экзамен математики

Департамент по делам казачества и кадетских учебных заведений
Ростовской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение Ростовской области
«Сальский казачий кадетский профессиональный лицей»
Экзаменационная письменная работа
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика» (включая алгебру, начала математического анализа,
геометрию)
для профессий СПО технического профиля и
естественно-научного пофиля:
23.01.03 «Автомеханик»;
23.01.10 «Слесарь по ремонту и обслуживанию подвижного
состава»
35.01.11 «Мастер сельскохозяйственного производства»
35.01.23 «Хозяйка(ин) усадьбы»
2020
Пояснительная записка.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика» ориентирована на реализацию
федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего общего
образования по учебной дисциплине «Математика» ( включая алгебру, начала
математического анализа, геометрию). Программа рассчитана на 285 часов.
№
1.
№ заданий.
№1,3
2.
Наименование разделов, тем
Обобщение изученного материала по алгебре и
геометрии за курс основной школы.
Реальная математика.
3.
Прямые и плоскости в пространстве.
№4
4.
Корни, степени. Степенная и показательная функции.
Показательные неравенства.
Логарифмы. Логарифмическая функция.
Логарифмическое уравнение.
Координаты и векторы.
№11,12
5.
6.
№1,5
№2,7
№20
8.
Основы тригонометрии. Тригонометрические уравнения №14,17
и неравенства.
Теорема Пифагора.
№14,19
9.
Начало математического анализа.
7.
№7,8,10,13,15,19,20
10. Тела и поверхности вращения.
№18
11. Измерения в геометрии.
№9,16
12. Элементы комбинаторики. Элементы теории
вероятностей и математической статистики.
№6
На дату проведения экзамена выдано 285 часов. Материал изучается в течение двух
курсов. Контролируемые темы проведены в объектах контроля и включают материал 1,2
курса.
Оценочная шкала.
КУ=m/n,
где m- число выполненных существенных операций;
где n- число заданных существенных операций.
«5» -0,9 ≤ КУ≤1;
от 28 до 34 баллов
«4»- 0,8≤КУ≤0,9;
от 22 до 27 баллов
«3»-0,7≤КУ≤0,8;
от 18 до 21 баллов
«2»-КУ<0,7
ниже 20 баллов
Методические рекомендации
к выполнению письменного государственного выпускного экзамена по
«Математике» (включая алгебру, начала математического анализа, геометрию) для
профессий среднего профессионального образования технического профиля и
естественно - научного профиля: 23.01.03 «Автомеханик»; 23.01.10 «Слесарь по
ремонту и обслуживанию подвижного состава»;35.01.11 «Мастер
сельскохозяйственного производства»; 35.01.23 «Хозяйка(ин) усадьбы» .
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
Программа развития среднего профессионального образования и государственного
стандарта по специальности ставят перед учебными заведениями задачу качественной
подготовки конкурентоспособных специалистов. А это возможно лишь при обеспечении
объективных оценок уровня подготовленности обучающихся к будущей
профессиональной деятельности; проверке соответствия требований к подготовке
выпускников уровневым стандартам знаний; выявлении пробелов в подготовке
обучающихся и их корректировке в ходе учебного процесса, в дальнейшем.
Контроль качества обучения на всех этапах образовательного процесса становится одной
из главных проблем педагогики. Письменный государственный выпускной экзамен по
«Математике» (включая алгебру, начала математического анализа, геометрию),
предназначен для итоговой аттестации по данной дисциплине за весь курс обучения.
Максимальный объём часов по профессиям технического профиля составляет:
428 часов;
из них:
- аудиторных - 285 часов.
- практическая работа -20 часов
- внеаудиторная самостоятельная работа - 143 часа.
Максимальный объём часов по профессиям естественно - научного профиля составляет:
342 часа;
из них:
- аудиторных - 228 часов.
- практическая работа -20 часов
- внеаудиторная самостоятельная работа - 114 часов.
Требования к уровню подготовки обучающихся.
В результате изучения курса, обучающиеся должны овладеть следующими навыками и
умениями, представляющий обязательный минимум :
1) Иметь понятия о корне n- и степени из числа и знать его свойства;
Иметь обобщённое понятие о степени числа;
Уметь преобразовать степенные выражения;
Знать свойства и графики степенных функций;
Иметь представления о показательной функции, её свойствах и графике;
Знать определение и свойства логарифма;
Уметь преобразовывать выражения , содержащие логарифмы;
Знать свойства и графики логарифмических функций;
Уметь решать иррациональные , показательные и логарифмические уравнения и
неравенства;
10)Иметь понятия о производной функции, уметь применять её свойства при
исследовании функции;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
11)иметь представление о первообразной и интеграле, уметь их вычислять;
12) знать основные понятия комбинаторики и теории вероятности, уметь решать
простейшие задачи;
13) иметь навыки решения уравнений и неравенств с одной и двумя переменными,
уметь решать системы уравнений и неравенств;
14) уметь решать простейшие задачи в координатах;
15) вычислять площади многогранников и тел вращения;
16) вычислять объёмы многогранников и тел вращения;
17)решать задачи на применение свойств многоугольников, теоремы Пифагора;
18) решать задачи из реальной математики.
Содержание заданий:
Контрольная работа, состоит из четырех вариантов. Каждый вариант содержит 20
заданий, состоящих из двух частей, инструкцию по выполнению заданий.
Часть I содержит 10 заданий: 9 -по алгебре и началам анализа и 1- по геометрии.
Задания I части уровень сложности этих заданий определяется «Требования к уровню
подготовки обучающихся», предусмотренный программой.
Задания I части не требуют громоздких вычислений, сложных преобразований и
нестандартных умозаключений. Для их выполнения достаточно уметь использовать
основные определения, свойства, владеть минимальным набором формул и алгоритмов.
Задания по геометрии требуют, помимо знаний формул и умений ими пользоваться,
определённого уровня стереометрических представлений, умения работать с
изображениями.
Каждое задание оценивается в 1 балл, и являются обязательной частью
экзаменационной контрольной работы.
При выполнении в обязательной части 1-10 задание тестовое с выбором ответа . При
выполнении задания 11-16 необходимо решить и записать решение с выбором ответа.
Задания II части экзаменационной контрольной работы, которая является
дополнительной частью, составлена из стандартных для курса математики заданий.
Уровень сложности, которых несколько выше, чем в первой части. Содержание заданий
по геометрии соответствуют целям изучения геометрии в курсе «Математика»(включая
алгебру, начала математического анализа, геометрию), и для их решения, достаточно
изучавшегося в курсе геометрия материала.
От обучающихся, однако, не требуется владение навыками сложных вычислений и
преобразований, специальными приёмами решений уравнений и неравенств, хотя часть
заданий предполагает наличие определённых знаний и умений, приобретённых в
основной школе: подстановка, формулы сокращенного умножения, проценты, действия с
дробями, математические вычисления.
Критерии оценки экзаменационной контрольной работы.
Критерии оценки экзаменационной контрольной работы совпадают с критериями для
курса «Математики» (включая алгебру, начала математического анализа , геометрию).
Для получения оценки «3» (УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО) необходимо набрать 1821баллов;
Для получения оценки «4» (ХОРОШО) необходимо набрать 22-27 баллов, и
выполнить не менее одного задания из дополнительной части;
Для получения оценки «5»(ОТЛИЧНО) необходимо набрать 28 - 34 баллов, и
выполнить не менее двух заданий из дополнительной части;
Время, отводимое на выполнение экзаменационной контрольной работы, составляет
4 астрономических часа.
При подготовке и проведении экзаменационной контрольной работы рекомендуется
пользоваться справочным материалом, состоящим из двух частей: I часть - алгебра и
начала анализа:












Решение квадратных уравнений,
Решение уравнений и неравенств,
Степени и логарифмы,
Тригонометрия,
Простейшие тригонометрические уравнения,
Производная, её свойства и применение к свойствам функции,
Первообразная и площадь криволинейной трапеции,
Комбинаторика и элементы теории вероятности.
IIчасть – геометрия.
Многоугольники, из свойства и площади,
Круг, окружность их свойства и площадь,
Многогранники их свойства, площади поверхности и объём,
Тела вращения их свойства, площади поверхности и объём.
Содержание:





Пояснительная записка.
Требования к знаниям и умениям обучающихся.
Требования к результату работы и её оформлению.
Критерии оценок.
Тексты экзаменационной письменной контрольной работы, два варианта.

Эталоны ответов и решения экзаменационной письменной контрольной работы.
Литература.
1. Алгебра и начала математического анализа. Учебник [М.И. Башмаков ] – 1е изд. - М.: «Академия»2018г.
2. Алгебра и начала математического анализа. Учебник [М.И. Башмаков ]– 1-е
изд. - М.: «Академия»2018г.
3. ФИПИ , ЕГЭ-2020. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые
задания от разработчиков ЕГЭ/И.В.Ященко ,М.А.Волкевич и др.
4. ЕГЭ-2020. Математика. Профильный уровень. Тренировочные варианты.
Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ/Ф.Ф.Лысенко
,С.Ю.Кулабухова и др.
5. Тренировочные и диагностические работы от МИОО на 2014-2015 уч.год.
http://www.ctege.info/chto-nado-znat-o-ege-2013/grafik-trenirovochnyihidiagnosticheskih-rabot-mioo-na-2012-2013-uchebnogo-goda-pervoe-i-vtoroepolugodiya-zadaniya-otvetyi-kriterii.html
Задания
для проведения письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля: «Слесарь
по обслуживанию и ремонту подвижного состава»
оценка
Число баллов, необходимое для получения оценки
«3» (удовлетворительно)
18-21 балл
«4» (хорошо)
22 -27 балла(не менее одного задания из части С)
«5» (отлично)
28-34 баллов (не менее двух заданий из части С)
Вариант 1
№п/
п
Условие:
Варианты ответов:
Часть А: В заданиях с 1 по 10 выбрать правильный вариант ответа или установить соответствие (каждый
правильный ответ оценивается в 1 балл)
1. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 45% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15
школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
2. Найдите корень уравнения log4(x+7)=2
А) 41760 руб
Б) 6840 руб
В) 6300 руб
С) 3190 руб
А) 1;
Б)16
В) 7
С) 9
3. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец
рассчитывается по формуле С= 6000+ 4100 n , где n — число колец, установленных
при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 15
колец.
А) 67500 Б) 64500
В)84500 С) 67550
4. Бассейн имеет прямоугольную форму, имеет длину 50 м и разделён на 6 дорожек,
шириной 2,5 м каждая. Найдите площадь этого бассейна.
А)125 м
Б)750 м
В) 660 м С) 170 м
Запишите в ответ
5. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к
каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго цифры, расположив
столбца.
их
в
порядке,
соответствующем
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
буквам:
А) площадь одной страницы учебника
1) 81,7 кв. м
Б) площадь территории республики Карелия
2) 330 кв. см
А Б В Г
В) площадь одной стороны монеты
3) 180,5 тыс. кв. км
Г) площадь бадминтонной площадки
4) 300 кв. мм
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её
возможного значения.
6. В фирме такси в данный момент свободны машины: 10 черных, 2 желтых и 8
зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к
заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
А)0,5
7. Найдите область определения функции f(x) = log0,3(x2 – 4x)
А)(- ∞;0) и (2;+ ∞)
Б)(0; 2); В) (0;4);
Г) (- ∞;0) и (4;+ ∞)
Б) 0,4
В) 0,008 С) 0,45
8. Найдите производную функции y = 20x4 -ex
А) y ′ = 80x3 -xex-1;
Б ) y ′ = 4x5 -ex+1;
В) y ′ = 80x3 -ex;
Г) y ′ = 5x3 –xex-1
9. Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со А)600;
Б) 100;
всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо В) 500;
Г) 510.
покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Укажите промежуток возрастания функции y=f(x), заданной графиком.
А) (- 2; 0)
Б) [0; 2]
В) (-∞; 0) и (2;+ ∞)
Г) [-2; 2]
Часть В: В заданиях с 11 по 16 решить, записать решение и выбрать правильный вариант ответа (каждое задание
оценивается в 2 балла)
11. Решить неравенство 2 10х-5 ≥ 16
А)[0,9;+ ∞);
Б)[0,1; + ∞);
В) (0; 0,5);
Г) (- ∞;0,1).
12. Найдите корень уравнения √10 − 𝑥 – 3 = 0.
А). -1;
Г). 3;
13. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = х2/3(х - 2)
А) -3 и 40;
Б) -3 и - 40;
В) 40 и 3;
Г) – 38 и -2.
на отрезке [-8; -1]:
14. Вычислить: 5 sin 0+ 2 cos 600
А).1;
Б). 1; В)5;
В).2;
15. Материальная точка движется по закону S(t) = 3t + 7 + 0,5t2, где t – время движения в
А)18;
В)12;
16. Однородный шар диаметром 4 см весит 256 грамма. Сколько граммов весит шар
А)256;
В) 500;
секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной
15 м/с?
диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение (каждое задание оценивается в 3 балла)
17. Доказать тождество
18. Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большего катета.
Определите геометрическое тело и найдите площадь боковой поверхности.
19. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 2x3- 3x2 – 36x.
1
Б). 2;
Г). 5.
Б) 15;
Г) 21.
Б) 200;
Г) 512.
20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 3x и осью ОХ
Задания
для проведения письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
оценка
Число баллов, необходимое для получения оценки
«3» (удовлетворительно)
18-21 балл
«4» (хорошо)
22 -27 балла(не менее одного задания из части С)
«5» (отлично)
28-34 баллов (не менее двух заданий из части С)
Вариант 2
№п/
п
Условие:
Варианты ответов:
Часть А: В заданиях с 1 по 10 выбрать правильный вариант ответа или установить соответствие (каждый
правильный ответ оценивается в 1 балл)
1. Студентами технических вузов собираются стать 27 выпускников школы. Они А) 9
составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?
Б) 90
В) 11
С) 18
А) -8;
В) 2
2. Найдите корень уравнения log5(5 -х)=log53
Б)10
С) -2
3. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им А) 1,4
расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое
В)4,8
расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.
Б) 0,12
С) 20
4. Бассейн имеет прямоугольную форму, имеет длину 50 м и разделён на 6 дорожек,
шириной 2,5 м каждая. Найдите площадь этого бассейна.
Б)750 м
А)125 м
В) 660 м С) 170 м
5.
Запишите в ответ
Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к
каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго цифры, расположив
их
в
порядке,
столбца.
соответствующем
буквам:
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) высота железнодорожного вагона
Б) высота небоскреба
В) высота гриба-подосиновика
Г) размер неровностей на поверхности стекла
1) 3,5 м
2) 10 см
3) 120 м
4) 0,5 мкм
6. На тарелке лежат пирожки: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Девочка наугад
выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
7.
10
Найдите область определения функции f(x) = √log 2 (x – 4)
А
Б
В
Г
А)0,25
Б) 0,4
В) 0,5
С) 0,3
А)[16;+ ∞);
Б)(0; 16];
В) [4;+ ∞);
Г) (0;4]
8. Найдите производная функции у = 0,75х4 – 2 cosx:
А) y ′ =3x3 + 2 cosx
Б ) y ′ = 3x3 – 2sinx
В) y ′ = 3x3 - 2 cosx
Г)y′ = 3x3 + 2sinx
9. Ящик, имеющий форму куба с ребром 25 см без одной грани, нужно покрасить со А)2200;
всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо В) 3125;
покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Укажите промежуток убывания функции y=f(x), заданной графиком.
А) (- 2; 0)
Б) 625;
Г)225.
Б) [0; 2]
В) (-∞; −1) и (0;1)
Г) [-2; 2]
Часть В: В заданиях с 11 по 16 решить, записать решение и выбрать правильный вариант ответа (каждое задание
оценивается в 2 балла)
11. Решить неравенство 7 х+2,3 ≤ 49
А)(- ∞;- 0,3];
Б)(- ∞;4,3);
В) (0; 0,3);
Г) (- ∞;0,3).
12. Решить уравнение √6 + 5𝑥 = х. Если уравнение имеет более одного корня, в А). -1;
Г). 3;
ответ запишите меньший из корней.
13. Найдите наибольшее значения функции f(x) = 12+9х - 2х3/2
на отрезке [4; 25]:
А) 50;
Б) 25;
В) 32;
Г) 73 .
14. Вычислить:sin π+ tg 0 0
А).1;
В).0;
15. Материальная точка движется по закону S(t) = 6t2 -48t+17, где S– расстояние от точки
А)80;
В)60;
16. Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар
А)255;
В) 243;
отсчета в метрах. Найдите ее скорость ( в м/с) в момент времени t= 9 с?
диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение (каждое задание оценивается в 3 балла)
17. Доказать тождество (1 – cos a )(1+cos a)=sin2a
18. Найти объем тела полученного в результате вращения прямоугольника со сторонами 4
м и 5 м, вокруг большей стороны.
19. Найдите промежутки возрастания функции f(x) = - x3 +9x2 + 21x.
Б) 6; В)5;
Б).2;
Г). - 1.
Б) 55;
Г) 66.
Б) 380;
Г) 375.
20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =4х – х2 и осью Ох
Задания
для проведения письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
оценка
Число баллов, необходимое для получения оценки
«3» (удовлетворительно)
18-21 балл
«4» (хорошо)
22 -27 балла(не менее одного задания из части С)
«5» (отлично)
28-34 баллов(не менее двух заданий из части С)
Вариант 3
№п/
п
Условие:
Варианты ответов:
Часть А: В заданиях с 1 по 10 выбрать правильный вариант ответа или установить соответствие (каждый
правильный ответ оценивается в 1 балл)
1. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в
ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в
ноябре?
2. Найдите корень уравнения log5(5 -х)=2log53
А) 90 руб;
Б) 87 руб;
В) 180 руб;
С) 45 руб.
А) 11;
Б)-4 ;
В) 4;
С) -2.
3. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по А) 110руб;
формуле C=150+11(t-5), где t — длительность поездки, выраженная в минутах.
Б)153руб;
Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
В)183руб;
С) 180руб.
4. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м?
5.
Б)330 ;
В) 660 ; С) 180 .
А)120;
Запишите в ответ
Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к
цифры,
расположив
каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго
их
в
порядке,
столбца.
соответствующем
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
буквам:
А) диаметр монеты
1) 6400 км
Б) рост жирафа
2) 324 м
А Б В Г
В) высота Эйфелевой башни
3) 20 мм
Г) радиус Земли
4) 5 м
6. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с А)0,23;
Б) 0,4;
жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с В) 0,46;
С) 0,27.
чёрными надписями.
7. Найдите область определения функции f(x) = log0,2(7х -x2)
А)(- ∞;0) и (7; +∞);
Б)(0; 16];
В) (0;+ ∞);
Г) (0;7)
8. Найдите производная функции y = ex +3x2
А) y ′ = xex-1 +6х;
Б ) y ′ = ex+ х3;
В) y ′ = ex+ 2х;
Г) y ′ = ex+6х.
9. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см без одной грани, нужно покрасить со А)1000;
всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо В) 4500;
покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Укажите промежуток возрастания функции y=f(x), заданной графиком.
А) (- 2; 0)
Б) 250;
Г)250.
Б) [-1; 2]
В) (-1; 0) и (1; +∞)
Г) [-2; 2]
Часть В: В заданиях с 11 по 16 решить, записать решение и выбрать правильный вариант ответа (каждое задание
оценивается в 2 балла)
11. Решить неравенство 3 3х - 2 ≤81
А)(- ∞; 0);
Б)(- ∞;2];
В) (0; 2/3);
Г) (- ∞;0,3).
12. Решить уравнение √15 − 2𝑥 = 3.
А). -1;
В)5;
13. Найдите наибольшее значения функции f(x) = 2х3 – 54х +1
на отрезке [- 5; 0]:
А).1;
В).0;
15. Материальная точка движется по закону S(t) = - t4 + 6t3+5t+23, где S– расстояние от
А)80;
В)67;
16. Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар
А)500;
В) 128;
диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение (каждое задание оценивается в 3 балла)
17. Доказать тождество
(1 – sin2 a )(1+tg2 a)=1
18. Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг меньшего катета.
Определите геометрическое тело и найдите площадь боковой поверхности.
19. Найдите промежутки убывания функции f(x) = - x3 +9x2 + 21x.
Г). 3;
А) 1;
Б) 128;
В) 106;
Г) 73 .
14. Вычислить:sinπ/4+ tg 2π – cosπ/4
точки отсчета в метрах. Найдите ее скорость ( в м/с) в момент времени t= 3 с?
Б) 6;
Б).2;
Г). - 1.
Б) 59;
Г) 66.
Б) 48;
Г) 864.
20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =4х – х2 и осью Ох
Задания
для проведения письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
оценка
Число баллов, необходимое для получения оценки
«3» (удовлетворительно)
18-21 балл
«4» (хорошо)
22 -27 балла (не менее одного задания из части С)
«5» (отлично)
28-34 баллов (не менее двух заданий из части С)
Вариант 4
№п/
п
Условие:
Варианты ответов:
Часть А: В заданиях с 1 по 10 выбрать правильный вариант ответа или установить соответствие (каждый
правильный ответ оценивается в 1 балл)
1. Билет на автобус стоит 16 рублей. Какое максимальное количество билетов
можно купить на 200 рублей после повышения цены на 15%?
2. Найдите корень уравнения log4(х+3)=log4(4x - 15)
3. Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по
формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и
ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится
наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
4. Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны
которого равны 900 м и 400 м. Одна из бóльших сторон участка идёт вдоль моря, а
три остальные стороны нужно отгородить забором. Найдите длину этого забора.
Ответ дайте в метрах.
5. Установите соответствие между названиями величин, встречающихся в русских
пословицах и поговорках, и их приближёнными значениями:
А) 9 ;
Б) 10;
В) 8 ;
С) 13;
А) -6;
В) 6 ;
Б)12;
С) 4.
А) 3,3 ;
В)3;
Б) 6;
С) 8.
А)1600 ;
Б)1400 ;
В) 1000;
С) 1700 .
Запишите в ответ
цифры, расположив
их
в
порядке,
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ЗНАЧЕНИЯсоответствующем
буквам:
1) 2,5 м
2) 9 см
3) 70 см
А Б В Г
4) 7 км
ВЕЛИЧИНЫ
А) От горшка два вершка
Б) Косая сажень в плечах
В) Семь вёрст не круг
Г) Будто аршин проглотил
6. Новогодняя гирлянда состоит из 230 фиолетовых, 270 зеленых, 150 желтых и 250 А)0,5
синих. Одна из лампочек перегорела. Найдите вероятность того, что эта лампочка
окажется зеленой.
В) 0,3
7.
6
Найдите область определения функции f(x) = √log 5 (x – 3)
Б) 0,8
С) 0,9
А)[3;+ ∞);
Б)(0; 3];
В) [125;+ ∞);
Г) (0;125]
8. Найдите производная функции у = 5х – sinx:
5
А) y ′ =x4 + sinx
Б ) y ′ = 25x4–cosx
В) y ′ = x6 - cosx
Г)y′ = 25x5 +cosx
9. Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со А)2000;
Б) 1050;
всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо В) 400;
Г)1225.
покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
А) (- 6; 0) и (4;8)
10. Укажите промежуток убывания функции y=f(x), заданной графиком.
Б) [0; 8]
В)( -6; - 3); (0;4); (7;8)
Г) [-6; 8]
Часть В: В заданиях с 11 по 16 решить, записать решение и выбрать правильный вариант ответа (каждое задание
оценивается в 2 балла)
11. Решить неравенство 32x- 1 ≥9
А)(- ∞;- 0,5);
Б)(1,5; + ∞);
В) (0; 1,5);
Г) [1,5;+∞).
12. Решить уравнение √3х − 8 = 5.
А). -11;
В)8;
13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2х3 + 3х2 – 36х
А) - 44 и 81;
Б) – 36 и 28;
В) -81 и 44;
Г) -40 и 60
на отрезке [-4; 3].
Б) 11;
Г). 1;
14. Вычислить:sin π/2+ tg2 0 0
А).1;
В).0;
Б).2;
Г). - 1.
15. Материальная точка движется по закону S(t) = t2 – 13t+23, где t – время движения в
А)8;
В)6;
Б) 3;
Г) 9.
16. Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар
А)255;
В) 243;
секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной
3 м/с?
диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение (каждое задание оценивается в 3 балла)
17. Доказать тождество 1 -sin2a(1+ сtg2 a)=0
18. Найти объем тела полученного в результате вращения прямоугольника со сторонами 8
м и 6 м, вокруг меньшей стороны.
19. Найдите промежутки убывания функции f(x) = x4 – 8x2 +5.
20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = х2+3х и осью Ох
Б) 380;
Г) 375.
Эталоны ответов на задания
письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
Вариант 1.
Часть А: Ответы на задания с 1 по 10
1.
В
2.
С
3.
А
4.
Б
5.
А Б В Г
2
6.
7.
8.
9.
10.
3
4
1
Б
Г
В
В
Б
Часть В: Задания с 11 по 16. Решить, записать решение и выбрать правильный ответ
11.
Решить уравнение 510х- 5 ≥ 16
Решение:
510х- 5 ≥ 16
10х - 5 ≥ 4
10х ≥ 9
Х ≥0, 9
Ответ: А)[0,9;+ ∞);
12.
Решить уравнение √10 − 𝑥 – 3 = 0
Решение:
√10 − 𝑥 = 3
10 – х =9
Х=1
Ответ: Б). 1
13.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = х2/3(х - 2)
на отрезке [-8; -1]:
f(- 8) = - 82/3(- 8 - 2)= - 40 ; f(- 1) = - 12/3(- 1 - 2)= - 3
f ′ = 2/3 х-1/3=0, x не существует.
Наибольшее значение -3, наименьшее значение - 40
Ответ: Б) -3 и - 40
14.
Вычислить: 5 sin 0+ 2 cos 600
Решение:
1
5 sin 0+ 2 cos 600=5*0+2*2 =0+1=1
Ответ: А)1
15.
Материальная точка движется по закону S(t) = 3t + 7 + 0,5t2, где t – время
движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела
окажется равной 15 м/с?
Решение:
S ′ =3+ t=V=15
3+ t=15
t =12
Ответ: В)12.
16.
Однородный шар диаметром 4 см весит 256 грамма. Сколько граммов
весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Решение:
V=
πD3 ; V1
6
π43
6
π53
= 𝑚1
V2
m2
= 256 , m 256∗125
,
2=
m2
6
64
m
2=500
Ответ: В) 500;
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение
17.
Доказать тождество cos2 a- sin2 a=1 – 2 sin2 a
Решение:
1- sin2 a - sin2 a=1 – 2 sin2 a
1 – 2 sin2 a =1 – 2 sin2 a
чтд
18.
Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см
вращается вокруг большего катета. Определите
геометрическое тело и найдите площадь боковой
поверхности.
В результате вращения прямоугольного треугольника получается
конус
S=πRL, по т.Пифагора находим L:
L=√42 + 32 =5 см.
S=π5*3=15 π см2
Ответ. 15 π см2
19.
Найдите промежутки убывания функции
f(х) =2x3- 3x2 – 36x..
Решение:
f ′ = 6х2 - 6х - 36;
f ′ (x)=0; тогда 6х2 - 6х - 36=0 ;
х2- х - 6= 0; по теореме Виета: x 1 = -2; x2= 3; __+___-2 _-_ 3 +
Функция убывает на промежутке (-2;3)
Ответ: Функция убывает на промежутке (-2;3)
20.
Найдите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x) = х2+3х и
осью Ох.
Решение:
Построим график функции f (х) = х2+3х
Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
х2 +3х=0
Х=-3, х=0
0
S= ∫−3(х2 + 3х) d х= (-3х2/2 – х3⁄ 3) |0-3 = 4,5кв. ед.
Ответ : 4,5кв. ед.
Эталоны ответов на задания
письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
Вариант 2.
Часть А: Ответы на задания с 1 по 10
1
Б
2
В
3
В
4
Б
5
А Б В Г
1
6
7
8
9
10
3
2
4
А
А
Г
В
В
Часть В: Задания с 11 по 16. Решить, записать решение и выбрать правильный ответ
11
Решить уравнение 7х+2,3 ≤ 49
Решение:
7х+2,3 ≤ 72
Х+2,3 ≤ 2
Х≤ - 0,3
Ответ: А)(- ∞;- 0,3];
12
Решить уравнение √6 + 5𝑥 = х. Если уравнение имеет более одного
корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение:
√6 + 5𝑥 = х
6+5X = X2
х2- 5х - 6= 0; по теореме Виета: x 1 = -1; x2= 6
Х= - 1
Ответ: А).- 1
Найдите1 наибольшее значения функции f(x) = 12+9х - 2х3/2
13
на отрезке [4; 25]:
f(4) =1+36-16=32 ; f(25) = 12+225- 250= - 13
f ′ = 9- х1/2=0, x не существует.
Наибольшее значение 32
14
15
16
Ответ: В).32
Вычислить:sin π+ tg 0 0
Решение:
sin 0+ tg00=0
Ответ: В)0
Материальная
точка движется по закону S(t) = 6t2 -48t+17, где S– расстояние
1
от точки отсчета в метрах. Найдите ее скорость ( в м/с) в момент времени t= 9
с?
Решение:
S ′ =12t - 48=V
12 *9 - 48=60м/с
V=60м/с
Ответ: В) 60м/с
1
Однородный
шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов
весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Решение:
V=
πD3 ; V1
π33
6
π53
6
6
= 𝑚1
V2
m2
= 81 , m 81∗125
,
2=
m2
27
m
2=375
Ответ: Г) 375
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение
17
Доказать тождество 1 - cos2 a= sin2 a
Решение:
sin2 a= sin2 a
чтд
18
Найти объем тела полученного в результате вращения
прямоугольника со сторонами 4 м и 5 м, вокруг большей
стороны.
Решение: В результате вращения прямоугольника
получа
получаем тело вращения - цилиндр
V= П R2h
V= П 16*5=80П м3
Ответ: 80П м3.
19
Найдите промежутки возрастания функции
f(x) = - x3 +9x2 + 21x.
Решение:
f ′ = - 3х2 +18х +21;
f ′ (x)=0; тогда
- х2 +6х +7=0 ;
х2- х - 6= 0; по теореме Виета: x 1 = -7; x2= 1; __-_-7 _+_
1 -
Функция убывает на промежутке (-7;1)
Ответ: Функция возрастает на промежутке (-7;1)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y =4х – х2 и осью Ох
20
Решение:
Построим график функции f (х) =4х - х2
Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
4х- х2=0
Х=0, х=4
4
S= ∫0 (4х − х2 ) d х= (2х2 – х3⁄ 3) |40 =
Ответ :
2
10
кв. ед.
3
2
10
кв. ед.
3
Эталоны ответов на задания
письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
Вариант 3.
Часть А: Ответы на задания с 1 по 10
1.
А
2.
Б
3.
В
4.
Б
5.
А Б В Г
3
6.
7.
8.
9.
10.
4
2
1
В
Г
Г
В
В
Часть В: Задания с 11 по 16. Решить, записать решение и выбрать правильный ответ
11
Решить уравнение 33Х-2 ≤ 81
Решение:
33Х-2 ≤ 34
3Х-2 ≤ 4
3Х≤ 6
Х≤ 2
Ответ: Б)(- ∞;-2];
12
Решить уравнение√15 − 2Х=3
Решение:
√15 − 2Х=3
15-2Х=9
2Х=15-9
Х=3
Ответ: Г) 3
13
Найдите наибольшее значения функции f(x) = 2х3 – 54х +1
на отрезке [- 5; 0]:
f(-5) = -229 ; f(0) = 1
f ′ = 6х2-54, f ′ =0
6х2-54=0, х1= -3,
х2= 3не подходит
f(- 3) = 106
Наибольшее значение 106
14
Ответ: В).106
Вычислить:sinπ/4+ tg 2π – cosπ/4
sinπ/4+ tg 2π – cosπ/4= 0
Ответ: В)0.
15
Материальная точка движется по закону S(t) = - t4 + 6t3+5t+23, где S–
расстояние от точки отсчета в метрах. Найдите ее скорость ( в м/с) в момент
времени t= 3 с?
Решение:
S ′ =-4t3 +18t+5=V
V = -108+162+5 = 59м/с
V=59м/с
Ответ: Б) 59м/с
16
Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов
весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Решение:
V=
πD3 ; V1
6
π63
6
π43
6
= 𝑚1
V2
m2
= 432 , m 432∗64
,
2=
m2
216
m
2=128
Ответ: В) 128
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение
17
Доказать тождество
(1 – sin2 a )(1+tg2 a)=1
Cos2 a*1/ Cos2 a=1
1=1
чтд
18
Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см
вращается вокруг меньшего катета. Определите
геометрическое тело и найдите площадь боковой
поверхности.
В результате вращения прямоугольного треугольника получается
конус
S=πRL, по т.Пифагора находим L:
L=√42 + 32 =5 см.
S=π5*4=20 π см2
Ответ. 20 π см2
19
Найдите промежутки возрастания функции f(х) = -х3
+ 9х2 + 21х.
Решение:
f '(x)= -Зх2+18х+21;
/
f/(x)=0; тогда Зх2+18х+21=0 ;
х2-6 х - 7= 0; по теореме Виета: x i = -1; xi= 7;
Функция возрастает на промежутке (-1;7)
Ответ: Функция возрастает на промежутке (-1;7)
20
Найдите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x) =4 – х2 и осью
Ох.
Решение:
Построим график функции f (х) =4х - х2
Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
4х- х2=0
Х=0, х=4
4
S= ∫0 (4х − х2 ) d х= (2х2 – х3⁄ 3) |40 =
Ответ :
2
10
кв. ед.
3
2
10
кв. ед.
0
3
4
Эталоны ответов на задания
письменного государственного выпускного экзамена по дисциплине
ОУД.03. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
для профессий среднего профессионального образования технического профиля:
«Автомеханик», «Мастер сельскохозяйственного производства», «Машинист локомотива»,
«Слесарь по обслуживанию и ремонту подвижного состава», «Хозяйка(ин) усадьбы»
Вариант 4.
Часть А: Ответы на задания с 1 по 10
1
Б
2
В
3
А
4
5
С
А
Б
В
Г
2
1
4
3
В
В
Г
А
В
6
7
8
9
10
Часть В: Задания с 11 по 16. Решить, записать решение и выбрать правильный ответ
11
Решить неравенство 32x- 1 ≥9
Решение:
32x- 1 ≥32
12
13
2х - 1 ≥ 2
2х ≥ 3
Х ≥1,5
Ответ: Г)[1,5;+ ∞);
Решить уравнение √3х − 8 = 5
Решение:
√3𝑥 − 8 = 5
3 х - 8 =25
3х=33
Х=11
Ответ: Б). 11
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = 2х3 + 3х2 – 36х
на отрезке [-4; 3]:
f(- 4) = 64 ; f(3) = 81;
f ′ = 6х2+6х – 36
f ′ =0, 6х2+6х – 36=0,
х2+х – 6=0, по т. Виета х1= - 3; х2= 2;
f(-3) = 81 ; f(2) = - 44;
Наибольшее значение 81, наименьшее значение - 44
Ответ: А) 81 и - 44
14
Вычислить: sin π/2+ tg2 0 0
Решение:
sin π/2+ tg2 0 0 =1+0=1
Ответ: А)1
15
Материальная точка движется по закону S(t) = t2 – 13t+23, где t – время
движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела
окажется равной 3 м/с?
Решение:
S ′ =2 t - 13=V=3
2 t – 13=3
t =8
Ответ: А)8
Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов
весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Решение:
16
V=
πD3 ; V1
6
π33
6
π53
6
= 𝑚1
V2
m2
= 81 , m 81∗125
,
2=
m2
27
m
2=375
Ответ: Г) 375
Часть С: В заданиях с 17 по 20 решить, записать решение
17
Доказать тождество
1 -sin2a(1+ сtg2 a)=0
1- sin2a*1/ sin2a=0
2- 1-1=0
чтд
18
Найти объем тела полученного в результате вращения
прямоугольника со сторонами 6 м и 8 м, вокруг меньшей
стороны.
Решение: В результате вращения прямоугольника
получа
получаем тело вращения - цилиндр
V= П R2h
V= П 64*5=384П м3
Ответ: 384П м3.
19
Найдите промежутки убывания функции
f(х) =x4- 8x2 +5.
Решение:
f ′ = 4х3 - 16х;
f ′ (x)=0; тогда 4х3 - 16х =0 ;
4х(х2 - 4)= 0; x 1 = -2; x2= 0;х3=2
__-_-2 + 0
-
2
Функция убывает на промежутке (-∞;-2),(0;2)
Ответ: Функция убывает на промежутке (-∞;-2),(0;2)
20
Найдите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x) = х2+3х и
осью Ох.
Решение:
Построим график функции f (х) = х2+3х
Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:
х2 +3х=0
Х=-3, х=0
0
S= ∫−3(х2 + 3х) d х= (-3х2/2 – х3⁄ 3) |0-3 = 4,5кв. ед.
+
Ответ : 4,5кв. ед.