Вычисления погрешности округления. Практическая работа 3

Вычисления погрешности округления. Практическая работа 3.
Цели: научиться определять абсолютную и относительную погрешности числа; научиться
определять верные значащие цифры числа; научиться определять погрешности функций
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по
выполнению работы
Указание. Практическая работа состоит из двух частей – теоретической и практической.
После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению
практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного
выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения
Порядок выполнения работы.
1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены
ниже).
2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.
Ход работы.
Теоретический материал
Понятие погрешности числа
Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью
приближения (обозначается  х),
т.е.  х=х-а - погрешность приближения
откуда х=а+  х,
т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности
приближения.
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется
абсолютной погрешностью приближенного значения числа х.
т.е. x  а  х -абсолютная погрешность приближения.
Запись х= а  h означает, что истинное значение величины х заключено между
границами, т.е. а - h  х  а + h
Пример 1. На предприятии 1284рабочих и служащих. При округлении этого числа
до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 -1284 = 16. При округлении до 1280
абсолютная погрешность составляет 1284 - 1280 = 4.
Пример 2. Даны приближенные значения числа х=
2
; 1  0,6;  2  0,66;  3  0,67.
3
Какое из этих трех приближений является лучшим?
Решение:
2
2 3
1
х1   0,6    ;
2
2 33
1
Находим
;

3
3 5 15 х2   0,66  
3
3 50 150
х 
2
2 67
1
 0,67  

;
3
3 100 300 Лучшим приближением числа х является  3  0,67.
Пример 3. Длина детали х (см) заключена в границах 33  х  34. Найти границу
абсолютной погрешности измерения детали.
Решение: Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое
границ: а=(33+34)/2 = 33,5 (см).
Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не
превзойдет 0,5 (см). Величину а можно найти и как полуразность верхней и нижней
границ, т.е. а = (34-33)/2 = 0,5 (см). Длина детали х, найденная с точностью до а =0,5
(см), заключена между приближенными значениями числа х:
33,5-0,5  х  33,5+0,5;
х=33,5  0,5 (см).
Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения
величины называется относительной погрешностью приближения и обозначается  .
Т.е.
х
ха
=  является относительной погрешностью приближения

а
а
Пример 1. При измерении длины L и диаметра проводника получили L=(10,0  0,1) м, d
= (2,5  0,1) мм. Какое из этих измерений точнее?
Решение: Измерение длины проводника производилось с точностью до 0,1м=100мм, а
измерение диаметра проводника – с точностью до 0,1мм.
При измерении длины проводника допускается абсолютная погрешность в 100мм
на 10000мм, и, следовательно, допустимая абсолютная погрешность составляет
100
 0,01  1% измеряемой величины.
10000
При измерении диаметра допустимая абсолютная погрешность составляет
0,1
 0,04  4% измеряемой величины. Следовательно, измерение длины проводника
2,5
выполнено точнее.
Пример 2.
Известно, что 0,111 является приближенным значением для
1
Найти
9.
абсолютную и относительную погрешности этого приближения.
1
Решение: Здесь х= , а=0,111. Тогда х = х-а = 1/9 – 0,111 = 1/9000-а.п.п,
9
х
1
1
1
-о.п.п

.

а
9000 0,111 999
Пример 3. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность
3
составляет
200-197
=
3.
Относительная
погрешность
равна
или,
197
3
 1,5 %.
округленно,
200
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а
значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить,
что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 4.
Продавец взвешивает арбуз на ча шечных весах. В наборе гирь
наименьшая— 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число — приближенное. Точная
масса арбуза неизвестна. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г.
50
 1,4 %.
Относительная погрешность не превосходит
3600
Самостоятельная работа.
№
1 вариант
2 вариант
Найдите абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел:
1
1) 0,8;
2) 7,6;
3) 19,3;
4) 563,58.
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
2
Граница абсолютной погрешности
Найдите границу абсолютной
приближенного значения 386 числа х = 0,5.
погрешности измерений,
Укажите границы, в которых заключено число полученных в виде неравенства
х.
2 балла
37<х<38
2 балла
3
Амперметр дает точность  0,02 А. При
Атомная масса водорода
измерении силы тока получили 10,63 А.
1,0082  0,0005, а меди
Укажите границы этого числа.
63,44  0,15. Укажите границы
2 балла
приближенных значений этих
чисел.
2 балла
В
университетскую
4
Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в
библиотеку привезли новые
супермаркете
действует
специальное
учебники по геометрии для
2—3 курсов, по 280 штук для
предложение: заплатив за две шоколадки,
каждого курса. Все книги
покупатель получает три (одну в подарок).
одинаковы по размеру. В
книжном шкафу 7 полок, на
Сколько шоколадок можно получить на 320
каждой полке помещается
рублей в воскресенье? 2 балла
30 учебников.
Сколько
шкафов можно полностью
заполнить
новыми
учебниками? 2 балла
5
Больному прописано лекарство, которое нужно Больному прописано лекарство,
пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В
которое нужно пить по 0,5 г 3
одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. раза в день в течение 21 дня. В
Какого наименьшего количества упаковок
одной упаковке 10 таблеток
хватит на весь курс лечения? 2 балла
лекарства по 0,5 г. Какого
наименьшего количества
упаковок хватит на весь курс
лечения? 2 балла
6
Граница абсолютной погрешности приближенного значения a равна h. Найдите
границы, в которых Заключено число x, если:
a=23; h=0.5;
2 балла
Критерии оценки
Количество набранных баллов
6-8
9-10
11-14
a=1.5; h=0.01;
оценка
3
4
5
2 балла