квадратного трехчлена

Учащимся 10 классов
Е.М. Колегаева,
к.ф.-м.н., доцент
ДВАГС
кафедры
ММиИТ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ С ПОМОЩЬЮ
ИССЛЕДОВАНИЯ
КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
1. Исследование квадратного трехчлена
Рассмотрим квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 . Как известно,
графиком функции y  ax 2  bx  c является парабола. Напомним основные
положения, которые будут использоваться в дальнейшем. Преобразуем квадратный
трехчлен, выделив полный квадрат:

b
b2
f  x   ax 2  bx  c  a   x 2  2  x 
 2
2a 4a

 b2
 
c 
 4a
b 
b 2  4ac

 a x 
 
2a 
4a

2
На основе этого преобразования выводятся основные формулы и теоремы.
Приведем их.
1.Уравнение ax 2  bx  c  0 , где a  0 , имеет решение тогда и только тогда,
когда D  b 2  4ac  0 . При этом корни уравнения вычисляются по формуле
b D
и квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:
2a
ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  .
2.Теорема Виета. Если x1 , x2 - корни квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 ,
x1, 2 
b

 x1  x2   a ,
то 
.
c
 x1  x2 
a

Из этой теоремы следует, в частности, что квадратный трехчлен можно
записать в виде x 2  x1  x2 x  x1x2 .
b

x0   ,

2a .
3.Парабола y  ax 2  bx  c имеет вершину в точке 
4
ac
 b2
 y0 
4a

4.Ветви параболы направлены вверх, если a>0 и направлены вниз, если a<0.
5. Парабола имеет две точки пересечения с осью Ox, если D>0; одну точку
пересечения с осью Ox, если D=0 и не имеет точек пересечения с осью Ox, если
D<0. Возможные случаи расположения параболы изображены на рисунке 2.
y
a>0, D>0
y
0
x0  
0
a<0, D>0
x1
x2
b
2a
x1
x0  
b
2a
x
x2
Рис. 2.1
Рис. 2.2
y
y
x1  x2  
a>0, D=0
b
2a
x
0
0
x
x1  x2  
b
2a
x
a<0, D=0
Рис. 2.3
Рис. 2.4
y
y
a>0, D<0
x0  
b
2a
0
x
x
0
a<0, D=0
x0  
b
2a
Рис. 2.5
Рис. 2.6
6.Парабола имеет единственную точку (0, с) пересечения с осью Oy.
7.Парабола симметрична относительно прямой x  
b
.
2a
8.Если a>0, то функция y  ax 2  bx  c имеет единственную точку минимума
b
x0   , наименьшее значение функции достигается в этой точке и равно
a
4ac  b 2
. Из этого следует, что множество значений функции y  ax 2  bx  c ,
4a
заданной на всей числовой прямой, есть луч Y   y0 ,    .
y0 
Если a<0, то функция y  ax 2  bx  c имеет единственную точку максимума
b
x0   , наибольшее значение функции достигается в этой точке и равно
a
4ac  b 2
. Из этого следует, что множество значений функции y  ax 2  bx  c ,
y0 
4a
заданной на всей числовой прямой, есть луч Y   , y0  .
2. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от
параметра
Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить
расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на
основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим
следующие случаи:
1. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на
оси Ox. Тогда оба коня x1, x2 квадратного трехчлена f x  будут строго меньше m
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
или
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2.
y
y
f(m)
a>0, D>0
0
a<0, D>0
x1
x2
x0
x0
0
x1
m
x2
Рис. 3.1
x
m
f(m)
x
Рис. 3.2
2.Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на
оси Ox. Неравенство x1  m  x2 выполняется тога и только тогда, когда числа a и
f m имеют разные знаки, то есть a  f m  0 (рис. 4.1 и 4.2.)
y
a<0
y
a>0
f(m)
0
x1
m
x2
x1
x0
f(m)
x
x2
x0
0
Рис. 4.1
m
x
Рис. 4.2
3. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на
оси Ox. Тогда оба коня x1, x2 квадратного трехчлена f x  будут строго больше m
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
или
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2.
y
0
f(m)
x0
m
a<0
y
a>0
x
x1
0
m
x2
x0
x1
x
x2
f(m)
Рис. 5.2
Рис. 5.1
4. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и интервал
(m,M) Тогда оба корня x1, x2 квадратного трехчлена f x  принадлежат указанному
интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,

m  x0  M ,
 f m   0,

 f M   0
или
 a  0,
 D  0,

m  x0  M ,
 f m   0,

 f M   0
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2.
y
a<0
y
a>0
f(m)
f(M)
x1
0
x0
0
x2
m
M
x
m
x0
x1
f(M)
f(m)
Рис. 6.1
M
x2
x
Рис. 6.2
5. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 , x1, x2 - его
корни и отрезок m, M  . Отрезок m, M  лежит в интервале x1, x2  тогда и только
тогда, когда выполняются следующие условия:
a  f m   0,

a  f M   0
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2.
y
a<0
y
a>0
f(M)
0
m
x0
x1
f(m)
M
x
x2
f(m)
x1
0
x2
m
x0
M
x
f(M)
Рис. 7.2
Рис. 7.1
Пример. Найти все значения параметра a, при каждом из которых оба корня
уравнения ax 2  a  1x  1  0 больше -2.
Решение. В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому
a  0 . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке
5.1. и 5.2.
Найдем D  a  12  4a  a  12  0 , x0  
a 1
,
2a
f  2  4a  2a 1 1  2a  1 . Учитывая все это, запишем совокупность двух
систем:
 a  0,
a  12  0,

1 a
 2a  2,
 2a  1  0

a  0,

a  12  0,

или
1 a
 2a  2,
 2a  1  0

Решая эти две системы, получим a   ,  0,5  0, .
Ответ.
При
каждом значении параметра a из промежутка
a   ,  0,5  0, оба корня уравнения ax 2  a  1x  1  0
больше -2.
Пример. При каких значениях параметра a неравенство ax 2  a  3x  4  0
выполняется для любых x  1 ?
Решение. Если множество X – решение данного неравенства, то условие
задачи означает, что промежуток 1,   должен находиться внутри множества X,
то есть 1,    X .
Рассмотрим все возможные значения параметра а.
1.Если а=0, то неравенство примет вид a  3x  4  0 , и его решением будет
 4
 3


промежуток X    ,    . В этом случае условие 1,    X выполняется и а=0
является решением задачи.
2.Если a  0 , то графиком правой части неравенства является квадратный
трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака
2
D  a  3  16a  a  1a  9 .
Рассмотри случай, когда D  0 . Тогда для того, чтобы для всех x  1
выполнялось неравенство ax 2  a  3x  4  0 , требуется, чтобы корни квадратного
трехчлена были меньше числа -1, то есть:
 a  0,
 D  0,


 x0  1,
 f  1  0
или
a  0,

 a  1a  9  0,

a3

  2a  1,
a  a  3  4  0

Решив эту систему, получим a  0,1 .
Если D  0 , то парабола лежит выше оси Оx, и решением неравенства будет
любое число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток
1,   . Найдем такие а из условия:
a  0,

D  0
или
a  0,


a  1a  9  0
Решив эту систему, получим a  1, 9.
3.Если a  0 , то при D  0 решением неравенства является промежуток
x1, x2  , который не может включать в себя промежуток 1,   , а при D  0 данное
неравенство не имеет решений.
Объединяя все найденные значения а, получим ответ.
Ответ. Для любого значения параметра из промежутка a  0, 9 неравенство
2
ax  a  3x  4  0 выполняется для любых x  1 .
Пример. При каких значениях параметра а множество значений функции
2
y  a  1x 2  a  1x  2 содержит отрезок 0, 1 ?
Решение. 1. Если a 2  1  0 , то
а) при а =1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из
единственной точки 2 и не содержит отрезок 0, 1 ;
б) при а = -1 функция примет вид y = -2x+2. Ее множество значений Y  R
содержит отрезок 0, 1 , значит а = -1 является решением задачи.
2.Если a 2  1  0 , то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение
функция принимает в вершине параболы y0  f x0  :


a2  1
a 1
3a  5
1 a
1
,
.
y


2
x0 

0
2
2
4a  1
2 a 1
2a  1
4a  1 2a  1


 3a  5

Множество значений функции есть промежуток Y  
,    , который
 4a  1

содержит отрезок 0, 1 , если выполняются условия:
 3x  5
 0,

 4a  1
2

 a 1  0


5
3


Решая эту систему неравенств, получим a    ,  1 .
3. Если a 2  1  0 , то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение
y0 
функция принимает в вершине параболы

3a  5
. Множество значений
4a  1
3a  5 
функции есть промежуток Y    ,
, который содержит отрезок 0, 1 , если
4a  1

выполняются условия:
 3x  5
 1,

 4a  1
 a 2  1  0
Решая эту систему неравенств, получим a  1, 1 .
 5
 3


Объединяя решения, получим a    , 1 .
Ответ.


При
 5 
a    , 1
 3 
множество
значений
функции
y  a 2  1 x 2  a  1x  2 содержит отрезок 0, 1 .
Контрольная работа №2 для учащихся 10 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для
учащихся 10 классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно
набрать не менее 15 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляются отдельно. Каждое задание
имеет свой шифр (М10.2.1 и т.д.), который указывается перед записью решения.
Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это
необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно
присылать нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если
оказалось невозможным выполнить всю работу.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ
(ХКЗФМШ).
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем
сайте: www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться
по вопросам, связанным с решением задач (и не только).
М. 10.2.1. При каких значениях параметра а сумма корней квадратного
уравнения x 2  x  a  0 меньше или равна 1?
М. 10.2.2. При
каких
значениях
параметра
а
уравнение
2
(a  3) x  6 x  a  5  0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных
значениях параметра а.
М. 10.2.3. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
2
x  ax  4  0 лежат на интервале (-5, 4)?
М. 10.2.4. При каких значениях параметра а неравенство 4 x 2  4a  2x  1  0
выполняется при всех значениях x?
М. 10.2.5. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции
2
y  x  2ax  a 2  6a  6 на отрезке 0, 2 равно -1?
М. 10.2.6. При
каких
значениях
параметра
а
уравнение
2
 x2 
 x2 


a 2
  a  3 x 2  1   1  0 имеет корни?
x

1



