Элементарная теория

 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
Элементарная теория
предела последовательности
Числовые последовательности.
f : N  X  последовательность (элементов множества X )
f : N  R  числовая последовательность (последовательность вещественных чисел)
Обозначения
xn  n-й член последовательности
(xn)  последовательность
{xn}  множество значений последовательности
xnf(n)  формула общего члена последовательности
Примеры
1) последовательность (xn) чётных чисел: xn2n  формула общего члена
x2, x4, x6, x8, ...
{xn}  множество чётных натуральных чисел
1
1
1
1
2) xn 
x1, x , x , x , ...
n
2
3
4
Способы задания последовательности.
1. Формулой общего члена.
2. Рекуррентной формулой xnf( xn 1, xn  2, ..., xn  k ), если известны значения x, x, ... ,xk .
Примеры
1) xn xn1 3, x0
x, x6, x9, x12, ... ; формула общего члена: xn3(n1)
2) последовательность Фибоначчи (un): un un 1  un  2 ; u1 , u1


u2, u3, u5, u8, u13, u21, ...
3. Словесным описанием.
Примеры
1) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2:
2; 7; 12; 17; 22; ... , формула общего члена: xn5n3
2) последовательность цифр числа : 3; 1; 4; 1; 5; 9; ...
3) последовательность простых чисел
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если все её члены меньше
def
некоторого числа: (xn) ограничена сверху  MR | nN: xn<M.
Аналогично определяется ограниченная снизу последовательность:
def
(xn) ограничена снизу  mR | nN: xn>m.
Определение. Последовательность называется ограниченной, если она является одновременно
ограниченной сверху и ограниченной снизу.
Эквивалентные определения ограниченной последовательности:
def
1) (xn) ограниченна  m,MR | nN: m<xn<M;
def
2) (xn) ограниченна  M>0 | nN: |xn|<M.
Примеры
1) xnn ограничена снизу: nN: xn>0
2) xn2n ограничена сверху: nN: xn<1
1
3) xn 
ограниченна: nN: 0<xnm1
n
Элементарная теория предела последовательности.
-
-2
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
Определение. Последовательность xna (aR) называется постоянной последовательностью.
Определение. Последовательность (xn) называется финально постоянной, или устанавливающейся,
если она является постоянной, начиная с некоторого номера:
def
(xn) финально постоянная  nN, aR | n>n: xna.
Определение. Последовательность называется возрастающей, если каждый её член больше
def
предыдущего: (xn) возрастающая  nN: xn< xn1 .
def
Эквивалентное определение: (xn) возрастающая  n,mN: n<m  xn<xm.
Аналогично определяются убывающая, невозрастающая и неубывающая последовательности.
Например:
def
(xn) невозрастающая  nN: xnl xn1 , или
def
(xn) убывающая  n,mN: n<m  xn>xm.
Бесконечно малые последовательности.
Определение. Последовательность (n) называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно
малого положительного  (эпсилон) можно указать номер n (вообще говоря, зависящий от ) такой,
что каждый член последовательности с номером, большим n, по модулю меньше :
def
(n)  бесконечно малая  0 n()N| nn: |n|.
Примеры
1) n 0  бесконечно малая, т.к. nN: |n|0  0 n1 | nn: |n|0.
1
1
2) n   бесконечно малая. Докажем, что 0 nN| nn: .
n
n
1 
Зададимся сколь угодно малым положительным  и положим n   1.
 
def
Напоминание: [a]  kZ | kma<k1  целая часть a.
1 1
1
1
   1 

  (т. к. >0) 
Тогда по определению целой части
  
n0
1   1
  
1
1
1
1
1
  , т. е. 0 n   1 | nn:   .

, то
n
n
n n0
 
Теорема. Если последовательность (xn) с натуральными членами возрастает, то последовательность
( xn ) возр.
 1
 1
  является бесконечно малой:
    б/м.
 xn 
 xn   N   xn 
и т. к. n>n:
Доказательство. {xn}N  xl1; (xn) возр.  xn+1>xn и т. к. xn+1, xnN, то xn+1xnl1 
 1
1
1
1
1
1
 xnln 
m    б/м, т. к. 0 n   1 | nn:
m  .
xn n
xn n
 xn 
 
Примеры
 1
1
1) n  n б/м: xn2n возр. и {xn}N  по Теореме   б/м.
 xn 
2
1
1
2) n  2 б/м  аналогично, и вообще: kN: n  k б/м.
n
n
Элементарная теория предела последовательности.
-
-3
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
Теорема. Сумма бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая.
(n), (n) б/м  (n n) б/м.
def
def




Доказательство. (n) б/м   0 nN| nn: |n| ; (n) б/м   0 nN| nn: |n|
2
2
2
2


 >0 nmax{n,n} | nn: |n n| m |n| |n| <   .
2 2
Теорема. Разность бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая.
(n), (n) б/м  (n n) б/м.
Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, используя неравенство: |n n| m |n| |n|.
Примеры
1
1
2n  1
1) n  2
б/м, т. к. n  
.
n
n 1
n n
2) (n n) б/м  (n) и (n) б/м. Например, nn, nn, nn0  б/м.
Теорема. Бесконечно малая последовательность ограниченна: (n) б/м  (n) огр.
Доказательство. (n) б/м  0, nN| nn: |n|. Положим Amax{,||,||,...,|  n |} 
0
 nN: |n|mA (<A1)  (n) огр.
Теорема. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности  бесконечно малая
последовательность: (n) б/м, (xn) огр.  (xnn) б/м.
def
def


Доказательство. (xn) огр.  M>0 | nN: |xn|<M; (n) б/м  
0 nN| nn: |n|

M
M

 0  nN| nn: | xnn|M
  (xnn) б/м.
M
Следствие 1. Произведение бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая:
(n), (n) б/м  (nn) б/м.
Доказательство. (n) б/м  (n) огр.  (nn) б/м по Теореме (т. к. (n) б/м).
Следствие 2. Произведение бесконечно малой последовательности и константы  бесконечно малая
последовательность: (n) б/м, cR  (cn) б/м.
Доказательство. Непосредственно следует из Теоремы, т. к. xnc  ограниченная.
6
Пример: n 3 б/м.
n
Бесконечно большие последовательности.
Определение. Последовательность (xn) называется неограниченной, если для любого сколь угодно
большого положительного A найдётся член последовательности, по модулю превосходящий A:
def
(xn) неограниченная  A>0 nN| |xn|>A.
Примеры
1) xnn неогр., т. к. A>0 n[A]1 | |xn|[A]1>A.
n, n  2k
2) x n  
неогр., т. к. A>0 n2[A]2 | |xn|2[A]2>A
1, n  2k  1
(членами последовательности (xn) являются числа: 1; 2; 1; 4; 1; 6; 1; 8; 1; 10; 1; ...).
Определение. Последовательность (an) называется бесконечно большой, если для любого сколь
угодно большого положительного A можно указать номер n (зависящий от A) такой, что каждый член
последовательности с номером, большим n, по модулю больше A.
Элементарная теория предела последовательности.
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
-4
def
(an)  бесконечно большая  A0 n(A)N| nn: |an|.
Примеры
1) an(1)nn б/Б, т. к. A0 n[A]1 | nn: |an|n>[A]1.
n, n  2k
2) x n  
не является бесконечно большой, т. к. A2| nN n2n1| |xn|1<A.
1, n  2k  1
Лемма. Все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, не равны
нулю: (an) б/Б  NN| n>N: an0.
def
Доказательство. (an) б/Б  A0 nN| nn: |an|. Положим A1, Nn: NN| n>N: |an|>1, т. е. an0.
 1
Теорема. Последовательность   чисел, обратных членам бесконечно большой последовательности
 an 
(an), является бесконечно малой.
def
1
1
Доказательство. (an) б/Б   0 nN| nn: |an| . Заметим, что, в силу Леммы,


 1
последовательность   определена, начиная с некоторого номера N1, причём nlN.
 an 
Имеем: 0 nN| nn:
 1
1
    б/м.
an
 an 
 1
Теорема. Последовательность   чисел, обратных членам бесконечно малой последовательности
 n 
(n), ни один из членов которой не равен нулю, является бесконечно большой:
 1
(n) б/м и nN: n0    б/Б.
 n 
Доказательство. (n) б/м  
 1
1
1
1
0 nN| nn: |n|  A0 nN| nn:
   б/Б.
A
A
n
 n 
Предел последовательности.
Определение. Интервал (a, a) называется
-окрестностью точки a (>0).
Обозначение:

a
def
V  {xR| a<x<a}
(
a
|
a
)
a
R
Определение 1.
Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует такое
действительное число a, что в любой сколь угодно малой -окрестности числа a содержатся все члены
последовательности, кроме, быть может, конечного их числа.
Это означает, что какую бы -окрестность точки a мы ни
   (   |

  )   
взяли, все члены последовательности, начиная с
a
x x x a
a x x x R
некоторого номера (вообще говоря, зависящего от ), будут
принадлежать этой -окрестности.
def
(xn) сходится  aR| 0 n()N| nn: xnV a .
Заметим, что xnV a  |xna|.
Определение 2. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует такое
действительное число a, что для любого сколь угодно малого положительного  можно указать номер
Элементарная теория предела последовательности.
-
-5
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
n (вообще говоря, зависящий от ) такой, что каждый член последовательности с номером, большим
n, отличается от a на величину, по модулю меньшую, чем :
def
(xn) сходится  aR| 0 n()N| nn: |xna|.
Теорема. Число a, к которому сходится последовательность (xn), единственно.
(xn) сходится  !aR| 0 nN| nn: |xna|.
Доказательство. От противного. Пусть a,bR| 0 nN| nn: |xna| и |xnb|.
ba
2b  a
Положим 
 nN| nn: |xna| |xnb| 2 
. Но в силу неравенства
3
3
треугольника |xna| |xnb| l |xn a (xnb)|  |b a|  противоречие  a  b.
Графическая иллюстрация к доказательству теоремы.
(
|
)
(
|
)
Положив  меньшим, чем половина расстояния
a
a
a
b
b
b
между a и b, получим, что -окрестности точек a и b
не пересекаются, и все, начиная с некоторого номера,
члены последовательности (xn) не могут одновременно содержаться в обеих окрестностях.
R
Определение. Число a, к которому сходится последовательность (xn), называется её пределом.
Обозначения:
xn 
n   a
(xn) сходится к a при n, стремящемся к бесконечности, или
lim xn a
предел (xn) при n, стремящемся к бесконечности, равен a.
n 
Примеры
1) xnc   lim xn c
n 
2) (xn) финально постоянная  (xn) сходится к числу, на котором она устанавливается
3) (n) б/м   lim  n 0, т. к. 0 nN| nn: |n 0|
n 
Заметим, что, согласно Определению 2, последовательность (xna)  бесконечно малая.
Определение 3. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует
действительное число a, что последовательность (xna) является бесконечно малой.
такое
Три определения предела последовательности.
def
1) lim xn a  0 n()N| nn: xnV a .
n 
def
2) lim xn a  0 n()N| nn: |xna|.
n 
def
3) lim xn a  (xna)  бесконечно малая.
n 
Замечание 1. В силу Определения 3 любая сходящаяся к a последовательность (xn) представима в
виде xna  n, где (n)  некоторая бесконечно малая последовательность.
Замечание 2. Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют расходящимися.
Например, любая бесконечно большая последовательность расходится (но, разумеется, не каждая
расходящаяся последовательность является бесконечно большой  см. Замечание к следующей
теореме).
Замечание 3. То, что последовательность (an) является бесконечно большой, с помощью знака предела
обозначают так: lim an .
n 
Примеры:
1

lim 1   1
n
n
1  5  2n
5
n
2n
lim
Элементарная теория предела последовательности.
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
-6
Теорема. Любая сходящаяся последовательность ограниченна: (xn) сход.  (xn) огр.
def
Доказательство. (xn) сход.  aR| 0 nN| nn: |xna|  xna  axna 
 |xn|<max{|a|, |a|}. Положим Mmax{|a|, |a|, |x|, |x|, ..., | x n0 |}  nN: |xn|<M 
 (xn) огр.
Замечание. Не всякая ограниченная последовательность сходится. Например, xn(1)n
ограниченна (nN: |xnm1). Докажем, что она расходится, т. е. не имеет предела.
def
 lim xn  aR 0 | nN nn | |xna|. Действительно:
n 
1
| nN n2n1>n | |xna| ( 1) 2n0  1  a |1a||a1| и
2
1
a<0  | nN n2n>n | |xna| ( 1) 2n0  a |1a||a1|.
2
al0 
Иначе говоря, независимо от расположения на числовой прямой -окрестности с , меньшим 1,
бесконечно много членов (xn) останутся вне -окрестности. Значит, согласно Определению 1, никакое
действительное a не может служить пределом (xn).
Арифметика пределов.
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, то их сумма, разность и произведение также
сходятся, причём соответственно к сумме, разности и произведению пределов (xn) и (yn).
 lim xn a,  lim yn b  1)  lim  x n  yn  a  b ;
n 
n
n 
2)  lim  x n  yn  a b ;
n
3)  lim  x n  yn  a  b.
n
Доказательство. Пусть  lim xn a и  lim yn b. Тогда, согласно Определению 3, xna  n,
n 
n 
ynb  n, где (n), (n)  некоторые бесконечно малые последовательности.
1) xnyna b   n   n    lim  x n  yn  a  b по Определению 3. Аналогично
б/м
n
2) xnyna b   n   n    lim  x n  yn  a b и, наконец,
б/м
n
3) xnyn(a  n)(b  n)ab   nb   n a   n  n    lim  x n  yn  a  b.
б/м
n
Лемма. Если предел последовательности (yn) не равен нулю, то: 1) начиная с некоторого номера,
 1
каждый член последовательности не равен нулю, и можно определить последовательность   ;
 yn 
 1
2) последовательность   ограниченна.
 yn 
 1
 lim yn b  0  1) NN| n>N: yn0; 2)   огр.
n 
 yn 
b
b
b
nN| nn: |yn b| <

> |b  yn| 
n 
2
2
2
b
b
b

|yn| > |b  yn| |yn| l | b  yn yn |  |b|  |yn| > |b| 

> 0, т. е. yn0.
2
2
2
Доказательство. 1)  lim yn b  0  для 
Элементарная теория предела последовательности.
Таким образом,
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
-7
b
N  n   | n>N: yn0, и можно определить последовательность
2
 1
  , начиная с номера N1.
 yn 
|
(
0
b
b
2
|
)
b
b
b
2
R
Графическая иллюстрация к доказательству леммы.
Положив  меньшим, чем половина модуля b, получим, что точка 0 лежит вне
-окрестности точки b, а значит, ни один из членов последовательности, начиная с некоторого
номера, не может равняться нулю (рисунок  для случая b>0). Согласно Определению 1:
nN| nn: ynV
b
b
2
 yn0, т. к. 0V
b
b
2
.
2) Мы доказали, что если  lim yn b  0, то NN| n>N: |yn| >
n 
b

2
2
1
<

yn b
 1
 1
   ограниченна (учитывая, что   определена, начиная с номера N1).
 yn 
 yn 
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, причём предел (yn) не равен нулю, то их
частное сходится к частному их пределов.
x
a
 lim xn a,  lim yn b  0   lim n  .
n   yn
n 
n 
b
 xn 
 начинается с номера N
 yn 
Замечание. Согласно Лемме, считаем, что последовательность 
такого, что для всех nlN выполняется yn0.
x
a
Доказательство. По условию xnan, ynbn, где (n), (n) б/м. Докажем, что  n   б/м.
 yn b 
x n a xn b  yn a a   n b  b   n a ab   n b  ab  n a 1  n b   n a 1
 





yn b
yn b
yn b
yn b
yn
b
yn

 1 
  огр. по Лемме 
1

 yn 
 
yn
b 


  n   n  б/м

a 


b 

  n  n 

a 
x
x
a
a
b 

   n   n  б/м   n   б/м   lim n  .

n   yn
b
a 
 yn b 
Предел и неравенства.
Теорема. Если все (начиная с какого-то номера) члены сходящейся последовательности
1) строго меньше; 2) не превосходят некоторого числа, то её предел не превосходит этого числа:
 lim xn a, NN| nN :
1) xn < b  a m b;
n 
2) xn m b  a m b.
Доказательство. От противного. Пусть a > b  для   ab nN| nn: |xna|<ab 
 a xn < a b  xn > b противоречит условию xn < b (или xn m b).
Теорема.  lim xn a,  lim yn b, nN| nn:
1) xn < yn  a m b;
n 
n 
2) xn m yn  a m b.
Доказательство. Рассмотрим последовательность (yn  xn).
Элементарная теория предела последовательности.
nn:
yn  xn >0
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
-8

yn  x n l0  lim yn  lim xn l0  bal0  amb.
  lim
n 
n 
n 
или yn  xn l 0 


Замечание. Таким образом, при предельном переходе нестрогое неравенство сохраняется, а строгое
неравенство превращается в нестрогое.
Теорема.  lim xn a,  lim yn b, a < b  nN| nn: xn < yn .
n 
n 
Доказательство. Пусть cR и a  c  b.
Для ca nN| nn: |xn a| < c a  xn  a < c a  xn < c.
Для bc nN| nn: |yn b| < b c  b  yn < b c  yn > c.
Положим nmax{n, n}  nn: xn < c < yn , т. е. xn < yn .
Теорема (о промежуточной последовательности).
Пусть lim xn  lim zn a и nN: xn m yn m zn   lim yn a.
n 
n 
n 
Доказательство. lim xn a  0 nN| nn: |xna|  axn  axn .
n 
lim zn a  0 nN| nn: |zna|  zna  zna .
n 
0 nmax{n, n} | nn: a<xnmynmzn<a  a<yn<a  |yna|,
т. е. 0 nN | nn: |yna|   lim yn a.
n 
Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема (Вейерштрасса, о сходимости монотонной последовательности).
Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится.
Без доказательства.
Замечания.
1) Доказательство теоремы выходит за рамки изложенной элементарной теории предела
последовательности. Необходимо более точно определить множество действительных чисел.
2) Можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для невозрастающих
последовательностей. Достаточным условием сходимости невозрастающей последовательности является
её ограниченность снизу: невозр. (xn) огр. снизу  (xn) сход.
3) Возрастающая последовательность является неубывающей, и теорема верна и для строго
монотонных последовательностей: возр. (xn) огр. сверху  (xn) сход.
Аналогично: убыв. (xn) огр. снизу  (xn) сход.
4) Условие ограниченности является, разумеется, необходимым для сходимости. Можно
сформулировать
критерий
сходимости
монотонной
последовательности:
неубывающая
последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху.
Аналогично: невозр. (xn) сход.  (xn) огр. снизу.
Примеры
n
1) xn  n ограничена снизу: xn>0. Докажем, что (xn) не возрастает.
2
n 1 n
xn m xn  n  1 m n  (n 1) 2 n m n 2n  1  n 1 m 2n  n l 1  верно, т. к. nN.
2
2
(xn) не возрастает и ограничена снизу  (xn) сходится по Теореме Вейерштрасса.
Элементарная теория предела последовательности.
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
-9
Теореме Вейерштрасса



 lim q n a.
Заметим, что
2) xn  q n , где 0 < q < 1, убывает q n  1  q n q < q n
n

и ограниченна 0 < q n < 1 . Значит, по
lim x n 1  lim x n
n 
n 
для любой
сходящейся последовательности (xn) (( xn 1 )  последовательность чисел x, x, x, ... ),
т. к. отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на её
сходимость к определённому числу.
lim q n 1  lim q n  q lim q n  lim q n  qa  a  a(q  1)  0  a  0, т. к. q < 1.
n
n
n
n
Итак, последовательность xn  q (0 < q < 1) бесконечно малая.
n
lim q n 0 (0 < q < 1)  0 nN| nn: | q n |.
n
Рассмотрим теперь последовательность

yn  q n ,
где
1 < q < 0.
Ясно, что
| yn | 
| q |  | xn |, поэтому 0 nN| nn: | yn |  lim q 0 (1 < q < 0).
n
n
n
Очевидно, lim q 0 при q  0. Таким образом, мы доказали, что lim q n 0 при |q| < 1.
n
n
n
Замечание. Если lim x n 0,
n 
то
lim x n 0
n 

это непосредственно следует из определения
бесконечно малой последовательности. Последовательности, сходящиеся к отличному от нуля числу,
этим свойством, вообще говоря, не обладают. Например, lim ( 1) n 1, но последовательность xn
n 
 ( 1)
n
расходится.
Числовой ряд (определение).
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Определения.
Пусть (an)  некоторая числовая последовательность.

 an  a a a a . . .an  . . . числовой ряд.
n 1
an  n-й член ряда.
(an)  последовательность общего члена ряда.
sn  a a a . . .an  n-я частичная сумма ряда.
(sn)  последовательность частичных сумм ряда.

 an называется расходящимся, если (sn) расходится.
n 1

 an называется сходящимся, если (sn) сходится.
n 1
sR называется суммой ряда (сходящегося), если lim sn  s.
n

То, что ряд сходится к числу s, обозначают так:  an  s.
n 1
Примеры


1
n 12

n

, 
n 1n

2
  1
2 
.
 сходящиеся ряды   2 
6
 n 1n
1
(гармонический ряд)  расходящиеся ряды.
n 1n
n , 
n 1
1
Элементарная теория предела последовательности.
- 10
-
 Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.
Утверждение (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

 an сход.  lim an 0.
n 
n 1
Без доказательства.
Определение. Геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, называется
бесконечно убывающей (по модулю).
bn  b1  q n 1 , где |q| < 1,  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Утверждение. Числовой ряд, составленный из элементов бесконечно убывающей геометрической
b1
прогрессии с первым членом b и знаменателем q, сходится к числу
.
1 q

b1
bn  b1  q n 1 , |q| < 1   bn 
.
1 q
n 1
Доказательство.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии с
первым членом b и знаменателем q составим последовательность частичных сумм
ряда:
b1  1  q n
b1
b
 b


sn 
  1  1  q n  
, т. к. lim q n 0 при |q| < 1 и
n

n
1  q 1  q

1 q
1 q


b1
 q n 
n   0 (произведение постоянной и бесконечно малой).
1 q

b1
b1
Итак,  lim sn 
  bn 
.
1 q
1 q
n
n 1
Пример


1
n 12
n
1
1

1  b1  , q   .

2
2