08-08-03

08-08-03. Умножение вектора на действительное число
1. Рассмотрим связанный вектор a . Сумму a  a называют произведением вектора
a на число 2 и обозначают 2a (рисунок 1).
Если вектор a имеет координаты (m n) , то a  a  (m  n n  n)  (2m 2n) .
Следовательно, координаты вектора 2a получаются умножением на число 2
соответствующих координат вектора a .
Пусть a  OA и 2a  OB (рисунок 2). Тогда точка B получается из точки A
гомотетией с центром O и коэффициентом 2. Иногда говорят, что вектор 2a получается
из вектора a гомотетией с коэффициентом 2.
2. Сумму a  a  a , равную 2a  a , называют произведением вектора на число 3 и
обозначают 3a (рисунок 4).
Координаты вектора 3a получаются умножением на число 3 соответствующих
координат вектора a .
Иногда говорят, что вектор 3a получается из вектора a гомотетией с
коэффициентом 3.
Аналогично определяется умножение вектора a на любое натуральное число n .
Например, 5a  a  a  a  a  a  4a  a .
3. Определение произведения вектора на действительное число.
В предыдущих пунктах мы показали, что при умножении вектора a  (m n) на
натуральное число p выполняется следующее правило:
координаты вектора pa получаются умножением на число p соответствующих
координат вектора a .
Это правило берется за основу при определении произведения вектора на любое
действительное число.
Произведением вектора a  (m n) на число t называется вектор c с координатами
(tm tn) .
Вектор c обозначается ta .
Пример 1. Пусть a  OA  (3 2) и t  1 .
Тогда ta  (1)a  (32)  a  OC (рисунок 6). Таким образом, при умножении
вектора a на число -1 получили вектор, противоположный вектору a .
Пример 2. Пусть a  OA  (5 6) и t  23 . Тогда ta  23 a   103  4   OC (рисунок 6).
4. Геометрическое свойство умножения вектора на число.
Рассмотрим геометрические свойства, связанные с умножением вектора на число.
Пусть a  OA  (m n) . Тогда координаты точки A равны (m n) .
Рассмотрим два случая.
Первый случай. Пусть t  0 . Тогда вектор ta  OB имеет координаты (tm tn) .
Значит, точка B имеет координаты (tm tn) , которые получаются из координат точки A
по формулам гомотетии с центром O и коэффициентом t .
Следовательно, при умножении вектора a на число t  0 получается вектор,
имеющий направление вектора a , длина вектора ta равна t  a  .
Иногда говорят, что вектор ta при t  0 получается из вектора a гомотетией с
коэффициентом t .
Второй случай. Пусть t  0 . Тогда рассмотрим вектор OC  ( m n) ,
противоположный вектору a . Вектор ta  OB имеет координаты (tm tn) . Запишем эти
координаты в следующем виде
tm  (t )  (m)  t  (m)
tn  (t )  (n)  t  (n)
Отсюда следует, что вектор ta  OB получается из вектора OC  a умножением на
положительное число  t  . Поэтому вектор ta имеет такое же направление, как и вектор
a , а длина вектора ta равна  t    a  t    a  .
Следовательно, при умножении вектора a на число t  0 получается вектор,
имеющий направление, противоположное направлению вектора a , и длина вектора ta
равна  t    a  .
5. Коллинеарные векторы. Неколлинеарные векторы. Признак коллинеарности
векторов.
Два вектора OA и OB называют коллинеарными, если точки O , A , B лежат на
одной прямой, и называют неколлинеарными, если точки O , A , B не лежат на одной
прямой.
Векторы a и b коллинеарны в одном из следующих трех случаев:
1) среди векторов a и b имеется нулевой вектор;
2) векторы a и b одинаково направлены;
3) векторы a и b противоположно направлены.
Из предыдущего пункта следует, что векторы a и ta коллинеарны при любом
векторе a и любом числе t . Это свойство можно считать признаком коллинеарности двух
векторов.
6. Докажем следующее важное утверждение, обратное к признаку коллинеарности
векторов из предыдущего пункта.
Если векторы a , b коллинеарны и a  O , то существует такое число t , что
b  ta .
Доказательство. Пусть a  OA и b  OB ,
Первый случай. Точка B совпадает с точкой O . Тогда OB  O  O  OA  O  a  ta ,
где t  O .
Второй случай. Точки A и B лежат на одном луче с началом O (рисунок 9). Тогда
при гомотетии с центром O и коэффициентом t  OB  OA  точка A 30.pcx переходит в
точку B . Если в прямоугольной системе координат xOy точка A имеет координаты
( x1  y1 ) , то гомотетичная ей точка B имеет координаты (tx1 ty1 ) .
Следовательно,
t  OA  t  ( x1 y1 )  (tx1 ty1 )  OB
то есть OB  t  OA , где t  OB  OA  .
Третий случай. Точки A и B лежат на противоположных лучах с началом O
(рисунок 10). Построим вектор OC , равный OA . Тогда точки B и C лежат на одном
луче с началом O , а потому OB  t1  OC , где t1  OB  OC  .
Отсюда получаем
OB  t1  OC  t1  (OA)  (t1 )OA  t2  OA
где t2    OB  OC    OB  OA  .
Пример 3 Пусть точка K расположена на отрезке AB так, что AK  KB  7  3
(рисунок 11). Тогда векторы AK и AB коллинеарны, имеют одинаковое направление и
 AK  AB  7  10 . Поэтому AK  107 AB .
Пример 4. Пусть точка P расположена на продолжении отрезка AB так, что
AP  PB  1  4 (рисунок 12). Тогда векторы AP и AB коллинеарны, имеют
противоположные направления и  AP  AB  1  3 . Поэтому AP   13 AB .
7. Основные свойства умножения векторов на числа.
Умножение вектора на число удовлетворяет следующим основным свойствам:
1 t  ( sa )  (t  s )  a 
2
(t  s )a  ta  sa 
3 t (a  b )  ta  tb 
Опираясь на эти свойства и свойства арифметических операций, можно получать
другие свойства.
8.** Перечисленные в предыдущем пункте свойства нетрудно доказать с помощью
координат.
Например, докажем свойство 3.
Пусть a  ( x1 y1 ) , b  ( x2  y2 ) . Тогда
ta  (tx1  ty1 ) tb  (tx2  ty2 )
a  b  ( x1  x2  y1  y2 )
t (a  b )  (t ( x1  x2 ) t ( y1  y2 ))
Отсюда
t (a  b )  (tx1  tx2  ty1  ty2 ) 
 (tx1 ty1 )  (tx2  ty2 )  t ( x1 y1 )  t ( x2  y2 ) 
 ta  tb 
9. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Возьмем два неколлинеарных вектора OA и OB и рассмотрим сначала любую точку
M плоскости, не лежащую на прямых OA и OB .
Проведем через точку M прямую a параллельно OB (рисунок 14). Так как прямые
OA и OB не параллельны, то прямая a пересечет прямую OA в некоторой точке K , и на
прямой OA получим коллинеарные векторы OA и OK . Из пункта 6. следует, что
найдется такое число x , что
OK  x  OA
Проведем теперь через точку M прямую b параллельно OA (рисунок 15).
Аналогично предыдущему найдем точку L пересечения прямой b с прямой OB и такое
число y , что
OL  y  OB
Изобразив на рисунке 15 построенные векторы OK и OL , получим параллелограмм
OKML . Поэтому вектор OM равен сумме векторов OK и OL . Следовательно,
OM  OK  OL  x  OA  y  OB
Запись вектора OM в виде x  OA  y  OB называется разложением вектора OM по
двум неколлинеарным векторам OA и OB .
Когда точка M лежит, например, на прямой O A (рисунок 16), то разложение
вектора OM по векторам OA и OB получается проще. В этом случае OM и OA
коллинеарны, откуда
OM  x  OA  x  OA  O  x  OA  O  OB
то есть
OM  x  OA  y  OB
где y  0 .
10. Примеры разложений вектора OM по векторам OA и OB , когда точка М
лежит на прямой АВ.
Рассмотрим на примерах некоторые важные случаи разложения векторов.
Пример 5. Пусть точка M — середина стороны BC в треугольнике ABC .
Разложим вектор AM по векторам AB и AC . Для этого проведем MP AB и MQ AC
(рисунок 17). Так как точки P и Q — середины отрезков AC и AB соответственно, то
1
1
AP  AC  AQ  AB
2
2
Поэтому
1
1
AM  AQ  AP  AB  AC
2
2
Пример 6. Пусть точка M лежит на стороне BC в треугольнике ABC и
BM  MC  2  5 (рисунок 17). Разложим вектор AM по векторам AB и BC . Аналогично
предыдущему примеру сначала проведем MP AB . Тогда по теореме Фалеса
AP  PC  BM  MC  2  5 . Откуда AP  AC  2  7 , а поэтому AP  AC .
Затем проведем MQ AC . Тогда по теореме Фалеса AQ  QB  CM  MB  5  2 .
Отсюда
AQ  AB  5  7 ,
а
поэтому
AQ  75 AB .
Следовательно,
AM  AQ  AP  75 AB  72 AC .
Заметим, что в этом примере получаются положительные числовые коэффициенты
при векторах AB и AC , сумма которых равна 1, а отношение 5:2.
Пример 7. Пусть точка M лежит на продолжении стороны BC треугольника ABC
и BM  CM  3  8 (рисунок 18). Разложим вектор AM по векторам AB и BC .
Из условия следует, что BM  BC  3  5 .
Аналогично предыдущим примерам проведем сначала прямую MP параллельно AB
до пересечения с продолжением стороны AC в точке P . Тогда по теореме Фалеса
AP  AC  BM  BC  3  5 . Так как в этом случае векторы AP и AC противоположно
направлены, то AP   53 AC .
Затем проведем прямую MQ параллельно AC до пересечения с продолжением
стороны AB в точке Q . Тогда из подобия треугольников ABC и MBQ получаем
AB  BQ  BC  BM  5  3 . Отсюда AQ  AB  8  5 , а поэтому AQ  85 AB . Следовательно,
AM  AQ  AP 
8
 8
AB     AC
5
 5
Заметим, что в этом примере числовые коэффициенты разных знаков, их сумма
равна 1, а отношение модулей коэффициентов равно 8:3.
11.Допустим, что мы умеем раскладывать векторы a и b по двум некомпланарным
векторам m и n . Тогда нетрудно получить разложение векторов вида ta и a  b .
Пример 8. Пусть точка F — точка пересечения медиан треугольника ABC .
Разложим вектор AF по векторам AB и AC .
Обозначим через M середину стороны BC (рисунок 20). Тогда по свойству медиан
AF  AM  2  3 , а поэтому AF  23 AM . Из примера 1 предыдущего пункта имеем
разложение
1
1
AM  AB  AC 
2
2
Отсюда
AF 
2
21
1
2 1
1
1
 2 1
AM   AB  AC    AB   AC  AB  AC 
3
32
2
3 2
3
3
 3 2
Пример 9. Рассмотрим параллелограмм ABCD . Точка F середина DC . Отрезки
DB и AF пересекаются в точке M .
Разложить вектор AM по векторам AB и AD .
Решение. Треугольник DMF подобен треугольнику ABM с коэффициентом
AF
подобия 2. Поэтому AM
 AMAF1 3 . Прямые MM1 , FF1 параллельны AD .
1
2
AM 1 
Аналогично
AM 2  23 AD
2
21
 1
AF1   AB   AB
3
32
 2
( MM 2
параллельна
AB ).
Следовательно,
AM  AM1  AM 2  13 AB  13 AD .
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется произведение вектора на число?
2. Чему равны координаты вектора ta , если координаты вектора a равны (m n) ?
3. Какие векторы называются коллинеарными?
4. Сформулируйте признак коллинеарности векторов.
3
5. Какое утверждение обратно признаку коллинеарности векторов?
6. Какими свойствами обладает операция умножения вектора на число?
7. Доказать теорему о разложении произвольного вектора на плоскости на два
неколлинеарных вектора.
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте вектор a . Постройте по вектору a вектор:
а) 2a б) ; 3a в) ; 2a г) ; 3a д) ; 12 a е) ;  12 a ;
ж) 12 a з) ;  12 a и) ;
2a к) ;  5a .
2. Нарисуйте на плоскости векторы a и b . Постройте на плоскости вектор:
а) 2a  5b б) ; 3a  2b ;
в) 5a  3b г) ; 13 a  14 b .
3. Нарисуйте на плоскости векторы a , b , c . Постройте на плоскости вектор:
а) a  12 b  c б) ; a  13 b  13 c в) ; 12 a  14 b  14 c .
4. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами:
а) a  (31) , b  (1 4) б) ; a  (3 1) , b  (2 2) ;
в) a  (11) , b   12   14  г) ; a   12  15  , b   32  13  .
Найдите координаты векторов:
2a ; 3b ; 12 a ; 14 b ; 2a ; 5b ; 14 a  13 b ; 16 a  12 b ;
10a  3b
; 11a  17b .
5. В координатной плоскости заданы векторы a , b , c с координатами:
а) a   13  12  , b  (21) , c   12  12  б) ; a  (1 2) , b  (1 3) , c  (3 2) ;
в) a  1 12  , b   13  0 , c   15  12  г) ; a  (1 1) , b  (21) , c  (3 0) .
Найдите координаты векторов:
a  b  c , a  b  c ,  a  b  c , 12 a  b  12 c , 13 a  12 b  12 c , 2a  3b  5c .
6. Даны координаты вектора a :
б) а) (1,3); г) (-3,-2). в) (2,-4); (-1,2);
Найдите координаты вектора, противоположного вектору a .
7. Пусть точка K расположена посередине отрезка AB . Выразите вектор AK через вектор
AB и наоборот, вектор AB через вектор AK . Сравните получившиеся соотношения.
8. Пусть точка K расположена на отрезке AB , AK  KB  2  1 . Выразите вектор AK через
вектор AB и наоборот, вектор AB через вектор AK . Сравните получившиеся
соотношения.
9. Пусть точка K расположена на отрезке AB , AK  KB  1  2 . Выразите вектор AK через
вектор AB и наоборот, вектор AB через вектор AK .
10. Пусть точка K расположена на отрезке AB , AK  KB  2  3 . Выразите вектор AK через
вектор AB и наоборот, вектор AB через вектор AK .
11. Пусть точка K расположена на отрезке AB , и AK  KB  m  n , где m и n —
натуральные числа. Выразите вектор AK через вектор AB и наоборот, вектор AB через
вектор AK .
12. Точка P расположена на продолжении отрезка AB , так что AP  BP  1  2 . Выразите
вектор AK через вектор AB и наоборот, вектор AB через вектор AK .
13. Точка P расположена на продолжении отрезка AB , так что AP  BP  2  3 . Выразите
вектор AK через вектор AB .
14. Точка P расположена на продолжении отрезка AB , так что AP  BP  5  2 . Выразите
вектор AK через вектор AB .
15. Пусть точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и CM  MB  1  2 . Разложите
вектор AM по векторам AB и AC .
16. Пусть точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и CM  MB  2  3 . Выразите
вектор AM через векторы AB и AC .
17. Пусть точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и CM  MB  m  n , где m и n
— натуральные числа. Выразите вектор AM через векторы AB и BC .
18. Пусть точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и CM  BC  1  3 . Выразите
вектор AM через векторы AB и AC .
19. Пусть точка M лежит на продолжении стороны BC треугольника
MB  MC  1  2 . Выразите вектор AM через векторы AB и AC .
ABC
и
20. Пусть точка M лежит на продолжении стороны BC треугольника
MB  MC  2  3 . Выразите вектор AM через векторы AB и AC .
ABC
и
21. Пусть точка M лежит на продолжении стороны BC треугольника
MB  MC  3  2 . Выразите вектор AM через векторы AB и AC .
ABC
и
22. Пусть точка M лежит на продолжении стороны BC треугольника ABC и
MB  MC  1  3 . Выразите вектор AM через векторы AB и AC и вектор AB через
векторы AM и AC .
23. Пусть точка F — середина медианы AM треугольника ABC . Выразите вектор AF
через векторы AB и AC .
24. Пусть точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2, считая от
вершины B . Точка F — середина отрезка AM . Выразите вектор AF через векторы AB
и AC .
25. Основания AB и CD трапеции ABCD относятся как 2:1 ( AB  CD  2  1) . Точка O –
пересечение диагоналей трапеции AC и BD . Выразите вектор AO через векторы AD и
AB .
26. Решить задачу 26 при условии, что:
а) AB  CD  3  2 ; б) AB  CD  5  2 ;
в) AB  CD  m  n , где m  n ; г) AB  CD  m  n , где m  n .
27. Докажите, что точки A(1 2) , B(21) , C (3 0) лежат на одной прямой.
28. Докажите, что точки A(3 3) , B(1 7) , C (111) лежат на одной прямой.
29. Докажите, что точки A(2 4) , B (3 7) , C (1 1) лежат на одной прямой.
2
OM t  (t  2t  t t ) г)
; OM t  (t 2  2t  t  t ) .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 1 к). Указание. Пусть a  AB . Для построения отрезка, длина которого равна
5   a  , можно построить вспомогательный прямоугольный треугольник MNK , у
которого катеты MN и NK имеют длины  AB  и 2  AB  . После этого для решения
задачи надо построить окружность с центром A и радиусом, равным MK , и найти точку
пересечения этой окружности с лучом BA .
Задача 2. Указание. Для построения вектора, равного, например вектору
3  b , посмотрите указание к задаче 1.
Задача 11. Указание. Из условия AK  KB  m  n следует, что AK  AB 
 m  (m  n) . Так как лучи AK и AB совпадают, то AK  mmn  AB .
Задача 24.
Указание.
Имеем
BM  13 BC  13 AC  13 AB ,
BC  AC  AB ,
AM  AB  BM  23 AB  13 AC , AF  12 AM  13 AB  16 AC (рис. 3).
Задача 25.
Указание.
Из
AOB
подобия треугольников
следует что AO:OC=BO:OD=2:1  Далее можно решать двумя способами
Первый способ. AO  23 AC  23 ( AD  DC ) 
2
3
 AD 
1
2
и DOC

AB  23 AD  13 AB .
Второй способ. AO  AD  DO  AD  13 DB  AD  13 ( AB  AD)  23 AD  13 AB .
Задача 27. Докажите, что точки A(1 2) , B(21) , C (3 0) лежат на одной прямой.
Указание. Вычисляя координаты векторов AB и AC получаем: AB  (11) ,
AC  (22)  2  (11)  2  AB . Отсюда следует, что векторы AB и AC коллинеарны.
Это означает, что точки A , B , C лежат на одной прямой.
Аналогично решаются задачи 28 и 29.