  Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности  xn  и  y n  .
xn  : 1, 3, 5, 7, …, 2n  1, …
 y n  : 1, 1 , 1 , 1 , …, 1 , …
n
2 3 4
Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой
Заметим, что члены второй последовательности  y n  как бы «сгущаются» около
точки 0, а у первой последовательности  xn  такой «точки сгущения» нет. В подобных
случаях говорят: последовательность  y n  сходится, а последовательность  xn 
расходится.
КАК УЗНАТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КОНКРЕТНАЯ ТОЧКА, ВЗЯТАЯ НА
ПРЯМОЙ,
«ТОЧКОЙ
СГУЩЕНИЯ»
ДЛЯ
ЧЛЕНОВ
ЗАДАННОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть а  точка прямой, а r  положительное число. Интервал
a  r, a  r  называют окрестностью точки а , число r  радиусом окрестности.
Например, 5,98,6,02  окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности
равен 0,02.
Уточним: математики не любят термин «точка сгущения», они предпочитают
использовать термин «предел последовательности».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называют пределом последовательности  y n  , если в
любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены
последовательности, начиная с некоторого номера.
ОБОЗНАЧЕНИЕ: lim yn  b (предел последовательности  y n  при стремлении n к
n
бесконечности равен b ).
Замечание: Если число b – предел последовательности  y n  , то, образно
выражаясь, окрестность точки b – это «ловушка» для последовательности: начиная с
некоторого номера n0 эта ловушка «заглатывает» y n0 и все последующие члены
последовательности. Чем тоньше «ловушка», т.е. чем меньшая выбирается
окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно
«подписывает акт о капитуляции» – попадает в выбранную окрестность.
1
Для рассмотренной выше последовательности xn 
можно записать
n
1
соотношение lim  0 .
n  n
1
n
1 1 1 1
1
Так же обстоит дело с последовательностью , , , ,...,  ,... . Имеет место
2 4 8 16  2 
n
1
соотношение lim    0 . Вообще, если
n  2
 
последовательность y n  q n расходится.
q  1 , то lim q n  0 . Если
n
q  1 , то
Свойства сходящихся последовательностей
1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Обратное утверждение неверно: например, 1,2,3,1,2,3, …, 1,2,3, …
ограниченная последовательность, но она не сходится.
–
3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
4. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена
последовательности.
lim С  С .
n
Если lim xn  b , lim yn  c , то
n
n
5. Предел суммы равен сумме пределов:
lim xn  yn   b  c ;
n
6. Предел произведения равен произведению пределов:
lim xn  yn   b  c ;
n
7. Предел частного равен частному пределов:
x  b
lim  n   , c  0 ;
n  y
 n c
8. Постоянный множитель можно вынести за знак пределов:
lim k  xn   k  b .
n
Пример 1: Найти пределы последовательностей:
1
1) xn  2
n
1 1 1
Имеем 2   . Применив правило «предел произведения», получим:
n
n n
1
1
 1
lim  2   lim  lim  0  0  0.
n n
  n n n n
2
k
n4
1
1
1
1
1
 k 

lim  4   lim  k  4   k  lim  lim  lim  lim  k  0  0  0  0  0.
n n
n n n n n n n n
  n n 
Вообще, для любого натурального показателя m и любого коэффициента k
справедливо соотношение:
 k 
lim  m   0 .
n  n
 
2 5
3) t n   2  3
n n
2 5

2
 5 
lim   2  3   lim    lim  2   lim 3  0  0  3  3 .
n  n
n

 n n  n n  n
 2n 2
3 
3 

 2  2
2 2 

2
 2n  3 
n   lim 
n   2  0  2.
  lim  n 2
4) lim  2
n  n  4

 n n  4  n 1  4  1  0
 2

n2 

n2 
 n
Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n 2 .
2) z n 
3