С О Д Е Р Ж А Н И Е 1

СОДЕРЖАНИЕ
1
Введение ……………………………………………………….. 2
2
Перечень умений (дифференциальное исчисление)................ 3
3
Тренинг умений (дифференциальное исчисление).................. 5
4
Глоссарий (дифференциальное исчисление)............................ 12
5
Перечень умений (интегральное исчисление).......................... 16
6
Тренинг умений (интегральное исчисление)........................... 18
7
Глоссарий (интегральное исчисление)...................................... 23
8
Литература……………………………………………………… 25
1
«Каждому, кто хоть когда-нибудь
изучал математические теории, знакомо
то неприятное чувство, когда … вдруг осознаешь,
что ровным счетом ничего не понял …»
Альберт Эйнштейн
ВВЕДЕНИЕ
Общий курс математики является фундаментом математического
образования специалиста любого профиля. Цель преподавания математики в
колледже для студентов заочной и очно-заочной (вечерней) форм обучения ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого
для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение
самостоятельно изучать учебную литературу по данной дисциплине и ее
приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень
математической
культуры;
выработать
навыки
математического
исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на
математический язык.
Настоящее методическое пособие предназначено в помощь студентам
заочной и очно-заочной (вечерней) форм обучения специальностей 190604
«Техническое обслуживание и ремонт автомобилей» и 190701 «Организация
перевозок и управление на транспорте»
для самостоятельного освоения
основными практическими умениями по одному из разделов рабочей
программы «Дифференциальное и интегральное исчисление».
Пособие состоит из перечня умений, которыми должны овладеть
студенты по данным специальностям, заданий для закрепления умений
(тренинги) в соответствии с алгоритмом и глоссария, предназначенного для
самостоятельного заучивания новых понятий. Также включены задания на
каждое умение для самостоятельного решения. В заключении указан список
основной и дополнительной литературы для углубленного изучения данного
раздела.
2
ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ
Дифференциальное исчисление
№
Умение
п/п
1. Найти производную функции
y  f (x) , используя правила и
формулы дифференцирования.
Вычислить значение
производной в точке с
абсциссой x  x0
2. Написать уравнение касательной
к кривой y  f (x) в точке с
абсциссой x  x0
Алгоритм
1. Использовать правила дифференцирования.
2. Использовать таблицу основных формул
дифференцирования.
3. Вычислить значение производной y  в
точке x  x0
1. Вычислить значение функции
y0  y( x0 ) в точке x  x0
2. Вычислить значение производной y   y (x)
в точке x  x0
3. Написать уравнение касательной
y  y0  y ( x0 )( x  x0 )
3.
Найти производную сложной
функции y  f ( ( x)) . Вычислить
значение производной в
заданной точке x  x0
1. Выписать сложные функции, входящие в
данную.
2. К каждой из выделенных сложных функций
применить правило дифференцирования
сложной функции
( f ( ( x)) 
4.
Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции y  f (x)
df d

d dx
3. Записать производную данной функции,
используя правила дифференцирования.
4. Подставить значение x  x0 в полученное
выражение производной
1. Найти область определения функции (ООФ)
2. Найти производную данной функции.
3. Найти критические точки кривой (точки,
где y (x) равна нулю или не существует).
4. Отметить на числовой оси найденные точки.
5. Определить знаки производной y  в каждом
из полученных интервалов.
6. Выписать интервалы монотонности
функции, воспользовавшись достаточным
условием: при y   0 - функция убывает,
при y   0 - возрастает. Интервалы должны
принадлежать области определения функции.
7. Определить точки экстремума функции,
используя достаточное условие экстремума:
если при переходе слева направо через
3
5.
Найти наибольшее и
наименьшее значение функции
на отрезке a, b
6.
Найти точки перегиба функции
и характер выпуклости
критическую точку, в которой функция
определена, производная y  меняет знак с
минуса на плюс, то в этой точке имеет
минимум (min). Если же при переходе через
критическую точку y  меняет знак с плюса на
минус, то в этой точке функция имеет
максимум (max).
1. Найти производную данной функции.
2. Найти критические точки кривой (точки, где
y (x) равна нулю или не существует).
3. Выписать критические точки,
принадлежащие отрезку a, b .
4. Вычислить значения функции y в этих
точках.
5. Вычислить значения y (a) и y (b)
6. Из найденных значений выбрать
наибольшее и наименьшее.
1. Найти первую производную функции.
2. Найти вторую производную функции.
3. Найти критические точки, т.е. точки где y 
равна нулю или не существует.
4. Разбить область определения функции
этими точками на интервалы.
5. На каждом из интервалов определить знак
y  .
6. Сделать заключение о выпуклости или
вогнутости на каждом интервале: y   0 выпукла вниз; y   0 - выпукла вверх.
7. Находим абсциссы точки перегиба, т.е.
точки, в которых y  - меняет знак.
4
ТРЕНИНГ УМЕНИЙ
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.
(Найти производную функции y  f (x) , используя правила и формулы
дифференцирования. Вычислить значение производной в точке с абсциссой
x  x0 )
Задание. Вычислить производную функции y  5e х 
sin x 2 х
  в точке x0  1
2
х 3
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. 1. Использовать правила
дифференцирования.
Конкретное соответствие задания
предложенному алгоритму
2. Найти производную,
используя таблицу основных
формул дифференцирования.
3. Вычислить значение
производной y  в точке x  1

1
1 1
5  (e х )  (sin х)  2   ( х)  (  )
2
 х 3
1
2 1
y   5e х  cos x  2 
2
3
х
1
2 1
cos1
1
y (0)  5e1  cos1  2   5e 
2
2
3
2
3
1
Задания для самостоятельного решения:
3
1
1. s  t 4  t 2  2t , найти t (2)
4
2
1
3
2. f ( x)   x 3  x 2  2 x  1 , найти f (3) .
3
2
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2.
(Написать уравнение касательной к кривой y  f (x) в точке с абсциссой x  x0 )
Задание. Написать уравнение касательной к кривой y  x 2  6 х  1 в точке с
абсциссой x  1
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Вычислить значение
функции в точке
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
y 0  y (1)  (1) 2  6  (1)  1  4
x  1
5
2.
Вычислить значение
производной y  в
точке x  1
y  2x  6
y (1)  2  (1)  6  4
3.
Написать уравнение
касательной
y  (4)  4  ( x  (1)) или y  4 x
y  y0  y ( x0 )( x  x0 )
Задания для самостоятельного решения:
1. Написать уравнение касательной к кривой y  2 x 2  4 х  1 в точке с
абсциссой x0  2 .
2. Написать уравнение касательной к кривой y  2  x  х 3 в точке с абсциссой
x0  1 .
e 2ч 2
3. Написать уравнение касательной к кривой y 
в точке с абсциссой
хe
x0  0 .
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3.
(Найти производную сложной функции y  f ( ( x)) . Вычислить значение
производной в заданной точке x  x0 )
Задание. Вычислить производную сложной функции
y  ln( 3 x  1)  sin 3 x 
1
в точке х =1
2x  3
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Выписать сложные
функции, входящие
в данную.
2.
К каждой из
выделенных
сложных функций
применить правило
дифференцирования
сложной функции
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
1. Z1   (u) ,  (u )  ln( u ) , u  (3x  1)
2. Z 2  V 3 , V ( x)  sin x
1
t
3. Z 3  , t ( x)  2 x  3
Z1 
1
2  (u )
 (3х  1) 

  (u )  
3
1
2 ln( 3x  1)

 ln( 3x  1)  
.
23х  1  ln( 3x  1)
Z 2  3V 2  V   3 sin 2 x  (sin x)  3 sin 2 х  cos x .
6
1
1

2 ln( 3x  1) 3х  1

Z 3  
1
1
2
 t  
 (2 х  3)  
.
2
2
t
(2 х  3)
(2 х  3) 2
3.
Записать
3
2
производную
y 
 3 sin 2 х  cos x 
.
(2 х  3) 2
данной функции,
23х  1  ln( 3x  1)
используя правила
дифференцирования.
4.
Подставить
значение x  1 в
полученное
выражение
производной
y (1) 
3
2  4  ln 4)
 3 sin 2 1  cos1 
2
3

 3 sin 2 1  cos1  2.
2
(2  3)
8 ln 4
Задания для самостоятельного решения:
Найти производные
1. y  sin( 2 x  1)  ln( x 2  5х) ;
х
2. y  2 х 1 ;
e
2 1
3. y  2 х  tq х
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4.
(Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y  f (x) )
Задание. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y 
4х  2
.
( х  1) 2
Вычислить наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке
 1 
  2 ;2 .
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Найти область
определения
функции (ООФ)
2.
Найти
производную
данной функции.
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
х  1
y 
(4 х  2)  ( х  1) 2  (4 х  2)  (( х  1)) 4( х  1)( х  1  2 х  1)
4х


4
4
( х  1)
( х  1)
( х  1) 3
7
3.
Найти
критические
точки кривой
(точки, где y (x)
равна нулю или
не существует).
4.
Отметить на
числовой оси
найденные точки.
-1
0
5.
Определить знаки
производной y  в
каждом из
полученных
интервалов.
-1
0
6.
7.
х1  0 ; х2  1 (в этой точке функция не существует)
-
+
-
Выписать
Интервал возрастания: (1,0)
интервалы
монотонности
Интервал убывания: (,1)  (0,)
функции,
воспользовавшись
условием: при
y   0 - функция
убывает,
при y   0 возрастает.
Определить точки
-1
0
экстремумов
+
функции.
min
max
В точке х  0 функция имеет максимум; y max  y(0)  2 .
В критической точке х = -1 функция не существует.
Задания для самостоятельного решения:
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
1. у  х 3  3х  2 ;
1
;
1 х2
2
3. у  e  х 2 х
2. у 
8
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5.
(Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке a, b )
Задание. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  x 4  2 х 2  5
на отрезке  2, 2 .
Решение
№
Алгоритм
Конкретное соответствие задания предложенному
п/п
алгоритму
3
2
1. Найти производную y   4 х  4 х  4 х( х  1)
данной функции.
2. Найти критические
4 х( х 2  1)  0
точки кривой
Критические точки:
(точки, где
х1  0 , х2  1 х2  1
y (x) равна нулю или
не существует).
3.
Выписать
критические точки,
принадлежащие
отрезку  2, 2 .
Все критические точки принадлежат отрезку  2, 2
4.
Вычислить значения
функции y в этих
точках.
y (0)  5
y (1)  4
y (1)  4
5.
Вычислить значения
y (2) и y (2)
y (2)  13
y (2)  13
6.
Из найденных
значений выбрать
наибольшее и
наименьшее.
Наибольшее значение 13 достигается в точках -2; 2.
Наименьшее значение 4 достигается в точках -1; 1.
Задания для самостоятельного решения:
Найти наибольшее и наименьшее значение функций:
1. y  x 3  х 2  х  1 , 0, 4 ;
х 1
, 0, 4 ;
х 1
 
3. y  sin 2 x  x ,  ,  .
 2 2
2. y 
9
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 6.
(Найти точки перегиба функции и характер выпуклости)
Задание. Найти точки перегиба и характер выпуклости функции
y  x 4  4 х 3  х  12 .
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Найти первую
производную
функции.
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
y   4 х 3  12 х 2  1
2.
Найти вторую
производную
функции.
3.
12 х( х  2)  0
Найти критические
точки, т.е. точки, где х1  0 или х2  0
y  равна нулю или
не существует.
Разбить область
определения
0
2
функции этими
точками на
интервалы.
На каждом из
интервалов
+
0
2
+
определить знак y  .
На интервалах (,0)  (2,) y   0 ,
На интервале (0, 2) y   0
Сделать заключение
о выпуклости или
вогнутости на
+
0
2
+
каждом интервале:
y   0 - выпукла
Функция выпукла вниз на интервалах (,0)  (2,) .
Функция выпукла вверх на интервале (0, 2).
вниз; y   0 выпукла вверх.
yТП  y(0)  12
Находим точки
перегиба, т.е. точки, yТП  y(2)  2
в которых y  меняет
знак
4.
5.
6.
7.
y   (4 х 3  12 х 2  1)  12 х 2  24 х
10
Задания для самостоятельного решения:
Найти точки перегиба и характер выпуклости функций:
1. y  x 4  2 х 2  5 ,
2. y 
4х  2
,
( х  1) 2
3. y  e  х .
2
11
ГЛОССАРИЙ
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Новые понятия
Действительные числа
Рациональные числа
Иррациональные числа
Числовые интервалы:
-открытый интервал (а,b);
- замкнутый интервал
(отрезок) a, b;
- несобственные
(бесконечные интервалы)
Функция
Область определения
функции (ООФ)
Независимая переменная,
аргумент
Область значений
функции
График функции y  f (x)
Сложная функция
(функция от функции)
Содержание
положительные, отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль
целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел
числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными
дробями
множество всех чисел х, которое удовлетворяет неравенствам а  х  b (концы а и b не
включены в интервал);
множество всех чисел х, для которых а  х  b (концы a и b включены в интервал);
интервалы, у которых хотя бы один конец находится на бесконечности.
переменная величина y есть функция переменной величины х, если каждому значению
х по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись
y  f (x) .
множество(область) значений аргумента
если задана функция y  f (x) , то х называется независимой переменной, или
аргументом
множество значений, принимаемых функцией
множество точек плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а
ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумент;
множество точек ( х, f ( x))
y  f (u ) , где u   (x) , т.е. y  f  (х) - сложная функция,
12
11.
12.
13.
14.
15.
и ее производная
Производная функции
y  f (x) в точке х 0
Геометрический смысл
производной
Физическая
интерпретация
производной
Правила
дифференцирования
Формулы
дифференцирования
y х  yu  u х
y
- предел отношения приращения функции y к приращению аргумента
х
х в точке х 0 , когда приращение аргумента стремиться к нулю
f ( x 0 )  lim
х  0
f ( x0 )  тангенс угла наклона касательной к графику функции y  f (х) , проведенной в
точке M 0 ( х0 , f ( x0 ))
если S  f (t ) - зависимость пути от времени, то v  S   f (t ) (м/с) - скорость движения в
момент времени t; а  v  S   f (t ) (м/с 2 ) - ускорение в момент времени t.
1. (u  v)  u   v
2. (u  v)  u v  v u

 u  u v  vu
3.   
(v  0)
v2
v
4. (Сu )  С (u ) , С – const.
8. (tgx) 
1. с  0
1
cos2 x
1
sin 2 x
2. ( x n )  nx n1
9. (ctgx)  
x
x
3. (a )  a ln a
10. (arcsin x) 
4. (e )  e
11. (arccos x)  
x
x
5. (log a x) 
1
x ln a
12. (arctgx) 
13
1
1  x2
1
1  x2
1
1  x2
6.
(ln x) 
1
x
13. (arcctgx)  
7. (sin x )  cos x
16.
Дифференциал функции
17.
Дифференциал
независимой переменной
Геометрический смысл
дифференциала функции
18.
y  f (x)
y  f (x)
19.
Дифференцируемая
функция
20.
Монотонные функции
(возрастающая и
убывающая)
Признак возрастания или
убывания
Точки максимума,
минимума, экстремума
21.
22.
23.
24.
Необходимый признак
экстремума
(признак Ферма)
Достаточный признак
экстремума
1
1  x2
14. (cos x)   sin x
дифференциал dy , есть главная часть приращения функции, пропорциональная
приращению аргумента dy  y x ; y  dy  б.м высшего порядка относительно х
то же, что и произвольное приращение независимой переменной dх  х
дифференциал dy  f ( x0 )х - приращение ординаты касательной прямой, проведенной
к графику функции y  f (x) в точке ( х0 , f ( x0 )) .
функция, y  f (x) дифференцируемая в точке х 0 , если существует (конечная)
производная f ( x0 ) или существует дифференциал f ( x0 )х ;
дифференцируемая в точке х 0 функция непрерывна в этой точке, обратное
утверждение неверно
Функция возрастает (убывает) если большему значению аргумента соответствует
большее (меньшее) значение функции
y   0 - функция возрастает, y   0 - убывает.
точка х 0 - точка максимума (минимума) функции f (x) , если значение f ( x0 ) больше
f (x) , принимаемых в некоторой окрестности х 0 ; точка
(меньше) всех значений
экстремума – общее название точек максимума и минимума
ели в точке экстремума производная существует, то она равна нулю
если производная при переходе через х 0 , где выполняется необходимое условие
14
25.
26.
27.
28.
Выпуклость (вогнутость)
кривой
Признак выпуклости
(вогнутости)
Точка перегиба
Признаки точки перегиба
экстремума меняет знак с + на - , то х 0 - точка максимума, если с – на + , то х 0 - точка
минимума
Кривая выпукла (вогнута) , если лежит над (под) любой своей касательной
y   0 - выпукла, y   0 - вогнута
точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости
y   0 или не существует – необходимый признак;
y  меняет знак при переходе через точку х 0 , тогда в точке ( х0 , f ( x0 )) - перегиб –
достаточный признак.
15
ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ
Интегральное исчисление
№
Умение
п/п
1. Найти интеграл  f ( x)dx ,
использовав таблицу основных
интегралов и основные свойства
неопределенного интеграла
2.
3.
Найти интеграл  f ( x)dx методом
замены переменной
Вычисление определенного
интеграла
b
 f ( x)dx по формуле
a
Ньютона-Лейбница
Алгоритм
1. Использовать свойства неопределенного
интеграла.
2. Использовать таблицу основных интегралов
и вычислить имеющиеся неопределенные
интегралы.
3. Записать ответ
1. Подобрать замену переменной x   (t )
2. Выразить подынтегральную функцию через
новую переменную f  (t ) .
3. Выразить dx через t и dt , используя
равенства dx   (t )dt
4. Записать данный интеграл по формуле
замены переменной
 f ( x)dx x (t ) =  f  (t )  (t )dt
5. Применить к полученному интегралу
основные свойства неопределенного интеграла
и воспользоваться таблицей основных
интегралов.
6. Вернуться от переменной t к исходной
переменной х
1. Найти одну из первообразных F (x) функции
f(x)
2. Вычислить значение первообразной F (x) в
точках x  a и x  b
3. Вычислить значение определенного
b
интеграла по формуле  f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
4.
Вычисление определенного
интеграла
b
 f ( x)dx методом
a
замены переменной
1. Выбрать замену переменной x   (t )
2. Перейти в подынтегральном выражении от
переменной х к новой переменной t:
f ( x)dx  f  (t ) (t )dt
3. Найти пределы интегрирования по новой
переменной t из равенства:
 ( )  a ,  (  )  b
4. Записать данный интеграл по формуле
замены переменной:
16

b

f ( x)dx
x  ( t )
a
5.
Применение определенного
интеграла к вычислению
площадей плоских фигур
  f  (t )   (t )dt

5. Вычислить определенный интеграл в правой
части последнего равенства по формуле
Ньютона-Лейбница
1. Построить данные кривые и ограниченную
ими область.
2. Определить, является ли дана область
правильной относительно оси OyD1  ( x, y) : a  x  b, g(x)  y  f(x) ,
Или правильной относительно оси OxD2  ( x, y) : с  y  в, (y)  х   (y),
и если такой не является , то разбить ее на
конечное число областей указанного вида.
3. Вычислить площадь каждой из областей
типа D1 по формуле:
b
S1    f ( x)  g ( x)dx ,
a
а площадь каждой из областей типа D2 по
b
формуле: S2    ( y)  ( y)dy
a
4. Сложить полученные значения площадей
всех областей.
17
ТРЕНИНГ УМЕНИЙ
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.
(Найти интеграл  f ( x)dx , использовав таблицу основных интегралов и основные
свойства неопределенного интеграла)
 3
Задание. Найти неопределенный интеграл  
 х

2
2 

dx
2
х
9  х 2 
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Использовать свойства
неопределенного интеграла
Конкретное соответствие задания
предложенному алгоритму
Заменим интеграл суммы функций суммой
интегралов

3
х
dx  
2
2
dx  
dx .
2
х
9  х2
Выносим постоянные за знак интеграла
3
1
х
dx  2
1
1
dx  2
dx
2
х
9  х2
2.
Использовать таблицу основных
интегралов и вычислить
имеющиеся неопределенные
интегралы
1
1
х 2 1
2
 х 12 dx   х dx  12  1  С1  2 х  С1
х 2 1
1
2
х
dx

 С2    С2

 2 1
х
dx
1
3 х
 9  х 2  2  3 ln 3  х  С3
3.
Записать ответ
2
2 
2 1 3 х
 3
 2
dx  6 х   ln
С,
2 
9 х 
х 3 3 х
х х
где С  С1  С2  С3
1
 
Задания для самостоятельного решения:
Найти неопределенные интегралы:
1 1

1.   3х5  3  dx
х х


2.   4 х3  2 cos x 

5
1
3.   2  dx
 sin х 3 х 
eх 
dx
3 
18
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2.
(Найти интеграл  f ( x)dx методом замены переменной)
Задание. Найти неопределенный интеграл 
dx
методом замены переменной
(1  2 х)3
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Подобрать замену переменной
2. Выразить подынтегральную
функцию через новую
переменную
3. Выразить dx через t и dt
Записать интеграл по формуле
замены переменной
Применить основные свойства
неопределенного интеграла и
воспользоваться таблицей
основных интегралов
Вернуться от переменной t к
исходной переменной x
4.
5.
6.
Конкретное соответствие задания
предложенному алгоритму
1  2х  t
1
1
 3
3
(1  2 х)
t
d (1  2 х)  dt ,  2dx  dt
1
откуда dx   dt
2
dx
1  1
 (1  2 х)3   t 3    2 dt
1  1
1 3
1 t 2
1


dt


t
dt



С  2 С


 t3  2 

2
2 2
4t
Подставим в найденное выражение t  1 2х
dx
 (1  2 х)
3

1
С
4(1  2 х) 2
В результате проделанного анализа решение можно записать в виде:
1  2 х  t

d (1  2 x)  dt 
1 dt


dx
1 3
1 t 2
1
1
2




t
dt



С  2 С 
С


2xdx

dt
3
 (1  2 х)3 


t
2
2 2
4t
4(1  2 х) 2

dx  - 1 dt 
2


Задания для самостоятельного решения:
Найти интегралы методом замены переменной
1.  sin( 2 x  1)dx
2.

xdx
х2  1
cos x
dx
3. 
2  sin x
19
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3.
b
 f ( x)dx по формуле Ньютона-Лейбница)
(Вычисление определенного интеграла
a
3
dx
1 х
Задание. Вычислить определенный интеграл
2
по формуле Ньютона-
1
Лейбница
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Найти одну из первообразных
подынтегральной функции
2.
Конкретное соответствие задания
предложенному алгоритму
Первообразной функции f ( x) 
функция F ( x)  arctg x
F (1)  arctg1 
х 3
F ( 3 )  arctg 3 
Вычислить значение
определенного интеграла по
3.

Вычислить значения
первообразной в точках x  1 и
3
dx
1 х
2
1
b
4

3
 F ( 3 )  F (1) 

3


4


12
формуле  f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
В результате проделанного анализа решение можно записать в виде:
3
dx
1 х
 arctgx 1  arctg 3  arctg1 
3
2
1

3


4


12
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенные интегралы
1
1.  (2 х  1)2 dx
0

2.
3
dx
 cos

2
4
х
3
3.  2 х dx
1
20
1
является
1  х2
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4.
(Вычисление определенного интеграла
b
 f ( x)dx методом замены переменной)
a

Задание.
Вычислить
определенный
2
 sin
интеграл
3
хdx методом
замены
0
переменной
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Выбрать замену переменной
2. Перейти в подынтегральном
выражении от переменной х к
переменной t
3. Найти пределы интегрирования
по переменной t
Записать данный интеграл по
формуле замены переменной в
определенном интеграле
Вычислить полученный
интеграл по формуле НьютонаЛейбница
4.
5.
Конкретное соответствие задания
предложенному алгоритму
cos x  t
sin 2 х  1  cos 2 х  1  t 2
dt   sin xdx , откуда sin xdx  dt
sin 3 хdx  (1  t 2 )( dt )
При х  0
При х 

3
хdx   (1  t 2 )( dt )
0


2
0
2
 sin
t  cos 0  1

t  cos  0
2
1
0
0
t3
1 2
sin
хdx

(
1

t
)(

dt
)

(
t

)  1 
0
1
3 1
3 3
2
3
2
В результате проделанного анализа решение можно записать в виде:
cos x  t ; - sin x dx  dt; sin x dx  -dt 0
1
t3
1 2
 2

2
2
2
0 sin хdx  sin х  1  cos х  1  t
   (1  t )dt  (t - 3 )  1  3  3
0
 При х  0 t  1. при х   2 , t  0
 1



2
3
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить определенные интегралы методом замены переменной
4
1.
х
 х  1dx
1
ln 8
2.

е х  1dx
ln 3
1
3.  (2 x 3  1) 4 x 2 dx
0
21
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5.
(Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур)
Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  2 x  x 2 и y  х
Решение
№
Алгоритм
п/п
1. Построить заданные
линии и ограниченную
ими фигуру
2.
Определить, является
ли данная фигура
правильной областью
относительно оси Oy
(или оси Ox)
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
Находим точки пересечения параболы y  2 x  x 2 с
прямой y  x , решая систему
 y  2x  x 2

y  x
Получим две точки О(0,0) и А(1,1)
Область является правильной относительно оси Oy:

S   2 х  х
D  ( х, y) : 0  x  1; х  y  2х - х 2
3
Вычислить площадь
области по формуле
b
1
0
2

1
 х 2 х3 
 х dx   ( х  х 2 )dx    
3
 2
0

S    f ( x)  g ( x)dx
a
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. y  x 3 , y  x
2. y   x 2  4 и y  0
3. y  x 2 и y  2 x
22
1
0

1 1 1
  (ед2.)
2 3 6
ГЛОССАРИЙ
№
п/п
1.
2.
Новые понятия
Содержание
Первообразная функция
на промежутке a, b
Неопределенный интеграл
такая функция, производная которой в каждой точке промежутка равна значению
данной функции
Совокупность всех первообразных F ( x)  C функции f (x) , обозначаемая символом
 f ( x)dx
3.
Основные свойства
неопределенного
интеграла
10. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
 f ( x)dx   f ( x)
20. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
d
 f ( x)dx  f ( x)dx
30. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной:
 dF ( x)  F ( x)  C
40. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
 a  f ( x)dx  a  f ( x)dx, a  const , a  0
50. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций,
каждая из которых имеет первообразную, равен такой же сумме интегралов от этих
функций:
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
23
4.
Таблица основных
интегралов
1.  0  dx  C
8.  cos xdx  sin x  C
2.  dx  x  C
9.
3.
n
 x dx 
4.

x n 1
 C (при n  1)
n 1
dx
 ln x  C
x
ax
 C (при a  0, a  0)
ln a
6.  e x dx  e x  C
5.  a x dx 
7.  sin xdx   cos x  C
5.
6.
Формула Ньютона Лейбница
Формула замены
переменной в
определенном интеграле
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) , где
dx
 cos

 n, n  Z )
2
x
dx
10.  2  ctd x  C ( x  n, n  Z )
sin x
dx
x
11. 
 arcsin  C (при x  a, a  0)
2
2
a
a x
dx
1
x

arctg
 C (при a  0)
12.  2
a
a
a  x2
dx
1
xa
13. 

ln
 C (при a  0)
2a x  a
x2  a2
dx
 ln x  x 2  a 2  C
14. 
2
2
x a
2
 td x  C ( x 
F (х) - первообразная функции f (x) на отрезке а, b
a

b
 f ( x)dx
a
x  ( t )
  f  (t )   (t )dt , где f(x) - непрерывная на отрезке a, b функция, а функция

 (t ) - монотонна и непрерывно дифференцируемая на отрезке  ,  , причем  ( )  a ,
 ( )  b
24
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: учеб. Пособие – изд. 4-е,
испр. Ростов н/Дону: Феникс, 2009. – 380 с.
2. Калягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: учеб. Пособие:
в 2 Кн. – 4-е изд., испр. и доп. – М.:ООО «Издательство Новая Волна», 2004.
3. Пехлецкий И.Д. Математика:учебник – 2-е изд, стереотип.- М.:
Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2002
Дополнительная:
4. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов – 2-е изд., стереотип. – М.:
Дрофа, 2004
5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: уч. пособие для ссузов.2-е изд., испр.- М.: Дрофа, 2005
6. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: уч.
пособие для ссузов – М.: Дрофа, 2005
7. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для
техникумов. – 3-е изд., перераб. И доп.. – М.: Высшая шк., 1990
8. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней
школы: уч. пособие – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1990
9. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения):уч. пособие - 2-е изд. испр.., - М.:
ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век», 2005.
10. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей
математике – 4-е изд. стереотип. Мн.: ТетраСистеме, 2002
11. Красс М.С. , Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании: учебник. – 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003
25