Вопросы к экзамену 3 семестр

Вопросы к экзамену
3 семестр
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику и по ограниченному
множеству.
2. Внутренняя и внешняя мера множества в R2. Измеримость.
3. Множества меры нуль. Критерий измеримости по Жордану плоского
множества.
4. Доказательство измеримости криволинейной трапеции, образованной
интегрируемой функцией.
5. Второе определение двойного интеграла по измеримому множеству.
Сравнение двух определений.
6. Повторные интегралы. Вычисление двойных интегралов через повторные.
7. Критерий интегрируемости ограниченной функции.
8. Линейность двойного интеграла.
9. Интегрирование неравенств. Теорема о среднем.
10. Площадь поверхности (вывод общей формулы).
11. Площадь графика дифференцируемой функции.
12. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах.
13. Приложения двойных интегралов.
14. Тройной интеграл. Понятие об n-кратном интеграле.
15. Криволинейный интеграл I рода и его основные свойства.
16. Криволинейный интеграл I I рода и его основные свойства.
17. Приложения криволинейных интегралов.
18. Формула Грина.
19. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
20. Теорема о восстановлении функции по ее полному дифференциалу.
21. Поверхностный интеграл I рода и его основные свойства.
22. Поверхностный интеграл I I рода и его основные свойства.
23. Формула Гаусса-Остроградского.
24. Скалярное поле. Поверхности уровня и линии уровня скалярного поля.
Векторные линии векторного поля.
25. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
26. Поток векторного поля через поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского.
27. Дивергенция векторного поля.
28. Циркуляция векторного поля.
29. Ротор ноля. Теорема Стокса.
30. Потенциальные и соленоидальные поля.
31. Оператор Гамильтона.
32. Цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные координаты.
33. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная
формы записи комплексных чисел.
34. Формула Муавре. Корень n-ой степени из комплексного числа.
35. Множества на комплексной плоскости. Последовательности комплексных
чисел.
36. Ряды комплексных чисел. Степенные ряды.
37. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римена.
38. Критерий аналитичности функции.
39. Геометрический смысл производной аналитической функции. Конформные
отображения.
40. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
комплексного переменного.
41. Логарифмическая функция. Обратные тригонометрические функции.
42. Интеграл функции комплексного переменного.
43. Основная теорема Коши.
44. Интегральная формула Коши.
45. Следствия из интегральной формулы Коши.
46. Ряд Тейлора.
47. Ряд Лорана.
48. Изолированные особые точки аналитической функции.
49. Вычет. Вычисление вычета.
50. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения.
51. Аналитичность изображения.
52. Линейность изображения.
53. Теорема подобия.
54. Дифференцирование оригинала.
55. Дифференцирование изображения.
56. Теорема запаздывания.
57. Интегрирование оригинала.
58. Теорема Мелина. Нахождение оригинала по изображению.