векторы в пространстве

Векторы в пространстве
вход
Содержание
I.
II.
III.
IV.
V.
Понятие вектора в пространстве
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Действия с векторами
Разложение вектора
Выход
Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM  0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB  AB
0 0
Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a  b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.
• Равные векторы
Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a  b  a  b, a  b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.
Противоположно направленные
векторы
Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
a  b
b
•
Противоположные векторы
Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a  b  a  b, a  b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
Признак коллинеарности
Если существует такое число k при котором
выполняется равенство a  k b и при том
вектор b  0, то векторы a и b коллинеарн ы.
Определение компланарных
векторов
Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1  компланарн ы, т.к.
BB1  AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a 
b 
a
b
a и b  компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c 
компланарн ы
если
a, b, c
a  kb
Признак компланарности
Если вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с  xa  yb
где х и у  некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.
Доказательство признака
компланарности
B1 OC  x OA  y OB
С
c
b B
A
A1
O
a
Дано :
с  x a  yb
x, y  некоторые числа
Доказать :
a, b и с  компланарны
Доказатель ство :
Пусть a и b  не коллинеарн ы
О  произвольн ая точка
OA  a , OB  b
OA ,OB ,OA1 ,OB1  (OAB)
OA1  x  OA OB1  y  OB 
OC  c  OA1  OB1  x  OA  y  OB
OA  a ,OB  b ,OC  c лежат в одной плоскости
a ,b , c  компланарн ы ч.т.д
Свойство компланарных
векторов
Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с  xa  yb
причем коэффициен ты разложения
определяются единственным образом.
Действия с векторами
•
•
•
•
Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение
Сложение векторов
•
•
•
•
•
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения
Правило треугольника
Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
ab
b
C
Правило треугольника
B
a
А
ab
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB  BC  AC
Правило параллелограмма
Для сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма  сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
сab
C
Свойства сложения
Для любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
ab ba
a  b с  а  b  с 
переместительный закон
сочетательный закон
Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
abcd e
e
c
E
d
Пример
D
AB  BC  C D  DE  AE
Пример
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1  D1C1  A1 D  BA  CB  0
Правило параллелепипеда
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB  b
D1
с bB
C
А
a
AD  a
D
AC1  AD  AB  AA1
AA1  c
AC1  d
Свойства
B1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d  a  b  c для любого параллелеп ипеда
d 2  a 2  b 2  c 2 для прямоуголь ного
параллелеп ипеда
Вычитание векторов
• Вычитание
• Сложение с противоположным
Вычитание
Разностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору a .
Вычитание
Для вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой  нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
ab
A
b
C
Правило трех точек
Любой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK  AK  AB
А
BK
K
Сложение с противоположным
Разность векторов
как сумму вектора
a
a
и
b можно представить
и вектора,
противоположного вектору
 
b.
ab  a b
a
B
b
ab
b
O
А
a
Умножение вектора на число
Произведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к  а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k  0 и противоположно направлены при k  0.
a
2a
b
1
 b
3
Свойства
• Произведением нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
0n  0
• Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
n0  0
Свойства
Для любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a  k(la )
сочет ат ельный закон
k( a  b )  k a  k b
1  ый распределит ельный
закон
(k  l)a  k a  l a
2  ой распределит ельный
закон