2013
УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73
С23
Р Е Ц Е Н З Е Н Т Ы:
Кафедра «Теория вероятностей»
механико-математического факультета
МГУ им. М.В. Ломоносова;
В.П. Носко,
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник лаборатории теории вероятностей
МГУ им. М.В. Ломоносова
С23
Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч.
Ч. 3.Браилов А.В. Теория вероятностей: учеб. пособие / А.В. Браилов,
А.С. Солодовников; под ред. В.А. Бабайцева, В.Б. Гисина. – М.:
Финансы и статистика, 2013. – 128 с.: ил.
ISBN 978-5-279-03442-0
В эту часть Сборника включены задачи и упражнения по основным разделам теории вероятностей: случайным событиям, случайным величинам и случайным векторам. Содержание и набор задач полностью соответствуют программе обучения бакалавров по направлению «Экономика». Тематика задач
максимально приближена к соответствующим главам учебника тех же авторов.
Главы Сборника разбиты на параграфы-темы. Каждый параграф начинается с
основных сведений по рассматриваемой теме и разбора решения типовых примеров, а заканчивается задачами и упражнениями для самостоятельной работы.
Для студентов и преподавателей экономических вузов и бизнес-школ, а
также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике.
УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73
ISBN 978-5-279-03442-0
© Браилов А.В., Солодовников А.С., 2010, 2013
© льсдате Из тво «Фы нас и и »,
тика с
2010, 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..............................................................................................
4
Г л а в а 1 . Случайные события..............................................................
5
§ 1.1. Элементы комбинаторики ..................................................
5
§ 1.2. Комбинации событий. Классический способ
подсчета вероятностей........................................................
11
§ 1.3. Геометрические вероятности .............................................
18
§ 1.4. Правила сложения и умножения вероятностей .................
21
§ 1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса ..............
26
§ 1.6. Независимые испытания. Схема Бернулли.
Приближенные формулы Лапласа и Пуассона..................
31
Г л а в а 2 . Случайные величины...........................................................
40
§ 2.1. Распределение дискретной случайной величины..............
40
§ 2.2. Независимые дискретные случайные величины ...............
44
§ 2.3. Математическое ожидание дискретной случайной
величины .............................................................................
49
§ 2.4. Дисперсия дискретной случайной величины ....................
55
§ 2.5. Ковариация и коэффициент корреляции............................
59
§ 2.6. Моменты случайных величин ............................................
64
§ 2.7. Числовые характеристики основных дискретных
законов распределения .......................................................
68
§ 2.8. Непрерывные случайные величины...................................
73
§ 2.9. Нормальные случайные величины .....................................
86
Г л а в а 3 . Случайные векторы .............................................................
92
§ 3.1. Двумерные случайные векторы. Дискретные
векторы ................................................................................
92
§ 3.2. Абсолютно непрерывные случайные векторы ..................
99
§ 3.3. Условные распределения и их числовые
характеристики ...................................................................
107
Ответы .......................................................................................................
118
Приложение...............................................................................................
123
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач, подготовленный коллективом преподавателей
кафедры математики Финансовой академии при Правительстве
Российской Федерации, дополняет созданный на той же кафедре
учебник «Математика в экономике».1 После выхода в свет упомянутого учебника возникла потребность в сборнике задач, в полной
мере отражающем содержание учебника, а также новации в области высшего образования на современном этапе развития экономики.
Материал учебника и Сборника задач соответствует программе
бакалавриата по направлению «Экономика».
Сборник задач состоит из трех частей: часть 1 «Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование»;
часть 2 «Математический анализ»; часть 3 «Теория вероятностей».
В трех частях Сборника содержится более 2000 задач и упражнений, собранных в 20 главах, тематика которых максимально приближена к соответствующим главам учебника. Особого внимания
заслуживают разобранные типовые примеры, имеющие экономическое содержание. Среди задач для самостоятельной работы также
имеются задачи с экономическим и финансовым содержанием.
В часть 3 включены задачи и упражнения по основным разделам теории вероятностей: случайным событиям, случайным величинам и случайным векторам.
Так же, как и в предыдущих частях Сборника задач, в этой части каждый параграф начинается с изложения основных теоретических сведений по данной теме параграфа и разбора типовых примеров, после чего приводятся упражнения и задачи для самостоятельной работы.
Разделение задач по трудности не проводилось, однако, наиболее сложные из них отнесены в конец параграфа.
Ко всем задачам, в которых требуется получить ответ в виде
числа или таблицы, в конце книги даны ответы, а в задачах на доказательство приведены указания.
1
Солодовников А.С. Математика в экономике: в 3-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: Финансы и статистика, 2007–2008.
4
ГЛАВА 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1.1. Элементы комбинаторики
Основные сведения
В основе решения многих комбинаторных задач лежит правило
произведения. Назовем строкой длины k любую последовательность (x1, x2, …, xk), где x1, x2, …, xk − какие-либо объекты. Две
строки одинаковой длины (x1, x2, …, xk) и (y1, y2, …, yk) считаются
различными, если хотя бы для одного номера i имеем xi ≠ yi.
Правило произведения. Пусть объект x1 может быть выбран m1 способами; при фиксированном выборе x1 объект x2 может быть выбран m2 способами; при фиксированном выборе x1, x2
объект x3 может быть выбран m3 способами и т.д. Тогда число
различных строк (x1, x2, …, xk) будет m1⋅m2⋅…⋅mk.
В частности, если объект x1 может быть выбран m1 способами, а
при каждом фиксированном выборе x1 объект x2 может быть выбран m2 способами, то число различных строк (x1, x2) равно m1⋅m2.
Пусть X − множество, состоящее из n элементов. Перестановкой множества X называется расположение элементов этого множества в каком-то определенном порядке. Число различных перестановок множества, состоящего из n элементов, равно n! =
= 1⋅2⋅3⋅…⋅n.
Пусть снова X − множество из n элементов. Любое подмножество Y множества X, состоящее из m элементов (m ≤ n), называется
сочетанием m элементов из n. Число различных сочетаний m элементов из n обозначается Cnm . Справедлива формула
Cnm =
n!
m !( n − m )!
или
5
Cnm =
n ( n − 1)( n − 2 )… ( n − ( m − 1) )
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅
m
.
Например,
Сn1 =
n ( n − 1) 3 n ( n − 1)( n − 2 )
n
= n, Cn2 =
, Cn =
, ...
1
1⋅ 2
1⋅ 2 ⋅ 3
По определению, Cn0 = 1.
Свойства чисел Cnm :
1. Cnm = Cnn − m .
2. Cnm + Cnm +1 = Cnm++11.
Для любого натурального n справедлива формула
( a + b)
n
= Cn0a 0bn + Cn1a1bn −1 + … + Cnn −1a n −1b + Cnn a n b0
(формула бинома Ньютона). Из школьного курса известны частные случаи этой формулы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Примеры
1. У одного книголюба 7 книг, у другого − 6. Все книги различные. Сколькими способами можно осуществлять обмен книги на
книгу?
Р е ш е н и е . Любой обмен можно представить как строку (x1,
x2), где x1 − любая из книг первого, а x2 − любая из книг второго
книголюба. Книга x1 может быть выбрана 7 способами, а при любом выборе x1 книга x2 − 6 способами. По правилу произведения
число различных обменов будет 7⋅6 = 42.
2. В группе 30 студентов. Ежедневно для дежурства выделяются два человека. Можно ли составить расписание дежурств
6
на год вперед так, чтобы никакая пара студентов не дежурила
дважды?
Р е ш е н и е . Дежурная группа представляет собой подмножество из двух элементов во множестве, состоящем из 30 элементов.
Поэтому число всех возможных дежурных групп равно
C302 =
30 ⋅ 29
= 435.
1⋅ 2
Это превосходит число дней в году (365). Следовательно, требуемое расписание дежурств составить можно.
3. Сколькими способами группа из 10 человек может выстроиться в очередь за получением стипендии?
Р е ш е н и е . Любое выстраивание в очередь есть перестановка
множества из 10 элементов. Поэтому число всех возможных очередей будет
10! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 = 3628800.
4. Найти коэффициент при x4 в разложении бинома
10
1⎞
⎛
⎜x+ ⎟ .
x⎠
⎝
Р е ш е н и е . Любой член указанного бинома имеет вид
10 − k
⎛1⎞
C10k x k ⎜ ⎟
⎝ x⎠
= C10k x 2 k −10 .
Полагая 2k − 10 = 4, получим k = 7. Поэтому член бинома, со10 ⋅ 9 ⋅ 8
= 120.
держащий x4, будет C107 = C103 =
1⋅ 2 ⋅ 3
5. Сколько различных слов максимальной длины можно составить из двух букв "а" и 10 букв "в"?
Р е ш е н и е . Для пояснения приведем два примера требуемых
слов:
вввввваввавв,
вввавваввввв.
(1.1)
(1.2)
7
Рассмотрим любое из требуемых слов и отметим номера тех
мест, где стоит буква "а". Например, для слов (1.1) это будут номера 7, 10, а для слова (1.2) – номера 4, 7. Совокупность таких номеров представляет собой подмножество из двух элементов в множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, состоящем из 12 номеров. И обратно, каково бы ни было подмножество из двух элементов в множестве X, ему отвечает в указанном смысле слово из двух
букв "а" и десяти букв "в". (Например, для подмножества {1, 7}
таким словом будет аввввваввввв.) Таким образом, различных слов
требуемого вида будет столько же, сколько различных подмножеств из двух элементов имеется в множестве X, т.е. C122 = 66.
6. На фондовой бирже продаются акции трех предприятий I, II,
III. Сколькими способами можно приобрести 10 акций?
Р е ш е н и е . Сопоставим каждому набору из 10 акций указанных предприятий слово из десяти единиц и двух нулей следующим
способом. Вначале пишем единицы в количестве, равном числу
купленных акций предприятия I, затем пишем нуль, чтобы отделить акции первого предприятия от акций второго, затем пишем
единицы в количестве, равном числу купленных акций предприятия II, пишем нуль и дописываем единицы для акций третьего
предприятия. Например, если было куплено 5 акций предприятия I,
3 акции предприятия II и 2 акции предприятия III, то получим слово 111110111011.
Таким образом, каждому набору из 10 акций сопоставлено слово из 10 единиц и 2 нулей. Число таких слов, согласно примеру 5,
12 ⋅ 11
= = 66.
равно C102 + 2 =
1⋅ 2
7. Для поступления в вуз нужно сдать 3 вступительных экзамена: русский язык, иностранный язык и математику. Экзамены сдаются по пятибалльной системе, причем получение оценки "2" делает поступление невозможным. Сколькими способами абитуриент
может получить на экзаменах не менее 12 баллов (сдача экзамена с
оценкой "2" исключается).
Р е ш е н и е . Для получения не менее 12 баллов нужно "потерять" не более трех баллов. Пусть последовательность экзаменов
такова: русский язык, математика, иностранный язык. Рассмотрим
так называемое "дерево вариантов" (рис. 1.1).
8
Суммируя оценки по всем дисциплинам, мы видим, что имеется ровно 17 возможностей набрать не менее 12 баллов (соответствующие отрезки снабжены стрелками).
3
4
5
3
3
4
4
5
5
3
4
5
Русский
язык
Математика
Иностранный
язык
Рис. 1.1.
Упражнения
1.1. Сколькими способами можно поставить 7 человек в очередь?
1.2. На сколько нулей оканчиваются числа: а) 30!; б) 200!?
1.3. Сколько различных словарей необходимо для непосредственного перевода с любого из данных 5 языков на любой другой
(из тех же 5 языков)?
1.4. В учреждении 20 отделов. Любые два отдела соединены
телефонной линией. Сколько всего телефонных линий?
1.5. У одного книголюба 6 книг, у другого − 7 (все книги различны). Сколькими способами можно осуществить обмен двух
книг на две книги?
1.6. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек
могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только
трое из них?
9
1.7. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет 0, 1 и 2, а
все цифры различны?
1.8. Сколько имеется пятизначных чисел, в которых две одинаковые цифры не стоят рядом?
1.9. Сколько семизначных чисел, в которых три 3 и четыре 4?
1.10. Сколько шестизначных чисел, в которых две 2, две 3 и
две 4?
1.11. Сколько шестизначных чисел, в которых две 2, две 3 и
нет 0?
1.12. В гостинице свободны одноместные номера с 1-го по
30-й. Сколькими способами можно разместить в этих номерах двух
человек, если первый предпочитает номера с 1-го по 20-й, а второй
– с 11-го по 30-й?
1.13. Имеется 6 карточек, на каждой из которых написано по
одной цифре: на трех – цифра 7, еще на трех – цифра 9. Сколько
различных пятизначных чисел можно составить из этих карточек?
1.14. В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии,
что все они поедут в разных вагонах?
1.15. Сколькими способами шесть различных учебников можно распределить поровну между двумя студентами?
1.16. Сколькими способами 12 различных книг можно распределить поровну между тремя людьми?
1.17. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, если две определенные книги должны стоять рядом?
1.18. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение 10 дней.
Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
1.19. Сколько чисел, заключенных между 1000 и 9999, содержат цифру 3?
1.20. Предприятие может предоставить работу по данной специальности четырем женщинам, по другой специальности − пяти мужчинам, и по третьей специальности − трем работникам любого пола.
Сколькими способами можно заполнить эти места, если имеется 18
претендентов на них, среди которых 8 женщин и 10 мужчин?
1.21. В группе 12 девушек и 10 юношей. Сколькими способами
можно выстроить их в очередь, если в ней как все девушки, взятые
отдельно, так и все юноши, взятые отдельно, должны стоять по
росту?
1.22. На фондовой бирже продаются акции 5 предприятий.
Сколькими способами можно приобрести 20 акций?
10
1.23. По формуле бинома Ньютона напишите разложение для
(1 − x3)5.
1.24. В разложении выражения (1 + x 3 + x −5 )
13
по степеням x
−1
найдите член, содержащий x .
1.25. Используйте биномиальную формулу для приближенного
вычисления: а)1,00210; б)0,99710.
1.26. Докажите равенство Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn = 2n . Дайте истолкование этому равенству исходя из смысла чисел Cnk .
1
1
1
1
1.27. Чему равна сумма Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... +
Cnn ?
2
3
4
n +1
1.28. Пусть r – годовая ставка банковского процента. Тогда
при ежемесячном начислении сложных процентов вклад в банке
12
r ⎞
⎛
увеличится за год в ⎜ 1 + ⎟ раза, а при ежеквартальном начисле⎝ 12 ⎠
4
r⎞
⎛
нии – в ⎜ 1 + ⎟ раза. Найдите коэффициент при наименьшей сте⎝ 4⎠
12
4
r ⎞ ⎛
r⎞
⎛
пени r в многочлене ⎜ 1 + ⎟ – ⎜ 1 + ⎟ .
12
4
⎝
⎠ ⎝
⎠
1.29. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на три подгруппы по 3, 4 и 5 человек?
1.30. Сколькими способами можно расставить последовательные 10 чисел так, чтобы четные числа имели четные номера?
1.31. Код замка состоит из 4 цифр, в который однократно входят цифры 1, 3, 7. Найдите число возможных кодов.
§ 1.2. Комбинации событий. Классический способ
подсчета вероятностей
Суммой событий A и B называется событие A + B, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Вообще,
суммой конечного или счетного множества событий называется
событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий данного множества.
Произведением событий A и B называется событие AB, заключающееся в одновременном (совместном) наступлении обоих собы11
тий A и B. Произведением конечного или счетного множества событий называется событие, заключающееся в одновременном наступлении всех событий данного множества.
Противоположным событием для A называется событие A ,
заключающееся в том, что A не наступает. Иначе говоря, A − это
ненаступление A.
Если наступление события отмечать символом 1, а ненаступление − символом 0, то полное описание событий A + B, AB и A
можно дать с помощью следующих таблиц:
A B
0 0
0
1
1
1
0
1
A+ B
0
1
1
1
A B
0 0
0
1
1
1
0
1
AB
0
0
0
1
A A
0
1
1
0
Справедливы формулы
A + B = A ⋅ B, A ⋅ B = A + B,
вообще,
A1 + A2 + … + An = A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An ,
A1 A2 … An = A1 + A2 + … + An .
При этом равенство двух событий понимается в том смысле,
что всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.
С формальной точки зрения событие А – подмножество пространства элементарных событий Ω, испытание – случайный выбор элемента ω (называемого элементарным исходом) из множества Ω. Если для элементарного исхода ω выполняется включение
ω ∈ A, то событие А наступает, если же ω ∉ A, то А – не наступает.
В классической вероятностной модели пространство элементарных событий Ω = {ω1, ω2, …, ωn} – конечное множество. При
этом все элементарные события ω1, ω2, …, ωn являются равновозможными (имеют одну и ту же вероятность).
12
Пусть событие A состоит из k элементарных событий ωi (последние называются "благоприятными" для A). Тогда для определения вероятности события A применяется следующая формула
(классический способ подсчета вероятностей):
k
P ( A) = .
n
Примеры
1. С помощью таблиц, определяющих A + B и A + AB , дока-
зать равенство A + B = A + AB.
Р е ш е н и е . Составим таблицы, дающие все случаи наступления левой и правой частей доказываемого равенства:
A B B
A+ B
A B
A B
AB
A + AB
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает
справедливость равенства A + B = A + AB.
2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты пронумерованы, и события Г1, Г2, Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г1,
Г2, Г3 следующие события:
A − выпадение одного герба и двух цифр;
B − выпадение не более одного герба;
C − число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр.
Р е ш е н и е . Событие A может произойти только в следующих
трех случаях: Г 1 Г 2 Г 3 , Г 1 Г 2 Г 3 , Г 1 Г 2 Г 3 . Следовательно,
A = Г1 Г 2 Г 3 + Г1 Г 2 Г 3 + Г1 Г 2 Г 3.
Аналогично имеем B = Г 1 Г 2 Г 3 + A или
B = Г1 Г 2 Г 3 + Г1 Г 2 Г 3 + Г1 Г 2 Г 3 + Г1 Г 2 Г 3.
13
Что касается события C, то оно равнозначно B, т.е. выражается
той же записью.
3. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее чем на двух монетах?
Р е ш е н и е . При бросании трех монет возможны 8 вариантов:
ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ, ΓΓΓ,
составляющих множество элементарных исходов. Событию A благоприятны первые четыре. Отсюда
P ( A) =
4
= 0,5.
8
4. В лотерее разыгрываются 100 билетов; из них 10 являются
выигрышными, а остальные 90 "пустые". Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность, что среди них будет 2 выигрышных и 3
"пустых" (событие A)?
Р е ш е н и е 1. В данной модели испытание состоит в случайном
выборе 5 билетов из 100; элементарный исход испытания − это лю5
.
бые 5 билетов из 100. Число элементарных исходов равно C100
Благоприятными для события A являются пятерки вида
в
в
(два выигрышных и три "пустых"). Выбор пары выигрышных билетов из 10 выигрышных может быть осуществлен, очевидно, C102
способами, а выбор тройки "пустых" билетов из 90 − C903 способами. Отсюда число благоприятных исходов для события A будет
k = C102 ⋅ C903 (правило произведения). Следовательно,
10 ⋅ 9 90 ⋅ 89 ⋅ 88
⋅
3
C102 ⋅ C90
10 ⋅ 9 ⋅ 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 4 ⋅ 5
1⋅ 2
1⋅ 2 ⋅ 3
P ( A) =
=
=
≈ 0,07.
5
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 1 ⋅ 2 ⋅ 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96
C100
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
14
Р е ш е н и е 2 . Если определение выигрышных билетов происходит после их продажи, то более естественной будет другая вероятностная модель. В этой модели испытание – выбор 10 выигрышных билетов. Теперь количество всех элементарных событий будет
10
C100
, а число благоприятных исходов равно произведению количества вариантов попадания 2 выигрышей на купленные 5 билетов и
количества вариантов попадания 8 выигрышей на оставшиеся 95
8
. В итоге получается точно такой же ответ:
билетов, т.е. k = C52C95
5 ⋅ 4 95 ⋅ 94 ⋅ 93⋅ 92 ⋅ 91⋅ 90 ⋅ 89 ⋅ 88
⋅
C52C958
5 ⋅ 4 ⋅ 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 9 ⋅10
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
P( A) = 10 = 1⋅ 2
.
=
100
99
98
97
96
95
94
93
92
91
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
C100
1⋅ 2 ⋅100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10
5. Каким должно быть минимальное число покупаемых билетов
в лотерее примера 4, при котором вероятность получения хотя бы
одного выигрыша (событие A) будет больше 0,5?
Р е ш е н и е . Пусть покупается t билетов. Событию A (ни одt
ного выигрыша) благоприятны C90t исходов из общего числа C100
.
t
Событию же A благоприятны C100
− C90t исходов. Отсюда
P ( A) =
t
90 ⋅ 89 ⋅ … ⋅ ( 90 − ( t − 1) )
C100
− C90t
Ct
= 1 − t90 = 1 −
.
t
C100
C100
100 ⋅ 99 ⋅ … ⋅ (100 − ( t − 1) )
Обозначим это число pt. Нам необходимо выяснить, при каком
минимальном значении t будет выполняться неравенство pt > 0,5.
Имеем
90
= 0,9 ⇒ p1 = 1 − 0,1 = 0,9,
100
90 ⋅ 89
= 0,81 ⇒ p2 = 1 − 0,81 = 0,19,
100 ⋅ 99
90 ⋅ 89 ⋅ 88
= 0,73 ⇒ p3 = 1 − 0,73 = 0, 27,
100 ⋅ 99 ⋅ 98
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87
= 0,65 ⇒ p4 = 1 − 0,65 = 0,35,
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97
15
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
= 0,58 ⇒ p5 = 1 − 0,58 = 0, 42,
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 ⋅ 85
= 0,52 ⇒ p6 = 1 − 0,52 = 0, 48,
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 ⋅ 95
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 ⋅ 85 ⋅ 84
= 0, 47 ⇒ p7 = 1 − 0, 47 = 0,53,
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 ⋅ 95 ⋅ 94
(результаты округлены до сотых). Следовательно, при покупке 7
билетов (но не менее) вероятность получения хотя бы одного выигрыша больше 0,5.
6. Вероятность события А – 0,9, события В – 0,8. Какова наименьшая вероятность события АВ?
Р е ш е н и е . Имеем
P( AB ) = 1 − P( AB ) = 1 − P( A + B ) ≥ 1 − ( P( A) + P( B )) =
1 − (1 − P( A) + 1 − P( B )) = P( A) + P( B ) − 1 = 0,9 + 0,8 − 1 = 0,7.
Итак, мы выяснили, что вероятность P( AB ) не может быть меньше
0,7. Осталось показать, что равенство P( AB ) = 0,7 возможно. Рассмотрим опыт, в котором из множества {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} с равной вероятностью выбирается одно из чисел X. Определим события: A = { X ≤ 9}, B = { X ≥ 3} . Имеем
A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}, P( A) = 0,9;
B = {3, 4,5,6,7,8,9,10), P( B ) = 0,8;
AB = {3, 4,5,6,7,8,9}, P( AB ) = 0,7.
Упражнения
1.32. Монету бросают дважды. Какова вероятность того, что
выпадут разные стороны монеты?
1.33. Игральную кость бросают 3 раза. Какова вероятность того, что все выпавшие грани окажутся равными?
1.34. Из 60 вопросов, входящих в программу экзамена, студент
выучил 50. Какова вероятность того, что из трех случайно выбран16
ных экзаменатором вопросов он будет знать: 0? 1? 2? 3? Составьте
таблицу и убедитесь, что сумма полученных вероятностей равна 1.
1.35. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность
того, что сумма выпавших очков окажется не больше 10?
1.36. В конверте 100 фотокарточек, из них одна нужная. Из
конверта наугад извлекают 5 фотокарточек. Какова вероятность
того, что среди них окажется нужная?
1.37. Какова вероятность получить выигрыш в игре "Спортлото" "5 из 36", полагающийся при угадывании: а) трех номеров из
пяти; б) четырех номеров из пяти; в) всех пяти номеров?
1.38. В группе 20 студентов, из них 6 отличников. Группа случайным образом разделена на две равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по три отличника?
1.39. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5
человек. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?
1.40. Найдите вероятность того, что случайно выбранное целое
число из первого миллиона (от 0 до 999999) содержит цифру 1 в
десятичной записи.
1.41. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Найдите вероятность того, что из шести изделий, выбранных наугад, два окажутся
бракованными.
1.42. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры
нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер будет набран правильно.
1.43. Три одинаковых жетона случайным образом разложены
по пяти ячейкам. Какова вероятность того, что в одной из ячеек
окажется более одного жетона?
1.44. Найдите вероятность того, что дни рождения случайно
выбранных двенадцати человек придутся на двенадцать разных
месяцев года (предполагается, что все месяцы равновероятны).
1.45. Группа из 4 мальчиков и 4 девочек случайным образом
делится на две равные части. Найдите вероятность того, что каждая
часть содержит по два мальчика и две девочки.
1.46. Секретарь должна была разложить 7 писем, написанных
по разным адресам, в 7 заранее заготовленных конвертов. Второпях она разложила их случайным образом. Найдите вероятность
того, что хотя бы одно письмо дойдет до нужного адресата.
17
§ 1.3. Геометрические вероятности
В приложениях встречаются задачи, в которых проводимое испытание можно уподобить случайному выбору точки в некоторой
области Ω ⊂ R n ( n = 1, 2,3), причем вопрос заключается в том, с
какой вероятностью точка попадет в ту или иную часть A (подмножество) множества Ω. Говоря о том, что точка выбирается наугад в
области Ω, имеют в виду, что вероятность попадания точки в А
равна отношению
P ( A) =
μ ( A)
,
μ (Ω)
(1.3)
где μ ( A) – длина ( n = 1) , площадь ( n = 2) или объем ( n = 3) множества А.
Примеры
1. Стержень длиной l произвольным образом ломают на три
части. Какова вероятность, что из этих частей можно составить
треугольник?
Р е ш е н и е . Обозначим через x и y длины концевых частей
стержня; длина третьей части будет, очевидно, l – (x + y) (рис. 1.2).
x
l – (x + y)
y
Рис. 1.2
Возможные значения величин x и y связаны условиями:
0 < x < l,
0 < y < l,
x + y < l.
Система данных неравенств определяет на координатной плоскости Oxy область Ω, покрытую на рис. 1.3 косой штриховкой. Любой
разлом стержня равнозначен выбору точки в области Ω.
18
y
l
Ω
l/2
A
O
l/2
l
x
Рис. 1.3
Для того чтобы из трех частей стержня можно было сложить
треугольник, необходимо и достаточно выполнение условий:
x < l − x,
y < l − y,
l − ( x + y) < x + y
(1.4)
(каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух
других). Неравенства (1.4) выделяют из Ω область A, зачерченную
на рис. 1.3 двойной штриховкой.
Будем считать оправданным применение формулы (1.3) (основанием для этого служит «произвольность» разлома стержня). В
этом случае можно записать:
P ( A) =
площадь A 1
= .
площадь Ω 4
2. Расстояние между соседними остановками P и Q автобус
проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения ме19
жду автобусами – 25 мин. Некто приходит на остановку P в случайный момент времени и, не застав автобус, идет до Q пешком.
Какова вероятность того, что его догонит в пути очередной автобус?
Р е ш е н и е . Обозначим через x время (в минутах), отделяющее момент прихода пассажира на остановку P от момента ухода
последнего автобуса. Возможные положения точки x занимают
отрезок [0, 25] числовой оси. Догонит или не догонит пассажира
очередной автобус, полностью зависит от величины x. Например,
если x = 1 мин, то не догонит, а если x = 24 мин, то догонит. Найдем значение a, отделяющее зону «не догонит» от зоны «догонит»
(рис. 1.4).
Догонит
Не догонит
a
P
A
Q
Рис. 1.4
При этом значении пассажир должен прийти в Q одновременно
с автобусом. Очевидно, для этого должно выполняться условие a =
= 12 мин. Следовательно, интересующее нас событие A (догонит)
выражается условием x ∈ [12, 25]. Поскольку все значения x возможны в одинаковой степени, то по формуле (1.3) имеем:
P ( A) =
13
.
25
Таким образом, более вероятно, что автобус догонит пешехода,
чем наоборот.
Упражнения
1.47. Задача о встрече. Два человека договорились встретиться
в определенном месте между двенадцатью и часом дня. При этом
было условлено, что пришедший на место свидания первым будет
ждать другого только в течение 20 минут. Какова вероятность того,
что встреча состоится, если каждый из договорившихся приходит,
когда ему вздумается (но между двенадцатью и часом дня), не согласуя свой приход с другим?
20
1.48. На вращающуюся рулетку последовательно бросают три
шара. Пусть A, B, C – точки их остановки. Найдите вероятность
того, что треугольник ABC окажется остроугольным.
1.49. Быстро вращающийся диск разделен на четное число
равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвета. По диску произведен выстрел. Найдите вероятность того, что
пуля попадет в один из белых секторов.
1.50. Даны две концентрические сферы с радиусами r и R
(r < R) и некоторая точка P на меньшей сфере. В шаровом кольце
между сферами берется случайная точка и в ней помещается точечный источник света. Какова вероятность того, что точка P будет
освещена?
1.51. На квадратный паркет со стороной квадрата a брошена
наугад монета радиуса r, r < 2a. Какова вероятность того, что остановившаяся монета не пересечет ни одного из ребер паркета?
§ 1.4. Правила сложения и умножения вероятностей
Правило сложения: если события A1, A2, …, An попарно несовместны (никакие два из них не могут наступить вместе в одном
испытании), то
P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An).
Для двух событий A и
P ( A) + P ( A ) = 1 или
A
отсюда следует равенство
P ( A ) = 1 − P ( A) .
Вероятность события A при условии, что наступило событие B
(условная вероятность), определяется формулой
P ( A | B) =
P ( AB )
.
P ( B)
Если A и B – независимые события с положительной вероятностью, то выполняются равенства
P(A|B) = P(A),
P(B|A) = P(B).
21
Для независимых событий A и B говорят, что вероятность A не
меняется при наступлении B (и наоборот).
События A1, A2, …, An называются независимыми, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно
числа событий из остальных.
Правило умножения: если события A1, A2, …, An независимы, то
P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An).
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения по формуле
P ( A1 + A2 + … + An ) = 1 − P ( A1 A2 … An ) .
В частности, если события A1, A2, …, An независимы, из последнего равенства вытекает: вероятность наступления хотя бы
одного из независимых событий A1, A2, …, An равна
1 − P ( A1 ) ⋅ P ( A2 )… P ( An ) .
Примеры
1. Слово "ЛОТОС", составленное из пяти букв-кубиков, рассыпано на кубики. Из последних наудачу выбираются один за другим
три кубика. Какова вероятность того, что они составят в порядке
извлечения слово "СТО"?
Р е ш е н и е . Рассмотрим события:
A1 − первая извлеченная буква оказалась "С";
A2 − второй извлечена буква "Т";
A3 − третьей извлечена буква "О";
A − извлеченные буквы составили слово "СТО".
Очевидно,
A = A1 A2 A3 .
Отсюда имеем
1 1 2 1
P ( A) = P ( A1 A2 ) ⋅ P ( A3 | A1 A2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 | A1 ) ⋅ P ( A3 | A1 A2 ) = ⋅ ⋅ = .
5 4 3 30
22
2. Контрольная работа состоит из двух задач по алгебре и двух
по геометрии. Для данного учащегося вероятность решения алгебраической задачи равна 0,8, а геометрической – 0,6. Какова вероятность получения им удовлетворительной оценки, если для этого
требуется решить не менее трех задач (при этом вероятность решения любой задачи не зависит от того, решены или нет другие задачи из контрольной работы)?
Р е ш е н и е . Введем обозначения: Ai (i = 1, 2) − учащийся решил i-ю задачу по алгебре, Гi (i = 1, 2) − учащийся решил i-ю задачу по геометрии; B − учащийся получил удовлетворительную
оценку. Имеем
B = A1 A2 Г 1 Г 2 + A1 A2 Г 1 Г 2 + A1 A2 Г 1 Г 2 + A1 A2 Г 1 Г 2 + A1 A2 Г 1 Г 2
(в правой части перечислены все варианты получения удовлетворительной оценки). Так как слагаемые правой части − попарно несовместные события, то на основании правила сложения можем
записать
P( B) = P( AA
1 2 Г1Г2 ) + P( AA
1 2 Г1Г2 ) + P( AA
1 2 Г1Г2 ) + P( AA
1 2 Г1Г2 ) + P( AA
1 2 Г1Г2 ) .
Подсчитаем, например, слагаемое P ( A1 A2 Г 1 Г 2 ) . Так как события
A1 , A2 , Г 1 , Г 2 по условию независимы, имеем на основании правила
умножения
P ( A1 A2 Г 1 Г 2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Г 1 ) P ( Г 2 ) = 0, 2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6.
В итоге получим
P(B) = 0,82⋅0,62 + 2⋅0,2⋅0,8⋅0,62 + 2⋅0,82⋅0,4⋅0,6 = 0,653.
3. Два игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у
которого первым выпадет "герб". Какова вероятность выигрыша
для игрока, бросающего монету первым?
Р е ш е н и е . Назовем игрока, делающего первый бросок, игроком 1, а выигрыш им игры − событием A. Событие A распадается
на варианты Г , ГГГ , ГГГГГ ,… , где, например, событие ГГГ означает, что при первом бросании выпал не герб, при втором также
не герб, а при третьем − герб. Следовательно,
A = Г + ГГГ + ГГГГГ + …
23
Так как любые два варианта несовместны, то по правилу сложения имеем
3
5
1 ⎛1⎞ ⎛1⎞
2
P ( A) = P ( Г ) + P ( ГГГ ) + P ( ГГГГГ ) + … = + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + … = .
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
3
Таким образом, игрок, бросающий первым, имеет вдвое больше
шансов выиграть, чем второй игрок.
Упражнения
1.52. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?
1.53. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность
выпадения хотя бы один раз герба была больше 0,5? больше 0,9?
1.54. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько
облигаций различных выпусков нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше 0,95 можно было ожидать появления хотя бы одного выигрыша?
1.55. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз грани "6" была больше 0,9?
1.56. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью ≥ 0,5 можно было надеяться, что хотя бы раз
появятся 12 очков?
События A, B, C независимы и P(A)=0,8; P(B)=0,7; P(C)=0,6.
Найдите:
1.57. P(A + B + C).
1.58. P(AB + C).
1.59. P{(A + B)(B + C)}.
1.60. P{(A + B)( B + C)}.
1.61. P{(A + B + C)( A + B + C )}. 1.62. P(A + B+ C| C ).
1.63. P(AB | B + C ).
1.64. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и
набирает ее наугад. Найдите вероятность того, что ему придется
сделать не более двух неудачных попыток.
1.65. Два равносильных партнера играют матч из ряда партий.
Ничьи невозможны. При достижении одним из игроков двух побед
подряд матч прекращается и объявляется победа этого игрока. Какова вероятность того, что матч окончится до пятой партии?
1.66. Для приема партии готовых изделий применяется выборочный контроль. Для контроля берут наугад пять изделий; если
среди них окажется больше одного бракованного, то бракуется вся
24
партия. Какова вероятность того, что при таком способе контроля
партия, состоящая из 90 стандартных изделий и 10 бракованных,
будет забракована?
1.67. Три игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот,
у кого первым выпадет герб. Какова вероятность выигрыша для
того из них, кто сделает первое бросание? Второе?
1.68. В урне находятся 30 белых и 35 черных шаров. Два игрока поочередно извлекают из урны по шару, каждый раз возвращая
его обратно. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для того, кто начинает игру?
1.69. В урне находятся 4 белых и 3 черных шара. Два игрока
поочередно извлекают из урны по шару (без возвращения). Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность
выигрыша для начинающего игру?
1.70. По данным переписи населения в некоторой местности
установлено: пары из темноглазых отцов (событие A) и темноглазых сыновей (событие B) составляют 5% от всех обследованных
пар; пары темноглазых отцов и светлоглазых сыновей − 7,9%;
светлоглазых отцов и темноглазых сыновей − 8,9%; светлоглазых
отцов и светлоглазых сыновей − 78,2%. Исследуйте связь между
цветом глаз отца и сына, найдя вероятности P ( B | A) , P ( B | A ) ,
P ( B | A) , P ( B | A ) .
1.71. Для повышения надежности компьютера он дублируется
другим точно таким же компьютером; надежность (вероятность
безотказной работы) каждого компьютера равна 0,8. При выходе из
строя первого компьютера происходит мгновенное переключение
на второй; надежность переключающего устройства равна единице.
Определить надежность системы двух дублирующих друг друга
компьютеров.
1.72. Та же задача, но надежность переключающего устройства
равна 0,5 (а не 1).
1.73. Производятся испытания некоторого прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью 0,01. После первого выхода из строя прибор ремонтируется, после второго
− признается негодным. Найдите вероятность того, что прибор
окончательно выйдет из строя при третьем испытании.
1.74. Некий гражданин, располагая суммой 3 млн руб, решил
вложить по одному миллиону в каждый из трех банков под 6% го25
довых на срок 7 лет. Вероятность банкротства любого из этих банков в течение срока хранения вклада равна 0,1. Какова вероятность
того, что по истечении 7 лет гражданин получит обратно, по меньшей мере, вложенную сумму 3 млн?
1.75. Вероятность того, что за время, необходимое операционисту в банке для обслуживания одного клиента, не подойдет новый клиент, равна 0,3; вероятность того, что подойдет один новый
клиент, − 0,3; два − 0,2; три − 0,1; более трех − 0,1. Определить вероятность того, что за время обслуживания одного клиента: а) очередь не увеличится; б) очередь увеличится не менее чем на два
клиента.
1.76. Имеется два билета двух различных лотерей. Вероятность
выигрыша в первой равна 0,2; во второй − 0,1. Какова вероятность
выигрыша ровно одного билета из двух?
1.77. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,6. Сколько выстрелов нужно сделать, чтобы вероятность хотя бы
одного попадания была больше, чем 0,999?
1.78. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень
для первого стрелка составляет 0,8; для второго − 0,4. После
стрельбы в мишени обнаружилась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Какую наименьшую вероятность может иметь событие ABC,
если:
1.79. P(A) = 0,9; P(B) = 0,8; P(C) = 0,7?
1.80. P(A) = P(B) = P(C) = 0,6?
§ 1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
События H1, H2, …, Hn образуют полную группу, если они попарно несовместны и при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из этих событий.
Если события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, то для
любого события A справедливо равенство
P ( A) = P ( H 1 ) P ( A | H 1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + … + P ( H n ) P ( A | H n )
(формула полной вероятности). При этом события H1, H2, …, Hn
называют гипотезами.
26
При тех же предположениях справедлива формула
P ( Hi | A) =
P ( Hi ) P ( A | Hi )
, i = 1,..., n,
P( H1 ) P ( A| H1 ) + P( H2 ) P( A| H2 ) +…+ P( Hn ) P( A| Hn )
называемая формулой вероятностей гипотез, или формулой Байеса. Формула Байеса дает ответ на вопрос: среди всех испытаний,
где наступает A, каков процент испытаний, в которых осуществляется гипотеза Hi.
Примеры
1. В одной из урн находятся 4 белых шара и 5 черных, в другой
– 1 белый и 3 черных. Из каждой урны наудачу выбран шар, а из
двух выбранных шаров наудачу взят один. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым (событие A)?
Р е ш е н и е . Возможны четыре случая:
Hбб, Hбч, Hчб, Hчч,
где, например, Hбч означает, что из первой урны был выбран белый
шар, а из второй − черный. Указанные четыре события несовместны и образуют полную группу. По формуле полной вероятности
имеем
P( A) = P( Hбб ) P( A| Hбб ) + P( Hбч ) P( A| Hбч ) + P( Hчб ) P( A| Hчб ) + P( Hчч ) P( A| Hчч ) .
Подсчитаем, скажем, второе слагаемое. Ввиду независимости результатов извлечения из первой и второй урн имеем
4 3
P ( H бч ) = ⋅ ; условная же вероятность P ( A | H бч ) , очевидно,
9 4
1
равна . Найдя таким же образом остальные вероятности, по2
лучим
4 1
4 3 1 5 1 1 5 3
25
P ( A) = ⋅ ⋅ 1 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 0 =
≈ 0,347.
9 4
9 4 2 9 4 2 9 4
72
2. Студент пришел на экзамен не полностью готовым: он выучил лишь k билетов из n. В каком случае вероятность вытащить
"хороший" билет (событие A) для него выше: когда он берет билет
первым или вторым?
27
Р е ш е н и е . Пусть студент X берет билет первым. Тогда очевидно, что
k
P ( A) = .
n
Теперь рассмотрим случай, когда X берет билет вторым. Тогда
имеются две возможности:
H1 − студент, взявший билет до студента X, вытащил "хороший" (с точки зрения X) билет;
H2 − студент, взявший билет до X, вытащил "плохой" билет.
События H1 и H2 несовместны и образуют полную группу. По
формуле полной вероятности имеем
P ( A) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) =
k k −1 n − k k
k
⋅
+
⋅
= .
n n −1
n n −1 n
Мы видим, что вероятность вытащить хороший билет не зависит от
того, каким по счету − первым или вторым − подходит студент X к
столу экзаменатора.
Постарайтесь объяснить из более непосредственных соображений, почему это так. Вообще, постарайтесь объяснить, что вероятность для студента вытащить хороший билет не зависит от того,
каким по счету (первым, вторым, третьим и т.д.) он берет билет;
важно лишь то, что, войдя в аудиторию, студент не знает, какие
билеты извлекались до него.
3. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается некоторой упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия
пропускает его с вероятностью 0,98, а в случае изделия с дефектом
− с вероятностью 0,05. Какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия? Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее проверку, не содержит брака?
Р е ш е н и е . Для любого изготовленного изделия возможны два
случая:
H1 − изделие не содержит брака;
H2 − изделие бракованное.
Пусть событие A заключается в том, что изделие признается в
результате проверки годным. Имеем
P ( A) = P ( H 1 ) P ( A | H 1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) = 0,96 ⋅ 0,98 + 0,04 ⋅ 0,05 = 0,9428.
28
Таким образом, в готовую продукцию идет 94,28% всех изготовленных изделий.
При ответе на второй вопрос задачи требуется найти условную
вероятность P ( H1 | A) . По формуле Байеса имеем:
P ( H 1 | A) =
P ( H1 ) P ( A | H1 ) 0,96 ⋅ 0,98
=
= 0,9979.
P ( A)
0,9428
Таким образом, среди изделий, выдержавших испытание, стандартные изделия составляют 99,79%, а бракованные − 0,21%.
Упражнения
1.81. На фабрике, изготовляющей болты, машины I, II и III
производят соответственно 25%, 35% и 40% всех изделий. В их
продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Каков
процент брака на предприятии? Если случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным, то какова вероятность того, что
он был произведен на машине I, II, III?
1.82. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин
дальтоники. Считая, что всех мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что случайно выбранное лицо окажется дальтоником. Пусть наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?
1.83. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 −
с вероятностью 0,4. а. Что вероятнее: попадет в цель наугад выбранный стрелок или нет? б. Наугад выбранный стрелок попал в
цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем
последним?
1.84. Имеются две урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во
второй − 2 белых и 3 черных. Из первой урны наугад перекладывают во вторую один шар, после чего из второй урны извлекают
шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
1.85. Те же две урны, что и в задаче 1.84, но перекладывают из
первой во вторую два шара, после чего из второй урны берут один.
Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если извлеченный шар оказался белым?
29
1.86. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечают стандарту. Упрощенная система контроля признает годной
стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с
вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, успешно прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.
1.87. Продолжение предыдущей задачи. С целью существенного снижения процента нестандартных изделий в готовой продукции была установлена дополнительная аналогичная система контроля. Теперь изделие признавалось годным только в том случае,
если оно дважды успешно прошло устройства контроля качества.
Однако желаемый процент выхода стандартных изделий в результате не был достигнут. Последующий анализ показал, что все нестандартные изделия имели либо дефект типа «А», либо дефект
типа «Б». При этом дефект «А» встречался в 19 раз чаще, чем «Б».
Кроме того, выяснилось, что изделия с дефектом «А» признавались
годными с вероятностью 0, тогда как нестандартные изделия с дефектом «Б» признавались годными с вероятностью 1. Также было
установлено, что стандартное изделие, прошедшее первую проверку, проходит вторую проверку с прежней вероятностью 0,98. Как
изменился процент выхода нестандартных изделий после введения
дополнительной системы контроля?
1.88. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 13
− 20 вопросов и 2 − 5 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент:
а) подготовил все вопросы; б) подготовил не менее половины вопросов.
1.89. Имеется 10 монет, причем 9 из них обычные, а у одной
вследствие заводского брака с обеих сторон отчеканен герб. Наугад
выбранную монету, не разглядывая, бросают 10 раз, причем при
всех бросаниях она ложится гербом сверху. Найдите вероятность
того, что была выбрана монета с двумя гербами.
1.90. При переливании крови нужно учитывать группы крови
донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или
третьей можно перелить кровь либо той же группы, либо первой;
человеку с первой группой можно перелить кровь только первой
группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% − вторую,
20,9% − третью и 7,9% − четвертую группы крови. Найдите вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить
30
кровь случайно взятого донора (тем самым выясните, сколько
процентов переливаний были смертельными до открытия групп
крови).
1.91. (Задача-шутка). Некий властелин, которому наскучил его
звездочет со своими предсказаниями, решил казнить его. Однако,
будучи "добрым" повелителем, он решил дать звездочету последний шанс. Ему велено распределить по двум урнам 4 шара: 2 белых
и 2 черных. Палач должен наугад выбрать одну из урн и вытащить
из нее один шар. Если шар окажется черным (или в выбранной урне не окажется шаров), то звездочета казнят, в противном случае
его жизнь будет спасена. Каким образом звездочет должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную вероятность быть спасенным?
1.92. Компания, занимающаяся страхованием рисков, связанных с автомобильными авариями, разделяет водителей в зависимости от квалификации и стажа на три группы: A, B, C − составляющие соответственно 25%, 35% и 40%. Вероятность наступления
страхового случая по группам составляет соответственно 0,05; 0,04
и 0,02. Какова вероятность того, что случайно взятый страховой
случай относится к группе A?
1.93. Клиенты, с которыми работает банк, делятся на две группы в отношении 1:5. Вероятность просрочки платежа клиентами
первой группы 0,6; второй − 0,06. Найти вероятность того, что
произвольный клиент, просрочивший первый платеж, просрочит
также и второй. Предполагается, что клиент, просрочивший платеж, остается в той же группе.
1.94. То же, что и в предыдущей задаче, только клиент второй
группы, просрочивший первый платеж, с вероятностью 0,4 перемещается во вторую группу.
§ 1.6. Независимые испытания. Схема Бернулли.
Приближенные формулы Лапласа и Пуассона
Несколько испытаний (с конечным числом исходов) называются независимыми, если вероятность того или иного исхода
в любом из этих испытаний не зависит от исхода других испытаний.
Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в
каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает
31
некоторое событие A (называемое обычно "успехом") и, следовательно, с вероятностью q = 1 − p наступает событие A , противоположное A.
Пусть k − любое из чисел 0, 1, 2, …, n. Обозначим Pn(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успех наступит k раз.
Справедлива формула Бернулли:
Pn ( k ) = Cnk p k q n − k .
(1.5)
Рассмотрим числа
Pn(0), Pn(1), …, Pn(n).
Какое из них является наибольшим? Иначе говоря, на какое
число успехов падает наибольшая вероятность? Ответ состоит в
том, что это число − так называемое наивероятнейшее число успехов − приближенно равно np. Точнее: если число α = np + p
является целым, то максимум чисел Pn(k) достигается при k = α и
k = α − 1; если же α − не целое, то максимум достигается при целом, ближайшем слева к числу α.
Локальная приближенная формула Муавра − Лапласа. При
больших n имеет место приближенное равенство
Pn ( k ) ≈
ϕ ( x)
npq
,
(1.6)
2
k − np
1 − x2
где x =
, ϕ ( x) =
e
− функция Гаусса (см. табл. П1 в
npq
2π
приложении).
Интегральная приближенная формула Муавра − Лапласа.
При больших n имеет место приближенное равенство
Pn(k1 ≤ k ≤ k2) ≈ Ф(x2) − Ф(x1),
(1.7)
где
k − np
k − np
1
x1 = 1
, x2 = 2
, Φ ( x) =
npq
npq
2π
32
x
∫e
0
−
t2
2
dt.
Функция Ф(x) называется функцией Лапласа (см. табл. П2 в
приложении). Для нахождения значений ϕ(x) и Ф(x) при отрицательных x следует иметь в виду, что функция Гаусса ϕ(x) − четная,
а функция Лапласа Ф(x) − нечетная.
Приближенными формулами (1.6) и (1.7) на практике пользуются, если npq ≥ 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к
довольно большим погрешностям.
Из формулы (1.7) вытекает другая приближенная формула: при
k
заданном ε > 0 и большом n вероятность события − p < ε близка
n
⎛ nε ⎞
k
к 2Φ ⎜
через p̂ (относительная частота
. Обозначая дробь
⎜ npq ⎟⎟
n
⎝
⎠
успеха), получим
⎛
P ( pˆ − p < ε ) ≈ 2Φ ⎜ ε
⎝
n ⎞
⎟.
pq ⎠
(1.8)
Приближенные формулы Пуассона. При больших n и малых
p часто применяется формула Пуассона
Pn ( k ) ≈
λk
k!
e−λ ,
(1.9)
в которой λ = np. Следует помнить, что ошибка в формуле (1.9), а
также в более общей формуле
Pn ( k ∈ K ) ≈ ∑
k∈K
λk
k!
e−λ
(1.10)
не превосходит по абсолютной величине np 2 , поэтому корректное
применение этих формул возможно лишь при условии np 2
1.
Примеры
1. Монета брошена 10 раз. Найдите вероятность того, что герб
выпадет: а) 5 раз; б) от 4 до 6 раз; в) хотя бы один раз.
Р е ш е н и е . а) По формуле Бернулли имеем
33
5
5
63
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 1
P10 ( 5) = C105 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⋅ 10 =
≈ 0, 246.
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 2
256
⎝2⎠ ⎝2⎠
б) P10 ( 4 ≤ k ≤ 6) = P10 ( 4) + P10 ( 5) + P10 ( 6) = C104 ⋅
≈ 0,656.
1
1
1
+ C105 ⋅ 10 + C106 ⋅ 10 ≈
10
2
2
2
10
1023
⎛1⎞
в) P10 (1 ≤ k ≤ 10 ) = 1 − P10 ( 0 ) = 1 − ⎜ ⎟ =
≈ 0,999.
2
1024
⎝ ⎠
2. Найдите наиболее вероятное число выпадений герба: а) при
25 бросаниях монеты; б) при 100 бросаниях.
Р е ш е н и е . а) Имеем n = 25, p =0,5. Число α = np + p =
= 25⋅0,5 + 0,5 = 13 − целое, поэтому имеются два наиболее вероятных числа гербов: 13 и 12.
б) В этом случае n = 100, p = 0,5. Число α = np + p =
= 100⋅0,5 + 0,5 =50,5 − не целое, поэтому наиболее вероятное число
гербов равно ближайшему к α слева целому числу, т.е. 50.
3. Контрольная работа состоит из пяти вопросов. На каждый
вопрос предлагаются четыре варианта ответа, из которых только
один правильный. Учащийся не готов к контрольной и поэтому
выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит на k вопросов (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)?
Р е ш е н и е . Рассматривая выбор ответа на тот или иной вопрос как отдельное испытание, а получение правильного ответа –
1
3
как некоторое событие A ("успех"), будем иметь: n = 5, p = , q = .
4
4
Наша задача − найти вероятности
P5(0), P5(1), P5(2), P5(3), P5(4), P5(5).
Имеем:
5
243
⎛ 3⎞
P5 ( 0 ) = ⎜ ⎟ =
≈ 0, 237;
⎝ 4 ⎠ 1024
1
4
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 5 ⋅ 81
P5 (1) = C51 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
≈ 0,396;
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 1024
34
2
3
3
2
4
1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 10 ⋅ 27
P5 ( 2 ) = C52 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
≈ 0, 264;
1024
⎝4⎠ ⎝4⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 10 ⋅ 9
P5 ( 3) = C53 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
≈ 0,0879;
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 1024
5 ⋅1
⎛1⎞ ⎛ 3⎞
P5 ( 4 ) = C54 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
≈ 0,00146;
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 1024
5
1
⎛1⎞
P5 ( 5) = ⎜ ⎟ =
≈ 0,000977.
⎝ 4 ⎠ 1024
4. Вероятность наступления события A в каждом из 900 независимых испытаний равна p = 0,8. Найдите вероятность того, что событие A произойдет: а) 750 раз; б) от 710 до 740 раз.
Р е ш е н и е . В данном случае n велико: n = 900, q = 1 − 0,8 =
= 0,2. Так как npq = 900⋅0,8⋅0,2 = 144 > 10, то для нахождения
P900(750) воспользуемся формулой (1.6), а для нахождения
P900(710 ≤ k ≤ 740) − формулой (1.7).
а) x =
750 − 900 ⋅ 0,8
= 2,5 ; ϕ(2,5) = 0,0175,
144
P900 ( 750 ) ≈
б) x1 =
1
0,0175
ϕ ( 2,5) =
≈ 0,0015.
12
12
710 − 720
740 − 720
≈ −0,83 , x2 =
≈ 1,67 ,
12
12
Ф(−0,83) = −Ф(0,83) ≈ −0,2967, Ф(1,67) ≈ 0,4525;
P900(710 ≤ k ≤ 740) ≈ 0,4525 + 0,2967 = 0,7492.
5. Вероятность того, что электролампа, изготовленная данной
фабрикой, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 100 лампочек. Оцените вероятность того, что относительная частота p̂ бракованных лампочек в выборке отличается от
вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
Р е ш е н и е . В данном случае воспользуемся формулой (4),
считая n = 100; p = 0,02; q = 0,98; ε = 0,01. Получим
35
ε
n
100
0,01 ⋅ 10
= 0,01 ⋅
=
≈ 0,714.
pq
0,02 ⋅ 0,98
0,14
P (| pˆ − p | < 0,01) ≈ 2 ⋅ Φ (0,714) ≈ 2 ⋅ 0, 262 = 0,524.
6. У страховой компании имеется 12 тыс. клиентов. Каждый из
них, страхуясь от несчастного случая, вносит 10 тыс. руб. Вероятность несчастного случая p = 0,006, а выплата пострадавшему составляет 1 млн руб. Какая прибыль П обеспечивается страховой
компании с вероятностью 0,995?
Р е ш е н и е . Суммарный взнос всех клиентов равен 12000 ×
× 10000 = 120 млн руб. Ясно, что прибыль компании зависит от
числа k нечастных случаев и равна 120 − k (млн руб.). Поэтому наша задача − найти такое число П, что P(120 − k ≥ П) = 0,995 или,
эквивалентно, P(k ≤ 120 – П) = 0,995. Учитывая, что k ≥ 0, мы можем записать последнее уравнение в виде P(0 ≤ k ≤ 120 – П) =
0,995.
Для оценки вероятности P(0 ≤ k ≤ 120 – П) воспользуемся интегральной приближенной формулой Муавра − Лапласа при n =
= 12000, p = 0,006, q = 0,994 (очевидно, что npq >10). Имеем
P12000(0 ≤ k ≤ 120 – П) ≈ Ф(x2) − Ф(x1),
0 − 72
120 − Π − 72
≈ −8,51 , а x2 =
. Так как x1 < −8, то
72 ⋅ 0,994
72 ⋅ 0,994
Ф(x1) = −0,5. Итак, необходимо найти значение П, при котором
где x1 =
⎛ 48 − Π ⎞
Φ⎜
⎟ + 0,5 = 0,995,
⎝ 8, 46 ⎠
⎛ 48 − Π ⎞
или Φ ⎜
⎟ = 0, 495. По табл. П2 значений функции Лапласа
⎝ 8, 46 ⎠
48 − Π
Ф(x) находим, что должно выполняться равенство
= 2,58,
8, 46
следовательно, П = 48 – 2,58 × 8,46 ≈ 26. Итак, с вероятностью
0,995 компании гарантируется прибыль ≈ 26 млн руб.
36
7. В среднем левши составляют 1%. Найдите вероятность того,
что в аудитории из 200 студентов окажется:
а) ровно 2 левши;
б) не менее чем 4 левши.
Р е ш е н и е . В данном случае n = 200 достаточно велико, но
npq = 200⋅0,01⋅0,99 = 2 < 10. Поэтому для оценок вероятностей
нельзя использовать приближенные формулы Лапласа. Поскольку
np 2 = 200 ⋅ 0,012 = 0,02 1, воспользуемся формулой Пуассона (1.9).
Имеем λ = np = 2, поэтому
P200 ( 2 ) =
22 −2
e ≈ 0, 271.
2!
Для ответа на второй вопрос задачи нужно оценить вероятность
события k ≥ 4 (где k − число "успехов", т.е. студентов, являющихся
левшами). Противоположное событие будет k < 4, а его вероятность равна
P200 ( 0 ) + P200 (1) + P200 ( 2 ) + P200 ( 3) ≈
20 −2 21 −2 22 −2 23 −2
e + e + e + e ≈ 0,857.
0!
1!
2!
3!
Следовательно, вероятность обнаружить в аудитории не менее
чем 4 левши будет 0,143.
Упражнения
1.95. Какова вероятность того, что при десяти бросках монеты
герб выпадет k раз? Подсчитайте эту вероятность при всех возможных k (k = 0, 1, 2, …, 10) и составьте таблицу.
1.96. Что более вероятно: выиграть у равносильного противника две партии из четырех или четыре из восьми (ничьи не в счет)?
1.97. Банк выдал 48 кредитов независимым заемщикам. Вероятность того, что деньги будут возвращены точно в срок, для каждого заемщика равна 0,9. Каково наиболее вероятное число просроченных кредитов?
1.98. Банк выдал 10 кредитов независимым заемщикам по Х
руб. на одинаковый срок. В конце срока каждый заемщик либо с
37
вероятностью 0,9 возвращает банку 1,3Х руб., либо разоряется (с
вероятностью 0,1) и не возвращает ничего. Какова вероятность, что
банк будет иметь прибыль?
1.99. Вероятность того, что денежный приемник автомата при
опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наиболее вероятное число правильных
срабатываний было равно 100?
1.100. Вероятность наступления события A в каждом из 18 независимых испытаний равна 0,2. Определите вероятность появления события A, по крайней мере, 3 раза.
1.101. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 3 раза. Какова вероятность, что это произойдет на шестом
броске?
1.102. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока суммарное количество выпавших пятерок и шестерок не станет равным 4. Какова вероятность, что это произойдет на седьмом броске?
1.103. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске
равны соответственно 0,6 и 0,7. Найдите вероятность того, что: а) у
обоих будет одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
1.104. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь
41-го размера, равна 0,2. Оцените вероятность того, что из 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25 человек; б) не более 30 человек.
1.105. Вероятность появления события A в каждом из нескольких независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести
испытаний, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 можно было ожидать, что событие A наступит, по крайней мере, 75 раз?
1.106. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно,
равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно
5 бракованных книг.
1.107. Известный французский естествоиспытатель Бюффон
произвел 4040 бросаний монеты и зафиксировал 2048 выпадений
герба. Найдите вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления герба отклонится от 0,5 не
более, чем в опыте Бюффона.
38
1.108. Тест состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос приведено 4 варианта ответов. Найдите вероятность того, что при случайном выборе ответов испытуемый даст 7 правильных ответов.
1.109. Вероятность наступления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найдите вероятность того, что относительная частота успеха отклонится от 0,8 не более чем на 0,04.
1.110. Помещение освещается четырьмя лампами. Вероятность
выхода из строя одной лампы равна 0,07. Найдите вероятность того, что, по крайней мере, две лампы окажутся исправными.
1.111. Преподаватель, готовясь к экзамену, подготовил 30 различных задач для 30 билетов. Далее он случайным образом вытаскивает задачу из конверта, включает ее в билет и возвращает в конверт. Найдите вероятность того, что первая задача появится в билетах более одного раза.
1.112. Вероятность аварии на одном энергоблоке АЭС в течение года – 0,001. Найдите вероятность того, что при эксплуатации
100 энергоблоков в течение 30 лет: а) не произойдет ни одной аварии, б) произойдет более трех аварий.
39
ГЛАВА 2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 2.1. Распределение дискретной случайной величины
Основные сведения
Величина, значение которой определяется в результате опыта,
называется случайной величиной. Если значение величины известно
до опыта, то такая величина называется константой. Число х называется возможным значением случайной величины Х, если существует исход опыта, при котором Х принимает значение х.
Квантиль уровня ε ∈ (0,1) распределения случайной величины
X определяется как такое число qε , что P( X < qε ) ≤ ε и
P( X ≤ qε ) ≥ ε . Квантиль уровня ε называется также (верхней)
100(1 − ε )- процентной точкой распределения X . Квантиль уровня
½ называется медианой.
Случайная величина X называется дискретной, если множество
всех ее возможных значений {x1, x2, …} конечно или счетно. Вероятность попадания такой случайной величины X в какое-либо множество B ⊆ R находится по формуле
P ( X ∈ B) =
∑p,
xi ∈B
i
где pi = P(X = xi) – вероятность i-го возможного значения.
Закон распределения дискретной случайной величины X может
быть представлен в форме таблицы:
40
X
x1
x2
…
P
p1
p2
…
Нетрудно убедиться в том, что сумма чисел во второй строке
этой таблицы равна P(X ∈ R) = 1. Функция распределения дискретной случайной величины X имеет вид
F ( x ) = P ( X < x ) = ∑ pi ,
xi < x
т.е. F(x) − ступенчатая функция со скачками в точках x1, x2, …,
причем величины скачков равны соответственно p1, p2, … .
Примеры
1. Пусть X − процентное изменение стоимости акций в отношении к текущему курсу через один месяц в будущем. Вероятностный
прогноз для величины X представлен в виде распределения:
X
−1
0
1
2
3
P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Какова согласно прогнозу вероятность того, что покупка акции
будет более выгодна, чем помещение денег на вклад при ставке
банковского процента 12% годовых?
Р е ш е н и е . Увеличение суммы на вкладе составит 12/12 =
= 1%. Следовательно, искомая вероятность равна
P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,3 + 0,1 = 0,4.
2. Банк выдал 5 кредитов, оценив вероятность невозврата денег в 0,1 для каждого из 5 заемщиков. Пусть X − количество заемщиков, не вернувших денег по истечении установленного срока.
Необходимо составить закон распределения X, считая, что заемщики друг с другом никак не связаны.
Р е ш е н и е . Пусть Ai − событие, состоящее в том, что i-й заемщик (i = 1, …, 5) не вернул денег. Так как заемщики друг с другом не связаны, то можно считать, что события A1, A2, …, A5 независимы.
Следовательно,
применима
формула
Бернулли:
5
k
5− k
P ( X = k ) = Ck 0,1 0,9
(k = 0, 1, …, 5). Вычисляя вероятности
P(X = k), находим закон распределения X:
X
0
1
2
3
4
5
P
0,59049
0,32805
0,0729
0,0081
0,00045
0,00001
41
3. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу
отобраны две детали. Требуется составить закон распределения
числа стандартных деталей среди отобранных.
Р е ш е н и е . Пусть X − число стандартных деталей среди отобранных. Случайная величина X может принимать следующие возможные значения: 0, 1 и 2. Вероятность каждого значения находитk
2−k
ся по формуле P ( X = k ) = C7 ⋅ C2 3 , где C7k − число способов выбора
C10
2−k
3
стандартных деталей; C
− число способов выбора нестандарт-
ных деталей; C − число способов выбора двух деталей из 10.
Находим закон распределения:
2
10
X
0
1
2
P
1/15
7/15
7/15
4. Для всех ε ∈ (0,1) необходимо найти квантиль уровня ε
распределения случайной величины X , принимающей с равной
вероятностью значения 1 и 2.
Решение.
Если
0 < ε < 1/ 2,
то
P( X < 1) = 0 ≤ ε
и
P( X ≤ 1) = 1/ 2 ≥ ε . Следовательно, 1 – квантиль уровня ε ∈ (0,1/ 2).
Если ε = 1/ 2, то для любого числа q ∈ (1, 2) имеем P( X < q) = 1/ 2
и P( X ≤ q) = 1/ 2. Следовательно, q ∈ (1, 2) – квантиль уровня ½
(т.е. медиана). Наконец, для 1/ 2 < ε < 1 имеем неравенства
P( X < 2) = 1/ 2 ≤ ε и P( X ≤ 2) = 1 ≥ ε . Таким образом, число 2 – это
квантиль уровня ε ∈ (1/ 2,1). Ответ можно представить следующим
образом:
ε ∈ (0,1/ 2),
⎧ 1,
⎪
qε = ⎨(1, 2),
ε = 1/ 2,
⎪ 2,
ε
∈ (1/ 2,1).
⎩
Упражнения
2.1. Прогноз будущей инфляции через три месяца в процентах к
текущему уровню цен задан распределением:
42
X
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
P
0,1
0,1
0, 2
0, 2
0, 2
0,1
0,1
Текущая ставка по трехмесячным кредитам – 11% годовых. Текущая ставка по трехмесячным вкладам – 5% годовых. Какова вероятность того, что реальный процент по кредитам будет положительным, а по вкладам − отрицательным?
2.2. Экзаменатор задает студенту вопросы до тех пор, пока тот
правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на
один вопрос 2/3. Составьте закон распределения для числа заданных вопросов.
2.3. Имеется три банка, обещающих своим вкладчикам доход
30% годовых. Вероятность разорения такого банка в течение года
равна 0,5. Пусть X − число разорившихся банков в течение года
среди упомянутых трех банков. Составьте закон распределения X,
считая, что разорение некоторого банка не влияет на вероятность
разорения других банков.
2.4. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных.
Случайно отобраны три детали. Составьте закон распределения
случайной величины X − числа стандартных деталей среди отобранных.
2.5. Подбрасываются две игральные кости: а) запишите распределение для наибольшего из двух выпавших чисел; б) найдите
медиану этого распределения.
2.6. Случайная величина X принимает только целые значения
от 1 до 7, при этом вероятность каждого четного значения вдвое
больше, чем вероятность любого нечетного значения. Составьте
закон распределения X.
2.7. Распределение дискретной случайной величины X определяется формулой P ( X = i ) = 0, 2 ; i = −2, −1, 0, 1, 2. Найдите распределение случайной величины |X|.
2.8. Случайная величина X принимает только целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … , при этом P ( X = k ) = C ⋅ 2 − k . Найдите: а) константу C; б) вероятность P(X ≤ 3).
2.9. Случайная величина X принимает только целые значения 1,
2, 3, 4 и 5, при этом P(X = k) = Ck2. Найдите: а) константу C;
б) P{|X − 2| ≤ 1}.
43
2.10. Дискретная случайная величина X задана распределением:
X
P
1
2
3
4
5
.
0, 2 0,3 0,3 0,1 0,1
Найдите вероятность события X < 5 при условии, что X > 2.
2.11. Дискретная случайная величина X задана распределением:
X
−2
−1
P
0,3 0, 2 0,1 0, 2 0, 2
0
1
2
.
Найдите вероятность события X ≥ 0 при условии, что |X| < 2.
2.12. Случайная величина X может принимать только значения
1 и 2. Считая значение 1 втрое более вероятным значения 2, найдите функцию распределения X и постройте ее график.
2.13. Дискретная случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Случайная величина Y = –X имеет функцию распределения G(x). Верно ли, что G(x) = 1 – F(–x)?
2.14. Пусть x1 < x2 < ... < x10 – все равновозможные значения
случайной величины X, F ( x ) = P( X < x ) – ее функция распределения. Найдите P(F(X) < 3/7).
§ 2.2. Независимые дискретные
случайные величины
Основные сведения
Произвольные случайные величины X1, X2, …, Xn называются
независимыми, если независимы всякие n событий вида {X1 ∈ B1},
{X2 ∈ B2}, …, {Xn ∈ Bn} (B1, B2, …, Bn – подмножества R). Дискретные случайные величины X1, X2, …, Xn являются независимыми,
если для любого набора возможных значений a1, a2, …, an выполняется равенство
P(X1 = a1, X2 = a2, …, Xn = an) = P(X1 = a1)P(X2 = a2)…P(Xn = an).
44
Примеры
1. Пусть X − размер выигрыша по первому лотерейному билету, Y − по второму. Если билеты относятся к различным выпускам,
то X и Y независимы, так как их значения определяются в независимых испытаниях − тиражах различных выпусков. Если оба билета одного выпуска, то выигрыш по первому билету уменьшает вероятность выигрыша по второму билету. Пусть a > 0 − размер возможного выигрыша. Тогда P(Y = a | X = a) < P(Y = a) – события
{X = a} и {Y = a} зависимы. Следовательно, X и Y также зависимы.
2. Монета подбрасывается 100 раз. Обозначим Xi (i = 1, 2, ….,
10) количество гербов, выпавших в i-м десятке бросков. Дискретные случайные величины X1, X2, …, X10 независимы, так как вычисляются по результатам независимых испытаний.
3. Фирма заключила два независимых договора. Пусть X1, X2 −
убытки от нарушения соответствующего договора. Составить закон
распределения суммарного убытка X = X1 + X2, если распределения
X1 и X2 имеют вид:
X1
0
1
X2
0
3
4
P
0,9
0,1
P
0,7
0,2
0,1
Р е ш е н и е . Имеем X = 0 ⇔ X1 = 0 и X2 = 0. Следовательно,
P(X = 0) = 0,9⋅0,7 = 0,63.
Далее аналогично:
P(X = 1) = 0,1⋅0,7 = 0,07.
X = 1 ⇔ X1 = 1 и X2 = 0,
X = 3 ⇔ X1 = 0 и X2 = 3,
P(X = 3) = 0,9⋅0,2 = 0,18.
X = 4 ⇔ X1 = 0 и X2 = 4 или X1 = 1 и X2 = 3,
P(X = 4) = 0,9⋅0,1 + 0,1⋅0,2 = 0,11.
X = 5 ⇔ X1 = 1 и X2 = 4,
P(X = 5) = 0,1⋅0,1 = 0,01.
Итак,
X
0
1
2
3
4
P
0,63
0,07
0,18
0,11
0,01
45
Упражнения
2.15. Пусть p − цена, S(p) − функция предложения, D(p) −
функция спроса. Найдите распределение равновесной цены p0, если
A
S(p) = p, D ( p ) =
, где A и B − независимые случайные фактоp+B
ры, заданные распределениями:
A
36
225
B
,
P 0,5 0,5
0
16
.
P 0,6 0, 4
2.16. Пусть Rd − выручка фирмы в долларах. Найдите распределение выручки в рублях R = RdD, в пересчете по курсу доллара D,
если выручка Rd не зависит от курса D, а распределения Rd и D
имеют вид:
Rd
100 200
P
0,7
,
0,3
D
30
40
P
0,8 0, 2
.
2.17. Пусть R − выручка фирмы, C − ее затраты, Y = R − C −
прибыль. Найдите: а) распределение прибыли Y, если затраты и
выручка независимы и имеют следующие распределения:
R
3
4
5
6
7
P 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2
,
C
1
2
P 0,5 0,5
;
б) верхнюю 20%-ную точку распределения прибыли.
2.18. Случайные величины X1, X2 независимы и имеют одинаковое распределение:
Xi
P
0
1
2
3
0, 25 0, 25 0, 25 0, 25
.
Найдите: а) вероятность события X1 + X2 > 2; б) условную вероятность P ( X 1 = 3 | X 1 + X 2 > 2 ) .
46
2.19. Дискретные случайные величины X1, X2, X3 независимы и
имеют одинаковое распределение:
Xi
1
P
2
3
4
5
0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2
.
Пусть Y − максимум чисел X1, X2, X3. Найдите распределение Y.
2.20. Дискретные случайные величины X1, X2, X3 независимы и
имеют одинаковое распределение:
Xi
0
P
1
2
1/ 3 1/ 3 1/ 3
.
Найдите вероятность события: а) X1 + X2 > X3; б) X1 + X2 = X3.
2.21. Дискретная случайная величина X принимает только целые значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6, при этом все указанные значения равновероятны. Пусть Yn − остаток от деления X на n (n = 2 или 3).
Верно ли, что Y2 и Y3 независимы?
2.22. Дискретные случайные величины X, Y и их произведение
XY имеют следующие распределения:
X
P
0
2
0,5 0,5
,
Y
0
5
P 0,6 0, 4
,
XY
P
0
10
0,8 0, 2
.
Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
2.23. Дискретная случайная величина X принимает только значения 1, 2, 3 и 4. При этом все данные значения равновероятны.
Определим новые случайные величины Y1, Y2, Y3, Y4, формулой:
⎧1, если X = i или X = 4,
Yi = ⎨
⎩0, иначе.
Верно ли, что: а) Y1 и Y2 независимы? б) Y1 и Y3 независимы? в) Y2
и Y3 независимы? г) Y1, Y2, Y3 независимы?
47
2.24. Независимые одинаково распределенные случайные величины X 1 , X 2 ,..., X 21 принимают только значения 1 и 4, при этом
значение 4 имеет вероятность 3/5. Найдите наиболее вероятное
значение суммы данных случайных величин.
2.25. Независимые одинаково распределенные случайные величины X 1 , X 2 ,..., X 18 принимают только значения 2 и 4, при этом
значение 4 имеет вероятность 0,1. Найдите вероятность того, что
сумма данных случайных величин будет равна 42.
2.26. Независимые дискретные случайные величины X , Y принимают только целые значения: X – от 1 до 13 с вероятностью 1/13,
Y – от 1 до 20 с вероятностью 1/20. Найдите P(X + Y = 26).
2.27. Независимые случайные величины X , Y , Z принимают
только целые значения: X – от 0 до 7 с вероятностью 1/8, Y – от 0
до 9 с вероятностью 1/10, Z – от 0 до 11 с вероятностью 1/12. Найдите P(X + Y + Z = 5).
2.28. Независимые дискретные случайные величины X , Y принимают только целые значения: X – от 1 до 10 с вероятностью 1/10,
Y – от 1 до 5 с вероятностью 1/5. Найдите P(X < Y).
2.29. Независимые
дискретные
случайные
величины
X 1 , X 2 ,..., X 9 принимают только целые значения, при этом Xn принимает только значения от 0 до n и все эти значения равновероятны
(n = 1, …, 9). Найдите P( X 1 X 2 ... X 9 = 0).
2.30. Независимые случайные величины X , Y , Z принимают
только целые значения: X – от 1 до 12 с вероятностью 1/12, Y – от 1
до 8 с вероятностью 1/8, Z – от 1 до 6 с вероятностью 1/6. Найдите
вероятность того, что X , Y , Z примут различные значения
( X ≠ Y , X ≠ Z , Y ≠ Z ).
2.31. Независимые
дискретные
случайные
величины
X 1 , X 2 ,..., X 40 принимают только положительные или отрицательные значения, при этом P(Xi > 0) = 0,98 для всех Xi (i = 1, 2, …, 40).
Найдите P( X 1 X 2 ... X 40 > 0).
48
§ 2.3. Математическое ожидание дискретной
случайной величины
Основные сведения
Математическим ожиданием дискретной случайной величины
X, множество возможных значений которой конечно, называется
сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:
Е(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn.
Если множество возможных значений счетное, то
∞
E ( X ) = ∑ xi pi ,
i =1
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой
части сходится абсолютно.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание константы равно этой константе:
Е(a) = a.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Е(aX) = aЕ(X).
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий слагаемых:
Е(X1 + X2 + … + Xn) = Е(X1) + Е(X2) + … + Е(Xn).
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий
сомножителей:
E(X1⋅X2⋅ … ⋅Xn) = E(X1)⋅E(X2)⋅ … ⋅E(Xn).
5. Если ϕ(x) − числовая функция и X − дискретная случайная
величина, то
E[ϕ(X)] = ϕ(x1)p1 + ϕ(x2)p2 + … .
49
6. Если ϕ(x) − выпуклая функция, то для любой случайной величины X выполняется неравенство Йенсена:
E[ϕ(X)] ≥ ϕ(E[X]).
Примеры
1. Прибыль от торговли прохладительными напитками в жаркий день составляет 80, в дождливый день − 10, а в другие дни −
30. Найдите математическое ожидание прибыли, если вероятность
жаркого дня равна 0,3, дождливого − 0,2.
Р е ш е н и е . Пусть Y − прибыль. Составим закон распределения
Y, учитывая, что P(Y = 30) = 1 − (0,3 + 0,2) = 0,5:
Y
10
30
80
P
0,2
0,5
0,3
Имеем E(Y) = 10⋅0,2 + 30⋅0,5 + 80⋅0,3 = 2 + 15 + 24 = 41.
2. Пусть r − ежедневные расходы на рекламу в некоторой фирме и Xr − число продаж, совершаемых в течение дня при расходах
на рекламу, равных r. При r = 5 закон распределения Xr
таков:
X5
0
1
2
3
4
5
P
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
Если r = 15, то закон распределения другой:
X15
0
1
2
3
4
5
P
0
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
Ежедневная прибыль рассчитывается по формуле Yr =
= 10⋅Xr − r. При каком r (5 или 15) математическое ожидание прибыли больше?
Р е ш е н и е . Находим E(X5) = 1,8; E(X15) = 3,2. Используя свойства математического ожидания, получим
E(Y5) = E(10⋅X5 − 5) = 10⋅1,8 − 5 = 13,
E(Y15) = E(10⋅X15 − 5) = 10⋅3,2 − 15 = 17.
Следовательно, при r = 15 математическое ожидание прибыли
выше.
50
3. Пусть X − дискретная случайная величина, заданная распределением:
X
x1
x2
P
p1
p2
Докажите, что для любой выпуклой функции ϕ(x) выполняется
неравенство Йенсена E[ϕ(X)] ≥ ϕ(E[X]).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любой функции ϕ(x) имеем E[ϕ(X)] =
= ϕ(x1)p1 + ϕ(x2)p2 и ϕ(E[X]) = ϕ(x1p1 + x2p2). Так как p1 ≥ 0, p2 ≥ 0,
p1 + p2 = 1, то по определению выпуклой функции
ϕ(x1)p1 + ϕ(x2)p2 ≥ ϕ(x1p1 + x2p2),
что и требовалось доказать.
4. Пусть цена p является случайной величиной с математическим ожиданием E(p) = 20, а зависимость спроса от цены задается
100
уравнением D =
. Докажите неравенство E(D) ≥ 5.
p
Решение.
Имеем
D ′′p = ( −100 p −2 )′ = 200 p −3 ≥ 0.
Поэтому
функция спроса D(p) является выпуклой и E(D) ≥ 100/E(p) = 5.
5. Пусть S = −100 + 20p, D = A − Bp − уравнения, определяющие
предложение и спрос в зависимости от цены p. Коэффициенты A и
B являются независимыми дискретными случайными величинами,
заданными распределениями:
A
200
240
B
10
20
P
0,5
0,5
P
0,6
0,4
Пусть pe − равновесная цена, зависящая от случайных коэффициентов A и B, Qe = S = D − равновесное количество проданного
товара, также зависящее от A и B. Найдите математические ожидания pe и Qe.
A + 100
Р е ш е н и е . Из уравнения S = D находим pe =
. Так как
B + 20
A и B независимы, то независимы любые функции от них. В частности, независимы случайные величины A + 100 и (B + 20)−1. Сле51
довательно, E(pe) = E(A + 100)⋅E((B + 20)−1). Имеем E(A) = 200⋅0,5 +
+ 240⋅0,5 = 220 и E(A + 100) = 320.
E((B + 20)−1) = (10 + 20)−1⋅0,6 + (20 + 20)−1⋅0,4 = 0,03.
Отсюда E(pe) = 320⋅0,03 = 9,6.
Теперь найдем E(Qe). Для этого воспользуемся равенством
Qe = S(pe) = −100 + 20⋅pe.
Получим
E(Qe) = E(−100 + 20pe) = −100 + 20E(pe) = 92.
6. Пусть a − величина постоянного дохода, U(a) − его функция
полезности. Предположим, что случайный доход имеет вид Xr = a +
+ rX, где r ≥ 0 − интенсивность случайных факторов, X − величина
случайного отклонения дохода.
Предположим также, что случайные факторы не оказывают завышающего или занижающего влияния на величину дохода в среднем.
Другими словами, считаем, что E(X) = 0. Наконец, считаем, что с ростом дохода предельная полезность денег уменьшается и, следовательно, функция U(a) строго вогнута (т.е. U''(a) < 0). Из сделанных предположений вытекает убывание математического ожидания полезности случайного дохода E[U(Xr)] при увеличении интенсивности r случайных факторов, что объясняет отрицательное отношение к риску.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем убывание E[U(Xr)] для величины
случайного отклонения дохода X с конечным числом возможных
значений. Всякую вогнутую функцию U(x) можно представить в
виде U(x) = W(x) + k(x − a), где W(x) − вогнутая функция, для которой
x = a является максимумом; k − подходящая константа. В случае
дифференцируемой функции U(x) достаточно положить k = U'(a),
W(x) = U(x) − k(x − a). Действительно, W(x) вогнута, так как является
разностью вогнутой функции и линейной функции и, кроме того,
W'(a) = U'(a) − k = 0.
Применим указанное разложение функции U(x) для оценки
математического ожидания E[U(Xr)]. Имеем E[U(Xr)] = E[W(Xr)] +
+ krE(X) = E[W(Xr)]. Пусть распределение X имеет вид:
52
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
Тогда распределение Xr имеет вид:
Xr
a + rx1
a + rx2
…
a + rxn
P
p1
p2
…
pn
Отсюда
E[W(Xr)] = W(a + rx1)p1 + W(a + rx2)p2 + … + W(a + rxn)pn.
Так как a − точка максимума и W(x) − строго вогнутая функция,
то каждое слагаемое W(a + rxi)pi убывает с ростом r, если только
xi ≠ 0. Если xi = 0, то W(a + rxi)pi = W(a)pi не зависит от r. Итак, каждое слагаемое либо убывает, либо не меняется, следовательно,
E[W(Xr)] убывает с ростом r.
Упражнения
2.32. Пусть r − расходы фирмы на рекламу, Xr − ее доход, а Yr =
= Xr − r − прибыль при расходах на рекламу r. Дискретная случайная величина Xr задана распределением:
Xr
20
45
;
P 1/( r + 1) r /( r + 1)
а) докажите, что E(Xr) − монотонно возрастающая функция;
б) при каком значении r математическое ожидание прибыли
E(Yr) максимально?
2.33. В лотерее на 1000 билетов разыгрываются два выигрыша:
один – по 100 и один – по 200 рублей. Найдите математическое
ожидание выигрыша: а) по одному билету; б) по двум билетам.
2.34. Дискретные случайные величины X1, X2, X3 независимы,
положительны и одинаково распределены. Докажите, что
⎛
⎞ 1
X1
E⎜
⎟= .
⎝ X1 + X 2 + X 3 ⎠ 3
53
2.35. Дискретная случайная величина X распределена по закону:
X
P
2
3
4
5
.
0,1 0, 2 0,3 0, 4
Найдите: а) E(X); б) E(X2).
2.36. Дискретная случайная величина X задана распределением:
X
P
1
2
3
4
5
6
7
8
.
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3
Найдите вероятность события |X − E(X)| ≤ 1,5.
2.37. Распределение дискретной случайной величины X задано
таблицей:
X
P
1
2
3
4
5
6 30
.
0, 2 0, 2 0, 2 0,1 0,1 0,1 0,1
Найдите вероятность события X > E(X).
2.38. Дискретная случайная величина X задана распределением:
X
P
1 2 3 4 5
.
a b c b a
Докажите, что: а) E(2X) ≥ 8; б) E(log3X) ≤ 1.
2.39. Дискретные случайные величины X 1 , X 2 ,..., X 10 распределены по закону:
Xi
P
−1 0
1
.
0, 2 0, 4 0, 4
Найдите E ( X 12 + X 22 + ... + X 102 ).
2.40. Независимые случайные величины X 1 , X 2 ,..., X 7 принимают значения –88, –87, …, 91, 92 с равной вероятностью (других
возможных значений не существует). Найдите E ( X 1 X 2 ... X 7 ).
54
2.41. Дискретные случайные величины X, Y независимы и имеют распределения:
X
P
−1 1
0,5 0,5
и
Y −1 0
1
.
P 0,3 0,3 0, 4
Найдите: а) E(X + 2Y +3XY); б) E[(X + Y)2].
2.42. Независимые случайные величины X, Y могут принимать
только значения 0 и 1. Найдите E ( 4 X −Y ) , если P ( X = 0) = 0, 4 и
P(Y = 0) = 0,8.
2.43. Дискретные случайные величины X, Y, Z независимы,
одинаково распределены и принимают только значения 0 и 2. Считая возможные значения равновероятными, найдите:
а) E[(X + Y)(Y + Z)]; б) E[(X + Y +Z)/(Z − 1)].
2.44. Докажите, что для случайной величины X, определенной на конечном пространстве элементарных событий Ω, математическое ожидание может быть представлено в виде
E ( X ) = ∑ X (ω ) P(ω ).
ω∈Ω
§ 2.4. Дисперсия дискретной случайной величины
Основные сведения
Для любой случайной величины X разность X − E(X) называется
отклонением. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X называется дисперсией X. По определению,
дисперсия
D(X) = E([X − E(X)]2).
Так как квадрат отклонения − неотрицательная величина, то и
дисперсия также неотрицательна. Стандартное (среднее квадратичное) отклонение случайной величины X определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается σ(X) или σX.
55
Свойства дисперсии:
1. D(X) = E(X2) − [E(X)]2.
2. Дисперсия константы равна нулю: D(а) = 0.
3. Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии
в квадрате:
D(CX) = а2D(X).
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме дисперсий слагаемых:
D(X1 + X2 + … + Xn) = D(X1) + D(X2) + … + D(Xn).
В частности, прибавление константы а к случайной величине X
не меняет ее дисперсии: D(X + а) = D(X).
Свойство 2 дисперсии обращается в несколько ослабленном
виде: если D(X) = 0, то равенство X = E(X) выполняется с вероятностью 1.
Примеры
1. Пусть U(a) − полезность постоянного дохода a, X − случайный доход. Найдем математическое ожидание E[U(X)], разлагая
функцию U(x) в точке a по формуле Тейлора до членов второго
порядка:
1
2
U ( x ) ≈ U ( a ) + U ′ ( a )( x − a ) + U ′′ ( a )( x − a ) .
2
Заметим, что в случае квадратичной функции полезности данное равенство является точным при любом x. Для других нелинейных функций U(x) ошибка является бесконечно малой более высокого порядка, чем (x − a)2 при x → a. Имеем
1
2⎞
⎛
E (U ( X ) ) ≈ E ⎜ U ( a ) + U ′ ( a )( X − a ) + U ′′ ( a )( X − a ) ⎟ =
2
⎝
⎠
1
2
= U ( a ) + U ′ ( a ) E ( X − a ) + U ′′ ( a ) E ( X − a ) .
2
(
)
В точке a = E(X) имеем E(X − a) = 0 и E((X − a)2) = D(X). Поэтому
1
E (U ( X ) ) ≈ U ( a ) + U ′′ ( a ) ⋅ D ( X ) .
2
56
Принято считать, что при увеличении дохода полезность каждого дополнительного рубля уменьшается. Другими словами,
функция U(X) строго вогнута и U''(x) < 0. Таким образом, дисперсия вносит линейный отрицательный вклад в величину математического ожидания полезности случайного дохода X.
2. Найдите дисперсию и стандартное отклонение дискретной
случайной величины X, заданной распределением
X
−5
2
3
4
P
0, 4
0,3
0,1
0, 2
,
используя формулу D(X) = E(X2) − [E(X)]2.
Р е ш е н и е . Имеем E(X) = −5⋅0,4 + 2⋅0,3 + 3⋅0,1 + 4⋅0,2 = −0,3.
Составим закон распределения X2:
X2
25
4
9
16
P
0,4
0,3
0,1
0,2
E(X2) = 25⋅0,4 + 4⋅0,3 + 9⋅0,1 + 16⋅0,2 = 15,3.
Отсюда D(X) = 15,3 − (−0,3)2 = 15,21 и σ ( X ) = 15, 21 = 3,9.
3. Случайные величины X и Y независимы. Найдите дисперсию
случайной величины Z = 3⋅X + 2⋅Y, если D(X) = 5, D(Y) = 6.
Р е ш е н и е . Так как случайные величины X и Y независимы, то
независимы и 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии, получим
D(Z) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 69.
Упражнения
2.45. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x1 и x2, причем x2 > x1. Вероятность того, что X
примет значение x1, равна 0,6. Найдите распределение X, если известно, что E(X) = 1,4 и D(X) = 0,24.
2.46. Дискретная случайная величина X имеет только два равновероятных возможных значения x1 и x2. Докажите, что
2
⎛x −x ⎞
D(X ) = ⎜ 2 1 ⎟ .
⎝ 2 ⎠
57
2.47. Дано распределение дискретной случайной величины X :
X 1234561 1234562 1234563 1234564 1234565 1234566 1234567
.
P
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
Найдите стандартное отклонение X.
2.48. Случайные величины X и Y независимы, E(X) = 1, E(Y) = 2,
D(X) = 3, D(Y) = 4. Найдите D(XY).
2.49. Дискретная случайная величина X распределена по закону:
X
P
−1000 1000 3000 5000
.
0,1
0, 2
0,3
0, 4
Найдите стандартное отклонение X.
2.50. Распределение дискретной случайной величины X задано
таблицей:
X
P
−2 −1 0
1
2
3
4
.
0, 2 0,1 0,1 0, 2 0,1 0,1 0, 2
Найдите: а) E(X) и D(X); б) вероятность P{|X − E(X)| ≤ σ(X)}.
2.51. Игральная кость подбрасывается один раз. Пусть X − число очков, выпавшее на игральной кости. Найдите: а) E(X) и D(X).
б) P{|X − E(X)| ≤ σ(X)}.
2.52. Найдите σ(X) для дискретной случайной величины X, распределенной по закону:
X 1111111111117 3333333333337 5555555555557
.
P
0, 2
0,5
0,3
2.53. Дискретные случайные величины X, Y, Z независимы
и принимают с равной вероятностью значения 1 или 3 (других
возможных значений не существует). Для случайной величины
V = XYZ найти E(V) и D(V).
2.54. Для случайной величины X математическое ожидание
E(X) = 1, дисперсия D(X) = 2. Найдите E(Y) и D(Y) для случайной
величины Y = 3X − 4.
58
2.55. Случайные величины X, Y независимы и E(X) = 1, D(X) =
= 2, E(Y) = 3, D(Y) = 4. Для случайной величины Z = 6X − 5Y найдите E(Z) и D(Z).
2.56. Случайные величины X, Y, Z независимы и E(X) = E(Y) =
= E(Z) = 1, D(X) = 1, D(Y) = 2, D(Z) = 3. Для случайной величины
V = 4X +2Y − Z + 2 найдите E(V) и D(V).
2.57. Дискретные случайные величины X1, X2 независимы и
имеют одинаковое распределение:
X
P
1
2
3
4
.
0, 25 0, 25 0, 25 0, 25
Для случайной величины X = X1 + X2 найдите: а) E(X) и D(X);
б) вероятность события |X − E(X)| ≥ 2σ(X).
2.58. Дискретные случайные величины X1, X2, X3, X4, X5, X6 независимы и имеют одинаковое распределение:
X
1
2
3
.
P 1/ 3 1/ 3 1/ 3
Для случайной величины X = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 найдите
вероятность события |X − E(X)| ≥ 3σ(X).
2.59. Независимые случайные величины X1 , …, X20 могут принимать только значения 0 и 1. При этом P(Xi = 0) = 0,8, i = 1, …, 20.
Найдите математическое ожидание E[(X1 + … +X20)2].
2.60. Для некоторой случайной величины X известно, что
E(X) = 5, E(|X|) = 8, D(|X|) = 70. Найдите дисперсию D(X).
§ 2.5. Ковариация и коэффициент корреляции
Основные сведения
Ковариацией Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y от их математических ожиданий:
Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))].
59
Свойства ковариации:
1. Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y).
2. Cov(X, X) = D(X).
3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).
4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.
5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).
6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y), a – константа.
7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).
8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).
Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются
некоррелированными. Таким образом, из независимости X и Y следует их некоррелированность. Обратное утверждение неверно.
Ковариация Cov(X, Y) может использоваться как характеристика взаимосвязи X и Y. Например, положительный знак Cov(X, Y) > 0
свидетельствует о том, что в колебательной динамике случайных
величин X и Y преобладают отклонения от средних значений в одном направлении. Для подобного сравнения случайных величин,
однако, больше подходит безразмерная характеристика – коэффициент корреляции, определяемый формулой
ρ XY = ρ ( X , Y ) =
Cov ( X , Y )
.
σ ( X ) σ (Y )
Свойства коэффициента корреляции:
1. ρXY = ρYX.
2. |ρXY| ≤ 1.
3. Условие |ρXY| = 1 равнозначно существованию констант
α , β > 0, таких, что равенство Y = α + β X выполняется с вероятностью 1.
4. Если X и Y независимы, то ρXY = 0.
60
Для набора случайных величин X1, X2, …, Xn ковариационной
матрицей C = ( cij ) и корреляционной матрицей ℜ = ( ρ ij ) называют
квадратные матрицы порядка n, составленные из всех парных ковариаций cij = Cov( X i , X j ) и всех коэффициентов корреляции
ρ ij = ρ ( X i , X j ), i, j = 1, …, n.
Пусть C – ковариационная матрица случайных величин X1, X2,
G
…, Xn и a = ( a1 , a2 ,..., an )T – произвольный ненулевой вектор констант. Тогда для случайной величины Y = a1 X 1 + a2 X 2 + ... + an X n
G G
выполняется соотношение D (Y ) = a T Ca ≥ 0, при этом условие
G
D (Y ) = 0 равносильно равенству Ca = 0, означающему вырожденность матрицы C.
Ковариационная и корреляционная матрицы всегда симметричны и неотрицательно определены, поэтому их определители неотрицательны:
det C ≥ 0, det ℜ ≥ 0.
Определитель корреляционной матрицы удовлетворяет также
дополнительному ограничению det ℜ ≤ 1.
Примеры
1. Для случайных величин X и Y, таких, что Cov(X, Y) = 5,
D(X) = 7, D(Y) = 11, покажите, что X – 3Y не может быть константой.
Р е ш е н и е . Находим дисперсию:
D(X – 3Y) = D(X) + 9D(Y) – 6 Cov(X, Y) = 7 + 99 – 30 = 76.
Поскольку D(X – 3Y) > 0, X – 3Y не может быть константой.
2. Случайные величины X, Y независимы и D(X) = D(Y) = 1. Для
случайных величин U = 3X + Y, V = 3X – Y найдите коэффициент
корреляции ρUV .
Р е ш е н и е . Последовательно находим
σ U = 32 + 12 = 10, σ V = 32 + ( −1)2 = 10,
61
Cov(U , V ) = Cov(3X , 3X ) + Cov(3X , − Y ) + Cov(Y , 3X ) + Cov(Y , − Y ) =
9 D ( X ) − D(Y ) = 8, ρUV =
Cov (U , V )
σUσV
= 0,8.
3. Покажите, что в случае, когда ковариационная матрица доходностей ценных бумаг невырождена, из данных бумаг невозможно составить безрисковый портфель.
Р е ш е н и е . Пусть R1, R2, …, Rn – случайные доходности ценных бумаг n видов, C – их ковариационная матрица. Пусть xi – доля
первоначальных средств, инвестированная в ценные бумаги вида i,
X = (x1, x2, …, xn)T – соответствующий вектор-портфель, RX – его
доходность. Используя свойства ковариационной матрицы, для
дисперсии доходности портфеля получаем
D(RX) = XTCX > 0,
поскольку ковариационная матрица невырождена по условию.
Следовательно, никакой ненулевой портфель X не может быть безрисковым.
Упражнения
2.61. Для случайных величин X, Y известно, что Cov(X, Y) = 3,
D(X) = 4, D(Y) = 5. Найдите D(X – Y).
2.62. Для случайных величин X, Y известно, что E(X) = 8,
E(Y) = 6, Cov(X, Y) = 7. Найдите E(XY).
2.63. Для случайных величин X, Y известно, что E(X) = 2, E(Y) = 3,
D(X) = 8, D(Y) = 32, ρ XY =0,25. Найдите E(XY).
2.64. Случайные
величины
X,
Y,
Z
независимы
и
σ X = 3, σ Y = 4, σ Z = 5. Найдите ρ ST – коэффициент корреляции слу-
чайных величин S = X + Y + Z и T = X – Y + Z.
2.65. Независимые случайные величины X, Y, Z, U, V, W имеют
дисперсию, равную 1. Найдите ρ ST – коэффициент корреляции
случайных величин S = 3X + 3Y + 2Z + U + V + W и T = 9X + 3Y +
+ 2Z + 2U + V + W.
2.66. Случайные величины X, Y принимают только значения
0 и 1. Найдите дисперсию D(X – Y), если P(X = 1) = P(Y = 1) = 0,1 и
ρXY = 0,2.
62
2.67. Дано: E(X) = E(Y) = 8, D(X) = D(Y) = 80, ρXY = 0,1. Найдите
математическое ожидание E[(X + Y)2].
2.68. Пусть X, Y – независимые случайные величины, причем
E(Y) = 0: а) верно ли, что Cov(X, XY) = 0? б) верно ли, что X и XY
независимы?
2.69. Дисперсии независимых случайных величин U, V равны 1.
Для случайных величин X = U +V, Y = 7U + V, Z = 7U – V найдите:
а) корреляционную матрицу; б) определитель корреляционной
матрицы.
2.70. Пусть X, Y, Z – независимые одинаково распределенные
случайные величины, U = XY, V = YZ. Найдите ρUV , если E(X) =
= D(X) = 2.
2.71. Пусть R1, R2 – доходности ценных бумаг двух видов,
ρ = ρ ( R1 , R2 ) , μi = E ( Ri ) , σ i = σ ( Ri ) , i = 1, 2. Пусть X – портфель,
составленный из бумаг данного вида. Найдите математическое
ожидание доходности портфеля X с наименьшей дисперсией доходности, если μ1 = 7%, σ 1 = 1%, μ2 = 14%, σ 2 = 2%, ρ = −0,5 .
2.72. Пусть R1, R2 , R3 – случайные доходности ценных бумаг
трех видов, C – их ковариационная матрица, μi = E ( Ri ) , i = 1, 2, 3.
Найдите доходность безрискового портфеля ценных бумаг, если
μ1 = 6%, μ2 = 9%, μ3 = 15% , а
⎛ 10 −5 10 ⎞
C = 10 ⎜⎜ −5 10 10 ⎟⎟
⎜ 10 10 40 ⎟
⎝
⎠
−4
– вырожденная матрица.
2.73. Среднее арифметическое парных ковариаций доходностей
ценных бумаг n видов, образующих некоторый портфель X, равно
c , а среднее их дисперсий равно σ 2 . Найдите дисперсию доходности однородного портфеля X, т.е. портфеля, в котором инвестиции в различные виды ценных бумаг распределены поровну.
2.74. Пусть X, Y, Z – произвольные случайные величины с ненулевыми дисперсиями. Докажите неравенство
arccos ρ XZ ≤ arccos ρ XY + arccos ρYZ .
63
2.75. Пусть X, Y, Z, U – такие случайные величины, что
ρ XY = ρYZ = ρ ZU > 3 / 2. Докажите, что ρ XU > 0.
2.76. Докажите, что случайная величина X + U не может быть
константой, если ρ XY = ρYZ = ρ ZU > 0,5.
2.77. В некоторой лотерее на N билетов разыгрывается несколько выигрышей. Пусть d − дисперсия размера выигрыша по
одному билету. Докажите, что дисперсия суммарного выигрыша по
nd ( N − n )
.
n билетам равна
N −1
§ 2.6. Моменты случайных величин
Основные сведения
Начальные ν k = ν k ( X ) и центральные μk = μk ( X ) моменты
порядка k = 1, 2,... случайной величины X определяются равенствами
ν k = E ( X k ) и μk = E ([ X − E ( X )]k ).
Центральные и начальные моменты связаны соотношениями:
k −1
μk = ∑ Cksν k − s ( −ν 1 ) s + ( −ν 1 ) k , k = 2,3,...
s =0
В частности,
μ2 = ν 2 − ν 12 ,
μ3 = ν 3 − 3ν 2ν 1 + 2ν 13 ,
μ4 = ν 4 − 4ν 3ν 1 + 6ν 2ν 12 − 3ν 14 .
Основными характеристиками «формы» распределения случайной величины X являются асимметрия и эксцесс:
64
As( X ) =
μ3 ( X )
μ (X )
, Ex( X ) = 44
− 3.
σ 3( X )
σ (X )
Легко проверяется, что As( X ) и Ex( X ) инвариантны относительно преобразования X → a + bX , заданного константами a и
b > 0:
As( a ± bX ) = ± As( X ),
Ex( a ± bX ) = Ex( X ).
Если X 1 ,..., X n – независимые случайные величины, распределенные по тому же закону, что и случайная величина X , то
As( X 1 + ... + X n ) =
Ex( X 1 + ... + X n ) =
1
As( X ),
n
1
Ex( X ).
n
Пусть X – случайная величина, принимающая только целые
неотрицательные значения; pk = P( X = k ), k = 1, 2,... – соответствующие вероятности. Производящая функция ψ ( s ) = ψ X ( s ) задается степенным рядом
∞
ψ ( s ) = ∑ s k pk = E ( s X ).
k =0
Если R > 0 – радиус сходимости этого степенного ряда, то
функция ψ ( s ) определена на интервале ( − R, R ) и однозначно характеризует распределение X . Если R > 1, производная порядка n
производящей функции в точке s = 1 существует и
⎛ n −1
⎞
ψ ( n ) (1) = E ⎜ ∏ ( X − k ) ⎟ .
⎝ k =0
⎠
65
Данная формула позволяет выразить начальные и центральные
моменты через производные ψ ( n ) (1). Так,
ν 1 = E ( X ) = ψ ′(1),
μ2 = D( X ) = ψ ′′(1) + E ( X ) − E 2 ( X ).
Примеры
1. Случайная величина X распределена по закону:
a a + b a + 2b
0,6 0,3
0,1
X
P
Найдите As( X ) и Ex( X ) для произвольных положительных
чисел а и b.
Р е ш е н и е . Случайную величину X представим как результат
линейного преобразования X = a + bY случайной величины Y с
распределением:
Y
0
1
2
P 0,6 0,3 0,1
Последовательно находим числовые характеристики Y :
E (Y ) = 0 ⋅ 0,6 + 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,3 ,
μ2 (Y ) = (0 − 0,5) 2 ⋅ 0,6 + (1 − 0,5)2 ⋅ 0,3 + (2 − 0,5)2 ⋅ 0,1 = 0, 45 ,
μ3 (Y ) = (0 − 0,5)3 ⋅ 0,6 + (1 − 0,5)3 ⋅ 0,3 + (2 − 0,5)3 ⋅ 0,1 = 0,3 ,
μ4 (Y ) = (0 − 0,5) 4 ⋅ 0,6 + (1 − 0,5)4 ⋅ 0,3 + (2 − 0,5)4 ⋅ 0,1 = 0,5625 ,
σ (Y ) = μ2 ≈ 0,67082 .
Из инвариантности асимметрии и эксцесса относительно линейных преобразований, с учетом того, что b > 0, получаем:
As( X ) = As(Y ) =
66
μ3 (Y )
0,3
≈
≈ 0,994 ,
3
σ (Y ) 0,30187
Ex( X ) = Ex(Y ) =
μ4 (Y )
0,5625
2
−3=
−3= − .
0, 2025
3
σ 4 (Y )
2. Подбрасывается игральная кость, X – выпавшее число очков. Найдите пятую производную производящей функции случайной величины X в точке 1.
1
Р е ш е н и е . Находим ψ ( s ) = ( s + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 ). Следо6
вательно,
ψ (5) ( s ) =
1
( 0 + 0 + 0 + 0 + 120 + 720s ) = 20 + 120s,
6
ψ (5) (1) = 20 + 120 ⋅ 1 = 140.
Упражнения
2.78. Найдите μ2 ( X ), μ3 ( X ), μ4 ( X ), As( X ) и Ex( X ) для случайной величины X , распределенной по закону:
X
P
0
1
2
3
0, 4 0,3 0, 2 0,1
2.79. Случайная величина X принимает с равной вероятностью
значения 0, 1 и а. Найдите функцию f ( a ) = μ3 ( X ).
2.80. Нестандартная игральная кость отличается от стандартной
только тем, что вместо 6 очков на одной из ее граней выбито 3 очка
(в результате имеются две грани с таким числом очков). Нестандартная игральная кость подбрасывается 24 раза, S – сумма выпавших очков. Найдите As( S ) и Ex( S ).
2.81. Случайная величина X принимает только значения 0 и 1.
Найдите As( X ) и Ex( X ), если известно, что P( X = 1) = p.
2.82. Случайные величины X 1 ,..., X 100 независимы и принимают
и
только значения а и b. Найдите As( X 1 + ... + X 100 )
Ex( X 1 + ... + X 100 ), если известно, что a < b и P( X i = b) = 0, 2 для
i = 1,...,100.
67
2.83. Случайные величины X 1 ,..., X 10 независимы и принимают
только значения а и b. Найдите Ex( X 1 + ... + X 10 ), если известно,
что a ≠ b – равновероятные значения для случайных величин
X 1 ,..., X 10 .
2.84. Случайные величины X и Y независимы и принимают с
равной вероятностью значения 0,1,3 и 4. Для случайной величины
X + Y найдите 7-ю производную ее производящей функции
ψ X(7)+Y ( s ) в точке s = 1.
2.85. Найдите кубический многочлен g ( e, d ), для которого
справедлива формула μ3 ( X ) = ψ ′′′X (1) − g ( E ( X ), D ( X )).
§ 2.7. Числовые характеристики основных
дискретных законов распределения
Основные сведения
Биномиальным распределением с параметрами n и p называется
распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в каждом испытании p. Биномиальное распределение имеет вид:
X
P
0
0
n
1
0
C pq
n
1
n
2
1 n −1
2
n
C pq
2
C pq
…
n−2
n
…
,
n
n
C p n q0
где q = 1 − p. Для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, имеем
E(X) = np, D(X) = npq.
Распределение Пуассона с параметром λ > 0 задается следующей бесконечной таблицей:
X
P
68
0
e−λ
1
λe
−λ
1!
2
…
2 −λ
λ e
2!
k
…
k −λ
…
λ e
k!
…
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины, распределенной по закону Пуассона, равны параметру λ
данного распределения. Сумма независимых пуассоновских случайных величин также является пуассоновской случайной величиной.
Геометрическим распределением с параметром p называется
распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании.
Геометрическое распределение имеет вид бесконечной таблицы:
X
P
1
p
2
pq
3
pq
…
2
…
k
pq
k−1
…
…
Для дискретной случайной величины X, распределенной по
1
q
геометрическому закону, E ( X ) = , D ( X ) = 2 .
p
p
Примеры
1. Банк выдал n независимым заемщикам ссуды в размере K
руб. каждому заемщику. Найдите математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, если с вероятностью p заемщик возвращает
(1 + r)K и не возвращает ничего с вероятностью q = 1 −p.
Р е ш е н и е . Пусть X − число заемщиков, возвративших долг,
Y − прибыль банка. Тогда количество возвращенных денег составит
(1 + r)KX руб. при суммарной величине ссуды nK. Следовательно,
прибыль дается формулой
П = (1 + r)KX − nK.
Находим математическое ожидание прибыли:
E(П) = (1 + r)KE(X) − nK = (1 + r)Knp − nK = nK((1 + r)p − 1) = nK(rp − q).
Здесь мы использовали свойства математического ожидания и равенство E(X) = np, вытекающего из биномиальности распределения X.
Так как выдача ссуд имеет смысл только при положительном
математическом ожидании прибыли, то получаем rp − q > 0, откуда
вытекает условие на ставку ссудного процента:
r>
q
.
p
69
Находим дисперсию прибыли банка:
D(П) = D[(1 + r)KX − nK] = (1 + r)2K2npq.
2. Страховая компания заключила 1000 независимых договоров
на следующих условиях: страховой взнос составляет K руб., страховка равна 100K руб. Вероятность наступления страхового события по каждому договору равна 0,002. Найдите приближенно вероятность того, что прибыль страховой компании будет больше половины своего математического ожидания.
Р е ш е н и е . Пусть П − прибыль, X − количество выплаченных
страховок. Тогда П = 1000K − 100KX. Пусть p = 0,002 − вероятность
выплаты страховки по одному договору (вероятность успеха в одном
испытании), n = 1000 − число заключенных договоров (число независимых испытаний). Тогда E(X) = np = 2, E(П) = 1000K −
– 100KE(X) = 800K.
1
Условие П > E ( П ) эквивалентно следующим условиям:
2
1000K − 100KX > 400K ⇔ 100KX < 600K ⇔ X < 6.
Поэтому искомая вероятность равна сумме:
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
Так как np 2 = 0,004 << 1, то, применяя приближенную формулу Пуассона, получим P ( X = m ) ≈
2 m −2
e . Отсюда
m!
⎛ 20 21 22 23 24 25 ⎞
4 2 4⎞
⎛
P ( П > E ( П ) ) ≈ e−2 ⎜ + + + + + ⎟ = e−2 ⎜1 + 2 + 2 + + + ⎟ ≈ 0,983.
0!
1!
2!
3!
4!
5!
3 3 15 ⎠
⎝
⎝
⎠
3. В некоторой лотерее на 100 билетов в каждом выпуске разыгрываются три различных выигрыша. Участник лотереи решил
покупать по одному билету в каждом выпуске до тех пор, пока он
не выиграет все три выигрыша. Найдите математическое ожидание
числа купленных билетов.
Р е ш е н и е . Пусть X1 − число билетов, купленных до первого
выигрыша; X2 − число билетов, купленных после первого выигры70
ша и до второго; X3 − число билетов, купленных после второго выигрыша. Тогда X = X1 + X2 + X3 − общее число билетов, купленных
до получения выигрышей всех видов.
Так как тиражи различных выпусков − независимые испытания,
то случайная величина X1 распределена по геометрическому закону
с параметром p = 0,03. Следовательно, E(X1) = 0,03−1.
После получения первого выигрыша количество выигрышей
уменьшается до двух, поэтому случайная величина X2 распределена по геометрическому закону с параметром p = 0,02. Следовательно, E(X2) = 0,02−1. Аналогично, E(X3) = 0,01−1.
Тогда математическое ожидание числа купленных билетов
будет
1
E ( X ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) = 183 .
3
Упражнения
2.86. Случайная составляющая выручки равна 2X, где X − случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n = 100 и p = 0,5. Случайная составляющая затрат имеет
вид 50Y, где Y − случайная величина, распределенная по закону
Пуассона с параметром λ = 2. Найдите дисперсию прибыли, считая,
что случайные составляющие выручки и затрат независимы.
2.87. Случайная величина X распределена по закону Пуассона
с математическим ожиданием E ( X ) = 1. Найдите: а) медиану распределения X ; б) верхнюю 5%-ную точку этого распределения.
2.88. Две монеты подбрасываются до тех пор, пока одновременно не выпадут два герба. Найдите: а) математическое ожидание
и дисперсию числа бросков; б) медиану распределения числа бросков.
2.89. Две игральные кости бросаются до тех пор, пока сумма
очков в последнем броске не окажется более 10. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бросков.
2.90. Любитель кофе каждую неделю покупает банку растворимого кофе. В каждой банке с равной вероятностью находится один
из трех предметов: ложка, нож или вилка. Сколько в среднем нужно купить банок кофе, чтобы получить все три предмета?
71
2.91. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадут
все четные цифры. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бросков.
2.92. Четыре монеты подбрасываются 100 раз. Пусть X − число
бросков, в которых выпали 1 герб и 3 цифры. Найдите E(X) и D(X).
2.93. В серии независимых испытаний, которые проводятся с
частотой одно испытание в минуту, вероятность наступления события A в одном испытании равна 1/9. Найдите стандартное отклонение случайной величины T − времени ожидания двух наступлений события A (за все время T).
2.94. Пусть X − случайная величина, заданная биномиальным
распределением с параметрами n и p =0,5; P(n) = P(X ≥ E(X) + 3σX).
Найдите: а) P(9); б) P(1000) приближенно.
2.95. Пусть X − случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p = 0,5. Найдите вероятность события X ≥ E(X) + 3σ(X).
2.96. Случайные величины X, Y распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию D(X – Y), если E(X) = E(Y) = 2, а
ρXY = 0,7.
2.97. Случайные величины X, Y распределены по закону Пуассона. Найдите дисперсию D(3X +5Y), если E(X) = E(Y) = 4, а
ρXY = 0,8.
2.98. Независимые случайные величины X1, …, X6 распределены по геометрическому закону. Найдите E[( X 1 + ... + X 6 ) 2 ], если
E ( X i ) = 4, i = 1,...,6.
2.99. Производится 13 независимых испытаний с вероятностью
успеха 0,8 в каждом испытании. Пусть X – число успехов в испытаниях с номерами 1, 2, …, 9; Y – в испытаниях с номерами 5, 6,
…, 13. Найдите D(X + 3Y).
2.100. Случайная величина X распределена по закону Пуассона
с параметром λ . Найдите As( X ), используя ответ к задаче 2.85.
2.101. Случайные величины X λ(1) ,..., X λ( n ) независимы и распре-
делены по закону Пуассона с параметром λ . Найдите Ex ( X λ(1) ) ,
72
устремив n → ∞ и используя одинаковую распределенность X λ(1) и
X λ(1)/ n + ... + X λ( n/ n) .
§ 2.8. Непрерывные случайные величины
Основные сведения
Случайная величина X называется непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x). Для непрерывной случайной
величины X вероятность любого ее возможного значения равна 0.
Поэтому вероятность попадания в промежуток [a, b], (a, b], [a, b)
или (a, b) не зависит от вида промежутка и равна F(b) – F(a). Пара
неравенств, задающих квантиль qε распределения непрерывной
случайной величины X, эквивалентна одному уравнению F ( qε ) = ε .
Таким образом, qε = F −1 (ε ), где F −1 – функция, обратная к функции распределения.
Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции:
b
P( a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx.
a
Для функции распределения F(x) имеем
x
F ( x) =
∫
f (t )dt.
−∞
Плотность распределения обладает следующими свойствами.
1. f(x) ≥ 0, x ∈ R (неотрицательность).
∞
2.
∫
f ( x )dx = 1 (условие нормировки).
−∞
3. f ( x ) = F ′( x ) в точке непрерывности f(x).
73
Математическое ожидание непрерывной функции ϕ ( x ) от случайной величины X находится путем интегрирования произведения
данной функции и плотности распределения:
E[ϕ ( X )] =
∞
∫ ϕ ( x ) f ( x )dx.
−∞
Случайная величина X называется сосредоточенной на множестве М, если вероятность попадания X в М равна 1.
Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на отрезке [a, b], можно представить в виде
x < a,
⎧0,
⎪x
⎪
F ( x ) = ⎨ ∫ f ( t ) dt, a ≤ x ≤ b,
⎪a
⎪⎩1,
x > b.
Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) определяется равенством
∞
E( X ) =
∫ xf ( x )dx,
−∞
если несобственный интеграл сходится абсолютно.
Если случайная величина X сосредоточена на отрезке [a, b], то
b
E ( X ) = ∫ xf ( x )dx.
a
Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с
функцией плотности f(x) находится по формулам
∞
D( X ) =
∫ ( x − E [ X ])
−∞
74
2
∞
f ( x )dx, D ( X ) =
∫x
−∞
2
f ( x )dx − ( E[ X ]) 2 .
Если случайная величина X сосредоточена на отрезке [a, b], то
b
D ( X ) = ∫ ( x − E[ X ]) f ( x )dx,
2
a
b
D ( X ) = ∫ x 2 f ( x )dx − ( E[ X ]) 2 .
a
Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке [a, b], называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если на этом
отрезке плотность вероятности сохраняет постоянное значение:
f ( x) =
1
.
b−a
Для равномерно распределенной случайной величины:
(b − a ) ,
b−a
a+b
E( X ) =
, D( X ) =
σX =
.
12
2
2 3
2
Случайная величина X распределена по показательному закону
с параметром λ > 0, если функция плотности имеет вид
⎧λ e − λ x , x ≥ 0,
f ( x) = ⎨
x < 0.
⎩ 0,
Вероятность попадания в промежуток [a, b], a, b > 0, непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному
закону, вычисляется по формуле
P ( a ≤ X ≤ b ) = e − λa − e − λb .
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное
отклонение показательного распределения соответственно равны:
E( X ) =
1
λ
; D( X ) =
1
λ
2
; σX =
1
λ
.
75
Примеры
⎡ π⎤
1. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке ⎢0, ⎥ ,
⎣ 2⎦
имеет функцию распределения F(x) = sinx. Найдите вероятность
⎡π ⎤
попадания случайной величины X в отрезок ⎢ , 2 ⎥ . Постройте
⎣6 ⎦
график функции F(x).
Р е ш е н и е . Имеем:
⎛π
⎞
⎛π ⎞
P ⎜ ≤ X ≤ 2 ⎟ = F ( 2 ) − F ⎜ ⎟ = 1 − 0,5 = 0,5.
⎝6
⎠
⎝6⎠
График F(x) выглядит следующим образом (рис. 2.1):
y
1
π
O
x
2
Рис. 2.1
2. Случайная величина X имеет функцию распределения
F ( x) =
1
1
arctgx + .
2
π
Найдите вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [1, ∞) и постройте график функции F(x).
Р е ш е н и е . Имеем
P ( X ≥ 1) = F ( ∞ ) − F (1) = 1 −
Построим график функции F(x) (рис. 2.2):
76
3
= 0, 25.
4
y
1
1/2
O
x
Рис. 2.2
⎡ π⎤
3. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке ⎢0, ⎥ ,
⎣ 2⎦
имеет функцию распределения F(x) = sinx. Найдите функцию плотности f(x). Постройте график функции f(x).
Р е ш е н и е . Поскольку f(x) = F'(x), имеем
⎧
⎪ 0,
x < 0,
⎪
π
⎪
f ( x ) = ⎨ cos x , 0 ≤ x < ,
2
⎪
π
⎪
x≥ .
⎪⎩ 0,
2
График функции плотности выглядит следующим образом (рис. 2.3):
y
1
O
π
x
2
Рис. 2.3
4. График функции плотности f(x) случайной величины X имеет
следующий вид (рис. 2.4):
77
y
c
−2
O
4
x
Рис. 2.4
Определив предварительно параметр c, найти функцию распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X. Постройте график функции F(x).
Р е ш е н и е . Поскольку случайная величина X сосредоточена
на отрезке [−2; 4], условие нормировки выглядит следующим образом:
4
∫ f ( x ) dx = 1.
−2
Интеграл слева дает площадь треугольника с основанием b = 4 −
– (−2) = 6 и высотой c, т.е.
1
bc = 1,
2
отсюда c = 1/3.
Найдем аналитическое выражение функции плотности f(x). На
отрезке [−2; 0]
x
y
+
= 1,
−2 1/ 3
x
1 x
3y = 1 + , y = + .
3 6
2
На отрезке [0; 4]
78
x
1 x
x
y
+
= 1, 3 y = 1 − , y = − .
3 12
4 1/ 3
4
Таким образом, функция плотности имеет вид
x ≤ −2,
⎧0,
⎪x 1
⎪ + , − 2 < x ≤ 0,
⎪6 3
f ( x) = ⎨
⎪ − x + 1 , 0 < x ≤ 4,
⎪ 12 3
⎪0,
x > 4.
⎩
Функцию распределения будем искать по формуле
F ( x) =
x
∫ f ( t ) dt,
−2
поскольку f(x) = 0 при x ≤ −2. Ясно, что F(x) = 0, когда x ≤ −2. На
промежутке (−2; 0]
x
x
⎛ t2 t ⎞
x2 x ⎛ 1 2 ⎞ x2 x 1
⎛ t 1⎞
+ −⎜ − ⎟=
+ + .
F ( x ) = ∫ ⎜ + ⎟ dt = ⎜ + ⎟ =
6 3⎠
⎝ 12 3 ⎠ −2 12 3 ⎝ 3 3 ⎠ 12 3 3
−2 ⎝
На отрезке [0; 4]
F ( x) =
x
∫
f ( t ) dt =
−2
0
∫
−2
x
x
⎛ t 1⎞
f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = F ( 0 ) + ∫ ⎜ − + ⎟ dt =
12 3 ⎠
0
0⎝
x
1 ⎛ t2 t ⎞
1 x2 x
x2 x 1
= + ⎜− + ⎟ = −
+ =− + + .
3 ⎝ 24 3 ⎠ 0 3 24 3
24 3 3
При x > 4 F(x) = 1, по свойству функции распределения. Таким образом,
79
x ≤ −2,
⎧0,
⎪ 2
⎪ x + x + 1 , − 2 < x ≤ 0,
⎪ 12 3 3
F ( x) = ⎨ 2
⎪ − x + x + 1 , 0 < x ≤ 4,
⎪ 24 3 3
⎪1,
x ≥ 4.
⎩
График функции F(x) имеет вид, представленный на рис. 2.5:
y
1
−2
O
x
4
Рис. 2.5
Математическое ожидание случайной величины X найдем по
формуле
E(X ) =
4
∫ xf ( x ) dx.
−2
Данный интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
0
4
⎛ x2 x ⎞
⎛ x2
E ( X ) = ∫ ⎜ + ⎟ dx + ∫ ⎜ − +
6 3⎠
12
0⎝
−2 ⎝
0
4
x⎞
⎟ dx =
3⎠
⎛ x3 x2 ⎞
⎛ x3 x2 ⎞
⎛ 8 4 ⎞ ⎛ −64 16 ⎞
= ⎜ + ⎟ + ⎜− + ⎟ = 0−⎜− + ⎟ + ⎜
+ ⎟−0=
6⎠
⎝ 18 6 ⎠ ⎝ 36
⎝ 18 2 ⎠ −2 ⎝ 36 6 ⎠ 0
80
=
4 2 16 8
4
2
− − + =− +2= .
9 3 9 3
3
3
Дисперсию случайной величины X проще всего искать по формуле
D(X ) =
4
∫ x f ( x ) dx − E ( X ) .
2
2
−2
Первый интеграл также представляется в виде суммы двух интегралов:
4
0
⎛ x3 x2 ⎞
⎛ x3 x2 ⎞
2
x
f
x
dx
=
+
dx
+
(
)
∫
∫ ⎜ 6 3 ⎟⎠ ∫ ⎜⎝ − 12 + 3 ⎟⎠ dx =
−2
−2 ⎝
0
4
⎛ x4 x3 ⎞
⎛ x4 x3 ⎞
⎛ 16 8 ⎞ ⎛ 256 64 ⎞
= ⎜ + ⎟ + ⎜− + ⎟ = 0−⎜ − ⎟ + ⎜−
+ ⎟=
9 ⎠
⎝ 24 9 ⎠ ⎝ 48
⎝ 24 9 ⎠ −2 ⎝ 48 9 ⎠ 0
2 8 16 64
=− + − +
= −6 + 8 = 2.
3 9 3
9
4
5
=1 .
9
9
5. Непрерывная случайная величина X, сосредоточенная на
1
промежутке [1; ∞), имеет функцию распределения F ( x ) = 1 − 3 .
x
Найдите функцию плотности f(x), математическое ожидание E(X),
дисперсию D(X).
Р е ш е н и е . Найдем функцию плотности, продифференцировав
функцию распределения:
Таким образом, D(X) = 2 −
f ( x) =
3
при x ≥ 1.
x4
Так как случайная величина X сосредоточена на промежутке
[1; ∞), то математическое ожидание находится по формуле
81
∞
∞
1
1
E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫
3
3
dx = − 2
3
x
2x
∞
1
3
= .
2
Дисперсию удобно вычислять по формуле
∞
D ( X ) = ∫ x 2 f ( x ) dx − E ( X ) .
2
1
Вычислим отдельно первый интеграл:
∞
2
∫x
1
∞
∞
3
3
3
dx = ∫ 2 dx = −
= 3.
4
x
x
x1
1
2
⎛ 3⎞ 3
Поэтому D ( X ) = 3 − ⎜ ⎟ = .
⎝2⎠ 4
Упражнения
2.102. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке
1
1
[−1; 3], имеет функцию распределения F ( x ) = x + . Найдите
4
4
вероятность попадания случайной величины X в отрезок [0; 2]. Постройте график функции F(x).
2.103. Пусть g(x) = xn + a1xn–1 + … + an – многочлен степени n, X
– непрерывная случайная величина. Найдите P{g(X) = 0}.
2.104. Случайная величина X имеет функцию распределения
1 arctg x / 3
F ( x) = +
, x ∈ (−∞, ∞). Найдите: а) вероятность попадаπ
2
ния случайной величины X в промежуток [−3; 3]; б) квантиль уровня ¾ распределения X.
2.105. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке
2
x
[0; 3], имеет функцию распределения F ( x ) = arcsin , 0 ≤ x ≤ 3.
3
π
Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервал
(0; 3/2).
82
2.106. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке
1
[2; 6], имеет функцию распределения F ( x ) = ( x 2 − 4 x + 4 ) ,
16
2 ≤ x ≤ 6. Найдите вероятность того, что случайная величина X
примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3;
г) не меньше 6.
2.107. Случайная величина X, сосредоточенная на отрезке
1
[0; 2], имеет функцию распределения F ( x ) = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2. Найди4
те вероятность того, что в результате пяти испытаний случайная
величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).
2.108. Непрерывная случайная величина X, сосредоточенная на
отрезке [1; 4], распределена по закону с квадратичной функцией
распределения F ( x ) = ax 2 + bx + c, имеющей максимум при x = 4.
Найдите параметры a, b, c и вычислите вероятность попадания X в
отрезок [2; 3].
2.109. Распределение непрерывной случайной величины X, сосредоточенной на отрезке [0; 2], задано функцией распределения
F(x) = ax3 + bx, имеющей максимум при x = 2. Найдите параметры
a, b и вероятность попадания X в отрезок [1; 2].
2.110. Для функции распределения F(x) = c arctg2x + d,
x ∈ (−∞, ∞), найдите параметры c и d и постройте ее график.
1 1
x
+ arctg ,
2 π
2
x ∈ (−∞, ∞), найдите функцию плотности вероятности и постройте
ее график.
2.111. Для
функции
распределения
F ( x) =
2.112. Для функции плотности f(x) распределения непрерывной
случайной величины X, сосредоточенной на отрезке [2; 4], f(x) = ½,
x ∈ [2; 4]. Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее
график. Найдите E(X).
2.113. Дана функция плотности вероятности непрерывной случайной величины X, сосредоточенной на положительной полуоси,
f(x) = 3e−3x, x ∈ [0, ∞), Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
83
2.114. Дана
=
функция
плотности
распределения
f ( x) =
x
2e
, x ∈ R. Найдите функцию распределения F(x) и поπ (1 + e2 x )
стройте ее график.
2.115. Функция плотности f(x) случайной величины X равна 0
вне отрезка [ −3,3] и f(x) = ax2 + bx + c для x ∈ [–3; 3]. Найдите параметры a, b, c и вероятность попадания случайной величины X на
отрезок [0; 2], если известно, что f(x) непрерывна на всей числовой
оси.
2.116. Функция плотности распределения непрерывной случайc
ной величины X задана на всей числовой оси, f ( x ) =
. Найди1 + x2
те параметр c и вычислите вероятность попадания X в отрезок [0; 1].
2.117. Дана непрерывная функция плотности случайной величины X, сосредоточенной на отрезке [0; π], f(x) = a sinbx + c,
b ∈ (0; 2). Найдите параметры a, b, c и вычислите вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 2π/3).
2.118. Дана функция плотности распределения случайной величины X, сосредоточенной на положительной полуоси, f(x) = 2e−bx,
х > 0. Найдите: а) параметр b; б) вероятность попадания X в полуинтервал [1; ∞); в) медиану распределения X.
2.119. Дана функция распределения непрерывной случайной веx2
личины X, сосредоточенной на отрезке [0; 3], F ( x ) = . Найдите
9
функцию плотности, математическое ожидание и дисперсию. Постройте графики функции распределения и плотности вероятности.
2.120. Случайная величина X имеет плотность вероятности
−x
e
f ( x) =
. Найдите математическое ожидание и дисперсию X.
2
2.121. Выразите функцию распределения FY ( y ) случайной величины Y = 8 – 9X через функцию распределения FX ( x ) непрерывной случайной величины X.
2.122. Распределение случайной величины X задано функцией
плотности f(x). Найдите плотность распределения случайной величины 2X+7 в точке x.
84
2.123. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ −5;10]. Найдите P(X2 > 9).
2.124. Случайная величина X равномерно распределена на от-
резке [ −1;1]. Найдите E
(
3
)
X2 .
2.125. Случайная величина X равномерно распределена на от-
резке [ −1;1]. Найдите: а) E
(
3
)
X 11 ; б) D
(
3
)
X 11 .
2.126. Случайные величины X, Y, Z независимы и равномерно
распределены на отрезке [3; 7]. Найдите E[(X – Y + Z)2].
2.127. Случайные величины X1, …, X4 независимы и распределены по показательному закону. Найдите E[(X1 + … + X4)2], если
E(X1)=…= E(X4)=3.
2.128. Случайная величина X распределена по показательному
закону. Найдите ln P( X > 9), если E ( X ) = 10.
2.129. Случайная величина X распределена по показательному
закону. Найдите P (18 < X < 36), если E ( X ) = 9 / ln 2.
2.130. Для непрерывной случайной величины X с функцией
распределения F(x) найдите вероятность события {F(X) < 3/7}.
2.131. Автобусы некоторого маршрута движутся точно по расписанию с интервалом в 10 мин. Найдите вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке в случайный момент времени,
будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
2.132. Минутная стрелка электрических часов перемещается
скачком в конце каждой минуты. Найдите вероятность того, что
студент, посмотревший на часы, ошибется в определении точного
времени до конца занятия не более чем на 25 с.
2.133. Найдите: а) медиану; б) математическое ожидание и
дисперсию случайной величины X, распределенной по равномерному закону на отрезке [4; 10].
2.134. Случайная величина X распределена по показательному
закону с параметром λ . Найдите: а) медиану распределения X ; б)
начальные моменты vk ( X ), k = 1, 2,...; в) As( X ); г) Ex( X ).
2.135. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a , b]. Найдите: а) центральные моменты μk ( X ); б) As( X );
в) Ex( X ).
85
§ 2.9. Нормальные случайные величины
Основные сведения
Случайная величина X называется распределенной нормально с
параметрами μ и σ 2 (обозначается X ~ N ( μ , σ 2 ) ), если ее функция плотности имеет вид:
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
( x − μ )2
2σ 2
, σ > 0.
Свойства нормально распределенных случайных величин:
1. Вероятность попадания нормальной случайной величины
X ~ N ( μ , σ 2 ) в заданный промежуток [a, b] равна
⎛b−μ⎞
⎛a−μ⎞
P ( a ≤ X ≤ b) = Φ ⎜
⎟ −Φ⎜
⎟,
σ
⎝
⎠
⎝ σ ⎠
1
где Φ ( x ) =
2π
x
∫e
−
t2
2
dt − функция Лапласа. В частности,
0
⎛δ
P ( X − μ < δ ) = 2Φ ⎜
⎝σ
⎞
⎟.
⎠
2. Для нормальной случайной величины X ~ N ( μ , σ 2 ) выполняются соотношения: E(X) = μ , D ( X ) = σ 2 , As( X ) = Ex( X ) = 0.
3. Если X – нормальная случайная величина, то для любых чисел a, b (b ≠ 0) случайная величина a + bX также нормальная.
4. Сумма нескольких независимых нормальных случайных величин является нормальной случайной величиной.
Производящей функцией моментов случайной величины X называется функция M X (t ) = E ( etX ) . Производящая функция моментов нормальной случайной величины X ~ N ( μ , σ 2 ) имеет вид
M X (t ) = e
86
μt +
σ 2t 2
2
.
Положительная случайная величина X > 0 имеет логнормальное распределение (обозначается X ~ LN ( μ , σ 2 ) ), если ее логарифм
распределен по нормальному закону, ln X ~ N ( μ , σ 2 ).
Особая роль, которую нормальный закон играет в теории вероятностей и ее приложениях, связана с различными формами центральной предельной теоремы (ЦПТ). Наиболее известной является ЦПТ для одинаково распределенных слагаемых:
пусть X 1 , X 2 ,... – бесконечная последовательность одинаково
распределенных случайных величин, для которых существуют
математическое ожидание μ = E ( X i ) и дисперсия σ 2 = D ( X i ),
i = 1, 2,... Тогда для нормированных сумм
Sn′ =
X 1 + ... + X n − n μ
, n = 1, 2,...
nσ
выполняется соотношение
lim P( Sn′ < x ) =
n →∞
1
2π
x
∫e
−∞
−
t2
2
dt =
1
+ Φ ( x ),
2
где Φ ( x ) – функция Лапласа.
Из этой теоремы следует, что для промежутка Δ любого вида
предел вероятности попадания нормированной частичной суммы в
Δ существует и lim P( Sn′ ∈ Δ ) = P( Z ∈ Δ ), где Z ~ N (0,1) – стандартn →∞
ная нормальная случайная величина. В частности, для промежутка
Δ = ( a, b) или Δ = [a, b] имеем
lim P( Sn′ ∈ Δ ) = Φ (b) − Φ ( a ),
n →∞
Примеры
1. Пусть производится закупка мужской обуви. Как необходимо заказать распределение обуви по размерам, если из антропометрической статистики известно, что данное распределение является
87
нормальным с математическим ожиданием μ = E(X) = 42 и средним
квадратичным отклонением σX = 2.
Р е ш е н и е . Для того чтобы определить процент потребителей
с данным размером обуви, достаточно применить формулу
⎛b−μ⎞
⎛a−μ⎞
P ( a ≤ X ≤ b) = Φ ⎜
⎟ −Φ⎜
⎟.
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
Например, как рассчитать процент покупателей на размер 41?
Будем считать, что X удовлетворяет неравенству:
40,5 ≤ X ≤ 41,5.
С учетом нечетности функции Лапласа имеем
⎛ 41,5 − 42 ⎞
⎛ 40,5 − 42 ⎞
P ( 40,5 ≤ X ≤ 41,5) = Φ ⎜
⎟ −Φ⎜
⎟=
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
= Ф(−0,25) − Ф(−0,75) = Ф(0,75) − Ф(0,25).
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф(0,75) = 0,2734, Ф(0,25) = 0,0987.
Таким образом, искомая вероятность
P(40,5 ≤ X ≤ 41,5) = 0,1747.
Следовательно, 17,5% всего объема закупаемой обуви должна составлять обувь размера 41. Аналогично можно найти доли, приходящиеся на другие размеры.
2. Случайные величины X 1 , X 2 ,... независимы и равномерно
распределены
на
отрезке
[3,15].
Найдите
предел
(
)
lim P X 1 + ... + X n > 9n + 3n .
n →∞
Р е ш е н и е . Для равномерно распределенной на отрезке [3, 15]
случайной величины X i ее математическое ожидание E ( X i ) = 9 и
D ( X i ) = 12. Поэтому искомый предел равен
88
(
)
lim P X 1 + ... + X n > 9n + 3n =
n →∞
⎛ X + ... + X n − 9n
3n ⎞
= lim P ⎜ 1
>
⎟=
n →∞
12n
12n ⎠
⎝
= Φ ( ∞) − Φ (0,5) = 0,5 − 0,1915 = 0,3085.
Упражнения
2.136. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 4. Найдите вероятность попадания X в отрезок [2; 13].
2.137. Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием 2,1 и дисперсией 9 найдите вероятность
P(|X| > 1,2).
2.138. Математические ожидания и дисперсии независимых
нормальных случайных величин X, Y, Z, U равны 1. Найдите
P(1 < X − Y + Z + U < 3).
2.139. Для независимых нормальных случайных величин X, Y
известны их математические ожидания и дисперсии: E(X) = 15;
E(Y) = 19,9; D(X) = 5; D(Y) = 44. Найдите P(X < Y).
2.140. Независимые нормальные случайные величины X1,…, X25
имеют параметры: E(Xi) = 2, D(Xi) = σ2, i = 1, …, 25. Для суммы
S = X1 + … + X25 найдите P(|S – 50| < 6,5σ).
2.141. Рост призывников, направляемых на службу в армию, является случайной величиной X, распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием 170 см и средним квадратичным отклонением 20 см. В церемониальную роту принимаются те
юноши, рост которых превышает 185 см. Сколько кандидатов в церемониальную роту может быть отобрано из 100 призывников по
этому признаку? Найдите наиболее вероятное количество кандидатов.
2.142. Размер воротничка спрашиваемой мужской сорочки является случайной величиной X, распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием 39 и стандартным отклонени89
ем 3. Какой процент мужских сорочек размером 40 от общего числа следует заказать магазину?
2.143. Случайные величины X 1 , X 2 ,... независимы и распределены
по
геометрическому
закону.
Найдите
предел
(
)
lim P X 1 + ... + X n > 3n − 6n , если известно, что E ( X i ) = 3.
n →∞
2.144. Для независимых равномерно распределенных на отрезке
[ −2, 2]
случайных
величин
X 1 , X 2 ,...
найдите
предел
(
)
lim P | X 1 + ... + X n | > 3n .
n →∞
2.145. Случайные величины X 1 , Y1 , X 2 , Y2 ,... независимы и распределены
по
закону
Пуассона.
Найдите
предел
(
)
lim P X 1 + ... + X n + n > Y1 + ... + Yn + 5n ,
n →∞
если
известно,
что
E ( X i ) = 2, а E (Yi ) = 3, i = 1, 2,...
2.146. Пусть X 1 , X 2 ,... – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с равными математическими ожиданиями E ( X i ) = μ и дисперсиями
D( X i ) = σ 2 ,
S1′, S2′ ,... – соответствующая последовательность нормированных
сумм, Sn′ =
(∑
n
i =1
X i − nμ
)(
)
nσ , n = 1, 2,... Докажите, что для схо-
дящейся к a при n → ∞ последовательности a1 , a2 ,... выполняется
соотношение lim P( Sn′ < an ) = lim P( Sn′ ≤ an ) =
n →∞
n →∞
1
2π
a
∫
−
t2
e 2 dt.
−∞
2.147. Случайные величины X 1 , X 2 ,... независимы и принимают
с равными вероятностями значения 1, 2 и 4. Пусть Gn = X 1... X n –
среднее геометрическое первых n величин среди X 1 , X 2 ,... Ис-
пользуя предыдущую задачу, найдите предел lim P ( Gn < 2 + n −1/ 2 ) .
n →∞
2.148. Пусть Q1 – квантиль уровня ¼, а Q3 – квантиль уровня ¾
нормального распределения N ( μ , σ 2 ). Выведите формулу для
квантилей уровня ε ∈ (0,1) распределения N ( μ , σ 2 ) и с ее помощью найдите отношение (Q3 − Q1 ) σ .
90
2.149. Для логнормальной случайной величины X ~ LN ( μ , σ 2 )
найдите: а) E ( X ); б) D ( X ); в) As( X ); г) медиану распределения
LN ( μ , σ 2 ).
2.150. Найдите такие константы а и b, что при σ → 0 для
X ~ LN ( μ , σ 2 ) выполняются соотношения: а) As( X ) = aσ + ο (σ );
б) Ex( X ) = bσ 2 + ο (σ 2 ).
91
ГЛАВА 3
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
§ 3.1. Двумерные случайные векторы.
Дискретные векторы
Основные сведения
Упорядоченная пара случайных величин (X, Y), заданных на
множестве элементарных исходов одного и того же опыта, называется двумерным случайным вектором или двумерной случайной
величиной.
Подмножество B ⊆ R 2 числовой плоскости называется борелевским, если оно принадлежит минимальной σ-алгебре, содержащей все открытые подмножества в R 2 . Борелевскими множествами
являются: точки, прямые, открытые и замкнутые многоугольники,
полуплоскости, круги и т.д.
Случайные векторы (X1; Y1), (X2; Y2), …, (Xn; Yn) называются независимыми, если всякие n событий вида
{(X1; Y1) ∈ B1}, {(X2; Y2) ∈ B2}, …, {(Xn; Yn) ∈ Bn}
независимы в совокупности (B1, B2, …, Bn – борелевские подмножества R 2 ).
Функция распределения двумерного случайного вектора (X, Y)
определяется формулой FX,Y(x, y) = P(X < x, Y < y).
Свойства функции распределения:
1. FX,Y(x, y) не убывает и непрерывна слева по обоим аргументам.
2. P( x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) = F( x1, y1) + F( x2 , y2 ) − F( x1, y2 ) − F( x2 , y1).
3. lim FX ,Y ( x, y ) = lim FX ,Y ( x, y ) = 0.
x→−∞
y→−∞
4. lim FX ,Y ( x, y ) = FY ( y ), lim FX ,Y ( x, y ) = FX ( x ).
x→+∞
5. lim FX ,Y ( x, y ) = 1.
x→+∞
y→+∞
92
y→+∞
Случайные векторы (X1, Y1) и (X2, Y2) одинаково распределены,
когда их функции распределения совпадают. Для одинаково распределенных случайных векторов (X1, Y1) и (X2, Y2) вероятность
попадания точек (X1, Y1) и (X2, Y2) в какое-либо борелевское множество B ⊆ R2 одна и та же:
P{( X 1 , Y1 ) ∈ B} = P{( X 2 , Y2 ) ∈ B}.
Пара чисел (x, y) называется возможным значением случайного вектора (X, Y), если для некоторого элементарного исхода ω∈Ω
имеем
x = X(ω), y = Y(ω).
Случайный вектор (X, Y) называется дискретным, если его
компоненты X и Y – дискретные случайные величины. Для дискретного случайного вектора (X, Y) вероятность попадания (X, Y) в
область G ⊆ R2 находится по формуле
P{( X , Y ) ∈ G} =
∑
P( X = x, Y = y ),
( x , y )∈G
где суммирование производится по всем возможным значениям
(x, y) случайного вектора (X, Y), принадлежащим области G.
Пусть {x1 , x2 , ...} – множество возможных значений X, а
{ y1 , y2 , ...} – множество возможных значений Y. Распределение
случайного вектора (X, Y) обычно задается в виде таблицы:
Y = y1
Y = y2
…
X = x1
p11
p12
…
X = x2
p21
p22
…
…
…
…
…
,
в которой pij = P( X = xi , Y = y j ), а сумма всех pij равна 1.
Законы распределения отдельных компонент случайного вектора (X, Y) выражаются через вероятности совместных значений pij
по формулам
P( X = xi ) = ∑ pij ,
j
P(Y = y j ) = ∑ pij .
i
93
Математическое ожидание функции от компонент дискретного
случайного вектора может быть представлено в виде суммы (ряда)
E[ϕ ( X , Y )] = ∑ϕ ( xi , y j ) pij .
i, j
В частности, математическое ожидание E ( XY ) находится по
формуле
E ( XY ) = ∑ xi y j pij ,
i, j
а ковариация Cov( X , Y ) – по формуле
Cov( X , Y ) = ∑ ( xi − E ( X ) ) ( y j − E (Y ) ) pij .
i, j
Примеры
1. Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) распределена по закону:
X=1
X=2
X=3
Y=0
0,11
0,12
0,13
Y=1
0,2
0,21
0,23
Найдите распределения X, Y и X + Y.
Р е ш е н и е . Возможные значения X: 1, 2, 3. Найдем вероятности:
P(X = 1) = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) = 0,11 + 0,2 = 0,31;
P(X = 2) = 0,12 + 0,21 = 0,33; P(X = 3) = 0,13 + 0,23 = 0,36.
Возможные значения Y: 0, 1. Найдем вероятности этих значений:
P(Y = 0) = 0,11 + 0,12 + 0,13 = 0,36; P(Y = 1) = 0,2 + 0,21 + 0,23 = 0,64.
Возможные значения X + Y: 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности:
P(X + Y = 1) = P(X = 1, Y = 0) = 0,11; P(X + Y = 2) = P(X = 1, Y = 1) +
+ P(X = 2, Y = 0) = 0,2 + 0,12 = 0,32; P(X + Y = 3) = 0,13 + 0,21 = 0,34;
P(X + Y = 4) = 0,23.
94
Итак, имеем распределения:
X
1
2
3
P
0,31
0,33
0,36
Y
0
P 0,36
1
X+Y
1
2
3
4
0,64
P
0,11
0,32
0,34
0,23
2. Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) имеет распределение:
X=1
X=2
X=3
0
1/3
0
Y=1
Y=2
0
0
1/3
Y=3
1/3
0
0
Нетрудно видеть, что множество возможных значений {1, 2, 3}
одно и то же для X и Y. Вероятности всех возможных значений (для
X и для Y) равны 1/3. Следовательно, X и Y одинаково распределены. Отсюда можно предположить, что E(X/Y) = E(Y/X). Покажите,
что это неверно.
Р е ш е н и е . Найдем распределения X/Y и Y/X:
X/Y
2
3/2
1/3
Y/X
2
2/3
1/2
P
1/3
1/3
1/3
P
1/3
1/3
1/3
23
19
; E (Y / X ) = .
18
18
Найдем ковариацию Cov(X, Y), вычислив предварительно E(X),
1
1
1
E(Y) и E(X⋅Y). Имеем E ( X ) = E (Y ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 2. Найдем
3
3
3
распределение X⋅Y:
Отсюда E ( X / Y ) =
X⋅Y
2
3
6
P
1/3
1/3
1/3
1
1
1
2
Отсюда E ( X ⋅ Y ) = 2 ⋅ + 3 ⋅ + 6 ⋅ = 3 . Следовательно,
3
3
3
3
1
Cov ( X , Y ) = E ( X ⋅ Y ) − E ( X ) ⋅ E (Y ) = − .
3
95
2
1
1
1
2
Далее, D( X ) = D(Y ) =12 ⋅ + 22 ⋅ + 32 ⋅ − 22 = . Поэтому σ ( X ) σ (Y ) = .
3
3
3
3
3
Таким образом, коэффициент корреляции X и Y равен
1 2
3 3
ρ ( X , Y ) = − : = −0,5.
3. В группе 20 студентов. Из них 10 получают стипендию в
размере A руб., а другие 10 − в размере B руб. Из группы случайно
отобраны 4 студента. Пусть X − их суммарная стипендия. Найдите
дисперсию X.
Р е ш е н и е . Пусть Xi (i = 1, 2, 3, 4) − стипендия каждого из четырех отобранных студентов. Тогда D(X) = 4⋅D(X1) + 12⋅Cov(X1,
X2). Находим распределение Xi:
Xi
A
P
0,5
B
0,5
( A − B ) . Находим двумерное
A+ B
, D ( Xi ) =
4
2
распределение (Xi, Xj) при i ≠ j. Имеем:
2
Отсюда E ( X i ) =
10 9
9
⋅ = .
20 19 38
10 10 10
P ( X i = A, X j = B ) = P ( X i = A) ⋅ PX i = A ( X j = B ) = ⋅ = .
20 19 38
P ( X i = A, X j = A) = P ( X i = A) ⋅ PX i = A ( X j = A) =
10
9
и P ( X i = B, X j = A ) = .
38
38
Итак, двумерное распределение (Xi, Xj) при i ≠ j имеет вид:
Аналогично P ( X i = B, X j = A) =
Xi = A
Xi = B
Xj = A
9/38
10/38
Xj = B
10/38
9/38
Находим распределение Xi⋅Xj при i ≠ j:
96
Xi⋅Xj
A2
A⋅B
B2
P
9/38
2⋅10/38
9/38
Следовательно, E ( X i X j ) =
1
( 9 A2 + 20 AB + 9 B 2 ) . Поэтому
38
Cov(Xi, Xj) = E(XiXj) − E(Xi)E(Xj) =
1
1
1
2
= ( 9 A2 + 20 AB + 9 B 2 ) − ( A2 + 2 AB + B 2 ) = − ( A − B ) .
38
4
76
Следовательно,
D(X )
( A − B)
= 4⋅
4
2
( A − B)
− 12 ⋅
76
2
=
16
2
( A − B) .
19
Упражнения
3.1. Случайный вектор (X, Y) распределен по закону:
Y =1
Y =2
X =2
X =4
X =6
0,1
0, 2
0, 2
0,1
0,3
0,1
Найдите: а) распределение X; б) распределение Y; в) распределение суммы X + Y; г) распределение произведения XY; д) ковариацию Cov(X, Y); е) коэффициент корреляции ρ XY .
3.2. Дискретные случайные величины X1 и X2 независимы и
одинаково распределены:
X i 5 10
P
0, 4 0,6
Найдите: а) распределение суммы X1 + X2; б) распределение частного X1/X2; в) распределение случайного вектора (X, Y), где
X = X1 + X2, Y = X1/X2; г) ковариацию Cov(X, Y).
3.3. Игральная кость подбрасывается n раз. Пусть X – число
бросков, в которых выпало «1», Y – число бросков, в которых выпало «2». Найдите коэффициент корреляции ρ XY . Указание: сначала составьте совместное распределение X и Y и найдите
Cov( X , Y ) при n = 1.
3.4. На отрезке [0, 5] случайным независимым образом выбирается n точек. Пусть X – число точек, попавших в промежуток
[0, 2], а Y – число точек, попавших в промежуток [1, 4]. Найдите
коэффициент корреляции ρ XY .
97
3.5. В группе из 15 человек 5 имеют доход 1 у.е., другие 5 имеют
доход 2 у.е. и оставшиеся 5 человек имеют доход 3 у.е. а) Из данной
группы случайно отбираются два человека. Найдите ковариацию их
доходов. б) Из данной группы случайно отбираются 5 человек. Найдите дисперсию суммарного дохода отобранных людей.
3.6. Зависимые дискретные случайные величины X1 и X2 имеют
одинаковое распределение вида
Xi
P
a b
, a ≠ 0, b ≠ 0.
p q
Докажите, что E(X1/X2) = E(X2/X1).
3.7. Дискретные случайные величины X и Y независимы, одинаково распределены, и среди конечного множества их возможных
значений нет нулевых. Докажите, что E(X/Y) = E(Y/X).
3.8. В некоторой лотерее на 100 выигрышей разыгрывается
пять выигрышей по 2 у.е. и 1 выигрыш по 10 у.е. Найдите: а) ковариацию выигрышей по двум билетам; б) дисперсию суммарного
выигрыша по 10 билетам.
3.9. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана распределением
Y =1 Y = 3 Y = 5
X = 2 0, 2
0,1
0
X =4
X =6
0,1
0
0, 2
0,1
0,1
0, 2
Найдите: а) ковариацию Cov(X, Y); б) коэффициент корреляции
X и Y.
3.10. Пусть g ( x ) – функция распределения случайной величины, принимающей с равной вероятностью целые значения от 1 до
100. Является ли функция F ( x, y ) функцией распределения в следующих случаях:
а) F ( x, y ) = g ( x + y ); б) F ( x, y ) =
1
1
g ( x ) + g ( y );
2
2
в) F ( x, y ) = g ( x ) g ( y );
1
г) F ( x, y ) = ( g ( x ) g (2 y ) + g (2 x ) g ( y ) ) ?
2
98
§ 3.2. Абсолютно непрерывные случайные векторы
Основные сведения
Случайный вектор (X, Y) называется абсолютно непрерывным,
если найдется неотрицательная функция f X ,Y ( x, y ), называемая
плотностью распределения, такая, что для любой ограниченной
области G ⊂ R 2 вероятность попадания точки (X, Y) в G находится
по формуле
P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ f X ,Y ( x, y )dxdy.
G
Если (X, Y) – абсолютно непрерывный случайный вектор, то вероятность попадания (X, Y) в какое-либо заданное конечное (счетное) множество точек или в какую-либо линию (график непрерывной функции) равна 0.
Функции распределения FX,Y(x, y) абсолютно непрерывного
случайного вектора (X, Y) является непрерывной и может быть
представлена в виде несобственного интеграла
FX ,Y ( x, y ) = ∫∫ f X ,Y ( s, t )dsdt.
s≤ x
t≤ y
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. fX,Y(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2 (неотрицательность).
∞ ∞
2.
∫∫
f X ,Y ( x, y )dxdy = 1 (условие нормировки).
−∞ −∞
3. f X ,Y ( x, y ) =
∂ 2 FX ,Y
( x, y ) в точке непрерывности fX,Y(x, y).
∂x∂y
Компоненты X, Y абсолютно непрерывного случайного вектора
(X, Y) являются также абсолютно непрерывными. Плотности распределения f X ( x ) , fY ( y ) случайных величин X и Y выражаются
через плотность совместного распределения:
∞
f X ( x) =
∫
−∞
∞
f X ,Y ( x, y )dy ,
fY ( y ) =
∫
f X ,Y ( x, y )dx.
−∞
99
Компоненты X, Y абсолютно непрерывного случайного вектора
(X, Y) являются независимыми случайными величинами в том и
только в том случае, если произведение их плотностей является
плотностью совместного распределения:
f X ( x ) fY ( y ) = f X ,Y ( x, y ).
Математическое ожидание функции ϕ ( x, y ) от компонент случайного вектора (X, Y) находится путем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:
E[ϕ ( X , Y )] =
∞ ∞
∫ ∫ ϕ ( x, y ) f
X ,Y
( x, y )dxdy.
−∞ −∞
В частности, математическое ожидание E ( XY ) находится по
формуле
∞ ∞
E ( XY ) =
∫ ∫ xyf
X ,Y
( x, y )dxdy ,
−∞ −∞
а ковариация Cov( X , Y ) – по формуле
∞ ∞
Cov( X , Y ) =
∫ ∫ ( x − E ( X ) )( y − E (Y ) ) f
X ,Y
( x, y )dxdy.
−∞ −∞
Случайный вектор (X, Y) называется равномерно распределенным
в области G ⊂ R2, если он имеет плотность распределения вида
( x, y ) ∉ G ,
⎧ 0,
f X ,Y ( x, y ) = ⎨ −1
⎩| G | , ( x, y ) ∈ G,
где |G| – площадь G.
Вероятность попадания в область A ⊂ R 2 случайного вектора
(X, Y), равномерно распределенного в области G, находится по
формуле геометрических вероятностей
100
P{( X , Y ) ∈ A} = ∫∫ | G |−1 dxdy =
A
| A|
.
|G |
Случайный вектор (X, Y) называется сосредоточенным на
множестве G ⊂ R 2 , если P{( X , Y ) ∈ G} = 1. Для абсолютно непрерывного случайного вектора, сосредоточенного в области G ⊂ R 2 ,
математическое ожидание функции от его компонент может быть
представлено в виде интеграла:
E[ϕ ( X , Y )] = ∫∫ ϕ ( x, y ) f X ,Y ( x, y )dxdy.
G
Распределение
G
N (μ, C )
нормального случайного вектора
G
X = ( X 1 ,..., X n ) задается вектором математических ожиданий
G
и
ковариационной
матрицей
μ = ( E ( X 1 ),..., E ( X n ) )
G
G
C = ( Cov( X i , X j ) ) . Нормальный вектор X ~ N ( μ , C ) называется
невырожденным, если невырождена его ковариационная матрица
G
C. В этом случае вектор X является абсолютно непрерывным и
имеет плотность распределения
f XG ( x1 ,..., xn ) =
1
(2π )n det C
e
1
− q ( x1 ,..., xn )
2
,
где квадратичная функция q( x1 ,..., xn ) задается с помощью чисел
μi = E ( X i ), i = 1,..., n и элементов bij матрицы (bij ) = C −1 как сумма
следующего вида:
n
n
q( x1 ,..., xn ) = ∑∑ bij ( xi − μi )( x j − μ j ).
i =1 j =1
Функция плотности f XG ( x1 ,..., xn ) достигает своего наибольшего
значения в точке ( μ1 ,..., μn ). В этой же точке функция q( x1 ,..., xn )
достигает своего наименьшего значения. Таким образом, матема101
тические ожидания μi могут быть найдены по известной функции
плотности распределения путем решения системы линейных урав1 ∂
q( x1 ,..., xn ) = 0, i = 1,..., n.
нений
2 ∂xi
Компоненты невырожденного нормального случайного вектора
являются нормальными случайными величинами, при этом они
независимы в том и только в том случае, если они некоррелированы.
Независимые
нормальные
случайные
величины
X i ~ N ( μi , σ i2 ), i = 1,..., n, образуют невырожденный нормальный
G
случайный вектор ( X 1 ,..., X n ) ~ N ( μ , C ) с диагональной ковариационной матрицей
⎛ σ 12 0 ... 0 ⎞
⎜
⎟
0 σ 22 ... 0 ⎟
.
C =⎜
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜⎜
⎟
0 ... σ n2 ⎟⎠
⎝ 0
G
Для нормального случайного вектора X = ( X 1 ,..., X n )T неслучайной матрицы A размера m × n и неслучайного вектора
G
G G
b = (b1 ,...bm )T вектор AX + b является нормальным. В частности,
G
a = ( a1 ,..., an )T
для вектора констант
линейная функция
Z = a1 X 1 + ... + an X n является нормальной случайной величиной,
G G
если D ( Z ) = a T Ca ≠ 0.
G G
G
Сумма S = X 1 + ... + X n нескольких независимых нормальных
G
G
случайных векторов X i ~ N ( μi , Ci ), i = 1,..., n, также является норG
G
G
мальным случайным вектором, S ~ N ( μ1 + ... + μn , C1 + ... + Cn ).
Распределение двумерного нормального случайного вектора
( X , Y ) с параметрами μ x = E ( X ),
μ y = E (Y ), σ x2 = D ( X ),
G
σ y2 = D (Y ) и ρ = ρ XY может обозначаться как N ( μ , C ), так и
N ( μ x , μ y , σ x2 , σ y2 , ρ ). Выражение для двумерной нормальной плотности преобразуется к виду
f X ,Y ( x, y ) =
102
1
2πσ xσ y 1 − ρ 2
e
1
− q( x, y )
2
с квадратичной функцией
q( x , y ) =
2
( x − μ x )( y − μ y ) ⎞
1 ⎛ ( x − μx )2 ( y − μ y )
+
− 2ρ
⎟⎟ .
2 ⎜
2
2
σy
σ xσ y
(1 − ρ ) ⎜⎝ σ x
⎠
Примеры
1. Плотность распределения случайного вектора (X, Y) имеет вид:
⎧( x + y ) / 3, если 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1,
f X ,Y ( x, y ) = ⎨
0 в остальных случаях.
⎩
Найдите плотности f X ( x ), fY ( y ) распределений X, Y и ковариацию
Cov(X, Y).
Р е ш е н и е . Находим плотности компонент:
1
1
1
1
f X ( x ) = ∫ ( x + y ) dy = x + , 0 ≤ x ≤ 2;
3
3
6
0
2
1
2 2
fY ( y ) = ∫ ( x + y ) dx = + y, 0 ≤ y ≤ 1;
3
3 3
0
и их математические ожидания:
2
1⎞
11
⎛1
E ( X ) = ∫ x ⎜ x + ⎟ dx = ,
3
6
9
⎠
0 ⎝
1
5
⎛2 2 ⎞
E (Y ) = ∫ y ⎜ + y ⎟ dy = .
3
3
9
⎝
⎠
0
Вычисляем математическое ожидание произведения компонент:
1 2
1
2
E ( XY ) = ∫ ∫ xy ( x + y ) dxdy = .
3
3
0 0
Отсюда получаем ковариацию:
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) =
2 11 5
1
− ⋅ =− .
3 9 9
81
103
2. Для нормального случайного вектора
( X , Y ) ~ N (1, 2, 22 ,32 ,1/ 4)
найдите вероятность P(1 ≤ X + Y ≤ 5).
Р е ш е н и е . Находим математическое ожидание E ( X + Y ) = 3 и
дисперсию
1
D ( X + Y ) = 22 + 32 + 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 3 = 42.
4
Поскольку X + Y – линейная функция от компонент нормального случайного вектора, X + Y ~ N (3, 42 ). Следовательно,
⎛ 5− 3⎞
⎛1− 3⎞
P(1 ≤ X + Y ≤ 5) = Φ ⎜
⎟ −Φ⎜
⎟ = 2Φ (0,5) = 0,383.
4
⎝
⎠
⎝ 4 ⎠
3. Случайный вектор ( X , Y ) имеет плотность распределения
f X ,Y ( x, y ) =
9 − 92 x2 − 252 y 2 −12 xy + 3 x +13 y −5
e
.
2π
Найдите математические ожидания E ( X ), E (Y ); стандартные
отклонения σ X , σ Y и коэффициент корреляции ρ X ,Y .
Р е ш е н и е . Плотность вероятности имеет вид
f X ,Y ( x, y ) =
9 − 12 q ( x , y )
e
,
2π
где q( x, y ) = 9 x 2 + 25 y 2 + 24 xy − 6 x − 26 y + 10. Отсюда получаем ковариационную матрицу
⎛ 25
−1
⎜ 81
⎛ 9 12 ⎞
C =⎜
=
⎜
⎟
⎝ 12 25 ⎠
⎜− 4
⎜
⎝ 27
Следовательно, D ( X ) =
образом,
104
−
4 ⎞
27 ⎟
⎟.
1 ⎟
⎟
9 ⎠
25
1
4
и Cov( X , Y ) = − . Таким
, D (Y ) =
81
9
27
5
9
1
3
σ X = , σ Y = , ρ X ,Y =
−4 / 27
4
=− .
5 / 9 ⋅ 1/ 3
5
Чтобы найти E ( X ), E (Y ), решаем систему
⎧1 ∂
⎪⎪ 2 ∂x q( x, y ) = 0,
⎨1 ∂
⎪
q( x, y ) = 0,
⎩⎪ 2 ∂y
которая после переноса констант в правую часть преобразуется к
виду
⎧ 9 x + 12 y = 3,
⎨
⎩12 x + 25 y = 13.
Заметим, что коэффициенты при неизвестных в последней системе
составляют матрицу C −1. Следовательно, ее решение получается
умножением столбца свободных членов на ковариационную матрицу C :
⎛ 25
⎛ E ( X ) ⎞ ⎜ 81
⎜ E (Y ) ⎟ = ⎜ 4
⎝
⎠ ⎜−
⎜
⎝ 27
−
4 ⎞
27 ⎟ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1⎞
.
=
⎟
1 ⎟ ⎜⎝ 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎟
9 ⎠
Упражнения
3.11. Случайные величины X, Y независимы и равномерно распределены на отрезках: X на [0, 3], Y – на [0, 2]. Найдите P(X < Y).
3.12. Случайные величины X, Y независимы и равномерно распределены на отрезках: X на [–1, 1], Y – на [–2, 2]. Найдите P(X 2+
+ Y2 < 1).
3.13. Случайные величины X, Y независимы и равномерно распределены на отрезке [–2, 2]. Найдите P(|X| + |Y| < 3).
105
3.14. Дана плотность распределения случайного вектора (X, Y):
⎧ x + y, если 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,
f X ,Y ( x, y ) = ⎨
⎩ 0 в остальных случаях.
Найдите: а) P(X+Y>1); б) плотности f X ( x ) и fY ( y ). в) Будут ли
независимыми компоненты X, Y данного случайного вектора? Найдите также: г) E(X) и D(X); д) Cov(X, Y) и ρ XY .
3.15. Дана плотность распределения случайного вектора (X, Y):
⎧1 + x − y, если 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
f X ,Y ( x, y ) = ⎨
в остальных случаях.
⎩ 0
Найдите: а)P(X < Y); б) плотности f X ( x ) и fY ( y ); в) E(X), D(X),
E(Y) и D(Y); г) Cov(X, Y) и ρ XY .
3.16. Дана плотность распределения случайного вектора (X, Y):
⎧6( x − y )2 , если 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
f X ,Y ( x, y ) = ⎨
0
в остальных случаях.
⎩
Найдите: а) плотность f X ( x ); б) E(X) и D(X); в) Cov(X, Y) и коэффициент корреляции ρ XY .
3.17. Случайный вектор ( X , Y ) равномерно распределен в области {|x| + |y| ≤ 1}. Найдите: а) P(X > 0,5); б) плотности f X ( x ) и
fY ( y ); в) ρ XY .
3.18. Случайный вектор ( X , Y ) равномерно распределен в треx y
угольнике + ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Найдите E ( X n ) для n = 1, 2,...
a b
3.19. Случайный вектор ( X , Y ) равномерно распределен в треугольнике 2 x + 3 y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Найдите D ( X ).
3.20. Абсолютно непрерывный случайный вектор ( X , Y ) имеет
плотность
распределения
f X ,Y ( x, y ) =
80
π
e−200 x
2
+160 x −160−50 y 2 +80 y +120 xy
.
Найдите математические ожидания E ( X ), E (Y ) и коэффициент
корреляции ρ X ,Y .
106
3.21. Для
нормального
случайного
вектора
( X , Y ) ~ N (1,1,1,1, −3/ 5) найдите вероятность P(3 X + 5Y > 4).
3.22. Для
P( X < Y ).
( X , Y ) ~ N (1,7,72 ,112 ,13/ 77)
найдите
вероятность
3.23. Известно, что ( X , Y ) ~ N (1,1,1, σ Y2 , ρ ). При каком σ Y случайные величины X + 2Y и X − 2Y независимы?
3.24. Для
независимых
нормальных
векторов
2
( X 1 , Y1 ) ~ N (0,0,1,1,1/ 2) и ( X 2 , Y2 ) ~ N (0,0,1, 2 , −1/ 3) найдите такую
константу
α,
что
компоненты
случайного
вектора
( X 1 , Y1 ) + α ( X 2 , Y2 ) являются независимыми.
3.25. Пусть A, B – точки в R 2 ,( X , Y ) – случайный вектор, сосредоточенный на отрезке AB. Пусть вектор (X, Y) равномерно распределен на отрезке AB, т.е. для любого отрезка CD ⊂ AB вероятность
попадания точки (X, Y) в CD равна отношению |CD| к |AB|. Найдите
все точки разрыва функции распределения FX ,Y ( x, y ). При каком
взаимном расположении точек A и B функция FX ,Y ( x, y ) непрерывна?
3.26. Случайный вектор (X, Y) равномерно распределен в круге
радиуса R с центром в начале координат. Найдите функцию распределения случайной величины Z, заданной формулой
⎧Y / X , X ≠ 0,
Z =⎨
⎩ 0, X = 0.
§ 3.3. Условные распределения и их числовые
характеристики
Основные сведения
Пусть X – дискретная случайная величина с возможными значениями x1 , x2 ,..., A – событие с положительной вероятностью,
P( A) > 0. Функция
f ( xi | A) = P( X = xi | A), i = 1, 2,...
задает условное распределение X (при условии, что наступило
событие A ). Условные характеристики X определяются через
107
функцию f ( xi | A) по стандартным формулам. Так, для условного
математического ожидания имеем
E ( X | A) = ∑ xi f ( xi | A).
i
В частности, если Y – другая случайная величина и y – ее возможное значение с положительной вероятностью, P(Y = y ) > 0, то
E ( X | Y = y ) = ∑ xi f ( xi | Y = y ).
i
Предположим, что случайный вектор ( X , Y ) является абсолютно непрерывным и f ( x, y ) – плотность его распределения, а f X ( x )
и fY ( y ) – плотности распределения его компонент. Если же
( X , Y ) – дискретный случайный вектор, используем те же символы
для обозначения вероятностей:
f ( x, y ) = P( X = x, Y = y ); f X ( x ) = P( X = x ); fY ( y ) = P(Y = y ).
Условное распределение X при условии, что Y = y задается
функцией
f X |Y ( x | y ) =
f ( x, y )
.
fY ( y )
По условному распределению находятся разнообразные числовые
характеристики. Если при этом возможные значения y случайной
величины Y выбираются случайно, то данные числовые характеристики являются случайными. Так, условное математическое
ожидание E ( X | Y ) – это случайная величина, принимающая при
элементарном исходе опыта значение E ( X | Y = y ), где y – значение Y , принятое при том же элементарном исходе. Формально
данное определение можно записать следующим образом:
∞
E( X |Y ) =
∫ xf
−∞
108
X |Y
( x | Y )dx
для абсолютно непрерывного случайного вектора ( X , Y ) и
E ( X | Y ) = ∑ xi f X |Y ( xi | Y )
i
для дискретного случайного вектора ( X , Y ).
Условное математическое ожидание E ( X | Y = y ) может рассматриваться как функция от детерминированной переменной y.
Такая функция называется функцией регрессии X на Y . Аналогично функция E (Y | X = x ) от x называется функцией регрессии
Y на X .
Известно, что для нормального вектора
( X , Y ) ~ N ( μ X , μY , σ X2 , σ Y2 , ρ )
условная плотность f X |Y ( x | y ) соответствует нормальному распределению
N ( μ X + β X ,Y ( y − μY ),(1 − ρ 2 )σ X2 ) ,
тогда как условная
плотность fY | X ( y | x ) соответствует распределению
N ( μY + βY , X ( x − μ X ),(1 − ρ 2 )σ Y2 ) ,
где коэффициенты бета определяются соотношениями:
β X ,Y = ρ
σ X Cov( X , Y )
σ
Cov( X , Y )
=
, βY , X = ρ Y =
.
D (Y )
D( X )
σY
σX
Следовательно, условное распределение X при случайном
фиксированном значении Y можно записать в виде
X | Y ~ N ( μ X + β X ,Y (Y − μY ),(1 − ρ 2 )σ X2 ) .
Аналогично, условное распределение Y при случайном фиксированном значении X – в виде
Y | X ~ N ( μY + βY , X ( X − μ X ),(1 − ρ 2 )σ Y2 ) .
109
Для двумерного нормального вектора обе функции регрессии
линейны:
E (Y | X = x ) = μY + βY , X ( x − μ X ),
E ( X | Y = y ) = μ X + β X ,Y ( y − μY ).
Свойства условного математического ожидания:
1. E ( a | Y ) = a, а – константа,
E ( g (Y ) | Y ) = g (Y ).
2. E ( aX | Y ) = aE ( X | Y ), а – константа,
E ( g (Y ) X | Y ) = g (Y ) E ( X | Y ).
3. E ( X + Y | Z ) = E ( X | Z ) + E (Y | Z ).
4. Если X и Y независимы, то E ( X | Y ) = E ( X ).
5. Формула полного математического ожидания:
E ( E ( X | Y )) = E ( X ).
Условная дисперсия D ( X | Y ) определяется через E ( X | Y )
обычным образом, D ( X | Y ) = E ([ X − E ( X | Y )]2 | Y ) .
Свойства условной дисперсии:
1. D ( a | Y ) = 0, а – константа.
2. D ( aX + b | Y ) = a 2 D ( X | Y ), a , b – константы,
D ( g (Y ) X + h (Y ) | Y ) = g (Y )2 D( X | Y ).
3. D ( X | Y ) = E ( X 2 | Y ) − ( E ( X | Y ) ) .
2
4. Если X и Y независимы, то D ( X | Y ) = D( X ).
5. Формула полной дисперсии:
D ( X ) = E ( D ( X | Y )) + D ( E ( X | Y )).
Корреляционное отношение η X |Y – неотрицательная величина,
D ( E ( X | Y ))
, характеризует
D( X )
степень функциональной зависимости X от Y . В отличие от коэффициента корреляции ρ X ,Y корреляционное отношение не является симметричной характеристикой зависимости X и Y , как правило, η X ,Y ≠ ηY , X .
определенная соотношением η X2 |Y =
110
Свойства корреляционного отношения:
1. 0 ≤ η X ,Y ≤ 1.
2. Если X и Y независимы, то η X ,Y = 0.
3. Если X = ϕ (Y ), то η X ,Y = 1.
4. η X ,Y ≥ | ρ X ,Y |.
Примеры
1. Совместное распределение случайных величин X и Y зада-
но таблицей:
Y =1 Y = 2 Y = 3
X =4
0,1
0, 2
0,3
X =5
0,3
0
0,1
Найдите: а) условное распределение Y при условии, что X = 5;
б) условное математическое ожидание E (Y | X = 5).
Р е ш е н и е . Находим P( X = 5) = 0,3 + 0 + 0,1 = 0, 4. Затем находим
P(Y = 1| X = 5) = 0,3/ 0,4 = 0,75; P(Y = 2 | X = 5) = 0 / 0, 4 = 0;
P(Y = 3 | X = 5) = 0,1/ 0, 4 = 0, 25.
Итак, условное распределение Y имеет вид:
Y
1
3
P(. | X = 5) 0,75 0, 25
Следовательно, E (Y | X = 5) = 1 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0, 25 = 1,5.
2. Для случайных величин X и Y из предыдущего примера
найдите распределение случайной величины E ( X | Y ), дисперсию
D ( E ( X | Y )) и квадрат корреляционного отношения η X2 |Y .
Р е ш е н и е . Находим условные математические ожидания:
111
E( X | Y = 1) = 4 ⋅ P( X = 4,Y = 1) / P(Y = 1) + 5 ⋅ P( X = 5,Y = 1) / P(Y = 1) =
= (4 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,3) /(0,1 + 0,3) = 4,75;
E( X | Y = 2) = 4 ⋅ P( X = 4,Y = 2)/ P(Y = 2) + 5 ⋅ P( X = 5,Y = 2)/ P(Y = 2) =
= (4 ⋅ 0,2 + 5 ⋅ 0)/(0,2 + 0) = 4;
E( X | Y = 3) = 4 ⋅ P( X = 4,Y = 3) / P(Y = 3) + 5 ⋅ P( X = 5,Y = 3)/ P(Y = 3) =
= (4 ⋅ 0,3 + 5 ⋅ 0,1)/(0,1 + 0,3) = 4,25.
Таким образом, распределение E ( X | Y ) задается таблицей:
E( X |Y )
4
P
0, 2
4, 25 4,75
0, 4
0, 4
Дисперсию D ( E ( X | Y )) можно найти непосредственно либо заметив, что E ( X | Y ) = 4 + 0, 25Z , где Z распределена по закону:
Z
0
1
3
P 0, 2 0, 4 0, 4
Рассмотрим второй способ. Имеем
E ( Z ) = 0 ⋅ 0, 2 + 1 ⋅ 0, 4 + 3 ⋅ 0, 4 = 1,6,
E ( Z 2 ) = 02 ⋅ 0, 2 + 12 ⋅ 0, 4 + 32 ⋅ 0, 4 = 4,
D ( Z ) = E ( Z 2 ) − E 2 ( Z ) = 4 − 2,56 = 1, 44.
Следовательно, D ( E ( X | Y )) = 0, 252 ⋅ 1, 44 = 0,09. Находим
E ( X ) = 4 ⋅ (0,1 + 0, 2 + 0,3) + 5 ⋅ (0,3 + 0,1) = 4, 4.
D ( X ) = (4 − 4, 4)2 ⋅ 0,6 + (5 − 4, 4)2 ⋅ 0, 4 = 0, 24.
Отсюда получаем η X2 |Y = 0,09 / 0, 24 = 3/ 8.
3. Имеется 12 игральных костей. В первый раз бросаются все
игральные кости, во второй раз – только те, на которых в первый
раз выпало четное число очков. Пусть S – сумма очков при втором
броске. Найдите E ( S ) и D ( S ).
112
Р е ш е н и е . Пусть Y – число игральных костей, участвующих
во втором броске. Поскольку Y распределено по биномиальному
закону с параметрами n = 12 и p = 1/ 2, E (Y ) = 6, D(Y ) = 3. Пусть
X i – число очков на i-й игральной кости при втором броске
i = 1,..., Y . Распределение X i не зависит от Y :
Xi
P
1
2
3
4
5
6
1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6
Следовательно, E ( X i | Y ) = 3,5 и
D ( X i | Y ) = D ( X i ) = (2,52 + 1,52 + 0,52 ) / 3 = 35 /12.
Отсюда получаем:
E ( S ) = E ( E ( S | Y )) = E (Y ) E ( X i ) = 6 ⋅ 3,5 = 21;
D ( S ) = E ( D( S | Y )) + D( E ( S | Y )) =
= E (Y ⋅ D ( X i )) + D (Y ⋅ E ( X i )) = E (Y ) ⋅ D ( X i ) + D(Y ) ⋅ ( E ( X i )) 2 =
= 6⋅
35
+ 3 ⋅ 3,52 = 54, 25.
12
4. Дана плотность распределения нормального вектора ( X , Y ) :
f X ,Y ( x, y ) =
1 − 25 x2 −3 xy − y 2 +10 x + 6 y −10
.
e
2π
Необходимо найти функцию регрессии X на Y .
Р е ш е н и е . Плотность имеет вид
f X ,Y ( x, y ) =
1 − 12 q ( x , y )
,
e
2π
q( x, y ) = 5 x 2 + 6 xy + 2 y 2 − 20 x − 12 y + 20.
μ X = E ( X ) и μY = E (Y ) составим систему
где
Для
отыскания
113
⎧1 ∂
⎪⎪ 2 ∂x q( x, y ) = 5 x + 3 y − 10 = 0, ⎧5 x + 3 y = 10,
⇔⎨
⎨1 ∂
⎩ 3x + 2 y = 6.
⎪
q( x, y ) = 3x + 2 y − 6 = 0,
⎩⎪ 2 ∂y
Вычислив ковариационную матрицу
−1
⎛ 5 3⎞
⎛ 2 −3 ⎞
C =⎜
=⎜
⎟
⎟,
⎝3 2⎠
⎝ −3 5 ⎠
получаем
⎛ μ X ⎞ ⎛ 2 −3 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ μ ⎟ = ⎜ −3 5 ⎟ ⋅ ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ Y⎠ ⎝
β X ,Y =
Cov( X , Y ) −3
= ,
D(Y )
5
E ( X | Y = y ) = μ X + β X ,Y ( y − μY ) = 2 −
3
y.
5
5. Для случайного вектора ( X , Y ) из предыдущего примера
найдите D ( X | Y ) и D (Y | X ).
Р е ш е н и е . Последовательно, находим:
ρ 2 = ρ X2 ,Y =
Cov( X , Y ) ( −3) 2
=
= 0,9;
D( X ) D (Y ) 5 ⋅ 2
D ( X | Y ) = D ( X )(1 − ρ 2 ) = 5 ⋅ (1 − 0,9) = 0,5;
D (Y | X ) = D (Y )(1 − ρ 2 ) = 2 ⋅ (1 − 0,9) = 0, 2.
Упражнения
3.27. Распределение случайного вектора ( X , Y ) задано таблицей:
Y = 10 Y = 20 Y = 30
X =1
X =2
0, 2
0,3
0, 2
0,1
0,1
0,1
Найдите: а) E ( X | Y > 15); б) D ( E ( X | Y )); в) E ( D( X | Y )); г) η X2 |Y .
114
3.28. Совместное распределение случайных величин X и Y
имеет вид:
Y =1 Y = 2 Y = 3
X =1
X =2
0,1
0
0, 2
0,1
0
0, 2
X =3
0,3
0
0,1
Найдите: а) E ( X | X = Y ); б) η X2 |Y .
3.29. Распределение случайного вектора ( X , Y ) имеет вид:
Y =1 Y = 2 Y = 3
X =1
0
0, 2
0, 2
X =2
X =3
0, 2
0, 2
0, 2
0
0
0
Найдите: а) E ( X | X + Y = 4); б) D( E ( X | Y )); в) E ( D ( X | Y )); г) η X2 |Y .
3.30. Дано: P( X = 0) = 0,4; P( X =1) = 0,6; E(Y | X = 0) = 2; E(Y | X =1) = 3.
Найдите E (Y ).
3.31. Дано: P( X = 1) = 0,3; P( X = 2) = 0,7; E(Y | X = 1) = 1; E(Y | X = 2) = 2.
Найдите E ( XY ).
3.32. Для случайного вектора ( X , Y ) из предыдущего упражнения найдите ковариацию Cov( X , Y ).
3.33. Случайная величина X с вероятностью 1/2 принимает
значения 1 и 2. Дано: E (Y | X = 1) = 4, E (Y | X = 2) = 1 и
D (Y | X = 1) = 7, D (Y | X = 2) = 4. Найдите дисперсию D (Y ).
3.34. Случайные величины X и Y независимы и с равной вероятностью принимают значения: 1, 2, 3, 4, 5. Найдите
E ( X | X > Y ) и D ( X | X > Y ).
3.35. Имеется 36 игральных костей. В первый раз бросаются все
игральные кости, во второй раз – только те, на которых в первый
раз выпало 6 очков. Пусть S – сумма очков при втором броске.
Найдите E ( S ) и D ( S ).
115
3.36. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Пусть S – сумма очков во всех бросках, кроме последнего ( S = 0, если 6 очков выпало при первом броске). Найдите
E ( S ) и D ( S ).
3.37. Сначала бросается игральная кость, затем монета подбрасывается столько раз, сколько очков выпало на игральной кости,
X – число выпавших при этом гербов. Найдите E ( X ) и D ( X ).
3.38. Сначала подбрасывается монета. Если выпал «орел», игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «6», если выпала «решка», игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «5» или «6». Пусть X – число бросков игральной кости. Найдите E ( X ) и D ( X ).
3.39. Случайная величина X распределена по геометрическому
закону, n – натуральное число. Докажите, что условное распределение случайной величины X − n при условии, что X > n совпадает с безусловным распределением X .
3.40. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб,
X – число бросков. Используя предыдущее задание, найдите
E ( X 2 | X > 5).
3.41. Распределение случайного вектора ( X , Y ) таково, что Y
может принимать только значения 3/5 и 4/5, причем данные значения равновероятны. Найдите медиану распределения X , если известно, что при фиксированном Y случайная величина X распределена по биномиальному закону с параметрами n = 4 и p = Y .
3.42. Случайные величины X и ε независимы и принимают с
равной вероятностью значения 0, 1 и –1. Для случайной величины
Y = | X | +ε найдите: а) корреляционные отношения ηY | X и η X |Y ; б)
коэффициент корреляции ρ X ,Y .
3.43. Случайные величины X и ε независимы и равномерно
распределены на отрезке [ −1, 1]. Для Y = | X | +ε найдите: а) ηY2| X ;
б) η X2 |Y ; в) ρ X2 ,Y .
3.44. Для нормального случайного вектора ( X , Y ) с плотностью
2
1 2
распределения f ( x, y ) = e − x + 4 xy −5 y найдите условные распреде-
π
ления X | Y и Y | X .
116
3.45. Для нормального случайного вектора ( X , Y ) с плотностью
распределения
f ( x, y ) =
1 − x2 −3 xy − 25 y 2 −6 x −10 y −10
e
2π
найдите функцию
регрессии Y на X .
3.46. Для случайного вектора ( X , Y ), равномерно распределенного в треугольнике x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, найдите: а) функцию
регрессии Y на X ; б) квадрат корреляционного отношения ηY2| X .
3.47. Найдите верхнюю 5-процентную точку распределения X ,
если Y принимает с равной вероятностью значения 20 и 80, а при
фиксированном Y случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0, Y ].
117
ОТВЕТЫ
Глава 1
1.1. 5040. 1.2. a) 7; б) 49. 1.3. 20. 1.4. 190. 1.5. 315. 1.6. 2160.
1.7. 840. 1.8. 59049. 1.9. 35. 1.10. 90. 1.11. 4410. 1.12. 390.
1.13. 20. 1.14. 3024. 1.15. 20. 1.16. 34650. 1.17. 1440. 1.18. 5040.
1.19. 3168. 1.20. 1481760. 1.21. 646646. 1.22. 10626.
1.23. 1 − 5 x 3 + 10 x 6 − 10 x 9 + 5 x12 − x15 . 1.24. 14157.
1.25. а) 1,02; б) 0,97. 1.26. Указание: используйте формулу бинома
Ньютона. 1.27. (2n+1–1)/(n+1). Указание: проинтегрируйте (1+x)n.
1.28. 1/12. 1.29. 27720. 1.30. 14400. 1.31. 168. 1.32. 0,5.
1.33. 1/36. 1.34. 0,00351; 0,06575; 0,35798; 0,57276. 1.35. 11/12.
1.36. 0,05. 1.37. 0,0123; 0,000411; 0,00000265. 1.38. 0,372.
1.39. 0,4. 1.40. 0,469. 1.41. 0,0938. 1.42. 0,05. 1.43. 0,52.
1.44. 0,0000537. 1.45. 0,514. 1.46. 0,632 (для гения) . 1.47. 5/9.
1.48. 1/4. 1.49. 1/2. 1.50. (2R+r)(R-r)/4(R²+Rr+r²). 1.51. (1-2r/a)².
1.52. 1023/1024. 1.53. ≥2, ≥4. 1.54. ≥5. 1.55. ≥13. 1.56. ≥25.
1.57. 0,976. 1.58. 0,824. 1.59. 0,844. 1.60. 0,66. 1.61. 0,64.
1.62. 0,94. 1.63. 0,386. 1.64. 0,3. 1.65. 0,875. 1.66. 0,0769.
1.67. 4/7; 2/7. 1.68. 0,65. 1.69. 26/35.
1.70. 0,388; 0,102; 0,612; 0,898. 1.71. 0,96. 1.72. 0,88.
1.73. 0,000198. 1.74. 0.972. 1.75. а) 0,6; б) 0,2. 1.76. 0,26. 1.77. ≥8.
1.78. 6/7. 1.79. 0,4. 1.80. 0. 1.81. 3,45%. 0,342; 0,406; 0,232.
1.82. 0,263; 0,953.
1.83. а) Нет (вероятность попадания 0,48); б) равновероятно.
1.84. 17/42. 1.85. Белый с черным. 1.86. 0,998.
1.87. Незначительно увеличился. 1.88. а) 0,526; б) 0,982.
1.89. 0,991. 1.90. 0,574. 1.91. 1 белый; 1 белый и 2 черных.
1.92. 0,362 . 1.93. 0,42. 1.94. 0,492.
1.95.
k
P
0
0,001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.
0,01 0,044 0,117 0,205 0,246 0,205 0,117 0,044 0,01 0,001
1.96. 0,375 – 2 из 4; 0,273 – 4 из 8. 1.97. 4. 1.98. 0,9298. 1.99. 103.
1.100. 0,729. 1.101. 5/32 . 1.102. 0,0732 . 1.103. а) 0,321; б) 0,243.
1.104. а) 0,0457; б) 0,994. 1.105. 101. 1.106. 0,00307. 1.107. 0,621.
1.108. 0,00309. 1.109. 0,988. 1.110. 0,9987. 1.111. 0,264.
1.112. а) 0,0498; б) 0,353.
118
Глава 2
X
1
2
3
4
.
P 1/ 3 2 / 9 4 / 27 8 / 27
2.1. 0,5. 2.2.
2.3.
X
P
2.7.
X
P
1
2
3
.
0, 2 0,6 0, 2
X
1
2
3
4
5
6
; б) 0,5.
P 1/ 36 3/ 36 5 / 36 7 / 36 9 / 36 11/ 36
2.5. а)
2.6.
0
1
2
3
. 2.4.
0,125 0,375 0,375 0,125
X
P
1
2
3
4
5
6
7
.
0,1 0, 2 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0,1
|X |
P
0
1
2
0, 2 0, 4 0, 4
. 2.8. а) 1/2; б) 15/16.
2.9. а) 1/55; б) 14/55. 2.10. 0,8. 2.11. 0,6.
2.12. F ( x ) = 0, x ≤ 1; F ( x ) = 3/ 4,1 < x ≤ 2; F ( x ) = 1, x > 2.
2.13. G ( x ) = 1 − F ( − x ) + P( X = x ). 2.14. 0,5.
2.15.
2.17. а)
p0
P
2
6
9
15
0,2 0,3 0,2 0,3
. 2.16.
R 3000 4000 6000 8000
P 0,56
0,14
0,24
0,06
.
Y 1
2
3
4
5
6
; б) 5.
P 0,1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0,1
2.18. а) 5/8; б) 2/5.
Y
1
2
3
4
5
2.19.
.
P 1/125 7 /125 19 /125 37 /125 61/125
2.20. а) 17/27; б) 2/9. 2.21. Верно. 2.22. Являются.
2.23. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 2.24. 60. 2.25. 0,168. 2.26. 2/65.
2.27. 7/320. 2.28. 0,2. 2.29. 0,9.
2.30. 35/48. 2.31. 0,598. 2.32. б) 4. 2.33. а) 0,3; б) 0,6.
2.34. Указание: используя независимость X 1 , X 2 , X 3 покажите, что
X1
X2
X3
случайные величины
,
,
X1 + X 2 + X 3
X1 + X 2 + X 3
X1 + X 2 + X 3
имеют одинаковое распределение.
119
2.35. а) 4; б) 17. 2.36. 0,3. 2.37. 0,2.
2.38. Указание: воспользуйтесь неравенством Йенсена.
2.39. 6. 2.40. 128.
2.41. а) 0,2; б) 1,7. 2.42. 2,38. 2.43. а) 5; б) 1.
2.44. Указание: представьте событие {X=x} как комбинацию
элементарных.
2.45. x1=1, x2=2.
2.46. Указание: используйте определение дисперсии. 2.47. 2.
2.48. 28. 2.49. 2000. 2.50. а) Е(X)=1, D(X)=4,6; б) 0,6.
2.51. а) E(X)=3,5 и D(X)=35/12; б) 2/3.
2.52. σ(X)=1555555555554. 2.53. 8 и 61. 2.54. –1 и 18.
2.55. –9 и 172. 2.56. 7 и 27. 2.57. а) 5 и 2,5; б) 0. 2.58. 2/729.
2.59. 19,2. 2.60. 109. 2.61. 3. 2.62. 55. 2.63. 10. 2.64. 0,36.
2.65. 0,88. 2.66. 0,144. 2.67. 432. 2.68. а) Да; б) нет.
0,8 0,6 ⎞
⎛ 1
⎜
1
0,96 ⎟⎟ ; б) 0. 2.70. 0,4. 2.71. 9%. 2.72. 5%.
2.69. а) ⎜ 0,8
⎜ 0,6 0,96
1 ⎟⎠
⎝
σ 2 n −1
+
c.
2.73.
n
n
2.74. Указание: используйте неотрицательность определителя
корреляционной матрицы.
2.75. Указание: используйте неравенство арккосинусов из
предыдущей задачи.
2.76. Указание: используйте еще раз неравенство арккосинусов.
2.77. Указание: найдите дисперсию выигрыша по N билетам двумя
способами.
2.78. μ2 = 1; μ3 = 0,6; μ4 = 2,2; As = 0,6; Ex = −0,8.
2.79. (2a − 1)( a − 2)( a + 1) / 27. 2.80. 0 и –0,04.
2.81. As( X ) = ( q − p )( pq) −1/ 2 , Ex( X ) = ( pq) −1 − 6, q = 1 − p.
2.82. 0,15 и 0,0025. 2.83. –0,2. 2.84. 3150.
2.85. g ( e, d ) = ( e − 1)(3d + e 2 − 2e). 2.86. 5100. 2.87. а) 1; б) 3.
2.88. а) 4 и 12; б) 3. 2.89. 12 и 132. 2.90. 5,5. 2.91.11 и 38.
2.92. 25 и 18,75. 2.93. 12. 2.94. а) 1/512; б) 0,0013. 2.95. 1/64.
2.96. 1,2. 2.97. 232. 2.98. 648. 2.99. 19,2. 2.100. λ −1/ 2 . 2.101. λ −1.
2.102. 0,5. 2.103. 0. 2.104. а) 0,5; б) 3. 2.105. 1/3.
2.106. а) ¼; б) 1; в) 15/16; г) 0. 2.107. 45/512.
2.108. a = –1/9, b=8/9, c=–7/9 и 1/3. 2.109. a=–1/16; b=3/4; p=5/16.
120
2.110. c = 1/π, d = 1/2. 2.111. f(x) = 2/[π(4+x2)]. 2.112. 3.
2.113. F(x) = 1 – e–3x, x ≥ 0. 2.114. F(x) = 2 arctg( e x ) / π .
2.115. a=–1/36, b=0, c=1/4 и 0,426. 2.116. c=1/π; p=1/4.
2.117. a=1/2, b=1, c=0 и 3/4. 2.118. а) 2; б) 0,135; в) 0,347.
2.119. f(x) = 2x/9; Е(Х) = 2; D(Х) = 0,5. 2.120. Е(Х) = 0; D(Х) = 2.
1 ⎛ x−7⎞
⎛8− y ⎞
2.121. FY ( y ) = 1 − FX ⎜
f⎜
⎟ . 2.123. 0,6.
⎟ . 2.122.
9
2 ⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
2.124. 0,6. 2.125. а) 0; б) 0,12. 2.126. 29. 2.127. 180. 2.128. –0,9.
2.129. 3/16. 2.130. 3/7. 2.131. 0,3.
2.132. 5/12 (без коррекции), 5/6 (с коррекцией).
2.133. а) 7; б) 7 и 3. 2.134. а) λ −1 ln 2; б) k ! λ − k ; в) 2; г) 6.
2.135. а) μk = 0, k нечетно, μk = ( (b − a ) / 2 ) /( k + 1), k четно;
k
б) 0; в) –1,2.
2.136. 0,7506. 2.137. 0,7536. 2.138. 0,383. 2.139. 0,758.
2.140. 0,8064. 2.141. 22. 2.142. ≈13%. 2.143. 0,8413.
2.144. 0,1336. 2.145. 0,1587.
2.146. Указание: рассмотрите сначала монотонную
последовательность a1 , a2 ,... 2.147. 0,311. 2.148. 1,35.
2
2
2
2
2.149. а) e μ +σ / 2 ; б) e 2 μ + 2σ ; в) ( eσ − 1)1/ 2 ( eσ + 2); г) e μ .
2.150. а) 3; б) 16.
Глава 3
3.1. a)
в)
г)
X
2
P
4
6
0,3 0,3 0, 4
X +Y
3
P
XY
P
4
; б)
5
Y
1
2
P 0,6 0, 4
6
7
8
0,1 0, 2 0, 2 0,1 0,3 0,1
2
4
6
8
12
0,1 0, 4 0,3 0,1 0,1
;
;
; д) Cov(X, Y).= –0,28;
е) ρ XY = –0,344.
121
3.2. а)
в)
X1 + X 2
P
10
15
20
0,16 0, 48 0,3
б)
Y = 0,5 Y = 1 Y = 2
X = 10
0
0,16
0
X = 15
X = 20
0, 24
0
0
0,36
0, 24
0
X1 / X 2
P
0,5
1
2
0, 24 0,52 0, 24
г) −0,12.
3.3. −0, 2. 3.4. 1/6. 3.5. а) –1/21 (y.e.) 2 ; б) 50/21 у.е.
3.6. Указание: рассмотрите распределение вектора ( X 1 , X 2 ).
3.7. Докажите, что распределения векторов X/Y и Y/X совпадают.
3.8. а) −0,0117; б) 10,55. 3.9. а) 1,6; б) 2/3.
3.10. а) нет; б) нет; в) да; г) да. 3.11. 1/3. 3.12. 0,393. 3.13. 7/8.
3.14. а) 2/3; б) f X ( x ) = 0,5 + x ; в) нет; г) 7/12, 11/144;
д) –1/144, –1/11.
3.15. а) 1/3; б) f X ( x ) = 0,5 + x, fY ( y ) = 1,5 − y;
в) 7/12, 11/144, 5/12, 11/144; г) 1/144, 1/11.
3.16. а) f X ( x ) = 2 − 6 x + 6 x 2 ; б) 1/2, 7/60; в) –1/12, –5/7.
3.17. а) 1/8; б) 1− | x | и 1− | y |; в) 0. 3.18. 2a n /( n 2 + 3n + 2).
3.19. 0,5. 3.20. E ( X ) = 1, E (Y ) = 2 и ρ X ,Y = 3/ 5.
3.21. 0,8413. 3.22. 0,6915. 3.23. 0,5. 3.24. ±0,866. 3.25. FX ,Y ( x, y )
непрерывна, если отрезок AB не параллелен осям координат.
1 ⎛π
⎞
3.26. FZ ( z ) = ⎜ + arctg z ⎟ .
π⎝2
⎠
3.27. а) 1,4; б) 1/75; в) 0,273; г) 0,0533. 3.28. а) 2; б) 0,371.
3.29. а) 2; б) 0,36; в) 0,2; г) 0,117. 3.30. 2,6. 3.31. 3,1. 3.32. 0,21.
3.33. 7,75. 3.34. 4 и 1. 3.35. 21 и 78,75. 3.36. 15 и 280.
3.37. 1,75 и 1,604. 3.38. 4,5 и 20,25.
3.39. Указание: найдите P( X − n = k | X > n ). 3.40. 51. 3.41. 1.
3.42. а) 1/2; б) 0; в) 0. 3.43. а) 1/5; б) 0; в) 0.
3.44. X | Y ~ N (2Y ,1/ 2), Y | X ~ N (2 X / 5, 1/10). 3.45. −2 − 3x / 5.
3.46. а) (1 − x ) / 2; б) 1/ 4. 3.47. 75.
122
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П1
Таблица значений функции ϕ ( x ) =
1
e
2π
1
− x2
2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
0,3988
0,3956
0,3885
0,3778
0,3637
0,3986
0,3951
0,3876
0,3765
0,3621
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3982
0,3939
0,3857
0,3739
0,3589
0,3980
0,3932
0,3847
0,3725
0,3572
0,3977
0,3925
0,3836
0,3712
0,3555
0,3973
0,3918
0,3825
0,3697
0,3538
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,3467
0,3271
0,3056
0,2827
0,2589
0,3448
0,3251
0,3034
0,2803
0,2565
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,3410
0,3209
0,2989
0,2756
0,2516
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,3372
0,3166
0,2943
0,2709
0,2468
0,3352
0,3144
0,2920
0,2685
0,2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,2347
0,2107
0,1872
0,1647
0,1435
0,2323
0,2083
0,1849
0,1626
0,1415
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,2275
0,2036
0,1804
0,1582
0,1374
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,2227
0,1989
0,1758
0,1539
0,1334
0,2203
0,1965
0,1736
0,1518
0,1315
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,1276
0,1092
0,0925
0,0775
0,0644
0,1257
0,1074
0,0909
0,0761
0,0632
0,1238
0,1057
0,0893
0,0748
0,0620
0,1219
0,1040
0,0878
0,0734
0,0608
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
0,1182
0,1006
0,0848
0,0707
0,0584
0,1163
0,0989
0,0833
0,0694
0,0573
0,1145
0,0973
0,0818
0,0681
0,0562
0,1127
0,0957
0,0804
0,0669
0,0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0529
0,0431
0,0347
0,0277
0,0219
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0508
0,0413
0,0332
0,0264
0,0208
0,0498
0,0404
0,0325
0,0258
0,0203
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0478
0,0387
0,0310
0,0246
0,0194
0,0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0459
0,0371
0,0297
0,0235
0,0184
0,0449
0,0363
0,0290
0,0229
0,0180
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0158
0,0122
0,0093
0,0071
0,0053
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0151
0,0116
0,0088
0,0067
0,0050
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0143
0,0110
0,0084
0,0063
0,0047
0,0139
0,0107
0,0081
0,0061
0,0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,0044
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,0042
0,0031
0,0022
0,0016
0,0012
0,0040
0,0030
0,0022
0,0016
0,0011
0,0039
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,0038
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0037
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0035
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0034
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
3,5
0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006
123
Таблица П2
Таблица значений функции Лапласа Φ ( x ) =
1
x
∫e
2π
1
− t2
2
dt
0
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
1
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
2
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
3
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
4
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
5
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
6
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
7
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
8
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
9
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,4987
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4987
0,4991
0,4994
0,4995
0,4997
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4988
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4997
0,4990
0,4993
0,4995
0,4996
0,4997
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
124
Учебное издание
Браилов Андрей Владимирович
Солодовников Александр Самуилович
Сборник задач по курсу
«Математика в экономике»
Часть 3
Теория вероятностей
Заведующая редакцией Л.А. Табакова
Ведущий редактор Л.Д. Григорьева
Художественный редактор Ю.И. Артюхов
Технический редактор Т.С. Маринина
Корректоры Н.Б. Вторушина, Н.П. Сперанская
Оформление художника Н.М. Биксентеева
ИБ № 5339
Подписано в печать 15.09.2012. Формат 60х90/16
Гарнитура «Таймс» Печать офсетная
Усл. печ. л. 7,84. Уч.-изд. л. 6,97
«С» 063
Тираж 1500 экз. Заказ
вольст Издае «Фсыани и ка»сти
101000, М,осква ул. По крв,а 7
Телфон (495) 625-35-02. Факс (495) 625-09-57
E-mail: mail@finstat.ru http://www.finstat.ru
