1
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Курганский промышленный техникум»
Сборник контрольных работ по математике
для специальностей ТОП – 50
Курган 2021
2
Сборник контрольных работ по математике для специальностей СПО/ авт.-сост.:
О.В. Секисова - ГБПОУ «Курганский промышленный техникум». – Курган, 2021 –
24 с.
Автор – составитель:
Секисова Ольга Викторовна – преподаватель математики ГБПОУ «Курганский
промышленный техникум»
Рецензенты:
Данное учебно-методическое пособие предназначено для проверки знаний
студентов специальностей ТОП - 50 по курсу дисциплины «Математика». Сборник
содержит контрольные задания с решением нулевого варианта для каждой работы,
а также список рекомендуемой литературы. Данное пособие может быть
рекомендовано преподавателям учреждений профессионального образования.
3
Введение
Сборник контрольных работ по дисциплине « Математика» разработаны для
студентов
обучающихся по специальностям ТОП – 50
ГБПОУ «Курганский
промышленный техникум».
Данный сборник контрольных работ предназначен для контроля качества знаний
студентов.
В сборник включены контрольные работы по темам. В каждой теме
предоставлено два варианта, а также решение нулевого варианта.
При выполнении заданий контрольной работы студенты должны знать:
- основные математические методы решения прикладных задач;
- элементы теории множеств и математической логики;
- основные свойства корня, степени и логарифма;
- основы понятия и аксиомы прямых и плоскостей в пространстве;
- основные тригонометрические тожества и формулы .
Все вышеперечисленные знания
приобретаются студентами на учебных
занятиях и в процессе самостоятельной работы.
Сборник контрольных работ разработан в соответствии с учебной программой
по дисциплине «Математика».
4
Содержание
Введение………………………………………………………………..……………… . 3
Контрольная работа 1 «Элементы теории множеств и математической логики»
5
Контрольная работа 2 «Элементы теории чисел»
6
Контрольная работа 3 «Корни и степени»
9
Контрольная работа 4 «Прямые и плоскости в пространстве»
11
Контрольная работа 5 «Логарифмическая функция»
Контрольная работа 6 «Многогранники»
13
16
Контрольная работа 7 «Тригонометрические формулы»
18
Контрольная работа 8 «Тригонометрические уравнения»
21
Список использованных источников……………………………………...………….. 24
5
Контрольная работа 1 «Элементы теории множеств
и математической логики»
0 вариант
5
1
8
6
№1. Дано множество С ={−4 ; −3; 0; ;8,3; 9;12}. Выделите его подмножество,
элементами которого являются целые числа кратные 3.
Решение:
А={−3; 9; 12}
№2. Даны множества А {1, 3,5,7}и В{0,3,5,7,8} . Найти пересечение и объединение
множеств А и В.
Решение:
А ∪ В={0,1,3,5,7,8} –это объединение множеств.
А ∩ В= {3,5,7, } - это пересечение множеств.
№3. Даны множества А {1, 3,5,7}и В{0,3,5,7,8} . Найти разность множеств А и В, и
разность множеств В и А.
Решение:
А\ В ={1 }
В\ А={0; 8}
№4. Даны множества А = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘, 𝑝, ℎ}, В= {𝑑, 𝑚, 𝑘, 𝑝} и С={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚}
Найдите: (А\ В) ∩ С
Решение:
Найдем разность А и В,
А\ В= {𝑎, 𝑏, 𝑐, ℎ},
Найдем пересечение с С.
(А\ В) ∩ С = {𝑎, 𝑏, 𝑐, }.
№5*. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько
учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не
посещающих занятия в хоре и лыжной секции?
Решение:
24+15= 39 (чел.) занимаются в хоре и лыж. секции вместе.
39-38= 1 (чел.) занимается и в хоре, и в лыжной секции.
24-1= 23(чел.) занимаются только в хоре
15-1=14 (чел.) занимаются только в лыжной секции
Ответ: В лыжной секции занимаются 14 человек, в хоре- 23 человека, а и в хоре, и в
лыжной секции 1 человек.
6
1 вариант
2
3
5
4
№1. Дано множество С ={−2 ; −8; 0; ;8,3; 82;12}. Выделите его подмножество,
элементами которого являются целые числа кратные 4.
№2. Даны множества А {2,6,7,9,11,15}и В{1,3,6,7,10,11} . Найти пересечение и
объединение множеств А и В.
№3. Даны множества А {3,9,5,4,8}и В{6,3,7,8,9,10} . Найти разность множеств А и В,
и разность множеств В и А.
№4. Даны множества А = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑙, 𝑛, 𝑘, 𝑝, ℎ}, В= {𝑑, 𝑙, 𝑘, 𝑛, 𝑝} и С={𝑎, 𝑏, 𝑛, 𝑐, 𝑑, 𝑙}
Найдите: (А\ В) ∩ С
№5*. Из 40 учащихся класса 27 занимаются в хоре и 18 в лыжной секции. Сколько
учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не
посещающих занятия в хоре и лыжной секции?
2 вариант
4
№1. Дано множество С ={−7 ; −7; 0;;6,3; -28;343}. Выделите его подмножество,
7
элементами которого являются целые числа кратные 7.
№2. Даны множества А {0,1,2,3,6,8,9}и В{1,4,3,6,7,10} . Найти пересечение и
объединение множеств А и В.
№3. Даны множества А {1,2,6,7,8,9}и В{3,7,8,9,10,11,13} . Найти разность множеств
А и В, и разность множеств В и А.
№4. Даны множества А = {𝑎, 𝑥, 𝑐, 𝑑, 𝑙, 𝑛, 𝑘, 𝑧, 𝑠}, В= {𝑑, 𝑙, 𝑘, 𝑛, 𝑧} и С={𝑎, 𝑥, 𝑛, 𝑐, 𝑑, 𝑙}
Найдите: (А\ В) ∩ С
№5*. Из 37 учащихся класса 22 занимаются в хоре и 14 в лыжной секции. Сколько
учащихся занимается в хоре и лыжной секции, если в классе нет учащихся, не
посещающих занятия в хоре и лыжной секции?
Контрольная работа 2 «Элементы теории чисел»
0 вариант
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:
1.
а)
5
11
б)
28
15
Решение:
а)
б)
5
11
28
15
= 0,45(45),
= 1,86(6)
7
2.
Вычислите:
26
16
i + i + i20+3 i4 – i34==-5
Решение:
При решении данного выражения используем свойство i2=-1
i26+ i16+ i20+3 i4 – i34=-1+(-1)+(-1)+3(-1)-(-1)=-1-1-1-3+1=-5
3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости:
z1= - 3 + 5i, z2= 4 -7i
Решение:
z1= - 3 + 5i
z2= 4 -7i
4. Даны числа z1= 2 + i, z2= 1 -3i. Вычислите:
а) сумму чисел z1 и z2;
б) разность чисел z1 и z2;
в) произведение чисел z1 и z2.
Решение:
а) 𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 1) + (𝑖 + (−3𝑖)) = 3 − 2𝑖
б) 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − 1) + (𝑖 − (−3𝑖)) = 1 + 4𝑖
в) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =(2∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ 𝑖 2 + (2 ∙ (−3𝑖) + 1 ∙ 𝑖) = −1 − 5𝑖
№ 5.* Вычислите значение выражения:
1
(2,7 − 0,8) ∙ 2
3 ) ÷ 2 1 + 0,43 = 0,5
(
3
2
(5,2 − 1,4) ÷
70
Решаем данный пример по действиям:
1) 2,7 − 0,8 = 1,9
1
19 7
133
3
10 3
30
2) 1,9 ∙ 2 =
∙ =
3) 5,2 − 1,4 = 3,8
4) 3,8 ÷
5)
6)
133
30
1
20
÷
3
=
70
266
3
38
3
÷
10
70
133
3
=
∙
=
38 70
10
=
∙
3
=
20
+
1000
3
1
30 266
20
1
125
1
+ 0,125 =
266
=
20
1
2+5
8
40
+ =
=
7
40
8
7
7)
40
1
7
2
40
÷2 =
5
7
2
40 5
÷ =
2
∙ =
7
100
= 0,07
8) 0,07 + 0,43 = 0,5
Ответ: 0,5
1 вариант
1. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:
13
;
а) 15
35
.
б) 111
2. Вычислите:
i 8 i 40 i 30 2i 2 i 52 .
3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости:
z1= - 1 +3i, z2= 4 + 5i.
4. Даны числа z1= - 1 +3 i, z2= 4 + 5i. Вычислите:
а) сумму чисел z1 и z2;
б) разность чисел z1 и z2;
в) произведение чисел z1 и z2.
5.* Вычислите значение выражения:
3
1
3
(6,72: + 1 ∙ 0,8) : 1,21 − 6
5
8
8
1.
2 вариант
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:
3
;
а) 11
95
.
б) 333
2. Вычислите:
2i 6 i 20 i 30 i 36 i 54 .
3. Постройте комплексные числа в координатной плоскости:
z1= - 1 - 4i, z2= 3 +5i
4. Даны числа z1= - 3 +5i, z2= 4 -7i. Вычислите:
а) сумму чисел z1 и z2;
б) разность чисел z1 и z2;
в) произведение чисел z1 и z2
5.* Вычислите значение выражения:
3
1
3
(6,72: + 1 ∙ 0,8) : 1,21 − 6
5
8
8
9
Контрольная работа 3 «Корни и степени»
0 вариант
№1. Вычислите:
1) √0,81
3
2) √125
3
3) 0,6 √243
6
4)
(0,2√5)2
7
5) −3√(−8)7
Решение: При решении используем свойства корня n-ой степени, и свойства
степени с одинаковым основанием.
1) √0,81 = 0,9
3
3
1) √125 = √53 = 5
3
3
2) 0,6 √243 = 0,6√73 = 0,6 ∙ 7 = 4,2
3)
6
(0,2√5)2
=
6
0,22 (√5)2
=
6
0,04∙5
=
6
0,2
= 30
7
4) −3√(−8)7 = −3 ∙ (−8) = 24
№2. Вычислите:
7
√220 ∙510
1)
7
√26 ∙53
4
3
81
2) √125 − 2√
16
Решение: При решении данного задания будем использовать свойства корня nой степени, и свойства степени с одинаковым основанием.
7
√220 ∙ 510
1)
7
√26 ∙ 53
3
4
7 220 ∙ 510
7
= √ 6 3 = √214 ∙ 57 = 22 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20
2 ∙5
81
3
4
34
3
3
1
2) √125 − 2√ = √53 − 2 √ 4 = 5 − 2 ∙ = 5 − = 3
16
2
4
2
2
−1
№3. Упростите: с−1 с 3 с4 с.
Решение: применим свойства степени с одинаковым основанием, получим
1
−1− +4+1
с 3
11
с3
3
=
= √с11
№4*. Решим уравнение:
.
Решение: Перейдем к равносильной системе:
10
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют
неравенству.
,
Неравенству
Ответ: x=1
удовлетворяет только корень
1 вариант
№1. Вычислите:
5) √0,49
3
6) √64
4
7) 0,5 √81
8)
6
(3√2)2
3
9) −3√(−6)3
№2. Вычислите:
4
4
1) √37 ∙ 57 ∙ √59 ∙ 3
2) 27
1⁄
3
+ 25
№3. Упростите:
5
7
−1⁄
2
+ 16
2
12
3
3⁄
4
− 27
4⁄
3
5
а) a a a ; б) a a a
№4*. Решить иррациональное уравнение
√10 − х = х + 2
2 вариант
№1. Вычислите:
10)
11)
12)
13)
√0,25
5
√32
4
0,7 √81
6
(2√3)2
5
14) −3√(−7)5
№2. Вычислите:
6
6
3) √4 ∙ 517 ∙ √47 ∙ 5
11
4) 16
1⁄
2
+ 27
№3. Упростите:
−1⁄
3
+ 81
3⁄
4
−8
5⁄
3
а) b b b ;
б) 2 2 2 2 .
№4*. Решить иррациональное уравнение
1 3
3
1
2
1
4
1
8
2х − 13 = √х2 − 9х + 25
Контрольная работа 4 «Прямые и плоскости в пространстве»
0 вариант
№1. Выполните чертеж к задаче. Прямые а и b не имеют общих точек и
пересекают плоскость 𝛼 в разных точках.
Решение:
№2. Выполните чертеж к задаче. Плоскость α проходит через середины сторон АВ и
АС ΔАВС и не содержит вершины А.
Решение:
№3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые
параллельные для прямой АД; б) прямые скрещивающиеся с прямой СС1 ;
в) плоскости параллельные прямой АВ.
Решение:
12
а) AD||A1D1, AD||BC, AD||B1C1.
б) A1D1, AB.
в) DD1CC1, A1B1C1D1.
№4*. Прямая АМ пересекает плоскость α в точке О, ОМ=MN, расстояние от точки
М до плоскости равно 2 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если
точка О середина АВ.
Дано: α, АМ∩ 𝛼=О, МN=2см.
ОМ=MN
Найти: АВ
Решение:
1. ∆ОАВ −прямоугольный, т.к. АВ – перпендикуляр, опущенный на плоскость
α.
2. 𝑀𝑁 − средняя линия ∆ОАВ, т.к. ОМ=MN
1
3. По свойству средней линии треугольника MN= АВ, следует,
2
АВ = 2 ∗ 𝑀𝑁 = 2 ∗ 2 = 4см
Ответ: АВ=4см
1вариант
№1. Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и с имеют общую точку О и
лежат в одной плоскости.
№2. Выполните чертеж к задаче.
Прямая а параллельна каждой из
параллельных плоскостей α и β.
13
№3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые
параллельные для прямой АВ; б) прямые скрещивающиеся с прямой ДД1 ; в)
плоскости параллельные прямой АД.
№ 4*. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до
плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка
В середина ОА.
2вариант .
№1. Выполните чертеж к задаче. Прямые СД и СК пересекают плоскость β в
разных точках.
№2. Выполните чертеж к задаче. Прямая АВ параллельна плоскости γ, а
прямая АC пересекает ее в точке C.
№3. Выполните чертеж куба АВСДА1 В1 С1 Д1 . По чертежу укажите: а) прямые
параллельные для прямой СД; б) прямые скрещивающиеся с прямой АВ; в)
плоскости параллельные прямой ВС.
№4*. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до
плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка
А средина ОВ.
Контрольная работа 5 «Логарифмическая функция»
0 вариант
№1. Найдите значения логарифма:
1) log 1 25
5
2) log 2 16
3) log 1 49
7
Решение:
1) log 1 25 = −2
5
2) log 2 16 = 4
3) log 1 49 = −2
7
№2. Найдите 𝜒:
1) log 36 х = −
2) log 2
1
32
=х
1
2
14
1
3) log х = −3
8
Решение:
1
1) log 36 х = − , по определению логарифма
2
−1
1
1
х = 36 2 =
=
√36 6
2) log 2
1
32
= х, по определению логарифма
1
32
х
2 = 2−5
х= -5
2х =
1
3) log х = −3, по определению логарифма
8
1
8
−3
х = 2−3
х=2
№ 3. Вычислите значения логарифмического выражения:
х−3 =
√log16 4 + log16 24 − log16 6
Решение:
При решение данного задания, будем использовать свойства логарифмов:
√log16 4 + log16 24 − log16 6 = √log16
4 ∙ 24
= √log16 16 = √1 = 1
6
№ 4. Найти область определения функции у = log3 (x2 +х - 5)
Решение:
(x2 +х - 5) > 0, по определению логарифма
Решаем квадратное уравнение (x2 +х - 5) = 0,
D=25, х1 = - 3, х2 = 2.
На координатной прямой отметим точки и определим знак функции на каждом
интервале
В ответ запишем те промежутки, где функция принимает положительные значения.
15
Ответ: х ∈ (−∞; −3) ∪ (2; +∞)
№ 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения log3x > log3(5 – x)
Решение:
х>0
ОДЗ: {
5 − х > 0,
х>0
{
х<5
х ∈ (0; 5)
Решим логарифмическое неравенство
х > 5 − х,
х + х > 5,
2х > 5,
х > 2,5
Отметим на одной координатной прямой ОДЗ и решение неравенства
х ∈ (0; 5)
И х > 2,5
Ответ: х ∈ (2,5; 5)
1 вариант
№1. Найдите значения логарифма:
4) log 2 8
5) log 2
1
2
6) log 1 16
2
№ 2. Найдите 𝜒:
4) log 2 х = −3
5) log 625 5 = х
6) log х 25 = 2
№ 3. Вычислите значения логарифмического выражения:
1
log 5 150 − log 5 3 + log 5 − log 5 1
2
№ 4. Найти область определения функции у = log3 (x2 – 13х + 12)
№ 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения
log2( 5 - 4х) > log2(х – 1)
2 вариант
№ 1. Найдите значения логарифма:
16
7) log 3 9
8) log 3
1
3
9) log 1 27
3
№ 2. Найдите 𝜒:
7) log 3 х = −2
8) log 64 4 = х
9) log х 16 = 2
№ 3. Вычислите значения логарифмического выражения:
4
log 3 4 − 4 log 3 2 + log 3 + log 3 1
9
№ 4. Найти область определения функции у = lg (-x2 – 5х + 14)
№ 5*. Решите неравенство и укажите все его целые решения
log 1 ( 2 x 3) < log 1 (3x 2)
7
7
Контрольная работа 6 «Многогранники»
0 вариант
№1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань
- квадрат.
Дано: ABCA1B1C1 - прямая призма; ∠ACB = 90°; АС = 6 см; ВС = 8 см; АВВ1А1 квадрат.
Найти: Sбок
Решение:
1) ΔABC: АВ = √62 + 82 = 10 (по теореме Пифагора);
2) Наибольшая боковая грань – АВВ1А1, так как АВ - гипотенуза, тогда АА1ВВ1
квадрат АА1 = 10 см.
3) Sбок= (АВ + ВС + АС) ∙ АА1 = (6 + 8 + 10) ∙ 10 = 240см2
17
Ответ: 240 см2
№2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с
плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SA = 4 см, ∠SAD = 45°.
Найти: a) SO; б) S6ок.
Решение:
1) ΔSАО - прямоугольный; 𝑆𝑂 = 𝐴𝑆 ∙ 𝑠𝑖𝑛450 =
4 √2
2
= 2√2см
SO=AO=2√2см
2) ΔAOD – прямоугольный; 𝐴𝐷 =
𝐴𝑂
𝑐𝑜𝑠450
=
2√2∙2
√2
= 4см.
3) ΔSOH - прямоугольный; 𝑆𝐻 = √𝑆𝑂2 + 𝑂𝐻2 = √(2√2)2 +22 =√12 = 2√3
1
1
2
2
4) Sбок =4( 𝐷𝐶 ∙ 𝑆𝐻) = 4 ∙ ∙ 4 ∙ 2√3 = 16√3см
Ответ: а) 2√2см, б) 16√3см
№3*. Ребро куба ABCDA1B1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее
через прямую В1С и середину ребра AD и найдите площадь этого сечения.
Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а.
Построить: сечение (МКР): К - середина AD; М - середина АВ; (КМР || ВС).
Найти: SMKP.
18
Решение:
1) КМ, МР, КР - средние линии ΔABD, ΔАВС, ΔADC соответственно, значит, КМ
1
= МР = КР = а.
2) 𝑆𝑀𝐾𝑃 =
Ответ:
2
𝑎
( )2 ∙√3
2
4
𝑎 2 √3
16
=
𝑎 2 √3
16
см2
см2
1 вариант
№ 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см
и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее
наименьшая боковая грань - квадрат.
№ 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом 60°.
а) Найдите боковое ребро пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
№ 3*. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра,
проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите
площадь этого сечения.
2 вариант
№ 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань
- квадрат.
№ 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √3 см, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом 30°.
а) Найдите боковое ребро пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
№ 3*. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра,
проходящее через середину ребра DВ параллельно плоскости DАC, и найдите
площадь этого сечения.
Контрольная работа 7 «Тригонометрические формулы»
0вариант
№1. Найдите значения выражения:
1) 2sin 60° − 2cos 30° + tg 30°
19
𝜋
𝜋
𝜋
3
6
3
2) tg − cos − sin
Решение:
При решении данного задания будем использовать таблицу основных
значений тригонометрических функций.
√3
2
√3
1) 2sin 60° − 2cos 30° + tg 30°=2 ∙
𝜋
𝜋
𝜋
2) tg 3 − cos 6 − sin 3 =
√3
3
−
√3
2
−
2
√3
+ √3
2
2√3−3√3−3√3
6
−2∙
=
= √3
=−
4 √3
6
=−
2√3
3
№2. Упростите выражение:
1) 3sin2 х + 3 cos 2 х − 3
2) 8 − 8cos 2 х
Решение:
При решении данного задания будем использовать основные
тригонометрические тождества: sin2 х + cos 2 х = 1
1) 3sin2 х + 3 cos 2 х − 3 = sin2 х + 3 (cos 2 х − 1) = sin2 х + 3 𝑠𝑖𝑛2 х = 4sin2 х
2) 8 − 8cos 2 х = 8(1 − cos 2 х) = 8 sin2 х
№3. Вычислите, применяя формулы приведения:
1) cos(2𝜋 + 60°)
𝜋
2) sin(− )
3
𝜋
3) cos( 𝜋 + )
6
𝜋
4) сtg (𝜋 + )
4
Решение:
1) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 + 60°)=cos60°=
𝜋
2) 𝑠𝑖𝑛(− ) =
3
1
2
√3
−
2
𝜋
𝜋
6
𝜋
6
𝜋
3) 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + ) = −cos = −
𝜋
√3
2
4) с𝑡𝑔 ( + ) = − 𝑡𝑔 = −1
2
4
4
№4*. Найдите cos t, если sin t =
1
2
, t – угол 2 четверти.
Решение:
При решении данного задания, воспользуемся основным
тригонометрическим тождеством: sin2 х + cos 2 х = 1,
Выражаем cos t,
получим cos 𝑡 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑡,
Подставим значения sin t, получим
20
1
3
2
4
√3
2
cos 𝑡 = √1 − ( )2 =√ = .
Так как угол t второй четверти, функция косинус в этой четверти принимает
отрицательные значения, следовательно cos t= Ответ: cos t= -
√3
.
2
√3
.
2
1 вариант
№1. Найдите значение выражения:
1) 2cos 30° + 2 cos 60° − tg 60°
𝜋
𝜋
2) 3 sin + 5 cos
6
3
№2. Упростите выражения:
1) sin2 х + cos 2 х − 1
2) 6cos 2 х − 6
№3. Вычислите, применяя формулы приведения:
𝜋
1) sin( 𝜋 + )
3
2) cos ( −𝜋)
𝜋
𝜋
3) sin( + )
4
2
𝜋
4) tg(𝜋 + )
3
№ 4*. Найдите tg t, если ctg t= − √3 , t - угол 4 четверти.
2 вариант
№1. Найдите значения выражения:
1) 2cos 60° + 2 sin 30° − tg 45°
𝜋
𝜋
2) sin + 3 cos
4
4
№2. Упростите выражения:
1) cos 2 х + sin2 х + 1
2) 12sin2 х − 12
№3. Вычислите, применяя формулы приведения:
𝜋
1) sin(− + 2𝜋)
4
𝜋
2) cos( + 30°)
2
3𝜋
3) t𝑔(−
2
)
𝜋
4) сtg (2𝜋 − )
4
№ 4*. Найдите сtg t, если tg t =
√3
3
, t - угол 3 четверти.
21
Контрольная работа 8 «Тригонометрические уравнения»
0вариант
№1. Решите простейшие тригонометрические уравнения:
1) cos х = 1
2) sin х = −
3) сt𝑔 х =
1
2
√3
3
Решение:
1) cos х = 1
х=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠1 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
Ответ: x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
4
2) sin х = −
1
2
1
𝑘
х=(−1) arcsin(− )+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
x
7π
=(−1)𝑘 +
6
𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
Ответ: x =(−1)𝑘
3) сt𝑔 х =
7π
6
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
√3
3
√3
х = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
№2. Решите тригонометрические уравнения:
3𝜋
1) 𝑐𝑜𝑠 (
2
+ х) = −
√2
2
3𝜋
√2
+ х) = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
2
3𝜋
3𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
( + х) = ±
2
4
(
22
x=±
3𝜋
4
𝜋
−
3𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝜋
Ответ: x=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
№3*. Решите уравнение: 5𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
Решение:
Уравнения данного вида решаются с помощью введения новой переменной.
Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 = у, тогда
получим уравнение 5у2+4у=1, приведем его к
стандартному виду квадратного уравнения
5у2+4у- 1=0, решим данное уравнение.
1
Д=36, у1=-1, у2=
5
Подставим данные значения в исходное уравнение
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 или 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
5
Решим каждое уравнение
или
cos х = −1
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
5
1
х=±arccos(−1) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
х=±arccos +2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
5
x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
1
Ответ: x=±𝜋 + 2𝜋𝑛, х = ±arccos +2𝜋𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍
5
1 вариант
№1. Решите простейшее тригонометрические уравнения:
1) cos х = −
√2
2
2) sin х = −1
3) t𝑔 х =
√3
3
№2. Решите тригонометрическое уравнение:
𝜋
√2
sin ( + х) = −
2
2
№3*.Решить уравнение:
а) 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
б) 6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
в) 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4
2 вариант
№1. Решите простейшие тригонометрические уравнения:
23
1) cos х =
2) sin х =
1
2
√3
2
3) сt𝑔 х = √3
№2. Решите тригонометрическое уравнение:
𝜋
0 tg ( − х) = 1
2
№3*. Решить уравнение
а) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
б) 10𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
в) 5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5
24
Список использованных источников
Основные
1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. Задачник для
учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.
Мордкович, Л.О. Денищева. – М.:Мнемозина,2018.- 343с.
Дополнительные
1. ЕГЭ. Математика: сборник заданий /В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. –
М.:Эксмо,2019.
2. Потапов, М.К. "Алгебра и начала анализа, 11 класс": дидактические
материалы / М.К. Потапов, А.В. Шевкин - М.: Просвящение, 2017.
3. Звавич Л.И. Контрольные и проверочные работы по математике. 10-11
класс.: методическое пособие / Л.И. Звавич, - М.: Дрофа, 2018.
Интернет – источники
1. Сайт «Учебники XXI века» [Электронный ресурс] /www.OZON.ru/.
2. Сайт Издательский
/www.1September/ru/.
дом
«Первое
сентября»
[Электронный
3. Сайт «Учительская газета» [Электронный ресурс] /www.ug.ru.ru/.
ресурс]
