ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК КЛАСС ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
advertisement
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК КЛАСС ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Д.В. Жарков*, Т.И. Кузнецова** *Московский государственный областной университет, Россия e-mail: zharkovdmitri@mail.ru **Центр международного образования МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия e-mail: kuzti45@gmail.com Главное — научить мыслить, рассуждать, доказывать В.А. Садовничий. О математике и о её преподавании в школе Ещё в 1910 году в книге К.Ф. Лебединцева «Курс алгебры» [1] рассматривались две характерные задачи. 1. Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми 600 вёрст, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда; первый проходит в каждый час 48 вёрст, а второй — 32 версты; через сколько часов они встретятся? 2. Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми 648 вёрст, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда; первый движется равномерно со скоростью 30 вёрст в час, а второй со скоростью 42 версты в час. Через сколько часов они встретятся? Проводя сравнительный анализ решений данных задач, автор указывает на то, что «у них данные числа различны и ответы различны, но способы решения одинаковы» (с. 1–2). Далее учащиеся подводятся к выведению общей формулы: «… этого мы достигнем, если условимся каждую входящую букву обозначать не словами русского языка, а латинской азбуки». После этого вводятся обозначения: расстояния между станциями — буква d, скорости первого поезда в час — а, второго — b. В заключение автор добавляет: «Тогда наша общая формула, выражающая способ решения всех подобных задач, примет следующий вид: х = d » (с. 3). ab По мнению К.Ф. Лебединцева, для составления «общих формул» «нужно только помнить, что каждая такая буква в условии есть просто сокращённое обозначение вместо таких, например, выражений: некоторое число аршин сукна, полученная при продаже прибыль и т. д.» (с. 4). Приведём пример класса задач, для «решения которых полезно ставить общие формулы»: Найти площадь прямоугольника, длина которого а единиц (аршин, вёрст, метров), а ширина b таких же единиц. Ответ: х = а · b. Автор пишет, что «эта общая формула даёт возможность находить площадь листа бумаги, куска обоев, каменной плиты, стола, стены и т. д. и может применяться в огромном числе случаев». В этой же книге обращает на себя внимание следующая задача (с. 153): Один лавочник выручает ежемесячно т руб. чистой прибыли, а другой n рублей. В настоящее время капитал первого составляет b рублей, второго а рублей. Через сколько месяцев у них будет поровну денег? Там же приводится решение этой задачи в виде общей формулы. Затем К.Ф. Лебединцев замечает, что «если теперь придавать количествам а, b, т, n различные числовые величины, то значение и смысл ответов будут меняться, и мы поставим себе целью исследовать, какие при этом могут быть различные случаи, и каков их смысл». В качестве иллюстрации этих слов автор решает задачу в целочисленном виде и затем проводит ее исследование в общем виде (табл. 1). Таблица 1. Условия относительно Значение известных величин неизвестного а b m n а b m n а b m n а b m n а b m n а b m n Смысл ответа Искомый момент наступит X>0 после настоящего времени. Искомый момент уже имел X<0 место до настоящего времени Искомый X=0 имеет место в настоящее время Искомый момент не имеет X=∞ места в новое время Искомый а b m n момент X= 0 0 момент имеет место во всякое время Таковы первые попытки выстроить методику обучения текстовым задачам с параметрами (правда, тогда они ещё так не назывались). В соответствии с описанными результатами К.Ф. Лебединцева задачи из данного класса можно разделить на две группы. Первая группа состоит из задач, для решения которых используются общие формулы. В этом случае исследование заключается, как правило, только в выяснении ответа на единственный вопрос: при каких значениях параметров данное выражение имеет смысл, и сводится к составлению ограничений, связанных с выражением, стоящим в знаменателе дроби. Вторая группа имеет в себе признаки первой, а именно, в процессе решения получается ответ в виде общей формулы. Однако здесь необходимо не только найти те значения параметра или параметров, при которых задача не имеет решения, но и провести полное исследование (рассмотреть все возможные случаи). Очевидно, что такое деление (возможно, условное) является целесообразным с точки зрения дифференциации задач данного класса по уровню сложности. Ярким представителем второй группы является «задача о курьерах», появившаяся в книге П. Никульцева, выдержавшей множество изданий (см., например, [2, с. 102]): Два курьера едут по направлению АВ. Один из них проехал через место А на h часов раньше, чем другой – через место В. Определить место и время встречи, зная, что первый курьер проезжает в час v1, а второй v2 вёрст, и что расстояние АВ равно d вёрст. Получив формулы для расстояния до места встречи (пункта С) и для времени встречи, автор рассматривает 9 (!) случаев возможных решений задачи. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что ещё на рубеже XIX–XX веков в связи с бурным развитием практических приложений математики возникла потребность в составлении текстовых задач с параметрами и в разработке методики их решения. Совершенно очевидно, что включение таких задач в школьный учебный процесс способствовало развитию у учащихся математического мышления и вырабатывало у них навык абстрагирования. В дальнейшем выходило в свет множество книг, в том или ином виде содержащих задачи с параметрами. Среди них первой отметим книгу «Упражнения по элементарной алгебре» П. Обера и Г. Папелье [3], вышедшую в нашей стране в 1941 году в переводе с французского Е.С. Березанской и А.О. Зинголь. В этой книге задачи с параметрами подаются неявно и как отдельные элементы, не образуя при этом систему. В 1960 году в издательстве «ФИЗМАТГИЗ» вышла книга Д.К. Фаддеева и И.С. Соминского «Алгебра для самообразования» [4], где в двух параграфах («Уравнения с буквенными коэффициентами» и «Решение систем уравнений первой степени с двумя неизвестными с буквенными коэффициентами»), опять неявно, рассматриваются задачи с параметрами. В первом случае это текстовая задача на движение с исследованием (с. 43), во втором — это решение систем 5ax 7 y a ax y 1 ax y a (с. 191); (с. 192); (с. 498). 2 x y 2 2 x y 2 (9a 2) x 14 y a 2 Не можем обойти и нестандартную формулировку такого задания (с. 497): Подобрать а так, чтобы уравнения x2 + ax – 2a = 0, x2 – 2ax + a = 0 имели общий корень. Далее решается обыкновенная текстовая задача, которая затем преобразуется в следующую текстовую задачу с параметрами (с. 271): Сторона квадрата АВСD равна l см. От его вершин в направлении обхода по часовой стрелке отложены равные отрезки Аа, Вb, Cc, Dd, и точки a, b, c, d соединены прямыми. Площадь квадрата abcd равна s cм2. Определить длину отрезка Аа. Обозначив искомую длину через x, составив соответствующее уравнение 2x2 – 2lx + l2 – s = 0 и найдя общую формулу его решения, авторы выполняют исследование, фактически отвечая на вопрос о существовании решения задачи: при s ≥ l2/2 и при s < l2. Среди отечественных пособий такого плана следует вспомнить серию пособий для углубленного изучения школьной математики И.Х. Сивашинского, вышедших в 1965–68 гг., где тоже, не используя термина «задачи с параметрами», автор предлагает множество соответствующих задач. Приведем примеры: 1. Исследовать уравнение 3cos x cos(α – x) = 2 sin2 x (0 ≤ α ≤ π) (см. № 282 в [5, c. 96, 218]). 2. При каких действительных значениях а неравенство (а2 – 1) х2 + 2(а – 1) + 1 > 0 имеет место при всех действительных х? (см. № 337 в [6, c. 35, 186]). 3. Решить уравнение 3 a x 3 a x 3 b (см. № 137 в [7, c. 18, 112]). Далее, закономерно, что задачи с параметрами подробно обсуждались в пособии по математике для поступающих в вузы Г.В. Дорофеева, М.К. Потапова, Н.Х. Розова [8], вышедшем в 1968 году в издательстве «Наука». А именно, в одном из его заключительных разделов (IV. «Нестандартные» задачи) этим задачам посвящен целый параграф (3), имеющий характерное название: «Задачи, где наиболее существенные трудности — логические» (с. 543–566). Примечательно, что там даётся подробное решение восьми задач с параметрами, семь из которых предлагались на вступительных экзаменах на механико-математический и одна — на физический факультеты МГУ имени М.В. Ломоносова в 1964–1966 гг. Приведём две из них: 1. При каких а уравнение 1 + sin2ax = cos x имеет единственное решение? 2. Найти все значения а и b, при которых система xyz z a 2 xyz z b x 2 y 2 z 2 4 имеет только одно решение (a, b, x, y, z — действительные числа). Перед решением задач авторы характеризуют их как задачи, вообще говоря, повышенной трудности: «Очень серьёзные трудности вызывают обычно уравнения, неравенства и системы уравнений или неравенств с параметрами, в которых требуется найти такие значения этих параметров, при которых выполняются некоторые требования ... Эти задачи являются, пожалуй, наиболее трудными из предлагаемых на экзаменах задач, и именно потому, что они требуют логической культуры — того, чего не хватает большинству поступающих». Из этой цитаты видно, что авторы, в отличие от предыдущих авторов, действительно, уже явно используют термин «параметр». Это относится и к текстам решений задач. Например, решение второй из приведенных выше задач начинается со слов: «Пусть (a, b) — подходящая пара значений параметров…». К сожалению, следует констатировать, что как все 8 решенных задач, так и 11 задач, предложенных для самостоятельного решения, — чисто математические, поэтому вряд ли их можно считать полноценными текстовыми задачами с параметрами. Через два года, в 1970 году, в издательстве «Просвещение» выходит книга В.К. Маркова «Метод координат и задачи с параметрами» [9], в которой отмечается, что «решение таких задач требует от абитуриентов высокой логической культуры и высокой техники исследования». В 1972 году в том же издательстве вышла уже упоминавшаяся книга Г.А. Ястребинецкого «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» [10]. В гл. 3 «Задачи с параметрами» автор обращает внимание читателя на то, что «необходимо чётко формулировать условия, указывающие область определения уравнения (неравенства) и множество допустимых значений параметров» (с. 81). Далее автор приводит 6 текстовых задач с параметрами, из них одна — на сплавы, другая — планиметрическая (связанная с вычислением углов треугольника через тригонометрические функции), ещё две — задачи на движение (в том числе и по окружности) и, наконец, одна задача — на работу (про путешествие туристов). Далее даётся 25 задач разного типа для самостоятельного решения. Затем отметим книгу «Пятьсот четырнадцать задач с параметрами», вышедшую в 1991 году в Волгограде под редакцией С.А. Тынянкина [11], где подчёркивается, что «задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом плане разделом элементарной математики. В очень сильном смысле эти задачи есть индикатор общего владения абитуриентом техникой и логикой математики». В 1993 году в издательстве МЦНМО вышел двухтомник В.В. Ткачука «Математика — абитуриенту» [12]. В аннотации автор откровенно называет его наиболее полным репетиторским курсом для подготовки к вступительным экзаменам любого уровня сложности. В первом томе имеются целые разделы «Текстовые задачи» (с. 164–207) и «Задачи с параметрами» (с. 353–395), претендующие на систематическое изложение. Однако совмещения этих понятий в настоящем пособии нет. В связи с этим нельзя не отметить справочное пособие белорусских авторов В.В. Амелькина и В.Л. Рабцевича «Задачи с параметрами» [13], вышедшее в Минске в 2002 году. Вы писали про первое издание! Оно включает в себя 727 задач с параметрами и предназначено для углубленного изучения математики в средней школе и для подготовки к конкурсным экзаменам в вузы. Подробно разбираемые в пособии и предлагаемые для самостоятельного решения задачи с ответами подобраны, к сожалению, без прямых ссылок на первоисточники, но в соответствии с действующими программами вступительных экзаменов по математике и представляют практически все типы задач с параметрами. В основном, это задачи, которые предлагались абитуриентам МГУ, МФТИ, МИФИ, МВТУ, ЛГУ, НГУ, БГУ, КГУ и других вузов, включались в программы школьных олимпиад, обсуждались на страницах журнала «Квант». Пособие отличается систематичностью изложения. Особенно тщательно разобраны задачи, к которым в ранее изданных книгах давались неправильные решения или ответы. При всей фундаментальности данного труда отметим ещё одно его непререкаемое достоинство, заключающееся в том, что в нём содержится раздел «настоящих» текстовых задач с параметрами (с. 355–364), хотя этих задач там немного — всего 15: 7 — с решениями и 8 — для самостоятельного решения. Среди решённых — 2 задачи на движение, 3 задачи на растворы и 2 задачи на сплавы. В 2000 году в книге Лупашевской В.Ю. и Пукаса Ю.О. «Олимпиадные задачи для ЕГЭ по математике» продолжается линия задач на растворы — дается задача с вступительного экзамена на механико-математический факультет МГУ 1981 г. [14, c. 34, № 4.6]: В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку налито 16 кг, а во вторую – 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в т раз в первой бочке, и в п раз во второй. О числах т и п известно только, что тп=т+п+3. Найти наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе. В 2007 году в издательстве МЦНМО вышла книга А.И. Козко и В.Г. Чирского «Задачи с параметром и другие сложные задачи» [15]. Помимо стандартных сведений, в ней приведены оригинальные методы и приемы решения различных сложных задач с использованием внутрипредметных связей отдельных тем курсов алгебры и геометрии. Большинство разбираемых авторами задач взято, опять же, из вариантов вступительных экзаменов в МГУ, что говорит о том, что они являются яркими представителями класса задач повышенной трудности и вряд ли могут быть использованы при обучении математике в обычных средних школах. Приведём ещё одну текстовую задачу — из книги Тынянкина С.А. и Тырымова А.А. «Подготовка к ГИА и ЕГЭ» [16, c. 91], в которой буквенное задание исходных данных подразумевает исследование, что позволяет нам рассматривать её как задачу с параметром: Бригада специалистов по посадке деревьев должна посадить а деревьев. После того как бригада посадила b деревьев 0<b<а, часть специалистов ушла ловить раков в ближайшем озере, и оставшаяся часть бригады стала каждый час сажать на с деревьев меньше, чем сажала каждый час вся бригада. В результате все деревья были посажены за n часов. Определить d – количество деревьев, которое сажала каждый час бригада, работая в полном составе. Можно отметить ещё несколько пособий последних лет, в которых задачам с параметрами уделялось определенное внимание — это пособия Шахмейстера А.Х. «Уравнения и неравенства с параметрами» [17], Cеменова А.Л. и др. «ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике» [18] (под ред. А.Л. Cеменова и И.В. Ященко), Сергеева И.Н. и Панферова В.С. «ЕГЭ. 1000 задач с ответами и решениями по математике» [19]. К сожалению, как в этих пособиях, так и в ранее более подробно рассмотренных, текстовые задачи с параметрами выступают всего лишь как отдельные элементы разделов с нестандартными задачами, иными словами, как отдельные задачи повышенной трудности. Однако, поскольку уравнения и системы уравнений (с параметрами), «активно участвующие» в классе задач, именуемом «Задачи с параметрами», являются техническим аппаратом для решения соответствующих текстовых задач, резонно заявить о том, что множество текстовых задач с параметрами целесообразно рассматривать и, следовательно, организовывать как подкласс класса «Задачи с параметрами». Педагогическое сообщество определяет ценность этих задач именно тем, что на них учащиеся учатся выстраивать логику решения задач: «Никакие, пусть даже блестящие, чисто технические навыки не принесут успеха, если не понимать логики решения, не думать о законности применения тех или иных преобразований. Это и является самым сложным для поступающих — гораздо труднее увидеть существо дела, чем запомнить и автоматически выполнять некоторые рецепты» [8, с. 7]. Можно с уверенностью утверждать, что именно с помощью этих задач можно приблизиться к решению главной задачи нашего образования, а именно, как сказал ректор МГУ имени М.В. Ломоносова академик В.А. Садовничий, — «не только решать примеры и доказывать теоремы, но и, в более широком смысле, правильно ставить задачи и принимать верные решения, просчитывая их близкие и отдалённые последствия» [20]. Итак, ещё более века назад передовые учёные и учителя-методисты фактически ввели текстовые задачи с параметрами в школьный курс элементарной математики и делали попытки создать методику обучения решению этого класса задач. В современных условиях, когда такие задачи не только включаются в экзаменационные работы, которые предлагаются абитуриентам, стремящимся поступить в престижные вузы, но и могут стать атрибутом наиболее сложной части содержания ГИА и ЕГЭ, эта проблема приобретает особую актуальность и остроту [20]–[23]. ЛИТЕРАТУРА 1. Лебединцев К.Ф. Курс алгебры для средних учебных заведений. Ч.1. – 2-е испр. изд. – Петербург–Киев: Книгоиздательство «Сотрудник», 1910. 2. Никульцев П. Алгебра и собрание алгебраических задач. Курс средних учебных заведений. Ч.1. Теоретический отдел, с приложением курса дополнительного класса реальных училищ. – 10-е изд. – Москва–Петроград: Изд. Т-ва «В.В. Думнов, Наследники Бр. Салаевых», 1917. 3. Обер П. и Папелье Г. Упражнения по элементарной алгебре / Перевод с французского Е.С. Березанской и А.О. Зинголь. – М.: Учпедгиз, 1941. 4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Алгебра для самообразования. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. 5. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики (теория и задачи с решениями). – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 6. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 7. Сивашинский И.Х. Задачи по математике для внеклассных занятий (9–10 классы) / Под ред. В.Г. Болтянского. – М.: Просвещение, 1968. 8. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. 9. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1970. 10. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. – М.: Просвещение, 1972. 11. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами / Под ред. С.А. Тынянкина. – Волгоград: Волгоградская правда, 1991. 12. Ткачук В.В. Математика — абитуриенту. В 2-х томах. – М.: МЦНМО, 1993. 13. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – Мн.: «Асар», 1996. 4. Лупашевская В.Ю., Пукас Ю.О. Олимпиадные задачи для ЕГЭ по математике. – М.: Азбука2000, 2011. 15. Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007. 16. Повторение и контроль знаний. Математика. 4300 конкурсных задач (ответы, указания, решения). 9-11 классы. Подготовка к ГИА и ЕГЭ: Сборник практических задач. Кн. 5 / Авт.-сост. С.А. Тынянкин, А.А. Тырымов. – М.: Планета, 2011. – (Серия «Качество обучения»). 17. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – М.: МЦНМО, 2010. 18. Семенов А.Л. и др. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – (Серия «Банк заданий ЕГЭ»). 19. Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ. 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – (Серия «Банк заданий ЕГЭ»). 20. Садовничий В.А. О математике и её преподавании в школе // Доклад на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ имени М.В. Ломоносова. – Москва, 28 октября 2010 г. 21. Денищева Л., Краснянская К. Результаты исследования TIMSS/ Журнал Математика, янв. 2012 г., с. 9–21. 22. Треть московских школьников на пробном ЕГЭ по математике не смогли решить простейшую задачу. [Электронный ресурс]. – Доступ: www.gazeta.ru/social/news/2012/04/06/n_2279077.shtml 23. Садовничий В.А. Размышления математика о русском языке и литературе // Доклад на Всероссийском съезде учителей русского языка и литературы в МГУ имени М.В. Ломоносова. – Москва, 4 июля 2012 г. Жарков Д.В., Кузнецова Т.И. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК КЛАСС ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Аннотация. Дается обзор учебной математической литературы по текстовым задачам с параметрами — с начала прошлого века и по настоящее время. Определены место и роль данного класса задач в школьном курсе элементарной математики. Ключевые слова: общая формула, параметр, задача с параметром, текстовая задача с параметром, «задача о курьерах». Zharkov D.V., Kuznetsova T.I. PROBLEM SOLVING EXERCISES WITH PARAMETRES AS A CLASS OF INCREASED DIFFICULTY EXERCISES IN THE SCHOOL COURSE OF ELEMENTARY MATHS Abstract: There is an overview of the mathematical studying literature, which are relevant to problem solving exercises with parameters: from the beginning of twentieth century to present time. We have defined the point, the role of this class of exercises in the school course of elementary maths. Key words: general formula, parameter, problem solving exercise with parameter, “the task of the messengers”.
