МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ОБЪЕМОВ И ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ И КРУГЛЫХ ТЕЛ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
advertisement
МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ОБЪЕМОВ И ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ И КРУГЛЫХ ТЕЛ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Введение Реформирование образования России предусматривает модернизацию его содержания, методов и средств обучения, переход от унифицированной школьной модели к многообразию ее типов. Развитие современной педагогической теории и практики основывается на открытости и творческом характере обучения, личностной его направленности. Изменения в науке, технике и производстве выдвигают новые требования к математической подготовке компетентного, конкурентоспособного выпускника школы. Перед школьным математическим образованием стоит задача обеспечения выпускников глубокими знаниями и ключевыми компетенциями в области математики. Учитывая рост роли математики во всех сферах жизнедеятельности человека, актуальной остается одна из важных задач обучения геометрии в школе - развитие пространственного воображения и формирования пространственных представлений учащихся, способности и умений осуществлять операции с пространственными объектами, усвоения учащимися способов вычисления, важных для практики геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления. Эти важные умения и навыки учащиеся приобретают в процессе решения задач, в частности метрических, в курсе стереометрии. 1. Состояние проблемы изучения объемов многогранников и круглых тел в методической литературе и в практике школьного образования. Несмотря на все усилия исследователей, педагогов-практиков в России появились многочисленные публикации, свидетельствующие о снижении уровня школьной геометрической образования. Авторы многих научных педагогических исследований утверждают о низком качестве геометрических знаний и умений выпускников школы. Одна из причин, которая часто указывается исследователями несовершенство реализации теоретических основ методики обучения геометрии в школе, низкая квалификация учителей геометрии. Эффективность реализации локальных инноваций в общеобразовательной школе полностью зависит от профессиональной готовности и способностей педагога, его интересов, мотивации профессиональной деятельности. В своей работе Ш.С. Гаджиагаев [1] обосновывает необходимость систематизации изучения площадей и объемов геометрических фигур с целью повышения уровня знаний учеников, кроме этого, разработал систему упражнений для внедрения данной методики. Ш. Мусаввиров формулирует проблему своего исследования, как необходимость создания доступной для учащихся методики преподавания геометрии в 7-9-х классах [10]. Автор А.В. Горшкова анализирует применение информационных технологий и обосновывает разработку программного обеспечения для эффективного изучения свойств круглых тел в процессе дифференцированного обучения геометрии [2]. Среди докторских диссертационных работ, выполненных в последнее время в Российской Федерации, стоит обратить внимание на исследования Н.С. Подходовой [12] и В.В.Орлова [11], в которых предложенные модели личностно ориентированного обучения геометрии соответственно в 1-6-х и 79-х классах, построенные на идеях фузионизма. Фузионизму уделено серьезное внимание и в трудах В.О.Гусева [5, 6], который эту методику в геометрии считает эффективной, новаторской по сравнению с традиционно сложившейся системой последовательного изложения курса геометрии – от планиметрии к стереометрии. В исследованиях российских математиков, методистов обосновывается, что хотя Евклид разделил геометрию на две части (планиметрию и стереометрию), он никогда не считал свой труд учебником по геометрии и считал, что его геометрию будут читать люди, которые уже изучали ее раньше. За последние годы у многих специалистов по методике обучения математики сложилось убеждение в том, что пространственные представления следует формировать в раннем возрасте, кроме того, этот процесс является длительным. Именно поэтому возникла идея внедрять в школьную практику обучения геометрии идеи фузионизма - взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур. За последние годы эти идеи в России получили реальное воплощение в виде созданных новых учебников и учебных пособий [3, 7, 9]. По мнению В.О.Гусева, идея фузионизма блестяще реализована в пропедевтических курсах геометрии для младших классов, основная цель которых - подготовка к изучению систематического курса геометрии основной школы. Одним из пробных подходов построенных на основе идей фузионизма в России является программа курса «Геометрия 5-11» [4]. В процессе изучения данного курса происходит как повторение, построение системы и универсализация знаний по планиметрии, так и введение в стереометрию, развитие пространственных представлений учеников. Подводя итог обзору становления научно-методических основ школьного геометрического образования, отметим, что в России есть значительное количество методических идей, научных разработок, практических рекомендаций, изучение и внедрение которых в практику методической подготовки будущего учителя геометрии является актуальным. 2. Содержание и операционный состав метрические задачи при изучении стереометрии. обучения решать Одна из главных задач обучения стереометрии - формирование умений решать задачи. Этот процесс является и средством усвоения понятий и фактов, и окончательной целью обучения стереометрии. Поэтому методика формирования умений приобретать пространственные знания и использовать их является важной составляющей методики обучения стереометрии. Для лучшего формирования умений учащихся решать метрические задачи необходимо, прежде всего научить старшеклассников правильно делать рисунки пространственных фигур, «читать» изображения, представлять нарисованную пространственную фигуру, устанавливать по рисунку ее свойства. Использование соответствующих наглядных моделей пространственных фигур, может облегчить решение этих задач, но не заменить их [4]. При решении метрических пространственных задач достаточно часто применяется способ сведения задачи к планиметрической. Чаще всего это делается «погружением» в плоскость или построением сечения, реже рассматривают планиметрический аналог этой задачи. Еще одной задачей обучения стереометрии является формирование у старшеклассников обобщенных приемов деятельности - методов исследования, доказательства, решение задач. Обучение стереометрии существенно влияет на формирование общих методов познания (сравнение, анализ, наблюдение, моделирование, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация и т.д.). Также оно имеет потенциал развития у старшеклассников методов логического следования и доказательства утверждений. Некоторые методы являются специфическими для геометрии пространства: метод сечений - универсальный метод стереометрии, который позволяет изучить геометрическую фигуру внутри, что помогает при доказательстве пространственных теорем, решения задач. При решении метрических пространственных задач постоянно нужно опираться на связь планиметрических и пространственных понятий и фактов. С одной стороны необходимо максимально применять аналогию и общее между ними, с другой не нужно бездумно переносить планиметрические знания в пространство. Итак, для решения метрических задач по стереометрии, обязательно нужно построить качественный рисунок к задаче и правильно найти взаимосвязь между известными и искомыми величинами. На основе анализа психолого-педагогических исследований, в процессе решения задачи можно выделить следующие этапы: 1. Изучение условия задачи - первые шаги направлены на понимание задачи. На данном этапе можно выделить несколько микроэтапов: ознакомление с условием задачи; распределение условия на главное и второстепенное; переформулирование задачи на «свой» язык; появление первой гипотезы решения задачи. Обычно она неверна, но дальнейшее решение руководствуется этой гипотезой, а процесс ее апробации приводит к лучшему пониманию задачи, выделению новых фактов и появлению новой гипотезы; новый уровень изучения условия с учетом предыдущих ошибок; осознание сущности задачи. 2. Поиск решения задачи. Если предыдущие этапы были вполне понятны по своей сути и структуре, то данный этап самый сложный из всего процесса решения математической задачи, ведь именно здесь проявляется математическое творчество. Психологи еще не пришли к единому выводу, каким образом появляется именно правильная гипотеза, существует ряд противоположных, противоречивых, но интересных мыслей. Например, Ж. Адамар, Д. Мордухай-Болтовского, Я. Пономарев, Ж. Пуанкаре, считают, что в основе лежит интуиция (подсознательный выбор), которая возникает как результат работы подсознания в виде твердого убеждения, что данное направление поиска является результативным. С позиций Д. Пойа, гипотеза или математическое открытие появляется в результате упорных размышлений и является экспериментальным методом естественных наук. 3. Проверка найденного решения. Стоит заметить, что все три этапа процесса решения задачи не имеют четкого разграничения, плавно переходя из одного в другой, ведь, при изучении условия, ученик уже начинает формировать гипотезу, а иногда и сразу находит ответ. Итак, выделим, на основе исследования умений решать метрические задачи такие умения: умение изучить условие задачи; умение осуществлять поиск решения задачи; умение проверить найденное решение. Операционным составом умения поиска решения задачи становится нахождение верной гипотезы, в основе которой лежит интуиция, (подсознательный выбор) или появляется в результате упорных раздумий. Рассмотрим стандартную пространственных задачу: Дано цилиндр и конус одинакового радиуса основания 2,5 м, сумма их высот - 4 м, цилиндр высотой - 2,2 м. Найти объем данных фигур. Если такая задача будет предложена ученику на этапе усвоения знаний об объемах указанных фигур, то решая ее, ученик будет проходить все этапы решения задачи, а, следовательно, должно происходить активное мышление. Конечно, скорость того или иного этапа решения задачи зависит от личностных особенностей, предварительных знаний и навыков ученика. Если же данную задачу предложить ученику после нескольких десятков решенных на нахождение объема указанных фигур, то учеником, скорее всего, такая задача будет восприниматься, как упражнение и выполняться по алгоритму, поскольку многие составляющие этапа изучения условия будут отсутствовать, а этап поиска решения задачи не будет присутствовать в полной мере. В таком случае говорить об активной умственной деятельности учащихся не приходится [13]. Сначала происходит этап изучения условия задачи. Ученик знакомится с условием задачи, выделяет уже известные понятия, например треугольник, прямой угол. Вместе с этим ученик разграничивает данные, не требующие дальнейшего изучения, поскольку они уже есть в памяти, и данные, о которых необходимо узнать больше. На данном этапе, не происходит серьезная мыслительная деятельность. В дальнейшем ученик классифицирует задачу, выясняет что нужно найти, а что дано в условии (оценивает с качественной стороны). На следующем этапе решения задачи, ученик пытается с помощью графической иллюстрации сопоставить элементы данной задачи с признаками уже известных, решенных задач. Происходит более детальное изучение условия задачи. Ученик осознает сущность задачи, чтобы выяснить, каким образом изобразить фигуру. Мышление ученика сводится к обобщению предыдущих фактов, включение их к личностному опыту. Ученик формирует первые гипотезы решения задачи (как правило, на данном этапе они еще не верны) в результате чего задача дополняется новыми эскизами, чертежами, рисунками. Данный этап является очень ценным с точки зрения математического мышления, ведь происходит сопоставление новых рисунков, эскизов с предыдущими и с условием задачи, и, как правило, находятся несоответствия между текстом задачи и «своей» интерпретацией [14] После найденных ошибок, происходит переосмысление условия учеником, детальное ее изучение, поиск новой (полученной) информации о выделенных объектах. Наблюдается пополнение личного опыта новыми видами проблемных ситуаций в данном типе задач. Как результат, появляется этап, который представляет собой четкое разделение задачи на две части: какая информация известна, какая не известна, которую уже можно использовать, а какую еще неизвестно как использовать. После анализа вновь формулируются гипотезы. Данный этап самый ценный для мышления ученика в процессе решения математической задачи, именно во время него активно происходят процессы в мозге ученика, побуждающие активное математическое мышление. Происходит апробация результата, сопоставление полученного результата с условием задачи, углубление понимания сущности задачи. Процесс решения задачи должен состоять из следующих этапов: анализ формулировки задачи, то есть отделения того что в ней дано и что требуется найти, доказать, или исследовать; поиск плана решения; осуществление плана, проверка и исследование найденного решения, то есть доказательства того, что найденное решение удовлетворяет требования задачи; обсуждение найденного способа решения с целью выяснения его рациональности, возможности решения задачи другим методом или способом [8]. 3. Методика обучения школьников решению задач на вычисление площадей и объемов многогранников и круглых тел. Для геометрических тел в стереометрии в отличие от планиметрии вычисляют площади боковой поверхности и полной поверхности, а также объем. При решении задач на вычисление площадей и объемов ученики должны знать не только новые стереометрические формулы, а и формулы вычисления площадей многоугольников и круга, которые являются основами и боковыми гранями геометрических тел. Поскольку, вычисление площадей поверхностей многогранников сводится к вычислению площадей многоугольников, то при усвоении этой темы у учащихся не возникают трудности. Площади поверхностей цилиндра и конуса тоже удобно вычислять с помощью их разверток. Для всех тел вращения для нахождения площади поверхности можно использовать подход, аналогичный тому, что используется для доказательства формулы площади круга. Речь идет о вписанные и описанные призмы и пирамиды, площади поверхностей которых ученики уже умеют вычислять на момент изучения тел вращения. Для сознательного усвоения формул вычисления площади поверхности тел вращения учителя могут проводить следующую практическую работу с макетами прямоугольника и прямоугольного треугольника: 1. Какое тело образуется при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны? 2. Какое тело образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг его большого катета? 3. Измерьте высоту каждого тела вращения. 4. Измерьте радиус основания каждого тела вращения. 5. Измерьте образующую каждого тела вращения. 6. Найдите площадь основания каждого тела вращения. 7. Найдите площадь боковой поверхности каждого тела вращения. 8. Найдите площадь полной поверхности каждого тела вращения. 9. Какое тело образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы? Совершите необходимые замеры и вычисления. В учебно-методической литературе приведено несколько способов доведения формулы для вычисления объема треугольной пирамиды, с использованием: понятия границы; принципа Кавальери; формулы Симпсона; определенного интеграла. Знакомить учащихся с этими методами доказательства не обязательно. Достаточно выбрать один из этих подходов, а другие подходы, оставить на самостоятельную проработку для тех, кто хочет больше знать. Ученикам на уроке можно предложить решить задачи, а также сконструировать задачи по готовым рисункам. При решении задач по готовым рисункам, ученикам можно сосредоточиться не на построении рисунка по условию задачи, а только на вычислении неизвестных величин. А при конструировании задач по готовым рисункам, ученики могут проявить свое творчество, что повысит их познавательный интерес. Чаще всего в работах учащихся в процессе решения задач встречаются следующие ошибки: неправильные рисунки к задаче; нарушение свойств параллельного проектирования; не отслеживалась правильность записи полученных результатов или результаты недостаточно наглядны; нарушение требований по типу линий при изображении рисунка; отсутствие обоснований. Систематизируя знания учащихся, стоит обратить внимание на аналогию между определениями и свойствами шара и сферы и круга и окружности. Для обобщения и систематизации знаний учащихся по теме «Объемы и площади поверхностей многогранников», можно предложить в виде домашнего задания ученикам заполнить следующую таблицу (табл. 1). Таблица 1 – Формулы объемов и площадей поверхностей многогранников Основные формулы для многогранников Название многогранника Sб Sп V Произвольная пирамида Правильная пирамида Пирамида, все грани которой наклонены к плоскости основания под одинаковым углом Прямая призма Наклонная призма Прямоугольный параллелепипед Куб Важный методический прием изучения объемов многогранников и круглых тел - это использование аналогии между измерениями площадей плоских фигур и объемов геометрических тел. Поэтому важным условием готовности учащихся к изучению геометрических величин является повторение соответствующего планиметрического материала, прежде всего формул для вычисления площадей многоугольников, длины окружности и площади круга, понятий круга, вписанного в многоугольник и описанного. Используя аналогию введения формул для объемов цилиндров целесообразно вспомнить последовательность вывода формул для вычисления площадей фигур [15] Следует обратить внимание на то, каким способом получают формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, n-угольника, круга. Это рассмотрение позволяет определить последовательность шагов для нахождения формул объемов: вывод формул для вычисления объема прямого параллелепипеда с разбивкой его на две прямые призмы и «склеиванием» из них прямоугольного параллелепипеда; вывод формулы для вычисления объема прямой треугольной призмы путем достройки ее к прямому параллелепипеду и применения метода разбивки; вывод формулы для вычисления объема прямой n-угольной призмы с разбивкой ее на прямые треугольные призмы; вывод формулы для вычисления объема прямого цилиндра через площадь основания. Набор задач на вычисление объемов многогранников и круглых тел должен быть с использованием разнообразных тел. В практических задачах приходится вычислять объемы поверхностей тел, состоящих из простых фигур. Уровень обязательной подготовки по теме изучения площадей и объемов многогранников и круглых тел дает возможность ученикам научиться: распознавать виды многогранников и круглых тел и их элементы; строить изображения многогранников и круглых тел, их элементов, сечений; вычислять основные элементы многогранников и круглых тел; обосновывать свойства многогранников и круглых тел, применять их к решению задач; распознавать многогранники и круглые тела в их комбинациях; решать задачи на комбинацию пространственных фигур. Вывод. Ретроспективный анализ содержания школьных программ по математике позволяет утверждать, что именно в части обучения геометрии происходят более заметные изменения по сравнению с изучением алгебры. Знание геометрии, культура данного предмета и развитие являются сейчас профессионально важными для большинства современных специальностей. Однако становится ясно, что современному человеку в течение жизни придется неоднократно менять виды деятельности, так как технологии меняются достаточно интенсивно. Возникает необходимость в формировании прочной основы для готовности и способности адаптироваться к изменениям, необходимость в усилении фундаментальной подготовки выпускников школы. Человек, получивший качественное фундаментальное образование, гораздо быстрее приспособится к условиям меняющейся жизни, чем человек, который поверхностно знаком с разной современной информацией, не понимая сути процессов. Литература 1. Гаджиагаев Ш.С. Реализация принципа укрупнения дидактических единиц при изучении площадей и объемов геометрических фигур в основной школе как средства систематизации материала и повышения качества знаний учащихся. Автореферат. Махачкала – 2006. 2. Горшкова А.В. Использование информационных технологий при изучении свойств круглых тел в условиях дифференцированного обучения геометрии в средней школе: дисс…канд. пед. наук. – Орел: Орловский гос. университет.– 2003.– 198с. 3. Гусев В. А. Геометрия 10-11. Эксперимент, учеб / В. А. Гусев. – М. : Авангард. – 1999. – 111 с. 4. Гусев В. А. Геометрия 5-11. Программа курса / В. А. Гусев. – М. : Русское слово. – 2002. – 31 с. 5. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику / В. А. Гусев. – М.: Авангард. – 1994. – 135 с. 6. Гусев В. А. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш.пед. учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В.Орлов, В. А. Панчищин. – М. : Академия. – 368 с. 7. Клековкин Г. А. Геометрия. 5 класс / Г. А. Клековкин . – М. : Русское слово. – 2001. – 46 с. 8. Лебедева С. В. Развитие интеллектуально-творческой деятельности учащихся при обучении математике на этапе предпрофильной підготовки : автореф. дис. канд. пед. наук : спец. 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания (математика)» / Светлана Владимировна Лебедева. – M. – 2008. – 20 с. 9. Левитас Г. Г. Геометрия на плоскости и в пространстве / Г. Г. Левитас. – М. – 1996. – 101 с. 10. Мусаввиров Ш. Методика изучения геометрических величин в курсе планиметрии. Автореферат, 2009.– 20с. 11. Орлов В В. Построение основного курса геометрии общеобразовательной школы в концепции личностно ориентированного обучения : автореф. дис. доктора пед. наук. спец. : 13.00.02 «Теория и методика обучения (математика)» – С. – Петербург, 2000. – 44 с. 12. Подходова Н. С. Теоретические основы построения курса геометрии 1-6 классов. : дисс. докт.пед.наук. спец. : 13.00.02 «Теория и методика обучения (математика)» – Санкт-Петербург, 1999. – 380с. 13. Рахымбек Д., Юнусов А.А., Юнусова А.А., Айтбаева Н.Ж. Методика обучения решению геометрических задач на доказательство различными способами // Международный журнал экспериментального образования – 2013. – № 4-2. – 48-53 с. 14. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. 10-11 классы. Изучение геометрии. Книга для учителя. Издательство: Просвещение. – 2010. – 248 с. 15. Тихомиров В.М. От «Начал» Евклида до «Оснований геометрии» Гильберта и «Геометрии» Колмогорова // Математика в школе. – 2015. – № 1; Фрактал. – 2015. – № 1.
