теорвер

Задача
Спортсмены трёх групп выполняют квалификационные нормы. В первой группе 10
спортсменов, во второй – 15, в третьей – 25. Вероятности выполнения
квалификационных норм спортсменом каждой группы равны соответственно 0,9, 0,8
и 0,6. Найти вероятность того, что не выполнивший норму спортсмен не входит
во вторую группу.
Всего спортсменов 10+15+25=50
По формуле полной вероятности получим
10
25
∙ 0.1 +
∙ 0.4
11
50
50
𝑃=
=
~0.79
10
15
25
∙ 0.1 +
∙ 0.2 +
∙ 0.4 14
50
50
50
Задача
В партии из 9 изделий 3 имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны 4 изделий.
Пусть X-число бракованных изделий среди выбранных. Записать закон
распределения для случайной величины Х и вычислить ее математическое
ожидание.
Пусть X - дискретная случайная величина, равная количеству бракованных
изделий среди выбранных 4 Она может принимать целые значения от 0 до 3
Вероятности этих значений можно найти по формуле гипергеометрической
вероятности:
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑃(𝑋 = 1) =
𝐶30 ∙ 𝐶64
15
5
=
=
4
126 42
𝐶9
𝐶31 ∙ 𝐶63 3 ∙ 20 20
=
=
126
42
𝐶94
𝐶32 ∙ 𝐶62 3 ∙ 15 15
𝑃(𝑋 = 2) =
=
=
126
42
𝐶94
𝑃(𝑋 = 3) =
𝐶33 ∙ 𝐶61
2
=
4
42
𝐶9
𝑋
0
1
2
3
𝑃
5
42
20
42
15
42
2
42
𝑀𝑋 = 0 ∙
5
20
15
2
4
+1∙
+2∙
+3∙
=
42
42
42
42 3
Задача
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее
математическое ожидание равно m, среднее квадратичное отклонение равно 𝜎.
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет
значение в интервале (𝑎, 𝑏)
𝑎−𝑀 𝑋−𝑀 𝑏−𝑀
𝑏−𝑀
𝑎−𝑀
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (
<
<
) = Ф(
) − Ф(
)=
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
= Ф(
35 − 32
30 − 32
2
2
) −Ф(
) = Ф(1) − Ф (− ) = Ф(1) + Ф ( ) = 0.343 + 0.247 = 0.59
3
3
3
3
Задача
В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток
времени 7.5 секунд испускало в среднем 3.87 α -частиц. Найти вероятность
того, что за 1 секунды это вещество испустит хотя бы одну α -частицу.
3.87
Интенсивность потока частиц равна 𝜆 =
= 0.516 частиц в секунду. Используем
7.5
формулу Пуассона для вероятности появления k событий за время t при
интенсивности 𝜆: 𝑃𝑡 =
(𝜆𝑡)𝑘 ∙𝑒 −𝜆𝑡
𝑘!
=
(0.516∙𝑡)𝑘 ∙𝑒 −0.516∙𝑡
𝑘!
Вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну 𝛼
частицу: 𝑘 ≥ 1, 𝑃𝑡 (𝑘 ≥ 1) = 1 − 𝑃2 (𝑘 < 1) = 1 − 𝑃1 (0) = 1 −
0.5160 ∙𝑒 −0.516
= 1 − 𝑒 −0.516 = 0.403
0!