010400 Математический анализ

1 Цели и задачи дисциплины
1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место
квалификационных требований ФГОС)
в
подготовке
бакалавра,
специалиста
(с
учетом
Цель преподавания дисциплины – создать базу для изучения ряда других математических и
экономико-математических дисциплин, использующих теоретические сведения и практические
навыки решения задач, а также непосредственного использования отдельных разделов дисциплины
для построения и анализа экономико-математических моделей. С другой стороны, изучение
математического анализа представляет хороший материал для совершенствования культуры
математического мышления.Задачи: повышение уровня фундаментальной математической
подготовки студентов.
1.2. Требования к уровню усвоения дисциплины
Обучающийся должен знать: основные понятия математического анализа, дифференциальных
уравнений; основы векторного анализа и элементы теории поля.
Обучающийся должен уметь грамотно употреблять математическую символику для выражения
количественных и качественных отношений объектов; последовательностей и функций,
производных и дифференциалы первого и высших порядков; применять производные к решению
задач оптимизации; вычислять первообразные функции (в простейших функциях), определенные
интегралы, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; решать обыкновенные
дифференциальные уравнения.
Обучающийся должен владеть математическими методами как особом способе познания мира,
общности ее понятий и представлений, широте области ее применения; математического
моделировании.
У обучающегося должны быть сформулированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и
профессиональные компетенции (ПК): ПК-1 – способность демонстрации общенаучных базовых
знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой; ПК-2 – способность
приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные
и информационные технологии; ПК-11 – способностью приобретать и использовать
организационно-управленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности.
1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих дисциплин с
указанием разделов (тем)
Перечень последующих дисциплин, видов работ
1.
Математические
модели
экономики
2.
Математические
методы
финансового анализа.
3.
Теория
вероятностей
и
математическая статистика.
4. Дифференциальные уравнения.
5. Финансовый менеджмент.
6. Дополнительные главы теории
вероятностей
1. Функциональный анализ.
2. Теория случайных процессов.
3. Микроэкономика - 2 (математические модели)
4. Макроэкономика - 2 (математические модели)
5. Математическая теория риска.
6. Математические модели инвестиций.
7. Уравнения математической физики.
8. Эконометрика.
9. Математические методы инвестиционного анализа.
10. Дифференциальная геометрия.
11. Численные методы.
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя.
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение
содержания предмета, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования;
обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента;
направлены на приобретение знаний, умений, навыков и их закрепление.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
М
Показательный (изложение материала с приемами показа)
П
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Д
Эвристический (под руководством преподавателя студенты рассуждают, решают
возникшие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную Э
задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательство
ПБ
пути ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе решения
И
проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических ПГ
средств)
Метод безукоризненного решения задачи (другой метод, преподаватель ставит перед
студентом задачу, показывает пути решения аналогичной задачи и добивается от БР
студента безукоризненного решения поставленной задачи)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.
2.1. – 2.4. дается его наименование, необходимые пояснения.
2.1. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские).
1 семестр.
Реализуемые
компетенции
Методы
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Кол. час
Неделя
Вид занятия, тема и краткое содержание
Очная форма обучения
Первый семестр
Лекции
1 –8 16
2
Модуль 1 «Введение в анализ»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-1
ПГ, БР
Тема «Основные понятия теории множеств»
1
2
–
Аксиоматическое определение множества R действительных
чисел в виде линейно упорядоченного поля. Числовая ось.
Множество, подмножество, элемент множества. Операции
над множествами.
ПБ
ПК-1
М, Д
ПК-1
Э
ПК-1
Тема «Основные числовые множества»
2
–
2
Натуральные числа. Принцип математической индукции.
Неравенства Бернулли. Формула бинома Ньютона. Принцип
Архимеда и его следствия. Аксиома непрерывности поля R в
форме аксиомы отделимости числовых множеств. Целые
числа. Свойства плотности множества рациональных и
иррациональных чисел.
Тема «Основные числовые множества»
2
3
–
Свойства верхней и нижней граней числовых множеств.
Точная нижняя и верхняя грани. Принцип вложенных
отрезков. Дедекиндово сечение. Сравнение числовых
множеств. Счетность множества целых чисел. Несчетность
множества R действительных чисел.
Тема «Функции и пределы»
Понятие функции, синонимы, частные случаи (отображение,
преобразование, морфизм, функционал, оператор). Обратная
функция,
композиция
функций.
Предел
числовой
последовательности.
Основные
свойства
пределов
последовательностей. Бесконечно малые (б.м.), бесконечно
большие (б.б.) последовательности. Предел монотонной
последовательности. Первый и второй замечательные
пределы. Число е. Частичные пределы числовой
последовательности. Теорема Больцано о выделении
сходящейся
подпоследовательности. Критерий
Коши
существования предела последовательности. Лемма о
вложенных сегментах. Лемма о конечном покрытии. Лемма о
предельной точке (теорема Вейерштрасса).
2
4
И
ПК-1
Д
ПК-1
ПБ
ПК-1
Тема «Функции и пределы»
2
2
5
Предел функции в точке. Определение, примеры, отрицание.
Предел функции в точке по Гейне. Эквивалентность понятий
предела по Коши и по Гейне. Арифметические операции над
пределами. Переход к пределу функций в неравенствах.
Предел промежуточной функции. Свойства б.м. и б.б.
функций. Определение базы. Наиболее употребительные в
анализе базы. Предел функции по базе. Б.м. и б.б. функции
по базе. Связь между ними. Односторонние пределы. Предел
композиции функций по базе. Второй замечательный предел
как предел по базе.
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
Непрерывность функции в точке и на множестве.
Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их
классификация. Локальные свойства непрерывных функций.
Глобальные свойства непрерывных функций на сегментах.
2
–
6
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
7
2
–
Две теоремы Больцано-Коши, две теоремы Вейерштрасса.
Построение показательной функции на основе теории
пределов и непрерывности. Логарифмическая и
показательная функции. Гиперболические функции обратные
гиперболические функции.
Э
ПК-1
МД
ПК-1
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
2
–
Точки разрыва монотонной функции, конечность или
счетность их множества. Критерий непрерывности
монотонной функции. Теорема о существовании обратной
строго монотонной функции. Обратные тригонометрические
функции. Равномерная непрерывность функции на
множестве, не сегменте.
8
9-18 20
5
М, П, Д,
Модуль 2 «Дифференциальное исчисление функции одной
Э, ПБ, И, ПК-2
переменной»
ПГ, БР
Тема «Производная, дифференциал функции»
9
2
2
1
–
10
Определение производной функции в точке и на множестве.
Задачи, приводящие к понятию производной (механический
и
геометрический
смысл).
Дифференцируемость,
необходимые и достаточные условия. Связь непрерывности и
дифференцируемости. Односторонние и бесконечные
производные.
МД
ПК-2
Тема «Производная, дифференциал функции» Производная
композиции
функций.
Логарифмическое
дифференцирование Производная обратной функции.
Основные правила дифференцирования.
М
ПК-2
МД
ПК-2
Тема «Производная, дифференциал функции»
11
2
1
Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Свойства
дифференциала.
Инвариантность
формы
дифференциала Производная обратной функции. Основные
правила дифференцирования.
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
1
12
Параметрическое
дифференцирование.
Примеры.
Логарифмическое дифференцирование. Производные и
дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
ПБ
ПК-2
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
ПБ
ПК-2
ПБ
ПК-2
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
Тема «Основные теоремы дифференциального исчисления»
13
2
–
Теорема Ферма, Ролля, их геометрический смысл. Теорема
Лагранжа, ее геометрический смысл. Следствия из теоремы
Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей вида 0/0 и  /  , примеры
Тема «Формула Тейлора»
2
-
Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Коши,
Лагранжа. Разложение элементарных функций по формуле
Тейлора-Маклорена. Приложение к нахождению пределов.
14
Тема «Монотонность и экстремумы функции»
15
2
–
Монотонные функции. Экстремумы функции. Исследование
функций на монотонность и экстремумы по первой
производной. Наибольшее и наименьшее значения
непрерывной функции на сегменте
Тема «Выпуклые и вогнутые функции»
2
–
16
Необходимое и достаточное условия выпуклости, вогнутости
дифференцируемой функции. Геометрический смысл
выпуклости, вогнутости.
Тема «Точки перегиба функции, полное исследование»
17
2
2
Необходимое, достаточное условие точки перегиба.
Асимптоты графика функции. Полная схема исследования
функции и построения графика
Тема «Классические неравенства»
18
2
–
Неравенства Йенсена, Гёльдера, Минковского. Сравнение
среднего геометрического со средним арифметическим.
Очная форма обучения
Первый семестр
Практические занятия
1–8
32
8
Модуль 1 «Введение в анализ»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-1
ПГ, БР
Тема «Основные понятия теории множеств»
2
-
1
Аксиоматическое определение множества R действительных
чисел в виде линейно упорядоченного поля. Числовая ось.
Свойства абсолютной величины действительного числа.
БР
ПК-1
Э
ПК-1
МД
ПК-1
МД
ПК-1
Д
ПК-1
И
ПК-1
Тема «Основные понятия теории множеств»
2
1
Множество, подмножество, элемент множества. Операции
над множествами.
Тема «Основные числовые множества»
2
1
2
Основные числовые множества. Натуральные числа. Принцип
математической индукции. Неравенства Бернулли. Формула
бинома Ньютона. Принцип Архимеда и его следствия
Тема «Основные числовые множества»
2
-
Аксиома непрерывности поля R в форме аксиомы
отделимости числовых множеств. Целые числа. Свойства
плотности множества рациональных и иррациональных
чисел.
Тема «Основные числовые множества»
2
–
3
Свойства верхней и нижней граней числовых множеств.
Точная нижняя и верхняя грани. Принцип вложенных
отрезков. Дедекиндово сечение.
Тема «Основные числовые множества»
2
–
Сравнение числовых множеств. Счетность множества целых
чисел. Несчетность множества R действительных чисел.
Тема «Функции и пределы»
2
2
4
Понятие функции, синонимы, частные случаи (отображение,
преобразование, морфизм, функционал, оператор). Обратная
функция,
композиция
функций.
Предел
числовой
последовательности.
Основные
свойства
пределов
последовательностей. Бесконечно малые (б.м.), бесконечно
большие (б.б.) последовательности. Предел монотонной
последовательности.
БР
ПК-1
ПБ
ПК-1
М
ПК-1
БР
ПК-1
ПБ
ПК-1
БР
ПК-1
Тема «Функции и пределы»
2
-
Первый и второй замечательные пределы. Число е.
Частичные пределы числовой последовательности. Теорема
Больцано о выделении сходящейся подпоследовательности.
Критерий Коши существования предела последовательности.
Лемма о вложенных сегментах. Лемма о конечном покрытии.
Лемма о предельной точке (теорема Вейерштрасса).
Тема «Функции и пределы»
2
1
Предел функции в точке. Определение, примеры, отрицание.
Предел функции в точке по Гейне. Эквивалентность понятий
предела по Коши и по Гейне. Арифметические операции над
пределами.
5
Тема «Функции и пределы»
2
–
Переход к пределу функций в неравенствах. Предел
промежуточной функции. Свойства б.м. и б.б. функций.
Использование
эквивалентных
преобразований
при
нахождении пределов.
Тема «Функции и пределы»
2
1
Определение базы. Наиболее употребительные в анализе
базы. Предел функции по базе. Б.м. и б.б. функции по базе.
Связь между ними. Односторонние пределы. Предел
композиции функций по базе. Второй замечательный предел
как предел по базе.
6
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры
2
–
исследования непрерывности функций в R 3 . Односторонняя
непрерывность. Точки разрыва и их классификация.
Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность
рациональных и тригонометрических функций.
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
2
–
7
Глобальные свойства непрерывных функций на сегментах.
Две теоремы Больцано-Коши, две теоремы Вейерштрасса.
М
ПК-1
Э
ПК-1
МД
ПК-1
МД
ПК-1
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
2
1
Построение показательной функции на основе теории
пределов
и
непрерывности.
Логарифмическая
и
показательная функции. Гиперболические функции, обратные
гиперболические функции.
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
2
-
Точки разрыва монотонной функции, конечность или
счетность их множества. Критерий непрерывности
монотонной функции. Теорема о существовании обратной
строго монотонной функции.
8
Тема «Непрерывность и разрывы функций»
2
9-18 40
1
6
Обратные тригонометрические функции. Равномерная
непрерывность функции на множестве, на сегменте.
Модуль 2 «Дифференциальное исчисление функции
одной переменной»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-2
ПГ, БР
Тема «Производная, дифференциал функции»
–
2
9
Определение производной функции в точке и на множестве.
Задачи, приводящие к понятию производной (механический
и геометрический смысл).
М
ПК-2
БР
ПК-2
М
ПК-2
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
–
Дифференцируемость, необходимые и достаточные условия.
Связь
непрерывности
и
дифференцируемости.
Односторонние и бесконечные производные. Производная
композиции функций.
Тема «Производная, дифференциал функции»
10
2
-
Производная обратной
дифференцирования.
функции.
Основные
правила
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
1
Логарифмическое
производных.
дифференцирование.
Таблица
ПБ
ПК-2
смысл.
формы
МД
ПК-2
правила
З
ПК-2
ПБ
ПК-2
З
ПК-2
МД
ПК-2
БР
ПК-2
МД
ПК-2
З
ПК-2
ПБ
ПК-2
Тема «Производная, дифференциал функции».
2
-
11
Дифференциал функции, его геометрический
Свойства
дифференциала.
Инвариантность
дифференциала.
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
–
Производная обратной
дифференцирования.
функции.
Основные
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
–
12
Таблица
производных.
дифференцирование. Производные
высших порядков.
Логарифмическое
и дифференциалы
Тема «Производная, дифференциал функции»
2
1
Формула Лейбница. Параметрическое дифференцирование.
Примеры.
Тема «Основные теоремы дифференциального исчисления»
2
2
13
Теорема Ферма, Ролля, их геометрический смысл. Теорема
Лагранжа, ее геометрический смысл.
Тема «Основные теоремы дифференциального исчисления»
2
–
Следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Коши. Правило
Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 и  /  ,
примеры.
Тема «Формула Тейлора»
2
-
14
Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Коши,
Лагранжа.
Тема «Формула Тейлора»
2
2
Разложение элементарных функций по формуле ТейлораМаклорена. Приложение к нахождению пределов
Тема «Монотонность и экстремумы функции»
2
15
–
Монотонные функции. Экстремумы функции. Исследование
функций на монотонность и экстремумы по первой
производной.
Тема «Монотонность и экстремумы функции»
2
-
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции
на сегменте.
З
ПК-2
ПБ
ПК-2
И
ПК-2
ПБ
ПК-2
И
ПК-2
МД
ПК-2
Э
ПК-2
Тема «Выпуклые и вогнутые функции»
2
-
2
–
16
Выпуклые и вогнутые функции. Необходимое и достаточное
условия
выпуклости,
вогнутости
дифференцируемой
функции.
Тема «Выпуклые и вогнутые функции»
Геометрический смысл выпуклости, вогнутости.
Тема «Точки перегиба функции, полное исследование»
2
–
2
-
17
Точки перегиба функции. Необходимое, достаточное условие
точки перегиба. Асимптоты графика функции.
Тема «Точки перегиба функции, полное исследование»
Полная схема исследования функции и построения графика.
Тема «Классические неравенства»
2
–
Классические неравенства: Йенсена, Гёльдера, Минковского.
18
Тема «Классические неравенства»
2
–
Сравнение
среднего
арифметическим
геометрического
со
средним
Очная форма обучения
Второй семестр
Лекции
24-30 14
3
Модуль 1 «Неопределенный интеграл»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
–
2
1
24
Первообразная функция. Теорема о первообразных.
Неопределенный интеграл, основные свойства.
МД
ПК-11
Э
ПК-11
Тема «Первообразная функция и неопределенный интеграл»
Таблица интегралов. Вывод некоторых формул.
25
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
26
2
1
27
2
–
Общие методы интегрирования: разложением, подведением
под знак дифференциала, подстановкой, по частям.
И
ПК-11
ПБ
ПК-11
МД
ПК-11
З
ПК-11
М
ПК-11
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
Понятие обобщенной первообразной.
28
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
1
Интегрирование некоторых классов элементарных функций.
Тема «Первообразная функция и неопределенный интеграл»
2
–
2
–
Интегрирование
рациональных,
тригонометрических,
некоторых иррациональностей, произведений многочленов и
трансцендентных функций.
29
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
30
Интегрируемость, необходимое условие.
31-41 22
4
31
1
Модуль 2 «Определенный интеграл, несобственный
интеграл»»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Определенный интеграл»
2
Э
ПК-11
МД
ПК-11
З
ПК-11
ПБ
ПК-11
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Тема «Определенный интеграл»
32
2
–
Разбиения, база в множестве разбиений, интегральная
сумма. Определенный интеграл (Римана) как предел по базе.
Суммы Дарбу, их свойства.
Тема «Определенный интеграл»
33
2
–
Критерий интегрируемости через пределы сумм Дарбу, через
предел разности сумм Дарбу, через разности сумм Дарбу.
Тема «Определенный интеграл»
34
2
–
Классы интегрируемых функций. Свойства определенных
интегралов. Первая теорема о среднем. Преобразования
Абеля.
Тема «Определенный интеграл»
35
2
–
Определенный интеграл с переменным верхним пределом,
его непрерывность и дифференцируемость, существование
обобщенной первообразной. Вторая теорема о среднем.
Формула Ньютона-Лейбница.
ПБ
ПК-11
М
ПК-11
М
ПК-11
МД
ПК-11
Тема «Определенный интеграл»
36
2
–
Интегрирование по частям и заменой переменной в
определенном интеграле.
Тема «Формула Тейлора»
2
1
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме. Неравенства Гельдера и Минковского для интегралов.
Функции с ограниченной вариацией. Полная вариация.
Классы функций с ограниченной вариацией. Критерии для
функций с ограниченной вариацией, две формы критерия.
37
Тема «Векторнозначные функции»
38
2
–
Векторнозначные функции с ограниченной вариацией.
Понятие кривой, спрямляемые кривые. Применение к
вопросу о спрямляемости кривой линии. Критерий
спрямляемости. Вычисление длины кривой. Площадь
плоской фигуры. Внутренняя и внешняя площади.
Квадрируемость. Два критерия интегрируемости.
Тема «Площади и меры»
2
1
39
Классы квадрируемых фигур. Свойства площади
Жордану). Мера Жордана. Недостатки меры Жордана.
(по
ПК-11
ПБ
Тема «Несобственные интегралы»
2
1
40
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость,
критерий Коши, признаки сравнения, Дирихле, Абеля,
абсолютной
сходимости.
Замена
переменной
и
интегрирование по частям в несобственном интеграле.
ПБ
ПК-11
МД
ПК-11
Тема «Интеграл Стильтеса»
2
41
–
Интеграл Стильтеса. Достаточное условие существования.
Интегрирование по частям. Вычисление.
Очная форма обучения
Второй семестр
Практические занятия
24-30 22
4
Модуль 1 «Неопределенный интеграл»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
24
2
–
2
–
Первообразная функция. Нахождение
элементарными средствами.
первообразных
МД
ПК-11
З
ПК-11
ПБ
ПК-11
З
ПК-11
МД
ПК-11
И
ПК-11
М
ПК-11
Д
ПК-11
МД
ПК-11
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
Свойства первообразных.
25
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
1
Неопределенный интеграл, основные свойства.
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
26
2
1
Таблица интегралов. Простейшие приемы вычисления.
Тема «Первообразная функция и неопределенный интеграл»
2
–
Общие методы интегрирования.
27
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
–
2
–
Методы разложения, подведения под знак дифференциала,
подстановки, по частям.
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
28
Понятие обобщенной первообразной.
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
–
Интегрирование некоторых классов элементарных функций.
29
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
1
Интегрирование рациональных, тригонометрических
функций.
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
2
1
2
–
Интегрирование
некоторых
иррациональностей,
произведений многочленов и трансцендентных функций.
МД
ПК-11
З
ПК-11
30
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл»
Интегрируемость, необходимое условие.
31-41 34
6
31
1
Модуль 2 «Определенный интеграл, несобственный
интеграл»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Определенный интеграл»
2
И
ПК-11
М
ПК-11
П
ПК-11
МД
ПК-11
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Тема «Определенный интеграл»
2
–
2
–
32
Разбиения, база в множестве разбиений, интегральная
сумма. Определенный интеграл (Римана) как предел по базе.
Тема «Определенный интеграл»
Суммы Дарбу, их свойства.
Тема «Определенный интеграл»
33
2
–
Критерий интегрируемости через пределы сумм Дарбу, через
предел разности сумм Дарбу, через разности сумм Дарбу.
Тема «Определенный интеграл»
2
–
34
Классы интегрируемых функций. Свойства определенного
интеграла. Первая теорема о среднем. Преобразования
Абеля.
ПБ
ПК-11
Тема «Определенный интеграл»
2
1
Определенный интеграл с переменным верхним пределом,
его непрерывность и дифференцируемость, существование
обобщенной первообразной. Вторая теорема о среднем.
Формула Ньютона-Лейбница.
МД
ПК-11
И
ПК-11
Э
ПК-11
Тема «Определенный интеграл»
35
2
1
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Тема «Определенный интеграл»
36
2
–
Определенный интеграл с переменным верхним пределом,
его непрерывность и дифференцируемость, существование
обобщенной первообразной. Вторая теорема о среднем.
Тема «Определенный интеграл»
2
1
Интегрирование заменой переменной в определенном
интеграле.
БР
ПК-11
БР
ПК-11
И
ПК-11
И
ПК-11
З
ПК-11
Д
ПК-11
БУ
ПК-11
БР
ПК-11
Тема «Формула Тейлора»
37
2
1
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме. Неравенства Гельдера и Минковского для интегралов.
Функции с ограниченной вариацией. Полная вариация.
Критерии для функций с ограниченной вариацией, две
формы критерия.
Тема «Векторнозначные функции»
2
–
38
Векторнозначные функции с ограниченной вариацией.
Применение к вопросу о спрямляемости кривой линии.
Понятие кривой, спрямляемые кривые.
Тема «Площади и меры»
2
–
Критерий спрямляемости. Вычисление длины кривой.
Площадь плоской фигуры. Внутренняя и внешняя площади.
Квадрируемость. Два критерия интегрируемости. Классы
квадрируемых фигур.
Тема «Площади и меры»
39
2
–
Свойства площади (по Жордану). Мера Жордана. Недостатки
меры Жордана.
Тема «Несобственные интегралы»
2
1
40
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость,
критерий Коши, признаки сравнения, Дирихле, Абеля,
абсолютной сходимости.
Тема «Несобственные интегралы»
2
–
Замена переменной и интегрирование
несобственном интеграле.
по
частям
в
Тема «Интеграл Стильтеса»
4 2
1
–
Интеграл Стильтеса. Достаточное условие существования.
Интегрирование по частям. Вычисление.
Очная форма обучения
Третий семестр
Лекции
1 –10
4
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-1
ПГ, БР
Модуль 1 «Функции многих переменных»
20
Тема «Пространство
2
–
1
–
2
Rm »
R m с евклидовой метрикой. Открытые и
m
замкнутые множества, характерные точки множеств в R .
Пространство
Тема «Пространство
ПБ
ПК-1
П
ПК-1
ПБ
ПК-1
МД
ПК-1
ПБ
ПК-1
И
ПК-1
МД
ПК-1
Rm »
Характеристические свойства замкнутых множеств, компакты,
свойства компактов, критерий компактности множеств в
Rm .
2
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
1
3
2
1
2
–
Частные производные функции многих переменных,
дифференцируемость, необходимое, достаточное условия.
Тема «Частные производные функции многих переменных»
Дифференцируемость композиции функций. Инвариантность
формы
дифференциала.
Геометрический
смысл
дифференцируемости.
4
Тема «Частные производные функции многих переменных»
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
5
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
–
Теорема о перестановки порядка дифференцирования.
Формула для дифференциала n  го порядка
6
Тема «Формула Тейлора для функции многих переменных»
2
1
Формула Тейлора для функции многих переменных.
Остаточный член в форме Лагранжа и в интегральной форме.
7
Тема «Экстремум функции многих переменных»
2
1
8
Экстремум функции многих переменных. Необходимое,
достаточное условия.
ПБ
ПК-1
ПБ
ПК-1
МД
ПК-1
Тема «Последовательности функции многих переменных»
9
2
-
Предел последовательности в метрическом пространстве и в
R m , фундаментальные последовательности, критерий Коши
m
сходимости последовательности, полнота R .
Тема «Последовательности функции многих переменных»
2
–
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
10
1118
1
6
4
Модуль 2 «Векторнозначные функции многих
переменных»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-2
ПГ, БР
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
11
2
1
Векторнозначные
функции
многих
переменных
(отображения). Предел, непрерывность отображений.
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
2
–
12
Локальные
и
отображений.
глобальные
свойства
непрерывных
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
13
2
–
Дифференцируемые
отображения.
Производная,
дифференциал.
Координатное
представление
дифференциала отображения. Матрица Якоби (Якобиан).
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
14
2
–
Необходимое, достаточное условия дифференцируемости
отображений. Линейность операции дифференцирования.
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
15
2
–
Дифференцируемость
композиции
отображений.
Дифференцируемость обратного отображения.
БР
ПК-2
Э
ПК-2
Д
ПК-2
БР
ПК-2
Тема «Неявные функции»
2
1
16
Неявные функции. Теорема о неявной функции, случаи:
скалярной функции одной переменной, скалярной функции
многих переменных, вектор функции многих переменных
(неявное отображение).
Тема «Неявные функции»
17
2
–
Некоторые следствия теоремы о неявной функции: теорема
об обратной функции, функциональная независимость и
зависимость функций.
Тема «Условный экстремум функции многих переменных»
18
2
2
Условный экстремум. Необходимое условие условного
экстремума
функции
многих
переменных.
Метод
множителей Лагранжа.
Очная форма обучения
Третий семестр
Практические занятия
1-10 20
4
Модуль 1 «Функции многих переменных»
Тема «Пространство
2
–
1
–
Rm »
R m с евклидовой метрикой. Открытые и
m
замкнутые множества, характерные точки множеств в R .
Пространство
Тема «Пространство
2
ПБ
ПК-1
М
ПК-1
Rm »
Характеристические свойства замкнутых множеств, компакты,
свойства компактов, критерий компактности множеств в
2
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-1
ПГ, БР
Rm .
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
1
3
Частные производные функции многих переменных,
дифференцируемость, необходимое, достаточное условия.
ПБ
ПК-1
МД
ПК-1
ПБ
ПК-1
И
ПК-1
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
–
Дифференцируемость композиции функций. Инвариантность
формы
дифференциала.
Геометрический
смысл
дифференцируемости.
4
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
–
5
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Теорема о перестановки порядка дифференцирования.
Тема «Частные производные функции многих переменных»
2
1
Формула для дифференциала n  го порядка.
6
Тема «Формула Тейлора для функции многих переменных
2
1
7
Формула Тейлора для функции многих переменных.
Остаточный член в форме Лагранжа и в интегральной форме.
ПК-1
МД
Тема «Экстремум функции многих переменных»
2
1
8
Экстремум функции многих переменных. Необходимое,
достаточное условия.
ПБ
ПК-1
ПБ
ПК-1
«Последовательности функции многих переменных»
9
2
–
Предел последовательности в метрическом пространстве и в
m
R , фундаментальные последовательности, критерий Коши
m
сходимости последовательности, полнота R .
«Последовательности функции многих переменных»
2
ПК-1
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
10
1118
МД
–
16
4
Модуль 2 «Векторнозначные функции многих
переменных»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-2
ПГ, БР
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
11
2
1
2
–
12
Векторнозначные
функции
многих
переменных
(отображения). Предел, непрерывность отображений.
Локальные
и
отображений.
глобальные
свойства
непрерывных
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
ПБ
ПК-2
МД
ПК-2
БР
ПК-2
И
ПК-2
Э
ПК-2
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
13
2
–
Дифференцируемые
отображения.
Производная,
дифференциал.
Координатное
представление
дифференциала отображения. Матрица Якоби (Якобиан).
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
14
2
–
Необходимое, достаточное условия дифференцируемости
отображений. Линейность операции дифференцирования.
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения»
15
2
–
Дифференцируемость
композиции
отображений.
Дифференцируемость обратного отображения.
Тема «Неявные функции»
2
1
16
Неявные функции. Теорема о неявной функции, случаи:
скалярной функции одной переменной, скалярной функции
многих переменных, вектор функции многих переменных
(неявное отображение).
Тема «Неявные функции»
2
17
1
Некоторые следствия теоремы о неявной функции: теорема
об обратной функции, функциональная независимость и
зависимость функций.
Тема «Условный экстремум функции многих переменных»
2
1
18
Условный экстремум. Необходимое условие условного
экстремума
функции
многих
переменных.
Метод
множителей Лагранжа.
БР
ПК-2
Очная форма обучения
Четвертый семестр
Лекции
24-31 16
4
Модуль 1 «Числовые последовательности и ряды»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Числовые ряды»
24
25
2
2
1
1
Числовой ряд, примеры. Необходимое условие сходимости.
Критерий Коши. Простейшие свойства рядов. Ряды с
неотрицательными членами.
Тема «Числовые ряды с неотрицательными членами»
Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
Достаточные
признаки
сходимости:
интегральный,
сравнения, Даламбера, Коши, Раабе
МД
ПК-11
БР
ПК-11
ПБ
ПК-11
Д
ПК-11
М
ПК-11
Тема «Знакочередующиеся ряды»
26
2
1
Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Произвольные
знакопеременные ряды. Преобразования Абеля. Признаки
Дирихле, Абеля. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
27
2
–
Признак абсолютной сходимости. Сочетательное свойство
сходящихся рядов.
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
28
2
–
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов,
теорема Римана для условно сходящихся рядов. Умножение
рядов. Произведение рядов по Коши.
29
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
2
–
Теорема Коши об абсолютно сходящихся рядах. Теорема
Мертенса. Суммирование расходящихся рядов.
Э
ПК-11
Э
ПК-11
Д
ПК-11
Тема «Двойные и повторные ряды»
30
2
–
Обобщенная сумма. Методы обобщенного суммирования
Пуассона-Абеля, Чезаро. Повторный ряд, сходимость.
Теоремы о сходимости. Двойной ряд, сходимость.
Тема «Двойные и повторные ряды»
31
2
1
Теоремы о сходимости. Связь между сходимостью двойного
и повторного рядов (случай рядов с неотрицательными
членами). Бесконечные произведения, основные теоремы,
сходимость, связь с рядами.
Модуль 2 «Функциональные последовательности
32-41 20
4
и ряды»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Функциональные последовательности»
32
2
–
Функциональные
последовательности,
сходимость,
предельная функция (предел). Критерий Коши сходимости
функциональной
последовательности.
Равномерная
сходимость.
Примеры
сходимости,
равномерной,
неравномерной
сходимости.
Критерий
сходимости
функциональной последовательности: через sup.
И
ПК-11
П
ПК-11
Д
ПК-11
Э
ПК-11
Тема «Функциональные ряды»
2
–
33
Функциональные ряды, сходимость, сумма, критерий Коши
сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость
функционального ряда.
Тема «Функциональные ряды»
34
2
–
Теорема об остатке, критерий Коши равномерной
сходимости функционального ряда. Признаки равномерной
сходимости функционального ряда. Признаки Вейерштрасса,
Дирихле, Абеля. Функциональные свойства суммы ряда.
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Тема «Функциональные ряды»
2
35
–
Теорема Дини о равномерной сходимости функционального
ряда из непрерывных функций к непрерывной функции.
Почленное
интегрирование
и
почленное
дифференцирование функциональных рядов.
Тема «Степенные ряды»
36
2
1
Степенной ряд. Область сходимости, радиус и интервал
сходимости. Основные теоремы о степенных рядах.
Равномерная
сходимость
степенного
ряда,
случаи
равномерной сходимости и случаи отсутствия равномерной
сходимости.
БР
ПК-11
Д
ПК-11
Тема «Степенные ряды»
2
1
37
Непрерывность суммы степенного ряда. Лемма о верхнем
пределе произведения последовательностей. Почленное
интегрирование и почленное дифференцирование степенных
рядов.
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
38
2
2
Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и
Маклорена.
Необходимое
и
достаточное
условие МД
разложимости функции в ряд Тейлора. Достаточное условие
представимости функции ее рядом Тейлора.
ПК-11
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
2
–
Основные
свойства:
непрерывность,
бесконечная
дифференцируемость, связь с факториалом, ход изменения
Г (a ) на (0,   ) , связь с B ( a, b) , формула дополнения. ПД
ПК-11
Примеры интегралов, выражающихся через гамма-функцию.
Суммирование степенных рядов методами Чезаро и
Пуассона-Абеля.
39
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
40
2
–
Лапласа
БР
ПК-11
Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов.
Применение к гамма-функции Эйлера. Формула Стирлинга.
Э
ПК-11
Регулярность методов суммирования.
асимптотической оценки интегралов.
Метод
Тема «Методы асимптотической оценки интегралов»
2
41
–
Очная форма обучения
Четвертый семестр
Практические занятия
24-31 16
4
Модуль 1 «Числовые последовательности и ряды»
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Тема «Числовые ряды»
24
2
25
2
1
1
Числовой ряд, примеры. Необходимое условие сходимости.
Критерий Коши. Простейшие свойства рядов. Ряды с
неотрицательными членами.
Тема «Числовые ряды с неотрицательными членами»
Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
Достаточные
признаки
сходимости:
интегральный,
сравнения, Даламбера, Коши, Раабе.
Д
ПК-11
МД
ПК-11
ПБ
ПК-11
Э
ПК-11
ПБ
ПК-11
М
ПК-11
ПБ
ПК-11
ПБ
ПК-11
Тема «Знакочередующиеся ряды»
26
2
1
Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Произвольные
знакопеременные ряды. Преобразования Абеля. Признаки
Дирихле, Абеля. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
2
–
27
Признак абсолютной сходимости. Сочетательное свойство
сходящихся рядов.
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
2
–
28
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов,
теорема Римана для условно сходящихся рядов. Умножение
рядов. Произведение рядов по Коши.
Тема «Абсолютно и условно сходящиеся ряды»
2
–
29
Теорема Коши об абсолютно сходящихся рядах. Теорема
Мертенса. Суммирование расходящихся рядов.
Тема «Двойные и повторные ряды»
2
–
30
Обобщенная сумма. Методы обобщенного суммирования
Пуассона-Абеля, Чезаро. Повторный ряд, сходимость.
Теоремы о сходимости. Двойной ряд, сходимость. Теоремы о
сходимости.
Тема «Двойные и повторные ряды»
2
31
1
Связь между сходимостью двойного и повторного рядов
(случай рядов с неотрицательными членами). Бесконечные
произведения, основные теоремы, сходимость, связь с
рядами.
32-41 20
4
М, П, Д,
Э, ПБ, И, ПК-11
ПГ, БР
Модуль 2 «Функциональные последовательности
и ряды»
Тема «Функциональные последовательности»
2
1
32
Функциональные
последовательности,
сходимость,
предельная функция (предел). Критерий Коши сходимости
функциональной
последовательности.
Равномерная
сходимость.
Примеры
сходимости,
равномерной,
неравномерной сходимости.
И
ПК-11
Тема «Функциональные ряды»
2
1
Критерии сходимости функциональной последовательности:
через sup, критерий Коши. Функциональные ряды,
сходимость,
сумма,
критерий
Коши
сходимости
функционального
ряда.
Равномерная
сходимость
функционального ряда.
ПК-11
ПБ
33
Тема «Функциональные ряды»
2
–
34
Теорема об остатке, критерий Коши равномерной
сходимости функционального ряда. Признаки равномерной
сходимости функционального ряда. Признаки Вейерштрасса,
Дирихле, Абеля.
ПБ
ПК-11
Д
ПК-11
БР
ПК-11
ПБ
ПК-11
Тема «Функциональные ряды»
Функциональные свойства суммы ряда.
непрерывности суммы функционального ряда.
2
–
35
Теорема
о
Теорема Дини о равномерной сходимости функционального
ряда из непрерывных функций к непрерывной функции.
Почленное
интегрирование
и
почленное
дифференцирование функциональных рядов.
Тема «Степенные ряды»
36
2
1
Степенной ряд. Область сходимости, радиус и интервал
сходимости. Основные теоремы о степенных рядах.
Равномерная
сходимость
степенного
ряда,
случаи
равномерной сходимости и случаи отсутствия равномерной
сходимости.
Тема «Степенные ряды»
2
37
1
Непрерывность суммы степенного ряда. Лемма о верхнем
пределе произведения последовательностей. Почленное
интегрирование и почленное дифференцирование степенных
рядов.
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
2
Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и
Маклорена.
Необходимое
и
достаточное
условие
разложимости функции в ряд Тейлора. Достаточное условие
представимости функции ее рядом Тейлора.
–
38
МД
ПК-11
ПБ
ПК-11
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
2
Основные
свойства:
непрерывность,
бесконечная
дифференцируемость, связь с факториалом, ход изменения
Г (a ) на (0,   ) , связь с B ( a, b) , формула дополнения.
–
Примеры интегралов, выражающихся через гамма-функцию.
Суммирование степенных рядов методами Чезаро и
Пуассона-Абеля.
39
40
2
Тема «Разложение функций в степенные ряды»
Суммирование степенных рядов методами Чезаро и
Пуассона-Абеля. Регулярность методов суммирования.
–
БР
ПК-11
Тема «Методы асимптотической оценки интегралов»
2
Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов.
Применение к гамма-функции Эйлера. Формула Стирлинга.
Ряд Фурье. Интеграл Фурье.
–
41
ПБ
компетенции
Реализуемые
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятия; тематика рефератной работы,
контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ
и др.
.
Кол. час
Неделя
2.2. Самостоятельная работа студента.
Самостоятельное изучение отдельных тем
Очная форма обучения. Второй семестр
26
2
Общие методы интегрирования: разложением, подведением под знак
дифференциала, подстановкой, по частям
ПК-1 ПК-2
31
3
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
ПК-1 ПК-2
36
3
Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном
интеграле.
ПК-1 ПК-2
24-26
4
Подготовка к контрольной работе по модулю 1.
ПК-1 ПК-2
24-41
6
Усвоение текущего учебного материала.
ПК-1 ПК-2
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в
образовательном процессе.
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий,
направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих
способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы,
тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на
активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализоваться на
базе инновационных структур (научных лабораторий, центров предприятий и организаций и др.).
№
Наимено
вание
основны
х форм
Краткое описание и примеры, использования в модулях темах, место
проведения
Час
ы
Разбор
конкрет
ных
ситуаци
й
Тема «Функции и пределы» в модуле 1 на лекции. (1 сем.)
Тема «Производная, дифференциал функции» в модуле 2 на лекции. (1 сем.)
Тема «Формула Тейлора» в модуле 2 на лекции. (1 сем.)
Тема «Точки перегиба функции, полное исследование» в модуле 2 на
лекции. (1 сем.)
Тема «Основные понятия теории множеств» в модуле 1 на практическом
занятии. (1 сем.)
Тема «Основные числовые множества» в модуле 1 на практическом занятии. (1
сем.)
Тема «Функции и пределы» в модуле 1 на практическом занятии.
Тема «Непрерывность и разрывы функций» в модуле 1 на практическом
занятии. (1 сем.)
Тема «Производная, дифференциал функции» в модуле 2 на практическом
занятии. (1 сем.)
Тема «Основные теоремы дифференциального исчисления» в модуле 2 на
практическом занятии. (1 сем.)
Тема «Формула Тейлора» в модуле 2 на практическом занятии.
(1 сем.)
Тема «Монотонность и экстремумы функции в модуле 2 на практическом
занятии. (1 сем.)
Тема «Выпуклые и вогнутые функции» в модуле 2 на практическом занятии. (1
сем.)
Тема «Точки перегиба функции, полное исследование» в модуле 2 на
практическом занятии. (1 сем.)
Тема «Первообразная функция и неопределенный интеграл» в модуле 1 на
лекции. (2 сем.)
Тема «Определенный интеграл» в модуле 2 на лекции. (2 сем.)
Тема «Формула Тейлора» в модуле 2 на лекции. (2 сем.)
Тема «Площади и меры» в модуле 2 на лекции. (2 сем.)
Тема «Несобственные интегралы» в модуле 2 на лекции. (2 сем.)
Тема «Первообразная функция, неопределенный интеграл» в модуле 1 на
практическом занятии. (2 сем.)
Тема «Определенный интеграл» в модуле 2 на практическом занятии. (2 сем.)
70
Тема «Формула Тейлора» в модуле 2 на практическом занятии.
(2 сем.)
Тема «Несобственные интегралы» в модуле 2 на практическом занятии. (2
сем.)
Тема «Частные производные функции многих переменных» в модуле 1 на
лекции. (3 сем.)
Тема «Формула Тейлора для функции многих переменных» в модуле 1 на
лекции. (3 сем.)
Тема «Экстремум функции многих переменных» в модуле 1 на лекции. (3 сем.)
Тема «Последовательности функции многих переменных» в модуле 1 на
лекции. (3 сем.)
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения в модуле 2 на
лекции. (3 сем.)
Тема «Неявные функции» в модуле 2 на лекции. (3 сем.)
Тема «Условный экстремум функции многих переменных» в модуле 2 на
лекции. (3 сем.)
Тема «Частные производные функции многих переменных» в модуле 1 на
практическом занятии. (3 сем.)
Тема «Формула Тейлора для функции многих переменных» в модуле 1 на
практическом занятии. (3 сем.)
Тема «Экстремум функции многих переменных» в модуле 2 на практическом
занятии. (3 сем.)
Тема «Непрерывные и дифференцируемые отображения» в модуле 2 на
практическом занятии. (3 сем.)
Тема «Неявные функции» в модуле 2 на практическом занятии. (3 сем.)
Тема «Условный экстремум функции многих переменных» в модуле 2 на
практическом занятии. (3 сем.)
Тема «Числовые ряды» в модуле 1 на лекции. (4 сем.)
Тема «Числовые ряды с неотрицательными членами в модуле 1 на лекции. (4
сем.)
Тема «Знакочередующиеся ряды» в модуле 1 на лекции. (4 сем.)
Тема «Двойные и повторные ряды» в модуле 1 на лекции. (4 сем.)
Тема «Степенные ряды» в модуле 2 на лекции. (4 сем.)
Тема «Разложение функций в степенные ряды» в модуле 2 на лекции. (4 сем.)
Тема «Числовые ряды» в модуле 1 на практическом занятии. (4 сем.)
Тема «Числовые ряды с неотрицательными членами» в модуле 1 на
практическом занятии. (4 сем.)
Тема «Знакочередующиеся ряды» в модуле 1 на практическом занятии .(4
сем.)
Тема «Функциональные последовательности» в модуле 1 на практическом
занятии (4 сем.)
Тема «Функциональные ряды» в модуле 2 на практическом занятии
(4 сем.)
Тема «Степенные ряды» в модуле 2 на практическом занятии. (4 сем.)
3. Средства обучения.
3.1. Информационно методические
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием
наличия в библиотеке
Основная литература:
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трех
3
томах). Том I. – М.: Наука, 1969.-607 c.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трех
томах). Том II. – М.: Наука, 1959.-807 c.
2
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трех
томах). Том III. – М.: Наука, 1960.-656 c.
3
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального
анализа. М.: Наука, 1972.-496 c.
Б. П. Демидович, И.А. Марон. Остовы вычислительной математики. М.:
Наука, 1966.-664 c.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного) Часть 3. –
М.: Наука, 1970.-352 c.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных
переменных) Часть 1 - 2. М.: Наука, 1972.-622 c.
Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы функций теории комплексного переменного.
М.: Наука, 1972.-736 c.
2
4
4
4
3
Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.-319 c.
Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.:
Наука, 1968.-c 288.
Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. - М.: АСТ, Астрель,
2007. – 283 с.
Дополнительная литература:
–
10
3.2. Материально-технические
Основное оборудование, стенды, макеты,
компьютерная техника, наглядные пособия и
другие
дидактические
материалы,
обеспечивающие проведение лабораторных и
практических занятий, научно-исследовательской
работы студентов с указанием наличия
Телевизионная техника для проведения лекций.
Основное назначение (опытное,
обучающее, контролирующее) и
краткая
характеристика
использования при изучении
явлений
и
процессов,
выполнении расчетов.
Обучающее.
Демонстрация
формул, рисунков, таблиц.
Компьютерная техника.
4.Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация
Тесты (демонстрационный вариант), темы курсовых работ/проектов, вопросы и задания для
№
текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену
4.1. Текущий контроль успеваемости
4.1.1. Тестовые задания
Модуль 1 (1-й семестр).
1. Начиная с какого наименьшего номера n члены последовательности
xn
будут отличаться
от своего предела на расстояние, меньшее чем  ?
1.1. x n 
3n  2
,   0,004.
n
1.2. x n 
4n  3
,   0,005.
2n
1.3. Варианты ответов (для всех заданий): 1) 251; 2) 300; 3) 501; 4) 2000; 5) 2001;
6) нет верного ответа.
2. Найти lim
xa
3x 2  8 x  4
.
6 x 3  13x 2  4
2.1. Варианты ответов: 1) 0; 2) 1/5; 3) 1; 4) 3/7; 5)
 ; 6) нет верного ответа
cos  x  cos  x
.
x0
x sin  x
3. Найти lim
3.1.   3,   4,   7.
3.2.   1,   7,   6.
3.3.   2,   6,   5.
3.4.   5,   6,   11.


4. Найти lim ax  ( ax ) 2  bx  c .
x
4.1. a  3, b  6, c  7. 4.2. a  5, b  3, c  1.
4.3. a  2, b  5, c  9. 4.4. a  4, b  8, c  5.


5. Найти lim ax  ( ax ) 2  bx  c .
x
5.1. a  3, b  6, c  7. 5.2. a  5, b  3, c  1.
5.3. a  2, b  5, c  9. 5.4. a  4, b  8, c  5.
Варианты ответов: 1) 0; 2) 0,3; 3) 1; 4) 1,25; 5) 1,5; 6) нет верного ответа.
Варианты ответов: 1) 0; 2) 0,5; 3) 2; 4) 3,2; 5) 4; 6) нет верного ответа.
Варианты ответов: варианты ответов: 1) 0; 2) 0,5; 3) 2; 4) 3,2; 5) 4; 6) нет верного ответа.


6. Найти lim ax  ( ax ) 2  bx  c .
x
6.1. a  3, b  6, c  7. 6.2. a  5, b  3, c  1.
6.3. a  2, b  5, c  9. 6.4. a  4, b  8, c  5.
Варианты ответов: 1) 0; 2) 0,3; 3) 1; 4) 1,25; 5) 1,5; 6) нет верного ответа.
7. Найти область непрерывности, точки разрыва и их характер, если функция
y
x 2  ( a  b) x  ab
.
x 2  ( a  c ) x  ac
7.1. a  2, b  5, c  1. 7.2. a  1, b  2, c  2.
7.3. a  1, b  3, c  4. 7.4. a  4, b  3, c  1.
Модуль 2 (1-й семестр).
8. Найти
y , если y 
ax   b
.
x  cx 
8.1.   3 / 2, a  2, b  4, c  3. 8.3.   5 / 2, a  5, b  3, c  3.
8.2.   4 / 3, a  10, b  5, c  3. 8.4.   5 / 3, a  4, b  8, c  3.
Варианты ответов по п. 8.1 – 8.4:
1) y  
y 
x 3 / 2  4 x1/ 3  3
;
x 2 (3x 1 / 2  1) 2
2) y  
8( x 5 / 3  15 x 2 / 3  2)
;
3x 2 (3x 2 / 3  1) 2
3) y  
5( x 4 / 3  12 x 1 / 3  3)
x 3 / 2  18 x 1 / 2  4

y

;
5)
; 6) нет верного ответа.
3x 2 (3x 1 / 3  1) 2
x 2 (3x 1 / 2  1) 2
Модуль 1 (2-й семестр).
. Найти неопределенный интеграл
 (ax
2
 bx  c)e  x dx .
3(5 x 5 / 2  15 x 3 / 2  2)
;
2 x 2 (3x 3 / 2  1) 2
4)
9.1. a  3, b  2, c  1. 9.2. a  2, b  5, c  3.
9.3. a  3, b  4, c  2. 9.4. a  2, b  5, c  3.
Варианты ответов по п. 9.1 – 9.4: 1) e  x ( 4 x 2  8 x  7)  C ; 2)  e  x ( 2 x 2  9 x  6)  C ;
3)  e  x (3x 2  4 x  5)  C ; 4)  e  x ( x 2  8 x  4)  C ;
5) xe x (3x  2)  C ; 6) нет верного ответа.
10. Найти неопределенный интеграл 
x dx
( x  1)( ax 2  b)
.
Модуль 2 (2-й семестр).
 / 2b
10.1. Найти определенный интеграл
 a cos

4
bx dx .
 / 2b
10.1. a  4, b  6. 10.2. a  12, b  3. 10.3. a  6, b  2. 10.4. a  8, b  12.
Варианты ответов по п. 10.1 – 10.4: 1)  / 4 ; 2)  / 2 ; 3) 2 / 3 ; 4) 9 / 8 ; 5) 3 / 2 ; 6) нет верного ответа.
11. Найти неопределенный интеграл
 (ax
2
 bx  c)e  x dx .
11.1. a  3, b  2, c  1. 11.2. a  2, b  5, c  3.
11.3. a  3, b  4, c  2. 11. 4. a  2, b  5, c  3.
Варианты ответов по п. 11.1 – 11.4: 1) e  x ( 4 x 2  8 x  7)  C ; 2)  e  x ( 2 x 2  9 x  6)  C ;
3)  e  x (3x 2  4 x  5)  C ; 4)  e  x ( x 2  8 x  4)  C ;
5) xe x (3x  2)  C ; 6) нет верного ответа.
Модуль 1 (3-й семестр).
14. Найти полный дифференциал функции
z  ln( 3x 2  2 xy  x  3 y )
Варианты ответов:
6x  2 y  1
 2x  3
1
dx  2
dy , dz M 0  dx  dy ;
1) dz  2
15
3x  2 xy  x  3 y
3x  2 xy  x  3 y
6x  2 y  1
 2x  3
2
dx  2
dy , dz M 0  dx  dy ; 3) нет верного ответа
2) dz 
2
7
3x  2 xy  x  3 y
3x  2 xy  x  3 y
Модуль 2 (3-й семестр).
13. Исследовать на непрерывность функцию
  21 2
 x  y , если x 2  y 2  0;
f ( x , y )  e

если x 2  y 2  0.
 0,
Варианты ответов: 1) непрерывна во всей плоскости; 2) две линии разрыва – прямые y  x и y  2 x ; 3)
нет верного ответа.
Модуль 1 (4-й семестр).
12. Найти
 180 x
2
y dxdydz , если область V ограничена поверхностями (плоскостями) x  y  z  1,
V
x  y  z  1, x  0, y  0. Варианты ответов: 1) 0,3; 2) – 1/90; 3) 1; 4) 1/90; 5) нет верного ответа.
Модуль 2 (4-й семестр).
15. Исследовать сходимость степенного ряда
x
x2
xn

 ...  n 2  ... 
2  12 2 2  2 2
2 n

xn
n 1
2n n 2

.
Варианты ответов: 1) ряд сходится на промежутке [2; 2] ; 2) ряд сходится на промежутке
(2; 2) ; 3) ряд сходится на промежутке [2; 2) ; 4) ряд сходится на промежутке (2; 2] ; нет
верного ответа.
16. Разложить на сегменте [  ,  ] в ряд Фурье функцию f ( x )  x 2 .
 1
Варианты ответов: 1) ряд x 2  1  4  2 cos nx сходится на сегменте [  ,  ] ; 2) ряд
n 1 n
x2 
2
3

( 1) n
2
( 1) n
2
[


,

)
сходится
на
промежутке
;
3)
ряд
cos
nx
x


4
cos nx

2
2
3
n 1 n
n 1 n

 4
сходится на сегменте [  ,  ] ; 4) ряд x 2 

6

1
cos nx сходится на интервале (  ,  ) ;
2
n 1 n
 4
5) нет верного ответа.
4.1.2.
Индивидуальные задания
Модуль 1 (1-й семестр).
Задание 1. Является ли множеством следующий набор чисел: 1, 2, – 3, 1, 5?
Варианты ответов: а) да; б) нет.
Задание 2. Равны ли множества A   ,  ,   и B  альфа, бета, гамма ?
Варианты ответов: а) да; б) нет.
Задание 3. Найти всевозможные парные объединения и пересечения множеств: A    1, 2, 3 ,
B    1, 2, 5 , C  3, 7, 8 .
Варианты ответов: а) A  B    1, 2, 3, 5 , A  C    1, 1, 3, 7, 8 , B  C    1, 2, 3, 5, 7, 8 ;
б) A  B    1, 2, 3 , A  C    1, 2, 3, 7, 8 , B  C   2, 3, 5, 7, 8 ;
в) A  B    1 , A  C  3 , B  C   .
Задание 4. Найти числовые промежутки, заданные неравенствами:
4.1. 2 x  1  7  x .
Варианты ответов: а) x  [6; 8/3] ; б) x  [6; 8] ; в) x  [4; 8/3] ; г) нет верного ответа.
4.2. 3  x  3x  2 .
Варианты ответов: а) x  (; 5/21] ; б) x  [5;   ) ; в) x  (; 5] ; г) нет верного ответа.
Задание 5. Найти объединения числовых промежутков, заданных неравенствами:
5.1. 4  x  3x .
Варианты ответов: а) x  (2; 1) ; б) x  ( 2; 1) ; в) x  (1; 2) ; г) нет верного ответа.
5.2. 4  2 x  3 x .
Варианты ответов: а) x  ( 4; 4 / 5)  ( 4 / 5;  ) ; б) x  ( 4;  ) ; в) x  (; 4 / 5) ; г) нет
верного ответа.
Задание 6. Найти предел функции lim
x
2 x 2  13x  7
.
x ( x  7)  1
Варианты ответов: а)   ; б) 1; в) 2; г) нет верного ответа.
Модуль 2 (1-й семестр).
Задание 7. Найти производную функции y  (3  4 cos x ) 3 .
Варианты ответов: а )  4 sin x (3  4 cos x ) 2 ; б)  12 sin x (3  4cosx) 2 ;
в) 12sinx(3  4cosx) ; г) нет верного ответа.
Задание 8. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: y  x 3  12 x. Варианты ответов:
а) на (,  2)  (2,  ) функция возрастает; на (2, 2) убывает; x  2 точка максимума, y max  16; x  2
точка минимума, ymin  16;
б) на (,  2) и на (2,  ) убывает; на (2, 2) возрастает; x  2 точка минимума, ymax  16; x  2 точка
максимума, ymin   16;
в) на (, 4) возрастает; на (4,  ) убывает; x  4 точка максимума, y max  16;
г) нет верного ответа.
Модуль 1 (2-й семестр).
Задание 9. Найти интеграл:

xdx
3
x2  6
.
Варианты ответов: а) 0,75 3 ( x 2  6) 2  C; б)
3
( x 2  6) 2  C; в)
0,75 ( x 2  6) 3 x 2  6  C; г) нет верного
ответа.
Модуль 2 (2-й семестр).
 /2
Задание 10. Найти определенный интеграл:
 sin x cos x dx.
0
Варианты ответов: а) 1/2; б) –1/2; в) 9/8; г) нет верного ответа.
Задание 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x 3  3x 2 y  8  3x 2 , x  0 .
Варианты ответов: а) 10/3 ; б) -5/3; в) –3/7; г) нет верного ответа.


Задание 12. Найти несобственные интегралы первого рода.

12.1.

4
dx
.
x
Варианты ответов: а) –2; б) 1/4; в) расходится; г) нет верного ответа.

12.2.
xdx

4
 1 x
Варианты ответов: а) 1/2; б) π / 2; в) расходится; г) нет верного ответа.
Задание 13. Найти несобственные интегралы второго рода.
8
13.1.

0
3
dx
.
8 x
Варианты ответов: а) –6; б) расходится; в) 6; г) нет верного ответа.
2
13.2.

0
dx
.
x3
Варианты ответов: а) –2; б) расходится; в) 6; г) нет верного ответа.
Модуль 1 (3-й семестр).
Задание 14. Найти частные производные первого порядка следующих функций.
14.1. z  5 x 2 y 3  2 xy 2  4 x  6 y  3.
z
z
 2(5 xy  y 2  2),
 5 x 2  4 xy  6 ;
x
y
z
z
б)
 2(5 xy3  y 2  2),
 5x 2  4 y  6 ;
x
y
в) нет верного ответа.
14.2. z  e x ( x 2  y 2  x  1).
z
z
 e x ( x 2  y 2  3x ),
Варианты ответов: а)
 2 ye x .
x
y
z
z
 e x ( 2 x  1),
б)
 e x ( 2 y  1).
x
y
в) нет верного ответа.
u
Задание 15. Найти
, если u  x ln( y  2 z ), M 0  (4; 5;  2), а направление
 l M0
Варианты ответов: а)
l задается
вектором M 1M 2 , где M1 (2; 1; 3), M 2 (0;  1; 1).
Варианты ответов: а)  4 3 ; б) 4 3 ; в) нет верного ответа.
Задание 16. Найти grad u
M0 ,
а также: 1) направление l1 наибольшего возрастания функции в
точке M 0 ; 2) направление
4 xyz
u 2
, M 0  (2; 1; 5).
x 1
l 2 наибольшего убывания функции в точке M 0 , если
8
3
 12
   ; 8;  , l1  l2  ( 
;
5
113
 5
2
5
1
 12 40 8 
;  , l1  l2  ( 
б) grad u M 0    ;
;
;
);
30
30
30
 3 3 3
в) нет верного ответа.
Варианты ответов: а) grad u
M0
10
;
113
2
);
113
Модуль 2 (3-й семестр).
Задание 17. Исследовать на экстремум функцию z  x 2  2 y 2  2 x 3  4 x 2 y  1.
1 1 
 и (1;1) нет
 4 16 
Варианты ответов: а) M 0 (0;0) – точка минимума, z min  1. В критических точках  ;
1 1 
 и (1;1) нет
 4 16 
экстремумов; б) M 0 (0;0) – точка максимума, z max  1. В критических точках  ;
экстремумов; в) нет верного ответа.
Задание 18. Исследовать на условный экстремум функцию
u  xy при наличии уравнения
связи x  y  1.
3
3
1
 1 1 
Варианты ответов: а) M 0  3 ; 3  – точка максимума, umax  3 ;
4
 2 2
б) M 0 3 2 ; 3 2 – точка максимума, umax  3 4 ; в) нет верного ответа.


Модуль 1 (4-й семестр).
Задание 19. По определению сходимости исследовать сходимость, ряда и в случае сходимости найти его
сумму.
22.1.
1
1
1


 ... .
1 3 3 5 5  7
Варианты ответов: а) 2; б) 1/4; в) нет верного ответа.
22.2. 1 
1 1 1
 
 ... .
3 9 27
Варианты ответов: а) 3/2; б) 2/3; в) нет верного ответа.
Задание 20. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака.

23.1.

n 1
1
.
2n  1
Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.

23.2.
1
.
2
n 1 1  n

Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.
Задание 21. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения.

24.1.
1
.
n
n 1 5  n

Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.

24.2.
1
 n
n 1
3
n
.
Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.
Задание 22. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера

25.1.

n 1
n4
.
5n
Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.

25.2.

n 1
3n  1
 2
n
.
Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.
Задание 23. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Лейбница (если он применим):


n 1
( 1) n1
.
3n  1
Варианты ответов: а) сходится; б) расходится; в) признак ответа не дает.
Задание 24. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

cos n 0
.
2n
n 1
Варианты ответов: а) ряд сходится абсолютно; б) ряд расходится условно; в) ряд расходится;
г) признак ответа не дает.
 ( 1) n ln n
27.2. 
.
n
n 2
Варианты ответов: а) ряд сходится абсолютно; б) ряд расходится условно; в) ряд расходится;
г) признак ответа не дает.

xn
Задание 25.Найти область сходимость степенного ряда:  n
.
n 0 3 ( n  1)
Варианты ответов: а) ряд сходится на полуинтервале [3, 3) ; б) ряд сходится на множестве R; в)
27.1.

 1 1
ряд сходится на интервале  ,  ; г) нет верного ответа.
 3 3
Модуль 2 (4-й семестр).
Задание 26. Найти криволинейный интеграл
 x dx  2 y dy, где
(AB ) есть отрезок параболы
( AB)
y  2 x от точки A ( 2; 2) до точки B ( 8; 4).
Варианты ответов: а) 18; б) – 9; в) нет верного ответа.
Задание 27. Найти двойной интеграл  6 x 2 y 3 dxdy, где   2, 6  1, 4.
2

Варианты ответов: а) 26520; б) 24530; в) нет верного ответа.
Задание 28. Найти тройной интеграл
 x
2
y dxdydz ,
если область D ограничена поверхностями
D
(плоскостями) x  y  z  1, x  y  z  1, x  0, y  0 .
Варианты ответов: а) – 1/90; б) 1/90; в) нет верного ответа.
4.2. Промежуточная аттестация
4.2.1. Вопросы для экзамена, зачета.
Список вопросов по разделам «Множества и числа», «Последовательности и пределы», «Функция,
предел функции» (1-й семестр, экзамен).
1. Множества и числа.
1.6. Множества, способы задания множеств.
1.2. Равенство множеств, подмножество, истинное подмножество, эквивалентность
множеств, бесконечные и конечные множества
1.3. Операции над множествами объединение, пересечение, разность, декартово произведение и их
свойства. Примеры, числовые множества N , Z , Q и R.
1.4. Множество рациональных чисел: основные свойства рациональных чисел (1-15).
1.5. Введение иррациональных чисел: иррациональность числа 2 , сечение в множестве рациональных
чисел, виды сечений, определение иррациональных чисел, множество действительных чисел.
1.6. Упорядочение множества действительных чисел.
1.7. Полнота множества действительных чисел, основная теорема Дедекинда.
1.8. Ограниченные множества. Верхняя и нижняя границы, верхняя и нижняя грани.
Теорема существования верхней и нижней граней ограниченного множества (б/д).
1.9. Арифметические действия над действительными числами: сложение, умножение,
свойства сложения и умножения.
1.10. Абсолютная величина числа и ее свойства.
1.11. Числовые отрезки, ограниченные и неограниченные; окрестности и проколотые окрестности
конечных точек, полуокрестности; окрестности символов   и   .
1.12. Счетные и несчетные множества, счетность множеств натуральных, целых и рациональных чисел,
несчетность множества действительных чисел.
1.13. Несчетность любого отрезка.
2. Последовательности и пределы.
2.1. Последовательность, множество значений последовательности
2.2. Предел последовательности, определения предела на языке   N и на языке
окрестностей, эквивалентность этих определений.
2.3. Ограниченная последовательность, подпоследовательность.
2.4. Некоторые теоремы о сходящихся последовательностях: о пределе постоянной, единственности
предела, о пределе подпоследовательности, об ограниченности сходящейся последовательности;
теоремы о последовательностях, связанные с неравенствами (включая теорему о предельном переходе в
неравенствах и теорему о пределе “промежуточной” последовательности).
2.5. Бесконечно малые (б.м.) последовательности, определения на языке   N и на языке окрестностей.
Теорема о связи б.м. последовательности и последовательности, имеющей конечный предел.
2.6. Бесконечно большие (б.б.) положительные и б.б. отрицательные последовательности, б.б.
последовательности, определение на языке M  N и на языке окрестностей, бесконечные пределы
последовательностей.
2.7. Связь б.м. и б.б. последовательностей (теорема).
2.8. Основные теоремы о б.м. последовательностях (о сумме, о произведении ограниченной на б.м., о
положительной степени б.м.) и следствия из них.
2.9. Основные теоремы о б.б. последовательностях (о сумме, о произведении последовательности,
удовлетворяющей условию
x n  c  0 , на б.б., о положительной степени, о сумме б.б. и ограниченной
последовательностей) и следствия из них.
2.10. Арифметические операции над последовательностями: теорема о пределе суммы,
произведения, частного последовательностей, следствия из них.
2.11. Предел суммы n членов геометрической прогрессии.
2.12. Неопределенности вида   , 0  ,
0 
, , примеры.
0 
an
Pn 
, lim p   a  1 ,
n  n
n  Q n 
2.13. Некоторые табличные пределы: lim P n  , где Pn  – многочлен, lim
n 
lim n n  1 , lim
n 
n 
n
a  1 a  0 , lim
n 
log a n
 0.
n
2.14. Монотонные последовательности,
последовательности).
теорема
Вейерштрасса
(о
пределе
монотонной
n
1

2.15. Последовательность  1   , ее монотонность и ограниченность, число
 n
e.
2.16. Лемма о вложенных сегментах.
2.17. Частичный предел последовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании
частичного предела ограниченной последовательности.
2.18. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.
3. Функция. Предел функции.
3.1. Функция, примеры, способы задания, классификация элементарных функций.
3.2. Конечная предельная точка x 0 , необходимое и достаточное условие существования; теорема
Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у бесконечно ограниченного числового
множества; последовательность Гейне.
3.3. Определение предела при x  x0 по Гейне.
3.4. Определение предела при x  x0 по Коши на языке   
и на языке окрестностей;
эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши.
3.5. Бесконечные предельные точки  ,   , необходимое и достаточное условие существования.
3.6. Определение предела при x     по Гейне.
3.7. Определение предела при x     по Коши на языке   K и на языке окрестностей.
3.8. Некоторые теоремы о функциях, имеющих конечные пределы (о пределе постоянной,
единственности предела).
3.9. Ограниченные функции, ограниченность функции, имеющей конечный предел.
3.10. Теоремы о пределах функции, связанные с неравенствами (включая теорему о предельном
переходе в неравенствах между функциями и о “промежуточной” функции), следствия.
3.11. Первый замечательный предел.
3.12. Сложная функция, теорема о замене переменной под знаком предела.
3.13. Б.м. и б.б. функции (определения по Гейне и по Коши); основные теоремы; арифметические
операции над функциями, имеющими конечные пределы (по аналогии с последовательностями).
Примеры. Общее определение предела функции (по Гейне и по Коши, девять частных случаев).
3.14. Сравнение б.м. функций: порядок б.м., несравнимые б.м., символ o , числовое выражение порядка;
эквивалентные б.м., необходимое и достаточное условие эквивалентности б.м.; предел отношения б.м. и
эквивалентных им б.м., использование для нахождения пределов.
3.15. Сравнение б.б. функций: определения, теоремы (по аналогии с б.м.).
3.16. Односторонние предельные точки и односторонние пределы. Связь односторонних пределов с
двухсторонним в двухсторонней предельной точке.
3.17. Монотонные функции, теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной функции.
3.18. Критерий Коши существования конечного предела функции.
Список вопросов по разделам «Непрерывность и разрывы функций», «Производная и дифференциал
функции», «Основные теоремы дифференциального исчисления», «Неопределенный интеграл»,
«Определенный интеграл» (2-й семестр, экзамен).
4. Непрерывность и разрывы функции.
4.1. Определение непрерывности функции в точке (на языке предела и на языке приращений).
4.2. Арифметические операции над непрерывными функциями, непрерывность сложной
функции; локальные свойства непрерывных функций.
4.3. Непрерывность элементарных функций.
4.4. Условия непрерывности функции в точке; точки разрыва и их классификация, примеры.
4.5. Лемма о конечном покрытии.
4.6. Свойства функции, непрерывной на сегменте (две теоремы Вейерштрасса и две теоремы
Больцано-Коши).
4.7. Непрерывность и разрывы монотонных функций. Точки разрыва монотонной функции;
непрерывность функции на отрезке, когда множеством ее значений является отрезок.
4.8. Обратимые функции; теорема о существовании обратной функции; непрерывность обратных
тригонометрических функций.
5. Производная и дифференциал функции.
5.1. Производная функции. Односторонние производные, бесконечные производные.
Производная постоянной, аргумента, корня. Формула приращения дифференцируемой в точке
функции. Связь дифференцируемости и непрерывности. Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
5.2. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной (механический, геометрический,
экономический смысл производной).
5.3. Основные правила нахождения производных.
5.4. Производные основных элементарных функций.
5.5. Дифференциал функции и его свойства, геометрический смысл.
5.6. Инвариантность формы дифференциала.
5.7. Производные и дифференциалы высших порядков; неинвариантность формы дифференциала 2-го
порядка.
6. Основные теоремы дифференциального исчисления.
6.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и их геометрический смысл.
6.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей (б/д).
7. Исследование функции и формула Тейлора.
7.1. Исследование функций на монотонность и экстремумы.
7.2. Исследование функций на выпуклость-вогнутость и точки перегиба.
7.3. Исследование функций на асимптотику.
7.4. Полная схема исследования функции и построения графика. Примеры.
7.5. Формула Тейлора для многочленов. Формула Маклорена. Разложение произвольной функции;
остаточный член в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Формула Маклорена для произвольной функции.
7.6. Разложение элементарных функций по формулам Тейлора и Маклорена. Применение к вычислению
пределов.
8. Неопределенный интеграл.
8.1. Первообразная функция. Теорема о первообразных.
8.2. Неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица интегралов.
8.3. Общие методы интегрирования: разложением, подведением под знак дифференциала,
подстановкой, по частям.
8.4. Частные методы интегрирования: интегрирование рациональных функций, некоторых
иррациональностей, тригонометрических функций, произведений многочленов и трансцендентных
функций. Понятие о неберущихся интегралах.
9. Определенный интеграл.
9.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы, предел
интегральных сумм. Определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости.
9.2. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла.
9.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцируемости,
формула Ньютона-Лейбница.
9.4. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.
Список вопросов по разделам «Теория пределов и непрерывности функций многих переменных»,
«Дифференциальное исчисление функций многих переменных», «Криволинейные интегралы»,
«Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл» (3-й семестр, экзамен).
10. Теория пределов и непрерывности функции многих переменных.
10.1. Открытые и замкнутые n-мерные кубы, шары. Кубические и шаровые окрестности в E n . Теоремы
о шарах и кубах, шаровых и кубических окрестностях
10.2. Последовательности точек в E n . Предел последовательности в E n , сходимость, ограниченность.
Равносильность ограниченности и покоординатной ограниченности, сходимости и покоординатной
сходимости.
10.3. Теорема Больцано-Вейерштрасса (о подпоследовательности).
10.4. Ограниченные множества в E n . Проекции множеств, равносильность ограниченности множества и
его проекций (теорема).
10.5. Предельные точки множества, необходимое и достаточное условие.
10.6. Изолированные, внутренние, внешние, граничные точки множества.
Замкнутые и открытые,
n
связные множества, открытые и замкнутые области в E . Примеры. Проекции областей на
координатные оси (теорема б/д).
10.7. Диаметр множества. Необходимое и достаточное условие ограниченности множества (теорема).
10.8. Последовательность вложенных стягивающихся областей. Лемма о вложенных областях (б/д).
10.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса (о наличии предельной точки). Лемма Бореля (о конечном
покрытии, б/д). 10.10. Определение функции n переменных, примеры.
10.11. Последовательность Гейне. Предел функции n переменных по Гейне и по Коши.
10.12. Непрерывность: первое определение непрерывности, формулировка по Гейне и по Коши, второе
определение непрерывности (на языке приращений). Непрерывность на множестве.
10.13. Определение сложной функции, теорема о непрерывности сложной функции.
10.14. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: две
Вейерштрасса и две теоремы Больцано-Коши (б/д).
теоремы
10.15. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
11.1. Частное и полное приращение. Частные производные 1-го и высших порядков.
Теорема о равенстве смешанных частных производных.
11.2. Дифференцируемость функции многих переменных, необходимое и достаточное условие
дифференцируемости. Полный дифференциал, частные дифференциалы. Непрерывность
дифференцируемой функции.
11.3. Дифференцируемость сложной функции, полная производная. Дифференцируемость
сложной функции двух переменных. Инвариантность полного дифференциала. Правила
дифференцирования. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность дифференциалов
высших порядков.
11.4. Производная по направлению, связь с дифференцируемостью и частными
производными. Градиент функции, связь с производной по направлению.
11.5. Формула Тейлора для функции многих переменных.
11.6. Экстремум функции многих переменных. Необходимые, достаточные условия. Наибольшее и
наименьшее значения функции, непрерывной в замкнутой ограниченной функции 2-х переменных.
Достаточные условия экстремума функции n переменных (б/д). области.
11.7. Уравнения, равносильные на множестве. Неявное задание функции. Теорема о существовании
неявных функций. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных функций (б/д). Обобщения
на случаи неявной функции от n переменных и системы m неявных функций от n переменных (б/д).
11.8. Условные экстремумы. Необходимые условия. Достаточные условия для случая
функции двух переменных.
12. Криволинейные интегралы.
12.1. Кривые на плоскости, способы задания. Виды кривых и точек на кривых.
Спрямляемые кривые, теоремы о спрямляемых кривых.
12.2. Интегральные суммы, предел интегральных сумм. Криволинейные интегралы 1-го и
типа. Сведение криволинейного интеграла 1-го типа к определенному интегралу.
12.3. Криволинейные интегралы 2-го типа. Сведение криволинейного интеграла 2-го типа к
определенному интегралу. Случай замкнутого контура.
12.4. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го типов. Условие независимости
криволинейного интеграла 2-го типа от пути, эквивалентные утверждения (б/д).
13. Кратные интегралы.
13.1. Двойной интеграл по прямоугольной области. Суммы Дарбу и их свойства (б/д).
Условия существования двойного интеграла по прямоугольной области.
13.2. Сведение двойного интеграла к повторному (второй случай без доказательства)
13.3. Квадрируемые области. Теорема об интегралах по прямоугольникам, содержащим квадрируемую
область.
13.4. Двойной интеграл по произвольной области. Типы областей, теоремы о сведении двойного
интеграла к повторному для областей первого и второго типов (второй случай б/д.).
13.5. Свойства двойного интеграла.
13.6. Связь двойного и криволинейного интегралов. Формула Грина (б/д). Замена
переменных в двойном интеграле.
13.7. Понятие о тройном и n-кратных интегралах.
13.8. Основные свойства: непрерывность, бесконечная дифференцируемость, связь с факториалом, ход
изменения
Г (a )
на
(0,  ) , связь с B(a, b) , формула дополнения. Примеры интегралов,
выражающихся через гамма-функцию.
13.9. Суммирование степенных рядов методами Чезаро и Пуассона-Абеля. Регулярность
методов суммирования.
13.10. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов. Применение к гамма-функции Эйлера.
Формула Стирлинга
Список вопросов по разделам «Числовые ряды», «Функциональные последовательности и ряды»,
«Дифференциальные уравнения» (4-й семестр, зачет).
14. Числовые ряды.
14.1. Числовой ряд, сходимость, расходимость. Примеры. Теорема об остатке.
14.2. Свойства сходящихся рядов.
14.3. Необходимый признак сходимости, следствие. Критерий Коши.
14.4. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
Интегральный признак. Признаки сравнения, Даламбера, Коши.
14.5. Ряды с произвольными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
14.6. Лемма Абеля. Признаки Дирихле, Абеля.
14.7. Абсолютная и условная сходимость рядов.
15. Функциональные последовательности и ряды.
15.1. Функциональные последовательности, сходимость, предельная функция, критерий Коши.
Равномерная сходимость. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Критерий
Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.
15.2. Функциональные ряды, сходимость, Критерий Коши сходимости функционального
ряда. Равномерная сходимость. Теорема об остатке. Критерий Коши равномерной
сходимости. Необходимый признак равномерной сходимости функционального ряда.
Следствие.
15.3. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных
рядов. Примеры.
15.4. Непрерывность суммы функционального ряда. Теорема Дини.
15.5. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
15.6. Степенной ряд, область сходимости. Лемма Абеля для степенных рядов, следствия.
Теорема о радиусе сходимости, интервал сходимости, область сходимости. Нахождение
радиуса сходимости с помощью признака Даламбера. Формула Коши-Адамара.
15.7. Равномерная сходимость степенных рядов, теоремы. Непрерывность суммы
степенного ряда на его интервале сходимости и в граничной точке, следствие. Почленное
дифференцирование и интегрирование. Лемма о верхнем пределе произведения
последовательностей, о радиусе сходимости почленно проинтегрированного и почленно
продифференцированного рядов. Теорема о почленном интегрировании и почленном
дифференцировании степенных рядов.
15.8. Ряды Тейлора и Маклорена. Теоремы о необходимом и достаточном и достаточном
условии представимости функции ее рядом Тейлора. Разложение основных элементарных
функций в ряд Маклорена.
15.9. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное
условие разложимости функции в ряд Тейлора. Достаточное условие представимости функции ее рядом
Тейлора.
15.10. Основные свойства: непрерывность, бесконечная дифференцируемость, связь с факториалом, ход
изменения
Г (a ) на (0,   ) , связь с B ( a, b) , формула дополнения. Примеры интегралов,
выражающихся через гамма-функцию.
15.11. Суммирование степенных рядов методами Чезаро и Пуассона-Абеля. Регулярность
методов суммирования.
15.12. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов. Применение к гамма-функции Эйлера.
Формула Стирлинга
15.13. Периодические функции. Функции, ортогональные на сегменте [ a , b ] . Ортогональные и
ортонормированные системы функций (конечные или бесконечные), интегрируемых на [ a , b ] .
15.14. Тригонометрические системы функций.
15.15. Задача представления 2 -периодической функции f (x ) в виде суммы тригонометрического ряда
вида f ( x ) 

a0
  ( a n cos nx  bn sin nx ) – ряда Фурье.
2 n 1
15.16. Формулы Эйлера-Фурье для вычисления коэффициентов разложения ряда Фурье по системе
тригонометрических функций.
15.18. Признаки сходимости Дини, Липшица, Дирихле-Жордана рядов Фурье функцию 2 периодических дифференцируемых и интегрируемых на сегменте [  ,  ] .
4.2.2. Образец экзаменационного билета
1. Теорема о непрерывности элементарных функций (случай тригонометрических функций);
использование для нахождения пределов. Пример.
2. Теорема Ролля 13.2 (б/д) и ее геометрический смысл.
 x   

x   x  


3. Найти предел функции lim 
 x 
.
4.2.3. Методические указания к самостоятельной работе студентов. По данной дисциплине по
отдельным темам курса предлагается выполнить шесть самостоятельных работ по всем темам курса в
(конце каждого семестра), а также индивидуальные задания. Индивидуальные задания выполняются
после прохождения тем на практических занятиях, проверяются преподавателем и зачитывается после
устранения студентом всех ошибок и замечаний. Изучение тем курса для практических занятий,
самостоятельной работы, прохождения тестирования и сдачи зачета и экзаменов рекомендуется
проводить в такой последовательности: 1) изучение теоретических фактов выбранной подтемы (включая
определения, формулы и формулировки теорем, следствий и т.п.); 2) разбор примеров в тексте; 3) ответы
на контрольные вопросы; 4) практические упражнения; 5) доказательства теорем, вывод формул; 6)
теоретические упражнения. Предлагаемая схема носит лишь принципиальный характер, так как при
выполнении ее очередного этапа нередко приходится возвращаться к одному или нескольким
предшествующим. Возможны и отдельные разумные перестановки.
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год ____/____
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ _____________________________________Дата:___________