Исследование квадратного трехчлена Пусть f(x) = ax2 + bx + c имеет действительные корни x1 и x2, а M – какое-нибудь действительное число, D = b2 – 4ас - дискриминант При решении конкретных задач нужно особо рассматривать случай а = 0. Далее мы предполагаем, что а ≠ 0. Графиком функции , где является парабола, вершина которой находится в точке – дискриминант. Если квадратный трехчлен представлен в виде является вершиной параболы. , то точка Парабола не имеет общих точек с осью Ох (или уравнение не имеет действительных корней), если . а>0 а< 0 х х Парабола имеет одну общую точку с осью Ох (или уравнение имеет один действительный корень или квадратный трехчлен представить в виде полного квадрата), если . а>0 а< 0 х х Парабола имеет две общие точки с осью Ох (или уравнение имеет два действительных корня), если . а>0 а< 0 х х 1 можно График квадратичной функции лежит выше оси абсцисс (или квадратный трехчлен принимает положительные значения, или неравенство выполнено для любого х), если График квадратичной функции квадратный трехчлен лежит не ниже оси абсцисс (или не принимает отрицательных значений, или неравенство выполнено для любого х), если График квадратичной функции лежит ниже оси абсцисс (или квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения, или неравенство выполнено для любого х), если График квадратичной функции лежит не выше оси абсцисс (или квадратный трехчлен не принимает положительных значений, или неравенство выполнено для любого х), если Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: или Данные две системы можно объединить в одну Утверждение 2 Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий: ветви параболы направлены вверх значение функции в точке меньше или 2 ветви параболы направлены вниз значение функции в точке больше Данные две системы объединим и получим неравенство Утверждение 3 Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий: или Данные две системы равносильны системе Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M<N), т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно: ветви параболы направлены вверх существование корней вершина параболы находится находится в значение функции в точке больше нуля значение функции в точке больше нуля или 3 Утверждение 5. Для того чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал на отрезке [M,N] (M < N), необходимо и достаточно: или (при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]). Утверждение 6. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал на отрезке [M, N], необходимо и достаточно: или (при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]). Утверждение 7. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно: или 4 Разобранные примеры Укажем типичные задачи, решаемые на основании свойств квадратного трехчлена. Пример 1. Найти количество целых значений параметра а, при которых абсцисса вершины параболы отрицательна, а ордината положительна. Решение. Абсцисса вершины параболы равна 2а, ордината вершины равна По условию должны быть выполнены неравенства Эта система имеет решение при количество равно 5. Целые корни Их Ответ: 5. Пример 2. При каких значениях а квадратный трехчлен представить в виде полного квадрата. можно Решение. Квадратный трехчлен можно представить в виде полного квадрата, если он имеет один корень, а значит дискриминант равен нулю Отсюда Ответ: Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых график функции не имеет общих точек с осью Ох. Решение. 1) Допустим, что коэффициент при х2 равен нулю, т.е. или а = 4. . Отсюда а = 0 При а = 0 получим функцию . График этой функции не имеет общих точек с осью Ох, что соответствует условию задачи. Следовательно, а = 0 нужно включить в ответ. При а = 4 получим функцию . График этой функции имеет одну общую точку с осью Ох, что не соответствует условию задачи. Следовательно, а ≠ 4. 2) Допустим, что коэффициент при х2 не равен нулю, т.е. а ≠ 0 и а ≠ 4. Тогда графиком данной функции является парабола. Так как она не имеет общих точек с осью Ох, то дискриминант Следовательно, Ответ: Пример 4. Найти все значения параметра а, при которых график функции имеет с осью Ох только одну общую точку. Решение. 1) Допустим, что коэффициент при х2 равен нулю, т.е. , т.е. а = – 2. Тогда получим функцию . График этой функции имеет одну общую точку с осью Ох, что соответствует условию задачи. Следовательно, а = – 2 нужно включить в ответ. 2) Допустим, что коэффициент при х2 не равен нулю, т.е. а ≠ – 2. Тогда графиком данной функции является парабола. Так как она имеет с осью Ох только одну общую точку, то дискриминант Следовательно, а = – 1 или а = 2. Ответ: – 1; ± 2. 5 Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых для любого значения х выполнено неравенство ( Решение. 1) Допустим, что коэффициент при х2 равен нулю, т.е. , т.е. а = 1 или а = – 1. При а = 1 получим неравенство 0 , которое является истинным для любого значения х, что соответствует условию задачи. Следовательно, а = 1 нужно включить в ответ. При а = – 1 получим неравенство , которое является истинным не для любого значения х, что не соответствует условию задачи. Следовательно, 2) Допустим, что коэффициент при х2 не равен нулю, т.е. а ≠ 1, а ≠ – 1. Тогда нужно решить систему неравенств: Отсюда следует, что Ответ: Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение ( имеет только отрицательные корни. Решение. 1) Допустим, что коэффициент при х2 равен нулю, т.е. а = – 3. Тогда получим уравнение , корень которого х = – 1,25 < 0, что соответствует условию задачи. Следовательно, а = – 3 нужно включить в ответ. 2) Допустим, что коэффициент при х2 не равен нулю, т.е. отрицательные корни, если а ≠ – 3. Уравнение имеет т.е. Отсюда Ответ: Пример 7. Найти все значения параметра а, при которых один из корней уравнения больше, а другой меньше 2. Решение. Для того, чтобы один корень был больше, а другой меньше, чем 2, достаточно выполнимости неравенства , т.е. . Решением этого неравенства является интервал Ответ: Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень на промежутке [ - 2; 2) Решение. Рассмотрим функцию – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Дискриминант 6 при всех значениях а. Поэтому график функции имеет с осью Ох две общие точки. По условию задачи, одна из них должна лежать в промежутке [ - 2; 2), а другая нет. Воспользуемся утверждениями 5 и 6 теоретического материала, где М = – 2, N = 2 Возможны два случая: 1) 2) В первом случае должно выполняться условие: Рассмотрим второй случай Объединяя ответы двух систем, получим ответ Ответ: Пример 9. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение. Решение. ОДЗ уравнения , т.е. перенесем все слагаемые в одну часть: Данное уравнение возведем в квадрат, а затем . Исходное уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях: 1) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю и корень принадлежит ОДЗ; 2) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля, но один из корней принадлежит ОДЗ, а второй нет. Найдем дискриминант: , D > 0 при любом значении а, следовательно, квадратное уравнение имеет два различных корня. Поэтому нужно, чтобы . Для этого достаточно выполнения условия . Решая полученное неравенство, находим . Отсюда Ответ: 7 Пример 10. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных корня. Решение. ОДЗ уравнения: , т.е. затем перенесем все слагаемые в одну часть: Данное уравнение возведем в квадрат, а . Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если дискриминант квадратного уравнения больше нуля и оба корня удовлетворяют ОДЗ: при любом значении а. Для того, чтобы выполнения условий: Т.е. Ответ: 8 , достаточно
