Urok3

Класс 10. Модуль 08. Геометрический подход к
определению касательной
Урок 3. Примеры касательных
План урока
1. Построение касательных к параболе y  12 x 2
2. Касательные к параболе y  ax 2
3. Касательные к гиперболе
4. Касательные к эллипсу
5. Касательные к параболе n-ой степени
6. Касательные к графику функции y  a n x
7. Сохранение свойств касательных при параллельном переносе
Тесты
Домашнее задание
1. Построение касательных к параболе y  12 x 2
Общие принципы, изложенные в предыдущем параграфе, можно применить к изучению
касательных для некоторых кривых
Рассмотрим сначала параболу с уравнением y  12 x 2 и на ней точку A(2 2) . Найдем
угловой коэффициент касательной в этой точке по правилу из пункта 2.3. Соединим точку
A с произвольной точкой P( x y ) на данной кривой и вычислим угловой коэффициент
прямой AP :
1 2
y  y0 y  2 2 x  2 ( x  2)( x  2)




x  x0 x  2
x2
2( x  2)

x  2 ( x  2)  4
1

 2  ( x  2)
2
2
2
Теперь нетрудно заметить, что число k  2 удовлетворяет определению углового
коэффициента касательной. В самом деле, возьмем два произвольных значения k1  2 ,
k2  2 и положим    min(2  k1 k2  2) . Приближая точку P к точке A , можно сделать
величину  x  2  сколь угодно малой. В частности, для всех близких P и A можно
обеспечить неравенство
1
  ( x  2)   
2
Но тогда
y2
1
 2  ( x  2)  2    2  (2  k1 )  k1
x2
2
y2
1
 2  ( x  2)  2    2  (k2  2)  k2 
x2
2
Значит, угловой коэффициент прямой AP попадает в интервал
Вопрос. Как доказать, что все точки графика функции y  12 x 2 лежат выше касательной
y  2  2( x  2) ?
2. Касательные к параболе y  ax 2
Рассмотрим теперь параболу с уравнением y  ax 2 . Пусть A( x0  y0 ) — фиксированная
точка параболы. Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке по правилу из
пункта 2.3. Соединим A с произвольной точкой P( x y ) на данной кривой и вычислим
угловой коэффициент прямой AP :
y  y0 ax 2  ax02 a( x  x0 )( x  x0 )


 a( x  x0 )  2ax0  a( x  x0 )
x  x0
x  x0
x  x0
Здесь также нетрудно заметить, что число k  2ax0 удовлетворяет определению углового
коэффициента касательной. В самом деле, возьмем два произвольных значения k1  k ,
k2  k и положим
  min(k  k1 k2  k )
(7)
Приближая точку P к точке A , можно сделать величину  x  x0  сколь угодно малой. В
частности, для всех близких P и A будет обеспечено неравенство   a( x  x0 )   . Но
тогда
y  y0
 k    k  (k  k1 )  k1
x  x0
y  y0
 k    k  (k2  k )  k2 
x  x0
Значит, угловой коэффициент прямой AP попадает в интервал
(k1  k2 ) и определение касательной из пункта 2.3 выполняется.
Таким образом, прямая, проходящая через точку ( x0  y0 ) с угловым коэффициентом 2ax0 ,
действительно касается параболы y  ax 2 . Согласно формуле (3) предыдущего параграфа,
уравнение такой прямой имеет вид
y  y0  2ax0 ( x  x0 )
Вопрос. Могут ли две различные касательные к параболе быть параллельны?
3. Касательные к гиперболе
Найдем касательные к гиперболе с уравнением xy  a , где a  0 . Так как гипербола
состоит из двух симметричных ветвей, то достаточно рассмотреть только одну из них,
например ту, которая расположена в полуплоскости x  0 .
Пусть точки A( x0  y0 ) и P( x y ) лежат на выбранной ветви гиперболы, то есть x0  0 ,
x  0 . Вычислим угловой коэффициент прямой AP :
y  y0
a ( x0  x)
a



x  x0 xx0 ( x  x0 )
xx0
Когда точка P приближается к A , ее абсцисса x становится сколь угодно близкой к x0 , а
вся дробь  xxa0 стремится к k  a x02 . Покажем, что так оно и есть, аккуратно проверив
определение из пункта 2.3.
Снова выберем два числа k1  k , k2  k и зададим величину  формулой (7). Заметим, что
a( x  x0 )
a
a  a
a 
k

  2   2 


xx0
x0  x0 xx0 
xx02
Если значения x и x0 достаточно близки, то x  x0  2 . Для всех таких x справедливо
неравенство
a( x  x0 ) 2a( x  x0 )


xx02
x03
Еще уменьшив, если это необходимо, расстояние между x и x0 , можно добиться того,
чтобы выполнялось неравенство
2a( x  x0 )
 
x03
Тогда для всех достаточно близких к A точек гиперболы получим
y  y0
a( x  x0 )
k
 k    k  (k  k1 )  k1
x  x0
xx02
y  y0
a( x  x0 )
k
 k    k  (k2  k )  k2 
x  x0
xx02
Следовательно, число k удовлетворяет определению углового коэффициента
касательной, а уравнение касательной к выбранной ветви гиперболы имеет вид
a
y  y0   2 ( x  x0 ) 
x0
Вопрос. Каково уравнение касательной к ветви гиперболы, расположенной в
полуплоскости x  0 ?
4. Касательные к эллипсу
Рассмотрим еще одну известную нам кривую — эллипс с уравнением
x2 y 2

 1 a  0 b  0
a 2 b2
Ось абсцисс делит эллипс на две симметричные части, лежащие в полуплоскостях y  0 и
y  0 соответственно. Уравнение верхней половины имеет вид
b 2
y
a  x 2   x  a
a
Выберем на этой половине точку A( x0  y0 ) и найдем уравнение касательной в данной
точке.
Пусть P( x y ) — другая точка верхней половины эллипса. Угловой коэффициент
прямой AP равен
y  y0
y 2  y02
x02  x 2
b2
b2 x  x0

 2
 2 

x  x0 ( x  x0 )( y  y0 ) a ( x  x0 )( y  y0 )
a y  y0
Если точка P приближается к A , то ее координаты x и y стремятся соответственно к x0
и y0 , а угловой коэффициент прямой AP стремится к числу
k 
b 2 x0

a 2 y0
Число k является искомым угловым коэффициентом касательной в точке A . В самом
деле, после несложных преобразований находим
y  y0
b2  x0 ( y  y0 )  y0 ( x  x0 )  b 2  x0 ( y  y0 )  b 2 y0  x  x0 
k 
 2


x  x0
a 2 y0 ( y  y0 )
a y0 ( y  y0 ) a 2 y0 ( y  y0 )
Снова возьмем k1  k , k2  k , а величину  определим по формуле (7). Для всех точек P ,
достаточно близких к A , можно одновременно удовлетворить трем неравенствам
y  y0  y0  2b 2  x0 ( y  y0 )  a 2 y02  2b 2  x  x0  a 2 y0 
При этом
b2  x0 ( y  y0 )  a 2 y02 
b 2 y0  x  x0  y0 a 2 y0 




 
a 2 y0 ( y  y0 )
2 y02
2 a 2 y0 ( y  y0 )
2 y02
2
Как и в предыдущих пунктах, отсюда вытекает, что угловой коэффициент прямой AP
попадает в интервал (k1  k2 ) , а это и требуется доказать. Таким образом, уравнение
касательной к эллипсу в точке ( x0  y0 ) с положительной ординатой имеет вид
y  y0  
b 2 x0
( x  x0 ) 
a 2 y0
Вопрос. Каково уравнение касательной к эллипсу с уравнением
абсциссой x0  4 и с положительной ординатой?
x2
25

y2
9
 1 в точке с
5. Касательные к параболе n-ой степени
При помощи известной формулы
n
a n  b n  (a  b) a n  k b k 1
(8)
k 1
можно найти уравнения касательных еще к нескольким замечательным кривым. В этом
пункте рассмотрим параболу n -й степени y  ax n при натуральном n  2 .
Пусть точки A( x0  y0 ) и P( x y ) лежат на этой параболе. Используя формулу (8),
вычислим угловой коэффициент прямой AP :
n
y  y0 a( x n  x0n )

 a x n k x0k 1
x  x0
x  x0
k 1
Когда точка P приближается к точке A , каждое слагаемое получившейся суммы
стремится к x0n 1 , а вся сумма – - к nx0n 1 . Это значит, что величина
n
a x n k x0k 1  anx0n 1
k 1
становится сколь угодно малой, как только точки P и A достаточно близки.
anx0n 1
Если
значение
принадлежит
какому-нибудь
промежутку
(k1  k2 ) , то при всех P , близких к A , угловой коэффициент прямой AP попадет в этот же
промежуток. Но тогда по определению из пункта 2.3 число anx0n 1 будет угловым
коэффициентом касательной в точке A . Таким образом, уравнение касательной к
параболе степени n имеет вид
y  y0  anx0n 1 ( x  x0 ) 
Вопрос. Как выглядит приведенное в этом пункте доказательство при n  5 ?
6. Касательные к графику функции y  a n x
Рассмотрим функцию y  a n x при натуральном n , считая, что x  0 . Пусть точки
A( x0  y0 ) и P( x y ) лежат на графике этой функции. Вновь обращаясь к формуле (8),
получаем
n
y  y0 a n ( y  y0 )
n
 n

a
y n k y0k 1

n
x  x0
( y  y0 )
k 1
Если точка P приближается к A , то знаменатель этой дроби стремится к ny0n 1 , а вся
дробь — к значению
an
a
a  n 1n



 x0 

ny0n1 n n x  n1 n 

0 


Рассуждая, как и в предыдущем пункте, заключаем, что это число является угловым
коэффициентом искомой касательной, а уравнение касательной имеет вид
1 n
a

y  y0   n x0  ( x  x0 ) 

n
Вопрос. Какое уравнение имеет касательная к графику функции y  3 x в точке
A(1 1) ?
7. Сохранение свойств касательных при параллельном переносе
Пусть l — касательная к некоторой кривой K в точке A . Рассмотрим произвольный
параллельный перенос плоскости. Через K  , l  и A обозначим кривую, прямую и точку,
в которые переходят при этом переносе K , l и A соответственно. Покажем, что прямая
l будет обязательно касаться кривой K  в точке A .
Возьмем какой-нибудь вертикальный угол с вершиной A , целиком содержащий l  . Пусть
прямые l1 и l2 — стороны этого угла. Обозначим через l1 и l2 две прямые, которые
переходят соответственно в l1 и l2 при данном параллельном переносе.
Согласно свойствам параллельного переноса прямые l1 и l2 образуют вертикальный угол
с вершиной A , целиком содержащий касательную l к кривой K . По определению
касательной внутри этого угла будут лежать все точки кривой K , близкие к A . Например,
все точки, удаленные от A менее, чем на расстояние r . Но тогда, вновь обращаясь к
свойствам параллельного переноса, заключаем, что все точки кривой K  , удаленные от A
менее, чем на r , лежат внутри исходного вертикального угла со сторонами l1 и l2 . Таким
образом, прямая l  удовлетворяет определению касательной к кривой K  .
Установленное свойство позволяет легко найти уравнение касательной к кривой K  , если
известно уравнение касательной к кривой K . Предположим, что кривая K задана
уравнением y  f ( x) , точка A имеет координаты ( x0  y0 ) , а y  y0  k ( x  x0 ) —
уравнение касательной l . Если начало координат переходит при данном параллельном
переносе в точку (a b) , то координаты точки A будут равны ( x0  a y0  b) , уравнение
кривой K  примет вид y  b  f ( x  a) , а уравнение прямой l  превратится в уравнение
y  ( y0  b)  k ( x  ( x0  a)) 
Пример 1. Рассмотрим параболу y  2 x 2  4 x  5 и точку A(0 5) на ней. Уравнение этой
параболы записывается в виде y  3  2( x  1)2 . Следовательно, данная парабола
получается из параболы y  2 x 2 в результате параллельного переноса на вектор (1;3). При
этом точке A соответствует точка А(-1;2).
Уравнение касательной в точке A к параболе y  2 x 2 имеет вид y  2  4( x  1) . Значит,
уравнением касательной к исходной параболе в точке A будет y  5  4 x .
Пример 2. Найдем касательную к гиперболе y  2xx11 в точке A(2 5) .
Данное уравнение можно переписать в виде y  2  x31 , поэтому исходная гипербола
получается параллельным переносом на вектор (1 2) из гиперболы с уравнением xy  3 .
При этом точке A соответствует точка A(1 3) . Уравнение касательной в точке A к
гиперболе xy  3 было найдено ранее: y  3  3( x  1) . Но тогда уравнением искомой
касательной будет y  5  3( x  2) .
Вопрос. Каково уравнение прямой, касающейся параболы y  2 x 2  4 x  5 в ее вершине?
Проверь себя. Касательная.
Задание 1.Выбрать из предложенных ответов правильные. Правильных ответов
может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
На координатной плоскости изображена окружность x 2  y 2  2 . Какие из перечисленных
прямых являются касательными к этой окружности:
1. x  y  2
2. x  y  2  0
3. x  y  2
4. x  y  2  0
Ответ: 1, 2, 3, 4.
К каким из указанных кривых можно провести параллельные касательные
1. xy  1
2. x 2  y 2  1
3. y  x 2
4. y  x3
Ответ: 1, 2, 4.
На координатной плоскости изображена окружность x 2  y 2  25 .
перечисленных прямых являются касательными к этой окружности:
1. y  5
2. x  y  5 2  0
3. y  5
4. x  y  5  0
Ответ: 1, 2, 3.
Какие
из
2
Дан эллипс x4  y9  1 . Указать, какие из перечисленных ниже прямых является
касательными к этому эллипсу.
1., y  x  13
2. x  4
3. y  3
2
4. y   x  13
Ответ: 1, 3, 4.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы
Касательная к параболе y  3x 2 в точке А(2, 12) пересекает ось Oy в точке:
1. y  -2
2. y  -6
3. y  -12
4. y  -24
Ответ: 3.
Касательная к графику функции y 
4
в точке с абсциссой x0  3 пересекает ось Ox в
x
точке:
1. 4
2. 12
3. 15
4. 24
Ответ: 3.
При каком х касательная к параболе y  2 x 2 перпендикулярна прямой 2 y  x  3  0
1. x  1
1
2. x 
2
1
3. x 
4
1
4. x 
8
Ответ: 2.
Угол между касательными к графику функции y  x 2  1 в точках с абсциссами
x  1 è x  1 равен:
1. 2arctg 2
1
2. arctg
2
3. arctg 2
1
4. 2arctg
2
Ответ: 4.
Домашнее задание
1. Составить уравнение касательной к параболе y  ax 2 в точке с абсциссой x0 , если:
б) a  3 x0  2 ;
г) a   12  x0  3 ;
а) a  2 x0  3 ;
в) a  1 x0  3 ;
д) a  14  x0  2 2 .
2. Найти точки пересечения осей координат и касательной, проведенной к параболе
y  ax 2 в точке с абсциссой x0 , если:
а) a  1 x0  2 ; б) a  2 x0   32 
3*. Касательная к параболе y  ax 2 в точке A пересекает ось Ox в точке B и ось Oy в
точке C . Доказать, что AB  BC
4*. Через точку A параболы y  ax 2 проведена касательная l . Доказать, что середины
отрезков, отсекаемых параболой на прямых, параллельных l , лежат на луче с вершиной
A.
5**. Найти множество всех точек M таких, что проведенные через них две касательные к
параболе y  x 2 взаимно перпендикулярны.
6. Составить уравнение касательной к графику функции y  ax в точке с абсциссой x0 ,
если:
а) a  3 x0  32 
в) a  2 x0  8
д) a  5 x0  5
б) a  2 x0   14 
г) a  5 x0  10
е) a  3 x0   13 
7. Найти точки пересечения с осями системы координат касательной, проведенной к
графику функции y  ax в точке с абсциссой x0 , если: а) a  4 , x0  1 б) a  2 , x0  6 .
8*. Касательная, проведенная к гиперболе xy  a в точке A , пересекает ось Ox в точке B
и ось Oy в точке C . Доказать, что: а) AB  AC ; б) площадь треугольника OBC не
зависит от выбора точки A на этой гиперболе.
x2 y 2
9*. Составить уравнение касательной к эллипсу 2  2  1 в точке A с абсциссой x0 ,
a
b
если:
а) a  2 , b  3 , x0  1 и ордината точки A положительна;
б) a  4 , b  1, x0  2 3 и ордината точки A отрицательна.
2
10**. Составить уравнения касательных к эллипсу x4  y9  1 , которые параллельны
прямой y  x .
11**. Через точку M эллипса с фокусами F1 и F2 проводится касательная l . Доказать,
что прямые F1M и F2 M образуют равные углы с касательной l . Для примера рассмотреть
2
эллипс
x2
9

y2
8
 1 с фокусами F1 (1 0) и F2 (1 0) .
12*. Составить уравнение касательной к графику функции y  ax в точке с абсциссой
x0 , если:
а) a  1 , x0  4 ; б) a  2 , x0  2 ; в) a  8 , x0  2 .
13. Составить уравнение касательной:
а)  к параболе y  5  2( x  1)2 в точке с абсциссой x0  3 ;
б)  к параболе y  4  ( x  3) 2 в точке с абсциссой x0  5 ;
в)  к параболе y  x 2  x  1 в точке с абсциссой x0  2 .
14. Составить уравнение касательной:
а)  к гиперболе y  1  x 2 2 8 в точке с абсциссой x0  3 ;
б)  к гиперболе y  5  x 2 3 8 в точке с абсциссой x0  1 ;
в)  к гиперболе y  72x 6 2x в точке с абсциссой x0  2 .
Рисунки (названия файлов)
Без рисунков