Document 807632

Алгебра. 2ПО-МИ 4 семестр
Примерные вопросы к экзамену
Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Формулы
Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё. Отношение
высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности
симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование и
единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных
корней, и дискриминант.
Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов.
Результант. Основная теорема о результанте.
Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с двумя
переменными.
Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над
полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе комплексных корней многочлена
с комплексными коэффициентами степени n.
Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о совпадении
чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами
с чётностью степени многочлена.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных корней
многочлена с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах минимального
многочлена.
Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического
элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение поля
является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного
расширения является конечным расширением. Теорема о том, что составное
алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о конечности расширения
P
(
,
1,
n)над полем P , где 1,,n- алгебраические над P элементы.
Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции
угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
Темы для реферативных сообщений.
Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов.
Теорема о мультисекции многочленов.
Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля комплексных чисел.
Базис и ранг конечной системы векторов.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений
ассоциированной с ней однородной системой.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений
однородные системы линейных уравнений.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го порядка.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Тензоры. Операции над тензорами.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых
матриц.
Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости. Правые
смежные классы. Левые смежные классы.
Свойства смежных классов.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе целых чисел
или группе корней степени n из 1.
Поле частных области целостности.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной дроби в сумму
простейших дробей.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Условия разрешимости уравнений 3-й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции
угла. Задачи о построении правильных многоугольников.