Вопросы к коллоквиуму по дисциплине «Геометрия и алгебра»

Вопросы к экзамену по дисциплине «Геометрия и алгебра»
Для студентов 1 курса специальности «Прикладная математика»
1 семестр
1. Декартово произведение множеств. Графики и графы.
2. Отношения эквивалентности. Отображения.
3. Алгебраические операции и их свойства. Примеры.
4. Алгебры. Группы и их свойства. Примеры групп.
5. Кольцо. Примеры и свойства колец.
6. Поле. Примеры и свойства полей.
7. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
8. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного
числа.
9. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня в поле комплексных чисел.
10.Кольцо многочленов над областью целостности (определение, операции, свойства).
11.Теорема о делении с остатком.
12.Делимость многочленов и её свойства.
13.Схема Горнера.
14.НОД многочлена. Алгоритм Евклида.
15.Корни многочлена. Теорема Безу.
16.Приводимые и неприводимые многочлены, свойства неприводимых многочленов.
17.Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей. Каноническое разложение многочлена.
18.Основная теорема алгебры. Приводимость многочленов над полем комплексных чисел.
19.Многочлены над полем действительных чисел.
20.Формулы Виета.
21.Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
22.Разложение многочлена над полем рациональных чисел.
23.Матрица. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
24.Матрицы. Операции сложения и умножения матриц, умножение матрицы на число и их
свойства.
25.Обратная матрица. Условия существования обратной матрицы и её единственность.
Нахождение обратной матрицы (два способа).
26.Перестановки. Инверсия и четность перестановки. Четность и знак подстановки.
27.0пределитель квадратной матрицы и его свойства. Вычисление определителей 2-го и 3го порядков.
28.Минор и алгебраическое дополнение элемента a ik определителя. Теорема о члене произведения a ik Aik .
29.Вычисление определителя n-го порядка. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
30.Система линейных уравнений. Основные понятия. Элементарные преобразования системы.
31.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородные системы линейных
уравнений.
32.Критерий совместности систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.
33.Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом и по
формулам Крамера. Условие существования ненулевых решений однородной системы
линейных уравнений.
34.Векторное пространство. Определение, примеры, свойства.
35.Линейная зависимость конечной системы векторов. Признак линейной зависимости.
36.Базис и ранг конечной системы векторов. Их свойства. Теорема о ранге ступенчатой системы векторов.
37.Базис и размерность векторного пространства. Примеры пространств различной размерности. Координаты вектора в базисе.
38.Связь между координатами вектора в различных базисах.
39.Подпространство линейного пространства. Примеры. Признак подпространства.
40.Пересечение и сумма подпространств.
41.Линейная оболочка системы векторов. Примеры. Теорема. Базис и размерность линейной оболочки.
42.Подпространство решений системы однородных линейных уравнений. Базис и размерность этого подпространства.
43.Линейное многообразие. Определение и примеры линейных многообразий различной
размерности.
44.Изоморфизм линейных пространств. Определение, свойства, теорема.