новая Часть 7

Часть 7. Вибрационные характеристики и вибропрочность
авиадвигателя
Лекция 7.1. Двигатель как составная динамическая система
Понятие составных систем. Декомпозиция и агрегатирование. Методический подход к
определению динамической податливости составной системы
7.1.1. Составные системы. Декомпозиция и агрегатирование. Характеристики
связей
В одной из первых лекций было сказано о целесообразности во многих
случаях для расчета конструкции рассмотрения авиадвигателя как составной
системы, состоящей из более простых элементарных подсистем,
объединённых взаимными связями. Выявление рационального разделения на
подсистемы принято называть декомпозицией системы. Наложение взаимных
связей - её агрегатированием.
Все характеристики составной системы могут быть определены параметрами,
числом и взаимным расположением составляющих подсистем, из которых
состоит рассматриваемая система, а также характером наложенных связей.
В разделении системы на элементарные подсистемы существует
определённая свобода, поэтому есть смысл сформулировать ряд условий,
определяющих правила такого подхода.
Признаками, указывающими на целесообразность разделения системы на
составляющие
подсистемы
будем
считать,
во–первых,
отличие
дифференциальных операторов уравнений равновесия или движения элементов,
из которых состоит рассматриваемая система, и во – вторых, различие систем
координат, в которых принято рассматривать эти элементы.
По первому из этих признаков, например, оболочка, подкреплённая
стрингерами или шпангоутами, может быть разделена на гладкую оболочку без
подкрепления и подкрепляющие элементы, стержни или кольца.
По второму признаку стержневая система, состоящая из стержней,
присоединённых друг к другу под углом, делится на составляющие стержни с
условиями их взаимной связи.
Под связями, как это принято в механике, будем понимать определенные
ограничения, наложенные на взаимные перемещения подсистем.
Кроме идеальных (голономных) связей, удовлетворяющих условию
равенства нулю суммарной работы реакций связей на виртуальных
перемещениях, допускаемых связями, могут рассматриваться и связи с трением.
В механических конструкциях связи можно условно классифицировать
следующим образом:
1) связь типа идеального шарнира, обеспечивающая равенство перемещений
подсистем в точке связи и не препятствующая их взаимному повороту;
2) линейная упругая связь, обеспечивающая линейную зависимость
возникающей реакции от относительного перемещения подсистем в точке связи;
135
3) связь типа жёсткой заделки, обеспечивающая равенство нулю взаимных
линейных и угловых перемещений в точке связи;
4) моментная упругая связь, создающая линейную зависимость момента
реакции от угла взаимного поворота подсистем в точке связи.
При решении конкретных инженерных задач приходится рассматривать
неголономные связи с трением. В большинстве случаев достаточно бывает
считать трение вязким. В некоторых задачах бывает необходимым учитывать
нелинейные упругие или диссипативные характеристики связей.
Связи могут накладываться на подсистемы как в отдельных точках, так и по
линии или области.
Задача расчёта составной системы сводится к необходимости решения
дифференциальных уравнений равновесия или движения
подсистем с
соответствующими граничными условиями и с учётом связей.
Определённые удобства в решении таких задач создаёт использование метода
функций влияния или функций динамической податливости.
7.1.2.Функции влияния и функции динамической податливости
Функцией влияния K ( x, s ) принято называть обобщённое перемещение
произвольной точки x упругой системы от действия единичной сосредоточенной
обобщённой нагрузки в произвольной точке s этой системы.
Функцией динамической податливости
будем называть
Г ( x, s ,  2 )
амплитудное обобщённое перемещение произвольной точки x упругой системы
под действием единичной сосредоточенной гармонической обобщённой нагрузки
с частотой  в произвольной точке s этой системы.
Функцию динамической податливости иногда называют функцией
амплитудных перемещений.
Очевидно, что функция влияния является частным случаем функции
динамической податливости при   0 , что соответствует вырождению
динамической нагрузки в статическую.
При рассмотрении перемещений упругой системы в декартовой системе
координат с нумерацией осей 1,2,3 под возможными перемещениями системы
понимают её линейные смещения в направлении соответствующих осей и
повороты относительно этих осей. Обобщёнными нагрузками являются силы,
направленные по соответствующим осям, и моменты относительно каждой из них.
Имея это в виду, примем для функции динамической податливости (аналогично и
2
для функции влияния) обозначение Г  ( x, s,  ) , здесь индекс  определяет вид
перемещения, а индекс   характер действующей нагрузки.
Линейным перемещениям и силам, действующим в направлении осей 1,2,3 ,
придадим соответственно значения индексов  и  , равные 1,2 и 3 . Углам
поворота и моментам относительно этих осей присвоим соответственно индексы
  4,5,6 и   4,5,6 .
Для удобства функции динамической податливости сводятся в матрицу:
136
Г  ( x, s,  2 )
6
 1
.
Эту матрицу принято называть матрицей функций динамической
податливости. При   0 её называют матрицей функций влияния.
Не все перемещения и нагрузки для некоторых систем являются
взаимосвязанными. Поэтому в ряде случаев они могут иметь нулевые элементы.
Так, для балки в системе координат, ось 1 которой направлена вдоль оси балки, а
оси 2 и 3 совпадают с главными центральными осями инерции, матрица имеет
следующий вид:
Г 11 ( x, s. 2 ).............0.............0.............0..............0.................0.......
..........0.........Г 22 ( x, s,  2 ).......0.............0..............0.......Г 26 ( x, s,  2 )
..
..........0....................0...Г 33 ( x, s,  2 )......0....Г 35 ( x, s,  2 ).........0......
..........0....................0.............0...Г 44 ( x, s,  2 ).......0................0......
..........0....................0...Г 53 ( x, s,  2 )......0.....Г 55 ( x, s,  2 )........0.......
..........0..........Г 62 ( x, s,  2 )......0.............0...............0......Г 66 ( x, s,  2 )
Для упругого кругового кольца, перемещения которого рассматриваются в
системе координат, ось 1 которой проходит через центр нормально к плоскости
кольца, ось 2 совпадает с касательной к окружности, а ось 3 направлена по
радиусу, матрица функций динамической податливости выглядит следующим
образом:
Г 11 ( ,  . 2 )............0....................0.....................0...... Г 15 ( ,  ,  2 ).. Г 16 ( ,  ,  2 )
..........0......... Г 22 ( ,  ,  2 ).. Г 23 ( ,  ,  2 ).. Г 24 ( ,  ,  2 ).........0....................0........
..
..........0......... Г 32 ( ,  ,  2 ).. Г 33 ( ,  ,  2 ).. Г 34 ( ,  ,  2 )
..........0......... Г 42 ( ,  ,  2 ).. Г 43 ( ,  ,  2 ).. Г 44 ( ,  ,  2 )..........0...................0.......
..
Г 51 ( ,  ,  2 )...........0....................0.....................0....... Г 55 ( ,  ,  2 )...........0.......
Г 61 ( ,  ,  2 )...........0....................0.....................0..................0......... Г 66 ( ,  ,  2 )
Здесь  и   угловые координаты точек кольца.
В теории оболочек особенности используемых гипотез не дают возможности
определения перемещений от действия моментов относительно нормали к
срединной поверхности. Поэтому матрица функций динамической податливости
оболочки вырождается в матрицу:
Г  ( x, ,  ,  ,  2 )
где x,  цилиндрические
оболочки.
координаты
5
 1
точки
,
срединной
поверхности
137
Функции влияния и динамической податливости обладают свойством
симметрии:
K  ( x, s)  K ( s, x) ,
Г  ( x, s,  2 )  Г (s, x,  2 ) .
Свойство симметрии является следствием теоремы Бетти о взаимности
перемещений. Легко убедиться в том, что это приводит к симметричности матриц
относительно главной диагонали.
Другим свойством функции влияния является её позитивность, т.е.
неотрицательность интеграла:
x2
x2
x1
x1
 
K ( x, s )dq( x)dq( s )  0 .
что следует из неотрицательности работы системы.
Та часть элементов матрицы, которые определяют линейные перемещения от
единичных сил, является независимой от других элементов. Эту часть элементов
принято называть основными элементами. Остальные элементы матрицы
определяются либо из условий симметрии, либо с помощью несложных
дифференциальных операций. Это можно показать на примере расчёта балки.
Первые четыре элемента главной диагонали матрицы являются основными.
Пусть необходимо определить элемент матрицы влияния с индексами   3,  5,
т.е. перемещение в направлении оси 3 от единичного момента, действующего
относительно оси 2 (рис.7.1).
Для этого сосредоточенный момент
представим в виде:
M  lim S 0 Ps ,
где Ps  момент пары сил P на плече s .
Перемещение балки в направлении оси 3
можно записать в виде:
u 3  K 35 ( x, s ) M ( s )  lim S 0 [ K 33 ( x, s  s )  K ( x, s )]P

Рис.7.1. К определению функции
влияния от момента

K 33 ( x, s ) M ( s )
s
Отсюда по определению K 35 ( x, s) 
Угол поворота:
K 53 ([ x, s ) 

K 33 ( x, s) .
s

K 33 ( x, s ) .
x
Легко заметить, что это выражение можно получить из условий
симметрии.
На основе двух последних соотношений получаем:
2
K 55 ( x, s) 
K 33 ( x, s) .
xs
138
s

s
Аналогично можно показать, что
K 62 ( x, s ) 


2
K 22 ( x, s ), K 26 ( x, s )  K 22 ( x, s )  K 62 ( s, x) и, наконец, K 66 ( x, s) 
K 22 ( x, s) .
x
s
xs
При известной матрице функций динамической податливости системы все
компоненты амплитудного перемещения u  (x) определяются в виде:
6
u  ( x)    Г  ( x, s)q ( s), (   1,2,...,6) ,
 1 
где q (s)  амплитудные функции составляющих распределённой гармонической
нагрузки,   область определения s .
7.1.3.Методика построения матриц функции динамической податливости
составной системы
Задача динамического расчёта составной системы сводится к определению
функций её динамической податливости на основе известных матриц функций
динамической податливости составляющих подсистем и условий связей между
ними. Традиционный порядок решения таких задач предполагает запись и
совместное решение системы дифференциальных уравнений движения подсистем
с алгебраическими или интегральными (если связи наложены по поверхности)
условиями связи. Динамический расчёт составной системы с помощью построения
функций её динамической податливости выгодно отличается тем, что
дифференциальные уравнения движения для каждой подсистемы решаются
раздельно. А затем все последующие операции для случая точечных связей
сводятся к решению системы алгебраических уравнений по отысканию реакции
связей.
139
Лекция 7.2. Динамические характеристики двигателя
Оценка динамических характеристик двигателя в целом с помощью функций
динамической податливости его подсистем
7.2.1.Математический смысл функций влияния и динамической податливости
элементарных систем
Из определения функций влияния и динамической податливости следует,
что она является решением дифференциального уравнения равновесия или
движения системы с соответствующими граничными условиями под действием
единичной сосредоточенной гармонической нагрузки. При этом без ограничения
общности могут рассматриваться лишь однородные граничные условия, так как
любые другие могут быть заменой переменных к однородным.
Общий порядок решения задачи сводится к следующим операциям.
Пусть u  K ( x, s)  искомая функция влияния, являющаяся решением
уравнения:
L(u )   ( x  s )
(7.1)
с однородными граничными условиями.
Здесь L(u )  линейный дифференциальный оператор уравнения или системы
уравнений равновесия в перемещениях;  ( x  s)  разрывная функция Дирака
первого рода, обладающая тем свойством, что она существует лишь в точке s , а
интегралы её

x
0
 ( x  s)dx 
0, x  s
1, x  s,

x
0
   ( x  s)dx 
0, x  s
q( x) ( x  s)dx 
0, x  s
x
x
0
0
x  s, x  s,
q( s ), x  s,
Нетрудно убедиться, что
x
  ( x  s)dx
0
является математическим аналогом
сосредоточенной силы, а решение
Рис.7.2. Интегралы от   функции
уравнения (7.1) есть функция влияния.
Понятно, что K ( x, s ) , являясь решением
задачи, удовлетворяет уравнению, граничным условиям и условиям
неразрывности в точке s со своими производными до n  2  й включительно, а
n 1  я производная терпит разрыв.
Функцию К ( x, s ) , удовлетворяющую перечисленным требованиям, называют
функцией Грина дифференциального оператора L (u ) уравнений равновесия
системы.
140
Правильно поставленная задача о равновесии системы описывается
самосопряжёнными
дифференциальными уравнениями, откуда следует
соотношение
 vL(u)dx   uL(v)dx ,


где u, v  какие - либо частные решения задачи L(u )  0 .
В этом случае функция K ( x, s ) обладает свойством симметрии, которое ранее
мы предполагали, основываясь на теореме Бетти.
Запишем теперь уравнение движения той же системы под действием
гармонической нагрузки q( x) Sin t . На основании принципа Даламбера оно должно
иметь вид:
 2u
 q( x) Sint
t 2
или в результате исключения параметра t подстановкой u  v( x) Sint :
L(u )  m
(7.2)
L(v)   2 mv  q( x) .
Обозначим q( x)   2 mv  f ( x) .
Как было показано:
v( x) 

 K ( x  s) f ( s)ds ,
где     область определения x .
Отсюда:
v( x)  

2
 K ( x, s)mv(s)ds  F ( x) ,
(7.3)


где F ( x)   K ( x, s)q(s)ds .

Мы получили интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром
K ( x, s ) .
Простой подстановкой можно убедиться, что если существует функция
Г ( x, s,  2 ) , обеспечивающая решение уравнения движения (7.2) в форме:

v( x)   Г ( x, s,  2 )q( s)ds ,

то она подчиняется условию:

Г ( x, s,  2 )  K ( x, s)   2  K ( x, z )mГ ( s, z,  2 )dz .

Функция Г ( x, s,  ) называется резольвентой ядра K ( x, s ) .
Если колебания системы происходят под действием
гармонической силы, т.е. q( x)   ( x  s) , то:
2
единичной

v( x)   Г ( x, s,  2 ) ( s   )ds Г ( x, s,  2 ) .

Таким образом, резольвента ядра K ( x, s ) является функцией динамической
податливости.
141
7.2.2.Порядок определения функций динамической податливости
элементарных подсистем
Функции влияния и динамической податливости можно определить одним из
двух способов.
Первый способ заключается в отыскании двух частных решений задачи,
порознь удовлетворяющих граничным условиям на краях системы и условию
разрыва производной n 1  го порядка ( n  порядок дифференциального
уравнения) на величину, обратную жёсткости в очке s приложения силы.
Непрерывность всех производных и разрыва n 1  й является условием
приложения в этой точке единичной сосредоточенной силы.
Второй способ состоит в решении того же уравнения задачи при условии, что
правая часть уравнения содержит разрывную   функцию Дирака первого рода.
Покажем определение функции влияния на примере консольно защемлённой
балки.
Исходное уравнение:
d2
d 2 u ( x)
[
EI
(
x
)
]0.
x 2
dx 2
Функция влияния:
K ( x, s ) 
u1 , x  s
u2 , x  s
,
где:
x
x
x
x
x
u1  C1  x  dx 2  C 2  dx  C3 x  C 4 ,
EI
EI
0 0
0
x
x
u 2  D1  x 
0
0
(7.4)
x
x 2
x
dx  D2  dx  D3 x  D4 .
EI
EI
0
(7.5)
du1
| x 0  0 .
dx
d 2u2
d 2u2
d
Граничные условия для u 2 : EI 2 | x  L  0, ( EI 2 ) | x  L  0 .
dx
dx
dx
Граничные условия для u1 : u1 | x0  0,
Условия непрерывности функции влияния и первых двух её производных в
точке s :
u1 ( s)  u 2 ( s),
du1 ( x)
du ( x)
d 2 u1 ( x)
d 2 u 2 ( x)
| xs  2
| xs ,
|

| xs
xs
dx
dx
dx 2
dx 2
и разрыва третьей производной:
d 3u1 ( x)
d 3 u 2 ( x)
1
.
|

| xs  
xs
3
3
EI ( s)
dx
dx
Всех этих условий достаточно для
интегрирования в выражениях (7.4) и (7.5).
В результате получим:
К ( x, s ) 
определения
восьми
констант
Г (1) ( x, s,  2 )  G1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s1 ,  2 ) R( s1 )  G1 ( x, s 2 ,  2 ) 2 Г (1) ( s2 , s,  2 ) .
142
Аналогично могут быть получены функции влияния и для других условий
опирания.
Выражения для функций влияния балок с различными условиями опирания
приведены в специальной литературе [15].
Вместе с тем, можно привести примеры таких вариантов опорных условий,
при которых в обычном смысле функции влияния не существуют, точнее, они не
могут быть определены приведенным выше способом. Примерами таких
вариантов являются балка без опор или балка с шарнирной опорой на одном
конце. Понятно, что в обоих случаях балка не только является несущей по
отношению к динамическим нагрузкам, но и деформируется упруго под действием
статической нагрузки, уравновешенной силами инерции ускоренного движения
балки в связанной с ней системе координат. Иначе, можно говорить о несущей
способности таких балок под действием самоуравновешенных нагрузок.
Общий подход к определению функций влияния упругих систем, которые
являются несущими лишь под нагрузками определённого вида, был намечен
М.Д. Дольбергом.
Им показано, что для таких систем можно рассматривать лишь нагрузки р (x ) ,
которые ортогональны функциям возможных перемещений. Для балки длиной l
это условие записывается в виде:
l
 p( x)w( x)dx  0 .
(7.6)
0
Равновесие балки, опёртой одним концом на идеальный шарнир, описывается
уравнением:
d
dw( x)
[ EI ( x)
]  p ( x)
dx
dx
с граничными условиями:
dw( x)
dw( x)
| x 0 
| x l  0 ,
dx
dx
где w( x) 
du ( x)
 производная от линейного перемещения балки.
dx
Интегрируя это уравнение, получим:
x
w( x)  
0
l
dx
p( x)dx  C1 x  C 2 .
EI ( x) 0
Пусть
тогда соотношение
w  1,
самоуравновешенности нагрузки:
(7.6)
вырождается
в
условие
l
 p( x)dx  0 .
0
Это в сочетаниями с граничными условиями даёт С1  0 .
При “cтягивании” нагрузки в точку s получим:
l
dx
 EI ( x)  D , x  s,
1
w( x, s) 
0
l
dx
 EI ( x)  D , x  s.
2
0
143
Значения констант D1 и D2 определяются из условий неразрывности функции
влияния в точке s и опирания балки. В результате для линейных перемещений
функция влияния :
K ( x, s ) 

x x
dx 2
1
0 0 EI ( x)  EI (0) , x  s,
x x
l
l
dx 2
1
dx
dx
0 0 EI ( x)  EI (l ) x  0 [ EI ( x)  0 EI ( x) ]dx, x  s.
7.2.3.Порядок оценки динамических характеристик двигателя с помощью
функций динамической податливости его подсистем
Принцип построения функций динамической податливости составной
системы поясним на следующем примере. Пусть требуется определить функцию
динамической податливости системы Г ( x, s,  2 ) , полученной наложением связи в
точке z по оси x на подсистемы с известными функциями динамической
податливости G1 ( x, s,  2 ) и G2 ( x, s,  2 ) . Связь
типа идеального шарнира
обеспечивает равенство нормальных перемещений подсистем
в точке s1 ,
расположенной на оси x , направление которой совпадает с направлениями осей
подсистем (рис.7.3).
Задача
сводится
к
определению
амплитудных перемещений точек системы под
действием единичной гармонической силы,
приложенной к одной из подсистем (например,
первой) в произвольной точке s .
Рис. 7.3.Система со связью
Перемещение первой подсистемы суммируется
из перемещений от единичной силы и
перемещений от реакции связи R(s1 ,  2 )Sunt . Поэтому амплитудная функция
выражается соотношением:
Г1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s1 ,  2 ) R( s1 ,  2 ) .
Амплитудная функция системы, определённая на второй подсистеме, имеет
вид:
Г 2 ( x, s,  2 )  G2 ( x, s1 ,  2 ) R( s1 ,  2 ) .
Воспользовавшись условием равенства перемещений подсистем в точке связи
s1 , получим:
[G1 (s1 , s1 ,  2 )  G2 (s1 , s1 ,  2 )]R(s1 ,  2 )  G1 (s1 , s,  2 ) .
Отсюда реакция связи:
G1 ( s1 , s,  2 )
R( s1 ,  ) 
.
G1 ( s1 , s1 ,  2 )  G2 ( s1 , s1 ,  2 )
2
Функция динамической податливости составной системы:
144
Г1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s1 ,  2 )
Г ( x, s,  2 ) 
Г 2 ( x, s,  2 )  G2 ( x, s1 ,  2 )
G1 ( s1 , s,  2 )
,
G1 ( s1 , s1 ,  2 )  G2 ( s1 , s1 2 )
G1 ( s1 , s,  2 )
.
G1 ( s1 , s1 ,  2 )  G2 ( s1 , s1 ,  2 )
Выражение верхней строки даёт значение функции динамической
податливости на первой подсистеме, нижней строки – на второй подсистеме.
Уравнением для определения собственных частот составной системы,
полученным из условия разрыва функции амплитудных перемещений по
параметру  2 :
G1 (s1 .s1 ,  2 )  G2 (s1 , s1 ,  2 )  0 .
145
Лекция 7.3. Оценка вибросостояния двигателя
Порядок расчёта колебаний двигателя в целом на примере простейшей модели
Парциальные частоты агрегатов двигателя. Анализ технического состояния двигателя и его
элементов по его виброхарактеристикам
7. 3.1. Оценка динамических характеристик двигателя в целом с помощью
функций динамической податливости его подсистем
Рассмотрим возможность оценки динамических характеристик двигателя на
примере простейшей роторной системы (рис.7.4), состоящей из вала, одну опору
которого можно считать идеальным шарниром, а вторая представляет собой
упругий элемент с жёсткостью к , соединяющий соответствующий конец вала
x  s 2 с упругим инерционным корпусом, схематизированным в виде консольно
защемлённой
балки.
В
точке
с
координатой x  s1 на вал насажен диск массы
m .Эту роторную систему можно представить в
виде трёх подсистем со взаимно наложенными
связями.
Первая подсистема схематизирована ,как
Рис.7.4.Роторная система
балка, одним концом опёртая на идеальный
шарнир и имеющая второй свободный конец.
Функция динамической податливости этой подсистемы - G1 ( x, s,  2 ) . Вторая
подсистема – консольно защемлённая балка с функцией динамической
податливости G2 ( x, s,  2 ) . Третьей подсистемой является диск массы m . Первая
подсистема имеет упругую линейную связь со второй подсистемой в точке s1 и
связь, устраняющую взаимные её перемещения относительно диска в точке s2 .
Динамические характеристики роторной системы будем анализировать,
рассматривая её функцию динамической податливости Г ( x, s,  2 ) от единичной
гармонической силы, приложенной к первой подсистеме в точке s .
Перемещение первой подсистемы суммируется из перемещения от единичной
силы, перемещения от реакции связи со второй подсистемой R(s1 ) и перемещения
от силы инерции диска:
(7.7)
Г (1) ( x, s,  2 )  G1 ( x, s,  2 )  G1 ( x, s1 ,  2 ) R( s1 )  G1 ( x, s 2 ,  2 ) 2 Г (1) (s 2 , s,  2 )m .
Перемещения второй подсистемы происходят от действия реакции связи:
Г ( 2) ( x, s,  2 )  G2 ( x, s2 ,  2 ) R(s 2 ) .
(7.8)
Сила реакции связи зависит от относительного перемещения подсистем в
точке s2 и жёсткости связи к :
R(s 2 )  k[ Г (1) (s 2 , s,  2 )  Г ( 2) ( s 2 , s,  2 )] .
(7.9)
146
Рассматривая соотношения (7.7), (7.8) и (7.9) как систему уравнений
относительно неизвестных Г (1) ( x, s,  2 ), Г ( 2) ( x, s,  2 ) и R(s1 ) , получим:
Г ( x, s. ) 
2
Г (1) ( x, s,  2 ), x  s,
Г ( 2) ( x, s,  2 ), x  s.
Здесь:
Г (1) ( x, s,  2 )  G1 ( x, s,  2 ) 
 [G1 ( x, s1 ,  2 )   2 mG2 ( x, s 2 ,  2 )]
Г ( 2 ) ( x, s ,  2 )  G 2 ( x, s 2 ,  2 )
G1 ( s1 , s,  2 )
G1 ( s 2 , s1 ,  2 )
1  k[G1 ( s1 , s1 ,  2 )  G 2 ( s1 , s1 ,  2 )]   2 mG1 ( s1 , s 2 ,  2 )
1   2 mG1 ( s 2 , s 2 ,  2 )
G1 ( s1 , s,  2 )
G1 ( s 2 , s1 ,  2 )
1  k[G1 ( s1 , s1 ,  )  G2 ( s1 , s1 ,  )]   mG1 ( s1 , s 2 ,  )
1   2 mG1 ( s 2 , s 2 ,  2 )
2
2
2
,
.
2
Спектр частот собственных колебаний определяется из условия разрыва
функции динамической податливости по параметру  2 . Отсюда частотное
уравнение:
G1 ( s 2 , s1 . 2 )
1  k[G1 ( s1 , s1 ,  )  G2 ( s1 , s1 ,  )]   mG1 ( s1 , s 2 ,  )
 0.
1   2 mG1 ( s 2 , s 2 ,  2 )
2
2
2
2
(7.10)
Частоты собственных колебаний сравнительно простой роторной системы,
как это следует из уравнения (7.10), определяются достаточно сложными
зависимостями от динамических свойств подсистем и характера связей между
ними. Однако в определённой мере эти сложные соотношения получены путём
чисто формального подхода к решению задачи. Вместе с тем, предварительный
анализ динамических характеристик подсистем часто значительно упрощает
получение результата.
Формальный подход к упрощению решения задачи состоит в оценке
сравнительного значения членов частотного уравнения (7.10) в интересующем нас
диапазоне частот. Понятно, что пренебрежение малыми членами не должно
существенно сказаться на результатах определения частот собственных колебаний
составной системы, лежащих в выбранном диапазоне, соответствующем
диапазону частот возбуждающих нагрузок. Вместе с тем, формальный подход не
даёт возможности физического анализа динамических свойств системы и поиска
конструктивных возможностей для отстройки системы от опасных резонансов.
Другим более эффективным способом упрощения анализа спектра частот
собственных колебаний является предварительная оценка особенностей
динамических свойств составляющих подсистем. При существенном отличии
значений частот подсистем (так называемых парциальных частот) оказывается
возможным либо пренебречь влиянием той системы, частоты которой выходят за
пределы рассматриваемого диапазона, на динамику составной системы, либо
упростить исходную расчётную схему. Так, например, при попадании лишь одной
частоты второй подсистемы в рассматриваемый частотный диапазон можно
147
заменить эту подсистему с распределёнными
параметрами более простой одномассовой
системой (рис.7.5). В том случае, когда в
диапазон попадает лишь одна частота из
первой подсистемы, можно произвести
дальнейшее упрощение в виде замены
тяжёлого вала невесомым.
Рис.7.5.Упрощённая схема
7.3.2.Анализ технического состояния двигателя и его элементов по
виброхарактеристикам
Рассмотренные выше вопросы анализа динамических характеристик
составных систем создают достаточные предпосылки для использования
виброхарактеристик двигателя для оценки его технического состояния на
резонансном режиме работы.
Под резонансным режимом работы двигателя понимают такое его состояние,
при котором возникают интенсивные колебания на собственной частоте
конструкции двигателя в целом как упругой системы. Возбуждение этих
колебаний происходит под действием центробежных сил неуравновешенного
ротора, которые передаются на подшипники и упругий корпус. Частота
резонансных колебаний двигателя отличается от частоты собственных изгибных
колебаний ротора и других элементов конструкции (парциальных частот
подсистем, составляющих двигатель, как упругую систему). Поэтому
резонансный режим работы двигателя не следует, как это часто бывает, называть
критическим режимом вращения ротора в упругом корпусе или критическим
режимом системы ротор-корпус. Различие этих двух понятий состоит не только в
разнице величин собственной парциальной частоты ротора, определённой даже с
учётом упругости опор, и резонансной частоты двигателя, но и, что существенно,
в характере деформирования элементов конструкции двигателя. Таким образом,
при резонансных колебаниях двигателя не обязательно (при существенном
различии парциальных частот собственных колебаний ротора и корпуса
двигателя) происходит потеря устойчивости ротора, характерная для
критического режима. Вал вращающегося ротора испытывает изгиб от
неуравновешенных центробежных сил. При этом изменения по времени знака
изгибных напряжений и резкого увеличения прогиба вала не происходит, а
остальные элементы конструкции (опоры ротора, корпус и др.) деформируются в
режиме резонансных гармонических колебаний.
Резонансный режим может быть опасным как для элементов конструкции
самого двигателя, так и для летательного аппарата, на который передаются
вибрационные нагрузки от работающего двигателя.
Величина силового воздействия двигателя равна произведению его массы на
вибрационное ускорение точек его крепления к летательному аппарату:
148
P  M дв
d2y
,
dt 2
где M дв  масса двигателя;
y (t )  перемещение точки крепления двигателя по времени.
С этой позиции было бы целесообразно производить экспериментальную
оценку опасности вибросостояния работающего двигателя по замерам характера
d2y
и параметров вибрации, например, виброускорения
в точках крепления
dt 2
двигателя. Но реально это, как правило, неосуществимо из-за конструктивных
трудностей. Поэтому замер вибраций производится в других точках. Эти точки
выбираются из соображений оценки вибронагруженности силовых элементов
конструкции самого двигателя. Обычно точки измерения (так называемые
“силовые пояса”) жёстко связаны с опорами ротора.
Оценка
вибронагруженности
производится
по
коэффициенту
виброперегрузки, представляющему собой отношение амплитудного значения
виброускорения к ускорению земного притяжения на уровне моря:
d2y
|
2 max
K  dt
.
g
При гармонических колебаниях
перемещения в точке измерения равны:
двигателя
на
резонансном
режиме
у  YSin t ,
так называемая виброскорость:
dy
 YCost ,
dt
Виброускорение:
d2y
  2YSin t ,
2
dt
амплитудное значение виброускорения:
d2y
|   2Y .
2 max
dt
Коэффициент виброперегрузки:
K
 2Y
g
.
Допустимые значения коэффициента виброперегрузки:
K  3-5 для двигателей большой тяги,
K  3-7 для двигателей средней тяги,
K  7-14 для двигателей малой тяги,
K  6,5 для турбовинтовых двигателей средней мощности.
Опасность резонансного режима возрастает с приближением его к зоне
рабочих оборотов двигателя, поэтому кроме ограничений по коэффициенту
виброперегрузки, при создании двигателя резонансные частоты выносятся за
149
пределы рабочих режимов. Однако в процессе эксплуатации под воздействием
ряда факторов, приводящих к повреждениям элементов конструкции, например,
при повреждении опор ротора или двигателя, при обрыве лопаток компрессора,
как виброперегрузка, так и резонансная частота могут изменяться. По этой
причине в авиационно-технических базах гражданской авиации предусмотрены
работы по экспериментальной оценке вибросостояния двигателей.
Литература
1. Биргер И.А. Расчёт лопаток на прочность. Руководство для конструкторов.
Вып.2.- М.: ОБОРОНГИЗ, 1955.
2. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. - М.: ОБОРОНГИЗ, 1956.
3. Бицено и Грамель.Техническая динамика. Т. 2. ГТТИ.- М. – Л. ,1962.
4. Бреславский В.Е. Колебания тонких цилиндрических оболочек. Научно –
технические заметки. Вып. 14. Харьков, ХВАИВУ, 1952.
5. Даревский В.М., Карташкин Б.Д. Методика расчёта на прочность и
устойчивость корпусов турбореактивных двигателей. Руководство для
конструкторов. Вып. 5.- М.: ОБОРОНГИЗ, 1956.
6. Кириченко В.И. Расчёт деталей и узлов авиационных газотурбинных
двигателей. Харьков, 1967.
7. Дорошко С.М. Контроль и диагностирование технического состояния
авиационных газотурбинных двигателей по вибрационным параметрам. - М.:
Транспорт, 1984.
8. Иванов В.П. Колебания рабочих колёс турбомашин. - М.: Машиностроение,
1983.
9. Иванов Н.И. Сопротивление материалов. ГИТТЛ. - М.– Л., 1942.
10. Карасёв В.А., Максимов В.П., Сидоренко М.К. Вибрационная диагностика
газотурбинных двигателей.- М.: Машиностроение, 1978.
11. Лозицкий Л.П. и др. Конструкция и прочность авиационных газотурбинных двигателей.- М.: Воздушный трнспорт, 1992.
12. Ляв А. Математическая теория упругости.- М. – Л.: ОНТИ, 1935.
13. Натанзон В.Я. Колебания дисков осевых компрессоров и турбин.
Критические скорости роторов. Руководство для конструкторов. Вып. 1. - М.:
ОБОРОНГИЗ, 1955.
14. Скубачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция
и расчёт деталей. - М.: Машиностроение, 1969 .
15. Умушкин Б.П. Прочность и динамика авиационных газотурбинных
двигателей. -М., 1994.
16. Штода А.В. и др. Конструкция авиационных газотурбинных двигателей.М.: Изд. МО, 1961.
17. Штода А.В. и др. Конструкция авиационных двигателей. Ч.1. - М., 1969.
18. Шорр Б.Ф. Расчёт на прочность естественно закрученных лопаток. Труды
ЦИАМ №356, 1954.
19. Хронин Л.В. и др. Конструкция и прочность авиационных газотурбинных
двигателей. - М., 1989.
150
151