1. а) [ -2 - Ульяновский государственный педагогический

Министерство образования и науки Российский Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени И.Н.УЛЬЯНОВА»
(ФГБОУ ВПО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»)
Кафедра методики преподавания математики и информатики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________ И.В. Столярова
«____» _________2012 г.
Практикум решения задач элементарной математики
программа учебной дисциплины федерального компонента 050202.65 для специальностей:
- Математика
(заочная форма обучения)
Составитель : Ионова И.В., кандидат
педагогических наук, доцент
Рассмотрено и утверждено на заседании ученого совета физико-математического
факультета ( протокол от «30 марта » 2012г. № 6)
Ульяновск, 2012
Пояснительная записка.
Рабочая программа дисциплины «Практикум решения задач элементарной
математики» составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по специальности 050202.65 Математика,
утверждённого Министерством образования Российской Федерации от «31» января 2005 г.
(номер государственной регистрации № 675 пед/спец).
Требования государственного образовательного стандарта к обязательному
минимуму содержания дисциплины
Индекс ГСЭ
СД.Ф.16
Основные разделы
Арифметика. Свойства делимости, Основная теорема
арифметики.
НОД
и
НОК.
Алгоритм
Евклида.
Представление рациональных чисел в виде q-ичной дроби.
Комбинаторика. Метод математической индукции. Бином
Ньютона.
Сочетания,
размещения,
перестановки.
Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
Комбинаторные тождества.
Элементарные функции. Тождественные преобразования
выражений. Уравнения и неравенства.
Всего часов
98
Практикум решения задач элементарной математики вносит свой вклад в
профессиональную подготовку будущего учителя математики, дополняя и обогащая
курсы высшей математики и методики обучения математике. Это обуславливает
актуальность изучения дисциплины.
Цели и задачи курса.
Целью данного практикума является подготовка квалифицированного учителя математики.
Основные задачи курса:
1) обобщение и систематизация знания школьного курса математики, имеющиеся у
будущего учителя математики, а также пополнение эти знания новыми фактами;
2) овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения
математических дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной
специальности на современном уровне;
3) развитие логического мышления, алгоритмической культуры, развитие
математической интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для
продолжения образования и в будущей профессиональной деятельности;
4) воспитание средствами математики культуры личности.
Важнейшей задачей курса является формирования умений и навыков решения задач
различного уровня сложности, в том числе и повышенной. Для решения этой задачи на
самостоятельную работу выносится большое количество задач по различным темам
дисциплины.
Предлагаемая дисциплина должна подготовить
студентов к квалифицированному
проведению всех типов учебных занятий по математике в средних учебных заведениях,
включая факультативные курсы и кружки.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- свободно владеть основными определениями, формулами и фактами по темам курса;
- знать основные понятия школьного курса математики, с точи зрения заложенных в них
фундаментальных математических идей;
- уметь применять теоретические знания к решению задач элементарной математики;
- знать стандартные приемы и традиционные методы решения задач и уметь применять их при
решении задач различного уровня сложности.
Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля
Семестр (2,3)
98
28
12
16
70
Зачет во 2 и3 сем.
Примерный тематический план
№
Наименование
п/п
раздела дисциплины
1.
Арифметика.
Делимость: свойства делимости. Основная
теорема арифметики. НОД и НОК. Алгоритм
Евклида. Представление рациональных чисел в
виде q- ичной дроби.
2.
3.
Систематические числа: Целые
систематические числа и арифметические
операции над ними в различных системах
счисления. Способы перевода из одной
системы счисления в другую. Признаки
делимости. Систематические дроби.
Комбинаторика: метод математической
индукции. Бином Ньютона. Сочетание,
размещение и перестановки.
Всего
часов
Аудиторные занятия
лекц. сем. сам.р.
8
1
1
6
11
1
2
8
Самост. работа
Отношение делимости
в кольце целых чисел.
Бесконечность
множества простых
чисел в натуральном
ряду и некоторых
арифметических
прогрессиях.
Различные способы
факторизации
натуральных чисел.
Арифметические
функции: y=[x],
y={x}, y=||x|| и др.
Критерий обращения
обыкновенной дроби
в конечную, чисто
периодическую и
смешанную
периодическую qичную дробь.
Вычисление длины
периода и
предпериода q- ичных
дробей.
Метод включения и
исключения.
Комбинаторные
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Комбинаторные задачи на вычисление
вероятности. Комбинаторные тождества.
Контрольная работа
Тождественные преобразования
рациональных и иррациональных
выражений.
Общая теория уравнений (неравенств)
(Равносильность; уравнение-следствие
данного; теоремы равносильности;
некоторые приемы и методы решения
уравнений, неравенств). Рациональные
уравнения и неравенства, их системы.
Итого по второму семестру:
Определение, свойства модуля.
Равносильные утверждения, содержащие
модуль. Уравнения и неравенства,
содержащие переменную под знаком
модуля, их системы.
Иррациональные уравнения и
неравенства.
Тождественные преобразования
показательных и логарифмических
выражений. Показательные,
логарифмические уравнения и
неравенства, их системы.
10.
Классические неравенства и неравенства,
связанные с ними.
11.
Элементарные функции (свойства,
графики). Различные способы
определения элементарных функций.
Построение графиков сложных функций
на основе свойства монотонности.
12.
Контрольная работа.
Итого по третьему семестру:
Общая трудоемкость:
формулы.
9
1
2
7
1
1
6
1
6
12
2
2
8
48
6
8
34
14
2
10
2
10
2
8
12
2
2
8
6
1
1
4
7
1
1
50
98
6
12
6
1
8
16
36
70
Понятие тождества,
тождественных
преобразований.
Классификация
алгебраических
выражений.
Определение и
свойства
арифметического
корня n-ой степени.
Определение
уравнения, корня
уравнения, решение
неравенства, понятие
ОДЗ. Метод
интервалов. Задачи на
составление
уравнений, неравенств
и их систем.
Геометрический
смысл модуля,
свойства модуля.
Определение,
свойства и график
функции y= n x .
Определение и
свойства степени,
логарифма.
Определение,
свойства и графики
показательной,
логарифмической
функций.
Способы
доказательств
неравенств.
Геометрические
преобразования
графиков.
Графическое решение
уравнений,
неравенств, их систем.
Содержание дисциплины
I.
Арифметика.
1. Делимость.
Свойства делимости. Основная теорема арифметики. НОД и НОК, их свойства.
Алгоритм Евклида и его приложения. Неопределенные уравнения.
2. Систематические числа.
Целые систематические числа. Арифметические операции над целыми числами в
различных системах счисления. Способы перевода из одной системы счисления в
другую. Признаки делимости в различных системах счисления.
Систематические дроби. Определение q-ичной дроби. Представление рационального
числа в виде q-ичной дроби. Перевод обыкновенных дробей в q-ичные и обратный
перевод.
3. Комбинаторика.
Метод математической индукции. Бином Ньютона. Сочетания, размещение и
перестановки. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности. Комбинаторные
тождества.
II.
Алгебра.
1.
Элементарные функции и тождественные преобразования выражений.
Элементарные функции: определения, свойства, графики. Различные способы
определения элементарных функций. Построение графиков сложных функций.
Тождественные преобразования рациональных, иррациональных, показательных и
логарифмических выражений.
2.
Уравнения и неравенства.
Алгебраические, рациональные, иррациональные уравнения и неравенства.
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
Показательные, логарифмические уравнения и неравенства.
Классические неравенства и неравенства, связанные с ними
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Методические рекомендации преподавателю
По каждой теме дисциплины предполагается проведение аудиторных занятий и
самостоятельной работы: чтение лекций, решение задач, разработки реферативных сообщений,
вопросы для контроля знаний.
Для подготовки студентов к практическим занятиям преподаватель должен определить
основные вопросы,
проблемы, задачи, выносимые на обсуждение, рекомендовать
дополнительную учебную и периодическую литературу, рассказать о порядке и методике их
проведения.
Методы проведения практических занятий весьма разнообразны. Наиболее
распространенными являются: решение задач и упражнений, вопросно-ответные,
дискуссионные (поиск решения задач), научных сообщений по отдельным вопросам темы,
реферирование, решение тестов, выполнение контрольных работ и другие.
Важное место занимает подведение итогов практических занятий: преподаватель должен
не только раскрыть теоретическое значение изучаемой темы, но и выделить основные методы
решения задач, приложение данных вопросов в школьном курсе математики.
Методические рекомендации студенту
В соответствии с учебным планом соответствующей специальности дисциплина
«Практикум решения задач элементарной математики» изучается студентами заочного
отделения в 2-3 семестрах.
Успешное изучение курса требует от студентов посещения лекций, активной работы на
практических занятиях, выполнения всех учебных заданий преподавателя, ознакомления с
базовыми учебниками, основной и дополнительной литературой.
Запись лекции - одна из форм активной самостоятельной работы студентов, требующая
навыков и умения кратко, схематично, последовательно и логично фиксировать основные
положения, выводы, обобщения, формулировки. В конце лекции преподаватель оставляет
время (5 минут) для того, чтобы студенты имели возможность задать уточняющие вопросы по
изучаемому материалу.
Лекции имеют в основном обзорный характер и нацелены на освещение наиболее
трудных вопросов, а также призваны способствовать формированию навыков работы с научной
литературой. Предполагается также, что студенты приходят на лекции, предварительно
проработав соответствующий учебный материал по источникам, рекомендуемым программой.
Практическое занятие - важнейшая форма самостоятельной работы студентов над
научной, учебной и периодической литературой. Именно на практическом занятии каждый
студент имеет возможность проверить глубину усвоения теоретического материала, показать
умения решать задачи по определенным темам. Работа на практическом занятии позволяет
студенту соединить полученные теоретические знания с решением конкретных задач.
Практические занятия в равной мере направлены на совершенствование
индивидуальных навыков решения теоретических и прикладных задач, выработку навыков
интеллектуальной работы, а также ведения дискуссий. Конкретные пропорции разных видов
работы в группе, а также способы их оценки, определяются преподавателем, ведущим занятия.
Основным методом обучения является самостоятельная работа студентов с учебнометодическими материалами, научной литературой.
Основной формой итогового контроля и оценки знаний студентов по дисциплине
«Элементарная математика» является зачет в 3 семестре.
Перечень примерных контрольных вопросов
Алгебраическое выражение, в котором к переменным применена операция извлечения
арифметического корня, называется … выражением.
2.
Формула (a  b) n  a n  c1n a n 1b  ...  c nk a n  k b k  ...  b n называется формулой …
3.
Если многочлен Р (х) делится нацело на двучлен (х-а), то число а называется …
многочлена.
4. Многочлен при P( x)  x n  a n и всех натуральных n=2m+1 делится нацело на двучлен …
5 . Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть лишь делители …
члена многочлена. 1) первого; 2) второго; 3) свободного; 4) старшего; 5) главного.
6. Для любых двух многочленов Р(х) и Т(х), где Т(х)0, существует пара многочленов q(x) и
r(x) (причем степень r(x) меньше степени Т(х)) таких, что …
а) Р(х) = q(x) ∙ Т(х) + r(x); б) Р(х) = Т(х)∙ r(x) + q(x); в) Р(х) = Т(х)+ q(x) + r(x); г) Р(х) = q(x) ∙
r(x) + Т(х)
7. Суммы коэффициентов членов разложения (а+в)n , находящихся на четных и на нечетных
местах, …а) взаимообратны; б) равны; в) неравны; г) противоположны.
8. Соответствие между записью выражения и названием его вида
1.
3 (а 2  в 2 )
 abc
(m  n)  xy
рациональное;
2. a 0 xn+a 1 xn-1+...+a т1 x+a т
а) трансцендентное;
1.
б) иррациональное; в) целое –
г) дробно-рациональное; д) однородное;
е) приведенное
3. х  у  х у  2
4. sin2 x+ cos x+10cos2 2x
9. Дописать формулу а3-в3 = …
10. Дописать формулу … = = а3+в3+3ав(а+в)
11. Число (числа) кратное (кратные) 7 … 1) 1026 -326 ; 2) 1133+233 ; 3) 1133- 233 ; 4) 1026 +326; 5)
1219-519 ; 6) 1219+519
1
1
12. . Значение выражения х - равно 2, тогда значение выражения х 2  2 равно …
1) 6;
х
х
2) 2; 3) 0; 4) - 6.
Соответствие левой части формулы (при условии ее существования) правой части
2n
a
a
a
13. 2 n а 2 k  … 2. (2 n а ) 2 k  … 3. 2 n =… 4. 2 n  …
а) 2n a k 2 б) n a k в) (n a ) k г) 2 n
b
b
b
2n
д)
2n
a
b
е)
2n
a
2n
b
14. Значение выражения (3 9  3 6  3 4 )(3 3  3 2 ) равно…
4
15. Значение выражения
16. Знаменатель дроби
17. Выражение
18.
42 34 4 2 3
0,5
1
3 1
равно …
после исключении иррациональности равен …
9  4 5 равно…
3  2 2  3  2 2 равно…
Выражение
19. Выражение (
с
с 1  с
2
2
1 3
3
с
3
) 1 равно…
1.
3
с ; 2.
с ; 3.
с 3 ; 4. с-1/2
20. Последовательность чисел расположенных в порядке возрастания. 1) 2 3 2) 0 3)
42 3
4) 1- 3 5) 2
21. Уравнение х  в на множестве М= [0;) не имеет решения если …
x2
…
2
 g ( x) 2 n при f(x)≥0 и g(x)≥0 …
22. Область определения функции f ( x)  8 
23. Уравнения f(x)=g(x) и f ( x) 2 n
24. Наименьшее целое значение функции f ( x)  9  6 х  х 2 равно …
25. Количество действительных корней уравнения х 2  х  1  х 2  2 х  1  0
Варианты ответов: 1. Один действительный корень.
2. Нет корней.
действительных корня. 4. Четыре действительных корня.
3. Два
66. Корни уравнения х2+ х 2  20  22 принадлежат промежутку…
Варианты ответов: 1. (-5;5) ; 2. (-5;0); 3. (0;5); 4. (–4;0).
27. Корни уравнения
х 2  2 х  10  6 х 2  2 х  2  4  9( х  1) 2 принадлежат промежутку…
Варианты ответов: 1. (1; 3); 2. (0;1); 3. [-1;1]; 4. (-1; 0).
28. Дописать формулу
29. Дописать формулу
2n
а 2k 
2n
a
2n
b
=
30. Соответствие функции у  ( х  2)( х  4) и области ее определения.
Варианты ответов: 1) (-4;2); 2) (-;-4) (2; ); 3) (-;-4)[2; ); 4) [2; );
5) (-;-4] [2; ); 6) (-;-4]  (2; ).
х2
31. Соответствие функции у 
и области ее определения.
х4
Варианты ответов: 1) [2; ); 2) (-;-4]  (2; ); 3) (-;-4)[2; ); 4) (-4;2);
5) (-;-4] [2; ); 6) (-;-4) (2; ).
32. Соответствие равенства множеству, на котором оно справедливо.
1. х  5   х  5
а) [-5;)
2. х  5  5  х
б) [5;)
3. х  5  5  х
в) (-;-5]
4. х  5  х  5
г) (-;5]
33. Корни уравнения
д)(-;-5] [5;)
е) [-5;5]
2
х  4  1 х  х  0 …
34. Корни уравнения
х2 1  1 х  0 …
35. Корни уравнения
х  5  х 2  2  1 …
56. Корни уравнения
х  5  2  1 …
37. Между выражениями а и а стоит знак …
38. Между выражениями а2 и а2 стоит знак …
39. Между выражениями а+в и а+ в
стоит знак
40. Между выражениями ав и ав стоит знак …
41. Между выражениями а - в и а-в стоит знак …
42. Соответствие левой части формулы ее правой части.
n!
1. С тл =
а) =
m!
(n  m)!
2. А mn =
б) =
m!n!
3. Р n =
в) = n!
n!
г) =
(n  m)!
n!
д) =
m!(n  m)!
3  2x
43. Функция f ( x) 
принимает значения меньшие нуля при х из промежутка
4x  1
(промежутков) …
2. Сумма целых решений неравенства
2
2
2
( х  1) 3  х ( х  4)( х  4 х  4) <0 равна …
1
 1 0
х3
45. Решением неравенства (х – 3)3 (х +3)2 (х2+х+1) (х2-1) 0 является n промежутков, где n
равно …
х2
46.
Решение неравенства
3
2х  3
Варианты ответов:
1) (-  ;1)  (2,2;  ) 2) (1; 2,2) 3) (2,2;  ) 4) [2,2;  )
44.
Сумма целых решений неравенства
47. Соответствие неравенства его решению.
х 1
1.
а) [ -2;)
0
( х  2) 2
х 1
2.
б) (-2;1)[1;)
0
( х  2) 2
х 1
0
3.
в) (-;-2](-2;1)
( х  2) 2
х 1
0
4.
г) [1;)
( х  2) 2
д)(1;)
е) ( -;-2)(-2;1]
48. Соответствие неравенства и его наименьшего целого решения.
1. (х-1)(х+4) 0
а) -2
2. (х-1)х2(х2+2) 0
б) -1
3. (х+2)(х-2)<0
в) 0
2
4. (x+2)(x -2) 0
г) -4
д) 2
е) 1
174
49. Число 3 заканчивается цифрой …
50. Число N = a1a2 ...an1an делится на 11, если на 11 делится …
Варианты ответов:
5)
1) а1  а2  ...  аn 2) a n
3) a n 1  a n 4) an1an
a1  a 2  a3  a 4  ...  (1) n a n
Примерная тематика рефератов
1. Принцип Дирихле и его применение при решении задач.
2. Элементы теории графов в задачах.
3. Метод математической индукции и его применение при решении задач элементарной
математики.
4. Прогрессии.
5. Комбинаторные задачи в геометрии.
6. Признаки делимости в различных системах счисления.
7. Неравенства о «средних» и их применение.
8. Олимпиадные задачи на применение основного свойства простого числа.
9. Олимпиадные задачи на составление уравнений и их систем.
10. Математические фокусы в задачах.
Перечень примерных вопросов к зачету
1. Основные теоремы равносильности уравнений.
2. Алгебраическое уравнение n-ой степени с одним неизвестным и его корни.
3. Трехчленные уравнения, приводимые к квадратным.
4. Симметрические уравнения.
5. Алгебраическое уравнение n-ой степени с рациональными коэффициентами.
6. Простейшие иррациональные уравнения .
7. Метод замены переменных.
8. Графический метод решения уравнений.
9. Решение уравнений вида ах 2  вх  с  ах 2  вх  d  е .
10. Метод сведения иррациональных уравнений к решению систем
симметрических уравнений .
11. Решение уравнений вида 3 f ( x)  3 g ( x)   ( x) .
12. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
13. Решение уравнений вида ((х))=х.
14. Основные свойства числовых неравенств.
15. Основные теоремы равносильности неравенств.
16. Решение рациональных неравенств методом интервалов.
17. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
18. Основные методы решения иррациональных неравенств.
19. Рационализирующие подстановки.
20. Решение неравенств на основе свойств функций.
Критерии оценки знаний студентов на зачете
Оценка «зачтено» выставляется студенту, который
- прочно усвоил предусмотренный программный материал;
- правильно, аргументированно ответил на все вопросы;
- показал глубокие систематизированные знания, владеет приемами решения
нестандартных задач;
- правильно решает задачи олимпиадного уровня.
Дополнительными условиями получения оценки «зачтено» могут стать хорошие
результаты при выполнении самостоятельных, контрольных работ, активная работа на
семинарских занятиях, успешное участие в предметной олимпиаде по элементарной
математике.
Оценка «не зачтено» выставляется студенту, который не справился с 50% вопросов и
задач билета, в ответах на другие вопросы допустил существенные ошибки. Студент не может
ответить на дополнительные вопросы, предложенные преподавателем.
Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Харди, Годфри Г. Неравенства [Текст] / Г. Харди ; Д.Е. Литлвуд, Г. Полиа; пер. с англ. В.И.
Левина; с доп. В.И. Левина, С.Б. Стечкина. - 3-е изд. - М. : КомКнига : УРСС, 2008. - 456 с. Список лит.: с. 442-456. - ISBN 5-382-00434-1 : 333.00. (Библиотека университета)
2. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. Издательство: ФИЗМАТЛИТ,
2011 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://knigafund.ru / books55410.)
3. Хорошилова Е.В. Элементарная математика. Часть 1: Теория чисел. Алгебра: Учебное пособие
для старшеклассников и абитуриентов. Хорошилова Е.В.
Издательство: Издательство МГУ, 2010 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа:
http://knigafund.ru / books55410.)
Дополнительная литература
1. Быльцов, Сергей Федорович.Занимательная математика для всех [Текст] / С. Ф. Быльцов. СПб. : Питер, 2005. - 349,[2] с. : ил. - ISBN 5-94723-726-1 : 92.00. (Библиотека университета).
2.Глухова, Людмила Уриковна. Практикум по решению задач элементарной математики [Текст] :
(пособие для студентов физ.-мат. факультета) / Л. У. Глухова; В. П. Глухов; Ульян. гос. пед. ун-т
им. И.Н. Ульянова. - Ульяновск : УлГПУ, 2007. - 139 с. - ISBN 978-6-86045-204-6 : 50.00.
(Библиотека университета).
3.Гусев, Валерий Александрович. Практикум по элементарной математике. Геометрия [Текст] :
учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. / В.А. Гусев ; В.А. Гусев,
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Просвещение, 1992. - 351 [1]
с. : ил. - ISBN 5-09-003840-6 : 17.00.
(Библиотека университета).
4.Математика. ЕГЭ 2008.Типовые тестовые задания [Текст] : 10 вариантов решений, ответы и
решения, бланки ответов, критерии оценок : [для общ. и проф. образования] / Т.А. Корешкова.
Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева. - М. : Экзамен, 2008. – 78c.
5.Попов, Г. Н. Исторические задачи по элементарной математике [Текст] / Г. Н. Попов. - 2-е изд.
- М. : Вузовская книга, 2007. - 214,[1] с. : ил. - ISBN 5-9502-0267-8: 244.50. (Библиотека
университета)
6.Шарыгин, Игорь Федорович. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами [Текст] / И.
Ф. Шарыгин ; Р. К. Гордин. - : Астрель ; : АСТ, 2001. - 396,[1] с. : ил. - ISBN 5-271-01560-2 :
74.00.
(Библиотека университета).
7.Шелаев А.Н.Нестандартные и олимпиадные задачи по неэлементарной и высшей математике:
Учебное пособие Издательство: МИСиС, 2004 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа:
http://knigafund.ru / books55410.)