Отношение =частное показывает: Во сколько раз один объект больше(меньше) другого =2 2 арбуза в 2 раза больше чем 1 Какую часть один объект составляет от другого Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. AB=1дм =10см СD = 5см Пропорциональные отрезки Говорят, что отрезки АВ, CD пропорциональны отрезкам A1B1, C1D1, если равны их отношения Определите, пропорциональны ли пары отрезков а, b и c, d, если: а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см; б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см. а) пропорциональны Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары пропорциональных отрезков, если а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см. = Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть длина четвертого отрезка d, чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если а = 6 см, b = 3 cм, с = 4 см, и отрезок d больше каждого из этих отрезков. = = Ответ: 8 см. Геодезия В геодезии пропорциональные отрезки используются для определения высот объектов и расстояний между ними на основе соотношений, установленных между измерениями на местности и их проекциями на карту. Например, если известны высота и дальность до объекта на местности, то можно использовать пропорциональный отрезок для определения высоты и дальности на карте с учетом масштаба. Картография Отображение числовых данных на карте Упражнение 4 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и C, D соответственно. Найдите OA, если OB = 15 см и OC : OD = 2 : 5. ОС:OD=2:5 Ответ: 6 см. ОA:OB=2:5 Упражнение 5 На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок? 4 3 x 6 Ответ: 4,5 см. Упражнение 6 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и C, D соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см, AB = 4 см, OD = 6 см;. = 6 8 x 4 Ответ: а) 2 см; 8x=4(6-x) 8x=24-4x 8x+4x=24 12x=24 x=2 Упражнение 6 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и C, D соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см, AB = 4 см, OD = 6 см; б) OC и OD, если OA : OB = 3 : 5 и OD – OC = 8 см; = y = = 5x=3(8+x) 5x=24+3x x 2x=24 x=12 y=20 Ответ: б) 12 см и 20 см; Упражнение 6 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и C, D соответственно. Найдите: а) CD, если OA = 8 см, AB = 4 см, OD = 6 см; б) OC и OD, если OA : OB = 3 : 5 и OD – OC = 8 см; в) OA и OB, если OC : CD = 2 : 3 и OA + OB = 14 см. = 5(14-y)=2y 70-5y=2y 70=7y y=10 x y x=4 Ответ: в) 4 см и 10 см. Упражнение 7 Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? В AD=6 см; DC=4 см CM медиана => AM=MB AK=KD=3 Проекция первой медианы MC TCNM KC=7см А М К 6 D 4 С Упражнение 7 Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? В Проекция медианы AS на сторону AC есть отрезок S AT = 8 см А D 6 T 4 С Упражнение 7 Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? В Проекция медианы BL на сторону AC есть отрезок LD = 1 см А L D 6 Ответ: 7 см, 8 см, 1 см T 4 С Теорема: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим к ним сторонам. Дано: АВС, CD - биссектриса Доказать: 3 1) BE || CD; 2) 1 =2 (?) 3 = 4 (?) => 4 1 = 2 = 3 ВСЕ – (?) => ВС=СЕ 3) DC || BE => по (?) 2 4) = (?) = №9 Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС, АВ= 40см, АD =30см, СD =12см. Найдите сторону ВС АВ:AD=BC:DC 40:30=x:12 x=16 Ответ: 16 см. Решите задачу. В треугольнике АВС АВ = 3, АС =5, ВС =4. АК – биссектриса. Найдите ВК, КС. х ВК:АВ=КС:АС 4-х 5х=3(4-х) 5х=12-3х 8х=12 х=1,5 ВК=1,5 КС=2,5 Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины Дано: АВС, ВВ1, АА1 - медианы Доказательство: В1К || АА1 по т.Фалеса А1К=КС по теореме о пропорциональных отрезках Делаем вывод • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. • Точка в которой пересекаются медианы называется центроидом или центром тяжести треугольника. Основное свойство. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Вставьте пропущенные слова. • Три медианы треугольника пересекаются в … точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая … каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от … треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в … , считая от вершины треугольника. Верно ли • Три медианы треугольника пересекаются в двух точках, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит две из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 1:2, считая от вершины треугольника. • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Решите задачу АА1 и СС1 - медианы • 1) АА₁ =15. Найти АО, ОА₁. • 2) СО = 4. Найти СС₁, ОС₁. №10 Расстояние от середины хорды ВС до диаметра АС равно 3 см, ВАС=300. Найдите хорду АВ. Дано: ВС – хорда, KH=3см ВАС=30° Найти: АВ Решение: КО || BA KOH=30° KO=6 см ВА= 12 см =