

(Класс 11, модуль XI, урок 2)
Урок 2. Общее, определение периодической функции
План урока




2.1. Определение периодической функции
2.2. Основной период
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
сформулировать общее определение периодической функции, рассмотреть
примеры не всюду определенных функций, которые обладают основным
периодом.
1.1. Определение периодической функции
Функция tgx определена лишь для чисел x  2   n (n  Z ) Поэтому
тождество
(x   )  x
верно только для всех значений x из области определения функции x .
Приведенный пример показывает, что общее определение периодической
функции должно учитывать ее область определения.
Определение. Функция f ( x) с областью определения D называется
периодической, если существует такое число T  0 , что для всякого числа x
из D числа x  T и x  T также принадлежат области D и выполняется
равенство
f ( x  T )  f ( x)
Число T в этом определении называется периодом функции f ( x )
Заменяя в предыдущем равенстве x на x  T  получим также
f ( x  T )  f ( x)
Поэтому если функция f ( x) имеет период T , то число ( T ) также является
периодом этой функции.
Отметим, что число нуль не считают периодом функции. Периодическая
функция должна иметь ненулевой период.
Вопрос. Может ли быть периодической функция с областью определения
D  ( 0)  (0)
2.2. Основной период
Наименьший положительный период функции, если он существует,
называется основным периодом.
Теорема. Функция tgx обладает основным периодом, равным  .
Доказательство. Область определения D функции tgx состоит из чисел,
отличных от чисел вида 2   n (n  Z ) Поэтому если число x
принадлежит этой области, то числа x   и x   тоже принадлежат
области D и выполняется равенство
tg ( x   )  tgx
Таким образом, число  есть период для tgx
Пусть T — произвольный положительный период тангенса. Тогда для всех
чисел x из области D
tg ( x  T )  tgx
Поскольку число 0 принадлежит области D , то, полагая x  0 получим
равенство
tgT  tg 0  0
Но для T  0 это возможно лишь при T    T  2  T  3 и так далее.
Наименьшим из таких чисел является T    Поэтому основной период
функции tgx равен  
Вопрос Чему равен основной период функции tg 2 x
Проверь себя. Общее, определение периодической функции
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
x
При каком из указанных значений x значение tg
не определено?
2
 1. 2
 2. 2,5
 3. 3
 4. 3,5
(Правильный вариант: 3)
При каком из указанных значений x значение ctg
 1. 1
 2. 1,5
 3. 2
 4. 2,5
2 x
не определено?
3
(Правильный вариант: 2)
Какoе из указанных чисел не является периодом функции f ( x)  tg
 1. 2
 2. 32
 3. 43
x
?
2
 4. 84
(Правильный вариант: 3)
Какое из указанных чисел не является периодом функции f ( x)  ctg
 1.
 2.
 3.
 4.
6
28
39
72
(Правильный вариант: 2)
x
?
3
Проверь себя. Общее, определение периодической функции
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных чисел являются периодом функции f ( x)  tg 3x ?

 1.
6

 2.
3
 3. 
5
 4.
6
(Правильные варианты:2, 3)
Какие из функций имеют период T  2 ?
x
 1. ctg
2
x
 2. tg
3
 3. ctg 2 x
 4. tg 3x
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Какие из указанных чисел являются периодом функции f ( x)  ctg

2
 2. 
 3. 2
 4. 4
(Правильные варианты:3, 4)
 1.
x
?
2
Какие из функций имеют период T  
 1.
 2.
 3.
 4.

2
?
tg 2 x
ctg 3x
tg 4 x
ctg 6 x
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Домашнее задание
1. Найдите область определения и основной период функции:
а) tg 2 x ;
б) tg x ;
в) tg 2x ;
г) tgx  ctgx
2. Какие из функций являются периодическими:
а) sin 1x ;
б) sin1 x ;
sin x
в)
;
x
г) sin x  tgx
3. Докажите, что основной период для функции ctgx равен  .
4. Докажите, что число  не является периодом функции sin x  tgx
Словарь терминов
f (x) , определенная на
Периодическая функция. Функция
множестве D, называется периодической, если существует число
T  0 такое, что при всех действительных x  D числа x  T и x  T
принадлежат D, и выполняется равенство f ( x  T )  f ( x) .
Период функции. Число T  0 из определения периодической
функции называется ее периодом.
Основной период. Наименьший положительный период периодической
функции.
Рисунки (названия файлов)
Нет