Некорые приёмы нахождения множества значений функций

МОУ Лицей №1
Бугаева В.М.
Некоторые приемы нахождения множества значений функции.
Анализируя тесты ЕГЭ, можно заметить, что во все варианты включено задание на
нахождение множества значений функции.
Множеством (областью) значений E y  функции y  f x  называется множество всех
таких чисел у0, для каждого их которых найдется число x 0 такое, что f x0   y 0 .
Напомним области значений основных элементарных функций.
Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток m; , где
m - наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток  ; n, где n - наибольшее
значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R .
 
1
E     ;0   0; 
 x
E a x  0;
Earccos x  0;  
E log a x   R
Esin x  Ecos x  1;1
  
E arctg x     ; 
 2 2
Etg x  Ectg x  R
Earcctg x  0; 
E

E
 x   0;
2 k 1

x R
2k
  
E arcsin x    ; 
 2 2
Существует несколько приемов нахождения множества значений функций, рассмотрим их
на примерах.
I. Нахождение множества значений функции по ее графику
Для того, чтобы найти множество значений функции, заданной графически, надо
спроектировать все точки графика на ось oy . Полученный промежуток и будет множеством
значений функции.
№1
y
Множеством значений функции, заданной на рисунке,
1
является промежуток  3;4
-1 0
x
№2. Найти множество значений функции y 
5x
x
 3 , если x  1
x
Для отыскания множества значений данной функции построим эскиз ее графика. Заметим,
что данная функция определена на множестве 1;0  0; .
x
5x
1
 3 x , y1     5
Если x  1;0 , то y1 
x
3
x
-1
0
y
-2
-4
 1 x

 1 x



lim    5  4 , lim     5   2


x  0  3
x  1  3
 

 

Если x  0; , то y2 
x
0
1
y
6
8

5x
 3x , y2  3 x  5
x



lim 3 x  5  6 , lim 3 x  5  
x0
x
x
1
Построим эскиз графика. Т.к. y1     5 непрерывна
3
y
6
на отрезке 1;0 и монотонно убывает, то E y1    4;2,
т.к. y 2  3 x  5 непрерывна на промежутке 0; и
монотонно возрастает, то E y2   6; , тогда
1
0
x
E y    4;2  6; .
-2
-4
Ответ:  4;2  6;
II. Нахождение множества значений функции с учетом вида монотонности функций,
ограниченности и свойства непрерывности.
При решении используем следующие факты:
1. Если f x  - непрерывная и m  min f x  , M  max f x , то
M
1
0
E f   m; M 
m
2. Функции:


2
а) y  arctg x при x  R , y  arcsin x при  1  x  1, y  log a x , y  a x при a  1 являются
возрастающими;
б) y  arcctgx при x  R , y  arccos x при  1  x  1, y  log a x при 0  a  1 , y  a x при
0  a  1 являются убывающими;
3. Если f x  возрастающая функция на промежутке J, то
а) kf x  возрастающая при k  0 и убывающая при k  0 ;
б)
1
и  f x  являются убывающими на множестве J;
f x 
в) f
1
является возрастающей на множестве J.
4. Если a  b  0 , то
1 1
 .
a b
№3. Найти область значений функции y  1  sin( x 2  x  1) .
Учитывая ограниченность функции y  sin t , имеем
 1  sin( x 2  x  1)  1,
 1   sin( x 2  x  1)  1,
0  1  sin( x 2  x  1)  2, т.е. E y   0;2

24
№4. Найти множество значений функции y  log 0,5 
 11  1  ln x





Заметим, что при x  0 ln x  0, 1  ln x  1.
Т.к. y  t возрастающая, то 1  ln x  1, 11  1  ln x  12,
24
11  1  ln x
1
11  1  ln x

1
,
12
 2.


24
  log 2
Учитывая, что функция y  log 0,5 z убывающая, получаем log 0,5 
0,5
 11  1  ln x 



24
или log 0,5 
 11  1  ln x


  1.


Ответ:  1;
№5. Найти множество значений функции

1
 3
 2
 9

 sin 4 x  cos 8 x  4 cos
 x  cos x cos 2 x  3 
 2

 .
y  72 


sin 4 x  1




Преобразуя заданное выражение, получаем
 3

 9

 sin 4 x  cos 8 x  4 cos
 x  cos x cos 2 x  3 
 2


72 


sin 4 x  1




 sin 3 4 x  1  2 sin 2 4 x  2 sin 2 x cos 2 x  3 

 72 
sin 4 x  1



1
2

1
2


1
 sin 3 4 x  2 sin 2 4 x  sin 4 x  4  2
 ,
 72 
sin 4 x  1


Пусть sin 4 x  t , t   1;1, тогда
 t 3  2t 2  t  4 

y  72 
t 1



1
2
t 2  3t  4  0 при любом t  R .

 t  1 t 2  3t  4
 72 
t 1

 



1
2

 72 t 2  3t  4


1
2

72
,
t  3t  4
2
f t 
f t   t 2  3t  4  t  1,5  1,75 ,
2
1
1
 2
f t  t  3t  4
Функция y на промежутке  1;1 непрерывна и убывает, поэтому
1
f t 

72
E y    2
;
 1  3 1  4

 72 72 
 
;

2 
 8



 12  3   1  4 
72

9 ; 36  3;6.
Ответ: 3;6

№6. Найти множество значений функции y  log 5 625  600  3
С учетом ограниченности функции 3
тогда  25  625  600  3
x
x
x
имеем, что 0  3
x
.
x
 1, а  600  600  3  0,
 625.
Учитывая, что функция y  log 5 t возрастающая, получаем

log 5 25  log 625  600  3
x
  log
5

625 или 2  log 625  600  3
x
  4.
Итак, E y   2;4.
Ответ: 2;4.
III. Преобразование тригонометрического выражения до синуса или косинуса
некоторого угла
Данный прием применяется для нахождения множества значений функции вида
y  a sin x  b cos x или y  a sin f x  b cos f x , если a  0 и b  0 . Он состоит из двух шагов:
вынесения за скобки множителя, равного
a 2  b 2 и введения вспомогательного аргумента.
№7. Найти множество значений функции y  5 sin 3x  1.  3 cos3x  1.
a 2  b 2  5 2  32  25  9  34
Преобразуем данное выражение.
 5

3
5 sin 3x  1  3 cos3x  1  34 
sin 3x  1 
cos3x  1 
34
 34

 34 (cos  sin 3x  1  sin  cos(3x  1))  34 sin   3x  1, где   arccos
5
34
.
 1  sin   3x  1  1,
 34  34 sin   3 x  1  34 .

E  y    34 ; 34


Ответ:  34 ; 34


 3

 sin 2 x  sin 
 2x  
 2
   3 удалили все
№8. Из множества значений функции f  x   4 arcsin 


2




целые числа. Сколько получилось числовых промежутков?
Найдем множество значений функции f x  .
 2

2


 3



sin 2 x  sin 
 2 x   sin 2 x  cos 2 x  2 
sin 2 x 
cos 2 x   2  cos sin 2 x  sin cos 2 x  
2
4
4
 2



 2



 2 sin  2 x  .
4

Учитывая ограниченность функции y  sin t , получаем


 1  sin  2 x    1, а
4



 2  2 sin  2 x    2 , тогда
4


2

2


2 sin  2 x  
2
4


.
2
2
Зная, что функция y  arcsin z - возрастающая, имеем

2
  arcsin
arcsin  

2




4
 arcsin
   4 arcsin


2 sin  2 x  
2
4

 arcsin
или
2
2


2 sin  2 x  
4 

 , тогда
2
4


2 sin  2 x  
4

 и
2
   3  4 arcsin


2 sin  2 x  
4

 3    3.
2
Таким образом, E f      3;   3.
После того, как из полученного множества значений удалили все целые числа (0; 1; 2;…6),
получилось 8 числовых промежутков.
Ответ: 8
IV. Использование замены переменных, учет свойств квадратичной функции.
Известно, что множество значений всякой квадратичной функции g x   ax 2  bx  c на
любом отрезке   x   также является отрезком вида m; M  , где m  min g ( x) ,
  x 
M  max g ( x) .
  x 
№9. Найти множество значений функции f x  2 cos 2x  2 cos x  1.
С помощью формулы cos 2 x  2 cos 2 x  1 преобразуем данную функцию к виду
f x   4 cos 2 x  2 cos x  1 .
Значения косинуса целиком заполняют промежуток  1;1 , поэтому множество значений
функции f x  совпадает с множеством значений квадратного трехчлена 4t 2  2t  1 , когда
переменная t изменяется на отрезке  1;1
y  4t 2  2t  1 - квадратичная функция.
Минимальное значение достигается в вершине, соответствующей точке t 0 
причем 
2
1
 ,
8
4
1
  1;1 , а максимальное – на одном из концов отрезка  1;1 . Непосредственным
4
вычислением находим
y  1  4   1  2   1  1  1 ,
2
y1  4  12  2  1  1  5 - наибольшее значение,
2
 1
 1
 1
y    4      2      1  1,25 - наименьшее значение.
 4
 4
 4
Следовательно, m  1,25 , M  5 .
Ответ:  1,25;5
№10. Найти сумму целых значений функции f x   6 x  x 2  5 .
Область определения функции состоит из тех x , для которых 6 x  x 2  5  0 ,
x 2  6 x  5  0 , т.е. 1  x  5 .
Для определения множества значений приведем подкоренное выражение к виду
4   x  3 . Наибольшее значение полученного выражения равно 4 при x  3 , наименьшее
2
значение на отрезке 1;5 равно 0 при x  1 и x  5 .
Поэтому
6 x  x 2  5  4  x  3 принимает значения от 0 до 2, т.е. E f   0;2 . А
2
сумма целых значений равна 0+1+2=3.
Ответ: 3
IV. Использование свойств квадратного уравнения.
Квадратное уравнение ax 2  bx  c  0 , a  0 имеет два различных корня, если D  0 ,
один корень, если D  0 и не имеет действительных корней, когда D  0 .
№11. Найти множество значений функции y 
4x  8
.
x2  5
Заметим, что D y   R .
Решим уравнение y 
4x  8
как уравнение относительно x , принимая y за константу,
x2  5
получаем


y x 2  5  4x  8 ,
yx 2  4 x  5 y  8  0 , y  0 . Уравнение имеет корни в том случае, когда
D
 0 , т.е.
4
D
2

 4  y 5 y  8  5 y 2  8 y  4 ,  5 y 2  8 y  4  0 или 5 y 2  8 y  4  0 , 5 y  2 y    0 .
4
5



2
5
2
2
 2 
 y  2 , т.е. E  y    ;2
5
 5 
 2 
Ответ: E  y    ;2
 5 
VI. Использование производной и алгоритма нахождения наибольшего и
наименьшего значений на отрезке.
1


№12. Найдите множество значений функции y  sin 2 x , если x  arctg ; arctg 2 .
3


Функция y  sin 2 x определена, непрерывна и дифференцируема на множестве R, а
1


значит, и на отрезке arctg ; arctg 2 .
3


y
Найдем значения функции y  sin 2 x на концах заданного

2
arctg2
1
arctg
3
отрезка:
x
1
3


1
2
2
y arctg 2  sin 2 arctg 2 
1

1
2 tg  arctg 
2
1
1
3





 
3  29  3 ,
y arctg   sin  2 arctg  
2
1
3
3
3  10 5



1  tg 2  arctg  1   1 
3

3
2 tg arctg 2
22
4

 .
2
2
5
1  tg arctg 2 1  2
Найдем критические точки, принадлежащими заданному отрезку, для этого решим
уравнение y '  0 .
y '  2 cos 2 x,
2 cos 2 x  0,
cos 2 x  0,
2x 
x


4
2
 n, n  Z ,

n
2
, n  Z.
Единственная критическая точка, которая принадлежит отрезку x 

4
1



 
 
  arctg 1; arctg  arctg 1  arctg 2  - y   sin  2    sin  1
3
2
4

4
 4
3
1


Наибольшее значение на отрезке arctg ; arctg 2 равно 1, наименьшее - , поэтому
5
3


3 
E  y    ;1
5 
3 
Ответ:  ;1
5 
№13. Укажите множество значений функции y  x 1  2 x .
1

Область определения функции задается неравенством 1  2x  0 , т.е. x    ;  .
2

1
.
2
Нулями функции являются числа 0 и
+
__
0
x
1
2
При x  0 y  0 , при 0  x 
1
y  0.
2
Исследуем функцию на монотонность, для чего вычислим ее производную.
y'  1  2 x  x 
y '  0 , если x 
2
2 1  2x

2  6x
2 1  2x
.
1
.
3
x
__
+
1
3
2
3
1 1
.
y  
1 
3
9
 3 3
x
1
2
1
- точка максимума
3
Составим таблицу монотонности
x
1

  ; 
3

1
3
1 1
 ; 
3 2
y'
+
0
-
y
1
2
не
определена
3
9
При изменении x от   до
0
3
1
y возрастает от   до
. Множество значений
3
9

3
.
заданной функции – промежуток   ;

9



3
Ответ: E  y     ;  .
9 

№14. Найти множество значений функции y  log 0,5
4  x2
. (*)
1 x2
Найдем область определения функции:
4  x2
 0 , 4  x2  0 ,
1 x2
+
__
0
x
1
2
(2  x)( 2  x)  0 ,
x  2 или x   2;2 .
В области определения функцию (*) можно записать в виде
y




1
1
log 0,5 4  x 2  log 0,5 1  x 2 . Найдем ее производную:
2
2
y' 

1
 2x
1
2x
x  1
1 
 x 1 x2  4  x2










2 4  x 2 ln 0,5 2 1  x 2 ln 0,5 ln 0,5  4  x 2 1  x 2   ln 2 4  x 2 1  x 2







5x
.
ln 24  x 2 1  x 2 
Единственная критическая точка в области определения функции x  0 . Найдем значение
функции в этой точке:
y0  log 0,5 4  1 и исследуем поведение функции при x  2 . Если x  2 , то
4  x2
4  x2
log
  0,5  1

0

0,5
1 x2
1 x2
Множеством значений функции y  log 0,5
4  x2
является луч  1; .
1 x2
Ответ:  1;
VII. Выражение x через y , использование свойств обратной функции.
Применяя теорему об условии существования обратной функции, заменяем множество
значений данной функции областью определения функции, обратной данной, т.е.


E  f x   D f 1 x  .
1
№15. Найти множество значений функции y  81 4 .
x
1
Заметим, что 8
1 4 x
 0 , значит, y  0 . Найдем функцию, обратную данной, для этого
выразим x через y
1
log 8 y  log 8 8
1 4 x
,
log 8 y 
4 x  0 , следовательно 1 
1
,
1 4x
1 4x 
1
,
log 8 y
4x  1

1
1
 0 , тогда log 4 4 x  log 4 1 
log 8 y
 log 8
1
,
log 8 y


1
 , x  log 4 1 
y
 log 8

.
y 
Для нахождения области определения этой обратной функции запишем систему
неравенств:

 y  0,

log 8 y  0,

1
1 
 0;
 log 8 y

 y  0, (1)

 y  1, (2)
 log y  1
 8
 0.(3)
 log 8 y
Решим неравенство (3).
log 8 y  1
t 1
 0.
 0 , обозначив log 8 y  t , получаем неравенство вида
t
log 8 y
Решим его методом интервалов:
Если t  0 , то log 8 y  0 , y  1 .
Если t  1, то log 8 y  1 , y  8 .
Итак, неравенство (3) имеет решение y  1 , y  8
0
1
8
x
Учитывая условия (1) и (2) получим, что множеством значений данной функции является
множество 0;1  8; .
Ответ: 0;1  8;