпендикулярности является tg tg 1 . Вдоль линии тока tg tg dy dx dy y , вдоль эквипотенциали: dx x Ф Ф dx dy x y x m x dy y m y dx dФ Таким образом условие взаимоперпендикулярности выполняется. 3) Определение расхода жидкости через трубку тока. Определение трубки тока – это пространство ограниченное двумя линиями тока. Расчет потока жидкости через произвольное сечение АВ трубки тока вычисляется по формуле Q m n dl m x cos nx m y cos ny dl m x sin y cos dl B B A B A B A A B A dy dx A B y x A A B B m x dy y dx 4) Физический смысл производной не зависит от направления, т.е. dF . Производная аналитической функции dz dF dF , поэтому можно получить: dz dx dF Ф i m x im y dz x y dF m 2 x i y x i y m x2 y2 dz Таким образом физический смысл производной комплексного потенциала заключается в том, что его модуль численно равен модулю потока в данной точке. 2.3. Простейшие типы плоских фильтрационных течений. 1) Рассмотрим простейшую комплексную функцию F z az b a a1 ia 2 b b1 ib2 z x iy Выделим мнимую и действительную части этой функции: F z a1 x a2 y b1 ia2 x a1 y b2 Приравняв действительную часть функции к константе, найдем семейства эквипотенциалей. Это линии Ф const - семейство прямых с углом наклона a2 . Аналогично найдем линии тока, const , которое представляет a1 семейство прямых с углом наклона a1 . Производная комплексного a2 потенциала определяет поток жидкости dF a12 a 22 m . ПАнализируя dz линии тока и эквипотенциали приходим к заключению, что линейная функция комплексного потенциала описывает плоскопараллельное течение жидкости, см. рисунок. 2) Следующая функция - логарифмическая F q ln z . Действительную и 2h мнимые части такого комплексного потенциала выдели с применением полярной системы координат для комплексной переменной z re i : F q iq Lnr Ф i 2h 2h где q, h - действительные числа. Семейства эквипотенциальных линий и линий тока имеют вид. Ф const r const - концентрические окружности радиуса r около 0. const const - лучи из нуля. На рисунке приведены эквипотенциальные линии и линии тока Поток жидкости через окружности определяются производной dF q 1 q m dz 2h Z 2rh Анализ линий тока и эквипотенциалей показывают, что решение q 2rc hm const - описывает работу скважины радиуса rc с расходом q . Знак расхода определяет q 0 - источник или добывающую скважину, а q 0 - сток или нагнетательную скважину. 3) Самостоятельно разбирается случай, когда комплексный потенциал течения определяется следующей функцией: F q ln z a 2h z a r1e i1 a a1 ia 2 Ф const r12 const x a1 y a2 const 1 const arctg y x a1 a2 2 y a2 x a1 2 4) Принцип суперпозиции частных решений линейных уравнений. Рассмотрим пример комплексного потенциала, который можно представить в виде разности двух частных решений F q za q ln z a ln z a ln 2h z a 2h z a r1e i 1 z a r2 ei 2 где a - мнимое число. Такое решение называется диполем, определяются уравнением x a1 y 2 r12 const r22 x a1 2 y 2 2 Ф const и имеет вид: эквипотенциали которого 4) Метод зеркального отображения (метод фиктивных источников). Рассмотрим случай, когда пласт содержит непроницаемую границу 1. Для описания непроницаемой границы используется метод задания фиктивных источников и стоков, расположенных симметрично относительно этой границы и имеющих те же дебиты/приемистости, что и реальные скважины. Общее решение определяется суперпозицией решений для реальных и фиктивных скважин. F Fi i i q ln z ai 2h 1 – непроницаемая стенка. Доказательство этого положения разбирается на простом случае одиночной скважины и вертикальной непроницаемой границе. F ' z q ln z a 2h Докажем, что комплексный потенциал, составленный из двух решений для реальной и фиктивной скважины F q ln z a ln z a , отображает 2h картину течения, т.е. нам достаточно доказать, что линия тока проходит через ось ординат: const y 0 . Выделим действительную и мнимую части: z a r1e i1 , z a r2 e i2 F z q iq 1 2 Ф i ln r1r2 2h 2h Определим семейство линий тока 1 2 const arctg const tg y y arctg C xa xa tg tg 1 tgtg y y tgC x a x2 a y 1 2 x a2 tgC 2 xy x a2 y2 Тогда при C 0 линии тока проходят через оси ординат и абсцисс: y 0 , x0. Основные задачи, решаемые с использованием теории функций комплексных переменных: а) Определение в нефтяной залежи расположения трубок тока и расходов через них. б) Выявление области слабых градиентов давления по семейству эквипотенциалей. III. Фильтрация однородной упругой жидкости в деформируемом пласте. Упругий режим фильтрации. 3.1. Уравнения состояния упругой жидкости, газа и пористой среды. Уравнения, описывающие течение сжимаемой жидксоти в деформируемом пласте состоят из уравнения неразрывности и закона Дарси: l0 m divm l0 0 t m k gradp Для замыкания этих соотношений необходимо добавить уравнения состояния флюида и скелета пористой среды l0 l0 p m m p а) Рассмотрим течение газа через пористую среду. Уравнение состояния для совершенного газа получается из классического закона КлайперонаМенделеева: l0 R P R 0 совершенный, часто используют термин идеальный газ. RT В качестве уравнения состояния реального газа часто используется кубическая форма уравнения, впервые предложенная Ван-дер-Ваальсом: p l0 2 a 1 b RT . l0 где константы a aT , b bT имеют определенный физический смысл. Для удобства часта вводится коэффициент свехсжимаемости, показывающий отклонение газа от закона Клайперона-Менделеева: p l0 RT Z где Z - коэффициент свехсжимаемости. Для практических расчетов широко используется уравнение состояния Редлиха Квонга, которое относительно коэффициента свехсжимаемости имеет вид ap abp 2 bp 2 Z 1Z 0 RT 2 RT 3 RT 3 a 27 R 2Tкр2 64Pкр b RTкр 8Pкр Константы в уравнении состояния определяются из условий перегиба функции P 2P 2 1 1 0 0 или условие вырождения корней системы 3 1 1 0 0 0 кр б) Уравнение состояния для упругой жидкости. Коэффициент изотермической сжимаемости жидкости определяется как: 1 dVl Vl dp T Для воды и нефти он изменяется в следующих пределах l 11010-10 Па-1. Вводя плотность жидкости вместо ее объема Vl M l0 dVl M 0 2 l d 0 l l0 Md l0 d l0 M l0 2 dp l0 l dp приходим к следующему уравнению состояния l0 0 exp l p p0 слабо сжимаемая жидкость l0 0 exp 1 p p0 в) Уравнение упругих деформаций скелета. . Напряженно-деформированное состоянии скелета горной породы определяется через тензор напряжений ij ij p ij . Его шаровая часть определяет эффективное горное давление, которое связано с весом столба горных пород, давящем на залежь. Горное давление распределяется на напряжение в скелете породы и давление пластовой жидкости: ˆ г 1 mˆ ск mp , где p - давление в жидкости. Введем понятие эффективного напряжения или части напряжения, передающегося по межзеренным соединениям ˆ эф 1 m ˆ ск p -. Тогда ˆ г ˆ эф p const R0 gH ˆ эф P ̂ ск f p m m p Т.е. пористость пород связана с давлением пластовой жидкости. Эта связь определяется коэффициентом изотермической сжимаемости пор среды: c 1 dVпор dm V dP dP Разрешив дифференциальное уравнение получим уравнение состояния упругой деформации скелета породы m m0 c p p0 Значения коэффициента изотермической сжимаемости для горных пород лежит в диапазоне c 0,1 10 10 Па 1 . В качестве примера рассматривается задача об оценке запасов нефти в залежи, извлекаемых в фонтанном режиме. Условия задачи определены следующими параметрами: P0 200ат P1 l0 gh 150ат Vпл 20 20км 4 10 4 м 3 m 0,2 l0 880 кг м3 l 10 9 Па 1 с 10 10 Па 1 Разница объемов пласта до и в период разработки в режиме истощения определяется формулой и равна: Vпл m0 l0 p p0 Vпл m1 l0 p p1 18 10 6 т . 3.2. Функция Лейбензона. Подставляя закон Дарси в уравнение неразрывности, получим: m l0 k div 0 gradP t Для ухода от нелинейности уравнения в правой части введем новую функцию, как неопределенный интеграл 0 dp - эта функция называется функцией Лейбензона. Уравнение для описания фильтрации упругого флюида с учетом этой функции примет вид m 0 k t Будем первоначально рассматривать стационарные задачи фильтрации упругого флюида, тогда уравнение для определения функции Лейбензона имеет вид 0 . Определим функцию Лейбензона для полученных на предыдущей лекции уравнений состояния: o0 а) Упругая жидкость - exp l p po dp exp p po C 0 o o0 o0 p 2 p 0 p б) Совершенный газ - 0 pdp o C RT po 2 po p 0 Рассмотрим задачу определения распределения давления и аналог формулы Дюпюи для совершенного газа. Т.е. решим уравнение Лапласа для осесимметричного течения около скважины: 1 d 2 d r 0 r dr dr C1 ln r1 C2 r rc p pc rR p po Подставим граничные условия в общее решение o0 pc2 2 po o0 po2 2 po o0 C1 ln rc C2 C1 ln R C 2 p 2 po 2 o pc2 C1 ln R rc o0 po2 pc2 C1 2 po ln o0 po2 C2 o0 p 2 2 po 2 po R rc o0 po2 pc2 R ln rc 2 po o0 po0 pc2 2 po ln R rc ln R r o0 po2 ln R 2 po Окончательно распределение давления имеет следующий вид: po2 pc2 r p p ln R R ln rc 2 2 o Определим расход газа в скважине: Q 2kh po2 pc2 1 R 2 pc ln rc Зависимость расхода от депрессии проиллюстрирована на рисунке. Гидродинамические исследования газовых скважин проводятся аналогично нефтяным скважинам, однако их обработка осуществляется в координатах: массовый расход газа – разность квадратов пластового и забойного давлений: Qм ас 2hrc m y g0 2hrc k grad r k po2 pc2 2hk po2 pc2 2h c R Ln R rc ln rc rc Тангенс угла наклона индикаторной прямой определяет tg 2hk R ln rc - коэффициент продуктивности скважины. Самостоятельно: Определить распределение давления при фильтрации упругой жидкости между двумя рядами скважин с давлением po на нагнетательном ряду и расходом Q на добывающем ряду. Даны следующие фильтрационные параметры пласта и жидкости: k , , . Решение: d2 0 dx 2 C1 x C2 o0 exp p po C1 x C2 p po 1 x l ka1a 2 C1 Q C1 x 1 ln C1' x 1 C1 C1l 1 x Ответ: p po ln 1 ka 1a 2 l Q x0 p po C2 o0 ka a C1 k p a1a 2 1 2 x C1 x 1 Q Q ka1a 2 ka1a2 C1 1 ka1 a 2 l Q . 3.3. Уравнение пьезопроводности. Рассмотрим фильтрацию слабо упругой жидкости, когда перепады давления, а, следовательно, и давлений невелики: l0 o ' ' 1 o exp p po 1 p po l0 o 1 l p po В уравнении упругого режима фильтрации пренебрежем квадратами изменения давления: 2 m l0 mo o 1 R p po o p po m o Введем определение * R - коэффициента упругоемкости пласта. mo Линеаризованное таким образом уравнение примет вид: o * p k o p или t p p t где - коэффициент пьезопроводности. Для изотропных и постоянных параметров уравнение примет окончательный вид p p const . Это t уравнение называется уравнением пьезопроводности, или основным уравнением упругого режима фильтрации. Коэффициент пьезопроводности имеет размерность и порядок: =м2/с0,1-5 м2/с. Сопоставить с порядками величин коэффициента диффузии D 10 7 10 9 м2 м2 и температуропроводности aT 10 6 10 7 . c c c 3.4. Автомодельная постановка задачи о притоке упругой жидкости в скважину. Автомодельная задача – задача для уравнений в частных производных, которая после тождественных преобразований, сводится к задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно комплекса, составленного из независимых переменных и называемого автомодельной переменной. Теория групп позволяет определять автомодельные комплексы для различного типа уравнений. В частности дл параболических уравнений наиболее известна гиперболических автомодельная распространение переменная получили вида: x , t для автомодельные x t переменные , x Vt . Рассмотрим осесиметричную задачу о начале работы скважины в безграничном пласте. p p r t r r r t 0 p po r p po r rc Qo 2hrc k p r r rc Используем автомодельную переменную: r 2 t С учетом этой замены переменных производные по времени и пространственным координатам преобразуются к виду: A A r 1 A A t t 2t 2 t 2t A A 1 A r r 2 t r 2 A A 1 A 1 2 A r 2 r r r 2 t 4t r 2 Проведем такие преобразования для уравнения пьезопроводности в осесимметричном случае p 2 p p 2 t r r r p 1 2 p p 2 2t 4t 2r 2t 2 2t p 2 p 2 r 0 2 Таким образом, с помощью автомодельной переменной мы свели уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному. Сделаем такую же замену и в граничных условиях: dp d2p 1 2 0 2 d d p po dp Q d 0 2kh t 0 x 3.5. Распределение давления в пласте при постоянном расходе жидкости, притекающей в скважину. Для решения полученного уравнения сделаем замену dp y , далее d воспользуемся методом разделения переменных: 1 dy d 2 y ln y ln 2 ln C1 dp e C1 dy p C1 e 2 2 d C2 К сожалению полученное выражение не интегрируется в квадратурах, поэтому вводится специальная функция 2 x e e 2d e E1x Ei x dx dx 2d 2 d , 2 x x x x 2 2 2 2 которая называется первой интегрально-показательной функцией. Свойства интегрально-показательной функции: а) асимптотика: E1x 1 ln 1 0,5772 , E1x 0 x Таким образом, можно записать решение через введенную интегральнопоказательную функцию: p C1 E1 2 C2 2 dp e C1 C1e d 2 po C2 C1 Q 2kh p po r2 Q r 2 Q po Ei E1 2kh 4t 2kh 4t А с учетом асимптотических свойств функции можно упростить решение при малых значениях аргумента: po p p Q 4t 0,5772 ln 2 2kh r 3.6. Кривые восстановления давления, определение свойств пласта по данным гидродинамических исследований скважин. Ранее мы уже показали, как используется формула Дюпюи для определения свойств призабойной зоны в методе индикаторных диаграмм. С учетом полученных решений для режима упругой фильтрации мы расширяем спектр гидродинамических методов исследования скважин. 1) Метод индикаторных диаграмм. Q K пр p - формула Дюпюи. 2) Метод кривых восстановления давления заключается в измерении забойного давления при остановке работы добывающей скважины (при пуске осуществляется труднее контроль за расходом Q ). Метод кривых падения давления заключается в измерении забойного давления при остановке работы нагнетательной скважины. Пусть добывающая скважина пущена в работу в нулевой момент времени. Поведение во времени давления в скважине после пуска скважины определяется полученной ранее формулой: Q rw2 pпл pw t Ei 4 kh 4t Для построения решения задачи об остановке работы этой скважины в момент t T используем принцип суперпозиции решений: p пл p w t rw2 rw2 Q Ei Ei 4kh 4t 4T t а) Обработка кривых восстановления давления по методу касательных осуществляется следующим образом. При больших интервалах работы скважины T p w t T t Для rw2 Q Ei 4kh 4 t обработки данных можно использовать упрощенный вид интегрально-показательной функции pw T pw t r 2 Q Q 2,25t Ei w ln 4k 4t 4kh rw2 Зависимость перепада давления от времени носит следующий функциональный характер p a ln t b Обрабатывая эту прямую можно определить следующие параметры призабойной зоны пласта a Q 4kh b Q 2,25 ln 4kh rw2 б) Метод Хорнера для обработки кривых восстановления давления применяется при T t . p пл p w t rw2 rw2 Q Ei Ei 4t 4T t 4kh Q 2,25t 2,25T t Q t ln ln ln 2 2 4kh 4kh T t rw rw Интерполяция этой зависимости определить пластовое давление pпл . при t t 1 T t позволяет Тангенс угла наклона прямой tg Q определяет продуктивность 4kh скважины. IV. Двухфазная фильтрация. 4.1. Безразмерные уравнения. Второе капиллярное число. Перейдем к рассмотрению задач двухфазной фильтрации воды и нефти. Система определяющих уравнений была выписана в начале курса. m S divmS w 0 t mS w kf w w m 1 S divm1 S o 0 t m1 S o gradp w p po pc J S pc kfo o gradp o 2 k m где S -водонасыщенность, 1 S - нефтенасыщенность среды. Проведем преобразования системы для снижение ее размерности. div Q div mS w m1 S o 0 Q Q t f f f Q k w o gradp w k o pc gradJ o w o kpc Q kgradpw fw w mS w QF kpc fo fw w fo FgradJ o o o fo fo gradJ o fw Введем F w fw w fo - функцию Баклея-Леверетта. o Ее физический смысл заключается в доле воды в потоке фильтрующейся жидкости. Окончательная система уравнений имеет вид: div Q 0 m f S div QF divkpc F o gradJ 0 t o f f fo Q k w o gradp w kpc o gradJ w o Таким образом, неизвестными в полученной системе уравнений являются следующие переменные: Q, S , pw . Проведем обезразмеривание полученной системы уравнений. Введем безразмерные координаты (достаточно рассмотреть одномерный случай фильтрации) и давление: Xi xi L Тогда: Q p w po p1 po kpc f o J k p1 po f w o f o L o w X L o X i i Будем рассматривать безразмерную скорость потока: V Q Qo Qo k p1 po L o f pc J V w o f o fo w X i p1 po X i Vi 0 X i Проведем обезразмеривание уравнения неразрывности: m kpc F 2 J S Qo V F 0 t L X i o L2 X i X i2 Qo t Lm Окончательно: S F V NC 2 X i X i J Ff o 0 X i В результате процедуры обезразмеривания определены три комплекса подобия для рассматриваемой задачи: NC2 kpc o Qo L c pc p1 po M o w Сформулируем цели обезразмеривания: а) Выведены критерии подобия для экспериментального моделирования V , S , . Для экспериментального исследования процесса значения параметров N C 2 , C , M в эксперименте и реальном процессе должны быть одинаковы. б) Оценка характерных значений критериев подобия показывает, что капиллярными процессами в задачах разработки можно пренебречь. C 10 3 1 , Qo 10 4 м/с, N C 2 10 3 1 . в) Число степеней свободы рассматриваемой системы ( - теорема) ограничивается тремя (исходная система содержала 7 параметров). S , V , f N C 2 , c , M , граничныеусловия w o k S S pc L Q i 4.2. Задача Баклея-Леверетта. Проведенные оценки показали, что в задачах разработки можно пренебречь капиллярными эффектами, т.е. Pc , N C 2 0 .Рассмотрим плоскую одномерную задачу о вытеснении нефти из пласта водой. Такая задача описывает, например, рядную систему заводнения, т.е. течение жидкостей от нагнетательного к добывающему рядам скважин. S F V 0 X V 0 X следовательно V V t const 1 и Q Qo . Задача описывается следующим уравнением в безразмерном виде S F S F 0 или таком размерном виде m Qo 0. X t X Начальные и граничные условия сводятся к следующим: t 0 S So t 0 x0 чаще S wr или остаточная водонасыщенность пласта, S 1 S or - закачка воды F 1 S 1 S or - закачка воды и нефти F 1 Эта задача впервые была сформулирована и решена Баклеем и Левереттом. Полученное уравнение является гиперболическим нелинейным уравнением m S F S Qo 0 t S x Для его решения будем использовать метод автомодельной переменной, которая имеет вид Ax . Производные с учетом замены переменных t сводятся к виду: x 2 t t 1 x t а само уравнение преобразуется S Q dF 0 m dS S So 0 S 1 S or F 1 Как видно из уравнения решение имеет два типа а) S const б) Q ' FS m Для построения общего решения при ведем вид фазовых проницаемостей, функцию Баклея-Леверетта и ее производную: В общем случае полученное решение, удовлетворяющее граничным условиям, многозначно Только при больших начальных водонасыщенностях общее решение однозначно склеиваются из двух типов: При совместной закачка воды и нефти общее решение видоизменяется. Такое решение справедливо при насыщенностях ниже критического значения S кр , определяемого из условия FS'' 0 . 4.3. Разрывные решения. Условия на разрывах. Для получения однозначных решений необходимо перейти в область обобщенных функций. Классом обобщенных функций называются решения, содержащие разрывы функций. На разрывах производные обращаются в бесконечность, поэтому необходимы дополнительные алгебраические соотношения, связывающие значения функций до и после разрыва. В качестве таких дополнительных условий Баклей и Леверетт предложили условия равенства площадей S1 S2 . Общий метод получения соотношений на разрыве связан с переходом к дивергентному или консервативному виду записи уравнений. A divA 0 - консервативная форма уравнения сохранения. t На движущихся со скоростью D поверхностях разрыва записываются алгебраические соотношения сохранения масс фаз dSdt D n A dSdt D n A DA A n f f f DS Q F xф ф m S t Условия сращивания решений на разрыве и в областях существования плавных решений получаем: Откуда можно Q F F S o ф m S So ф вывести водонасыщенности за разрывом F F F S o S S So Q ' Fs S m уравнение для определения S или Рассмотрим графический метод определения S . Значение S определяется как значение водонасыщенности в точке касания касательной, проведенной из точки So F So , к кривой Баклея-Леверетта F . Процедура построения решений складывается из следующих этапов: а) построение FS' в координатах S , б) определение S f S , в) построение самого решения. 4.4. Расчет коэффициента вытеснения нефти. Расчет коэффициента нефтеотдачи пласта производится четез три коэффициента: вытеснения нефти, охвата пласта и заводнения. K HO K BH K OXB K ЗABOДH Если два последних коэффициента определяются системами разработки и геологией пласта, то коэффициент вытеснения можно рассчитать с помощью полученного решения. Он определяется как: K BH количество вытесненной нефти Vm1 S o 1 S 1 S 1 количество запасов Vm1 S o 1 So Для определения средней водонасыщенности пласта используем найденное решение X 1 o FS' 1 1 o S Sdx o Sd o Sd o o 0 0 0 dX d F o 1 1 o o S 1 o F S d S o d S o S 0 o o 0 S o 0 где o - момент прорыва фронта вытеснения. o S o S f , o S Sф F S F S f 1 F S f F S o Будем F S f F S o S f So S S f S f So использовать также графический метод определения величины S по приведенным формулам. Рассмотрим графическое решение уравнения S Sf S f So 1 Ff F f Fo Сведем воедино основные формулы, определяющие процесс вытеснения нефти водой, для решения, приведенного на рисунке. 1) Определение фронтовой насыщенности осуществляется по формуле FS' F S f F S o S f So 2) Определение скорости фронта вытеснения нефти водой вычисляется из уравнения FS' S f Vf xf 3) Определение D Qo ' FS SФ m водонасыщенности в момент прорыва фронта реализуется из решения трансцендентного уравнения S Sf S f So 1 F S f F S f F S o 4) Определение коэффициента вытеснения нефти определяется по формуле K BH 1 1 S 1 So 4.5. Двухфазная фильтрация с учетом гравитационных сил. Рассмотрим задачу вытеснения нефти из наклонного пласта (угол наклона к горизонту ). Напор жидкости с учетом гравитационных сил определяется формулой P p w0 g h z p w0 g h x sin Подставим это выражение в закон Дарси и рассмотрим систему уравнений двухфазной фильтрации m S mS w 0 t x mS w p f w w0 g sin w x k m1 S o p f o o0 g sin o x проведем подобную k процедуру снижения размерности уравнений f f f p f Q k w o kg sin w w0 o o0 o w o x w k fw 0 fo 0 w o w o kg sin fw f o p Q fw fo x w w o o f kf f mS w QF kgF w w0 o o0 w w0 g sin o w w f f f QF kg sin 1 F w w0 o o0 QF kg sin F o w0 o0 w o o kg sin w0 o0 f o QF 1 Q o Окончательное уравнение принимает вид: системы m S Q F 1 N g f o 0 t x где безразмерный комплекс Ng kg sin w0 o0 Q o называется гравитационным числом. Вводя новые обозначения, сведем уравнение к виду, для которого ранее было получено решение S Ф S 0 X Ф F 1 N g f o Рассмотрим два типа граничных условий: закачка производится сверху и закачка осуществляется снизу. Графические решения этих задач приведены на рисунках ниже а)вода вытесняет нефть сверху б)вода вытесняет нефть снизу Полученные решения показывают, что коэффициент вытеснения нефти выше в задаче, когда вода закачивается снизу, хотя традиционные соображения говорят об обратном. Таким образом, решенные задачи указали на парадокс. 4.6. Методы увеличения нефтеотдачи пластов. Как отмечалось ранее, коэффициент нефтеотдачи пластов определяется через три коэффициента K HO K BH K OXB K ЗАВОД . Рассмотрим методы, которые позволяют увеличить значения этих коэффициентов. а) Повышение K ЗАВОДН достигается увеличением плотности сетки скважин, применением горизонтальных скважин и боковых стволов. б) Увеличение K OXB реализуется при использовании гидродинамических методов регулирования разработки. А также применением гелевых барьеров или экранов в промытых водой частях коллектора, использованием кислотных обработок и гидроразрыва пласта для интенсификации притоков. в) Изменение K BH осуществляется влиянием на функцию БаклеяЛеверетта. По технике и технологии методы повышения нефтеотдачи пластов подразделяются на: - физико-химические методы - тепловые методы Физико-химические методы предусматривают закачку в пласт 1) низкоконцентрированных водных растворов неорганических полимеров и биополимеров для снижения вязкости вытесняющего реагента, 2)растворов ПАВ (история методов) для снижения остаточной нефтенасыщенности пласта, 3) растворов щелочи для внутрипластового производства ПАВ и изменения краевого угла смачивания, 4) пен для предотвращения прорыва газа в добывающие скважины, Тепловые методы воздействия на пласт заключаются в закачке: 1) горячей воды, пара и парогаза для снижения вязкости пластовой нефти, 2) организации внутрипластового горения и влажного горения остаточной нефти. По физическому механизму методы можно классифицировать по: - влиянию на соотношение вязкостей нефти и воды o , w - влиянию на остаточную водонасыщенность пласта S or или первое капиллярное число N1 . На рисунке водонасыщенности нефтенасыщенности. показано, как пласта S меняется решение при изменении для средней остаточной При реализации смешивающегося вытеснения (закачка растворителей нефти в пласт) функция Баклей-Леверетта превращается в прямую линию. Самостоятельно студенты должны продумать, как меняется решение задачи Баклея-Леверетта. Проблемы и задачи применения методов повышения нефтеотдачи пластов: а) Транспорт тепла и химических реагентов в пористой среде. б) Потери тепла и реагентов за счет адсорбции, диффузии, тепловой отток в окружающие пласт породы. в) Техника – коррозия скважин и скважинного оборудования, специальное оборудование для тепловых методов – парогенераторы и парогазогенераторы, забойная техника. г) Технология применения физико-химических методов (оторочки, концентрации, рентабельность). V. Капиллярные процессы в пористой среде. 5.1. Равновесие двух жидкостей в поле сил тяжести. Как было показано ранее капиллярные процессы практически не влияют на разработку нефтегазовых месторождений. Однако при подсчете запасов учет капиллярных сил имеет важное значение. Рассмотрим задачу равновесия жидкостей и газов в пласте до разработки. В пласте можно выделить чисто газовую, нефтяную и водоносную зоны. Между этими зонами залегают области с переменным содержанием этих флюидов. Эти области называют водонефтяным и нефтегазовыми контактами. Однако в реальности эти контакты представляют собой достаточно протяженные зоны. Сформулируем условия равновесия жидкостей в этих зонах. Скорости фаз в равновесии равны нулю w o 0 или kfw w grad p w w0 gz 0 kfo o grad po o0 gz 0 С другой стороны капиллярный перепад давлений в фазах определяется функцией Леверетта po pw pC J S , p w w0 gz C1 , po o0 gz C 2 , po p w gz o0 w0 C1 C 2 Тогда распределение водонасыщенности в зоне водонефтяного контакта будет определяться формулой g 0 J S z C3 pC Простая оценка показывает, что вертикальный размер, так называемого g 0 5 м. pC контакта, составляет z Решение задачи о распределении водонасыщенности чв переходной зоне определяется видом функции Леверетта. При подсчете геологических и извлекаемых запасов месторождения учет переходных слоев играет важную роль, игнорирование распределения водонасыщенности с переходных зонах может привести к значительным ошибкам в оценке запасов. 5.2. Задача Раппапорта-Лиса. Перейдем к рассмотрению плоской одномерной задачи о вытеснении нефти водой с учетом капиллярных сил. Обезразмеренная форма уравнений была получена нами ранее и имеет вид: S F J N2 Ff o 0 X X X где безразмерный критерий подобия – второе капиллярное число N 2 kpC QL o определяет соотношение капиллярных и гидродинамических сил. введен новые обозначения: S F S N2 Ф X X X Ф Ff o J S J 0 S Граничные и начальные условия для задачи вытеснения в безразмерных переменных сводятся к следующим: V 1 0 S So 0 X 0 S S1 Рассматриваемая задача включает малый параметр N 2 . В общем виде, для таких задач применение численных методов не позволяет получить решение. Для аналитического решения будем использовать процедуру асимптотического сращивания решений. Для этого разобьем процедуру решения на два этапа. На первом этапе решается «внешняя» задача при условиях X 1 N 2 0 . В пренебрежении малым параметром задача сводится к задаче Баклея-Леверетта, которая была решена ранее. Для анализа поведения решения вблизи скачка сформулируем «внутреннюю» задачу в окрестности скачка. Для этого введем новую автомодельную переменную: X D N2 1 X Dt N 2 X в окрестности Dt . С учетом этой переменной производные преобразуются к виду: D N 2 1 X N 2 2 1 2 X 2 N 2 2 Окончательное уравнение примет вид: D dS dF d dS Ф d d d d Отметим, что в последнем уравнении все члены имеют один порядок, и его решение в математическом плане не представляет проблем. «Внешнее» и «внутреннее» решения сшиваются через граничные условия: условия на скачке во «внешней задаче» являются граничными для «внутренней» задачи. S S f S S o . Проинтегрируем полученное уравнение с учетом граничных условий в интервале от до . Результат однократного интегрирования имеет вид: DS f S F S f F S ФS dS d Условие существования однозначного решения является отсутствие скачков и изломов искомой функции dS 0. d Исходное уравнение можно проинтегрировать также с учетом второго граничного условия в интервале от до : DS S o F S F S o ФS dS d Условием однозначного существования решения также отсутствие в структуре решения скачков и изломов, т.е. условие убывания искомой функции. является dS 0 или d Выведенные два дополнительных условия на искомую функцию: F S f F S Sf S D F S F S o D S So являются условиями единственности решения. Аналогами этих условий в газовой динамике являются условиями существования скачка давления и скорости, а также условие Чемпмена-Жуге в задачах горения. 5.3. Противоточная капиллярная пропитка. И в заключение курса рассмотрим задачу о противоточной капиллярной пропитке или впитывании воды в пористый блок, содержащий несмачивающую нефть. Как отмечалось ранее, в этом процессе нефть движется навстречу воду. В силу условия несжимаемости жидкостей, количество впитывающейся в блок воды равно количеству нефти, вытекающей из блока. Таким образом, суммарный поток равен Q 0 . Размерная форма уравнения, описывающего данный процесс сформулирована ранее или может быть получена обратным переходом от безразмерных к размерным координатам: m S F pc k S Q Ф t x o x x Для плоской одномерной задачи начальные и граничные условия формулируются следующим образом t 0 S So x S S1 x 0 S S1 Плоская одномерная задача соответствует закнутому блоку с одной открытой торцевой поверхностью. Эта поверхность погружена в воду, поясняющий рисунок приведен ниже. По сути, эта задача является модельной для реальной проблемы вытеснения нефти из блоков водой, движущейся по трещинам. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид S S A Ф t x x где А pc k J , Ф Ff o S mo Рассмотрим различные приближения для решения данной задачи: а) «Нулевое» приближение связано с оценкой характерного времени впитывания воды в блок. Рассмотрим приближенную форму сформулированного уравнения S t AФср S где Фср – среднее значение в искомом интервале, x 2 x размер пористого блока. Характерное время по порядку величины имеет значение: t x 2 AФ б) «Первое» приближение связано с линеаризацией задачи и поиском решения линейного уравнения S Ф 2 S A t S x 2 Решение подобного уравнения ужен было получено в данном курсе и имеет вид x C2 S C1 erf ' 2 AФ z Значение констант интегрирования определяется из начальных граничных условий конкретной задачи. б) «Второе» приближение связано с решением нелинейной задачи. Положим, что Ф S n , тогда рассматриваемое уравнение примет S 2 S n1 A t x 2 Это уравнение называется уравнением Буссинеска его решение рассматривается в курсах «Уравнения математической физика» и является достаточно громоздким и объемным. Напомним лишь основные особенности этого решения. При n 2 распространение водонасыщенности в пористом блоке будет описываться решением с виде простой волны, т.е. распространение воды будем происходить с конечной скоростью. в) И, наконец, решение данной задачи возможно с помощью численных методов. Разностные схемы для численного решения параболических уравнений рассматриваются в рамках курса «Конечно-разностные методы», там же анализируется метод прогонки для решения разностных уравнений. Дополнительные виды представления информации в лекционном курсе В программу курса входят следующие экскурсии: - в кернохранилище нефтяной компании после представления материалов о фильтрационно-емкостных параметрах горных пород; - в НИПИ департамент геолого-гидродинамического моделирования после лекций по моделированию процессов многофазной фильтрации; - в НИПИ департамент методов повышения нефтеотдачи пластов после прохождения одноименной темы. В качестве иллюстративного материала студентам демонстрируются фильмы: - “Petroleum Engineering Fundamentals” производства Международного общества инженеров нефтяников при выдаче лекционного материала по основным понятиям и характеристикам горных пород и фильтрационных процессов в них; - “Application of downhole video apparatus” производства нефтяной и сервисной компании Халибертон при выдаче лекционного материала по скважинным методам добычи нефти и технологии заводнения; - “Application of gas to improve oil recovery” производства нефтяной компании Бритиш Петролеум при выдаче лекционного материала по современным методам повышения нефтеотдачи пластов; - «Тушение факела на скважине 519» производства ОАО «ГАЗПРОМ» при выдаче лекционного материала по технологиям скважинной добычи газа; - «Компьютерные тренажеры по гидродинамическим исследованиям скважин», производства ОАО НК «ЮКОС», при выдаче лекционного материала по гидродинамическим методам исследования скважин. 3. ТЕМЫ И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Тема 1. Основные характеристики пористой среды. В рамках этой темы даются основные модели пористых сред, выводится формула Шлихтера, понятие фракционного состава и эффективного диаметра зерен. Решаются задачи по определению характеристики пористой среды. Тема 2. Закон Дарси и границы его применимости. Обсуждаются ламинарный и турбулентный режим фильтрации, число Рейнольдса для пористой среды. Формулируются законы Форшгеймера и поправки к закону Дарси для фильтрации газа Клинкенберга. Решаются задачи по теме. Тема 3. Приток несжимаемой жидкости к несовершенным скважинам. Формируются понятия несовершенной скважины и виды несовершенства. Решаются задачи по применению формулы Дюпюи для совершенных и несовершенных скважин. Тема 4. Приложение теории функции комплексного переменного к решению плоских задач фильтрации. Даются методы приложения ТФКП к решению уравнения Лапласа, принцип суперпозиции, метод зеркального отображения. Тема 5. Уравнение состояния, функция Лейбензона. Решаются задачи подсчета продуктивности скважин и добычи нефти при упругом режиме фильтрации. Тема 6. Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости. Анализируется применение метода касательной и метода Хорнера для определения параметров призабойной зоны. Решение задач реализуется в среде Excel. Тема 7. Двухфазная фильтрация. Решается задача Баклей-Лаверетта для вытеснения нефти водой. С использованием графической техники производятся расчеты распределения водонасыщенности в пласте и коэффициента вытеснения нефти. Решение производится в среде Matcad. 1. Основные характеристики пористой среды. Пористую среду представляют, как множество твердых частиц, плотно прилегающих друг к другу, пространство между которыми может быть заполнено жидкостью или газом. Под пористостью горной породы понимают наличие в ней пустот различной формы и происхождения. Количественно величина пористости определяется коэффициентом пористости m, определяемым для некоторого элемента пористой среды, как отношением объема пор Vпор. в этом элементе к его общему объему V (измеряется в долях или процентах): m Vпор (1.1) V Различают общую mобщ, открытую mоткр и динамическую (эффективную) mэфф пористость: mобщ Vобщ V ; mоткр Vоткр V ; mэфф Vэфф V (1.2) где: Vобщ. - объем всех пор; Vоткр - объем сообщающихся пор; Vэфф часть объема открытых пор, через которые может фильтроваться жидкость. Коэффициент открытой пористости можно определить методом взвешивания, при котором определяются: масса сухого образца М1, масса образца, на 100 % насыщенного водой М2 и масса образца, на 100% насыщенного водой во взвешенном состоянии в воде М3. Тогда коэффициент открытой пористости равен: mоткр ( M2 M1 ) ( M 2 M3 ) Другой способ (газоволюметрический) (1.3) определения открытой пористости основан на применении закона Бойля-Мариотта. Идеальный газ из калибровочного сосуда с известным объемом V0 при известном давлении p0 перетекает в поровое пространство сухого образца объемом Vобр, находящимся в непроницаемой манжете и обжатого со всех сторон «горным» давлением. При этом давление внутри замкнутой системы сосуд – образец устанавливается до значения р. Тогда объем пор Vпор. определяется из соотношения: p0V0. pV0. Vпор. V* . (1.4) где V* - «мертвый» объем трубок соединяющих калибровочный сосуд с образцом, а коэффициент открытой пористости определяется из соотношения (1.2). Отметим, что в процессе всего эксперимента поддерживается постоянная температура. Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов Sпросв в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения S: n Sпросв (1.5) S Среднее по длине пласта значение просветности равно пористости. Модель фиктивного грунта состоит из шариков одного диаметра уложенных определенным образом, рис. 1. Основным элементом фиктивного грунта является ромбоэдр, который получается, если принять центры восьми соприкасающихся частиц за вершины углов. Пористость m и просветность n ячейки Шлихтера изменяются по закону: m 1 n 1 (1.6) 6 1 cos 1 2 cos (1.7) 4 sin где - угол, определяющий способ упаковки шариков одинакового размера (600 < < 900) Удельная поверхность – это суммарная площадь частиц, которые поверхности содержатся в единице объема пористой среды: Sуд Sпов Vобр (1.8) 60 60 Для фиктивного грунта: Sуд 6 1 m d (1.9) о 60 1) о о 2) Рис.1. Способы упаковки сферических зерен одинакового размера: 1) кубическая, 2) ромбическая Эффективный диаметр частиц фиктивного грунта d эф , при котором его гидравлическое сопротивлением сопротивление реального грунта совпадает с определяется гидравлическим в результате гранулометрического (механического) анализа. Измельченный грунт просеивают через набор сит с различной площадью отверстий, разделяя и взвешивая фракции. Затем строят кривую механического состава, откладывая по оси абсцисс средние диаметры di фракций, а по оси ординат – сумму масс фракций в процентах от общей n g j , рис.2. массы j 1 10 Рис.2. Механических анализ песчаных отложений. 1- максимальный размер зерен, 2- наиболее вероятный размер зерен. За средний диаметр каждой фракции принимают среднее арифметическое крайних диаметров d’: di 1 d' i 1 d i ' 2 (1.10) Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу, н.п. по формуле веса средней частицы nd d эф 3 i i ni 3 (1.11) где di - средний диаметр i -ой фракции; ni - массовая или счетная доля iой фракции. Эмпирические способы определения d эф : По Газену: d эф d i при g i 10% (1.12) По методу Крюгера - Цункера: 100% n g i d эф i 1 d i (1.13) Капиллярная модель пористой среды (идеальный грунт) – система прямых трубок малого диаметра одинакового сечения длиной L . Для капиллярной модели имеется связь радиуса трубок (пор) с диаметром частиц фиктивного грунта: r md 3 1 m (1.14) Скоростью фильтрации v называется отношение объемного расхода жидкости Q к площади поперечного сечения F, нормального к направлению движения жидкости. v Q F (1.15) Скорость фильтрации v и истинная (средняя) скорость движения жидкости v ср d x / d t связаны соотношением: v m v ср (1.16) Примеры задач к разделу 1 Задача 1.1 Вывести формулу Шлихтера для свободной упаковки частиц ( =900) и для более плотной ( =600). Задача 1.2 Определить коэффициенты пористости и просветности ячейки Шлихтера, если угол укладки частиц равен 600, 700, 800, 900. Построить график зависимости данных величин от угла укладки. 2. Закон Дарси и границы его применимости. Закон Дарси устанавливает, что объемный расход несжимаемой жидкости Q через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора Н1 Н2 и площади фильтрации S и обратно пропорционально длине трубки L, рис.3: QC H1 H 2 S L (2.1) где: С - коэффициент фильтрации, характеризующий скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента давления. H - напор в любом сечении определяется как: p v2 Н z g 2g где: z - высота положения, p / (2.2) g - пьезометрическая высота, p – гидростатическое давление, - плотность жидкости, g – ускорение 2 свободного падения, v / 2g - скоростной напор, В силу малости скорости фильтрации (ее порядок 10-5 - 10-6 м/с) скоростным напором в формуле (2.2) можно пренебречь. Поскольку коэффициент фильтрации С характеризует, как свойства породы, так и свойства воды, то при решении задач о течении других жидкостей и газов в пористой среде удобнее пользоваться понятием проницаемости в законе Дарси: k p1 p2 Q S L (2.3) где: k – абсолютная проницаемость пористой среды, характеризующая способность горной породы пропускать сквозь себя жидкость или газ, динамическая вязкость, а p g z p - приведенное давление. 2g 2g Sf P1 P2 H1 Z1 P2 P1 H2 l Z2 Рис. 3. Схема опыта Дарси. При условии равенства высот положения z1 = z2 закон Дарси примет вид: v k p1 p2 L (2.4) Закон Дарси в дифференциальной форме: k v qrad p (2.5) Коэффициенты фильтрации и проницаемости связаны соотношением: k C g При (2.6) больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости, становятся соизмеримыми с силами трения. Скорость фильтрации (или дебит) при которой(м) происходит такое нарушение закона Дарси называется критической скоростью фильтрации vкр (критическим дебитом Qкр). Критерием выполнимости закона Дарси служит число Рейнольдса Re, которое, как и в трубной гидравлике, характеризует отношение сил инерции к силам вязкости: Re av (2.7) где a – характерный размер задачи. В таблице 1 представлены выражения для определения чисел Рейнольдса, выведенных разными авторами, а также диапазоны критических чисел Рейнольдса Reкр (при которых происходит нарушение линейного закона Дарси). Таблица 1. Формулы разных авторов для чисел Рейнольдса. Автор Н.Н. Павловский В.Н. Щелкачев М.Д. Миллионщиков Число Рейнольдса Re d эфф v 0,75m 0,23 Re 10 k v Re m 2.3 kv m1,5 Диапазон критических чисел 7,5≤ Reкр ≤9 1≤ Reкр ≤12 0.022≤ Reкр ≤0.29 Если в задаче необходимо определить нарушается ли закон Дарси при заданных параметрах, то полученное в ходе решения число Рейнольдса Re сравнивают с нижним значением Reкр. Если Re Reкр, то закон Дарси выполняется, а если Re ≥ Reкр, то закон Дарси нарушается. При решении обратной задачи, где нужно определить критическую скорость фильтрации или критический дебит, выбирают одну из формул, указанных в таблице 1, и определенное значение Reкр, при котором v=vкр. При нарушении закона Дарси при больших скоростях фильтрации используют степенные законы: Формула Форшгеймера (двучленный закон фильтрации): p L k v grad p k v2 k v (2.8) v k v в диф. форме. (2.9) где - дополнительная константа пористой среды, определяемая из эксперимента. Одночленный степенной закон: 1 p n v С L grad p C v (2.10) n - в диф. форме. (2.11) где С и n постоянные определяемые опытным путем, причем 1≤n≤2. При n=2 выражение (2.10) и (2.11) носит название формулы А.А.Краснопольского. Отклонения от линейного закона Дарси наблюдаются и при малых скоростях фильтрации. Это связано с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся жидкостей, а также других физико-химических эффектов (учет сил межфазного и межмолекулярного взаимодействия). Для вязкопластичных жидкостей (обладающие, как свойствами жидкости, так и свойствами твёрдого тела) часто используют закон фильтрации с предельным градиентом: p L k v , grad p (2.12) grad p v 0, В дифференциальной форме: k v qradp (2.13) Из (2.12) следует, что при градиентах меньших предельного жидкость неподвижна, а при превышении течет по линейному закону. Величина зависит от предельного напряжения сдвига 0 и среднего диаметра пор: 0 k , где - безразмерная константа. Аналогом закона Дарси можно считать закон Пуазейля, если пористую среду представить в виде системы трубок одинакового сечения: v ср r 2 p1 p2 r 4 p1 p2 или Q N N 8 L 8 L (2.14) где N - число трубок одинакового сечения, а r - радиус поровых каналов (или средний радиус пор среды). Если учесть, что пористость такой среды равна: m Vпор Vобр N r 2L N r 2 n r 2 , SL S (2.15) где n N / S - число каналов на единицу площади поперечного сечения. Тогда формулу Пуазейля можно представить в виде: mr 2 p1 p2 mr 2 p1 p2 или Q v S 8L 8L (2.16) Примеры задач к разделу 2 Задача 2.1 Из аналогии законов Дарси и Пуазейля найти пористость, проницаемость и удельную поверхность капиллярной модели с плотностью капиллярных каналов n/ (число каналов на единицу площади поперечного сечения) и радиусом r. Задача 2.2 Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь поперечного сечения горизонтально расположенного образца песчаника S = 30 см2, длина образца L = 15 см, разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе p = 19,6 кПа, плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3 и расход Q= 5 л/час. 3. Одномерная установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости к совершенным скважинам. Совершенная скважина вскрывает пласт на всю его мощность и при этом вся поверхность скважины является фильтрующей. Установившийся одномерный поток жидкости или газа реализуется в том случае, когда давление и скорость фильтрации не изменяются во времени, а являются функциями только одной координаты, взятой вдоль линии тока. Плоскопараллельное 1. течение имеет место в прямоугольном горизонтальном пласте длиной L с постоянной мощностью h. Жидкость движется фронтом от прямолинейного контура питания с давлением рк к галерее скважин (скважины расположены на прямой параллельной контуру питания в виде цепочки на одинаковом расстоянии друг от друга) шириной (длиной галереи) В с одинаковым давлением на забоях скважин рг (рис. 4). При такой постановке задачи площадь фильтрации будет постоянной и равна S = Bh, а векторы скорости фильтрации параллельны между собой. При условии, что в однородном по пористости и проницаемости несжимаемом пласте фильтруется B несжимаемая жидкость по закону Дарси, то объемный дебит на добывающей галерее скважин равен: Q k pк pг Bh L (3.1) Давление сечении в любом пласта определяется по формулам: p( x ) pк p( x ) pг Q x k Bh Q L x k Bh (3.2) Рис.4. Схема плоско-параллельного течения флюида к прямолинейной галерее скважин p pК 2 либо, с учетом (3.1): p( x ) pк pк pг x L 1 (3.3) Распределение давления в пласте по законам (3.2), (3.3) будет одно и то же, а его вид показан на рисунке 5. pГ 0 L x Рис.5. Распределение давления в плоскопараллельном случае. 1 – несжимаемая жидкость, 2 – идеальный газ. Время, в течение которого отмеченные частицы жидкости пройдут путь х, будет равно: t m Lx k pк pг (3.4) 2. Плоскорадиальный поток возможен только к гидродинамически совершенной скважине радиусом rс, которая вскрыла пласт мощностью h с круговым контуром питания радиусом Rк, а давления на скважине и контуре питания равны рс и рк соответственно. При таком течении векторы скорости фильтрации направлены по радиусам к оси добывающей скважины, рис.6, а площадь фильтрации S = 2πrh. Объемный дебит такой скважины определяется по формуле Дюпюи: Q 2kh pк pc R ln к rc (3.5) Зависимость давления от радиуса р(r) называется депрессионной кривой Общий вид давления («воронкой» депрессии) и определяется по одной из формул: p( r ) pк p( r ) pк p( r ) pc pк pс R ln к R r ln к rс Q R ln к 2 k h r Q r ln 2 k h rc (3.6) Вид сверху (3.7) Вид распределения давления в пласте при плоскорадиальном течении несжимаемой жидкости представлен на рисунке 7. и газа Рис. 6. Схема плоскорадиального потока к скважине в круговом пласте Индикаторная линия – зависимость дебита скважины Q от р pк pc , рис.8. депрессии Индикаторная линия строится при установившихся режимах работы скважины и позволяет определить коэффициент продуктивности К, который численно равен дебиту при Рис.7. Кривые распределения депрессии, равной единице: давления при плоскорадиальном Q K pк pc Из (3.8) формулы Дюпюи (3.5) потоке: 1- несжимаемой жидкости, 2- идеального газа Q следует: K 2kh R ln к rc (3.9) lnRк / rc Величину называют фильтрационным сопротивлением. kh / Величину коэффициентом называют гидропроводности скважины. Закон движения 0 tg = K pk - p c Рис.8. Индикаторная диаграмма для несжимаемой жидкости при выполнении формулы Дюпюи. отмеченных частиц жидкости вдоль линии тока, если при t = 0 частица находилась в точке с координатой r = r0, описывается уравнением: t hm Q r02 r 2 (3.10) Дебит скважины при нарушении закона Дарси вследствие больших скоростей фильтрации определяется в результате интегрирования уравнения Форшгеймера (2.9) при осевой симметрии: Q Rк Q2 1 1 pк pc ln 2 k h rc 2 h2 k rc Rк (3.11) Распределение давление круговом пласте в этом случае ьудет определяться формулой: Q Rк Q2 1 1 p( r ) pк ln 2 k h r 2 h2 k r Rк (3.12) Если фильтрация происходит по закону Краснопольского (2.11), то дебит определяется по формуле: Q 2h rc pк pc C* (3.13) 3. Фильтрационный поток называется радиально-сферическим, если векторы скорости фильтрации направлены в пространстве по прямым, радиально сходящимся к одной точке (или расходящимся от неё). Примером такого гидродинамической потока несовершенной является приток скважине малого жидкости диаметра, к едва вскрывшей непроницаемую горизонтальную кровлю однородного пласта большей мощности, рис.9. Объёмный дебит такой скважины определяется по формуле: Q 2 k rс рк рс (3.14) Приведённое давление в любой точке пласта – по формуле: Рис.9. Вертикальное сечение радиально-сферического фильтрационного потока р рк рк рс 1 1 rс Rк 1 1 r Rк (3.15) Закон движения частиц вдоль линии тока от точки с координатой r0 до точки с координатой r – по формуле: t 2 m 3 r0 r 3 3Q (3.16) Примеры задач к разделу 3 Задача 3.1 Вывести формулу средневзвешенного по объему порового пространства p: давления ~ 1 ~ p pdVп , Vп V п для различных видов течения несжимаемой жидкости и вычислить его при следующих исходных данных: рк=30 МПа, рс(рг)=10 МПа, Rк(L)=1 км, rс =0,1 м. Указание. Интегрирование вести: 1) для плоскопараллельного течения от 0 до L. 2) для плоскорадиального от rс до Rk, пренебречь членами, содержащими rс2, как малые по сравнению с Rk2. 3) для радиально-сферического от rс до Rk, пренебречь членами, содержащими rс3 и rс2. Задача 3.2 Определить дебит дренажной галереи шириной B = 100 м, если мощность пласта h = 10м, расстояние до контура питания L = 10км, коэффициент проницаемости к = 1 Д, коэффициент динамической вязкости = 1сПз, давление на контуре питания рк = 9,8 МПа и в галерее рг = 7,35 МПа. 4. Установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости и газа. Функция Лейбензона. При установившейся изотермической фильтрации сжимаемой жидкости и газа закон Дарси и вытекающие из него формулы, выведенные в предыдущем параграфе, не выполняются, так как объемный расход Q в этих законах в условиях сжимаемости возрастает по мере падения давления за счет расширения жидкости или газа. Одинаковым остается массовый расход Qm,, что вытекает из условия сплошности и неразрывности потока: Qm Q const (4.1) Л.С. Лейбензон впервые ввел потенциальную функцию: dp C (4.2) Тогда закон Дарси можно переписать, введя понятие массовой скорости фильтрации v v : k dp k d F s , или Qm ds ds где d (4.3) dp . Проведя такую аналогию можно сделать вывод, что все формулы полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемой жидкости и газа при тех же граничных условиях со следующей заменой переменных: Объемный расход Q массовый расход Qm Скорость фильтрации v массовая скорость фильтрации Давление р функция Лейбензона v Например, формула Дюпюи в условиях сжимаемости будет иметь вид: Qm 2kh к c R ln к rc (4.4) Остается определить вид функции Лейбензона для различных сжимаемых флюидов. 1. Для сжимаемой жидкости выполняется следующее уравнение состояния, полученное из закона Гука: 0 е ж p p0 (4.5) где ж – коэффициент сжимаемости жидкости. При ж р р0 1 (например, для воды ж 4,510-101/Па) экспоненту можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения можно приближенно записать: 0 1 ж р р0 (4.6) Тогда точное значение функции Лейбензона для сжимаемой жидкости равно: р dр C 0 e ж р р0 dр C С, ж (4.7) а приближенное: 0 1 ж р р0 dp C 0 p C (4.8) т.е. можно считать жидкость несжимаемой. 2. Для идеального газа уравнение состояния Менделеева - Клайперона при изотермическом течении можно записать так: р рaт aт RT ат р (4.9) рат где ат- плотность газа при атмосферном давлении и пластовой температуре. Функция Лейбензона для идеального газа имеет вид: р dр С ат рат р dр С ат р 2 2 рат С (4.10) А) Для плоско-параллельной фильтрации идеального газа массовый дебит на галерее скважин: k ат pк2 pг2 Qm Bh 2 рат L (4.11) Приведенным расходом Qат назовем объемный расход, приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре: Qат Qm (4.12) ат Тогда из 4.11 получим: Qат k pк2 pг2 Bh 2 рат L (4.13) Используя (3.3) получим распределение давления при фильтрации идеального газа, рис.5: p( x ) pк2 pк2 pг2 x (4.14) L В) При плоскорадиальной фильтрации формула для приведенного дебита газовой скважины (аналог формулы Дюпюи (3.5)) будет иметь вид: Qат kh pк2 pc2 рат (4.15) R ln к rc 2 Индикаторную линию для газов строят в координатах Qат и pк pc . 2 Используя (3.7) получим распределение давления в круговом пласте для идеального газа: p( x ) В pк2 случае pк2 pг2 Rк ln R ln к rc (4.16) r плоскорадиальной фильтрации идеального газа по двучленному закону фильтрации приведенный дебит скважины можно определить из формулы: pк2 2 Qат рат ат рат Rк Qат ln kh rc 2 h2 k pc2 1 1 (4.17) r R c к При этом индикаторные линии газовых скважин, в призабойной зоне которых Q ,p ат 2 к заведомо нарушается закон Дарси, строят в координатах pc2 / Qат , и тогда формула для обработки таких линий принимает следующий вид: pк2 pc2 A BQат (4.18) Qат где: А р рат R ln к , B ат ат kh rc 2 h 2 k 1 1 . r R c к Примеры задач к разделу 4 Задача 4.1 Вывести зависимость дебита идеального газа совершенной скважины от депрессии на круговой пласт с радиусом Rк, если радиус скважины rс, вязкость μ, давление на контуре и забое pк, pс, мощность пласта h, а фильтрация происходит по закону Форшгеймера. Задача 4.2 В пласте имеется установившаяся плоскорадиальная фильтрация идеального газа по закону Дарси. Давление на контуре питания pк = 9,8 МПа, на забое pс = 6,86 МПа, приведённый к атмосферному давлению объёмный расход газа Qат = 8∙105 м3/сут. Радиус контура питания Rк=750 м, скважины rс = 0,1 м, мощность пласта h = 10 м, пористость m = 20%. Определить давление, скорость фильтрации и истинную среднюю скорость движения газа на расстоянии r =50 м от скважины. 5. Виды несовершенства скважин. Различают три вида несовершенства скважин, рис. 10: 1) несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а только на некоторую глубину b. 2) несовершенная скважина по характеру вскрытия – это скважина, вскрывшая пласт на всю его мощность, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб (перфорация), в цементном кольце или в специальном фильтре. 3) на практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта. а) б) Рис.10. Схемы притоков к гидродинамически несовершенным скважинам: а) по степени вскрытия; б) по характеру вскрытия; в) и по степени и по характеру вскрытия. в) Дебит скважины, гидродинамически несовершенной по степени вскрытия при условии, что радиус контура питания Rк ≥ 0,5 h, можно определить по формуле М.Маскета: Q 2kh ( pk pc ) где: 1 4h 4h , 2 ln ln 2h rc R k (5.1) =b/h – относительное вскрытие пласта, ln Г ( 0,875 ) Г ( 0,125 ) - функция относительного Г (1 0,875 ) Г (1 0,125 ) вскрытия, представлена графически на рис.11. Г ( n ) x n 1e x dx - интеграл Эйлера 0 второго рода или гамма-функция, которая табулирована в различных математических справочниках. При условии, что величина вскрытия b мала по сравнению с мощностью пласта h (b<<h) и радиус несовершенства зоны скважины проявления по степени вскрытия R0=1,5h, можно воспользоваться Рис.11. Вид функции относительного вскрытия формулой И.А. Чарного: Q 2k ( pk pc ) 1 Rk 1 ln h 1,5h rc (5.2) Для скважины бесконечной мощности h дебит можно вычислить по формуле Н.К. Гиринского: Q 2kbP R ln k rc (5.3) Дебит скважины, несовершенной как по степени, так и по характеру вскрытия можно подсчитать по обобщенной формуле Дюпюи с добавочными фильтрационными сопротивлениями: Q 2kh( pk pc ) R (ln k C1 С2 ) rc (5.4) где: С1 дополнительное - фильтрационное сопротивление, обусловленное несовершенством по степени вскрытия, а С2 - дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное несовершенством по характеру вскрытия. С1 и С2 можно определить из графиков В.И. Щурова, построенным по данным исследования притока жидкости к скважинам с двойным видом несовершенства на электролитических моделях, рис.12-13. Величина С1 представлена на рисунке 12 в зависимости от параметров: а h / Dc и ( b / h ) 100% , где Dc –диаметр скважины. Величину С1 можно оценить по приближенным формулам: 1 4h 1 1 ln r 2 c И.А.Чарного: C1 (5.5) b 1 1 ln 1 А.М. Пирвердяна: C1 1 r 1 c rc b (5.6) Величина С2 представлена на рисунке 13 в зависимости от параметров: nDc, l l / Dc и d 0 / Dc , где l - глубина проникновения пуль в породу, d0 - диаметр отверстий, n - число прострелов на 1 м вскрытой мощности пласта. Формулу (5.4) можно записать иначе, введя понятие приведенного радиуса скважины: Q где: 2kh( pk pc ) R ln k rc (5.7) rc rc e ( C1 C2 ) - совершенной скважины, приведенный дебит которой радиус, равен такой дебиту радиус реальной несовершенной скважины. Гидродинамическое несовершенство скважины можно оценить при помощи коэффициента совершенства скважины : Qнесов Qсов R ln k rc (5.8) R ln k C1 C2 rc Примеры задач к разделу 5 Задача 5.1 Определить скорость фильтрации у входа в скважину несовершенную по степени вскрытия, если мощность пласта h =25 м, относительное вскрытие пласта =0,6, радиус скважины rс = 0,1м, дебит скважины Q = 250м3/сут. Задача 5.2 Гидродинамически несовершенная скважина, вскрывает пласт мощностью 20 м на глубину 10 м. Радиус скважины 10 см, а радиус контура питания – 200м. Каково превышение фактического дебита, определенного по формуле Маскета, над дебитом в случае строго плоскорадиального потока к скважине с частичным вскрытием пласта? 6. Плоские задачи теории установившейся фильтрации. Интерференция скважин. Если давление и скорость фильтрации зависят только от двух координат и в каждой плоскости, перпендикулярной к третьей оси, поле скоростей и давлений одинаково, то фильтрационный поток можно считать плоским. Плоский фильтрационный поток имеет место при работе одной или нескольких скважин, как нагнетательных, так и эксплуатационных в однородном горизонтальном пласте постоянной мощности. При работе нескольких скважин в пласте происходит взаимное влияние их друг на друга, называемое интерференцией скважин. Потенциалом течения называется функция, производная от которой взятая вдоль линии тока и с противоположным знаком, совпадает с вектором скорости: v qrad Ф (6.1) Из сравнения (6.1) с законом Дарси (2.5) видно, что для несжимаемой жидкости: Ф k p (6.2) Для плоскорадиального потока можно получить следующее выражение для потенциала точечного стока (источника): Ф q ln r C 2 где: q (6.3) Q - удельный дебит скважины-стока приходящийся на единицу h мощности пласта, С – постоянная интегрирования. Если q > 0, то выражение (6.3) определяет распределение потенциала от стока - добывающей скважины, если q < 0, то выражение (6.3) определяет распределение потенциала от источника – нагнетательной скважины. Нетрудно заметить, что в точках r =0 и r потенциал не имеет смысла. Распределение потенциала (давления) для несжимаемой жидкости (6.3) удовлетворяет уравнению Лапласа, которое для плоских течений имеет вид: 2Ф x2 2Ф y2 0 - в декартовой системе координат 1 Ф r 0 - в случае осевой симметрии r r r (6.4) (6.5) Метод суперпозиции. Опираясь на основные свойства решений уравнения Лапласа в силу его линейности и однородности, был разработан метод суперпозиции (метод наложения решений). Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления или потенциала ФМ в любой точке пласта М, вызванное работой каждой скважины (Ф1, Ф2, Ф3,… Фn) (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, независимо от других скважин. Затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления или потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются: ФМ n Фi i 1 n q 2i ln ri C (6.6) i 1 Суммарная скорость фильтрации v Ì в точке М определяется как векторная сумма скоростей фильтрации v i , вызванных работой каждой скважины в отдельности, рис. 14: v Ì v1 v 2 ... v n (6.7) где v i qi 2 ri . Для определения дебитов или забойных потенциалов n скважин, работающих в пласте с удалённым контуром питания можно считать, что потенциал на контуре питания Фк и радиус самого контура питания Rк известны и одинаковы для всех скважин. Используя принцип суперпозиции, v1 (а) М r1 r2 v2 q1 (б) М v1 q2 v3 vÌ v3 r4 v4 r3 v2 v4 q3 q4 Рис.14. Схема скоростей фильтрации v i в точке М при работе скважин стоков (а) и результирующий вектор v Ì в точке М (б) поместив точку М на забой каждой скважины и на контур питания (рис.15), можно получить следующую систему уравнений: Фk Фc1 1 2 R R R q1 ln k q2 ln k , , ,qn ln k rc1 r12 r1n Фk Фc 2 1 2 R R R q1 ln k q2 ln k , , ,qn ln k r12 rc 2 r2n (6.8) ……………………………………………………….. Фk Фcn 1 2 R R R q1 ln k q2 ln k , , ,qn ln k r1n r2n rcn где: rСi - радиус скважины на которую помещена точка М; rji -расстояние между I -й и j -й скважинами; ФСi - забойный потенциал i-ой скважины, при этом rji = rij, rji << Rк, rсi << rij при I j. Переходя от потенциалов к давлению при помощи системы уравнений (6.8) можно двоякого решать рода: задачи или находить депрессию при заданном дебите, или, если заданы депрессии, то, решая эту систему, q1 ,Фс1 дебитов будут эксплуатационных (стоков), нагнетательных дебиты После в для qn ,Фсn для - того q3 ,Фс 3 Фк как пластовое любой r23 Rк скважин найдены, давление r13 скважин отрицательные (источников). q 2 ,Фс 2 получить значения дебитов. Положительные значения r12 точке определяется из формулы (6.6), Рис.15. Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания. причем результат тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контура питания. Метод отображения источников (стоков). Используется в случае пластов, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. При этом для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта, получаемые зеркальным отображением относительно границы. реальных Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах, и задача сводится к рассмотрению одновременной фиктивных пласте. работы скважин в реальных и неограниченном Рис.16. Схема притока жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания. Например, если эксплуатационная скважина (сток) с удельным дебитом q находится в пласте с прямолинейным контуром питания на расстоянии а от контура, то её надо зеркально отобразить относительно контура, т.е. поместить фиктивную скважину с другой стороны от контура на расстоянии а и считать её дебит отрицательным -q (скважина-источник), рис.16. При этом потенциал в любой точке М (по методу суперпозиции) равен: ФМ q q q r ln r1 ln r2 С ln 1 С 2 2 2 r2 (6.9) На контуре питания r1 = r2, тогда Фк = С. То есть теперь условие постоянства потенциала на контуре питания выполняется. Поместим точку М на стенку скважины, тогда r1 = rс и r2 2а, а удельный и объемный дебиты скважины определяется по формулам: q 2 Фк Фc , 2a ln rc Q 2 k h pк pc 2a ln rc (6.10) При помощи метода отображения источников и стоков также можно определить дебит скважины, эксцентрично расположенной в круговом пласте: Qэксц 2 k hpк pс 2 Rк ln 1 2 rс Rк (6.11) где – расстояние от центра скважины до центра кругового пласта (эксцентриситет). Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений Ю.П. Борисова. Этот метод основан на аналогии движения жидкости в пористой среде с течением электрического тока в проводниках. Рассматривается задача о притоке жидкости к одной бесконечной цепочке скважин, расположенных на расстояниях 2а друг от друга и на расстоянии L от прямолинейного параллельного ей контура питания. На контуре питания задан постоянный потенциал Фк, а на забоях скважин - потенциал Фс (рис. 17). Цепочка скважин-стоков (галерея) отображается зеркально относительно параллельного ей питания в контура В В А А q ,Фс 2а L скважины- источники, и рассматривается Фк интерференция двух цепочек скважин в неограниченном пласте. Вдоль прямой L АВ, q ,Фс проходящей через скважину (как говорят, вдоль главной линии тока), жидкости частицы будут Рис. 17. Схема прямолинейной цепочки скважин по методу Ю.П. Борисова. двигаться наиболее быстро. Прямые А'В', делящие расстояние между скважинами пополам, в непроницаемые силу симметрии границы, вдоль потока, которых можно рассматривать движение будет как наиболее медленным; они называются нейтральными линиями тока. Задача решается методом суперпозиции. Результаты решения показывают, что на расстоянии от контура до половины расстояния между скважинами движение жидкости практически прямолинейное и падение потенциала на этом участке происходит по закону прямолинейной фильтрации. Основное падение потенциала происходит вблизи скважины в зоне радиусом r a / , где характер движения близок к радиальному. При этом удельный дебит каждой скважины цепочки при условии, что L > a, выражается следующей формулой: q Фк Фc L 1 a ln 2a 2 rc (6.12) Суммарный дебит всей прямолинейной цепочки из n скважин: Q qhn L pк pc (6.13) a ln 2anhk 2 n hk rc Введем обозначения: L 2anhk где - L (6.14) Bhk назовем внешним фильтрационным сопротивлением, выражающим сопротивление потоку жидкости от контура питания до галереи шириной B 2ah ; где a rc 2 n hk ln назовем - (6.15) внутренним сопротивлением, выражающим сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам, где фильтрация практически плоскорадиальная. Представим формулу (6.13) в виде: Q pк pc , (6.16) аналогичном закону Ома для полной цепи, где Q выполняет роль силы тока, а pк pc - разности потенциалов. Таким образом, приток жидкости к цепочке скважин можно представить электрической схемой эквивалентных фильтрационных сопротивлений, рис. 18. Отметим, что приток жидкости к кольцевой батарее (скважины расположены по линии окружности, находящейся внутри кругового контура питания и имеющей с ним общий центр, рис.19), рассчитывается также по формуле эквивалентных фильтрационных сопротивлений (6.16). Отличие будет лишь в определении внешнего сопротивления батареи R ln к 2 hk R1 : (6.17) где R1 – радиус кольцевой батареи, рис.19. Такой метод позволяет решать практические задачи, когда на месторождении одновременно работают несколько прямолинейных цепочек скважин или кольцевых батарей. В pк 2а В А А R1 Q Q Rк q ,Фс pc Рис. 18. Схема фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости к цепочке скважин или к кольцевой батарее. Фк Рис. 19. Схема кольцевой батареи с круговым контуром питания. Например, рассмотрим полубесконечный пласт с прямолинейным контуром питания, который разрабатывается тремя параллельными цепочками скважин одинаковой длины с числом скважин n1, n2, n3 в каждой и суммарными дебитами Q1 , Q2 , Q3 . Пусть скважины в каждой цепочке имеют радиусы rс1, rс2, rс3 и забойные давления рс1, рс2, рс3. Электрическая схема, соответствующая такой задаче, будет разветвленной (рис. 20), а ее расчет проводится по законам Ома и Кирхгофа. При этом, составляются алгебраические линейные уравнения по числу неизвестных. Например, для схемы, изображенной на рисунке 20, система уравнений примет вид: рк рс1 1 Q1 Q2 Q3 1 Q1 рc1 рс 2 1 Q1 2 Q2 Q3 2 Q2 рc 2 рс 3 2 Q2 3 3 Q3 (6.18) где: i Li 2ai ni hk , i 2 ni hk ln ai , L1 , L2 , L3 - расстояния rc соответственно от контура питания до первой цепочки, между первой и второй цепочками, между второй и третьей цепочками. 1 2 Q1 Q2 Q3 Q2 Q3 3 pê 1 Q1 Q2 pc1 Q3 2 3 Q3 pc 2 pc 3 Рис. 20. Схема фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости к трем цепочкам скважин. Примеры задач к разделу 3 Задача 6.1 Совершенная скважина радиуса rс = 0,1 м работает в пласте, ограниченном двумя непроницаемыми границами, расположенными под углом 900. Расстояния до границ равны a = 150 м, b = 300 м, расстояние до контура питания Rк = 8 км, давление на границах (контурах питания) pк = 11,76 МПа, давление на забое pс = 9,8 МПа. Мощность пласта h = 12м, вязкость жидкости μ = 3 мПа∙с, проницаемость пласта k = 700мД. Найти дебит скважины. Задача 6.2 В полубесконечном пласте мощностью h = 10 м с прямолинейным контуром питания работает совершенная добывающая скважина, расположенная на расстоянии a = 300 м от контура, с дебитом 50 т/сут. Определить скорость фильтрации: а) у стенки скважины; б) в точке А, расположенной на контуре питания и отстоящей на b = 500м от места пересечения линии контура питания с перпендикуляром, опущенным из скважины на контур питания (см. рис.21); Фк в) в точке В, расположенной (под А углом от скважины) на расстоянии c = 150 м от скважины перпендикуляра, вдоль опущенного q скважины на контур питания и b В d из с Рис.21. Схема к задаче 6.1. d = 200 м от этого перпендикуляра вдоль контура (см. рис.21). 7. Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пористой среде Неустановившиеся процессы возникают при пуске и остановке скважин, либо при изменении характеризуются темпов отбора перераспределением флюидов. давления, а Такие процессы также изменением скоростей фильтрационных потоков и дебитов во времени и зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей. Т.е. основной формой пластовой энергии, обеспечивающей приток жидкости к скважине, – энергия упругой деформации жидкости и материала пласта. При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта, что определяет вытеснение жидкости из пласта в скважину. Хотя коэффициенты сжимаемости 10 ( воды 4,59 10 Па1 , жидкости и пласта нефти ( 7 30 ) 1010 Па 1 , малы с ( 0,3 2 )109 Па1), но зато велики объемы пластов и за счет этого при упругом режиме, могут быть значительные притоки жидкости. Характерной особенностью упругого режима является то, что процесс перераспределения пластового давления очень медленный. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают большие силы сопротивления. Подсчет упругого запаса жидкости в пласте. Выделим V0 – элемент объема пласта. Тогда, V0ж – объем жидкости насыщающей этот элемент пласта при начальном давлении р0 равен: V0ж = m V0 (7.1) В соответствии с законами Гука, изменение упругого запаса жидкости Vз в объеме V0 при изменении давления на р определяется как: Vз жV0 ж р сV0р m ж с V0р V0р (7.2) где m ж с - коэффициент упругоемкости пласта, численно равный изменению упругого запаса жидкости в единице объема при изменении пластового давления на единицу. Продифференцировав (7.2) по времени d ( Vз ) * d(V0 ( t )р ) и учитывая, что d ( Vз ) Q( t )dt , получим: Q( t ) * d (V0 ( t )р ) dt (7.3) Если формулы (7.1) - (7.3) относить к разрабатываемому в условиях замкнуто-упругого режима нефтяному месторождению, то под V0 следует понимать объем пласта, в котором к данному моменту времени произошло p , где pк изменение давления на величину р, при этом, р pк ~ начальное пластовое давление; ~ p - средневзвешенное по объему возмущенной части пласта V0 давление. Вычислить средневзвешенное p можно, если известна геометрия возмущенной части пластовое давление ~ пласта и конкретное распределение давления в ней, по формуле: 1 ~ p pdV0 . V0 V (7.4) 0 Уравнение пьезопроводности получено при совместном решении системы уравнений теории изотермической фильтрации и законов сжимаемости жидкости и пористой среды: 1) уравнение неразрывности, d ( m ) div ( v ) 0 dt (7.5) 2) закон Дарси, k v qradp ; (7.6) 3) уравнение состояния сжимаемой жидкости: 0 1 ж р р0 ; (7.7) 4) зависимость пористости от давления: m m0 c р р0 . (7.8) Подставив (7.6 – 7.8) в (7.5) и пренебрегая членами второго порядка малости, получим уравнение пьезопроводности: 2р 2р 2р р - в дек. системе координат (7.9) 2 2 2 t y z x или р 1 t r r где: p r - в случае осевой симметрии r k / - коэффициент (7.10) пьезопроводности пласта, характеризующий темп перераспределения пластового давления в условиях упругого режима. Некоторые точные решения уравнения пьезопроводности. 1. Плоско-параллельный случай, приток упругой жидкости в полубесконечном пласте к прямолинейной галерее скважин. Для рассматриваемого одномерного движения жидкости уравнение пьезопроводности запишется в виде: дp д2p 2 дt дx (7.11) Уравнение (7.11) решается при следующих начальных и граничных условиях: t 0, px ,0 pk const ; t 0, x 0, p0, t pг const ; (7.12) x , p , t pk const Условия (7.12) можно интерпретировать таким образом: в начальный момент времени t = 0 пластовое давление было всюду в пласте одинаковым и равным рк. При пуске скважины в момент времени t > 0 на галерее при х = 0 давление мгновенно упало до величины рг, при этом на бесконечности x = давление остается постоянным и равным начальному пластовому рк. Решение задачи (7.11) - (7.12) получено методом автомодельной переменной и имеет следующий вид, рис.24: р( x , t ) pг pк pг erf где: x / 2 t - автомодельная переменная, а erf 2 e 0 (7.13) р рк t3 u 2 t1 du - интеграл вероятности или интеграл Гаусса, который табулирован и имеется в математических справочниках. t2 рг Q x Рис.24. Кривые распределения давления в различные моменты времени при неустановившемся плоско-параллельном потоке упругой жидкости Дебит галереи Q при x = 0 выражается в виде: Q k Bh рк рг , t (7.14) т.е. с течением времени Q убывает 1 / t 2. Плоско-радиальный случай реализуется в задаче о притоке упругой жидкости к скважине (точечному стоку или источнику) на плоскости в неограниченном пласте с постоянной мощностью и абсолютной проницаемостью. В этом случае уравнение пьезопроводности имеет вид: д 2 p 1 дp дp , 2 дt r дr дr (7.15) и решается при следующих граничных и начальных условиях: t 0, pr ,0 pk const ; 2 k h p r Q0 const ; r r , p , t pk const t 0, r 0, Q (7.16) Условия (7.16) интерпретируются иначе чем (7.12): в начальный момент времени t = 0 пластовое давление было всюду в пласте одинаковым и равным рк. В момент времени t > 0 в точке r = 0 начинает работать добывающая скважина с постоянным объемным дебитом Q0, на бесконечности r = р рк t=0 t1 давление остается неизменным и равным рк. Q0 Уравнение (7.15) при граничных условиях (7.16) также решается методом Q0 автомодельной переменной: Q0 r / 2 t . (7.17) t2 t3 r Рис.25. Кривые распределения давления в различные моменты времени при неустановившемся плоско-радиальном потоке упругой жидкости. Перераспределение давления в пласте выражается, рис.25: Q0 r2 p( r , t ) pk ) , Ei ( 2kh 4 t (7.18) где: Ei ( ) - интегрально показательная функция, которая табулирована и имеется в математических справочниках. r2 Ei ( ) 4 t r2 4 t e u du , u (7.19) Перераспределение дебита Q(r,t) в пласте: Q( r , t ) k р 2rh Q0e r Определение r2 4 t коллекторских (7.20) свойств пласта по данным исследования скважин при упругом режиме. Кривые восстановления (падения) давления. 1. Метод касательной. После пуска или остановки скважины при помощи скважинных манометров снимают зависимость забойного давления от времени и строят график такой зависимости: при остановке скважины кривую восстановления давления, при пуске скважины кривую падения давления. Обработка таких кривых основана на полученном решении (7.18), которое преобразуют, разложив интегрально-показательную функцию в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения: Ei ( x ) ln 1 0.5772 ... x (7.21) При условии, что значение давления замеряют на забое и r = rc, формула (7.18) записывается в виде: рс t рк рс t 0,1832 Q 4 t ln ln 1 , 781 2 4 kh rc Q 2,246 Q lg 0 , 1832 lg t A i lg t 2 kh kh rc где: A i lg i 0,1832 2,246 rc2 , (7.23) Q kh (7.24) Обычно кривую восстановления (падения) давления (7.22) строят в Δpc φ координатах рс от lg(t). По прямому участку полученной кривой находится отрезок А, отсекаемый его продолжением на оси рс и тангенс A угла наклона , равный i, рис.26. Затем по (7.23) и (7.24) определяют коэффициент пласта kh / гидропроводности и lg(t) Рис. 26. Схема обработки КВД методом касательной. коэффициент пьезопроводности пласта , по которым в свою очередь можно оценить фильтрационноемкостные характеристики горных пород. Если скважина была пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом Q и через промежуток времени T остановлена, но продолжает работать с тем же дебитом Q, то, используя метод суперпозиции, можно получить обобщенную формулу для обработки КВД методом касательной: рс t рс t рс T Q 2,25 t T ln ln 4 kh T t rc2 (7.25) В таком случае, удобнее кривую восстановления (падения) давления строить и анализировать в координатах рс от ln(tT/(t+T)). 2. Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС). Метод основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс. В каждый момент времени вся область движения жидкости, в действительности охватывающая весь пласт, условно разделяется на две области - возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области, начинающейся от стенки скважины, давление распределяется так, как будто бы движениё жидкости в ней установившееся: внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному. В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом R(t), где давление будет распределяться по стационарному закону: p( r , t ) pk Закон Q R( t ) ln 2kh r движения невозмущенной подвижной областей (7.26) границы определяется раздела при возмущенной помощи уравнения .материального баланса (7.3) и граничных условий: R( t ) rc2 4t (7.27) Формула для анализа КВД принимает вид: rc2 4 t Q pc pk pc ( t ) ln 2kh rc Q 4 , т.к . 4 t 1. ln ln t 2kh rс2 rс2 и (7.28) А кривую восстановления (падения) давления удобней строить в координатах рс от ln(t). 3. Метод Хорнера. В методе Хорнера реализован метод суперпозиции (наложения фильтрационных потоков) в теории упругого режима, что позволяет решать задачи, связанные с пуском, остановкой или с изменением темпа добычи скважины. Например, если скважина была пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом Q и через промежуток времени T остановлена, но продолжает работать с тем же дебитом Q, то для обработки кривых восстановления давления скважин можно получить следующую формулу: pc t pk Q t ln , 4 k h T t (7.29) где T – время работы скважины с расходом Q. Тогда кривую восстановления давления строят в координатах рс от lnt / T t , рис. 27. При этом, по углу наклона определяется гидропроводность скважины: k h а, Q , 4 tg экстраполируя участок кривой (7.30) pc рк φ прямолинейный восстановления давления до пересечения с прямой, параллельной оси ординат pc t и проведенной из lnt / T t 0, pc находят начальное 0 точки 0 , пластовое ln t T t Рис. 27. Схема обработки КВД методом Хорнера. давление pk . Если дебит исследуемой скважины с момента пуска ее в эксплуатацию до момента остановки не оставался постоянным, то промежуток времени T можно подсчитать по приближённой формуле: T V , Q (7.31) где V – накопленная добыча жидкости из скважины с момента пуска до момента остановки, Q – текущий установившийся дебит скважины непосредственно перед ее остановкой. Примеры задач к разделу 7 Задача 7.1 Нефтяная залежь площадью S = 500 га и мощностью h = 30 м имеет пористость m = 20% и водонасыщенность s = 30%. Сколько нефти можно отобрать за счёт объёмного упругого расширения жидкости при падении давления от 29,4 МПа до 19,6 МПа, если коэффициент сжимаемости нефти βн = 1,53∙10-9 м2/Н, воды βв = 3,06∙10-10 м2/Н. Пласт считать недеформируемым. 8. Двухфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей, вытеснение нефти водой. Функция Бакли – Леверетта. Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все ее части имеют одинаковые физические и химические свойства. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза - это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами. Насыщенностью i -й фазы si называется доля объема порового пространства, занятого этой фазой: si Vi , Vп (8.1) Сумма всех насыщенностей в поровом объеме равна единице. Если поровое пространство пористой среды заполнено только двумя жидкостями - нефтью и водой, то тогда выполняется соотношение: sв sн 1, (8.2) где sн , sв - соответственно насыщенности нефтью и водой. Далее введем обозначения: sв s , sн 1 s , (8.3) В общем случае при описании двухфазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению, что существенно усложняет теоретическое исследование. Далее, рассмотрим наиболее простое, с точки зрения математического моделирования, одномерное двухфазное течение, соответствующее вытеснению жидкости, первоначально заполнявшей поры, другой жидкостью, не смешивающейся с первой, впервые предложенное американскими исследователями С. Бакли и М. Левереттом (1942 г.). Нефть вытесняется водой в прямолинейном тонком горизонтальном образце, который представлен однородной изотропной пористой средой при следующих допущениях: 1) вода, нефть и пористая среда несжимаемы, т. е.: в const , н const , m const , k const ; 2) капиллярные силы пренебрежимо малы, т.е. пластовое давление в нефти и воде одинаковое: рн рв р ; 3) влияние массовых сил не учитывается; 4) температура постоянна; 5) фазовые переходы и химические реакции отсутствуют. С учетом сделанных допущений и (8.3), уравнения неразрывности для воды и нефти примут вид: m s vв 0, t x (8.4) m s vн 0 t x (8.5) Сложив уравнения (8.4) и (8.5) получим: vв v н 0 x (8.6) Уравнение (8.6) показывает, что суммарная скорость двухфазного потока v(t) (или суммарный расход обеих жидкостей Q(t)) не зависит от координаты x и является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени: v t vв v н или Qt Q в Qн . (8.7) Скорости фильтрации воды v в и нефти v н подчиняются закону Дарси, который записывается для каждой из жидкостей отдельно: k kв ( s ) p , vв в x (8.8) k k н ( s ) p . vн н x (8.9) где в , н - коэффициенты динамической вязкости соответственно воды и нефти, k – абсолютная проницаемость (определяемая по какой либо одной из жидкостей или газу), а kв ( s ) и k н ( s ) - относительные фазовые проницаемости воды и нефти, характеризующие долю проводимости среды для соответствующей фазы при данной насыщенности. Отметим, что произведение k на k i ( s ) характеризует фазовую проницаемость i -ой жидкости k i k k i ( s ) , как проницаемость в обычном смысле (абсолютную) только в условиях совместной фильтрации. Относительные экспериментально, фазовые являются k i ( s ) определяются функциями насыщенности проницаемости в основном соответствующей фазой и изменяются в пределах от 0 до 1, возрастая с ростом насыщенности. Типичные экспериментальные кривые фазовых проницаемостей, определяемые при совместной фильтрации воды и нефти, приведены на рисунке 28. 1,0 k 0,8 0,6 k н ( s ) kв ( s ) 0,4 0,2 0,0 0 ,% 10 20 30 40 50 60 70 s80 s s Рис. 28. Кривые зависимости относительных фазовых проницаемостей от водонасыщенности при вытеснении нефти водой. Отметим некоторые характерные особенности этих кривых. Для каждой жидкости существует предельная насыщенность, такая, что при меньших значениях насыщенности эта жидкость неподвижна. Движение воды может происходить только в том случае, если s s , где s - называют насыщенностью связанной водой (или коэффициентом водоудерживающей способности). Следует понимать, что величина остаточной водонасыщенности s 0 (начальное содержание воды в пласте) зачастую отличается от величины насыщенности связанной водой. Это связано с особенностями формирования реальных нефтенасыщенных пластов. Величина s - конечная насыщенность водой, при которой нефть неподвижна, т.е. фильтруется только вода. Величина 1 s называется остаточной нефтенасыщенностью, или количество остаточной нефти, которое не может быть вытеснено из пористой среды водой, сколь бы длительным не было вытеснение. Таким образом, совместное течение двух фаз имеет место лишь в следующем интервале изменения насыщенности водой: s s s . (8.10) Относительная проницаемость смачивающей фазы (воды) kв ( s ) при s s имеет значение, меньше 1, тогда как величина k н ( s ) при s s близка к единице. Это означает, что присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение несмачивающей жидкости (нефти), тогда как присутствие остаточной нефти значительно «стесняет» движение воды. Разделив уравнение (8.8) на сумму уравнений (8.8) и (8.9), с учетом (8.7), можно получить: vв kв ( s ) , F s v в v н kв ( s ) 0 kн ( s ) (8.11) где 0 в / н , а F(s) – функция насыщенности, называемая функцией распределения потоков Бакли - Леверетта. Функция F(s) имеет простой физический смысл – объемная доля воды в суммарном потоке двух несмешивающихся жидкостей. Функция Бакли – Леверетта играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных потоков, определяя полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Характерный вид функции Бакли-Леверетта представлен на рис. 29. Из (8.11) следует: v в F s v ( t ) . (8.12) Подставив (8.12) в (8.8) и используя правило дифференцирования сложной функции, получим уравнение только относительно s: m s s v ( t )F ( s ) 0. t x (8.13) где F ( s ) - производная функции Бакли-Леверетта по s, рис.29. Уравнение (8.13) решается методом характеристик: x( s ) v( t ) F ( s )t x0 , m (8.14) где x0 координата с начальной водонасыщенностью s0 при t = 0. Формулу (8.14) можно проинтерпретировать следующим образом: точка с постоянной насыщенностью движется с постоянной скоростью, пропорциональной v/m, и является функцией самой насыщенности. Для нахождения профиля водонасыщенности в любой момент времени необходимо ввести начальное и граничное условия. Например, если на входе в образец, изначально (t = 0) насыщенный нефтью с равномерно распределенной остаточной водонасыщенностью s0, закачивают только воду (F(s) = 1 в точке x = 0), то начальное и граничное условия примут вид: t 0, s s0 ; (8.15) t 0, x 0, F ( s ) 1. Как видно из рисунка 29, одному и тому же значению F ( s ) , определяющему скорость распространения насыщенности заданной величины, соответствуют два разных значения насыщенности s. Это означает, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности становится многозначным, что физически невозможно. Такая многозначность решения снимается, если ввести скачок насыщенности, положение которого определяется из условия материального баланса на скачке. F 1 F 1 F(s) F(s) F’(s) F s0 0 s0 sф s~ s s а) 0 s0 s , F ( s0 ) 0 0 s s 0 sфs~ s s б) s0 s , F ( s0 ) 0 Рис. 29. Характерный вид функции Бакли-Леверетта F(s) и ее производной F’(s). Определение основных параметров вытеснения по функции Бакли-Леверетта за безводный период. Тогда можно определить значение насыщенности на фронте вытеснения (на скачке) из соотношения: F ( sф ) F ( sф ) F ( s0 ) sф s0 . (8.16) Уравнение имеет простую геометрическую интерпретацию – уравнение касательной, проведенной из точки (s0, F(s0)) к кривой F(s), где sф – абсцисса точки касания, рис.29. Скорость фронта вытеснения, с учетом (8.14) при x0=0, определяется из соотношения vф d xф dt v( t ) F ( sф ) . m (8.17) Определить среднюю водонасыщенность за фронтом вытеснения (в зоне совместного течения воды и нефти) в безводный период добычи (на выход из образца или на выходное сечение пласта поступает одна только нефть), определяемую как отношение объема воды, содержащейся в пласте к моменту времени t, к объему порового пространства в зоне смеси, можно из соотношения: ~s s 0 sф s0 1 . s0 F ( sф ) F ( sф ) F ( s0 ) (8.18) ~ можно определить по точке пересечения касательной к Графически s кривой F(s), определяющей фронтальную насыщенность, с прямой F(s)=1. Определить время прорыва воды (момент появления воды на выходе из образца или на выходном сечении пласта) можно из решения уравнения (8.14) при x0=0, положив х=L (L – длина образца или пласта) и s = sф: T Lm . v ( t ) F ( sф ) (8.19) Одним из важнейших параметров разработки нефтяных месторождений является коэффициент нефтеотдачи пласта. Коэффициент нефтеотдачи - отношение количества извлеченной из пласта нефти к первоначальным ее запасам в пласте. Различают текущую и конечную нефтеотдачу. Под текущей нефтеотдачей понимают отношение количества извлеченной из пласта нефти на данный момент разработки пласта к первоначальным ее запасам. Ее величина переменна во времени и возрастает по мере увеличения количества извлеченной из пласта нефти. Конечная нефтеотдача - отношение количества добытой нефти к первоначальным ее запасам в конце разработки пласта. Нефтеотдача вообще зависит от многих факторов. Обычно выделяют факторы, связанные с самим механизмом извлечения нефти из пластов, и факторы, характеризующие полноту вовлечения пласта в целом в разработку. Коэффициент текущей нефтеотдачи пластов К но при их разработке с применением заводнения представляют в виде следующего произведения: К но Vдоб V V К выт К охв доб охв Vзап Vохв Vзап (8.20) где: Vдоб - объем добытой из пласта нефти за определенный период времени, Vзап - общий объем геологических запасов нефти, Vохв - объем запасов нефти, охваченных заводнением. К выт - коэффициент вытеснения нефти из пласта – величина, равная отношению количества вытесненной из пласта нефти к запасам нефти, первоначально находившимся в части пласта, вовлеченной в разработку. Отметим, что для текущей нефтеотдачи коэффициент вытеснения величина переменная во времени. К охв - коэффициент охвата пласта разработкой – величина, равная отношению запасов нефти, вовлеченных в разработку, к общим геологическим запасам нефти в пласте. В некоторых случаях коэффициент нефтеотдачи равен произведению не только двух, но и трех и большего числа коэффициентов: К но Vдоб V V V К выт К охв К зав доб зав охв Vзап Vзав Vохв Vзап (8.21) где: Vзав - первоначальный объем нефти в заводненной области пласта, а К выт - коэффициент вытеснения нефти водой из заводненной области пласта через определенный момент времени, К зав - коэффициент заводнения – отношение объема нефти, в охваченной заводнением области пласта к первоначальным запасам в этой области. Для плоскопараллельного случая, когда пласт однороден с постоянным распределением насыщенности по всей его длине и разрабатывается одной добывающей и одной нагнетательной цепочками скважин (а также при анализе результатов лабораторных экспериментов) при определении коэффициента нефтеотдачи можно не учитывать коэффициенты охвата и заводнения, приняв их равными 1. Тогда коэффициент вытеснения за безводный период определяют по формуле: К выт ~s Vдоб s 0 . Vзап 1 s0 (8.22) Примеры задач к разделу 8 Задача 8.1 Построить функцию Бакли-Леверетта при вытеснении нефти водой с соотношением вязкостей 0 4 по следующим экспериментальным данным об относительных фазовых проницаемостях: s, % 0 10 20 30 40 50 60 70 80 kв s 0 0 0 0,01 0,05 0,11 0,21 0,33 0,51 0,72 - k н s - - 0,7 0,5 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0 Определить значение насыщенности на фронте sф 90 0 100 и среднюю ~. насыщенность порового пространства водой в зоне вытеснения s Задача 8.2 Определить положение фронта вытеснения нефти водой в плоскопараллельном случае в различные моменты времени (1ч, 12 ч, 1 сут, 2сут, 5 сут, 10 сут), если пористость пласта m = 20%, ширина фильтрационного потока B = 500м, мощность пласта h = 10м, дебит галереи Q = 21600 м3/сут, а по экспериментальным данным снята зависимость функции Бакли-Леверетта F от водонасыщенности s: s, % F s 23,8 27,8 29,1 0 0,2 0,4 31 34,5 61,05 0,6 0,8 1 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 1. Пористость. Уравнение сохранения массы жидкости и газа в пористой среде. 2. Закон Дарси. Абсолютная проницаемость. 3. Микромеханика пористых сред. Фазовые проницаемости. 4. Капиллярное давление. Функция Леверетта. 5. Основные модели изотермической фильтрации и задачи механики в нефтегазодобыче. 6. Приток несжимаемой жидкости в скважину. Формула Дюпюи. 7. Приложение ТФКП к решению плоских задач фильтрации. 8. Простейшие типы плоских фильтрационных течений. 9. Уравнения состояния упругой жидкости, газа и пористой среды. 10.Фильтрация однородной упругой жидкости в деформируемом пласте. Упругий режим фильтрации. 11.Функция Лейбензона. Решение стационарных задач упругой фильтрации. 12.Уравнение пьезопроводности. 13.Автомодельная постановка задачи о притоке упругой жидкости в скважину. 14.Распределение давления в пласте при постоянном расходе жидкости, притекающей в скважину. 15.Кривые восстановления давления, определение свойств пласта по данным гидродинамических исследований скважин. 16.Основные уравнения и модель двухфазной фильтрации. 17.Безразмерные уравнения. Второе капиллярное число. 18.Задача Баклея-Леверетта. 19.Разрывные решения. Условия на разрывах. 20.Расчет коэффициента вытеснения нефти. 21.Двухфазная фильтрация с учетом гравитационных сил. 22.Методы увеличения нефтеотдачи пластов. 23.Капиллярные процессы в пористой среде. 24.Равновесие двух жидкостей в поле сил тяжести. 25.Задача Раппопорта-Лиса. 26.Противоточная капиллярная пропитка. 6. ЛИТЕРАТУРА Основная литература: 1. Головкин, В. А. Вопросы вихревой гидромеханики [Электронный ресурс] / В. А. Головкин, М. А. Головкин, В. М. Калявкин. - М.: Физматлит, 2009. - 263 с. - 978-5-9221-1154-6. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=76681 (дата обращения 28.01.2014). 2. Куликовский, А. Г. Магнитная гидродинамика [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. Г. Куликовский, Г. А. Любимов. - М.: Логос, 2011. - 324 с. - 978-5-94010-556-5. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=89795 (дата обращения 28.01.2014). 3. Ильгисонис, И. В. Введение в теоретическую гидродинамику [Электронный ресурс] : учебное пособие / И. В. Ильгисонис. - М.: Российский университет дружбы народов, 2010. - 132 с. - 978-5-20903561-9. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=116055 (дата обращения 28.01.2014) Дополнительная литература: 1. Муфазалов, Р. Ш. Гидромеханика добычи нефти. Том 1 [Электронный ресурс] : учебное пособие / Р. Ш. Муфазалов. - М.: Московский государственный горный университет, 2008. - 315 с. - 978-5-98672-1064. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=99685 (дата обращения 28.01.2014) 2. Чарный, И. А. Подземная гидромеханика [Электронный ресурс] / И. А. Чарный. - Москва — Ленинград: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 196 с. - 978-5-4458-4474-7. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=213790 (дата обращения 28.01.2014). Программное обеспечение и Интернет – ресурсы: 1. Электронная библиотека Попечительского совета механикоматематического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru 2. eLIBRARY http://elibrary.ru/ – Научная электронная библиотека Электронная Университетская библиотека: http://biblioclub.ru/ (Москва)
